Som en verschil van vectoren

Elke twee vectoren ${\bf A}$ en ${\bf B}$ hebben een som, ${\bf A} + {\bf B}$. Als het beginpunt van de pijl die B representeert samenvalt met het eindpunt van de pijl die ${\bf A}$ voorstelt, dan wordt ${\bf A} + {\bf B}$ gerepresenteerd door de pijl vanaf het beginpunt van de ${\bf A}$-pijl naar het eindpunt van de ${\bf B}$-pijl. Dit wordt weergegeven in Fig. 65.

Voor optellen van vectoren gelden de axioma's

1. $\forall_{{\bf A},{\bf B}} [ {\bf A} + {\bf B} = {\bf B} + {\bf A} ]$ commutatieve eigenschap
2. $\forall_{{\bf A},{\bf B},{\bf C}} [ ({\bf A} + {\bf B}) + {\bf C} = {\bf A} + ({\bf B} + {\bf C}) ]$ associatieve eigenschap
3. $\exists_{\bf0} \forall_{\bf A} [ {\bf A} + {\bf0} = {\bf A} ]$ ${\bf0}$ heet het neutrale element
4. $\forall_{\bf A} \exists_{- \bf A} [ {\bf A} + (-{\bf A}) = {\bf0} ]$ inversiteits eigenschap

Voor vermenigvuldigen van vectoren met scalaren gelden de axioma's

1. $\forall_{p,q,{\bf A}} [ (p+q){\bf A} = p{\bf A} + q{\bf A} ]$ eerste distributieve eigenschap
2. $\forall_{p,{\bf A},{\bf B}} [ p({\bf A} + {\bf B}) = p{\bf A} + p{\bf B} ]$ tweede distributieve eigenschap
3. $\forall_{p,q,{\bf A}} [ p(q{\bf A}) = (pq){\bf A} ]$ associatieve eigenschap
4. $\forall_{\bf A} [ 1{\bf A} = {\bf A} ]$ neutraliteitseigenschap van het getal 1.

Figuur 65: Representatie van het optellen van twee vectoren A en B. Het resultaat is de vector A+B.

Verder geldt de definitie

${\bf A} - {\bf B} = {\bf A} + (-{\bf B})$ en ${\bf A} - {\bf B}$ heet het verschil van ${\bf A}$ en ${\bf B}$.