Inwendig of scalair product van vectoren

Definitie

$${\bf A} \cdot {\bf B} \equiv A \cdot B \cdot \cos{\angle{({\bf A};{\bf B})}}$$ (431)

Het inwendig product van vectoren is dus een scalar.

Eigenschappen

1. $\forall_{{\bf A},{\bf B}} [ {\bf A} \cdot {\bf B} = {\bf B} \cdot {\bf A} ]$ commutatieve eigenschap
2. $\forall_{{\bf A},{\bf B},{\bf C}} [ {\bf A} \cdot ({\bf B} + {\bf C}) = {\bf A} \cdot {\bf B} + {\bf A} \cdot {\bf C} ]$ distributieve eigenschap

Uit de definitie volgt

$${\bf A} \cdot {\bf A} = A^2~~~~{\rm en}~~~~{\bf A} \cdot {\bf B} = 0~~~~{\rm als}~~~ {\bf A} \perp {\bf B}.$$ (432)

Dus ook ${\bf i} \cdot {\bf i} = {\bf j} \cdot {\bf j} = {\bf k} \cdot {\bf k} =1$ en ${\bf i} \cdot {\bf j} = {\bf j} \cdot {\bf k} = {\bf k} \cdot {\bf i} =0$ en dus

$${\bf A} \cdot {\bf B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3 = \sum_{i=1}^{3} A_iB_i.$$ (433)

Merk op dat als ${\bf A} \cdot {\bf B} = 0$, dan is $A=0$ of $B=0$ of ${\bf A} \perp {\bf B}$.