Neutrino oscillaties

We beperken de discussie tot twee flavors, het elektron neutrino $\nu_e$ en het muon neutrino $\nu_\mu$. De flavor eigentoestanden, $\nu_e$ en $\nu_\mu$, zijn echter geen massa eigentoestanden, $\nu_1$ en $\nu_2$, maar zijn hieraan gerelateerd door een zogenaamde menghoek $\theta$,

$$\left( \begin{array}{c} \nu_e \\ \nu_\mu \\ \end{array} \r... ... \right) \left( \begin{array}{c} \nu_1 \\ \nu_2 \\ \end{array} \right) .$$ (69)

We nemen aan dat we een bundel $\nu_e$'s geproduceerd hebben met een precieze impuls, waarbij alle deeltjes in de $x$-richting bewegen en de bron zich op $x=0$ bevindt. We vragen ons af wat de waarschijnlijkheid is om een $\nu_e$ te detecteren op positie $x \neq 0$?

Neem aan dat we op tijdstip $t=0$ een zuivere $\nu_e$ toestand hebben. Omdat $\nu_1$ en $\nu_2$ massa eigentoestanden zijn, en omdat de bundel bestaat uit eigentoestanden van impuls, vertelt de relatie

$$E_i^2 = p^2c^2 + m_i^2c^4~~~~{\rm voor}~i=1,2$$ (70)

ons, dat dit ook eigentoestanden van energie zijn. De tijdevolutie wordt daarom gegeven door de uitdrukkingen

$$\nu_1(t) = \nu_1 e^{-iE_1 t / \hbar},$$

$$\nu_2(t) = \nu_2 e^{-iE_2 t / \hbar} .$$

Vervolgens gebruiken we de gegeven relatie tussen $\nu_e$ en $\nu_i$ en vinden dat de golffunctie op $t=0$ geschreven kan worden als

$$\psi (0) = \nu_e = \cos{\theta} \cdot \nu_1 + \sin{\theta} \cdot \nu_2 .$$ (71)

We gebruiken de tijdafhankelijkheid van de $\nu_i$ en kunnen de volledige oplossing van de Schrödingervergelijking met als begintoestand $\psi (0) = \nu_e$ schrijven als

$$\psi (t) = \cos{\theta} \cdot \nu_1(t) + \sin{\theta} \cdot \nu_2... ...eta} \cdot e^{-iE_1 t} \cdot \nu_1 + \sin{\theta} \cdot e^{-iE_2 t}\cdot \nu_2.$$ (72)

De waarschijnlijkheid om een $\nu_e$ te detecteren is het kwadraat van de projectie van $\psi (t)$ op de flavoreigentoestand $\nu_e$. We maken gebruik van de orthonormaliteitsrelaties voor de massa eigentoestanden,

$$\nu_i^\dagger \cdot \nu_j = \delta_{ij}$$ (73)

en berekenen de projectie als

$$\nu_e^\dagger \cdot \psi (t) = \left( \cos{\theta}\cdot \nu_1^\dagger + \sin{\theta}\cdot \nu_2^... ...cdot e^{-iE_1t} \cdot \nu_1 + \sin{\theta} \cdot e^{-iE_2t} \cdot \nu_2 \right)$$

$$= \cos^2{\theta} \cdot e^{-iE_1t} + \sin^2{\theta}\cdot e^{-iE_2t}.$$

Als we het kwadraat nemen van bovenstaande uidrukking vinden we

$$P(\nu_e) = \vert \cos^2{\theta} \cdot e^{-iE_1t} + \sin^2{\theta}\cdot e^{-iE_2t} \vert^2$$

$$= \cos^4{\theta} + \sin^4{\theta} + 2 \cos^2{\theta}\sin^2{\theta}\cos{ \left[ (E_1 - E_2)t \right] }.$$ (74)

We zien dat de periode van oscillatie gegeven wordt door

$$T = {2 \pi \over E_1 - E_2}.$$ (75)

Als we aannemen dat de neutrino's ultra-relativistisch zijn, dus $E \approx pc \gg mc^2$, dan geldt

$$E_i = \sqrt{p^2c^2 + m_i^2c^4} \approx pc + {m_i^2c^3 \over 2p} + \ldots$$ (76)

Als we dit invullen vinden we

$$T = {2 \pi \over E_1 - E_2} \approx {4\pi p \over m_1^2c^3 - m_2^2c^3} \approx {4\pi E \over (m_1c^2)^2 - (m_2c^2)^2}.$$ (77)

Omdat de neutrino's ultra-relativistisch bewegen, bewegen ze zich met praktisch de lichtsnelheid. De afgelegde weg bedraagt dus $x = c \cdot t$. We zien dat de flavor oscillatie in de tijd, zich vertaalt in een oscillatie van de neutrino flavor als functie van de afstand tot de bron. De afstand die correspondeert met een oscillatieperiode wordt de oscillatielengte, $L_{\rm osc}$, genoemd. We vinden hiermee de relatie

$$L_{\rm osc} = c \cdot T = {4\pi \hbar c E \over (m_1c^2)^2 - (m_2c^2)^2} = {4\pi E \hbar c \over \Delta m^2c^4},$$ (78)

met $\Delta m^2 = \vert m_1^2 - m_2^2 \vert$. Als we de juiste conversiefactoren gebruiken vinden we

$$L_{\rm osc} = {4\pi \cdot (1,6 \times 10^{-13}~{\rm J/MeV}) \cdot (3 \times 10^... ...5}~{\rm Js}) \cdot E \over (1,6 \times 10^{-19}~{\rm J/eV})^2 \cdot \Delta m^2}$$

$$= 2,483 {\rm m} \cdot {\rm eV}^2 \cdot {\rm MeV}^{-1} \cdot {E \over \Delta m^2}$$

$$\approx 2,5~{\rm km}~{E~({\rm GeV}) \over \Delta m^2~({\rm eV})^2} .$$

Figuur 20: Gebieden in de neutrino parameterruimte opgespannen door $\Delta m^2$ en menghoek $\theta$ die worden uitgesloten of die waarvoor er een voorkeur voor de waarden van deze parameters bestaat.

Er zijn diverse experimenten uitgevoerd om neutrino oscillaties te observeren. Hierbij werden neutrino's van zowel de zon, als kernreactoren alsook de neutrino's geproduceerd in atmosferische showers van kosmische straling gebruikt. Fig. 20 toont de gebieden in de neutrino parameterruimte opgespannen door $\Delta m^2$ en menghoek $\theta$ die worden uitgesloten of die waarvoor er een voorkeur bestaat. De huidige consensus is dat neutrino oscillaties zijn waargenomen met een significantie van ongeveer 5 $\sigma$.