Matrix Representatie van Spin ${1 \over 2}$ Deeltjes

De natuur realiseert de half-integer waarden voor impulsmoment in de vorm van het intrinsieke impulsmoment in het rustsysteem van deeltjes, zoals elektronen, protonen, neutronen, quarks, neutrino's, enz. Conventioneel gebruikt met symbool ${\bf s}$ voor de operator van dit zogenaamde spin impulsmoment, terwijl $s$ en $m_s$ de geassocieerde spin en magnetische quantumgetallen zijn. Er geldt dat ${\bf s^2}$ de waarde $\hbar^2 s(s+1) = {3 \over 4} \hbar^2$ heeft. De projectie $s_z$ heeft slechts twee eigenwaarden $\hbar m_s$ met $m_s = \pm {1 \over 2}$, die corresponderen met de spin parallel (spin up: $\uparrow$) en spin antiparallel (spin down: $\downarrow$) aan de $z$-as. De corresponderende eigentoestanden van $s_z$ kunnen geschreven worden als

$$\vert \alpha > = \vert m_s = + {1 \over 2} > ~~~~~~ \vert \beta > = \vert m_s = -{1 \over 2} >$$ (46)

en dus

$$s_z \vert \alpha > = { \hbar \over 2} \vert \alpha > ~~~~~~ s_z \vert \beta > = - { \hbar \over 2} \vert \beta > .$$ (47)

Omdat de toestanden $\vert \alpha >$ en $\vert \beta >$ behoren bij verschillende eigenwaarden van $s_z$, zijn ze orthogonaal. We nemen verder aan dat ze genormeerd zijn. Er geldt

$$< \alpha \vert \alpha > = 1 ~~~~ < \beta \vert \beta > = 1 ~~~~ < \alpha \vert \beta > = 0 .$$ (48)

Spin-${1 \over 2}$ impulsmoment kan eenvoudig worden behandeld door de spinoperatoren voor te stellen als $2 \times 2$ matrices en de spintoestanden door twee-component kolomvectoren. We schrijven $\vert \alpha >$ en $\vert \beta >$ als

$$\alpha = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array}\rig... ...ta = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array}\right) ,$$ (49)

en de spinimpulsmoment operatoren door

$${\bf s} = {1 \over 2} \hbar {\bf\sigma},$$ (50)

waarbij ${\bf\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ de Pauli matrices zijn, gedefinieerd door

$$\sigma_x = \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end... ...t( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right) .$$ (51)

Met behulp van bovenstaande relaties kunnen we direct een aantal resultaten afleiden. Er geldt

$$s_z \alpha = {1 \over 2} \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ ... ...c} 1 \\ 0 \\ \end{array}\right) = {1 \over 2} \hbar \alpha ,$$ (52)

hetgeen de matrixvorm is van de eerste uitdrukking in vergelijking (47). De spinmatrices voldoen aan de commutatieregels voor impulsmoment, $\left[ s_x , s_y \right] = i \hbar s_z, ~~~{\rm enz.}$, waarbij men gebruik dient te maken van de regels voor matrixvermenigvuldiging¹.

De algemene spintoestand ${\vert \chi >}$ kan geschreven worden als

$$a_1 \alpha + a_2 \beta = a_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ ... ...= \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array}\right) .$$ (54)

Verder definieren we het scalaire product. Stel dat

$$\vert \eta > = \vert \alpha >< \alpha \vert \eta > + \vert ... ...\beta \vert \eta > = \vert \alpha > b_1 + \vert \beta > b_2 ,$$ (55)

dan is het scalaire product hiervan met de toestand $\vert \chi >$, gegeven door vergelijking (54), gelijk aan

$$\begin{array}{ll} < \eta \vert \chi > & = < \eta \vert \alp... ...egin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array}\right) . \end{array}$$ (56)

Het laatste deel van deze uitdrukking is de matrixvorm van het scalaire product. Hierbij wordt de ket $\vert \chi >$ voorgesteld als een kolomvector, terwijl de bra $< \eta \vert$ wordt voorgesteld als een rijvector. Het scalaire product volgt uit de regels van matrixvermenigvuldiging.

We gaan het matrixformulisme voor spin-${1 \over 2}$ deeltjes nu toepassen. Allereerst berekenen we de verwachtingswaarde van $s_x$ voor de spintoestand $\vert \chi >$. We vinden

$$\begin{array}{ll} < \chi \vert s_x \vert \chi > & = {1 \over... ...) = {1 \over 2} \hbar (a_1 a_2^* + a_2^* a_1 ). \\ \end{array}$$ (57)

Evenzo berekenen we $< \chi \vert s_z \vert \chi >$. Er geldt

$$\vert \chi > = \vert \alpha > < \alpha \vert \chi > + \vert \beta > < \beta \vert \chi >$$ (58)

en dus

$$s_z \vert \chi > = s_z \vert \alpha > < \alpha \vert \chi >... ... \chi > + {\hbar \over 2} \vert \beta > < \beta \vert \chi >,$$ (59)

waarmee we vinden

$$< \chi \vert s_z \vert \chi > = {\hbar \over 2} \left[ \ver... ...over 2} \left[ \vert a_1 \vert^2 - \vert a_2 \vert^2 \right] .$$ (60)

We zien dat respectievelijk de eerste en tweede term de waarschijnlijkheid geven dat het deeltje in de spintoestand $\vert \chi >$ spin up of spin down heeft.

Tenslotte beschouwen we de eigenwaarden en eigenfuncties van een component van de spinoperator ${\bf s}$ in de richting van een eenheidsvector ${\bf\hat n}$. Dit komt neer op het oplossen van de eigenwaardenvergelijking

$${\bf\hat n} \cdot {\bf s} \vert \chi > = {1 \over 2} \hbar \lambda \vert \chi > .$$ (61)

Ter vereenvoudiging nemen we aan dat ${\bf\hat n}$ in het $(x,z)$-vlak ligt en de componenten ${\bf\hat n} = (\sin{\theta}, 0, \cos{\theta})$ heeft, met $0 \leq \theta \leq \pi$ en

$${\bf\hat n} \cdot {\bf s} = s_x \sin {\theta} + s_z \cos{ \theta}.$$ (62)

Gebruik maken van de Pauli matrices levert

$$\left( \begin{array}{rr} \cos {\theta} & \sin{ \theta} \\ \... ...a \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array}\right) .$$ (63)

Bovenstaande vergelijking kan eenvoudig worden opgelost. We vinden de equivalente vergelijkingen

$$\begin{array}{ll} a_1 \cos {\theta} + a_2 \sin{ \theta} & = ... ... {\theta} - a_2 \cos{ \theta} & = \lambda a_2 . \\ \end{array}$$ (64)

Elk van deze vergelijkingen geeft een uitdrukking voor de verhouding $a_1 / a_2$ en het is eenvoudig na te gaan dat de vergelijkingen enkel consistent zijn als geldt dat $\lambda = \pm 1$. De eigenwaarden van ${\bf\hat n} \cdot {\bf s}$ zijn dus $\pm {1 \over 2} \hbar$ en hiermee zijn ze hetzelfde² als die van $s_z$. We vinden de relaties

$$\begin{array}{lll} a_1 \sin { \theta \over 2 } & = a_2 \cos{... ...\over 2 } & ~~~~~~{\rm voor~~} \lambda = - 1 . \\ \end{array}$$ (65)

De normalisatieconditie $\vert a_1 \vert^2 + \vert a_2 \vert^2$ leidt tot de genormeerde eigenvectoren

$$\left( \begin{array}{r} \cos { \theta \over 2 } \\ \sin { \... ...a \over 2 } \\ \cos { \theta \over 2 } \\ \end{array}\right)$$ (66)

voor $\lambda = +1$ en $\lambda = -1$ respectievelijk. De willekeurige fasefactor in elk van deze eigenvectoren is zodanig gekozen dat voor $\theta = 0$ (corresponderend met ${\bf\hat n}$ in de richting van de $z$-as) de vectoren samenvallen met de eigenvectoren $\alpha$ en $\beta$.

We duiden de eigenkets van ${\bf\hat n} \cdot {\bf s}$ met eigenwaarden $\pm {1 \over 2} \hbar$ aan met $\vert {\bf\hat n} \pm >$, dan vinden we

$$\begin{array}{ll} \vert {\bf\hat n} + > & = \cos { \theta \... ...pha > + \cos { \theta \over 2 } \vert \beta > . \\ \end{array}$$ (67)

Uit bovenstaande vergelijking kan men eenvoudig de waarschijnlijkheid $P( {\bf\hat z}, {\bf\hat n} + )$ afleiden dat een meting van de spincomponent ${\bf\hat n} \cdot {\bf s}$ van een deeltje in de toestand $\alpha$ (dus met spin parallel aan de eenheidsvector ${\bf\hat z}$ in de richting van de positieve $z$-as) het resultaat $+{1 \over 2} \hbar$ oplevert. Deze waarschijnlijkheid kan verkregen worden door de expansie van $\vert \alpha >$ te beschouwen in termen van de orthonormale spin eigentoestanden $\vert {\bf\hat n} \pm >$ en wordt gegeven door $\vert < {\bf\hat n}+ \vert \alpha > \vert^2$. We vinden

$$P( {\bf\hat z}, {\bf\hat n} + ) = \cos^2{ \theta \over 2 } .$$ (68)

Dit belangrijke resultaat zullen we nodig hebben tijdens de discussie van de ongelijkheid van Bell.