Impulsmoment van een Systeem

De operatoren ${\bf J}$ voor impulsmoment zijn gedefinieerd als de drie Hermitische operatoren ${\bf J_x}$, ${\bf J_y}$ en ${\bf J_z}$ die aan de commutatieregels

$$\left[ {\bf J_x}, {\bf J_y} \right] = i\hbar {\bf J_z}, ~~~{etc.}$$ (39)

voldoen. Alle eigenschappen van impulsmoment van een systeem volgen direct uit deze commutatierelaties en we hoeven bij de operatoren ${\bf J}$ niet direct aan de differentiaal operatoren te denken.

Als ${\bf J^2}$ gedefinieerd is door

$${\bf J^2} = {\bf J_x}^2 + {\bf J_y}^2 + {\bf J_z}^2 ,$$ (40)

dan kan met behulp van relatie (39) bewezen worden dat geldt

$$\left[ {\bf J_j}, {\bf J}^2 \right] = 0, ~~~j=x,~y, ~z.$$ (41)

Omdat de componenten van ${\bf J}$ niet met elkaar commuteren, kan slechts één ervan simultaan met ${\bf J^2}$ worden gespecificeerd. Hiervoor kiezen we conventioneel ${\bf J_z}$. Teneinde de simultane eigentoestanden van ${\bf J^2}$ en ${\bf J_z}$ te bepalen, dienen we de eigenwaardenvergelijkingen,

$$\begin{array}{ll} {\bf J^2} \vert J,M > & = \hbar^2 J(J+1) \... ... {\bf J_z} \vert J,M > & = \hbar M \vert J,M>, \\ \end{array}$$ (42)

op te lossen, waarbij $\vert J,M >$ de gezamelijke eigentoestand van ${\bf J^2}$ en ${\bf J_z}$ is met eigenwaarden $\hbar^2 J(J+1)$ en $\hbar M$. Men noemt $J$ en $M$ het impulsmoment en magnetisch quantumgetal, respectievelijk.

Men vindt de volgende belangrijke resultaten

• De eigenwaarden van ${\bf J^2}$ zijn van de vorm $\hbar^2 J(J+1)$, waarbij $J$ de waarden
  

  $$J=0,{1 \over 2},1, {3 \over 2}, 2, ...$$ (43)

  
  
  aanneemt.
• Met elke eigenwaarde van ${\bf J^2}$, dus met een van de waarden voor $J$, correspondeert voor ${\bf J_z}$ de eigenwaarde $\hbar M$, waarbij $M$ één van $2J+1$ waarden
  

  $$M=J, J-1, ..., -J$$ (44)

  
  
  aanneemt.

Eigentoestanden die behoren bij verschillende eigenwaarden van een observabele zijn orthogonaal. We zullen ook aannemen dat deze toestanden genormeerd zijn, waarbij geldt dat

$$<J^\prime, M^\prime \vert J, M > = \delta_{JJ^\prime}\delta_{MM^\prime}.$$ (45)

We hebben in hoofdstuk 5 gezien dat het quantumgetal van baanimpulsmoment, $l$, enkel integerwaarden kan aannemen, $l=0,~1,~2,~...$, terwijl we nu ontdekken dat $J$ ook halftallige waarden kan aannemen. We zullen zien dat deze halftallige waarden gerelateerd zijn aan de spin van deeltjes. Verder is het niet zo dat alle waarden van $J$ optreden voor een bepaald systeem, maar voor elke waarde van $J$ die optreedt, zijn er altijd $2J+1$ waarden voor $J_z$. Als er geen voorkeursrichting in de ruimte is, omdat er bijvoorbeeld geen magnetisch veld aanstaat, dan zijn deze $2J+1$ waarden ontaard (ze hebben dezelfde energie).