Dirac Notatie

In de notatie die is ingevoerd door Dirac schrijven we in plaats van de golffuncties $\psi_a$, $\psi_b$, ... de toestanden $\vert \psi_a >$, $\vert \psi_b >$, ... of zelfs $\vert a >$, $\vert b >$, ... waarbij $a$, $b$, ...de toestanden labelen waarvan de golffuncties $\psi_a$, $\psi_b$, ... zijn. Het symbool $\vert >$ werd door Dirac een ket genoemd, terwijl de bra $< \vert$ de complex geconjugeerde toestand voorstelt. In deze notatie kan het scalaire product van twee toestanden $\vert a >$ en $\vert b >$ geschreven worden als

$$< b \vert a > = < \psi_b \vert \psi_a > = \int \psi_b^* ({\bf r} ) \psi_a ({\bf r}) d{\bf r}.$$ (22)

Uit deze definitie kunnen de volgende eigenschappen van het scalaire product worden afgeleid.

• 
  

  $$< b \vert a >^* = < a \vert b >.$$ (23)

  
  

• Het scalaire product van elke ket $\vert d>$ met
  

  $$\vert c > = c_1 \vert a > + c_2 \vert b >,$$ (24)

  
  
  waarbij $c_1$ en $c_2$ complexe getallen zijn, wordt gegeven door
  

  $$<d \vert c > = c_1 <d \vert a > + c_2 <d \vert b >.$$ (25)

  
  
  Men verkrijgt $<c \vert d >$ hieruit door complexe conjugatie en met behulp van vergelijking (23) en vindt
  

  $$<c \vert d > = c_1^* <a \vert d > + c_2^* <b \vert d >.$$ (26)

  
  

• Er geldt dat
  

  $$< a \vert a > ~~> 0$$ (27)

  
  
  voor alle golffuncties $\psi_a({\bf r})$.

Een ket $\vert a >$ is genormeerd als $< a \vert a > =1$ en twee kets $\vert a >$ en $\vert b >$ zij orthogonaal als

$$<a \vert b > = < b \vert a > = 0.$$ (28)

Als $\xi_1 ({\bf r})$, $\xi_1 ({\bf r})$, ... een complete set orthonormale golffuncties is, dan geldt

$$< \xi_m \vert \xi_n > = \delta_{mn}$$ (29)

en de expansie van een willekeurige golffunctie $\psi_a({\bf r})$ in termen van de complete set $\xi_1 ({\bf r})$, $\xi_1 ({\bf r})$, ... heeft in Dirac notatie de vorm

$$\vert a > = \sum_{n} c_a(n) \vert \xi_n > .$$ (30)

Als we het scalair product hiervan nemen met $\vert \xi_m >$, dan verkrijgen we de expansiecoëfficiënt

$$c_a(m) = < \xi_m \vert a > .$$ (31)

en hiermee kunnen we vergelijking (30) schrijven als

$$\vert a > = \sum_{n} \vert \xi_n > < \xi_n \vert a > .$$ (32)

In een meer eenvoudige notatie vinden we voor vergelijking (32)

$$\vert a > = \sum_{n} \vert n > < n \vert a > .$$ (33)

We zien dat de operator $\sum_{n} \vert n > < n \vert = 1$ voor een complete set.

In Dirac notatie verandert een operator ${\bf A}$ een toestand $\vert \psi >$ in een toestand $\vert \chi >$ die we ook kunnen labelen als $\vert {\bf A} \chi >$. We schrijven

$$\vert \chi > = \vert {\bf A} \psi > = {\bf A} \vert \psi >.$$ (34)

Als we het scalair product nemen van vergelijking (34) met een willekeurige ket $\vert \phi >$, vinden we

$$< \phi \vert \chi > = < \phi \vert {\bf A} \psi > = < \phi \vert {\bf A} \vert \psi >.$$ (35)

Uit vergelijkingen (23) en (35) volgt dat

$$< \phi \vert {\bf A} \vert \psi >^* = < \phi \vert {\bf A} \psi >^* = < {\bf A} \psi \vert \phi >$$ (36)

We noemen $< \phi \vert {\bf A} \vert \psi >$ het matrixelement van de operator ${\bf A}$ tussen de toestanden $\vert \phi >$ en $\vert \psi >$. Voor een Hermitische operator geldt in analogie met vergelijking (3) in Dirac notatie dat voor willekeurige toestanden $\vert \phi >$ en $\vert \psi >$ moet gelden dat

$$< \phi \vert {\bf A} \psi > = < {\bf A} \phi \vert \psi >$$ (37)

Met behulp van vergelijkingen (35) en (36) kan dit geschreven worden als

$$< \phi \vert {\bf A} \vert \psi > = < \psi \vert {\bf A} \vert \phi >^*.$$ (38)