Mathematische Basis van de Quantummechanica

De verwachtingswaarde van de observabele $A$ voor een systeem beschreven door toestand $\psi$ wordt gegeven door

$$< A > = \int \psi^* {\bf A} \psi d{\bf r} .$$ (1)

Deze verwachtingswaarden zijn reële grootheden (zoals plaats en energie) en er dient dus te gelden dat

$$\int \psi^* {\bf A} \psi d{\bf r} = \int \psi ({\bf A} \psi)^* d{\bf r} = \int ({\bf A} \psi)^* \psi d{\bf r} .$$ (2)

Een operator die voldoet aan bovenstaande condities wordt een Hermitische operator genoemd en we concluderen dat observabelen dienen overeen te komen met Hermitsche operatoren.

De conditie gegeven door vergelijking (2) voor de Hermiticiteit van een operator is equivalent met de conditie dat voor twee willekeurige toestanden $\psi_1$ en $\psi_2$ geldt dat

$$\int \psi_1^* {\bf A} \psi_2 d{\bf r} = \int ({\bf A} \psi_1)^* \psi_2 d{\bf r} .$$ (3)

Teneinde het bovenstaande te bewijzen beschouwen we de toestand

$$\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2,$$ (4)

waarbij $c_1$ en $c_2$ willekeurige complexe getallen zijn. Als we deze toestand invullen in vergelijking (2), dan vinden we

$$\sum_{m,n=1}^2 c_m^* c_n \left[ \int \psi_m^* {\bf A} \psi_n d{\bf r} - \int ({\bf A} \psi_m)^* \psi_n d{\bf r} \right] = 0$$ (5)

en dit geldt voor willekeurige $c_1$ en $c_2$. Hieruit volgt vergelijking (3) als we aannemen dat

$${\bf A} (c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2) = c_1 {\bf A} \psi_1 + c_2 {\bf A} \psi_2 .$$ (6)

We noemen een operator met deze eigenschap een lineaire operator.

Vervolgens vragen we ons af of er toestanden $\psi$ bestaan waarvoor het resultaat van metingen van de observabele $A$ uniek is, dus waarbij metingen van $A$ altijd tot dezelfde waarde leiden. In het algemeen weten we dat het uitvoeren van meerdere metingen aan identiek geprepareerde systemen in de toestand $\psi$ zullen leiden tot resultaten met een spreiding $\Delta {\bf A}$ rond de meest waarschijnlijke waarde $< A>$. Als een maat voor de spreiding nemen we de standaarddeviatie $\Delta {\bf A}$, gedefinieerd door

$$\begin{array}{ll} (\Delta {\bf A})^2 & = \int \psi^* ({\bf A... ...int \vert ( {\bf A} - < A> ) \psi \vert^2 d{\rm r}. \end{array}$$ (7)

Hieruit volgt dat $\Delta {\bf A} = 0$ als

$${\bf A} \psi = a \psi ,$$ (8)

waarbij $a$ een getal is waarvoor geldt dat

$$< A > = a.$$ (9)

Vergelijking (8) vertegenwoordigt een uitermate belangrijk resultaat. Het stelt dat een meting aan een systeem in een eigentoestand van de Hermitische operator toegevoegd aan de gemeten grootheid, als resultaat met zekerheid de bijbehorende eigenwaarde geeft.

Een fysische observable van een systeem correspondeert met een Hermitische operator in de theorie. Deze operator heeft een spectrum van eigenwaarden en eigenfuncties. We hebben

$${\bf A} \psi_n = a_n \psi_n .$$ (10)

Resultaten van metingen van de observable $A$ zullen corresponderen met eigenwaarden $a_n$ van deze operator. Na een meting wordt de toestand van het systeem beschreven door de bijbehorende eigenfunctie $\psi_n$ van deze operator.

De eigenfuncties van een Hermitische operator hebben de belangrijke eigenschap dat ze een orthonormaal stelsel vormen. Er geldt

$$\int \psi_m^* \psi_n d{\bf r} = \delta_{mn} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & m=n, \\ 0, & m \neq n. \\ \end{array}\right.$$ (11)

Een andere belangrijke eigenschap van Hermitische operatoren is dat de verzameling eigenfuncties, $\psi_1, ~\psi_2, ~..$, een complete set vormen. Dit betekent dat een willekeurige toestandsfunctie $\psi$ van het systeem geëxpandeerd kan worden in termen van de eigenfuncties van een willekeurige Hermitische operator als

$$\psi = \sum c_n \psi_n .$$ (12)

Indien we bovenstaande vergelijking vermenigvuldigen met $\psi_m^*$ en vervolgens integreren, waarbij we gebruikmaken van de orthonormaliteitsrelaties, dan verkrijgen we voor de expansiecoëfficienten

$$c_m = \int \psi_m^* \psi d{\bf r}.$$ (13)

Met behulp van het expansietheorema (vergelijking (12)), kunnen we de waarschijnlijkheidsverdeling afleiden voor de resultaten van metingen van $A$. De verwachtingswaarde van de observabele $A$ voor een systeem beschreven door toestand $\psi$ wordt gegeven door

$$< A > = \int \psi^* {\bf A} \psi d{\bf r} .$$ (14)

Indien we gebruik maken van het expansietheorema, $\psi^* = \sum_m c_m^* \psi_m^*$ en $\psi= \sum_n c_n \psi_n$, dan vinden we

$$<A> = \sum_m \sum_n c_m^* c_n \int \psi_m^* {\bf A} \psi_n d {\bf r} .$$ (15)

Vervolgens maken we gebruik van de eigenwaardenvergelijking ${\bf A} \psi_n = a_n \psi_n$ en vinden

$$<A> = \sum_m \sum_n c_m^* c_n \int a_n \psi_m^* \psi_n d {\bf r} .$$ (16)

Tenslotte gebruiken we de orthonormaliteitsrelaties $\psi_m^* \psi_n = \delta_{mn}$ en verkrijgen

$$<A> = \sum_n \vert c_n \vert^2 a_n .\\$$ (17)

Hieruit concluderen we dat voor een systeem in toestand $\psi$ een meting van de grootheid $A$ de waarde $a_n$ levert met een waarschijnlijkheid

$$P(a_n) = \vert c_n \vert^2 = \vert \int \psi_n^* \psi d{\bf r} \vert^2 .$$ (18)

Uit de normering van de toestandsfunctie volgt dat

$$\int \psi^* \psi d{\bf r} = 1,$$ (19)

en als we nu gebruik maken van het expansietheorema en de orthonormaliteits relaties, dan vinden we

$$\sum_n \vert c_n \vert^2 = 1.$$ (20)

In dat geval geldt dus ook

$$\sum_n P(a_n) = 1,$$ (21)

waaruit we concluderen dat de enige mogelijke waarden die verkregen kunnen worden bij een meting van de observabele $A$, de eigenwaarden $a_1, ~a_2, ~...$ zijn.

We komen dus tot de opmerkelijke conclusie dat in welke toestand $\psi$ het systeem ook is, als resultaat van een meting kunnen enkel eigenwaarden zoals $a_1$ en $a_2$ gevonden worden en niet bijvoorbeeld een waarde tussen $a_1$ en $a_2$. Dit is volledig anders dan we op basis van de klassieke fysica zouden verwachten. Dit gedrag is volledig in overeenstemming met experimentele resultaten.