Wiskundig intermezzo

Tot nu toe hebben de discussie veelal beperkt tot één dimensie. Hier beschouwen we systemen in drie dimensies en om een en ander te verduidelijken gebruiken we vetgedrukte letters om operatoren aan te duiden en pijltjes om het vectorgedrag aan te geven. Verder hebben we grootheden enkel beschreven in een cartesisch coördinatensysteem. Echter, als het natuurkundig verschijnsel dat we willen beschrijven sferische symmetrie heeft, dan is het voordelig om een sferisch coördinatensysteem te gebruiken. Beide systemen worden getoond in figuur 33.

Figuur 33: De sferische coördinaten $r$, $\theta$ en $\phi$ van een punt $P$ en de bijbehorende cartesische coördinaten $x$, $y$ en $z$.

De coördinaten in beide stelsels staan met elkaar in verband volgens

$$\begin{array}{lll} x & = & r \sin{\theta}\cos{\phi}, \\ ... ...hi}, \\ & & \\ z & = & r \cos{\theta}. \\ \end{array}$$ (408)

Verder geldt de relatie

$$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$ (409)

In hoofdstuk 7.2.4 zijn we voor het eerst de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking in drie dimensies tegengekomen,

$${\bf H} \psi = \left( - {\hbar^2 \over 2m}\Delta + U({\bf r... ...psi ({\bf r}) + U({\bf r}) \psi ({\bf r}) = E\phi ({\bf r}).$$ (410)

De operator aan de linkerkant noemt men de Hamilton operator of Hamiltoniaan. De verschillende energietoestanden van het waterstofatoom zijn stationaire toestanden en dat zijn eigenfuncties van deze Hamiltoniaan, ${\bf H} \psi = E\psi$. De eerste term correspondeert met de operator voor de kinetische energie van een deeltje en is analoog aan de klassieke uitdrukking $E_{\rm kin} = {p^2 \over 2m}$. We schrijven,

$${\bf E_{\rm kin}} = {{\bf p}^2 \over 2m} = -{\hbar^2 \over ... ...^2 \over \partial z^2} \right) = -{\hbar^2 \over 2m} \Delta .$$ (411)

De operator $\Delta$ is de zogenaamde Laplace operator met als definitie $\Delta \equiv \nabla \cdot \nabla$. De tweede term correspondeert met de operator voor potentiële energie, ${\bf E_{\rm pot}}$.

In cartesische coördinaten heeft de impulsoperator in drie dimensies de vorm

$${\bf p} = {\hbar \over i} \left( {\partial \over \partial... ...\partial \over \partial z} \right) = {\hbar \over i} \nabla .$$ (412)

De operator die correspondeert met de volledige impulsvector van een deeltje is dus de gradiënt operator, vermenigvuldigd met ${\hbar \over i}$.

Teneinde de Laplace operator in sferische coördinaten te vinden, dienen we afgeleiden te nemen. Een elegante manier om deze uitdrukkingen af te leiden, is door gebruik te maken van matrixnotatie. Er geldt

$$\left( \begin{array}{c} {\partial \over \partial r} \\ ... ... \\ {\partial \over \partial z} \\ \end{array} \right) .$$ (413)

We kunnen deze matrix inverteren en verkrijgen op deze wijze uitdrukkingen voor de operatoren ${\partial \over \partial x}$, ${\partial \over \partial y}$ en ${\partial \over \partial z}$. Er geldt

$$\left( \begin{array}{c} {\partial \over \partial x} \\ ... ... {\partial \over \partial \phi} \\ \end{array} \right) .$$ (414)

We kunnen de juistheid van bovenstaande uitdrukking controleren door de twee matrices te vermenigvuldigen, waarbij het resultaat de eenheidsmatrix dient te zijn.

De Laplace operator is een ingrediënt van de Schrödingervergelijking en wordt in een cartesisch coördinatensysteem geschreven als

$$\Delta = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2} ,$$ (415)

terwijl in een sferisch coördinatensysteem geldt dat

$$\Delta = \Delta_r + \Delta_\theta + \Delta_\phi = {1 \over... ...er r^2 \sin^2{\theta}} {\partial^2 \over \partial \phi^2} .$$ (416)

We kunnen de eerste term, $\Delta_r$ van de Laplace operator in sferische coördinaten vinden door aan te nemen dat de golffunctie enkel een functie is van $r$ en dus geldt $\psi = \psi (r)$. Met behulp van de kettingregel vinden we dan

$${\partial \psi \over \partial x} = {\partial r \over \parti... ...er \partial r} = {x \over r}{\partial \psi \over \partial r},$$ (417)

terwijl voor de tweede-orde afgeleide geldt

$${\partial^2 \psi \over \partial x^2} = {\partial \over \par... ...} \left( {1 \over r}{\partial \psi \over \partial r} \right)$$ (418)

en dus

$${\partial^2 \psi \over \partial x^2} = {1 \over r}{\partia... ... \left( {1 \over r}{\partial \psi \over \partial r} \right).$$ (419)

Op dezelfde manier kunnen we de afgeleiden naar $y$ en $z$ uitrekenen en vinden

$${\partial^2 \psi \over \partial y^2} = {1 \over r}{\parti... ... \left( {1 \over r}{\partial \psi \over \partial r} \right) .$$ (420)

Als we de laatste drie vergelijkingen optellen, dan vinden we

$$\Delta_r \psi (r) = {3 \over r}{\partial \psi \over \parti... ... \left( {1 \over r}{\partial \psi \over \partial r} \right) .$$ (421)

We kunnen bovenstaande vergelijking omschrijven tot

$$\Delta_r \psi (r) = {3 \over r}{\partial \psi \over \parti... ...i \over \partial r} + {\partial^2 \psi \over \partial r^2} .$$ (422)

Hiermee hebben we de eerste term, $\Delta_r$ van de Laplace operator in sferische coördinaten gevonden. In de afleiding hebben we aangenomen dat de golffunctie enkel een functie is van $r$, dus geldt $\psi = \psi (r)$. Merk op dat

$$\Delta_r \psi (r) = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r... ...\over \partial r} + {\partial^2 \psi \over \partial r^2} .$$ (423)

De tweede en derde term, respectievelijk $\Delta_\theta$ en $\Delta_\phi$, in de uitdrukking voor de Laplace operator in sferische coördinaten kunnen we vinden door eerst $\psi = \psi (\theta )$ en vervolgens $\psi = \psi (\phi )$ aan te nemen. Het resultaat is

$$\Delta = \Delta_r + \Delta_\theta + \Delta_\phi = {1 \over... ...er r^2 \sin^2{\theta}} {\partial^2 \over \partial \phi^2} .$$ (424)