Geconjugeerde en Hermitische matrices

De (complex) geconjugeerde van een matrix ${\bf A} = (a_{ij})$ wordt aangeduid met ${\bf A}^*$ en wordt verkregen door de complex toegevoegde van elk element te nemen ${\bf A}^* = (a_{ij}^*)$.

Voorbeeld: Als ${\bf A} = \left( \begin{array}{rr} 1+2i & i \\ 3 & 2-3i \\ \end{array} \right)$, dan is ${\bf A}^* = \left( \begin{array}{rr} 1-2i & -i \\ 3 & 2+3i \\ \end{array} \right)$.

Een matrix is reëel als alle elementen reëel zijn, ${\bf A}^* = {\bf A}$, en imaginair als alle elementen imaginair zijn, ${\bf A}^* = -{\bf A}$.

De Hermitisch geconjugeerde (of Hermitisch toegevoegde) van een matrix ${\bf A} = (a_{ij})$ wordt aangeduid met ${\bf A}^\dagger$ en wordt verkregen door transponeren en complex conjugeren, ${\bf A}^\dagger = (a_{ji}^*)$.

Met deze notatie kunnen we het inproduct van twee vectoren, ten opzichte van een orthogonale basis, schrijven als

$$< \alpha \vert \beta > = {\bf a}^\dagger {\bf b}.$$ (296)

Evenzo als bij een getransponeerde matrix, geldt voor de Hermitisch toegevoegde van een product dat

$$({\bf AB})^\dagger = {\bf B}^\dagger {\bf A}^\dagger .$$ (297)

Een vierkante matrix is Hermitisch als hij gelijk is aan zijn Hermitisch geconjugeerde, ${\bf A}^\dagger = {\bf A}$; als Hermitische conjugatie een minteken introduceert, dan wordt de matrix anti-Hermitisch genoemd.

Voorbeeld: De matrix ${\bf A} = \left( \begin{array}{rrr} i & 1-i & 2 \\ 1+i & 3 & i \\ 2 & -i & 0 \\ \end{array} \right)$ is Hermitisch.

We hebben gezien dat voor de Hermitisch geconjugeerde van een matrix geldt dat ${\bf A}^\dagger = {\bf A}^{\rm T *}$. De Hermitisch geconjugeerde van een lineaire transformatie, ${\bf A}^\dagger$ geeft, als hij wordt toegepast op het eerste lid van een inproduct, hetzelfde resultaat als wanneer ${\bf A}$ zou zijn toegepast op de tweede vector,

$$< A^\dagger \alpha \vert \beta > = <\alpha \vert A\beta >$$ (298)

voor alle vectoren $\vert \alpha >$ en $\vert \beta >$. Voor de duidelijkheid, $\vert A \beta >$ betekent $A \vert \beta >$ en $< A^\dagger \alpha \vert \beta >$ betekent het inproduct van de vector $A^\dagger \vert \alpha >$ met de vector $\vert \beta >$. Merk op dat

$$< \alpha \vert c \beta > = c <\alpha \vert \beta >,$$ (299)

maar

$$< c \alpha \vert \beta > = c^* <\alpha \vert \beta >$$ (300)

voor elke scalar $c$. Voor een lineaire transformatie kunnen we nu schrijven

$$< \alpha \vert A \beta > = {\bf a}^\dagger {\bf Ab} = ({\... ... {\bf a})^\dagger {\bf b} = < A^\dagger \alpha \vert \beta >.$$ (301)

Als de matrix Hermitisch is, ${\bf T} = {\bf T}^\dagger$, dan kunnen we het bovenstaande schrijven als

$$< \alpha \vert T \beta > = < T \alpha \vert \beta > = < \alpha \vert T \vert \beta >.$$ (302)

Hermitische transformaties spelen een fundamentele rol in de quantummechanica. De eigenvectoren en eigenwaarden van een Hermitische transformatie bezitten drie cruciale eigenschappen.

1. De eigenwaarden van een Hermitische transformatie zijn reëel.

   
   Bewijs: Stel dat $\lambda$ een eigenwaarde van $T$ is, $T \vert \alpha > = \lambda \vert \alpha >$, met $\vert \alpha > \neq \vert 0 >$. Dan geldt
   

   $$< \alpha \vert T \alpha > = < \alpha \vert \lambda \alpha > = \lambda < \alpha \vert \alpha >.$$ (303)

   
   
   Als $T$ Hermitisch is, dan geldt ook
   

   $$< \alpha \vert T \alpha > = < T \alpha \vert \alpha > = < ... ...da \alpha \vert \alpha > = \lambda^* < \alpha \vert \alpha >.$$ (304)

   
   
   Omdat $< \alpha \vert \alpha > \neq 0$, geldt $\lambda = \lambda^*$ en is $\lambda$ dus reëel.
2. De eigenvectoren van een Hermitische transformatie die horen bij aparte eigenwaarden zijn orthogonaal.

   
   Bewijs: Stel dat $T \vert \alpha > = \lambda \vert \alpha >$ en $T \vert \beta > = \mu \vert \beta >$, met $\lambda \neq \beta$. Dan geldt
   

   $$< \alpha \vert T \beta > = < \alpha \vert \mu \beta > = \mu < \alpha \vert \beta >,$$ (305)

   
   
   en als $T$ Hermitisch is, dan
   

   $$< \alpha \vert T \beta > = < T \alpha \vert \beta > = < \lambda \alpha \vert \beta > = \lambda^* < \alpha \vert \beta >.$$ (306)

   
   
   Maar $\lambda = \lambda^*$ (zie hierboven) en de aanname was dat $\lambda \neq \mu$. Dientengevolge is $< \alpha \vert \beta > = 0$.
3. De eigenvectoren van een Hermitische operator spannen de ruimte op.

   
   Opmerking: Wanneer alle $n$ wortels van de karakteristieke vergelijking verschillend zijn, dan hebben we $n$ onderling orthogonale eigenvectoren en kunnen deze vectoren vanzelfsprekend de ruimte opspannen. De zaak wordt ingewikkeld als de eigenwaarden ontaard zijn en dezelfde wortels optreden. We dienen dan lineaire combinaties te vormen en dienen vervolgens te bewijzen dat we hiermee ook lineair onafhankelijke eigenvectoren verkrijgen. Vervolgens kunnen we deze vectoren orthonormaliseren met de Gram-Schmidt procedure.