Geadjugeerde en inverse matrices

Definitie: De geadjugeerde matrix adj ${\bf A} = (\alpha_{ij}),(n \times n)$, van de matrix ${\bf A} = (a_{ij}, (n \times n)$, is de matrix, waarvan het algemene element gelijk is aan $\alpha_{ij} = \left( -1 \right)^{i+j} \vert {\bf A}_{ji} \vert$.

Definitie: Als ${\bf AB} = {\bf I}$, dan heet ${\bf B}$ een rechterinverse van ${\bf A}$ en ${\bf A}$ een linkerinverse van ${\bf B}$.

Voorbeeld: Omdat $\left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ \end{a... ...r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = {\bf I}$, is iedere matrix in het product de inverse van de ander.

Stelling 1: Als ${\bf A}$ een $(k \times n)$-matrix is, ${\bf AB} = {\bf I}_{k \times k}$ en ${\bf CA} = {\bf I}_{n \times n}$, dan ${\bf B} = {\bf C},(n \times k)$. Bewijs: ${\bf B} = {\bf I}_{n \times n}{\bf B} = ({\bf CA}){\bf B} = {\bf C}({\bf AB}) = {\bf C}{\bf I}_{k \times k} = {\bf C}$.

Stelling 2: Als ${\bf AB} = {\bf I}$ en ${\bf BA} = {\bf I}$, dan is ${\bf A}$ vierkant. Bewijs: Als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$, dan ${\bf B} = (b_{ij}),(n \times k)$, ${\bf AB} = {\bf I}, (k \times k)$, en ${\bf BA} - {\bf I}, (n \times n)$. De som van de diagonaalelementen van respectievelijk ${\bf AB}$ en ${\bf BA}$ is dan $k = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$ en $n = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k a_{ij}b_{ji}$, dus $n=k$.

Definitie: Als ${\bf AB} = {\bf BA} = {\bf I}$ dan heten ${\bf A}$ en ${\bf B}$ elkaars inverse matrix: ${\bf A} = {\bf B}^{-1}$ en ${\bf B} = {\bf A}^{-1}$. Een matrix die een inverse heeft heet regulier, terwijl een matrix die geen inverse heeft singulier heet. Iedere reguliere matrix is vierkant. Als ${\bf A}$ regulier is dan heeft ${\bf Ax} = {\bf b}$ juist één oplossing, namelijk ${\bf x} = {\bf A}^{-1}{\bf b}$.

Door gebruik te maken van de definities van de determinant, kan men laten zien dat

$${\bf A}({\rm adj} {\bf A}) = ({\rm adj} {\bf A}){\bf A} = ({\rm det} {\bf A}){\bf I},$$ (241)

dus als det ${\bf A} \neq 0$ en ${\bf B} = {{\rm adj} {\bf A} \over {\rm det} {\bf A}}$, dan ${\bf AB} = {\bf BA} = {\bf I}$. We vinden dus dat als det ${\bf A} \neq 0$, dan is ${\bf A}$ regulier en ${\bf A}^{-1} = {{\rm adj} {\bf A} \over {\rm det} {\bf A}}$.

Een matrix is dan en slechts dan regulier als zijn determinant ongelijk is aan nul. Een vierkante matrix is dan en slechts dan singulier als zijn determinant gelijk is aan nul.

Voorbeeld: Als ${\bf A} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ -3 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & -3 \\ \end{array} \right)$, dan

$$\vert {\bf A} \vert = \left\vert \begin{array}{rrr} 1 & -... ...}{rr} -3 & 1 \\ 5 & 4 \\ \end{array} \right\vert = -81,$$ (242)

terwijl

$$\vert {\bf A}_{11} \vert = \left\vert \begin{array}{rr} 1... ...}{rr} -3 & 1 \\ 5 & 4 \\ \end{array} \right\vert = -17,$$ (243)

$$\vert {\bf A}_{21} \vert = \left\vert \begin{array}{rr} -... ...y}{rr} 1 & -2 \\ 5 & 4 \\ \end{array} \right\vert = 14,$$ (244)

$$\vert {\bf A}_{31} \vert = \left\vert \begin{array}{rr} -... ...}{rr} 1 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{array} \right\vert = -5,$$ (245)

zodat

$${\rm adj} {\bf A} = \left( \begin{array}{rrr} -11 & 10 & ... ...\ -1 & 23 & 14 \\ 17 & 14 & 5 \\ \end{array} \right) .$$ (246)