Product van matrices

Definitie: Het product ${\bf AB} = {\bf C}$ van de matrix ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times m)$ met de matrix ${\bf B} = (b_{ij}),(m \times n)$, is de matrix ${\bf C} = (c_{ij}),(k \times n)$, waarvan

$$c_{ij} = \sum_{h=1}^m a_{ih}b_{hj}, (i=1,..,k;j=1,..,n).$$ (237)

Het element $c_{ij}$ van ${\bf C}$ is dus gelijk aan het inwendig product van de $i^e$ rijvector van ${\bf A}$ met de $j^e$ kolomvector van ${\bf B}$.

Voorbeeld: Als ${\bf A} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \\ \end{array} \right)$ en ${\bf B} = \left( \begin{array}{rr} 3 & -4 \\ 1 & 5 \\ -2 & 2 \\ \end{array} \right)$, dan

$${\bf A}{\bf B} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 ... ...in{array}{rr} 3 & 8 \\ 8 & -12 \\ \end{array} \right) .$$ (238)

Opmerkingen

1. De vermenigvuldiging van een matrix met een kolomvector is een bijzonder geval van deze matrixvermenigvuldiging: een kolomvector is immers een matrix van de orde $m \times 1$.
2. Het product ${\bf AB}$ bestaat slechts dan als het aantal kolommen van ${\bf A}$ gelijk is aan het aantal rijen van ${\bf B}$.

Matrix vermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, ${\bf AB} \neq {\bf BA}$. Het verschil tussen deze twee volgordes noemen we de commutator,

$$[ {\bf A}, {\bf B} ]\equiv {\bf AB} - {\bf BA} .$$ (239)

Tenslotte merken we op dat matrixvermenigvuldiging wel associatief is ( $({\bf AB}){\bf C} = {\bf A}({\bf BC}) = {\bf ABC}$) en distributief ( $({\bf A} + {\bf B}){\bf C} = {\bf AC} + {\bf BC}$ en ${\bf A}({\bf B} + {\bf C}) = {\bf AB} + {\bf AC}$).