Determinant van een matrix

De determinant van de matrix ${\bf A} = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)$ is het getal

$$\vert {\bf A} \vert = {\rm det} {\bf A} = \left\vert \beg... ...c} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right\vert = ad - bc.$$ (228)

De ondermatrix ${\bf A}_{ij}$ van de matrix ${\bf A}$ is de matrix die ontstaat als uit ${\bf A}$ de $i^{\rm de}$ rij en de $j^{\rm de}$ kolom weggelaten worden.

Voorbeeld: Als ${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 9 & 2 \\ \end{array} \right)$, dan is ${\bf A}_{21} = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 9 & 2 \\ \end{array} \right)$.

De determinant van de vierkante matrix ${\bf A}, (n \times n)$ is het getal

$${\rm det} {\rm A} = \vert {\bf A} \vert = \sum_{j=1}^n \le... ...)^{i+j} a_{ij} \vert {\bf A}_{ij} \vert , (i=1, \ldots , n),$$ (229)

en ook

$${\rm det} {\rm A} = \vert {\bf A} \vert = \sum_{i=1}^n \le... ...)^{i+j} a_{ij} \vert {\bf A}_{ij} \vert , (j=1, \ldots , n).$$ (230)

Dit zijn de formules voor het ontwikkelen van det ${\bf A}$ volgens de $i^{\rm de}$ rij, respectievelijk volgens de $j^{\rm de}$ kolom.

Voorbeeld: We ontwikkelen volgens de eerste rij.

$$\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 5 \... ... \\ 2 & -3 \\ \end{array} \right\vert = 15 + 22 + 9 = 46.$$ (231)