Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking

We dienen nu oplossingen te vinden van de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking voor een deeltje met energie $E$ dat zich bevindt in een statische potentiaal $V(x)$. De golfvergelijking kan geschreven worden als

$$-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V(x) \psi = E \psi ,$$ (160)

waarbij $\psi$ de golffuncties zijn en $E$ de bijbehorende waarden van de energie. Wiskundig worden er enkele eisen gesteld aan de golffuncties: zowel $\psi$ en ${d\psi \over dx}$ moeten eindig, eenduidig en continu zijn. Uiteraard is dit ook noodzakelijk om onze waarschijnlijkheidsinterpretatie van de golffunctie overeind te houden. We verwachten dat indien $E<V$ we te maken hebben met quantisatie van energie, terwijl voor $E>V$ we een continu energiespectrum verkrijgen. We zullen de procedure van het bepalen van de golffuncties en energieën demonstreren aan enkele één-dimensionale potentialen.