Scheiden van variabelen

In het vervolg van dit hoofdstuk zullen we trachten enkele oplossingen te vinden van de Schrödingervergelijking. We beperken de discussie tot één-dimensionale gevallen. Allereerst passen we de techniek van het scheiden van variabelen toe, teneinde een oplossing te vinden voor het tijdafhankelijke deel van de golffunctie. We stellen dat de volledige toestandsfunctie beschreven wordt door $\Psi (x,t)$, die voldoet aan

$$-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \Psi (x,t) \over \partial x^... ... \Psi (x,t) = i\hbar {\partial \Psi (x,t) \over \partial t}.$$ (152)

We beschouwen in het vervolg een statische potentiaal $V = V(x)$ en schrijven de toestandsfunctie als een product van twee factoren

$$\Psi (x,t) = \psi (x) \phi (t) .$$ (153)

Invullen in de Schrödingervergelijking levert

$$-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi \over \partial x^2} \ph... ...x) \psi \phi = i\hbar {\partial \phi \over \partial t} \psi.$$ (154)

Delen door het product $\psi \phi$ levert de vergelijking

$${1 \over \psi} \left[ -{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi \... ...ht] = i\hbar {1 \over \phi} {\partial \phi \over \partial t}.$$ (155)

De linkerzijde van bovenstaande uitdrukking hangt enkel af van $x$, terwijl de rechterzijde uitsluitend afhangt van $t$. De gelijkheid dient te gelden voor elke $x$ en $t$ en hieruit kunnen we concluderen dat

$${1 \over \psi} \left[ -{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi \... ...t} = i\hbar {1 \over \phi} {\partial \phi \over \partial t},$$ (156)

waarbij $C$ de zogenaamde scheidingsconstante is. We zien dat de tijdafhankelijke Schrödingerverlijking, een tweede-orde partiele differentiaalvergelijking, opbreekt in twee gewone differentiaalvergelijkingen.

De oplossing van het tijdafhankelijke deel kan eenvoudig verkregen worden. We vinden de eerste-orde differentiaalvergelijking

$${\partial \phi \over \partial t} = -{iC \over \hbar} \phi .$$ (157)

We proberen als oplossing de functie $\phi = e^{\alpha t}$ met als afgeleide

$${\partial \phi \over \partial t} = \alpha e^{\alpha t} = \alpha \phi .$$ (158)

Invullen levert

$$\alpha \phi = - {iC \over \hbar} \phi  \rightarrow   \alpha = -{iC \over \hbar}$$ (159)

en dus geldt $\phi (t) = e^{-iCt/ \hbar}$. Het tijdafhankelijke deel van onze golffuncties is $e^{-i\omega t}$ met $\omega = 2\pi \nu$. Dus geldt $\nu = C/ h$ en vinden we voor de scheidingsconstante $C = E$. Het tijdafhankelijke deel van de oplossing is dus

$\phi (t) = e^{-iEt/ \hbar}$ .