Compton effect

In het Compton effect worden $X$-ray fotonen (zogenaamde Röntgenstralen) over een hoek $\phi$ verstrooid aan vrije elektronen. Hierdoor zal de golflengte van de fotonen toenemen met het bedrag $\Delta \lambda$. Deze Compton verschuiving wordt gegeven door

$$\Delta \lambda = {h \over mc} (1-\cos{\phi}).$$ (83)

Deze vergelijking volgt uit de wet van behoud van energie en impuls als we het verstrooiingsproces beschrijven als een billiardballen-achtige botsing tussen een foton en een vrij elektron. Fig. 14 toont de data.

Figuur 14: Meetresultaten van Compton voor vier waarden van de verstrooiingshoek $\phi$. Merk op dat de Compton verschuiving $\Delta \lambda$ toeneemt met toenemende verstrooiingshoek.

We kunnen de uitdrukking voor $\Delta \lambda$ afleiden door energie- en impulsbehoud te combineren. We beschouwen Compton verstrooiing als een elastische botsing; zie Fig. 15.

Figuur 15: Compton verstrooiing van een foton aan een elektron kan worden beschouwd als een elastische botsing.

Voor energiebehoud geldt

$$h\nu = h\nu^\prime + T_e,$$ (84)

waarbij $T_e$ de kinetische energie van het over een hoek $\theta$ teruggestoten elektron voorstelt. Behoud van impuls geeft

$${h \nu \over c} = {h \nu^\prime \over c}\cos{\phi} + p\cos{\theta}        x{ \rm component}$$ (85)

en

$${h \nu \over c}\sin{\phi} = p\sin{\theta}        y{ \rm component}$$ (86)

met $p$ de impuls van het verstrooide elektron. Vervolgens kwadrateren we beide vergelijkingen.

$$\left( {h \nu \over c} -{h \nu^\prime \over c} \cos{\phi} \right)^2 = p^2 \cos^2{\theta}$$ (87)

en

$$\left( {h \nu^\prime \over c} \right)^2 \sin^2{\phi} = p^2\sin^2{\theta}.$$ (88)

We tellen nu beide vergelijkingen op en vinden

$$\left( {h \nu \over c} \right)^2 - \left( {2h \nu h \nu^\p... ...^\prime \over c} \right)^2 \cos^2{\phi} = p^2 \cos^2{\theta}$$ (89)

en

$$\left( {h \nu \over c} \right)^2 \sin^2{\phi} = p^2\sin^2{\theta}.$$ (90)

Omdat $\sin^2{\phi}+\cos^2{\phi} = 1 = \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}$ vinden we

$$\left( {h \nu \over c} \right)^2 - \left( {2h \nu h \nu^\p... ...cos{\phi} + \left( {h \nu^\prime \over c} \right)^2 = p^2.$$ (91)

Voor het elektron hebben we $E^2 = p^2c^2+(mc^2)^2$ en als $T_e$ de kinetische energie is, dan geldt

$$(T_e+mc^2)^2=c^2p^2+(mc^2)^2 \rightarrow T_e^2 + 2T_emc^2 = c^2p^2$$ (92)

of

$${T_e^2 \over c^2} + 2T_em = p^2.$$ (93)

Voor $T_e$ gebruiken we vergelijking (87) en voor $p^2$ vergelijking (94) en vinden

$$\left( {h\nu \over c} - {h\nu^\prime \over c} \right)^2 + ... ...over c}\right) \left( {h\nu^\prime \over c} \right)\cos{\phi}$$ (94)

en

$$mc \left( {h\nu \over c} - {h\nu^\prime \over c} \right) = {h\nu \over c} {h\nu^\prime \over c} (1-\cos{\phi})$$ (95)

en dus

$${1 \over h\nu^\prime / c} - {1 \over h\nu / c} = {1 \over mc} (1-\cos{\phi})$$ (96)

Er geldt $\nu = {c \over \lambda}$ en ${c \over h\nu} = {c\lambda \over hc}={\lambda \over h}$. We vermenigvuldigen met $h$ en vinden

$$\Delta \lambda = \lambda^\prime - \lambda = {h \over mc} ( 1 - \cos{\phi}),$$ (97)

waarbij ${h \over mc} = 0.0243 \times 10^{-10}$ m de zogenaamde Compton golflengte is. De relatief eenvoudige aanname dat Compton verstrooiing een elastische botsing is tussen een inkomend foton en een bijna vrij atomair elektron, verklaart de experimentele observatie van een toename in de golflengte, die onafhankelijk is van de energie van het inkomend foton en de aard van het materiaal. Met dit model kunnen we echter niet de relatieve waarschijnlijkheid van Compton verstrooiing uitrekenen als functie van de inkomende foton energie en de hoeken van het verstrooide elektron en foton. Daartoe zouden we quantumveldentheorie dienen toe te passen.

Merk op dat zowel in de vergelijking van het fotoelektrisch effect als het Compton effect de constante van Planck voorkomt. Deze constante, alhoewel klein, is het bepalende kenmerk van de moderne quantummechanica. De studie van de golflengteverdeling van de straling die uitgezonden wordt door verwarmde zwarte lichamen, gaf als eerste aanleiding tot het concept van energie quantisatie, en hiermee werd de constante van Planck in de moderne fysica geïntroduceerd.