Consequenties van de meting van een observabele

We beschouwen de implicaties van het uitvoeren van een meting aan een systeem. Stel dat vóór de meting de toestand van een systeem gegeven wordt door $\psi$. We gaan nu een meting uitvoeren van de observabele $A$ die wordt voorgesteld door de Hermitische operator ${\bf A}$. Vóór de meting kunnen we volgens het expansietheorema de toestand van het systeem schrijven als

$$\psi = \sum_n c_n \psi_n,$$ (740)

waarbij de toestanden $\psi_n$ de eigentoestanden van de operator ${\bf A}$ zijn. Na het uitvoeren van de meting vinden we voor de waarde van de observabele de eigenwaarde $a_n$. Verder geldt dat na de meting de toestand van het systeem $\psi^\prime$ gegeven is door

$$\psi^\prime = \psi_n.$$ (741)

We voeren nu direct na de eerste meting, een tweede meting uit van dezelfde observabele. De tijdspanne tussen de twee metingen is zo kort dat de waarde van $A$ niet veranderd kan zijn door ofwel de tijdevolutie van het systeem volgens de Schrödingervergelijking of doordat het systeem op een of andere wijze verstoord is. In dat geval vinden we voor de waarde van $A$ met zekerheid weer $a_n$.

We komen nu tot het opmerkelijke resultaat dat ten gevolge van een meting de toestand van het systeem abrupt verandert van $\psi= \sum_n c_n \psi_n$ tot $\psi^\prime = \psi_n$. Men spreekt van de collapse of reductie van de golffunctie.

We zien dus dat er twee soorten tijdafhankelijkheden zijn in de quantummechanica. Voor een geisoleerd systeem wordt de tijdevolutie gegeven door de Schrödingervergelijking, die een eerste-orde differentiaalvergelijking in de tijd is. Dientengevolge zal de toestand van een systeem continue evolueren in overeenstemming met vergelijking (410). Een geheel andere, discontinue tijdafhankelijkheid treedt op tijdens een meting aan het systeem. Hierbij vindt er een abrupte verandering van de golffunctie plaats.

Het is niet eenvoudig om de continue tijdevolutie van de toestand van een systeem te verenigen met de abrupte verandering die optreedt wanneer er een meting wordt uitgevoerd. Een meting heeft te maken met de interactie van meetapparatuur met het systeem. Echter deze meetapparatuur is ook onderhevig aan de wetten van de quantummechanica. We zouden dan ook het gehele systeem kunnen beschouwen, dat bestaat uit ons origineel systeem plus de meetapparatuur. Dit nieuwe systeem wordt dan weer beschreven door een `Grand' Schrödingervergelijking en het is nu deze vergelijking die een continue tijdevolutie van het gehele systeem beschrijft. De vraag dringt zich dan op wat nu leidt tot de collapse van de toestand van dit gehele systeem? Komt dat doordat een waarnemer naar de meetapparatuur kijkt? Hierop bevestigend antwoorden helpt ook niet veel, want wat gebeurt er als we enkel een deel van de waarnemer beschouwen? Of een waarnemer die niet begrijpt wat hij ziet? Of wat gebeurd er wanneer een kat kijkt? Het is duidelijk dat wanneer er een meting aan een systeem wordt uitgevoerd, de toestand abrupt verandert (een collapse). Uiteraard is het resultaat van een meting dat de situatie van waarschijnlijkheid verandert in een van zekerheid. Het is echter voor het eerst in de natuurkunde dat een meting of observatie een beslissende invloed heeft op de loop der gebeurtenissen en niet gescheiden kan worden, zoals het geval was in de klassieke fysica, van het fysische beeld. Overigens is deze plotselinge verandering van de waarschijnlijkheidsverdeling veroorzaakt door een observatie, het prototype van een quantumsprong. Er zijn diverse pogingen ondernomen om de conceptuele moeilijkheden op te lossen, echter geen van deze pogingen is geheel bevredigend en algemeen geaccepteerd.