Sferisch harmonische functies

De sferisch harmonische functies $Y_l^m(\theta , \phi )$ zijn de gemeenschappelijke eigenfuncties van de operatoren ${\bf\vec L}^2$ en ${\bf L_z}$.

$$\begin{array}{ll} {\bf\vec L}^2 Y_l^m(\theta , \phi ) & = ... ... , \phi )     (m = -l, -l+1,..,0,l-1,l ). \\ \end{array}$$ (557)

Bovenstaande eigenwaardenvergelijkingen hebben slechts eindige en eenduidige eigenfuncties voor bepaalde eigenwaarden, $l(l+1)$ voor $l=0,1,2,...$. De eigenwaarde $l(l+1)$ is $(2l+1)$-voudig ontaard. Dit betekent dat er $(2l+1)$ lineair onafhankelijke functies bestaan die eigenfunctie zijn van de operator ${\bf\vec L}^2$ behorende bij de eigenwaarde $l(l+1) \hbar^2$. Deze eigenfuncties worden aangegeven door de sferisch harmonische functies $Y_l^m(\theta , \phi )$ met $(m = -l, -l+1,..,0,l-1,l )$. Anders geformuleerd kunnen we stellen dat de eigenwaardenvergelijkingen (564) de quantisatie van het impulsmoment uitdrukken: de kwadratische grootte van het impulsmoment ${\bf\vec L}^2$ van een deeltje kan slechts één van de discrete set van waarden

$$l=0,1,2,...,\infty$$ (558)

aannemen, terwijl de $z$-component van het impulsmoment ${\bf L_z}$ van een deeltje slechts één van de discrete waarden

$$m = -l, -l+1,..,0,l-1,l$$ (559)

kan aannemen. We noemen $l$ het quantumgetal voor het impulsmoment en $m$ het magnetische quantumgetal. Toestanden met $l=0,1,2,3$ worden $s$-, $p$-, $d$-, $f$-toestanden genoemd. Voor toestanden met $l=4,5,..$ gaat de aanduiding alfabetisch verder met $g$, $h$, enzovoort. Dit noemt men de spectroscopische notatie.

Figuur 40: De sferisch harmonische functies $Y_l^m(\theta , \phi )$ voor de laagste waarden van $l$ en $m$.

In Fig. 40 zijn de sferisch harmonische functies $Y_l^m(\theta , \phi )$ geplot voor de laagste waarden van $l$ en $m$. De figuur toont de functie $\vert Y_l^m(\theta , \phi ) \vert^2$ in sferische coördinaten. Voor een gegeven richting van $\theta$ en $\phi$ in het coördinatenstelsel, is de afstand van het oppervlak tot de oorsprong zijn gelijk aan het kwadraat van de sferisch harmonische functiewaarde.

Figuur 41: Polaire diagrammen van de ruimtelijke afhankelijkheid van de waarschijnlijkheidsdichtheden van het waterstofatoom voor $l=3$; $m=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$.

De waarschijnlijkheidsdichtheden van de diverse toestanden worden gegeven door $\vert Y_l^m(\theta ,\phi )\vert$ en de polaire verdelingen worden getoond in Fig. 41 voor het geval $l=3$; $m=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$.

Figuur 42: Enkele Legendre polynomen die de $\theta$ afhankelijkheid van de golffunctie in een sferisch coördinatenstelsel beschrijven.

De functies $Y_l^m(\theta , \phi )$ kunnen expliciet geschreven worden als

$$Y_l^m(\theta , \phi ) = N_l^m P_l^{\vert m \vert} (\cos{\theta}) e^{im\phi},$$ (560)

met $P_l^{\vert m \vert} (\cos {\theta})$ de geassocieerde Legendre functies en $N_l^m$ een set normalisatie constanten. Enkele van de Legendre polynomen die de $\theta$ afhankelijkheid van de golffunctie in een sferisch coördinatenstelsel beschrijven worden getoond in Fig. 42. De geassocieerde Legendre functie worden gedefinieerd door de vergelijking

$$P_l^{\vert m \vert} (\mu ) = {1 \over 2^ll!} (1-\mu^2 )^{\v... ... \vert} \over {\rm d}\mu^{l+ \vert m \vert}} [(\mu^2 -1)^l]$$ (561)

en de normalisatie constanten door

$$N_l^m = (-1)^{(m+\vert m \vert )/2} \left[ {2l+1 \over 4\pi... ...l-\vert m \vert )! \over (l+\vert m \vert )!} \right]^{1/2} .$$ (562)

De laagste-orde sferisch harmonische functies worden gegeven door

$$\begin{array}{ll} Y_0^0 (\theta , \phi ) & = \sqrt{1 \over... ...= \sqrt{5 \over 16\pi}(3\cos^2{\theta} -1) . \\ \end{array}$$ (563)

De sferisch harmonische functies $Y_l^m(\theta , \phi )$ zijn in de functieruimte van de kwadratisch integreerbare functies gedefinieerd op de eenheidsbol. De functies voldoen aan orthogonaliteit. Er geldt

$$< Y_l^m(\theta ,\phi )\vert Y_{l^\prime}^{m^\prime} (\theta... ...d}\theta {\rm d}\phi = \delta_{mm^\prime}\delta_{ll^\prime} .$$ (564)