Commutatierelaties voor het impulsmoment

We zullen nu de operatoren voor het impulsmoment van een deeltje nader beschouwen. We zien in vergelijking (538) dat de componenten zijn opgebouwd uit commuterende Hermitische operatoren. Daarom zal ${\bf\vec L}$ ook Hermitisch zijn. In het algemeen geldt voor een commutator van de vorm $[a+b,c+d]$ de relatie

$$\begin{array}{ll} [a+b,c+d] &=(a+b)(c+d) - (c+d)(a+b) ... ...d-db \\ & = [a,c] + [a,d] + [b,c] + [b,d] .\\ \end{array}$$ (550)

Hiermee vinden we de commutatierelaties voor de componenten van het impulsmoment. Bijvoorbeeld

$$\begin{array}{ll} [ {\bf L_x},{\bf L_y} ] & = [ {\bf y}{... ... y}{\bf p_x} ) \\ & = i\hbar {\bf L_z} . \\ \end{array}$$ (551)

Op analoge wijze ontdekken we dat ook de overige componenten niet commuteren. We vinden

$${\bf L_xL_y} - {\bf L_yL_x} = i\hbar{\bf L_z},    {\bf L_... ...\bf L_x},    {\bf L_zL_x} - {\bf L_xL_z} = i\hbar{\bf L_y},$$ (552)

We kunnen dit afkorten tot

$${\bf\vec L \times \vec L} = i\hbar{\bf\vec L},     {\rm of... ... als}     [{\bf L_i,L_j}] = i\hbar \epsilon_{ijk} {\bf L_k}.$$ (553)

Hierbij is $\epsilon_{ijk}$ de volledig antisymmetrische tensor in drie dimensies gegeven door

$$\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{array}{ll} +1 & {\rm als}... ... twee of meer indices gelijk zijn}. \\ \end{array} \right.$$ (554)

Dit betekent dat de componenten van het impulsmoment van een deeltje niet allemaal op dezelfde tijd meetbaar zijn.

Vervolgens beschouwen de commutatierelaties met het kwadraat van het impulsmoment.

$$\begin{array}{ll} [ {\bf L}^2,{\bf L_x} ] & = [ {\bf L... ...L_y} + i\hbar {\bf L_y}{\bf L_z} \\ & = 0. \\ \end{array}$$ (555)

Evenzo vinden we dat $[ {\bf L}^2,{\bf L_y} ] = [ {\bf L}^2,{\bf L_z} ] = 0$. De operator van het kwadraat van het impulsmoment van een deeltje commuteert met alle componenten van de operator van het impulsmoment. Er geldt

$$[{\bf L}^2,{\bf L_x}]= [{\bf L}^2,{\bf L_y}] = [{\bf L}^2,{\bf L_z}] = 0.$$ (556)

Omdat ${\bf L_x}$, ${\bf L_y}$ en ${\bf L_z}$ niet commuteren, kan slechts een van deze operatoren een gezamelijke basis met ${\bf L^2}$ hebben, en we kiezen hier ${\bf L_z}$ voor.