Operator voor impuls in de radiële richting

De Schrödingervergelijking kan geschreven worden als

$$\left( {\bf E_{\bf kin}} + {\bf V}(r) \right) \psi = \left( -{\hbar^2 \over 2m} \Delta + {\bf V}(r) \right) \psi = E \psi$$ (544)

en dus

$$\left( -{\hbar^2 \over 2m} \Delta_r + {1 \over 2m} {{\bf ... ...bf L}^2 \over r^2} \right) \psi + {\bf V}(r) \psi = E \psi .$$ (545)

Allereerst laten we zien dat met de definitie

$${\bf p_r} \equiv {\hbar \over i}{1 \over r}{\partial \over ... ...r i} \left( {\partial \over \partial r} + {1 \over r} \right)$$ (546)

voor de radiële impuls, we een uitdrukking voor de radiële Laplace operator, $\Delta_r$, krijgen die in overeenstemming is met de uitdrukking gegeven in vergelijking (430).

$$\begin{array}{ll} \Delta_r \psi & = \left( {1 \over r} +... ...partial^2 \over \partial r^2} \right) \psi . \\ \end{array}$$ (547)

Ook geldt dat $\Delta_r = {1 \over r}{\partial^2 \over \partial r^2} r$. Het bewijs gaat als volgt

$$\begin{array}{ll} \Delta_r \psi = {1 \over r}{\partial^2 \... ...\partial^2 \over \partial r^2} \right) \psi .\\ \end{array}$$ (548)

Tenslotte geldt ook $\Delta_r = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \right)$. Dit laatste bewijs gaat als volgt

$$\begin{array}{ll} \Delta_r \psi = {1 \over r^2}{\partial \... ...partial^2 \over \partial r^2} \right) \psi . \\ \end{array}$$ (549)