De getransponeerde van een matrix; symmetrische en alternerende matrices

Als ${\bf A} = (a_{ij})$ een $(k \times n)$-matrix is en ${\bf B} = (b_{ij})$ een $(n \times k)$-matrix, terwijl $b_{ij} = a_{ji}$ voor elke $i=1,..,n$ en elke $j=1, .., k$, dan heten ${\bf A}$ en ${\bf B}$ elkaars getransponeerde, ${\bf B} = {\bf A}^{\rm T}$ en ${\bf A} = {\bf B}^{\rm T}$.

Voorbeeld: De getransponeerde van $${\bf A} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array} \right)$$ is $${\bf A}^{\rm T} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \\ \end{array} \right)$$.

1. De getransponeerde van een vierkante matrix wordt dus verkregen door die matrix te `spiegelen ten opzichte van de hoofddiagonaal'.
2. De getransponeerde van een kolomvector is een rijvector en omgekeerd.

Stellingen:

1. $({\bf A}^{\rm T})^{\rm T} = {\bf A}$.
2. $({\bf A} + {\bf B})^{\rm T} = {\bf A}^{\rm T} + {\bf B}^{\rm T}$.
3. $({\bf AB})^{\rm T} = {\bf B}^{\rm T} {\bf A}^{\rm T}$.
4. Als ${\bf x}$ een kolomvector is dan is ${\bf x}^{\rm T}{\bf x} = \vert {\bf x} \vert^2$.

Definities: ${\bf A}$ heet een symmetrische matrix als ${\bf A} = {\bf A}^{\rm T}$.

${\bf A}$ heet een alternerende (anti-symmetrische of scheefsymmetrische) matrix als ${\bf A}^{\rm T} = - {\bf A}$.

Voorbeeld: De matrix $${\bf A} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & -5 & 6 \\ \end{array} \right)$$ is symmetrisch, terwijl de matrix anti-symmetrisch is.