Definitie: De matrix heet orthogonaal als , dus als .
Stelling 1: Een orthogonale matrix is een matrix waarvan
de rijvectoren zowel als de kolomvectoren een orthonormaal
stelsel vormen (dit wil zeggen dat elke twee onderling verschillende
rijvectoren, respectievelijk kolomvectoren, onderling
orthogonaal zijn, terwijl al die vectoren de norm 1 hebben.
Stelling 2: Als orthogonaal is, dan geldt voor
elke (van de juiste dimensie) dat
.
We concluderen dat de norm van een vector invariant is voor een transformatie waarvan de transformatiematrix orthogonaal is. Het omgekeerde van deze stelling geldt ook: als voor een lineaire afbeelding de norm invariant is, dan is de transformatiematrix orthogonaal.
Bewijs:
.
Voorbeeld: De lineaire transformatie
is orthogonaal. Het beeld van
is
en beide vectoren hebben lengte
.