Matrix als transformatie-operator

Als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$, dan definieert ${\bf Ax} = {\bf y}$ een afbeelding van ${\bf x}$ naar ${\mathbb{R}}_k$,

$${\bf A}: x( \in {\mathbb{R}}_n) \rightarrow {\bf Ax}(={\bf y} \in {\mathbb{R}}_k).$$ (447)

Deze afbeelding is blijkbaar een lineaire afbeelding, want

1. $\forall_{{\bf x},{\bf y} \in {\mathbb{R}}_n} [{\bf A}({\bf x} + {\bf y}) = {\bf Ax} + {\bf Ay} ]$ en
2. $\forall_{{\bf x} \in {\mathbb{R}}_n, p \in {\mathbb{C}}} [{\bf A}(p{\bf x}) = p {\bf Ax} ]$.

Stellingen:

1. Als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$, terwijl $\{ {\bf e}_1, .., {\bf e}_n \}$ de basis van ${\mathbb{R}}_n$ is, dan is ${\bf Ae}_i$ de $i^e$-kolomvector van ${\bf A}, (i=1,..,n)$.
2. Als $T$ een lineaire afbeelding is van ${\mathbb{R}}_n$ naar ${\mathbb{R}}_k$, dan bestaat er een matrix ${\bf A}, (k \times n)$, zodanig , dat voor elke ${\bf x} \in {\mathbb{R}}_n$ geldt, dat het beeld van ${\bf x}$ onder de transformatie $T$ (dus $T{\bf x}$) gelijk is aan het product ${\bf Ax}$.

   Deze matrix ${\bf A}$ is de matrix waarvan de $i^e$-kolomvector, $(i=1,..,n)$, het $T$-beeld van de $i^e$ basisvector ${\bf e}_i$ van ${\mathbb{R}}_n$ (dus $T{\bf e}_i$) is. Deze ${\bf A}$ heet de transformatiematrix van de afbeelding $T$.