Inwendig product, norm en orthogonaliteit van vectoren

Definitie: Een inwendig product binnen een vectorruimte $L$ is een afbeelding van $L \times L$ naar ${\mathbb{R}}$, waarvoor, als $({\bf a}, {\bf b}) \in {\mathbb{R}}$ het aan ${\bf a} \in L$ en ${\bf b} \in L$ toegevoegde getal is, geldt

1. $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L} [ ({\bf a},{\bf b}) = ({\bf b}, {\bf a}) ]$
2. $\forall_{{\bf a},{\bf b},{\bf c} \in L} [ ({\bf a},{\bf b} + {\bf c} ) = ({\bf a},{\bf b})+({\bf a}, {\bf c}) ]$
3. $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L, p \in {\mathbb{R}}} [ (p{\bf a},{\bf b}) = p({\bf a}, {\bf b}) ]$
4. $\forall_{{\bf a} \in L} [ ({\bf a},{\bf a}) \geq 0 ]; ({\bf a},{\bf0}) = 0$

Het getal ${\bf A} \cdot {\bf B} = AB \cos{\angle{({\bf A};{\bf B})}}$ zullen we `het' inwendig product in $V_3$ noemen. Met `het' inwendig product in ${\mathbb{R}}_n$ duiden we aan

$$({\bf a},{\bf b}) = (a_1, .., a_n) \left( \begin{array}{ccccc} ... ...\ . \\ . \\ . \\ b_n \\ \end{array} \right) = \sum_{i=1}^n a_i b_i .$$ (439)

Dit inwendig product noteren we dus door de eerste vector als rijvector en de tweede als kolomvector te schrijven.

Definitie: De norm $\vert {\bf a} \vert$ van de vector ${\bf a}$ is het getal $\sqrt{({\bf a},{\bf a})}$.

Definitie: De vectoren ${\bf a}$ en ${\bf b}$ zijn onderling orthogonaal dan en slechts dan als $({\bf a},{\bf b}) = 0$.