Lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie

Definitie: Een deelverzameling $S$ van een lineaire ruimte $L$ heet een onafhankelijke stelsel vectoren als $S \neq \{ {\bf0} \}$, terwijl geen enkel element van $S$ gelijk is aan een lineaire combinatie van andere elementen van $S$.

Stelling 1: Als ${\bf0} \in S$, dan is $S$ een afhankelijk stelsel.

Stelling 2: $S = \{ {\bf a}_1, .., {\bf a}_n \}$ is dan en slechts dan een onafhankelijk stelsel als uit $\sum_{i=1}^n c_i {\bf a}_i = {\bf0}$ volgt dat $c_i = 0$ voor alle $i=1,..,n$.

Definitie: $B$ heet een basis van de lineaire ruimte $L$ als

1. $B \subset L$,
2. $B$ een onafhankelijk stelsel is,
3. elk element van $L$ gelijk is aan een lineaire combinatie van elementen van $B$.

Als $B=\{ {\bf e}_1,..{\bf e}_n \}$ dan geldt

$$\forall_{{\bf a} \in L} \exists_{{\bf a}_1, .., {\bf a}_n \in {\mathbb{R}}} \left[ {\bf a} = \sum_{i=1}^n a_i {\bf e}_i \right] .$$ (438)

Deze getallen $a_1$ tot en met $a_n$ heten de kentallen van ${\bf a}$ ten opzichte van de basis $B$. We noemen $({\bf i},{\bf j},{\bf k})$ `de' basis van $R_3$ van de drietallige getalgrepen.

Stelling 3: Als de lineaire ruimte $L$ een basis heeft die uit $n$ elementen bestaat, dan bestaat elke basis van $L$ uit $n$ elementen.

Definitie: De dimensie van $L$ is het aantal elementen van de basis van $L$.