De extra traagheid van druk

We hebben gezien hoe SRT geïsoleerde lichamen beïnvloedt als ze sneller bewegen: klokken (lopen trager), afstanden (worden korter), versnelde deeltjes (hun energie neemt toe), etc. De SRT heeft echter ook gevolgen voor een verzameling deeltjes, een gas. Met name speelt de gasdruk een belangrijke rol in de traagheid van het gas. We zullen ontdekken dat hoe hoger de gasdruk, hoe moeilijker het is om het gas te versnellen (de traagheid neemt toe). Dit heeft belangrijke gevolgen voor de ART. Als we neutronensterren bestuderen zullen we ontdekken dat dit effect ervoor zorgt dat het neutronengas een groter gewicht heeft. Dit zal ertoe leiden dat de ster een grotere gasdruk krijgt, hetgeen ervoor zorgt dat het gewicht toeneemt, etc. Deze druk-terugkoppeling leidt er uiteindelijk toe dat het onmogelijk wordt voor de ster om zichzelf in stand te houden: de traagheid van de gasdruk leidt de samenstorting tot een zwart gat in.

De traagheid van de gasdruk is terug te leiden op de lorentzcontractie. We bekijken het effect enkel voor kleine snelheden, waar SRT correcties relatief klein zijn. We beschouwen een doos met volume $V$ die gevuld is met een uniform gas met massadichtheid $\rho$ en gasdruk $P$. Stel dat we een kleine kracht uitoefenen op de doos, waardoor we haar versnellen tot een snelheid $v$, die klein is ten opzichte van $c$. De vraag is nu: hoeveel energie hebben we moeten leveren om het gas een snelheid $v$ te geven? Ter vereenvoudiging spreken we enkel over het gas en niet over de doos (astronomische objecten als sterren zitten niet in een doos ...).

Als het gas een snelheid $v$ heeft, dan heeft het kinetische energie. Men zou dus kunnen verwachten dat de totale energie die we hebben moeten toevoegen aan de doos om het gas te versnellen gelijk is aan deze kinetische energie: ${1 \over 2} mv^2 = {1 \over 2} \rho V v^2$. Dit is echter niet het hele verhaal, omdat de lorentzcontractie de lengte van doos kleiner heeft gemaakt en daarmee het volume veranderd heeft. De doos kleiner maken, terwijl er een gas of vloeistof met druk $P$ in zit, betekent het verrichten van arbeid. Deze arbeid is gelijk aan $\vec F \cdot d\vec s = -P\Delta V$, met $\Delta V$ de volumeverandering. Het minteken is nodig omdat de volumeverandering ($\Delta V$)negatief is, terwijl de verrichte arbeid positief is. Deze extra energie vertegenwoordigt de extra traagheid van het gas: het is moeilijker om het gas te versnellen, omdat niet alleen arbeid verricht dient te worden om de bestaande energie te versnellen, maar ook om het gas te comprimeren, zoals de lorentzcontractie vereist.

De lengteverandering door de lorentzcontractie is gelijk aan

$$\Delta L = L \sqrt{1 - {v \over c}^2} - L \approx -{1 \over 2}{v^2 \over c^2}L.$$ (216)

De extra energie die nodig is, is gelijk aan ${1 \over 2}{v^2 \over c^2}PV$. Deze energie verdwijnt niet, maar gaat naar de interne energie van het gas (op welke wijze hangt af van het type gasmolecuul). Een deel van de energie wordt gebruikt om het gas te verwarmen (de random kinetische energie van de moleculen). De totale energie die nodig is om het gas te versnellen kunnen we schrijven als

$$E = {1 \over 2}mv^2 - P\Delta V = {1 \over 2}\rho Vv^2 +{1 \over 2}{v^2 \over c^2}PV ={1 \over 2} \left( \rho + {P \over c^2} \right) v^2 V.$$ (217)

We zien dat de energie die nodig is om het gas te versnellen evenredig is met de som $\rho + {P \over c^2}$. Dus voor een bepaalde uitgeoefende kracht zal de doos minder versnellen dan we zouden verwachten op basis van enkel haar massa, omdat een deel van de energie gaat naar de interne energie van het gas. We zien dus dat de traagheid groter is dan enkel haar rustmassa. We noemen de grootheid $\rho + {P \over c^2}$ de traagheid van de massadichtheid van het gas.