Eigenfuncties en eigenwaarden

Een operator heeft op een functie, net zoals een matrix dat heeft op een vector, in het algemeen twee acties: hij strekt de functie (verandert de lengte) en hij roteert de functie (verandert de richting). Voor deze rotatie zijn er bij oneindig veel dimensies buitengewoon veel mogelijkheden. Van belang zijn vooral die gevallen waarbij een rotatie achterwege blijft, waarbij de functie ${\bf Af}$ parallel is aan de functie ${\bf f}$,

$${\bf Af} = a{\bf f}.$$ (323)

Functies die door een gegeven operator niet geroteerd worden heten de eigenfuncties van die operator. De bijbehorende waarden van $a$ heten de eigenwaarden van de operator. Als er bij dezelfde eigenwaarde meerdere eigenfuncties horen, dan noemt men die eigenwaarden en eigenfuncties ontaard.

In de quantummechanica is een speciale klasse van operatoren van bijzonder belang: de Hermitische operatoren. Een Hermitisch operator voldoet aan de definitie

$$< f \vert A g > = < A f \vert g >,$$ (324)

voor alle functie ${\bf f}$ en ${\bf g}$. De eigenfuncties en eigenwaarden van Hermitische operatoren hebben een aantal belangrijke eigenschappen. De eigenwaarden van een Hermitische operator zijn reëel en de eigenvectoren die horen bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal. De derde eigenschap, compleetheid van de eigenvectoren, is in het algemeen slechts geldig in een eindig-dimensionale ruimte. In oneindig dimensionale ruimten hebben sommige Hermitische operatoren een complete verzameling eigenvectoren, sommige hebben een niet-complete verzameling, en sommige hebben helemaal geen eigenvectoren in die ruimte. In de quantum fysica is de eigenschap van compleetheid absoluut essentieel en de eigenfuncties van de meest voorkomende Hermitische operatoren hebben behalve hun orthogonaliteit deze belangrijke eigenschap van volledigheid: men kan elke willekeurige functie ontwikkelen in deze eigenfuncties, net zoals men functies kan Fourier-ontwikkelen naar de eveneens orthogonale functies $\sin{nx}$ en $\cos{nx}$. Op deze generalisatie van de Fourier-ontwikkeling berusten de meeste benaderingsmethoden die gebruikt worden in de quantummechanica. We zullen later zien hoe we hier mee omgaan.