Wiskundige beschrijving

Een fysische situatie die zich zonder vervorming voortplant langs de $x$-as wordt een golfbeweging genoemd en wordt beschreven door de uitdrukking

$$\xi (x,t) = f (x \pm vt).$$ (33)

Men noemt $v$ de fasesnelheid en als $s=vt$, waarin $t$ de tijd voorstelt, dan is de vervorming over een afstand $s$ naar links opgeschoven (zie Fig. 6). De grootheid $\xi (x,t)$ kan een verscheidenheid aan observabelen voorstellen, zoals de druk in een gas, transversale uitwijking van een snaar.

Figuur 6: Representatie van een fysische situatie die zich zonder vervorming voortplant langs de $x$-as.

Een bijzonder geval treedt op als $\xi (x,t)$ een sinusfunctie of harmonische functie is, zoals

$$\xi (x,t) =\xi_0 \sin{ k(x-vt) },$$ (34)

waarbij $k$ het golfgetal wordt genoemd. Als we $x$ vervangen door $x + {2\pi \over k}$ krijgen we voor $\xi (x,t)$ weer dezelfde waarde, namelijk

$$\xi (x + {2\pi \over k},t) =\xi_0 \sin{ k \left( x + {2\pi \over k}-vt \right) } = \xi (x,t) ,$$ (35)

met $\lambda = 2\pi /k$ de golflengte van de kromme. We kunnen vergelijking (34) ook schrijven als

$$\xi (x,t) = \xi_0 \sin {(kx - \omega t)},$$ (36)

waarin $\omega = kv = {2\pi v \over \lambda}$ de cirkelfrequentie van de golf voorstelt. Omdat $\omega \equiv 2\pi \nu$, met $\nu$ de frequentie, vinden we de belangrijke relatie

$$\lambda \nu = v$$ (37)

tussen golflengte, frequentie en fasesnelheid. Als $T$ de periode van de trilling in elk punt is, kunnen we vergelijking (34) ook schrijven als

$$\xi (x,t) = \xi_0 \sin {2\pi \left( {x \over \lambda} - {t \over T} \right) },$$ (38)

Men kan gemakkelijk nagaan dat de algemene uitdrukking voor een lopende golf geschreven kan worden als

$$\xi (x,t) = F ( t \pm {x \over v} ),$$ (39)

waarin het positieve teken beantwoordt aan een voortplanting in de negatieve $x$-richting en het minteken aan een voorplanting in positieve $x$-richting. Voor een harmonische golf kunnen we ook schrijven

$$\xi (x,t) = \xi_0 \sin { \omega ( t \pm {x \over v} ) } = \xi_0 \sin{( \omega t \pm kx )}.$$ (40)

Alternatief kunnen we schrijven

$$\xi (x,t) = \xi_0 \cos { \omega ( t \pm {x \over v} ) } = \xi_0 \cos{( \omega t \pm kx )}.$$ (41)

Gebruikmakend van de stelling van Euler, $e^{ix}= \cos{x} + i\sin{x}$, kunnen we een harmonische golf schrijven als superpositie van sin- en cos-functies en vinden dan

$$\xi (x,t) = \xi_0 e^{i \omega ( t \pm {x \over v} ) } = \xi_0 e^{i( \omega t \pm kx )}.$$ (42)

Tenslotte merken we op dat een harmonische golf in drie dimensies geschreven kan worden als

$$\xi (x,t) = \xi_0 e^{i( \omega t \pm {\bf k} \cdot {\bf x} )},$$ (43)

waarbij ${\bf k} = (k_x,k_y,k_z)$ en ${\bf x} = (x,y,z)$.