Determinant van een matrix

De determinant van de matrix $${\bf A} = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)$$ is het getal

$$\vert {\bf A} \vert = {\rm det} ~{\bf A} = \left\vert \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right\vert = ad - bc.$$ (443)

De ondermatrix ${\bf A}_{ij}$ van de matrix ${\bf A}$ is de matrix die ontstaat als uit ${\bf A}$ de $i^{\rm de}$ rij en de $j^{\rm de}$ kolom weggelaten worden.

Voorbeeld: Als , dan is .

De determinant van de vierkante matrix ${\bf A}, (n \times n)$ is het getal

$${\rm det}~{\rm A} = \vert {\bf A} \vert = \sum_{j=1}^n \left( -1 \right)^{i+j} a_{ij} \vert {\bf A}_{ij} \vert , (i=1, \ldots , n),$$ (444)

en ook

$${\rm det}~{\rm A} = \vert {\bf A} \vert = \sum_{i=1}^n \left( -1 \right)^{i+j} a_{ij} \vert {\bf A}_{ij} \vert , (j=1, \ldots , n).$$ (445)

Dit zijn de formules voor het ontwikkelen van det ${\bf A}$ volgens de $i^{\rm de}$ rij, respectievelijk volgens de $j^{\rm de}$ kolom.

Voorbeeld: We ontwikkelen volgens de eerste rij.

$$\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 5 \\ 2 ... ...array}{rr} -1 & 0 \\ 2 & -3 \\ \end{array} \right\vert = 15 + 22 + 9 = 46.$$ (446)