Ruimtetijddiagrammen

We gebruiken ruimtetijddiagrammen om gebeurtenissen in de vierdimensionale ruimtetijd te beschrijven. In een ruimtetijd diagram (ook wel minkowskidiagram genoemd) tonen we een ruimtelijk dimensie op de $x$-as en de tijd op de $y$-as. Een ruimtetijd diagram stelt typisch het coördinatenstelsel van een waarnemer voor. Deze waarnemer is dan zelf in rust in dit systeem en zijn wereldlijn correspondeert met de tijd-as. Typisch wordt verticaal niet $t$, maar $ct$ uitgezet, zodat de wereldlijn van een foton een rechte lijn wordt met een helling van 45$^\circ$.

We beginnen met het verhelderen van het verschil tussen de ruimtetijd van Galileo en die van de SRT.

Figuur 42: Links: in de klassieke mechanica heeft een gebeurtenis $A$ plaats op hetzelfde tijdstip. Rechts: in de SRT kennen verschillende waarnemers verschillende tijden toe aan gebeurtenis $A$.

In de linker figuur stelt de schuine lijn de tijd-as voor van een waarnemer die ten opzichte van het coördinatensysteem beweegt met snelheid $v$. Op tijdstip $x=x^\prime = t = t^\prime = 0$ vallen beide coördinatensystemen samen. De as van de bewegende waarnemer staat niet loodrecht op de $x$-as en de tijdschaal is uitgerekt. Beide waarnemers observeren gebeurtenis $A$ en kennen er dezelfde tijd aan toe, omdat de klassieke mechanica een absolute tijd $t=t^\prime$ voor gebeurtenissen kent. De plaats is verschillend omdat de bewegende waarnemer naar gebeurtenis $A$ toe beweegt. Deze grafische representatie noemen we een galileotransformatie.

Einstein ontdekte dat deze beschijving onjuist is. Het coördinatensysteem van een bewegende waarnemer dient getekend te worden zoals gedaan is in de rechter afbeelding in Fig. 42. Dit volgt direct uit de lorentztransformaties, zie vergelijking (194). Voor de hoek ${\alpha}$ geldt $\tan{\alpha} = {v \over c}$. Er bestaat geen absolute tijd meer en beide waarnemers kennen verschillende tijden toe aan gebeurtenis $A$.

Figuur 43: Ruimtetijddiagram voor een stilstaande waarnemer heeft assen $x$ en $ct$, terwijl het diagram voor een waarnemer die met snelheid $v$ ten opzichte van de eeste beweegt, de assen $x^\prime$ en $ct^\prime$ heeft. Voor de stilstaande waarnemer vinden gebeurtenissen $A$ en $B$ gelijktijdig plaats. Dat is niet zo voor de bewegende waarnemer.

Ook het verdwijnen van gelijktijdigheid kunnen we direct zijn in een ruimtetijd diagram, zie Fig. 43. Hiertoe beschouwen we twee waarnemers die relatief ten opzichte van elkaar bewegen met snelheid $v$. Het coördinatensysteem van de bewegende waarnemer is aangegeven met $x^\prime$ en $ct^\prime$ in het systeem van de stilstaande waarnemer. De oriëntatie van deze assen kan gevonden worden uit de lorentztransformaties. We beschouwen twee ruimteachtig gescheiden gebeurtenissen $A$ en $B$. Deze gebeurtenissen kunnen geen causaal verband met elkaar hebben, omdat ze niet door fotonen (dat zijn lijnen onder $\pm 45^\circ$) of langzamere signalen verbonden kunnen worden. De gebeurtenissen gebeuren gelijktijdig in het systeem van de stilstaande waarnemer. In het systeem van de bewegende waarnemer gebeurt $B$ op tijdstip $C$ en gebeurtenis $A$ op tijdstip $D$. In zijn systeem gebeurt $B$ eerder dan $A$. Er is echter ook een systeem te vinden waarin $A$ eerder gebeurt dan $B$. Dat is een waarnemer die met snelheid $-v$ beweegt ten opzichte van stilstaande waarnemer. We zien dat tijd haar absolute betekenis heeft verloren. Welke deelverzameling gebeurtenissen van ruimtetijd de gelijktijdige gebeurtenissen vormt, hangt af van de beweging van de waarnemer.