In 1935 publiceerden Einstein, Podolsky en Rosen (EPR) een artikel3 met de titel ` Can Quantum-Mechanical Description of Reality Be Considered Complete'. We zullen de implicaties hiervan bespreken.
EPR stellen dat teneinde het succes van een theorie te kunnen beoordelen men twee vragen dient te beantwoorden: (1) ` Is de theorie correct?' en (2) ` Is de beschrijving die door de theorie gegeven wordt compleet?'. De eerste vraag is eenvoudig te beantwoorden door te bestuderen of de voorspellingen van de theorie in overeenstemming zijn met de resultaten van metingen. Quantummechanica is zonder twijfel een correcte theorie en EPR beschouwden de tweede vraag in relatie tot de quantummechanica. Allereerst werd een nadere definitie gegeven van wat bedoeld is met compleet. Volgens EPR is een complete theorie er een waarbij elk element van de fysische realiteit een tegenhanger heeft in de fysische theorie. Dit wordt de conditie van compleetheid genoemd. Met betrekking tot de elementen van de fysische realiteit worden door EPR de volgende twee veronderstellingen gemaakt:
Twee systemen, I en II, worden bijeengebracht voor een tijd
, waarna er geen interactie meer is tussen beide systemen.
Stel dat en de coordinaten en en de
impulsen zijn van systeem I en II, respectievelijk. Het is dan mogelijk om zowel
als
tegelijkertijd exact te kennen, want
(83) |
Stel dat , , ... de eigenwaarden van een fysische grootheid
zijn met betrekking tot systeem I en , , ...
de corresponderende eigenfuncties. Volgens het expansietheorema kunnen
we dan schrijven
(85) |
We hadden ook een andere grootheid, ,
met eigenwaarden , , ... en eigenfuncties
, , ... kunnen kiezen en hadden dan als expansie
EPR concluderen dat als resultaat van twee verschillende metingen
aan systeem I, systeem II zich zal bevinden in toestanden beschreven
door verschillende golffuncties. Omdat de systemen niet meer wisselwerken,
kan er in systeem II niet iets gebeurd zijn als consequentie van de
gebeurtenissen in systeem I. Het is dus mogelijk twee verschillende
golffuncties ( en ) toe te kennen aan dezelfde
werkelijkheid (systeem II na interactie met systeem I). Vervolgens
beschouwen EPR het geval dat en eigenfuncties zijn
van twee niet-commuterende operatoren en . Door
aan systeem I een meting van of uit te voeren,
zijn we in een positie om met absolute zekerheid, en zonder systeem II op
enigerlei wijze te verstoren, de waarde van de grootheid of
de waarde van te voorspellen. In overeenstemming met de gegeven
definitie van werkelijkheid moeten we in het eerste geval als
element van de werkelijkheid beschouwen, terwijl in het tweede geval
een element van de werkelijkheid is. We hebben echter gezien dat
en behoren tot dezelfde werkelijkheid. Deze laatste
conclusie is in strijd met de quantummechanica en EPR concluderen
dat quantummechanica niet compleet is.
Samenvattend kunnen we stellen dat uit bijvoorbeeld de meting
van de impuls van deeltje 1 (systeem I)
we vanwege onze kennis van
met zekerheid kunnen voorspellen wat het resultaat zal zijn van een
meting van de impuls van deeltje 2 (systeem II). Als we echter de
impuls van deeltje 2 met zekerheid kunnen voorspellen zonder dat we
met dit deeltje wisselwerken, dan moet deeltje 2 deze impuls al
hebben vóór de meting, en zelfs al voor de meting aan deeltje 1
(er is immers geen verstoring van deeltje 2). Quantummechanisch wordt
de toestand beschreven door , maar hieruit kunnen we de
waarde van de impuls van deeltje 2 niet bepalen. EPR komen tot de
conclusie dat de quantummechanica onvolledig is.