Uitwendig of vectorieel product van vectoren

Definitie: ${\bf A} \times {\bf B}$ is een vector ${\bf C}$ waarvan

1. de absolute waarde gelijk is aan $C=AB \vert \sin{\angle{ ({\bf A};{\bf B})}} \vert$ en
2. (als $C\neq 0$) de richting bepaald worden door ${\bf C} \perp {\bf A}$ en ${\bf C} \perp {\bf B}$, terwijl de richting van voortgang van ${\bf C}$ volgens de rechterhandregel past bij de richting van draaiing van ${\bf A}$ naar ${\bf B}$ over de kleinste hoek.

Merk op dat de grootte van het uitwendig product ${\bf A} \times {\bf B}$ gelijk is aan de oppervlakte van de op ${\bf A}$ en ${\bf B}$ als zijden beschreven parallellogram.

Voor het uitwendig product gelden de eigenschappen

1. $\forall_{{\bf A},{\bf B}} [ {\bf B} \times {\bf A} = - ({\bf A} \times {\bf B}) ]$ anti-commutativiteits eigenschap.
2. $\forall_{{\bf A},{\bf B},{\bf C}} [ {\bf A} \times ({\bf B} + {\bf C}) = {\bf A} \times {\bf B} + {\bf A} \times {\bf C} ]$ distributiviteits eigenschap.

Uit de definitie volgt

$$\begin{array}{c} {\bf i} \times {\bf j} = - {\bf j} \times... ...{\bf i} = - {\bf i} \times {\bf k} = {\bf j} \\ \end{array}$$ (5)

en

$${\bf A} \times {\bf B} = {\bf0},    {\rm als}    {\bf A} \parallel {\bf B}.$$ (6)

In het bijzonder geldt dus dat

$${\bf A} \times {\bf A} = {\bf0},$$ (7)

en dus ook

$${\bf i} \times {\bf i} = {\bf j} \times {\bf j} = {\bf k} \times {\bf k} = {\bf0}. \\$$ (8)

Volgens de distributiviteits eigenschap is dus

$${\bf A} \times {\bf B} = (A_2B_3 - A_3B_2){\bf i} + (A_3B_1 - A_1B_3){\bf j} +(A_1B_2 - A_2B_1){\bf k}.$$ (9)

Merk op dat als ${\bf A} \times {\bf B} = {\bf0}$, dan $A=0$ of $B=0$ of ${\bf A} \parallel \pm {\bf B}$.