Lineaire afbeeldingen

Een afbeelding van de verzameling $A$ naar de verzameling $B$ is een relatie waarvan $A$ de originelenverzameling is en $B$ de beeldverzameling omvat, terwijl elk origineel één beeld heeft (een functie is dus een afbeelding).

Definitie: Een afbeelding ${\mathcal{F}}$ van de lineaire ruimte $L_1$ naar de lineaire ruimte $L_2$ heet een lineaire afbeelding als

1. $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L_1} [ {\mathcal{F}} ({\bf a} + {\bf b}) = {\mathcal{F}}({\bf a}) + {\mathcal{F}} ({\bf b}) ]$ en
2. $\forall_{{\bf a} \in L_1, p \in {\mathbb{R}}} [ {\mathcal{F}} (p{\bf a}) = p {\mathcal{F}}({\bf a}) ]$ .

Merk op dat als $B = \{ {\bf e}_1,..,{\bf e}_n \}$ een basis is van $L$ dan is de afbeelding van $L$ naar ${\mathbb{R}}_n$, waarvoor geldt dat het beeld van ${\bf a} = \sum_{i=1}^n a_i {\bf e}_i$ de `kentalvector' $(a_1,..,a_n)$ is, een lineaire afbeelding.