Lineaire ruimten

Elke verzameling, waarbinnen de elementen `opgeteld' en `met een scalar vermenigvuldigd' kunnen worden, wordt een lineaire ruimte ofwel een vectorruimte genoemd en de elementen ervan heten vectoren.

Definitie: Een verzameling $L$ heet een lineaire ruimte over een getallenlichaam $K$ als geldt

• $\forall_{{\bf a},{\bf a} \in L} \exists !_{{\bf c} \in L} [ {\bf a} + {\bf b} = {\bf c} ]$
• $\forall_{p \in K,{\bf a} \in L } \exists !_{b \in L} [ p{\bf a} = {\bf b} ]$,

terwijl de volgende acht axioma's gelden

1. $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L} [ {\bf a} + {\bf b} = {\bf b} + {\bf a} ]$
2. $\forall_{{\bf a},{\bf b},{\bf c} \in L} [ ({\bf a} + {\bf b}) + {\bf c}= {\bf a} + ({\bf b} + {\bf c}) ]$
3. $\exists_{{\bf0} \in L} \forall_{{\bf a} \in L} [ {\bf a} + {\bf0} = {\bf a} ]$
4. $\forall_{{\bf a} \in L} \exists_{{- \bf a} \in L} [ {\bf a} + (-{\bf a}) = {\bf0} ]$
5. $\forall_{p,q \in K, {\bf a} \in L} [ (p+q){\bf a} = p{\bf a} + q{\bf a} ]$
6. $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L, p \in K} [ p({\bf a} + {\bf b}) = p{\bf a} + p{\bf b}$
7. $\forall_{p,q \in K, {\bf a} \in L} [ p(q{\bf a}) = (pq){\bf a} ]$
8. $\forall_{{\bf a} \in L} [ 1{\bf a} = {\bf a} ]$

We hebben in hoofdstuk 1.1 reeds gezien dat vectoren aan bovenstaande axioma's voldoen. Hier bekijken we een en ander op meer abstractie wijze en het getallenlichaam $K$ kan $K \in {\mathbb{R}}$, respectievelijk $K \in {\mathbb{C}}$, zijn. Men spreekt dan van een reële, respectievelijk complexe, vectorruimte $L$. In paragraaf 1.1 hebben we ons beperkt tot een discussie van reële vectorruimten. Ook in deze paragraaf beschouwen we enkel reële vectorruimten. Later zullen we de discussie uitbreiden tot complexe vectorruimten.