\section{Wiskunde I - Differentiaaltopologie}\label{bouwstenen}

In een ruimte zijn een punt, scalair en een vector voorbeelden van topologische
objecten. Als de scalair of vector kan vari\"eren van punt tot punt, spreken
we over een scalairveld, respectievelijk een vectorveld. In. Fig. \ref{fig:velden}
geven we een voorbeeld van een scalairveld en een vectorveld op de aarde.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm]{Figures/velden.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: voorbeeld van een scalairveld, het verschil tussen de temperatuurverdeling 
gemeten op aarde in 2008 ten opzichte van het gemiddelde van de jaren 1951 - 1980; 
rechts: windverdeling aan het oppervlak van de aarde als
voorbeeld van een vectorveld.}
\label{fig:velden}
\end{figure}
\noindent
Een tensor is een object dat de begrippen getal, vector, 1-vorm en matrix
generaliseert. Tensoren kunnen gezien worden als zelfstandige
geometrische grootheden, die los staan van eventuele referentiesystemen.
Het is onze doelstelling om alle fundamentele wetten van de natuur uit te drukken
in dergelijke topologische of geometrische objecten. Dat is de essentie
van het relativiteitsprincipe: {\sl de fundamentele wetten van de
natuurkunde zijn onafhankelijk van de keuze van het referentiesysteem.}
Door gebruik te maken van tensoren verkrijgen we
een dergelijke referentiesysteem onafhankelijke beschrijving.

\medskip
\noindent
In de relativiteitstheorie beschouwen we tensorvelden in ruimtetijd. 
Allereerst bespreken we hoe ruimtetijd in kaart gebracht kan worden.
We zullen aannemelijk maken dat ruimtetijd een differentieerbare vari\"eteit is.
Vervolgens bespreken we de verschillende topologische objecten die
in ruimtetijd betekenis hebben: scalair veld, vector, 1-vorm, tensoren.
We zullen zien dat het mogelijk is om het begrip inproduct te defini\"eren
in ruimtetijd en voeren de zogenaamde metrische tensor in.

\subsection{Puntgebeurtenis}

We voeren in deze paragraaf een centraal begrip van de algemene
relativiteitstheorie in, namelijk het begrip {\sl puntgebeurtenis}\footnote{In
het Engels spreken van een {\sl event}.}. Dit is een zogeheten primitief
begrip, dit wil zeggen een begrip dat wordt gedefinieerd in termen van
andere begrippen. Wat dit betreft is het vergelijkbaar met het begrip
`punt' uit de euclidische meetkunde. Primitieve begrippen worden niet
gedefinieerd, omdat in hun definities weer andere begrippen optreden,
die weer gedefinieerd zouden moeten worden, enz. Aan deze oneindige
regressie wordt een einde gemaakt in de axiomatische methode. De
daarin optredende axioma's zijn te beschouwen als impliciete definities van
de in de theorie voorkomende primitieve begrippen. We volgen derhalve
een axiomatische opbouw van de algemene relativiteitstheorie. Hier
introduceren we het begrip puntgebeurtenis met voorbeelden. In de
materi\"ele werkelijkheid om ons heen vinden allerlei gebeurtenissen
plaats: de zon gaat op, twee auto's botsen op elkaar, ... Dat zijn
allemaal gebeurtenissen en karakteristiek voor gebeurtenissen is dat ze
zich in een zeker gebied van de ruimte afspelen en dat ze in een zeker tijdinterval
gebeuren. Gebeurtenissen zijn vaak zeer complex en we ontleden ze dan
ook verder. Een gebeurtenis kan worden beschouwd als te zijn opgebouwd uit zeer vele
gebeurtenissen, die op een kleiner gebied en een kleiner tijdinterval
betrekking hebben. Het ge\"{\i}dealiseerde limietgeval van een gebeurtenis, die op
een oneindig klein gebied plaats heeft en oneindig kort duurt noemen we
een {\sl puntgebeurtenis}. Een puntgebeurtenis is een gebeurtenis met
een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip. Een voorbeeld
van een puntgebeurtenis is de explosie van een oneindig klein rotje
met een oneindig kort durende knal. Een ander voorbeeld is de botsing van
twee massapunten, immers als de twee massapunten elkaar raken is er sprake
van een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip.

\medskip
\noindent
Het begrip puntgebeurtenis houdt een extrapolatie van onze ervaring in,
omdat er een eindige ondergrens is voor het scheidend vermogen voor
afstanden en tijdsduren. Ieder fysisch proces is te beschouwen als een
collectie van puntgebeurtenissen. De verzameling van alle mogelijke
puntgebeurtenissen noemen we {\sl ruimtetijd}. Ruimtetijd is niet
slechts een verzameling, ruimtetijd heeft meer mathematische structuur.
Het fundamentele begrip in de differentiaalmeetkunde is dat van een
differentieerbare ruimte (differentieerbare vari\"eteit). We zullen
trachten dit plausibel te maken en daarna postuleren dat ruimtetijd een
differentieerbare vari\"eteit is.

\subsection{Differentieerbare vari\"eteit}\label{diffvar}

Het oppervlak van de aarde vormt
een twee-dimensionaal gekromd oppervlak. Dit oppervlak kan worden
ingebed in de drie-dimensionale euclidische wereld. 
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/aarde.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Het aardoppervlak kan in kaart worden
gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende
kaarten ($n \geq 2$ kaarten).}
\label{fig:aarde}
\end{figure}
Een belangwekkende vraag is nu: kan men over dergelijke twee-dimensionale
oppervlakken spreken zonder het hulpmiddel van de drie-dimensionale
euclidische ruimte? In de algemene relativiteitstheorie is ruimtetijd
een gekromde vier-dimensionale ruimte; deze willen we graag beschrijven
zonder haar in te bedden in een hoger dimensionale euclidische
ruimte. Het antwoord is bevestigend, zoals blijkt uit het volgende
voorbeeld: in de geografie beschrijft men het aardoppervlak, een
oppervlak dat ongelijk is aan de twee-dimensionale ruimte $\mathbb{E}^2$,
met behulp van een atlas, bestaande uit twee-dimensionale kaarten,
waarbij de drie-dimensionale ruimte niet nodig is. Een kaart beschrijft
een stukje van het aardoppervlak met behulp van een stukje $\mathbb{R}^2$.

\medskip
\noindent
Het gehele aardoppervlak (zie Fig. \ref{fig:aarde}) kan in kaart worden
gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende
kaarten. Teneinde ook de polen correct te kunnen afbeelden zijn er
minstens 2 kaarten nodig. Voor het realiseren van een kaart zijn verschillende
afbeeldingen $f$, $g$, $...$ mogelijk.
Hier passen we cilinderprojectie toe (de polen worden hierbij niet
correct afgebeeld. Mercatorprojectie is een cilinderprojectie, waarna
een breedtegraad-afhankelijke schaalcorrectie wordt toegepast, hetgeen
leidt tot hoekgelijkheid. Merk op dat wanneer we een klein gebied
rond een bepaald punt steeds verder uitvergroten, we de topologische
structuur van de euclidische ruimte meer en meer benaderen.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/kaart1.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De omgeving $U$ en $V$ in $\mathcal{S}$ overlappen (het gearceerde
gebied). De bijbehorende $n-$kaarten naar $\mathbb{R}^n$, $(U,f)$ en $(V,g)$,
geven twee verschillende afbeeldingen (en dus twee co\"ordinatenstelsels)
in het overlapgebied. De relatie tussen deze co\"ordinaten karakteriseert
de differentieerbaarheidsklasse van de vari\"eteit.}
\label{fig:kaart}
\end{figure}
\medskip
\noindent
Wiskundig gebruiken we de volgende definities.
Stel dat $\mathcal{S}$ een verzameling is. Een {\sl $n$-kaart} van een punt
$\mathcal{P}$ van $\mathcal{S}$ is een paar $(U,\kappa )$, waarbij $U \subset \mathcal{S}$
een deelverzameling is die $\mathcal{P}$ bevat, en $\kappa$ een
bijectieve afbeelding $\kappa : U \longmapsto O \subset \mathbb{R}^n$ met $O$
een open deelverzameling van $\mathbb{R}^n$.
Een kaart $(U,\kappa )$ voegt aan ieder punt $\mathcal{P} \in U \subset \mathcal{S}$
{\sl co\"ordinaten} $(x^1,x^2,...,x^n)$ toe gedefinieerd door
$(x^1,x^2, ..., x^n) \equiv \kappa (\mathcal{P}) \in \mathbb{R}^n$.
We noteren ook wel korter $(x^i) \equiv (x^1,x^2, ...,x^n)$, waarbij
stilzwijgend $i=1,2,...,n$. De associatie van punten met de waarden van
hun parameters kan men zien als een afbeelding van punten van een vari\" eteit
naar punten van de euclidische ruimte met de juiste dimensie. Een vari\" eteit
lijkt lokaal op een euclidische ruimte: hij is `glad' en heeft een bepaald
aantal dimensies.

\medskip
\noindent
Via de afbeelding $\kappa$ krijgt de oorspronkelijke
deelverzameling $U$ van $\mathcal{S}$ eveneens sommige van de structuren die de
open deelverzameling $O \subset \mathbb{R}^n$ heeft. Een kaart geeft een
{\sl co\"ordinatisering} van $U$; een kaart wordt ook wel een {\sl co\"ordinatenstelsel
van $U$} genoemd. De co\"ordinatenlijnen in $O$ worden met $\kappa^{-1}$ teruggebracht
naar $U$.
Een kaart moet een bijectieve, bicontinue afbeelding zijn
van het aardoppervlak naar $\mathbb{R}^2$. Een bijectieve afbeelding
$\kappa$ heet {\sl bicontinu} als $\kappa$ en $\kappa^{-1}$ continu
zijn. Een bicontinue bijectie heet een {\sl homeomorfisme}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/kaart2.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Een vergroting van Fig. \ref{fig:kaart} toont hoe het overlappende
gebied een afbeelding maakt van $\mathbb{R}^n$ naar $\mathbb{R}^n$, die
gegeven wordt door $f^{-1}$ gevolgd door $g$ (dit wordt $g \circ f^{-1}$ 
genoemd).}
\label{fig:kaart2}
\end{figure}
We tonen alles nog eens in Fig. \ref{fig:kaart2}.

\medskip
\noindent
Een $n$-atlas op $\mathcal{S}$ is een collectie kaarten $\{ (U_\alpha , \kappa_\alpha )\}$
zo dat $\{U_\alpha \}$ een overdekking van $\mathcal{S}$  is, dit wil zeggen
$\mathcal{S} = \cup_{\alpha} U_\alpha$. Door een atlas wordt ieder punt van $\mathcal{S}$
minstens \' e\' en keer in kaart gebracht. Door de atlas op verzameling $\mathcal{S}$
wordt het mogelijk analyse te bedrijven en kan men bijvoorbeeld over differentieerbaarheid
gaan praten.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/flatearth.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Een kaart geeft een afbeelding van het aardoppervlak naar de 2D euclidische
ruimte. Op de kaart lijkt de afstand tussen Montreal en Parijs
op die tussen Bogota en Lagos.}
\label{fig:flatearth}
\end{figure}
\medskip
\noindent
Samenvattend kunnen we het volgende zeggen.
Het begin is een structuurloze verzameling $\mathcal{S}$. Deze wordt
verdeeld in elkaar gedeeltelijk overlappende deelverzamelingen, en
deze deelverzamelingen worden stuk voor stuk in kaart gebracht,
met andere woorden deze deelverzamelingen worden geco\"ordinatiseerd.
Als $\mathcal{S}$ helemaal is overdekt door zulke gebiedjes, en als de
overgangen tussen de verschillende co\"ordinatenstelsels voldoende
vaak differentieerbaar zijn, dan heet $\mathcal{S}$ een differentieerbare
vari\"eteit. Het hebben van een kaart is een goede eerste stap in de beschrijving
van het aardoppervlak. Echter voor het berekenen van afstanden is er meer informatie
nodig, want we dienen te weten hoe afstanden op de kaart overeenkomen met
afstanden op het aardoppervlak. Deze informatie wordt gegeven door de metriek.
De differentieerbare vari\"eteit die ruimtetijd beschrijft heeft deze
extra structuur. De metrische tensor volgt uit de Einsteinvergelijkingen en wordt bepaald
door de energie-, massa- en impulsverdelingen, samengevat door de
energie-impuls tensor.

\subsection{Ruimtetijd van de ART}

We zullen nu plausibel proberen te maken dat ruimtetijd een
differentieerbare vari\"eteit is. Daartoe wordt een ge\"{\i}dealiseerde
waarnemer ingevoerd, dat is een waarnemer met verwaarloosbare afmetingen
ten opzichte van de beschouwde schaal. Hierbij moet men denken aan
een massapunt met daarop een glad lopende klok. Deze klok hoeft voorlopig
helemaal niet eenparig (uniform) te lopen, als hij maar niet stilstaat.
Bij iedere puntgebeurtenis op de plaats van deze waarnemer (dus
op de plaats van het massapunt) hoort nu een eenduidig bepaald tijdstip,
namelijk de tijd $t$ die de klok aanwijst als de puntgebeurtenis
$\mathcal{P}=\mathcal{P}(t)$ plaatsvindt. Voor een zeker tijdinterval 
$I$ is er dus een bijectie
\begin{equation}
\gamma : t \in I \subset \mathbb{R} \longmapsto \gamma (t) = \mathcal{P}(t)
\in \mathcal{S} .
\end{equation}
Dit is een kromme in $\mathcal{S}$, de {\sl wereldlijn} van de waarnemer. Er
zijn talloze voorbeelden van wereldlijnen te geven. E\' en zo'n voorbeeld
is de wereldlijn van een punttrein, dat is een trein met verwaarloosbare
afmetingen ten opzichte van de beschouwde schaal (zie Fig. \ref{fig:punttrein}).
Hierin is $x$ de afstand van de punttrein tot het station $O$ en $t$
is de verlopen tijd sinds het vertrek uit $O$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/punttrein.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Wereldlijn van een punttrein. De vertikale delen van de wereldlijn
komen overeen met gebeurtenissen waarbij de trein stilstaat.}
\label{fig:punttrein}
\end{figure}
Lichtsignalen zijn van groot belang voor het beschrijven van de structuur
van ruimtetijd. Bij lichtsignalen moet men denken aan golfpakketjes van
radarsignalen, lichtpulsen of $\gamma$-quanta, waarvan de ruimtelijke
afmetingen en de tijdsduur weer verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de
beschouwde schaal. Het is gebruikelijk doch niet geheel juist dergelijke
golfpakketjes collectief met de term {\sl foton} aan te duiden. Het belang van
fotonen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd is het gevolg van de
empirisch vastgestelde universaliteit van de voorplanting van elektromagnetische
golven in vacu\"um, dat wil zeggen de voortplantingssnelheid in vacu\"um is
onafhankelijk van de bewegingstoestand van de bron en van de golflengte,
de intensiteit en de polarisatie van de elektromagnetische golven.

\medskip
\noindent
Beschouw nu een radarstation $P$, dat een puntgebeurtenis $e$ waarneemt.
Het radarstation is klein genoeg om dit met een wereldlijn in $\mathcal{S}$
te beschrijven. Bij de puntgebeurtenis $e$ kan men denken aan een vliegtuig
waaraan op een zeker tijdstip en op een zekere plaats het radarsignaal
wordt gereflecteerd. De tijd $t_V$ van vertrek van het radarsignaal en
de tijd $t_O$ van ontvangst van het gereflecteerde radarsignaal worden
door het radarstation $P$ geregistreerd. In de newtonse mechanica wordt een
puntgebeurtenis vastgelegd door vier co\"ordinaten, $(t,x,y,z) \in \mathbb{R}^4$.
Daarom introduceren we een tweede radarstation $P^\prime$, dat een andere
wereldlijn beschrijft en tijden $t_V^\prime$ en $t_O^\prime$ registreert
voor dezelfde puntgebeurtenis $e$ met de klok op $P^\prime$. Men veronderstelt
nu dat er een deelverzameling $U$ van $\mathcal{S}$ bestaat, zodanig dat
voor iedere puntgebeurtenis uit $U$ de vier re\"ele getallen
$(t_V, t_O, t_V^\prime, t_O^\prime)$ een co\"ordinatenstelsel vormen.
De kaart $(U,\kappa )$ met $U \subset \mathcal{S}$ en
$\kappa (e) = (t_V, t_O, t_V^\prime, t_O^\prime )$ heet een
{\sl radarco\"ordinatenstelsel}. Er is hier ondersteld dat een radarstation
door slechts \' e\' en uitgaande en \' e\' en terugkomende radarpuls met $e$
verbonden is. Als het heelal gesloten is zou puntgebeurtenis $e$ door meer
dan twee radarsignalen met een radarstation verbonden kunnen zijn. We
beperken daarom in bovenstaande constructie alle wereldlijnen tot een
deelverzameling $V$ van $\mathcal{S}$, zodat $e$ en $P$, respectievelijk
$e$ en $P^\prime$ door slechts twee radarpulsen worden verbonden.
Dit wordt schematisch weergegeven in Fig. \ref{fig:radar}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/radar.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Twee waarnemers brengen een gebeurtenis in kaart door er
radarpulsen aan te reflecteren. Radarco\"ordinaten van een puntgebeurtenis $e$
worden gevormd door tijden van vertrek en ontvangst van deze radarpulsen.}
\label{fig:radar}
\end{figure}
Door nu ruimtetijd $\mathcal{S}$ lapjesgewijs helemaal in kaart te brengen
op bovenstaande wijze komt men tot de uitspraak: {ruimtetijd is
een vierdimensionale differentieerbare vari\"eteit}.

\medskip
\noindent
Er zijn naast genoemde manier nog andere manieren om ruimtetijd van
co\"ordinaten te voorzien. We noemen er twee.
\begin{enumerate}
\item{} Breng in ruimtetijd een voldoend dichte zwerm willekeurig
bewegende deeltjes aan (massapunten), en voorzie ieder van deze
deeltjes van een klok die weer niet noodzakelijkerwijs eenparig
hoeft te lopen, als hij maar niet stilstaat. Kenmerk verder ieder
deeltje door drie re\"ele getallen $(x,y,z)$ om ze van elkaar te
onderscheiden. Aan een puntgebeurtenis worden nu vier re\"ele
getallen toegevoegd, namelijk het drietal plaatsco\"ordinaten
$(x,y,z)$ van het massapunt $P$ waar de puntgebeurtenis $e$ plaatsvindt
en het tijdstip $t$ dat de klok van $P$ aanwijst op het moment
dat de puntgebeurtenis $e$ wordt waargenomen. We krijgen zo een
kaart $e \longmapsto (t,x,y,z)$. Het co\"ordinatenstelsel wordt
zo geconstrueerd dat voor naburige puntgebeurtenissen bijbehorende
$(t,x,y,z)$ weinig verschillen.
\item{} Neem vier waarnemers met ieder een lopende klok, die
willekeurig bewegen. Laat deze waarnemers de aankomsttijden
$t^\mu~~(\mu = 0,1,2,3)$ van een lichtsignaal registreren dat door een
puntgebeurtenis $e$ is uitgezonden. Men krijgt voor de puntgebeurtenis
$e$ dan vier co\"ordinaten $(t^\mu )$.
\end{enumerate}
De belangrijkste begrippen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd
zijn dus {\sl puntgebeurtenis}, {\sl massapunt}, {\sl foton} en {\sl klok}.

\subsection{Co\"ordinatentransformaties}\label{coortrans}

Als we kijken naar Fig. \ref{fig:kaart2}, zien we dat om een punt $\mathcal{P}$
van de vari\"eteit te labelen, we een systeem van $n$ co\"ordinaten gebruiken,
maar waarbij de keuze van de co\"ordinaten arbitrair is. Het idee hierachter
is dat niet de `labels', maar de punten zelf, en de topologische en
geometrische relaties ertussen van belang zijn. We mogen punten herlabelen
door co\"ordinatentransformaties uit te voeren, $x^\alpha \rightarrow x^{\alpha^\prime}$,
uitgedrukt door $n$ vergelijkingen
\begin{equation}
x^{\alpha^\prime} = x^{\alpha^\prime}(x^0, x^1, ...,x^{n-1})~~~~{\rm met~} \alpha=0,1,2,...,n-1,
\label{eq:ctransf}
\end{equation}
waarbij we de nieuwe co\"ordinaten geven als functie van de oude co\"ordinaten.
Merk op dat we het accent aan de index hangen om de nieuwe co\"ordinaten aan te geven.
We kunnen een co\"ordinatentransformatie dus passief beschouwen als het
toekennen van nieuwe (geaccentueerde) co\"ordinaten $(x^{0^\prime},x^{1^\prime},...,x^{(n-1)^\prime})$
aan een punt van de vari\"eteit, waarvan de oude co\"ordinaten gegeven
worden door $(x^0,x^1,...,x^{n-1})$.

\medskip
\noindent
We zullen aannemen dat de functies gegeven in vergelijking (\ref{eq:ctransf})
eenwaardig, continu en differentieerbaar zijn over het valide bereik van hun
argumenten.
Door elke vergelijking in (\ref{eq:ctransf}) te differenti\"eren naar
de oude co\"ordinaten $x^\beta$, krijgen we de $n \times n$ parti\"ele afgeleiden
$\partial x^{\alpha^\prime}/ \partial x^\beta$. Deze kunnen we samennemen in de
$n \times n$ transformatiematrix $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$
\begin{equation}
\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} = 
{\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^\beta} = \left(
\begin{array}{cccc}
{\partial x^{0^\prime} \over \partial x^0} & {\partial x^{0^\prime} \over \partial x^1} &
... & {\partial x^{0^\prime} \over \partial x^{n-1}} \\
{\partial x^{1^\prime} \over \partial x^0} & {\partial x^{1^\prime} \over \partial x^1} &
... & {\partial x^{1^\prime} \over \partial x^{n-1}} \\
... & ... & ... & ... \\
{\partial x^{(n-1)^\prime} \over \partial x^0} & {\partial x^{(n-1)^\prime} \over \partial x^1} &
... & {\partial x^{(n-1)^\prime} \over \partial x^{n-1}} \\
\end{array}
\right) ,
\label{eq:transmatrix}
\end{equation}
zodat rijen worden gelabeld met een index in de teller van de parti\"ele afgeleide
en kolommen door een index in de noemer. De elementen van de transformatiematrix
zijn functies van de co\"ordinaten, en daarom zijn de numerieke waarden van de
matrixelementen in het algemeen verschillend als ze worden uitgerekend op
verschillende punten $\mathcal{P}$ van de vari\"eteit. De determinant van de
transformatiematrix wordt de {\sl jacobiaan} van de transformatie genoemd en
wordt aangeduid met
\begin{equation}
J = {\rm det} \left( {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^\beta} \right).
\end{equation}
Het is duidelijk dat de numerieke waarde van $J$ van punt tot punt in de vari\"eteit
verandert.

\medskip
\noindent
Stel dat $J \neq 0$ voor een bepaald bereik van de co\"ordinaten $x^\beta$, dan betekent
dit dat we (in principe) vergelijkingen (\ref{eq:ctransf}) kunnen oplossen
naar de oude co\"ordinaten $x^\beta$. We krijgen op deze wijze de {\sl inverse}
transformatievergelijkingen
\begin{equation}
x^\alpha = x^\alpha(x^{0^\prime}, x^{1^\prime}, ..., x^{(n-1)^\prime})~~~~{\rm met~} \alpha=0,1,...,n-1.
\end{equation}
Op dezelfde manier als hierboven kunnen we de inverse transformatiematrix
$\Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha = \partial x^\alpha / \partial x^{\beta^\prime}$ 
en de Jacobiaan van de inverse transformatie
$J^\prime = {\rm det}( \partial x^\alpha / \partial x^{\beta^\prime})$ bepalen.

\medskip
\noindent
Als we de kettingregel gebruiken, dan kunnen we eenvoudig laten zien dat de
inverse transformatiematrix de inverse is van de transformatiematrix, omdat
\begin{equation}
\sum_{\beta=0}^{n-1} \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \Lambda_{~\gamma^\prime}^\beta =
\sum_{\beta=0}^{n-1} {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^\beta} 
{\partial x^\beta \over \partial x^{\gamma^\prime}} =  
{\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^{\gamma^\prime}} = \delta_\gamma^\alpha = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & ~~~~~~{\rm als~}\alpha=\gamma , \\ 
0 & ~~~~~~{\rm als~}\alpha \neq \gamma , \\ 
\end{array} \right\}
\label{eq:kronecker}
\end{equation}
waar we de Kronecker delta $\delta_\gamma^\alpha$ gebruiken, alsmede het feit dat
\begin{equation}
{\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^{\gamma^\prime}} =
{\partial x^\alpha \over \partial x^\gamma} = 0~~~~~{\rm als~}\alpha \neq \gamma ,
\end{equation}
omdat de co\"ordinaten in zowel het geaccentueerde als in het
niet-geaccentueerde systeem onafhankelijk zijn. Omdat de twee
transformatiematrices elkaars inverse zijn, volgt $J^\prime = 1/J$.

\medskip
\noindent
We beschouwen twee naburige punten $\mathcal{P}$ en $\mathcal{Q}$ in de
vari\"eteit, met respectievelijk co\"ordinaten $x^\alpha$ en $x^\alpha + dx^\alpha$.
In het nieuwe systeem wordt de infinitesimale co\"ordinatenafstand
tussen $\mathcal{P}$ en $\mathcal{Q}$ gegeven door de totale differentiaal
\begin{equation}
dx^{\alpha^\prime} = {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^0} dx^0 +
{\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^1} dx^1 + ... +
{\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^{n-1}} dx^{n-1} ,
\end{equation}
waar we bedoelen dat de parti\"ele afgeleiden aan de rechterzijde van
de vergelijking worden uitgerekend op punt $\mathcal{P}$. We kunnen
dit economischer schrijven als
\begin{equation}
dx^{\alpha^\prime} = \sum_{\beta = 0}^{n-1} {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^\beta} dx^\beta
= {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^\beta} dx^\beta ,
\end{equation}
waar we in de laatste stap de sommatieconventie van Einstein hebben ingevoerd.
Dit betekent dat als er in de uitdrukking dezelfde index boven als beneden voorkomt,
we automatisch sommeren over alle waarden die die index kan aannemen.

\subsection{Geometrische objecten}

In het bovenstaande hebben we gepostuleerd dat ruimtetijd een differentieerbare
vari\"eteit is. We bespreken nu de verschillende topologische objecten die
in ruimtetijd betekenis hebben: scalair veld, vector, 1-vorm, tensoren.
Merk op dat de metrische tensor en het concept inproduct pas later aan
de orde komen.

\subsubsection{Puntgebeurtenis}

Het begrip puntgebeurtenis hebben we reeds eerder besproken. Ruimtetijd is
de verzameling van alle mogelijke puntgebeurtenissen.

\subsubsection{Curve}
\label{curve}

Het is gebruikelijk om bij een curve te denken aan een reeks verbonden
punten in ruimtetijd. Dit noemen we een {\sl pad} en we reserveren
het woord {\sl curve} voor een geparametriseerd pad. We defini\"eren
een curve als een afbeelding van een interval van de re\"ele lijn
naar een pad in ruimtetijd. Dit betekent dat een curve een pad is,
waarbij met elke puntgebeurtenis een re\"eel getal geassocieerd is.
Dit getal noemen we de parameter.
Een curve $\mathcal{P}(\lambda )$ is te identificeren als een verzameling
puntgebeurtenissen die gerelateerd zijn via een parameter $\lambda$.
Elke puntgebeurtenis heeft co\"ordinaten die uitgedrukt kunnen worden
als een functie van $\lambda$. Er geldt
\begin{equation}
{\rm Curve:~} \{ x^0 = f(\lambda ), x^1 = g(\lambda ),
x^2 = h(\lambda ), x^3 = k(\lambda ), a \leq \lambda \leq b \}.
\end{equation}
Als we de parameter vervangen (maar niet de puntgebeurtenissen) door
$\lambda^\prime = \lambda^\prime (\lambda )$, vinden we
\begin{equation}
\{ x^0 = f^\prime (\lambda^\prime ), x^1 = g^\prime (\lambda^\prime ),
x^2 = h^\prime (\lambda^\prime ), x^3 = k^\prime (\lambda^\prime ),
a^\prime \leq \lambda^\prime \leq b^\prime \},
\end{equation}
waarbij $f^\prime$, $g^\prime$, $h^\prime$ en $k^\prime$ nieuwe functies
zijn en waar geldt $a^\prime = \lambda^\prime (a)$ en $b^\prime = \lambda^\prime (b)$.
Wiskundig noemen we dit een nieuwe curve, terwijl de afbeelding (het
pad dat in ruimtetijd gevolgd wordt) hetzelfde blijft. Een oneindig
aantal krommen kunnen dus hetzelfde pad hebben.

\medskip
\noindent
Voor de parameter wordt typisch de tijd op de klok van een meereizende waarnemer
gebruikt. Als een metriek ontbreekt kunnen we echter niet spreken over lengte
langs een curve.

\subsubsection{Scalairveld}

We beschouwen alleen differentieerbare
vari\" eteiten en dat zijn ruimten die continu en differentieerbaar zijn.
Dit betekent dat we op elk punt van de vari\" eteit een scalairveld
$\Phi$ kunnen defini\"eren en dat deze functie overal kan worden
gedifferentieerd.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/manifold.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Grafische voorstelling van een differentieerbare vari\"eteit $\mathcal{S}$.
Binnen een lokaal gebied kan een kaart met gladde (re\"ele getallen) co\"ordinaten $(x,y)$
de punten in de vari\"eteit labelen. Om de hele vari\"eteit te bestrijken dienen
we verschillende kaarten samen te `lijmen'.}
\label{fig:manifold}
\end{figure}
Stel we hebben een gladde functie $\Phi$ gedefinieerd op $\mathcal{S}$, denk
bijvoorbeeld aan de temperatuur op het aardoppervlak. In moderne wiskundige
taal is $\Phi$ dan een gladde afbeelding van $\mathcal{S}$ naar de ruimte
van re\"ele getallen $\mathbb{R}$, omdat $\Phi$ aan ieder punt van
$\mathcal{S}$ een re\"eel getal toekent, dit wil zeggen $\Phi$ maakt
een afbeelding van $\mathcal{S}$ naar de re\"ele getallen. Een
dergelijke functie wordt vaak een {\sl scalairveld} op $\mathcal{S}$ genoemd.
Binnen een bepaald lokaal gebied heeft $\Phi$ een co\"ordinatenvergelijking
$\Phi = f(x,y)$ op de bijbehorende kaart. De gladheid van het scalairveld 
$\Phi$ komt dan tot uitdrukking in de {\sl differentieerbaarheid}
van de functie $f(x,y)$. Het zal de lezer opgevallen zijn dat onderscheid
wordt gemaakt tussen $\Phi$ en $f$. De reden is dat $\Phi$ gedefinieerd
is op het oppervlak, maar uitgedrukt kan worden in verschillende
co\"ordinatensystemen. De wiskundige uitdrukking voor $f(x,y)$ kan
verschillen voor verschillende kaarten, terwijl de grootheid $\Phi$
op elk specifiek punt van het oppervlak bestreken door deze kaarten
niet verandert. Voor een andere kaart in Fig. \ref{fig:manifold}
geldt bijvoorbeeld $\Phi = F(X,Y)$. Als de kaarten overlappen geldt
$f(x,y) = F(X,Y)$. De specifieke uitdrukking voor $F$, in termen
van $X$ en $Y$, zal in het algemeen verschillen van de uitdrukking
voor $f$ in termen van $x$ en $y$. In het algemeen is $X$ een
gecompliceerde functie van $x$ en $y$ in het overlap gebied,
en dat geldt ook voor $Y$. Met deze functies dienen we rekening
te houden als we van $f$ naar $F$ gaan. Dergelijke functies, die de
co\"ordinaten van \' e\' en systeem beschrijven in termen van die
van het andere systeem,
\begin{equation}
X=X(x,y)~~~~~{\rm en}~~~~~Y=Y(x,y),
\end{equation}
en hun inverse
\begin{equation}
x=x(X,Y)~~~~~{\rm en}~~~~~y=y(X,Y),
\end{equation}
noemen we {\sl overgangsfuncties}.

\medskip
\noindent
Teneinde het bovenstaande concreet te maken, stelt U zich de volgende
situatie voor. Een waarnemer die we voorzien van het label $\mathcal{O}$
besluit om de temperatuur van een bepaald gebiedje van het aardoppervlak
in kaart te brengen. Hiertoe maakt hij een kaart van het gebied en 
gebruikt hij co\"ordinaten $x$ en $y$. Een bepaald punt $\mathcal{P}$
van het aardoppervlak komt overeen met een bepaald punt $(x,y)$ op zijn
kaart. Een tweede waarnemer (die we labelen met ${\mathcal{O}}^\prime$) komt
op hetzelfde idee. Hij maakt ook een kaart, echter met volledig andere
co\"ordinaten $({x}^\prime, {y}^\prime)$. Na verloop van tijd
besluiten beide waarnemers om hun analyse te vergelijken en leggen ze
de kaarten naast elkaar. Het blijkt mogelijk om een wiskundige 
transformatie\footnote{Voor tensorrekening is basiskennis van transformatietheorie 
onontbeerlijk. Dit voorbeeld is een eerste kennismaking.}
te vinden tussen plaatsvectoren ${\bf x} = (x,y)$ op de kaart van waarnemer $\mathcal{O}$
en ${\bf x}^\prime = ({x}^\prime, {y}^\prime)$ van ${\mathcal{O}}^\prime$.
De transformatie correspondeert met de volgende set lineaire vergelijkingen,
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
{x}^\prime & = & 5x- 2y \\
{y}^\prime & = & 3x + 2y \\
\end{array}
~~\rightarrow~~ \left(
\begin{array}{c}
{x}^\prime \\
{y}^\prime \\
\end{array} \right) = \left(
\begin{array}{rr}
{\partial x^\prime \over \partial x} & {\partial x^\prime \over \partial y} \\
{\partial y^\prime \over \partial x} & {\partial y^\prime \over \partial y} \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{rr}
5 & -2 \\
3 & 2 \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array} \right) ~~\rightarrow~~
{\bf x}^\prime = {\bf Ax} .
\label{eq:lintransf}
\end{equation}
Deze vergelijkingen defini\"eren een lineaire transformatie\footnote{De transformaties
die een rol spelen in de ART zijn over het algemeen niet lineair.}
(of lineaire afbeelding) van een
punt $(x,y)$ naar een corresponderend beeld $({x}^\prime, {y}^\prime)$.
In matrixvorm mogen we dit schrijven als ${\bf x}^\prime = {\bf Ax}$,
en indien de afbeelding bijectief (een-op-een afbeelding)
is, geldt ${\rm det}{\bf A} \neq 0$.
Er is altijd sprake van een {\sl alias-alibi} aspect bij dergelijke
transformaties: als $({x}^\prime, {y}^\prime)$ wordt beschouwd als
het defini\"eren van nieuwe co\"ordinaten (een nieuwe naam) voor $(x,y)$,
dan hebben we te maken met het alias aspect; als $({x}^\prime , {y}^\prime )$
beschouwd wordt als een nieuwe positie (plaats) voor $(x,y)$, dan komt
het alibi aspect te voorschijn. In tensorrekening zijn we in het algemeen
meer ge\"{\i}nteresseerd in het alias aspect. We noemen de twee co\"ordinatenstelsels
gerelateerd door ${\bf x}^\prime = {\bf Ax}$ respectievelijk het systeem
${\mathcal{O}}^\prime$ en $\mathcal{O}$. Stel dat het punt $\mathcal{P}$
van de vari\"eteit in het systeem $\mathcal{O}$ gegeven wordt door
de co\"ordinaten $(x,y) = (0,-1)$. Met vergelijking (\ref{eq:lintransf})
vinden we voor het punt $(x,y) = (0,-1)$ het beeldpunt
$({x}^\prime, {y}^\prime) = (2,-2)$ in systeem ${\mathcal{O}}^\prime$. 
Het origineel in $\mathcal{O}$
en het beeldpunt in ${\mathcal{O}}^\prime$ hebben verschillende co\"ordinaten,
maar stellen hetzelfde punt $\mathcal{P}$ in de vari\"eteit voor.

\medskip
\noindent
Stel dat waarnemer $\mathcal{O}$ de temperatuur $T$ in zijn co\"ordinatenstelsel kan
beschrijven met uitdrukking $T:~ T(x,y) = 30+ 8x - y$ (dit is een scalairveld $T$
dat verschillende waarden kan aannemen op verschillende punten). 
Op punt $(x,y) = (0,-1)$ wordt de temperatuur
dan gegeven door $T = 30 +8\times 0 -(-1) = 31^\circ$C. Om de corresponderende uitdrukking
voor de andere waarnemer, die in 
co\"ordinatenstelsel ${\mathcal{O}}^\prime$, te vinden, dienen we eerst de inverse 
transformatie gegeven door vergelijking (\ref{eq:lintransf}) af te leiden. Hiertoe inverteren
we de bijbehorende matrix en vinden
\begin{equation}
A = \left(
\begin{array}{rl}
5 & -2 \\
3 & +2 \\
\end{array}
\right) ~~\rightarrow~~ A^{-1} = {1 \over 16} \left(
\begin{array}{rl}
2 & 2 \\
-3 & 5 \\
\end{array}
\right) .
\label{eq:lininvtransf}
\end{equation}
Er geldt dan $x = {1 \over 16}\ (2{x}^\prime + 2{y}^\prime)$ en 
$y = {1\over 16}(-3{x}^\prime +5{y}^\prime )$ en
we krijgen een andere uitdrukking voor de temperatuur. We vinden
$T:~ T({x}^\prime ,{y}^\prime ) = 30 +{8\over 16}(2{x}^\prime + 2{y}^\prime )
-{1 \over 16}(-3{x}^\prime +5{y}^\prime ) 
= 30 + {19\over 16} {x}^\prime + {11 \over 16}{y}^\prime$.
Als we nu weer naar de temperatuur op hetzelfde punt (beeldpunt 
$({x}^\prime , {y}^\prime ) = (2,-2)$) kijken,
vinden we weer
$T({x}^\prime ,{y}^\prime ) = T(2,-2) = 30 + {19\times 2 \over 16} +{11\times (-2) \over 16}
= 30 + 2,375 - 1,375 = 31^\circ$C, zoals het hoort, want de temperatuur
is een scalairveld dat zich niets aantrekt van het co\"ordinatenstelsel
dat we kiezen. Beide waarnemers zijn het eens: in de vari\"eteit (het stukje
aardoppervlak waar de kaarten overlappen in dit geval) is de temperatuur op punt $\mathcal{P}$
gelijk aan $31^\circ$C.

\subsubsection{Vectorveld}

Het begrip vector is ontstaan in de fysica en wel door begrippen als
snelheid en versnelling. Deze objecten hebben een grootte
en een richting en ze kunnen worden opgeteld en met een re\" eel getal
vermenigvuldigd.
Veel verwarring komt voort uit het feit dat de naam `vector' refereert
naar twee verschillende concepten: enerzijds een zuiver numeriek object
(een rij of kolom getallen) en anderzijds een object met geometrische
of topologische eigenschappen. In deze laatste betekenis is de vector
onafhankelijk van het referentiesysteem en heeft daarom geen unieke
decompositie in numerieke elementen. We benadrukken het om een vector
(of meer algemeen een tensor)
te zien als een `geometrisch object', iets dat men zich kan voorstellen
zonder te moeten refereren naar een specifiek referentiesysteem.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/vectorfield.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Grafische voorstelling van een vectorveld als een
`verdeling van pijltjes over de vari\"eteit' getekend op $\mathcal{S}$.
De vectoren zijn gebonden aan hun plaats.}
\label{fig:vectorveld}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:vectorveld} geeft een voorstelling van een vectorveld,
bijvoorbeeld de horizontale windsnelheid op het oppervlak van de aarde.

\medskip
\noindent
Een topologische vector is een object $\vec V$ dat leeft in een bepaalde ruimte,
in ons voorbeeld van het aardoppervlak is dat een niet-euclidische twee-dimensionale ruimte met
constante positieve kromming\footnote{Andere voorbeelden zijn de
Hilbertruimte met complexe golffuncties van de quantummechanica,
of de Minkowskiruimte van de
speciale relativiteitstheorie.}. De vector heeft een bepaalde betekenis
in die ruimte en stelt in ons voorbeeld de horizontale windsnelheid
op het oppervlak van de aarde voor.
We kunnen vectoren tekenen als pijltjes, zonder
te refereren naar een bepaalde basis, en dat hebben we gedaan in
Fig. \ref{fig:vectorveld}. 
%We kunnen twee vectoren optellen
%door het begin van een vector aan de eind van de andere vector te plaatsen;
%een eenvoudige grafische regel.

\medskip
\noindent
Er is geen unieke manier om een topologische
vector te expanderen in termen van componenten. Zonder verdere
informatie is een bewering als
\begin{equation}
\vec V = \left(
\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right) 
\end{equation}
zonder enige betekenis, omdat we niet weten welke basis we dienen te gebruiken.
Wat we dienen te doen, is iets te schrijven als
\begin{equation}
\vec V \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{}
\left( \begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right)
\label{eq:vector1}
\end{equation}
waarmee we met het pijltje $\xrightarrow[ O ]{}$ bedoelen dat de vector $\vec V$
componenten $a$ en $b$ heeft, die gegeven zijn in het referentiesysteem van
waarnemer $\mathcal{O}$ (bijvoorbeeld het $(x,y)$ systeem).
De vector $\vec V$ is een pijl met als componenten een verzameling van
co\"ordinatenstelsel afhankelijke getallen. We kunnen ook schrijven
\begin{equation}
\vec V =  a \vec e_{x(\mathcal{O})} + b \vec e_{y(\mathcal{O})},
\end{equation}
waarbij $\vec e_{x(\mathcal{O})}$ en $\vec e_{y(\mathcal{O})}$
de basisvectoren in het
referentiesysteem van waarnemer $\mathcal{O}$ zijn. We hadden net zo goed
een andere waarnemer kunnen kiezen, bijvoorbeeld ${\mathcal{O}}^\prime$,
en dan geldt
\begin{equation}
\vec V \xrightarrow[ {\mathcal{O}}^\prime ]{}
\left( \begin{array}{c}
p \\
q \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
waarbij
\begin{equation}
\vec V =  p \vec e_{X({\mathcal{O}}^\prime )} +
q \vec e_{Y({\mathcal{O}}^\prime )},
\label{eq:vector2}
\end{equation}
met $\vec e_{X({\mathcal{O}}^\prime )}$ en $\vec e_{Y({\mathcal{O}}^\prime )}$
de basisvectoren in het
referentiesysteem van waarnemer ${\mathcal{O}}^\prime$ (bijvoorbeeld het $(X,Y)$ systeem).
Merk op dat vergelijkingen
(\ref{eq:vector1}) - (\ref{eq:vector2}) alle geldige beschrijvingen zijn van
{\sl dezelfde} topologische vector $\vec V$.

\medskip
\noindent
Het is verleidelijk om te denken dat het symbool $\vec e_x$ de $x$-component van
de $\vec e$-vector voorstelt. We bedoelen echter met $\vec e_x$ een volledige vector,
waarbij het subscript $x$ onderdeel is van de naam van de vector en aangeeft
welke van de basisvectoren we bedoelen (namelijk de basisvector in de $x$-richting).
De vector $\vec e_x$ heeft zelf componenten, waarvan de $x$-component geschreven
kan worden als $(\vec e_x)_x$. De volledige basis\footnote{Er worden vaak andere symbolen
gebruikt voor de basisvectoren, zoals $\bf i$, $\bf j$ en $\bf k$. Ook is het
mogelijk om $\vec e$ te zien als een object met hogere rang, bijvoorbeeld een
vector van vectoren. Dat is niet fout, maar in ons geval ook niet nuttig.}
geven we in dit geval aan met \{$\vec e_x, \vec e_y$\}.

\medskip
\noindent
Elke complete set vectoren kan gebruikt worden als basis. In Fig. \ref{fig:manifold}
zijn de referentiesystemen van drie waarnemers weergegeven. Een topologische
vector wordt voorgesteld door de pijl (zie Fig. \ref{fig:vectorveld}) en hoort niet bij een of
ander referentiesysteem. Het is een topologisch object met zelfstandig bestaansrecht.
De waarnemers bekijken het echter vanuit hun eigen gezichtspunt (referentiesysteem).
Cruciaal is te begrijpen dat de vector {\sl niet} verandert als we van het ene naar
het andere referentiesysteem gaan. Er geldt
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right)_{\mathcal{O}} =
\left( \begin{array}{c}
p \\
q \\
\end{array}
\right)_{{\mathcal{O}}^\prime}.
\end{equation}
Natuurlijk zijn de componenten $a$ en $b$ niet gelijk aan $p$ en $q$ en
dienen we een voorschrift te vinden hoe we deze kunnen berekenen als we van
basis veranderen. We gaan als volgt te werk: kies eerst een
puntgebeurtenis $\mathcal{P}$. Op deze puntgebeurtenis kiezen we
dan een complete set onafhankelijke vectoren (hierbij is elke
redelijke keuze geoorloofd). We noemen deze vectoren $\vec e_i$ en gebruiken
deze als basis om andere vectoren op punt $\mathcal{P}$ in te expanderen:
$\vec u = \sum u^\alpha \vec e_\alpha$ en $\vec v = \sum v^\alpha \vec e_\alpha$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/tangent.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De basisvectoren die door een co\"ordinatensysteem worden ge\"{\i}nduceerd,
vormen een tangentenruimte op elke gebeurtenis van de vari\"eteit.}
\label{fig:tangent}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:tangent} toont dat
deze basis een tangentenruimte $T_P$ definieert op punt $\mathcal{P}$.
Alle vectoren worden {\sl lokaal} op dit punt beschreven\footnote{We
stappen dus af van het begrip vrije vector. In de algemene relativiteitstheorie
kunnen we een vector niet eenvoudig vrij verplaatsen!}. 
De richtingsafgeleiden $\partial_\alpha \equiv \partial_{\vec e_\alpha}$
langs deze co\"ordinaten spannen de tangentenruimte (de raakruimte in 
punt $\mathcal{P}$) op. In Fig. \ref{fig:tangent} hebben we als co\"ordinaten
$\chi (\mathcal{P})$ en $\psi (\mathcal{P})$ gebruikt. De basisvectoren
worden gegeven door de richtingsafgeleiden langs de co\"ordinaatlijnen
en zijn $\partial / \partial \chi$ en $\partial / \partial \psi$. We kunnen
een vector dus zien als een richtingsafgeleide. We zien dat deze vectoren
{\sl niet} in de vari\"eteit liggen, maar een eigen vectorruimte opspannen.
Alhoewel Fig. \ref{fig:tangent} een inzichtelijke voorstelling geeft, dienen
we ons te realiseren, dat een abstracte vari\"eteit beschouwd dient te
worden als een zelfstandige entiteit: er is geen hogere-dimensionele
ruimte waarin de vari\"eteit en zijn tangentenruimten zijn ingebed.
We geven een toelichting aan de hand
van een voorbeeld dat de gang van zaken in de vertrouwde drie-dimensionale
euclidische ruimte beschrijft.

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} co\"ordinatensysteem in euclidische ruimte

\medskip
\noindent
We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische co\"ordinaten $(x,y,z)$
en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren $\{ \vec i, \vec j, \vec k \}$.
We gebruiken dit systeem als algemene referentie om andere, niet cartesische
co\"ordinaten in te beschrijven.
We hebben een tweede co\"ordinatensysteem $(u,v,w)$ dat niet cartesisch is,
bijvoorbeeld de sferische co\"ordinaten $(r, \theta , \phi )$. Er geldt
\begin{equation}
x = x (u,v,w),~~~~ y = y(u,v,w), ~~~~ z=z(u,v,w),
\label{eq:partieel}
\end{equation}
en we kunnen dit inverteren om $u,v,w$ te schrijven in termen van $x,y,z$.
We kunnen bovenstaande vergelijking schrijven als
\begin{equation}
\vec r = x(u,v,w)\vec i + y(u,v,w)\vec j + z (u,v,w)\vec k,
\end{equation}
Indien we $w$ gelijk zetten aan de constante $w_0$, terwijl $u,v$ mogen
vari\"eren, krijgen we
\begin{equation}
\vec r = x(u,v,w_0)\vec i + y(u,v,w_0)\vec j + z (u,v,w_0)\vec k.
\end{equation}
hetgeen een parametrische vergelijking is voor het co\"ordinatenoppervlak
$w=w_0$, waarbij de co\"ordinaten $u,v$ de rol van parameters spelen.
We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere oppervlakken
op identieke wijze verkrijgen. Als we in bovenstaande vergelijking
$v=v_0$ en $w=w_0$ stellen, maar $u$ laten vari\"eren, krijgen we
\begin{equation}
\vec r = x(u,v_0,w_0)\vec i + y(u,v_0,w_0)\vec j + z (u,v_0,w_0)\vec k,
\label{eq:curve}
\end{equation}
krijgen we een parametrische vergelijking voor de co\"ordinatencurve
gegeven door de snijlijn van vlakken $v=v_0$ en $w=w_0$, waarbij $u$
de rol van parameter langs de curve speelt.
We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere curven
op identieke wijze verkrijgen.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/sferisch.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De co\"ordinaatoppervlakken (bol, kegel en halfruimte)
en co\"ordinaatcurven voor sferische co\"ordinaten.}
\label{fig:sferisch}
\end{figure}
Door elk punt $\mathcal{P}$ met co\"ordinaten $(u_0,v_0,w_0)$ gaan drie
{\sl co\"ordinaatvlakken} gegeven door $u=u_0$, $v=v_0$ en $w=w_0$. De
vlakken snijden elkaar in {\sl co\"ordinaatcurven}. Voor sferische
co\"ordinaten hebben we
\begin{equation}
x=r\sin{\theta}\cos{\phi},~~~~y=r\sin{\theta}\sin{\phi},~~~~z=r\cos{\theta}.
\end{equation}
waarbij de co\"ordinaten het volgende bereik hebben: $r \geq 0$,
$0 \leq \theta \leq \pi$ en $0 \leq \phi < 2\pi$.
Fig. \ref{fig:sferisch}
toont dat het co\"ordinaatvlak $r=r_0$ een bol is met straal $r_0$,
het co\"ordinaatvlak $\theta = \theta_0$ is een oneindige kegel met de apex
in de oorsprong en de as verticaal, en het co\"ordinaatvlak $\phi = \phi_0$ is een
half-oneindig vlak met de $z$-as als rand.

\medskip
\noindent
De oppervlakken $\theta = \theta_0$ en $\phi = \phi_0$ snijden elkaar en dat
resulteert in de co\"ordinaatcurve die een deellijn is die vanaf $O$ vertrekt
door $\mathcal{P}$ gaat; de oppervlakken $\phi = \phi_0$ en $r = r_0$ snijden
elkaar in de curve die een halve cirkel is met eindpunten op de $z$-as en
die door $\mathcal{P}$ gaat; en de oppervlakken $r = r_0$ en $\theta = \theta_0$
snijden elkaar in de horizontale cirkel door $\mathcal{P}$ met het middelpunt
op de $z$-as.

\medskip
\noindent
Als we vergelijking (\ref{eq:curve}) differenti\"eren naar de parameter $u$,
krijgen we een tangentenvector aan de co\"ordinaatcurve. Omdat we tijdens
differenti\"eren $v$ en $w$ constant houden (want op deze wijze was de
curve gedefinieerd), hebben we in feite de {\sl parti\"ele afgeleide}
naar $u$ genomen van vergelijking (\ref{eq:partieel}). Als we op dezelfde
manier vergelijking (\ref{eq:partieel}) partieel afleiden naar $v$ en $w$,
krijgen we de tangentenvectoren van de andere twee co\"ordinaatcurven.
De drie parti\"ele afgeleiden
\begin{equation}
\vec e_u \equiv {\partial \vec r \over \partial u},~~~~
\vec e_v \equiv {\partial \vec r \over \partial v},~~~~
\vec e_w \equiv {\partial \vec r \over \partial w},
\label{eq:natuurlijk}
\end{equation}
berekend op punt $(u_0,v_0,w_0)$ geven tangentenvectoren aan de drie
co\"ordinaatcurven die door $\mathcal{P}$ gaan. Op deze wijze
verkrijgen we de {\sl natuurlijke basis} $\{ \vec e_u,\vec e_v,\vec e_w \}$
op punt $\mathcal{P}$. In het algemeen is deze basis niet orthogonaal
en zijn de vectoren geen eenheidsvectoren.

\medskip
\noindent
Gegeven een vectorveld $\vec \lambda$, kunnen we in elk punt $\mathcal{P}$
de vector $\vec \lambda$ refereren aan basis $\{ \vec e_u, \vec e_v,\vec e_w \}$,
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^u \vec e_u + \lambda^v \vec e_v + \lambda^w \vec e_w .
\label{eq:lambda}
\end{equation}
We gebruiken $u^i$ $(i=1,2,3)$ in plaats van $(u,v,w)$ voor de co\"ordinaten,
en $\{ \vec e_i \}$ $(i=1,2,3)$ in plaats van $\{ \vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$
voor de natuurlijke basis. Voor een vector $\vec \lambda$ duiden we
de componenten in de basis $\{ \vec e_i \}$ aan met $\lambda^i$ $(i=1,2,3)$.
We kunnen vergelijking (\ref{eq:lambda}) nu uitdrukken als
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^1 \vec e_1 + \lambda^2 \vec e_2 + \lambda^3 \vec e_3
= \sum_{i=1}^{3} \lambda^i \vec e_i .
\label{eq:lambda1}
\end{equation}
We spreken nu af dat een index uit het midden van het alfabet ($i,j,k, ...$)
altijd loopt over de waarden 1,2 en 3. Verder sommeren we automatisch
als dezelfde index voorkomt als superscript en subscript (dit heet de
sommatieconventie van Einstein). We kunnen vergelijking (\ref{eq:lambda1})
nu schrijven als $\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i$.
Merk op dat de twee indices die we op deze wijze gebruiken,
{\sl dummie indices} genoemd worden. We mogen deze vervangen door andere
letters (die nog niet in gebruik zijn).

\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}
\normalsize

\bigskip
\noindent
In het volgende bestuderen we vectoren in ruimtetijd. Omdat ruimtetijd uit drie
ruimtelijke en \'e\'en tijddimensie bestaat, vormt het een vier-dimensionale
structuur. De vectoren die in ruimtetijd leven, worden dan ook viervectoren
genoemd. Als we een co\"ordinatenstelsel aanbrengen, hebben deze vectoren vier
componenten. Een typische vector is de verplaatsingsvector
$\Delta \vec x \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} (\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)$,
die twee gebeurtenissen $P$ en $Q$ verbindt.
Een andere notatie is
$\Delta \vec x \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} \left\{ \Delta x^\alpha \right\}$. Als we
willen weten wat de componenten van deze vector zijn in een ander co\"ordinatenstelsel,
bijvoorbeeld het systeem ${ \mathcal{O}}^\prime$, dan schrijven we
$\Delta \vec x \xrightarrow[ {\mathcal{O}}^\prime ]{} \left\{ \Delta x^{\alpha^\prime} \right\}$.
We gebruiken het accent boven de index om de nieuwe co\"ordinaten aan te geven. De
vector $\Delta \vec x$ is hetzelfde en daarvoor hebben we geen nieuwe notatie nodig
als we van referentiesysteem veranderen. We kunnen de nieuwe componenten
$\Delta x^{\alpha^\prime}$ vinden met behulp van de transformatiematrix van
het ene naar het andere systeem (zie vergelijking (\ref{eq:transmatrix})) en we
schrijven
\begin{equation}
\Delta x^{\alpha^\prime}
= \sum_{\beta = 0}^3 \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \Delta x^\beta
= \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \Delta x^\beta
\label{eq:vectora}
\end{equation}
voor willekeurige $\alpha^\prime$. De verzameling $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$
bestaat uit 16 getallen die de transformatiematrix vertegenwoordigen.
De notatie maakt weer gebruik van Einsteins sommatieconventie en vergelijking
(\ref{eq:vectora}) stelt eigenlijk vier verschillende vergelijkingen voor
(${\alpha}^\prime = 0,1,2,3$).

\medskip
\noindent
Een algemene vector (wij zijn ge\"{\i}nteresseerd in viervectoren) is {\sl gedefinieerd}
als een verzameling getallen (de componenten van de vector ten opzichte van
een bepaalde basis, $\mathcal{O}$) als
$\vec V \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} (V^0, V^1, V^2, V^3) = \left\{ V^\alpha \right\}$
en door de regel dat zijn componenten in een systeem ${\mathcal{O}}^\prime$
gegeven worden door
\begin{equation}
V^{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} V^\beta.
\label{eq:vectortransf}
\end{equation}
Dus de componenten van een vector (vergelijking (\ref{eq:vectortransf}))
transformeren op dezelfde manier als de co\"ordinaten (vergelijking (\ref{eq:vectora})).

\medskip
\noindent
De componenten $V^\alpha$ van een vector $\vec V$ ten opzichte
van de natuurlijke basis $\{ \vec e_\alpha \}$ worden de
{\sl contravariante componenten} genoemd. Een object waarvan de componenten
contravariant transformeren, een vector, noemen we een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor. Stel dat we twee systemen met curvelineaire co\"ordinaten hebben
in ruimtetijd, aangegeven met $\mathcal{O}$ en
${\mathcal{O}}^\prime$. We vragen ons af hoe
de contravariante componenten van een vector veranderen als we
van het ene naar het andere systeem gaan. We noemen $\{ \vec e_\alpha \}$
de basis in het systeem van waarnemer $\mathcal{O}$ en $\{ \vec e_{\alpha^\prime} \}$
de basis in het systeem van waarnemer ${\mathcal{O}}^\prime$.
Er geldt
\begin{equation}
\vec V = V^\alpha \vec e_\alpha = V^{\alpha^\prime} \vec e_{\alpha^\prime} .
\label{eq:lambda2}
\end{equation}
We kunnen bovenstaande relatie gebruiken om de transformatiewet voor de basisvectoren
te vinden, dit wil zeggen de relatie tussen $\left\{ \vec e_\alpha \right\}$
en $\left\{ \vec e_{\alpha^\prime} \right\}$. Met vergelijking (\ref{eq:vectortransf})
kunnen we vergelijking (\ref{eq:lambda2}) schrijven als
\begin{equation}
\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} V^\beta \vec e_{\alpha^\prime}
= V^\alpha \vec e_\alpha ~\rightarrow ~
V^\beta \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \vec e_{\alpha^\prime}
= V^\alpha \vec e_\alpha ~\rightarrow ~
V^\alpha \Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime} \vec e_{\beta^\prime}
= V^\alpha \vec e_\alpha ~\rightarrow ~
V^\alpha (\Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime} \vec e_{\beta^\prime}
-\vec e_\alpha ) = 0.
\end{equation}
In de eerste stap maken we gebruik van het feit dat $\Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime}$
en $V^\beta$ gewoon getallen zijn, en dat hun volgorde in een eindige som niet uitmaakt.
In de tweede stap gebruiken we het feit dat $\beta$ en ${\alpha}^\prime$ dummie
indices zijn: we veranderen $\beta$ in $\alpha$ en ${\alpha}^\prime$ in
${\beta}^\prime$. De laatste vergelijking moet waar zijn voor elke verzameling
$\left\{ V^\alpha \right\}$ omdat $\vec V$ een willekeurige vector is. We vinden
\begin{equation}
\vec e_\alpha = \Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime} \vec e_{\beta^\prime}
\end{equation}
en dit is de transformatiewet voor basisvectoren. Het is geen transformatie
van componenten, maar geeft de basis $\left\{ \vec e_\alpha \right\}$ van
$\mathcal{O}$ als een lineaire som van de basis $\left\{ \vec e_{\alpha^\prime} \right\}$
van ${\mathcal{O}}^\prime$. Als we dit vergelijken met relatie (\ref{eq:vectortransf})
dan zien we dat het transformatiegedrag verschilt.  Omdat de componenten
met de inverse transformatiematrix van die van de basisvectoren transformeert,
noemen we de componenten van een vector contravariant.

\medskip
\noindent
We kunnen de inverse transformaties vinden door ons te realiseren dat
de systemen $\mathcal{O}$ en ${\mathcal{O}}^\prime$ op gelijke voet
staan. We kunnen derhalve de indices met en zonder accenten verwisselen
en vinden voor de inverse transformatie van basis en componenten
%\begin{center}
%  \hfill \boxed{ \vec e_{j^\prime} = U_{j^\prime}^i \vec e_i ,~~~~{\rm en}~~~~
%\lambda^i = U_{j^\prime}^i \lambda^{j^\prime} . } \hfill (22)
%\end{center}
%\setcounter{equation}{22}
\begin{equation}
\vec e_{\beta^\prime} = \Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha \vec e_\alpha ,~~~~{\rm en}~~~~
V^\alpha = \Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha V^{\beta^\prime}.
\label{eq:inverse}
\end{equation}
Dit volgt ook uit het feit dat eerst heen en vervolgens
terug transformeren niets mag veranderen. Dit leidt tot de identiteit
\begin{equation}
\Lambda_{~\beta^\prime}^\nu \Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime} = \delta_{~\alpha}^\nu .
\end{equation}
Merk op dat we bovenstaand verband al hadden gevonden in vergelijking (\ref{eq:kronecker}).

\medskip
\noindent
We eindigen de discussie over vectoren met een voorbeeld in $\mathbb{R}^2$.
Stel dat $V^i$ met $i=1,2$ de contravariante componenten zijn van een vector,
en dat $V^i = (x^2,x^1)$ in het co\"ordinatenstelsel ${\bf x} = \{ x_i \}$.
We willen nu de componenten van deze vector, $V^{i^\prime}$, berekenen in
het systeem ${\bf x}^\prime = \{ x^{i^\prime} \}$ met transformatie
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
x^{1^\prime} & = & (x^2)^2 \neq 0 \\
x^{2^\prime} & = & x^1x^2 . \\
\end{array}
\end{equation}
Volgens de definitie van covariantie, vergelijking (\ref{eq:vectortransf}), geldt
\begin{equation}
V^{i^\prime} = V^r \Lambda_{~r}^{i^\prime} 
= V^1{\partial x^{i^\prime} \over \partial x^1} + V^2{\partial x^{i^\prime} \over \partial x^2},
\end{equation}
waarbij we vergelijking (\ref{eq:transmatrix}) gebruikt hebben om
$\Lambda_{~r}^{i^\prime}$ uit te werken. We zien dat we de transformatiematrix nodig hebben
voor geval $i=1$ en $i=2$. We vinden
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cc}
{\partial x^{1^\prime} \over \partial x^1} & {\partial x^{1^\prime} \over \partial x^2} \\
{\partial x^{2^\prime} \over \partial x^1} & {\partial x^{2^\prime} \over \partial x^2} \\
\end{array} \right) = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 2x^2 \\
x^2 & x^1 \\
\end{array} \right) .
\end{equation}
Dit geeft
\begin{equation}
V^{1^\prime} = V^1(0) + V^2(2x^2) = 2x^1x^2~~~~~
V^{2^\prime} = V^1(x^2) + V^2(x^1) = (x^2)^2 + (x^1)^2 
\end{equation}
en in termen van de geaccentueerde co\"ordinaten wordt dit
\begin{equation}
V^{1^\prime} = 2x^{2^\prime} ~~~~~
V^{2^\prime} = x^{1^\prime} +{(x^{2^\prime})^2 \over x^{1^\prime}}.  
\end{equation}

\subsubsection{Lineaire functionaal, 1-vorm of covectorveld}

Een tensor van het type
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
wordt een covector, een covariante vector, een lineaire functionaal\footnote{Terwijl
een functie een getal als argument neemt en een getal als resultaat oplevert,
neemt een functionaal een functie als argument en levert een getal als resultaat.
Een voorbeeld is de totale massa die hoort bij een dichtheidsverdeling,
waarbij $m = \int \rho (x,y,z) dxdydz$.} of
een 1-vorm genoemd. De lineaire functionaal\footnote{Net zoals
we vectoren aangeven door een pijltje ($\vec V$) boven het symbool te plaatsen, geven
we een lineaire functionaal aan door er een tilde ($\tilde{p}$) boven te plaatsen.}
$\tilde{p}$ heeft een vector als argument en beeldt af op de re\"ele getallen:
$\tilde{p}(\vec V)$ is een re\"eel getal\footnote{Je kunt de 1-vorm zien als
een apparaat met een sleuf. Als in deze sleuf een vector geplaatst wordt,
dan rolt er een getal uit het apparaat.}. De functionalen voldoen aan
de axioma's voor een vectorruimte. Deze ruimte wordt de {\sl duale vectorruimte}
genoemd om het te onderscheiden van de ruimte van alle vectoren $\vec V$.
De componenten van $\tilde{p}$ worden $p_\alpha$ genoemd en er geldt
\begin{equation}
p_\alpha \equiv \tilde{p} (\vec e_\alpha ) .
\end{equation}
Elke component met \'e\'en enkel subscript is per conventie de component
van een 1-vorm; een superscript geeft een component van een vector aan.
In termen van componenten wordt $\tilde{p} (\vec V )$ gegeven door
\begin{equation}
\tilde{p} (\vec V ) = \tilde {p} (V^\alpha \vec e_\alpha )
= V^\alpha \tilde{p} (\vec e_\alpha ) = V^\alpha p_\alpha .
\label{eq:1vormcomp}
\end{equation}
Merk op dat we in bovenstaande afleiding gebruik maken van de
lineariteit van de functionaal. Voor ruimtetijd ($n=4$) is het getal
$\tilde{p} (\vec V )$ gelijk aan $V^0p_0+V^1p_1+V^2p_2+V^3p_3$
en de bewerking wordt {\sl contractie van $\vec V$ en $\tilde{p}$} genoemd.

\medskip
\noindent
De componenten van $\tilde{p}$ op een andere basis $\{ \vec e_{\alpha^\prime} \}$ zijn
\begin{equation}
p_{\alpha^\prime} \equiv \tilde{p} (\vec e_{\alpha^\prime})
= \tilde{p} (\Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta \vec e_\beta )
= \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta \tilde{p} ( \vec e_\beta )
= \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta p_\beta .
\end{equation}
Als we dit vergelijken met uitdrukking (\ref{eq:inverse}) dan zien we
dat de componenten van 1-vormen op precies dezelfde wijze transformeren als 
basisvectoren en tegengesteld aan de componenten van vectoren. Met tegengesteld
bedoelen we met de inverse transformatie (zie weer
vergelijking (\ref{eq:inverse})).
Dit gebruik van de inverse garandeert dat het $V^\alpha p_\alpha$ systeem
onafhankelijk is voor iedere vector $\vec V$ en 1-vorm $\tilde{p}$.
De inverse transformatie geeft aanleiding tot het woord {\sl duaal}
in {\sl duale vectorruimte}. De eigenschap van transformeren {\sl met}
basisvectoren geeft aanleiding tot de {\sl co} in {\sl covariante vector}.
Omdat componenten van gewone vectoren tegengesteld transformeren aan
de basisvectoren, worden ze {\sl contravariant} genoemd.

\medskip
\noindent
Omdat de 1-vormen een vectorruimte opbouwen, kunnen we een verzameling van
onafhankelijke 1-vormen als basis kiezen. We hebben de basis $\{ \vec e_\alpha \}$
reeds gebruikt om de componenten van de 1-vorm te defini\"eren. We kunnen
nu de geassocieerde 1-vorm basis $\tilde{\omega}^\alpha , \alpha = 0,...,3$
defini\"eren die we {\sl duaal} aan $\{ \vec e_\alpha \}$ noemen. Dat wil
zeggen dat we de verzameling $\{ \tilde{\omega} \}$ z\'o kiezen, dat
\begin{equation}
\tilde{p} = p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha .
\label{eq:1vormbasis}
\end{equation}
We vinden op deze manier specieke 1-vormen als basis.
Merk op dat we de notatie weer zodanig kiezen, dat we gebruik kunnen
maken van de sommatieconventie. Als we vergelijking (\ref{eq:1vormbasis})
gebruiken, vinden we
\begin{equation}
\tilde{p}(\vec V) = p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha (\vec V)
= p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha (V^\beta \vec e_\beta)
= p_\alpha V^\beta \tilde{\omega}^\alpha (\vec e_\beta) .
\end{equation}
Het bovenstaande dient gelijk te zijn aan $p_\alpha V^\alpha$ en
daaruit volgt
\begin{equation}
\tilde{\omega}^\alpha (\vec e_\beta) = \delta_{~\beta}^\alpha .
\label{eq:1vormdelta}
\end{equation}
Bovenstaande relatie definieert de 1-vorm basis: de vector basis
induceert een unieke en bruikbare 1-vorm basis\footnote{Dit is
niet de enig mogelijke basis voor 1-vormen. Men kan eenvoudig
laten zien dat andere basis 1-vormen voldoen aan $\tilde{\omega^\prime} =
U_{~\beta}^{\alpha^\prime} \tilde{\omega}^\beta$.}. 

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/1vorm.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: de waarde $\tilde{p}(\vec V)$ is gelijk aan 2,5.
Rechts: een topologische kaart demonstreert de gradi\"ent 1-vorm (lokale
contouren van constante hoogte). De verandering van hoogte voor een
reis (pijl) is het aantal contouren dat door de pijl doorboord wordt.
Deze is het grootst voor reis (2).}
\label{fig:1vorm}
\end{figure}

\noindent
Bij vectoren denken we meestal aan een pijl als we een beeld nodig hebben.
Het kan handig zijn om ook een voorstelling van een 1-vorm te hebben.
Dit beeld moet het feit uitdrukken dat een 1-vorm een afbeelding
is van een vector naar een re\"eel getal. In de drie-dimensionale
ruimte kan men zich een 1-vorm $\tilde{p}$ op punt $\mathcal{P}$
voorstellen als een aantal parallelle vlakken. De contractie met een
vector $\vec V$ is dan het aantal vlakken dat door de vector
`doorboord' wordt. Hoe dichter de oppervlakken bij elkaar staan,
hoe groter $\tilde{p}(\vec V)$.

\medskip
\noindent
Het dualisme is overigens compleet, omdat we vectoren ook kunnen beschouwen als
functies die 1-vormen afbeelden op de re\"ele getallen. Gegeven vector $\vec V$
krijgen we een re\"eel getal als we de vector voorzien van een 1-vorm,
\begin{equation}
\vec V (\tilde{p}) \equiv \tilde{p}(\vec V) \equiv p_\alpha V^\alpha.
\end{equation}
Vectoren hebben dus geen speciale positie als objecten die als input
dienen voor tensoren. We kunnen een vector ook als tensor zien: een lineaire
functie van een 1-vorm naar een re\"eel getal. Vectoren en 1-vormen hebben
hiermee een gelijke en symmetrische status.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/curve22.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Het pad in ruimtetijd wordt geparametriseerd door de eigentijd
$\tau$ van een deeltje. Op tijd $\tau_1$ heeft het scalaire veld $\phi$ de
waarde $\phi (\tau_1)$ en op tijd $\tau_2$ de waarde $\phi (\tau_2)$.
De viersnelheid $\vec U$ is de raakvector aan de wereldlijn.}
\label{fig:curve22}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Voordat we de beschrijving van 1-vormen afsluiten zullen we nog een
speciale 1-vorm bespreken, de gradi\"ent. We beschouwen in Fig. \ref{fig:curve22}
een scalair veld
$\phi (\vec x) = \phi (t,x,y,z)$. De wereldlijn van een waarnemer meet een waarde voor $\phi$
voor elke gebeurtenis die hij meemaakt en deze waarde verandert voortdurend.
We parametriseren de wereldlijn met de eigentijd $\tau$ van de waarnemer
en dit staat ons toe om de co\"ordinaten van gebeurtenissen op de wereldlijn
uit te drukken als functies van $\tau$. Er geldt
$[ t=t(\tau ), x=x( \tau ), y=y( \tau ), z=z(\tau )]$. De viersnelheid
heeft componenten
$\vec U \rightarrow \left(
{dt \over d\tau}, {dx \over d\tau}, {dy \over d\tau},{dz \over d\tau} \right)$
en is duidelijk een viervector, want het is de verplaatsingsvector gedeeld
door een getal (de eigentijd). Omdat $\phi$ een functie is van $t$, $x$, $y$ en $z$, 
is $\phi$ op de wereldlijn impliciet een functie van $\tau$,
$\phi(\tau ) = \phi[t(\tau ), x( \tau ), y( \tau ), z(\tau )]$.
De mate van verandering van $\phi$ op de wereldlijn, dat is de
afgeleide, bedraagt
\begin{equation}
{d\phi \over d\tau} = {\partial \phi \over \partial t}{dt \over d\tau}
+ {\partial \phi \over \partial x}{dx \over d\tau}
+ {\partial \phi \over \partial y}{dy \over d\tau}
+ {\partial \phi \over \partial z}{dz \over d\tau}
= {\partial \phi \over \partial t}U^t
+ {\partial \phi \over \partial x}U^x
+ {\partial \phi \over \partial y}U^y
+ {\partial \phi \over \partial z}U^z
=\tilde{\rm d}\phi (\vec U).
\end{equation}
Het is duidelijk dat we in bovenstaande vergelijking erin geslaagd zijn
om met de vector $\vec U$ het getal $d\phi /d\tau$ te produceren, dat
de mate van verandering van $\phi$ is langs de wereldlijn waaraan
$\vec U$ een tangent vector is. Dit getal $d\phi /d\tau$ wordt verkregen
met een uitdrukking die duidelijk
een lineaire functie van $\vec U$ is en hiermee hebben we dus een 1-vorm
gedefinieerd. Vergelijken met uitdrukking (\ref{eq:1vormcomp}) toont
dat deze 1-vorm de componenten
${\partial \phi \over \partial t},{\partial \phi \over \partial x},
{\partial \phi \over \partial y},{\partial \phi \over \partial z}$ heeft.
Deze 1-vorm wordt de gradi\"ent van $\phi$ genoemd en aangeduid met $\tilde{\rm d}\phi$.
Er geldt
\begin{equation}
\tilde {\rm d}\phi \xrightarrow[{\mathcal{O}}]{} \left(
{\partial \phi \over \partial t},{\partial \phi \over \partial x},
{\partial \phi \over \partial y},{\partial \phi \over \partial z} \right)
~~~~{\rm of~ook~} \tilde{\rm d}\phi = \nabla \phi~~{\rm met~} \nabla_\alpha \phi =
{\partial \phi \over \partial x^\alpha} .
\label{eq:1vormv}
\end{equation}
Merk op dat ondanks de notatie, $\tilde{\rm d}\phi$ niet klein hoeft te zijn.
We zien dus verder dat de gradi\"ent een 1-vorm is, terwijl we in de vectoranalyse
geleerd hebben dat het een vectorgrootheid is. De reden hiervoor is dat
er een metriek nodig is om 1-vormen aan vectoren te relateren. Op dit
moment hebben we deze extra mathematische structuur nog niet aan onze
vari\"eteit opgelegd.

\medskip
\noindent
We kunnen vergelijking (\ref{eq:1vormv}) nog controleren op haar consistentie
door te bestuderen hoe de componenten transformeren. Voor een 1-vorm
moet gelden $(\tilde {\rm d} \phi )_{\alpha^\prime} =
\Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta (\tilde {\rm d}\phi )_\beta$.
We weten hoe parti\"ele afgeleiden transformeren, namelijk
\begin{equation}
{\partial \phi \over \partial x^{\alpha^\prime}}
= {\partial \phi \over \partial x^{\beta}}
{\partial x^\beta \over \partial x^{\alpha^\prime}},
\end{equation}
hetgeen betekent dat
$(\tilde {\rm d} \phi )_{\alpha^\prime} =
\Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta (\tilde {\rm d}\phi )_\beta$, want
gegeven dat $x^\beta = \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta x^{\alpha^\prime}$
%en omdat $\Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta$ constanten zijn voor een
%Lorentztransformatie, 
geldt
\begin{equation}
{\partial \phi \over \partial x^{\beta}}
{\partial x^\beta \over \partial x^{\alpha^\prime}} =
\Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta {\partial \phi \over \partial x^{\beta}}.
\end{equation}
De componenten van de gradi\"ent transformeren met de inverse van de
componenten van vectoren. De gradi\"ent is dus een 1-vorm.

\medskip
\noindent
Van nu af aan zullen we parti\"ele afgeleiden aanduiden met de komma-notatie.
Er geldt de definitie
\begin{equation}
{\partial \phi \over \partial x} \equiv \phi_{,x}~~~~{\rm of~algemeen}~~~~
{\partial \phi \over \partial x^\alpha} \equiv \phi_{,\alpha}.
\end{equation}
Merk op dat de index $\alpha$ aan de linkerkant als een boven-index
optreedt en aan de rechterkant als een beneden-index.

\subsubsection{Algemene tensorvelden}

De 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensoren
zijn tensoren die twee vectorargumenten hebben. Een voorbeeld is de
metrische tensor, maar een eenvoudiger voorbeeld is het product van
twee 1-vormen. We gebruiken hierbij de volgende regel: als $\tilde{p}$
en $\tilde{q}$ beide 1-vormen zijn, dan is $\tilde{p}\otimes \tilde{q}$ de 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor die, als
hij de vectoren $\vec A$ en $\vec B$ als argumenten krijgt, het getal
$\tilde{p}(\vec A ) \otimes \tilde{q}(\vec B)$ produceert. Het is dus
het product van de getallen geproduceerd door de
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensoren.
Het symbool $\otimes$ wordt het tensorproduct genoemd en geeft de formele
notatie hoe we een 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor moeten samenstellen uit 1-vormen. Overigens is $\otimes$ niet
commutatief: $\tilde{p} \otimes \tilde{q} \neq \tilde{q} \otimes \tilde{p}$
zijn verschillende tensoren. De eerste geeft de waarde
$\tilde{p}(\vec A ) \tilde{q}(\vec B)$ en de tweede
$\tilde{q}(\vec A ) \tilde{p}(\vec B)$.

\medskip
\noindent
De meest algemene 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor is geen eenvoudig tensorproduct van twee 1-vormen, maar kan wel
altijd voorgesteld worden als een som van dergelijke tensoren. Hiertoe
beschouwen we de componenten van een willekeurige
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor $\bf f$.
Er geldt $f_{\alpha \beta} \equiv {\bf f}(\vec e_\alpha , \vec e_\beta )$,
waarbij elke index vier waarden kan aannemen voor ruimtetijd. In totaal
heeft ${\bf f}$ dus 16 componenten. De waarde van ${\bf f}$ voor
willekeurige vectoren is
\begin{equation}
{\bf f}(\vec A , \vec B) = {\bf f}(A^\alpha \vec e_\alpha , B^\beta \vec e_\beta )
= A^\alpha B^\beta {\bf f}( \vec e_\alpha , \vec e_\beta ) 
= A^\alpha B^\beta f_{\alpha \beta} .
\end{equation}
De vraag is of we een basis kunnen vormen voor deze tensoren\footnote{Vergelijk
dit eens met wat we gedaan hebben in vergelijking (\ref{eq:1vormbasis}).}. Kunnen we
een verzameling bestaande uit 16 verschillende
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensoren $\tilde{\omega}^{\alpha \beta}$ defini\"eren, zodat geldt
${\bf f} = f_{\alpha \beta} \tilde{\omega}^{\alpha \beta}$? Als dat zo is,
dan dient te gelden
\begin{equation}
f_{\mu \nu} = {\bf f} (\vec e_\mu , \vec e_\nu )
= f_{\alpha \beta} ~ \tilde{\omega}^{\alpha \beta} (\vec e_\mu , \vec e_\nu )
\end{equation}
en dat betekent, dat moet gelden
\begin{equation}
\tilde{\omega}^{\alpha \beta} (\vec e_\mu , \vec e_\nu )
= \delta_{~\mu}^\alpha \delta_{~\nu}^\beta .
\end{equation}
Volgens vergelijking (\ref{eq:1vormdelta}) is $\delta_{~\mu}^\alpha$ de
waarde van $\tilde{\omega}^\alpha$ voor $\vec e_\mu$ en hetzelfde geldt
voor $\delta_{~\nu}^\beta$. Daarom is $\tilde{\omega}^{\alpha \beta}$ een
tensor, waarvan de waarde het product is van de waarden van de twee
basis 1-vormen. We concluderen derhalve
\begin{equation}
\tilde{\omega}^{\alpha \beta} = \tilde{\omega}^\alpha \otimes \tilde{\omega}^\beta .
\end{equation}
De tensoren $\tilde{\omega}^\alpha \otimes \tilde{\omega}^\beta$ vormen een basis
voor alle 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensoren, en we mogen schrijven
\begin{equation}
{\bf f} = f_{\alpha \beta} ~ \tilde{\omega}^\alpha \otimes \tilde{\omega}^\beta .
\end{equation}
Op deze wijze is een algemene
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor een som over eenvoudige tensorproduct tensoren.

\medskip
\noindent
Een tensor van het type
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
is een afbeelding (functie) van $M$ 1-vormen en $N$ vectoren naar re\"ele getallen,
die lineair is in elk van zijn $M+N$ argumenten\footnote{Men kan een
dergelijke tensor opvatten als een apparaat met $M$ gaten waar
men 1-vormen en $N$ gaten waar men
vectoren in kan stoppen. Nadat men die $M$ 1-vormen en $N$ vectoren erin gestopt heeft,
rolt er een re\"eel getal uit het apparaat. De uitkomst is lineair
in elk van de vectoren en 1-vormen die als input gebruikt zijn.}. 
Merk op dat deze definitie van een
tensor niet spreekt over de componenten van de 1-vormen en vectoren. De tensor
dient hetzelfde re\"ele getal als uitkomst te geven, onafhankelijk
van het gebruikte co\"ordinatensysteem.

\medskip
\noindent
Net als een 1-vorm en vector heeft ook een tensor componenten. De definitie is
als volgt: de componenten in een referentiesysteem $\mathcal{O}$ van
een tensor van het type
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
zijn de waarden van de functie als men voor de argumenten de
basis 1-vormen $\{ \vec e^\alpha \}$ en basisvectoren
$\{ \vec e_\alpha \}$ van het systeem $\mathcal{O}$ gebruikt.
De componenten van een tensor zijn dus afhankelijk van het referentiesysteem
van de waarnemer, omdat de basis immers per systeem verschilt. De tensor zelf
kan gezien worden als een topologisch object dat zelfstandig bestaat in
ruimtetijd en onafhankelijk gezien kan worden van co\"ordinatenstelsels.

\subsection{Metrische tensor}

Tot nu toe hebben we alleen vari\"eteiten beschouwd die een 
relatief eenvoudige vorm hebben.
De vari\"eteit is continu en differentieerbaar, waardoor we 1-vormen, vectoren
en andere tensoren kunnen defini\"eren. Verder betreft het een
amorfe verzameling punten (of puntgebeurtenissen). Er is nog geen
meetkunde gedefinieerd. Zo kunnen we twee vectoren (of 1-vormen) niet
afbeelden op een re\"eel getal. Er is dan ook nog geen concept van inproduct.

\medskip
\noindent
Als volgende stap kiezen we nu een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor ${\bf g}$ (van gravitatie)
die dienst gaat doen als de metriek van de vari\"eteit. Een dergelijke
vari\"eteit noemen we een riemannse vari\"eteit. De metrische tensor
maakt het mogelijk om de (kwadratische) lengte van een vector
te berekenen, of het scalaire product (inproduct) van twee
vectoren te bepalen. Ook zullen we zien dat de metriek een \' e\' en op \' e\' en
correspondentie levert tussen vectoren en 1-vormen. We defini\"eren
\begin{equation}
g( \vec A, \vec B) \equiv \vec A \cdot \vec B,
\end{equation}
en hieruit volgt direct dat de metrische tensor symmetrisch is,
$g( \vec A, \vec B) = g( \vec B, \vec A)$.
We beschouwen $g(~,~)$ als een functie met twee argumenten en die lineair
is in deze argumenten, bijvoorbeeld
\begin{equation}
g( \alpha \vec A + \beta \vec B, \vec C)
= \alpha g(\vec A,\vec C) + \beta g(\vec B,\vec C).
\end{equation}
Merk op dat deze definitie van metriek geen gebruik maakt van de componenten
van de vectoren. De metriek kan weer gezien worden als een topologisch
object in ruimtetijd. In een specifieke basis $\{ \vec e_\alpha \}$
heeft de metrische tensor componenten die gegeven zijn door
\begin{equation}
g(\vec e_\alpha ,\vec e_\beta) = \vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta
= g_{\alpha \beta}.
\end{equation}

\medskip
\noindent
De fundamentele rol van de metriek is om te zorgen voor een afbeelding
tussen vectoren en 1-vormen. Om te begrijpen hoe dit werkt, beschouwen
we $g$ en een enkele vector $\vec V$. Omdat $g$ twee vector argumenten
nodig heeft, kunnen we de uitdrukking $g(\vec V,~)$, waar nog een
argument ontbreekt, beschouwen als een functie van vectoren. Als men
aan $g(\vec V,~)$ nog een vector toekent, dan krijgen we een re\"eel
getal. Een dergelijke lineaire functie van vectoren die een re\"eel
getal produceert, noemen we een 1-vorm. We noemen het $\tilde{V}$.
Er geldt
\begin{equation}
g(\vec V,~) \equiv \tilde V(~),
\end{equation}
waar we tussen de haakjes het vector argument moeten aanleveren.
Dan geldt dat $\tilde{V}$ de 1-vorm is, die voor de vector $\vec A$
de waarde $\vec V \cdot \vec A$ heeft. Er geldt
\begin{equation}
\tilde{V}(\vec A) \equiv g(\vec V, \vec A)=\vec V \cdot \vec A 
= V^\alpha A_\alpha = V_\alpha A^\alpha .
\end{equation}
Omdat $g$ symmetrisch is, kunnen we ook schrijven
$g(~,\vec V) \equiv \tilde{V}(~)$.
De componenten van $\tilde{V}$ vinden we als volgt,
\begin{equation}
V_\alpha \equiv \tilde{V}(\vec e_\alpha ) = \vec V \cdot \vec e_\alpha
= \vec e_\alpha \cdot \vec V = \vec e_\alpha \cdot (V^\beta \vec e_\beta )
=(\vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta ) V^\beta = g_{\alpha \beta} V^\beta.
\end{equation}
Hiermee hebben we de relatie tussen vectoren en 1-vormen gevonden,
\begin{equation}
V_\alpha = g_{\alpha \beta} V^\beta .
\end{equation}
We onderscheiden de componenten $V^\alpha$ van de vector $\vec V$
van de componenten $V_\alpha$ van de 1-vorm $\tilde{V}$ {\sl alleen}
door de positie van de index $\alpha$. De inverse van de metriek
bestaat ook en wordt aangeduid met $g^{\alpha \beta}$. Hiermee
vinden we
\begin{equation}
V^\alpha = g^{\alpha \beta} V_\beta .
\end{equation}

\medskip
\noindent
Een vector is een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor en een 1-vorm is een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor. We gebruiken de metrische tensor als afbeelding tussen beide.
Op dezelfde manier kunnen we een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor afbeelden op een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} N - 1 \\ M + 1 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor, of door gebruik te maken van de inverse metriek op een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} N + 1 \\ M - 1 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor. Het is gebruikelijk om voor deze geassocieerde tensoren hetzelfde
symbool te gebruiken, maar we dienen ons ervan bewust te zijn
dat we te maken hebben met verschillende tensoren. Stel
$T_{~~\gamma}^{\alpha \beta}$ zijn de componenten van een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor. Dan zijn
\begin{equation}
T_{~\beta \gamma}^\alpha \equiv g_{\beta \mu} T_{~~\gamma}^{\alpha \mu}
\end{equation}
de componenten van een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor, omdat
we het {\sl tweede} 1-vorm argument veranderd hebben in een vector.
We noemen dergelijke manipulaties het naar boven brengen en naar
beneden halen van indices en gebruiken hierbij de metriek als afbeelding.

\medskip
\noindent
We kunnen dit ook doen met de metriek zelf en vinden
\begin{equation}
g_{~\beta}^\alpha \equiv g^{\alpha \mu} g_{\mu \beta} = \delta_{~\beta}^\alpha .
\end{equation}
De laatste stap volgt uit het feit dat $g^{\alpha \beta}$ en $g_{\alpha \beta}$
elkaars inverse afbeelding zijn.

\medskip
\noindent
Een differentieerbare vari\"eteit is een riemannse vari\"eteit als de
kwadratische booglengte langs een curve voldoet aan
\begin{equation}
ds^2 = g_{ij}dx^idx^j,
\end{equation}
waarbij de componenten van de metrische tensor, $g_{ij} = g_{ij}(x^1, x^2, ...,x^n)$,
continue functies zijn van de co\"ordinaten en verschillen van constanten.
In het speciale geval dat $g_{ij} = \delta_{ij}$, reduceert de riemannse ruimte
tot de euclidische ruimte $\mathbb{E}^n$. De ruimte is vlak als het mogelijk
is om een co\"ordinatentransformatie te vinden, waarvoor $ds^2 = \epsilon_i(dx^i)^2$,
waarbij iedere $\epsilon_i$ gelijk is aan $+1$ of $-1$. Een ruimte die niet
vlak is, wordt gekromd genoemd.

\medskip
\noindent
We vatten het voorgaande samen en illustreren dit
aan de hand van een voorbeeld uit de 3D euclidische ruimte.

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} duale basis in euclidische ruimte

\medskip
\noindent
We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische co\"ordinaten $(x,y,z)$
en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren $\{ \vec i, \vec j, \vec k \}$.
We gebruiken dit systeem weer als algemene referentie om een ander, niet cartesisch
systeem, $(u,v,w)$, te beschrijven. 
We kunnen de gradi\"ent van een scalaire functie beschouwen als een
1-vorm. Teneinde dat duidelijk te maken gaan we weer even terug
naar onze beschrijving in de drie-dimensionale euclidische ruimte.
Vergelijking (\ref{eq:natuurlijk}) geeft de natuurlijke
basis $\{\vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$ op punt $\mathcal{P}$, waarbij
we de co\"ordinaten $(u,v,w)$ gebruiken om punten te labelen.
Er is een andere manier om het co\"ordinatensysteem $(u,v,w)$ te
gebruiken om een basis te construeren op punt $\mathcal{P}$.
Allereerst inverteren we vergelijkingen (\ref{eq:partieel})
om $u$, $v$ en $w$ te krijgen in termen van $x$, $y$ en $z$,
\begin{equation}
u=u(x,y,z),~~~~~v=v(x,y,z),~~~~~w=w(x,y,z).
\end{equation}
Dit stelt ons in staat om elke co\"ordinaat als een scalair veld
te beschouwen en de bijbehorende gradi\"enten te berekenen.
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\nabla u & = & {\partial u \over \partial x} \vec i +
{\partial u \over \partial y} \vec j + {\partial u \over \partial z} \vec k, \\
\nabla v & = & {\partial v \over \partial x} \vec i +
{\partial v \over \partial y} \vec j + {\partial v \over \partial z} \vec k, \\
\nabla w & = & {\partial w \over \partial x} \vec i +
{\partial w \over \partial y} \vec j + {\partial w \over \partial z} \vec k. \\
\end{array}
\end{equation}
Op elk punt $\mathcal{P}$ staan deze gradi\"entvectoren loodrecht op de
corresponderende co\"ordinaatoppervlakken door $\mathcal{P}$, die overeenkomen
met de oppervlakken $u=u_0$, $v=v_0$ en $w=w_0$. We hebben daarom met
$\{ \nabla u, \nabla v, \nabla w \}$ een alternatieve basis op $\mathcal{P}$.
Deze basis is de {\sl duale} van de basis van tangentenvectoren. Teneinde
deze basis te onderscheiden van de natuurlijke basis, gebruiken we
de indices als superscipten\footnote{Door de indices als superscripten te
plaatsen kunnen we weer gebruik maken van de elegante en compacte indexnotatie.}.
\begin{equation}
\vec e^u \equiv \nabla u, ~~~~\vec e^v \equiv \nabla v,~~~~\vec e^w \equiv \nabla w .
\end{equation}

\medskip
\noindent
Laten we nu een concreet voorbeeld beschouwen. Er geldt
\begin{equation}
x=u+v,~~~~~y=u-v,~~~~~z=2uv+w,
\end{equation}
waarbij $-\infty < u < \infty , -\infty < v < \infty , -\infty < w < \infty$.
Inverteren van deze vergelijkingen geeft
\begin{equation}
u={1\over2}(x+y),~~~~~v={1\over 2}(x-y),~~~~~w=z-{1\over 2}(x^2-y^2),
\end{equation}
waaraan we kunnen zien dat de co\"ordinaatvlakken $u=u_0$ een familie
vlakken vormen, net zoals $v=v_0$, terwijl de co\"ordinaatvlakken $w=w_0$
een familie hyperbolische parabolo\"{\i}den vormen.

\medskip
\noindent
De positievector $\vec r$ wordt gegeven door
\begin{equation}
\vec r = (u+v) \vec i + (u-v)\vec j + (2uv + w) \vec k,
\end{equation}
waarmee we voor de vectoren van de natuurlijke basis
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\vec e_u & = & \partial \vec r / \partial u = \vec i + \vec j + 2v \vec k, \\
\vec e_v & = & \partial \vec r / \partial v = \vec i - \vec j + 2u \vec k, \\
\vec e_w & = & \partial \vec r / \partial w = \vec k \\
\end{array}
\end{equation}
vinden. Alleen de laatste vector is een eenheidsvector. Geen van de inproducten
$\vec e_u \cdot \vec e_v = 4uv$, $\vec e_v \cdot \vec e_w = 2u$ en $\vec e_w \cdot \vec e_u =2v$
is in het algemeen gelijk aan nul. Het systeem is dus niet orthogonaal.

\medskip
\noindent
We vinden voor de 1-vormen van de duale basis
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\vec e^u & = & \nabla u = {1 \over 2} \vec i + {1 \over 2} \vec j, \\
\vec e^v & = & \nabla v = {1 \over 2} \vec i - {1 \over 2} \vec j, \\
\vec e^w & = & \nabla w = -x \vec i +y \vec j + \vec k = -(u+v) \vec i
+ (u-v) \vec j + \vec k . \\
\end{array}
\end{equation}
We zien dat in het algemeen $\vec e^u$ niet parallel is met $\vec e_u$,
$\vec e^v$ niet met $\vec e_v$, en $\vec e^w$ niet met $\vec e_w$.

\medskip
\noindent
Gegeven een vectorveld $\vec \lambda$ dan kunnen we op elk punt $\mathcal{P}$ de
vector $\vec \lambda$ beschrijven ten opzichte van de natuurlijke basis
$\{ \vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$ of de duale basis $\{ \vec e^u, \vec e^v, \vec e^w \}$.
We schrijven
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i = \lambda_i \vec e^i .
\end{equation}

\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}
\normalsize

\noindent
De ruimtetijd van Minkowski is een van de belangrijkste differentieerbare vari\"eteiten,
het is de ruimtetijd die beschreven wordt door de speciale relativiteitstheorie.
Eenvoudige behandelingen van SRT introduceren de bijbehorende minkowskimetriek zelfs
niet expliciet, maar geven ons wel alle ingredi\"enten die we nodig hebben
om deze af te leiden. In het bijzonder weten we dat er voorkeurstelsels zijn
voor de co\"ordinaten, de zogenaamde Lorentzframes, en dat als twee gebeurtenissen
gescheiden zijn door co\"ordinaatafstanden $(\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)$
in een dergelijk frame, dan is het getal
\begin{equation}
\Delta s^2 = -c^2(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2
\end{equation}
onafhankelijk van het Lorentzframe. Als we onze co\"ordinaten herdefini\"eren
door $x^0=ct, x^1=x, x^2=y, x^3=z$ en griekse letters gebruiken als ruimtetijd
indices, dan vinden we
\begin{equation}
\Delta s^2 = -(\Delta x^0)^2 + (\Delta x^1)^2 + (\Delta x^2)^2 + (\Delta x^3)^2
= \eta_{\alpha \beta} \Delta x^\alpha \Delta x^\beta,
\end{equation}
waarbij $\eta_{\alpha \beta} = {\rm diag}(-1,1,1,1)$. We zien dat 
$\vec V \cdot \vec W = \eta_{\alpha \beta} V^\alpha W^\beta$ en $\eta_{\alpha \beta}$
is in feite de metrische tensor en het Lorentzframe vormt de geassocieerde
orthonormale basis. We zien direct de associatie tussen de componenten van
een vector en zijn geassocieerde 1-vorm. In een Lorentzframe geldt
\begin{equation}
U_0 = \eta_{0\alpha}U^\alpha = -U^0,~~{\rm en}~~
U_x = U^x, U_y=U^y, U_z=U^z.
\end{equation}
Een vari\"eteit met metriek $g$ wordt enkel een minkowski ruimtetijd genoemd
als er \'e\'en enkel co\"ordinatenstelsel bestaat dat de gehele vari\"eteit bedekt
en waarin $g$ de componenten $\eta_{\alpha \beta}$ heeft.

\vfill
\eject

