\section{Tensoren in ruimtetijd}\label{bouwstenen}

Een tensor is een object dat de begrippen getal, vector, 1-vorm en matrix
algemeen maakt. In de relativiteitstheorie beschouwen we tensorvelden
in ruimtetijd. Hierbij is een tensorveld een lineaire afbeelding van
vectoren en 1-vormen naar de re\"ele getallen. Als we in ruimtetijd
een co\"ordinatenstelsel aanbrengen door een basis te kiezen, dan
kunnen de componenten van een tensor gevonden worden. 

\medskip
\noindent
Allereerst bespreken we hoe ruimtetijd in kaart gebracht kan worden.
We zullen zien dat ruimtetijd een differentieerbare vari\"eteit is.
Vervolgens bespreken we de verschillende topologische objecten die
in ruimtetijd betekenis hebben: scalair veld, vector, 1-vorm, tensoren.
We zullen zien dat het mogelijk is om het begrip inproduct te defini\"eren
in ruimtetijd door het invoeren van de zogenaamde metrische tensor.

\subsection{Differentieerbare vari\"eteit}\label{diffvar}

Als we oppervlak van de aarde beschouwen, dan hebben we te maken met 
een twee-dimensionale gekromd oppervlak. Dit oppervlak kan worden
ingebed in de drie-dimensionale euclidische wereld. Een
belangwekkende vraag is nu: kan men over dergelijke twee-dimensionale
oppervlakken spreken zonder het hulpmiddel van de drie-dimensionale
euclidische ruimte? In de algemene relativiteitstheorie is ruimtetijd
een gekromde vier-dimensionale ruimte; deze willen we graag beschrijven
zonder haar in te bedden in een hoger dimensionale euclidische
ruimte. Het antwoord is bevestigend, zoals blijkt uit het volgende
voorbeeld: in de geografie beschrijft men het aardoppervlak, een
oppervlak dat ongelijk is aan de twee-dimensionale ruimte $\mathbb{E}^2$,
met behulp van een atlas, bestaande uit twee-dimensionale kaarten,
waarbij de drie-dimensionale ruimte niet nodig is. Een kaart beschrijft
het stukje van het aardoppervlak met behulp van een stukje $\mathbb{R}^2$.
\medskip
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/aarde.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Het aardoppervlak kan in kaart worden
gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende
kaarten ($n \geq 2$ kaarten).
Voor het realiseren van een kaart zijn verschillende
afbeeldingen $\kappa$ mogelijk.
Hier passen we cilinderprojectie toe (de polen worden hierbij niet
correct afgebeeld. Mercatorprojectie is een cilinderprojectie, waarna
een breedtegraad-afhankelijke schaalcorrectie wordt toegepast, hetgeen
leidt tot hoekgelijkheid.}
\label{fig:aarde}
\end{figure}
Het gehele aardoppervlak (zie Fig. \ref{fig:aarde}) wordt in kaart
gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende
kaarten. Teneinde ook de polen goed te kunnen afbeelden zijn er
minstens 2 kaarten nodig. Merk op dat wanneer we een klein gebied
rond een bepaald punt steeds verder uitvergroten, we de topologische
structuur van de euclidische ruimte meer en meer benaderen.

\medskip
\noindent
Wiskundig gebruiken we de volgende definities.
Stel dat $\mathcal{S}$ een verzameling is. Een {\sl $n$-kaart} van een punt
$\mathcal{P}$ van $\mathcal{S}$ is een paar $(U,\kappa )$, waarbij $U \subset \mathcal{S}$
een deelverzameling is die $\mathcal{P}$ bevat, en $\kappa$ een
bijectieve afbeelding $\kappa : U \longmapsto O \subset \mathbb{R}^n$ met $O$
een open deelverzameling van $\mathbb{R}^n$.
Een kaart $(U,\kappa )$ voegt aan ieder punt $\mathcal{P} \in U \subset \mathcal{S}$
{\sl co\"ordinaten} $(x^1,x^2,...,x^n)$ toe gedefinieerd door
$(x^1,x^2, ..., x^n) \equiv \kappa (\mathcal{P}) \in \mathbb{R}^n$.
We noteren ook wel korter $(x^i) \equiv (x^1,x^2, ...,x^n)$, waarbij
stilzwijgend $i=1,2,...,n$. De associatie van punten met de waarden van
hun parameters kan men zien als een afbeelding van punten van een vari\" eteit
naar punten van de euclidische ruimte met de juiste dimensie. Een vari\" eteit
lijkt lokaal op een euclidische ruimte: hij is `glad' en heeft een bepaald
aantal dimensies.

\medskip
\noindent
Via de afbeelding $\kappa$ krijgt de oorspronkelijke
deelverzameling $U$ van $\mathcal{S}$ eveneens sommige van de structuren die de
open deelverzameling $O \subset \mathbb{R}^n$ heeft. Een kaart geeft een
{\sl co\"ordinatisering} van $U$; een kaart wordt ook wel een {\sl co\"ordinatenstelsel
van $U$} genoemd. De co\"ordinatenlijnen in $O$ worden met $\kappa^{-1}$ teruggebracht
naar $U$.
Een kaart moet een bijectieve, bicontinue afbeelding zijn
van het aardoppervlak naar $\mathbb{R}^2$. Een bijectieve afbeelding
$\kappa$ heet {\sl bicontinu} als $\kappa$ en $\kappa^{-1}$ continu
zijn. Een bicontinue bijectie heet een {\sl homeomorfisme}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/kaart.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Twee elkaar overlappende kaarten $(U,\kappa)$ en $(U^\prime ,\kappa^\prime )$.}
\label{fig:kaart}
\end{figure}
We vatten alles nog eens samen in Fig. \ref{fig:kaart}.

\medskip
\noindent
Een $n$-atlas op $\mathcal{S}$ is een collectie kaarten $\{ (U_\alpha , \kappa_\alpha )\}$
zo dat $\{U_\alpha \}$ een overdekking van $\mathcal{S}$  is, dit wil zeggen
$\Sigma = \cup_{\alpha} U_\alpha$. Door een atlas wordt ieder punt van $\mathcal{S}$
minstens \' e\' en keer in kaart gebracht. Door de atlas op verzameling $\mathcal{S}$
wordt het mogelijk analyse te bedrijven en kan men bijvoorbeeld over differentieerbaarheid
gaan praten.

\medskip
\noindent
Samenvattend kunnen we het volgende zeggen.
Het begin is een structuurloze verzameling $\mathcal{S}$. Deze wordt
verdeeld in elkaar gedeeltelijk overlappende deelverzamelingen, en
deze deelverzamelingen worden stuk voor stuk in kaart gebracht,
met andere woorden deze deelverzamelingen worden geco\"ordinatiseerd.
Als $\mathcal{S}$ helemaal is overdekt door zulke gebiedjes, en als de
overgangen tussen de verschillende co\"ordinatenstelsels voldoende
vaak differentieerbaar zijn, dan heet $\mathcal{S}$ een differentieerbare
vari\"eteit.

\subsection{Differentiaal topologie}

We bespreken nu eerst een aantal objecten die leven in een vari\" eteit zonder
dat er een metriek hoeft te bestaan (die voegen we later toe).
Onze doelstelling is om alle fundamentele wetten van de natuur uit te drukken
in dergelijke topologische objecten. {\sl De fundamentele wetten van de
natuurkunde zijn onafhankelijk van de keuze van het referentiesysteem.}
Door gebruik te maken van topologische objecten (tensoren) kunnen we dit het
best tot uitdrukking brengen.

\subsubsection{Puntgebeurtenis}

We voeren in deze paragraaf een centraal begrip van de algemene
relativiteitstheorie in, namelijk het begrip {\sl puntgebeurtenis}\footnote{In
het Engels spreken van een {\sl event}.}. Dit is een zogeheten primitief
begrip, dit wil zeggen een begrip dat wordt gedefinieerd in termen van
andere begrippen. Wat dit betreft is het vergelijkbaar met het begrip
`punt' uit de euclidische meetkunde. Primitieve begrippen worden niet
gedefinieerd, omdat in hun definities weer andere begrippen optreden,
die weer gedefinieerd zouden moeten worden, enz. Aan deze oneindige
regressie wordt een einde gemaakt in de axiomatische methode. De
daarin optredende axioma's zijn te beschouwen als impliciete definities van
de in de theorie voorkomende primitieve begrippen. We volgen derhalve
een axiomatische opbouw van de algemene relativiteitstheorie. Hier
introduceren we het begrip puntgebeurtenis met voorbeelden. In de
materi\"ele werkelijkheid om ons heen vinden allerlei gebeurtenissen
plaats: de zon gaat op, twee auto's botsen op elkaar, ... Dat zijn
allemaal gebeurtenissen en karakteristiek voor gebeurtenissen is dat ze
zich in een zeker gebied van de ruimte afspelen en dat ze in een zeker tijdinterval
gebeuren. Gebeurtenissen zijn vaak zeer complex en we ontleden ze dan
ook verder. Een gebeurtenis kan worden beschouwd als te zijn opgebouwd uit zeer vele
gebeurtenissen, die op een kleiner gebied en een kleiner tijdinterval
betrekking hebben. Het ge\"{\i}dealiseerde limietgeveal van een gebeurtenis, die op
een oneindig klein gebied plaats heeft en oneindig kort duurt noemen we
een {\sl puntgebeurtenis}. Een puntgebeurtenis is een gebeurtenis met
een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip. Een voorbeeld
van een puntgebeurtenis is de explosie van een oneindig klein rotje
met een oneindig kort durende knal. Een ander voorbeeld is de botsing van
twee massapunten, immers als de twee massapunten elkaar raken is er sprake
van een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip.

\medskip
\noindent
Het begrip puntgebeurtenis houdt een extrapolatie van onze ervaring in,
omdat er een eindige ondergrens is voor het scheidend vermogen voor
afstanden en tijdsduren. Ieder fysisch proces is te beschouwen als een
collectie van puntgebeurtenissen. De verzameling van alle mogelijke
puntgebeurtenissen noemen we {\sl ruimtetijd}. Ruimtetijd is niet
slechts een verzameling, ruimtetijd heeft meer mathematische structuur.
Het fundamentele begrip in de differentiaalmeetkunde is dat van een
differentieerbare ruimte (differentieerbare vari\"eteit). We zullen
trachten dit plausibel te maken en daarna postuleren dat ruimtetijd een
differentieerbare vari\"eteit is.

\subsubsection{Curve}

Een curve $\mathcal{P}(\lambda )$ is te identificeren als een verzameling
puntgebeurtenissen die gerelateerd zijn via een parameter $\lambda$. Voor deze
parameter wordt typisch de tijd op de klok van een meereizende waarnemer
gebruikt. Als een metriek ontbreekt kunnen we echter niet spreken over lengte 
langs een curve.

\subsubsection{Scalairveld}

We beschouwen enkel differentieerbare
vari\" eteiten en dat zijn ruimten die continu en differentieerbaar zijn.
Dit betekent dat we op elk punt van de vari\" eteit een scalair veld
$\Phi$ kunnen definieren en dat deze functie overal kan worden
gedifferentieerd.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/manifold.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Grafische voorstelling van een differentieerbare vari\"eteit $\mathcal{S}$.
Binnen een lokaal gebied kan een kaart met gladde (re\"ele getallen) co\"ordinaten $(x,y)$
de punten in de vari\"eteit labelen. Om de hele vari\"eteit te bestrijken dienen
we verschillende kaarten samen te `lijmen'.}
\label{fig:manifold}
\end{figure}
Stel we hebben een gladde functie $\Phi$ gedefinieerd op $\mathcal{S}$, denk
bijvoorbeeld aan de temperatuur op het aardoppervlak. In moderne wiskundige
taal is $\Phi$ dan een gladde afbeelding van $\mathcal{S}$ naar de ruimte
van re\"ele getallen $\mathbb{R}$, omdat $\Phi$ aan ieder punt van
$\mathcal{S}$ een re\"eel getal toekent, dit wil zeggen $\Phi$ maakt
een afbeelding van $\mathcal{S}$ naar de re\"ele getallen. Een
dergelijke functie wordt vaak een {\sl scalair veld} op $\mathcal{S}$ genoemd.
Binnen een bepaald lokaal gebied heeft $\Phi$ dan een co\"ordinatenvergelijking
$\Phi = f(x,y)$ op de bijbehorende kaart. De gladheid van het scalaire
veld $\Phi$ komt dan tot uitdrukking in de {\sl differentieerbaarheid}
van de functie $f(x,y)$. Het zal de lezer opgevallen zijn dat onderscheid
wordt gemaakt tussen $\Phi$ en $f$. De reden is dat $\Phi$ gedefinieerd
is op het oppervlak, maar uitgedrukt kan worden in verschillende
co\"ordinatensystemen. De wiskundige uitdrukking voor $f(x,y)$ kan
verschillen voor verschillende kaarten, terwijl de grootheid $\Phi$
op elk specifiek punt van het oppervlak bestreken door deze kaarten
niet verandert. Voor een andere kaart in Fig. \ref{fig:manifold}
geldt bijvoorbeeld $\Phi = F(X,Y)$. Als de kaarten overlappen geldt
$f(x,y) = F(X,Y)$. De specifieke uitdrukking voor $F$, in termen
van $X$ en $Y$, zal in het algemeen verschillen van de uitdrukking
voor $f$ in termen van $x$ en $y$. In het algemeen is $X$ een
gecompliceerde functie van $x$ en $y$ in het overlap gebied,
en dat geldt ook voor $Y$. Met deze functies dienen we rekening
te houden als we van $f$ naar $F$ gaan. Dergelijke functies, die de
co\"ordinaten van \' e\' en systeem beschrijven in termen van die
van het andere systeem,
\begin{equation}
X=X(x,y)~~~~~{\rm en}~~~~~Y=Y(x,y)
\end{equation}
en hun inverse
\begin{equation}
x=x(X,Y)~~~~~{\rm en}~~~~~y=y(X,Y)
\end{equation}
noemen we {\sl overgangsfuncties}.

\subsubsection{Vectorveld}

Het begrip vector is ontstaan in de fysica en wel door begrippen als
snelheid en versnelling. Deze objecten hebben een grootte
en een richting en ze kunnen worden opgeteld en met een re\" eel getal
vermenigvuldigd.
Veel verwarring komt voort uit het feit dat de naam `vector' refereert
naar twee verschillende concepten: enerzijds een zuiver numeriek object
(een rij of kolom getallen) en anderzijds een object met geometrische
of topologische eigenschappen. In deze laatste betekenis is de vector
onafhankelijk van het referentiesysteem en heeft daarom geen unieke
decompositie in numerieke elementen. We benadrukken het om een vector
(of meer algemeen een tensor)
te zien als een `geometrisch object', iets dat men zich kan voorstellen
zonder te moeten refereren naar een specifiek referentiesysteem.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/vectorfield.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Grafische voorstelling van een vectorveld als een
`verdeling van pijltjes over de vari\"eteit' getekend op $\mathcal{S}$.
De vectoren zijn gebonden aan hun plaats.}
\label{fig:vectorveld}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:vectorveld} geeft een voorstelling van een vectorveld,
bijvoorbeeld de horizontale windsnelheid op het oppervlak van de aarde.

\medskip
\noindent
Een topologische vector is een object $\vec x$ dat leeft in een bepaalde ruimte,
in ons voorbeeld een niet-euclidische twee-dimensionale ruimte met
constante positieve kromming\footnote{Andere voorbeelden zijn de
Hilbertruimte met complexe golffuncties van de quantummechanica,
of de Minkowskiruimte van de
speciale relativiteitstheorie.}. De vector heeft een bepaalde betekenis
in die ruimte en stelt in ons voorbeeld de horizontale windsnelheid
op het oppervlak van de aarde voor.
We kunnen vectoren tekenen als pijltjes, zonder
te refereren naar een bepaalde basis, en dat hebben we gedaan in
Fig. \ref{fig:vectorveld}. We kunnen twee vectoren optellen
door het begin van een vector aan de eind van de andere vector te plaatsen;
een eenvoudige grafische regel.

\medskip
\noindent
Er is geen unieke manier om een topologische
vector te expanderen in termen van componenten. Zonder verdere
informatie is een statement als
\begin{equation}
x = \left(
\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
zonder enige betekenis, omdat we niet weten welke basis we dienen te gebruiken.
Wat we dienen te doen is iets te schrijven als
\begin{equation}
\vec x \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{}
\left( \begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right),
\label{eq:vector1}
\end{equation}
waarmee we met het pijltje $\xrightarrow[ O ]{}$ bedoelen dat de vector
componenten heeft die gegeven zijn in het referentiesysteem van
waarnemer $\mathcal{O}$ (bijvoorbeeld het $(x,y)$ systeem).
De vector $\vec x$ is een pijl met als componenten een verzameling van 
co\"ordinatenstelsel afhankelijke getallen. We kunnen ook schrijven
\begin{equation}
\vec x =  a \vec e_{x(\mathcal{O})} + b \vec e_{y(\mathcal{O})},
\end{equation}
waarbij $\vec e_{x(\mathcal{O})}$ en $\vec e_{y(\mathcal{O})}$
de basisvectoren in het
referentiesysteem van waarnemer $\mathcal{O}$ zijn. We hadden net zo goed
een andere waarnemer kunnen kiezen, bijvoorbeeld $\overline{\mathcal{O}}$,
en dan geldt
\begin{equation}
\vec x \xrightarrow[ \overline{\mathcal{O}} ]{}
\left( \begin{array}{c}
p \\
q \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
waarbij
\begin{equation}
\vec x =  p \vec e_{X(\overline{\mathcal{O}})} +
q \vec e_{Y(\overline{\mathcal{O}})},
\label{eq:vector2}
\end{equation}
met $\vec e_{X(\overline{\mathcal{O}})}$ en $\vec e_{Y(\overline{\mathcal{O}})}$
de basisvectoren in het
referentiesysteem van waarnemer $\overline{\mathcal{O}}$ (bijvoorbeeld het $(X,Y)$ systeem).
Merk op dat vergelijkingen
(\ref{eq:vector1}) - (\ref{eq:vector2}) alle geldige beschrijvingen zijn van
{\sl dezelfde} topologische vector $\vec x$.

\medskip
\noindent
Het verleidelijk om te denken dat het symbool $\vec e_x$ de $x$-component van
de $\vec e$-vector voorstelt. We bedoelen echter met $\vec e_x$ een volledige vector,
waarbij het subscript $x$ onderdeel is van de naam van de vector en aangeeft
welke van de basisvectoren we bedoelen (namelijk de basisvector in de $x$-richting).
De vector $\vec e_x$ heeft zelf componenten, waarvan de $x$-component geschreven
kan worden als $(\vec e_x)_x$. De volledige basis\footnote{Er worden vaak andere symbolen
gebruikt voor de basisvectoren, zoals $\bf i$, $\bf j$ en $\bf k$. Ook is het
mogelijk om $\vec e$ te zien als een object met hogere rang, bijvoorbeeld een
vector van vectoren. Dat is niet fout, maar in ons geval ook niet nuttig.}
geven we in dit geval aan met \{$\vec e_x, \vec e_y$\}.

\medskip
\noindent
Elke complete set vectoren kan gebruikt worden als basis. In Fig. \ref{fig:manifold}
zijn de referentiesystemen van drie waarnemers weergegeven. Een topologische
vector wordt voorgesteld door de pijl (zie Fig. \ref{fig:vectorveld}) en hoort niet bij een of
ander referentiesysteem. Het is een topologisch object met zelfstandig bestaansrecht.
De waarnemers bekijken het echter vanuit hun eigen gezichtspunt (referentiesysteem).
Cruciaal is te begrijpen dat de vector niet verandert als we van het ene naar
het andere referentiesysteem gaan. Er geldt
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right)_{\mathcal{O}} =
\left( \begin{array}{c}
p \\
q \\
\end{array}
\right)_{\overline{\mathcal{O}}}.
\end{equation}
Natuurlijk zijn de componenten $a$ en $b$ niet gelijk aan $p$ en $q$ en
dienen we een voorschrift te vinden hoe we deze kunnen berekenen als we van
basis veranderen. We gaan als volgt te werk: kies eerst een
puntgebeurtenis $\mathcal{P}$. Op deze puntgebeurtenis kiezen we
dan een complete set onafhankelijke vectoren (hierbij is elke
redelijke keuze geoorloofd). We noemen deze vectoren $\vec e_i$ en gebruiken
deze als basis om andere vectoren op punt $\mathcal{P}$ in te expanderen:
$\vec u = \sum u^\alpha \vec e_\alpha$ en $\vec v = \sum v^\alpha \vec e_\alpha$.
Merk op dat deze basis een tangentenruimte $T_P$ definieert op punt $\mathcal{P}$
en dat alle vectoren {\sl lokaal} op dit punt worden beschreven\footnote{We
stappen dus af van het begrip vrije vector. In de algemene relativiteitstheorie
kunnen we een vector niet eenvoudig vrij verplaatsen!}. Vervolgens
construeren we de richtingsafgeleiden $\partial_\alpha \equiv \partial_{\vec e_\alpha}$
langs deze basisvectoren. We geven een toelichting aan de hand
van een voorbeeld dat de gang van zaken in de vertrouwde drie-dimensionale
euclidische ruimte beschrijft.

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} co\"ordinatensysteem in euclidische ruimte

\medskip
\noindent
We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische co\"ordinaten $(x,y,z)$
en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren $\{ \vec i, \vec j, \vec k \}$.
We gebruiken dit systeem als algemene referentie om andere, niet cartesische
co\"ordinaten in te beschrijven.
We hebben een tweede co\"ordinatensysteem $(u,v,w)$ dat niet cartesisch is,
bijvoorbeeld de sferische co\"ordinaten $(r, \theta , \phi )$. Er geldt
\begin{equation}
x = x (u,v,w),~~~~ y = y(u,v,w), ~~~~ z=z(u,v,w),
\label{eq:partieel}
\end{equation}
en we kunnen dit inverteren om $u,v,w$ te schrijven in termen van $x,y,z$.
We kunnen bovenstaande vergelijking schrijven als
\begin{equation}
\vec r = x(u,v,w)\vec i + y(u,v,w)\vec j + z (u,v,w)\vec k,
\end{equation}
Indien we $w$ gelijk zetten aan de constante $w_0$, terwijl $u,v$ mogen
vari\"eren, krijgen we
\begin{equation}
\vec r = x(u,v,w_0)\vec i + y(u,v,w_0)\vec j + z (u,v,w_0)\vec k.
\end{equation}
hetgeen een parametrische vergelijking is voor het co\"ordinatenoppervlak
$w=w_0$, waarbij de co\"ordinaten $u,v$ de rol van parameters spelen.
We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere oppervlakken
op identieke wijze verkrijgen. Als we in bovenstaande vergelijking
$v=v_0$ en $w=w_0$ stellen, maar $u$ laten vari\"eren, krijgen we
\begin{equation}
\vec r = x(u,v_0,w_0)\vec i + y(u,v_0,w_0)\vec j + z (u,v_0,w_0)\vec k,
\label{eq:curve}
\end{equation}
krijgen we een parametrische vergelijking voor de co\"ordinatencurve
gegeven door de snijlijn van vlakken $v=v_0$ en $w=w_0$, waarbij $u$
de rol van parameter langs de curve speelt.
We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere curven
op identieke wijze verkrijgen.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/sferisch.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De co\"ordinaatoppervlakken (bol, kegel en halfruimte)
en co\"ordinaatcurven voor sferische co\"ordinaten.}
\label{fig:sferisch}
\end{figure}
Door elk punt $\mathcal{P}$ met co\"ordinaten $(u_0,v_0,w_0)$ gaan drie
{\sl co\"ordinaatvlakken} gegeven door $u=u_0$, $v=v_0$ en $w=w_0$. De
vlakken snijden elkaar in {\sl co\"ordinaatcurven}. Voor sferische
co\"ordinaten hebben we
\begin{equation}
x=r\sin{\theta}\cos{\phi},~~~~y=r\sin{\theta}\sin{\phi},~~~~z=r\cos{\theta}.
\end{equation}
waarbij de co\"ordinaten het volgende bereik hebben: $r \geq 0$,
$0 \leq \theta \leq \pi$ en $0 \leq \phi < 2\pi$.
Fig. \ref{fig:sferisch}
toont dat het co\"ordinaatvlak $r=r_0$ een bol is met straal $r_0$,
het co\"ordinaatvlak $\theta = \theta_0$ is een oneindige kegel met de apex
in de oorsprong en de as verticaal, en het co\"ordinaatvlak $\phi = \phi_0$ is een
half-oneindig vlak met de $z$-as als rand.

\medskip
\noindent
De oppervlakken $\theta = \theta_0$ en $\phi = \phi_0$ snijden elkaar en dat
resulteert in de co\"ordinaatcurve die een deellijn is die vanaf $O$ vertrekt
door $\mathcal{P}$ gaat; de oppervlakken $\phi = \phi_0$ en $r = r_0$ snijden
elkaar in de curve die een halve cirkel is met eindpunten op de $z$-as en
die door $\mathcal{P}$ gaat; en de oppervlakken $r = r_0$ en $\theta = \theta_0$
snijden elkaar in de horizontale cirkel door $\mathcal{P}$ met het middelpunt
op de $z$-as.

\medskip
\noindent
Als we vergelijking (\ref{eq:curve}) differentieren naar de parameter $u$,
dan krijgen we een tangentenvector aan de co\"ordinaatcurve. Omdat we tijdens
differenti\"eren $v$ en $w$ constant houden (want op deze wijze was de
curve gedefinieerd), hebben we in feite de {\sl parti\"ele afgeleide}
naar $u$ genomen van vergelijking (\ref{eq:partieel}). Als we op dezelfde
manier vergelijking (\ref{eq:partieel}) partieel afleiden naar $v$ en $w$,
krijgen we de tangentenvectoren van de andere twee co\"ordinaatcurven.
De drie parti\"ele afgeleiden
\begin{equation}
\vec e_u \equiv {\partial \vec r \over \partial u},~~~~
\vec e_v \equiv {\partial \vec r \over \partial v},~~~~
\vec e_w \equiv {\partial \vec r \over \partial w},
\label{eq:natuurlijk}
\end{equation}
berekend op punt $(u_0,v_0,w_0)$ geven tangentenvectoren aan de drie
co\"ordinaatcurven die door $\mathcal{P}$ gaan. Op deze wijze
verkrijgen we de {\sl natuurlijke basis} $\{ \vec e_u,\vec e_v,\vec e_w \}$
op punt $\mathcal{P}$. In het algemeen is deze basis niet orthogonaal
en zijn de vectoren geen eenheidsvectoren.

\medskip
\noindent
Gegeven een vectorveld $\vec \lambda$, kunnen we in elk punt $\mathcal{P}$
de vector $\vec \lambda$ refereren aan basis $\{ \vec e_u, \vec e_v,\vec e_w \}$,
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^u \vec e_u + \lambda^v \vec e_v + \lambda^w \vec e_w .
\label{eq:lambda}
\end{equation}
We gebruiken $u^i$ $(i=1,2,3)$ in plaats van $(u,v,w)$ voor de co\"ordinaten,
en $\{ \vec e_i \}$ $(i=1,2,3)$ in plaats van $\{ \vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$
voor de natuurlijke basis. Voor een vector $\vec \lambda$ duiden we
de componenten in de basis $\{ \vec e_i \}$ aan met $\lambda^i$ $(i=1,2,3)$.
We kunnen vergelijking (\ref{eq:lambda}) nu uitdrukken als
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^1 \vec e_1 + \lambda^2 \vec e_2 + \lambda^3 \vec e_3
= \sum_{i=1}^{3} \lambda^i \vec e_i .
\label{eq:lambda1}
\end{equation}
We spreken nu af dat een index uit het midden van het alfabet ($i,j,k, ...$)
altijd loopt over de waarden 1,2 en 3. Verder sommeren we automatisch
als dezelfde index voorkomt als superscript en subscript (dit heet de
sommatieconventie van Einstein). We kunnen vergelijking (\ref{eq:lambda1})
nu schrijven als $\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i$.
Merk op dat de twee indices die op deze wijze gebruikt worden
{\sl dummie indices} genoemd worden en vervangen mogen worden door andere
letters (die nog niet in gebruik zijn).

\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}
\normalsize

\bigskip
\noindent
Een typische vector is de verplaatsingsvector 
$\Delta \vec x \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} (\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)$.
Een andere notatie is
$\Delta \vec x \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} \left\{ \Delta x^\alpha \right\}$. Als we
willen weten wat de componenten van deze vector zijn in een ander co\"ordinatenstelsel,
bijvoorbeeld het systeem $\overline{ \mathcal{O}}$, dan schrijven we
$\Delta \vec x \xrightarrow[ \overline{\mathcal{O}} ]{} \left\{ \Delta x^{\overline{\alpha}} \right\}$.
We gebruiken een streep boven de index om de nieuwe co\"ordinaten aan te geven. De
vector $\Delta \vec x$ is hetzelfde en daarvoor hebben we geen nieuwe notatie nodig
als we van referentiesysteem veranderen. We kunnen de nieuwe componenten
$\Delta x^{\overline{\alpha}}$ vinden met behulp van de transformatiematrix van
het ene naar het andere systeem (dat zijn de zogenaamde Lorentztransformaties) en we
schrijven
\begin{equation}
\Delta x^{\overline{\alpha}} 
= \sum_{\beta = 0}^3 \Lambda_{~\beta}^{\overline{\alpha}} \Delta x^\beta
= \Lambda_{~\beta}^{\overline{\alpha}} \Delta x^\beta
\label{eq:vectora}
\end{equation}
voor willekeurige $\overline{\alpha}$. De verzameling $\Lambda_{~\beta}^{\overline{\alpha}}$
bestaat uit 16 getallen die de Lorentz transformatiematrix vertegenwoordigen.
De notatie maakt weer gebruik van Einstein's sommatieconventie en vergelijking
(\ref{eq:vectora}) stelt eigenlijk vier verschillende vergelijkingen voor
($\overline{\alpha} = 0,1,2,3$).
 
\medskip
\noindent
Een algemene vector (wij zijn ge\"{\i}nteresseerd in viervectoren) is gedefinieerd
als een verzameling getallen (de componenten van de vector ten opzichte van 
een bepaalde basis, $\mathcal{O}$) als
$\vec A \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} (A^0, A^1, A^2, A^3) = \left\{ A^\alpha \right\}$
en door de regel dat zijn componenten in een systeem $\overline{\mathcal{O}}$
gegeven worden door
\begin{equation}
A^{\overline{\alpha}} = \Lambda_{~\beta}^{\overline{\alpha}} A^\beta.
\label{eq:vectortransf}
\end{equation}
Dus de componenten van een vector transformeren op dezelfde manier als de co\"ordinaten.

\medskip
\noindent
De componenten $A^\alpha$ van een vector $\vec A$ ten opzichte
van de natuurlijke basis $\{ \vec e_\alpha \}$ worden de
{\sl contravariante componenten} genoemd.
Stel dat we twee systemen met curvelineaire co\"ordinaten hebben
in ruimtetijd, aangegeven met $\mathcal{O}$ en
$\overline{\mathcal{O}}$. We vragen ons af hoe
de contravariante componenten van een vector veranderen als we
van het ene naar het andere systeem gaan. We noemen $\{ \vec e_\alpha \}$
de basis in het systeem van waarnemer $\mathcal{O}$ en $\{ \vec e_{\overline{\alpha}} \}$
de basis in het systeem van waarnemer $\overline{\mathcal{O}}$.
Er geldt
\begin{equation}
\vec A = A^\alpha \vec e_\alpha = A^{\overline{\alpha}} \vec e_{\overline{\alpha}} .
\label{eq:lambda2}
\end{equation}
We kunnen bovenstaande relatie gebruiken om de transformatiewet voor de basisvectoren
te vinden, dit wil zeggen de relatie tussen $\left\{ \vec e_\alpha \right\}$
en $\left\{ \vec e_{\overline{\alpha}} \right\}$. Met vergelijking (\ref{eq:vectortransf})
kunnen we vergelijking (\ref{eq:lambda2}) schrijven als
\begin{equation}
\Lambda_{~\beta}^{\overline{\alpha}} A^\beta \vec e_{\overline{\alpha}}  
= A^\alpha \vec e_\alpha ~\rightarrow ~
A^\beta \Lambda_{~\beta}^{\overline{\alpha}} \vec e_{\overline{\alpha}}  
= A^\alpha \vec e_\alpha ~\rightarrow ~
A^\alpha \Lambda_{~\alpha}^{\overline{\beta}} \vec e_{\overline{\beta}}  
= A^\alpha \vec e_\alpha ~\rightarrow ~ 
A^\alpha (\Lambda_{~\alpha}^{\overline{\beta}} \vec e_{\overline{\beta}}  
-\vec e_\alpha ) = 0.
\end{equation}



In het gebied dat door beide co\"ordinatenstelsels beschreven
wordt, hebben we te maken met de relatie $A^{\overline{\alpha}} = A^{\overline{\alpha}}(A^\beta)$,
waarmee de co\"ordinaten van waarnemer $\overline{\mathcal{O}}$ worden
uitgedrukt in die van waarnemer $\mathcal{O}$. 
Per definitie geldt
$\vec e_i \equiv \partial \vec r / \partial u^i$ en
$\vec e_{i^\prime} \equiv \partial \vec r / \partial u^{i^\prime}$.
De kettingregel geeft dan
\begin{equation}
{\partial \vec r \over \partial u^j} = {\partial \vec r \over \partial u^{i^\prime}}
{\partial u^{i^\prime} \over \partial u^j}.
\end{equation}
en kunnen we schrijven
\begin{equation}
\vec e_j = U_j^{i^\prime} \vec e_{i^\prime},
\end{equation}
met $U_j^{i^\prime}$ als afkorting voor de parti\"ele afgeleide
${\partial u^{i^\prime} / \partial u^j}$. Er geldt
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^i \vec e_j = \lambda^i U_j^{i^\prime} \vec e_{i^\prime}.
\end{equation}
Vergelijken met vergelijking (\ref{eq:lambda2}) geeft
%\boxedeqn{ 
%\lambda^{i^\prime} = U_j^{i^\prime} \lambda^j
%} 
\begin{center}
  \hfill \boxed{ \lambda^{i^\prime} = U_j^{i^\prime} \lambda^j } \hfill (21) 
\end{center}
als transformatieformule voor de contravariante componenten van een vector.
\setcounter{equation}{21}

\medskip
\noindent
We kunnen de inverse transformaties vinden door ons te realiseren dat
de systemen $\mathcal{O}$ en $\mathcal{O}^\prime$ op gelijke voet
staan. We kunnen derhalve de indices met en zonder accenten verwisselen
en vinden voor de inverse transformatie van basis en componenten
\begin{center}
  \hfill \boxed{ \vec e_{j^\prime} = U_{j^\prime}^i \vec e_i ,~~~~{\rm en}~~~~
\lambda^i = U_{j^\prime}^i \lambda^{j^\prime} . } \hfill (22) 
\end{center}
\setcounter{equation}{22}
Dit volgt ook uit het feit dat eerst heen en vervolgens
terug transformeren niets mag veranderen. Dit leidt tot de identiteit
\begin{equation}
U_{i^\prime}^k U_j^{i^\prime} = \delta_j^k,
\end{equation}
hetgeen ook uit de kettingregel volgt. We vinden hiermee
\begin{equation}
U_{i^\prime}^k \lambda^{i^\prime} = U_{i^\prime}^k U_j^{i^\prime} \lambda^j
= \delta_j^k \lambda^j = \lambda^k,
\end{equation}
wat overeenkomt met vergelijking (22).

\subsubsection{Lineaire functionaal, 1-vorm of covectorveld}

Een tensor van het type
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$
wordt een covector, een covariante vector, een lineaire functionaal of
een 1-vorm genoemd. De lineaire functionaal\footnote{Net zoals
we vectoren aangeven door een $\vec p$ boven het symbool te plaatsen, geven
een lineaire functionaal aan door er een $\tilde{p}$ boven te plaatsen.}
 $\tilde{p}$ heeft een vector als argument en beeldt af op de re\"ele getallen:
$\tilde{p}(\vec A)$ is een re\"eel getal. De functionalen voldoen aan
de axioma's voor een vectorruimte. Deze ruimte wordt de {\sl duale vectorruimte}
genoemd om het onderscheiden van de ruimte van alle vectoren $\vec A$.
De componenten van $\tilde{p}$ worden $p_\alpha$ genoemd en er geldt
\begin{equation}
p_\alpha \equiv \tilde{p} (\vec e_\alpha ) .
\end{equation}
Elke component met een enkel subscript is per conventie de component
van een 1-vorm; een superscript geeft een component van een vector aan.
In termen van componenten wordt $\tilde{p} (\vec A )$ gegeven door
\begin{equation}
\tilde{p} (\vec A ) = \tilde {p} (A^\alpha \vec e_\alpha )
= A^\alpha \tilde{p} (\vec e_\alpha ) = A^\alpha p_\alpha .
\end{equation}
Merk op dat we in bovenstaande afleiding gebruik maken van de
lineairiteit van de functionaal. Voor ruimtetijd ($n=4$) is het getal
$\tilde{p} (\vec A )$ gelijk aan $A^0p_0+a^1p_1+A^2p_2+A^3p_3$
en de bewerking wordt {\sl contractie van $\vec A$ en $\tilde{p}$} genoemd.

\medskip
\noindent
De componenten van $\tilde{p}$ op de basis $\{ \vec e_{i^\prime} \}$ zijn
\begin{equation}
p_{i^\prime} \equiv \tilde{p} (\vec e_{i^\prime})
= \tilde{p} (U_{i^\prime}^j \vec e_j ) = U_{i^\prime}^j \tilde{p} ( \vec e_j )
= U_{i^\prime}^j p_j .
\end{equation}
Als we dit vergelijken met uitdrukking (\ref{eq:inverse}) dan zien we
dat 1-vormen op precies dezelfde wijze transformeren als basisvectoren
en tegengesteld aan de componenten van vectoren. Met tegengesteld
bedoelen we met de inverse transformatie (zie vergelijking (\ref{eq:inverse})).
Dit gebruik van de inverse garadeert dat $A^\alpha p_\alpha$ systeem
onafhankelijk is voor ieder vector $\vec A$ en 1-vorm $\tilde{p}$.
De inverse transformatie geeft aanleiding tot het woord {\sl duaal}
in {\sl duale vectorruimte}. De eigenschap van transformeren {\sl met}
basisvectoren geeft aanleiding tot de {\sl co} in {\sl covariante vector}.
Omdat componenten van gewone vectoren tegengesteld transformeren aan
de basisvectoren, worden ze {\sl contravariant} genoemd.

\medskip
\noindent
Omdat de 1-vormen een vectorruimte vormen, kunnen we een verzameling van
onafhankelijke 1-vormen als basis kiezen. We hebben de basis $\{ \vec e_\alpha \}$
reeds gebruikt om de componenten van de 1-vorm te definieren. We kunnen
nu de geassocieerde 1-vorm basis $\tilde{\omega}^\alpha , \alpha = 0,...,3$
definieren die we {\sl duaal} aan $\{ \vec e_\alpha \}$ noemen. Dat wil
zeggen dat we de verzameling $\{ \tilde{\omega} \}$ z\'o kiezen, dat
\begin{equation}
\tilde{p} = p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha .
\label{eq:1vormbasis}
\end{equation}
We vinden op deze manier specieke 1-vormen als basis.
Merk op dat we de notatie weer zodanig kiezen dat we gebruik kunnen
maken van de sommatieconventie. Als we vergelijking (\ref{eq:1vormbasis})
gebruiken, vinden we
\begin{equation}
\tilde{p}(\vec A) = p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha (\vec A)
= p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha (A^\beta \vec e_\beta)
= p_\alpha A^\beta \tilde{\omega}^\alpha (\vec e_\beta)
\end{equation}
Het bovenstaande dient gelijk te zijn aan $p_\alpha A^\alpha$ en
daaruit volgt
\begin{equation}
\tilde{\omega}^\alpha (\vec e_\beta) = \delta_{~\beta}^\alpha .
\end{equation}
Bovenstaande relatie definieert de 1-vorm basis: de vector basis
induceert een unieke en bruikbare 1-vorm basis\footnote{Dit is
niet de enig mogelijke basis voor 1-vormen. Men kan eenvoudig
laten zien dat andere basis 1-vormen voldoen aan $\tilde{\omega^\prime} =
U_{~\beta}^{\alpha^\prime} \tilde{\omega}^\beta$.}.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/1vorm.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: de waarde $\tilde{\omega}(\vec V)$ is gelijk aan 2.5.
Rechts: een topologische kaart demonstreert de gradi\"ent 1-vorm (lokale
contouren van constante hoogte). De verandering van hoogte voor een
reis (pijl) is het aantal contouren dat door de pijl doorboort wordt.
Deze is het grootst voor reis (2).}
\label{fig:1vorm}
\end{figure}
\medskip
Bij vectoren denken we meestal aan een pijl als we een beeld nodig hebben.
Het kan handig zijn om ook een voorstelling van een 1-vorm te hebben.
Dit beeld moet het feit uitdrukken dat een 1-vorm een afbeelding
is van een vector naar re\"ele getallen. In de drie-dimensionale
ruimte kan men zich een 1-vorm op punt $\mathcal{P}$
voorstellen als een aantal parallelle vlakken. De contractie met een
vector $\vec V$ is dan het aantal vlakken dat door de vector
`doorboort' wordt. Hoe dichter de oppervlakken bij elkaar staan,
hoe groter $\tilde{\omega}(\vec V)$.

\medskip
We kunnen de gradi\"ent van een scalaire functie beschouwen als een
1-vorm. Teneinde dat duidelijk te maken gaan we weer even terug
naar onze beschrijving in de drie-dimensionale euclidische ruimte.
Vergelijking (\ref{eq:natuurlijk}) geeft de natuurlijke
basis $\{\vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$ op punt $\mathcal{P}$, waarbij
we de co\"ordinaten $(u,v,w)$ gebruiken om punten te labelen.
Er is een andere manier om het co\"ordinatensysteem $(u,v,w)$ te
gebruiken om een basis te construeren op punt $\mathcal{P}$.
Allereerst inverteren we vergelijkingen (\ref{eq:partieel})
om $u$, $v$ en $w$ te krijgen in termen van $x$, $y$ en $z$.
\begin{equation}
u=u(x,y,z),~~~~~v=v(x,y,z),~~~~~w=w(x,y,z).
\end{equation}
Dit stelt ons in staat om elke co\"ordinaat als een scalair veld
te beschouwen en de bijbehorende gradi\"enten te berekenen.
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\nabla u & = & {\partial u \over \partial x} \vec i +
{\partial u \over \partial y} \vec j + {\partial u \over \partial z} \vec k \\
\nabla v & = & {\partial v \over \partial x} \vec i +
{\partial v \over \partial y} \vec j + {\partial v \over \partial z} \vec k \\
\nabla w & = & {\partial w \over \partial x} \vec i +
{\partial w \over \partial y} \vec j + {\partial w \over \partial z} \vec k \\
\end{array}
\end{equation}
Op elk punt $\mathcal{P}$ staan deze gradi\"ent vectoren loodrecht op de
corresponderende co\"ordinaatoppervlakken door $\mathcal{P}$, die overeenkomen
met de oppervlakken $u=u_0$, $v=v_0$ en $w=w_0$. We hebben daarom met
$\{ \nabla u, \nabla v, \nabla w \}$ een alternatieve basis op $\mathcal{P}$.
Deze basis is de {\sl duale} van de basis van tangentenvectoren. Teneinde
deze basis te onderscheiden van de natuurlijke basis, gebruiken we
de indices als superscipten\footnote{Door de indices als superscripten te
plaatsen kunnen we weer gebruik maken van de elegante en compacte indexnotatie.}.
\begin{equation}
\vec e^u \equiv \nabla u, ~~~~\vec e^v \equiv v,~~~~\vec e^w \equiv \nabla w .
\end{equation}
We vatten een en ander samen aan de hand van een voorbeeld.

\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} co\"ordinatensysteem in Euclidische ruimte

\medskip
\noindent
We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische co\"ordinaten $(x,y,z)$
en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren $\{ \vec i, \vec j, \vec k \}$.
We gebruiken dit systeem weer als algemene referentie om een ander, niet cartesisch
systeem, $(u,v,w)$ te beschrijven. Er geldt
\begin{equation}
x=u+v,~~~~~y=u-v,~~~~~z=2uv+w,
\end{equation}
waarbij $-\infty < u < \infty , -\infty < v < \infty , -\infty < w < \infty$.
Inverteren van deze vergelijkingen geeft
\begin{equation}
u={1\over2}(x+y),~~~~~v={1\over 2}(x-y),~~~~~w=z-{1\over 2}(x^2-y^2),
\end{equation}
waaraan we kunnen zien dat de co\"ordinaatvlakken $u=u_0$ een familie
vlakken vormen, net zoals $v=v_0$, terwijl de co\"ordinaatvlakken $w=w_0$
een familie hyperbolische parabolo\"{\i}den vormen.

\medskip
\noindent
De positievector $\vec r$ wordt gegeven door
\begin{equation}
\vec r = (u+v) \vec i + (u-v)\vec j + (2uv + w) \vec k,
\end{equation}
waarmee we voor de vectoren van de natuurlijke basis
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\vec e_u & = & \partial \vec r / \partial u = \vec i + \vec j + 2v \vec k \\
\vec e_v & = & \partial \vec r / \partial v = \vec i - \vec j + 2u \vec k \\
\vec e_w & = & \partial \vec r / \partial w = \vec k \\
\end{array}
\end{equation}
vinden. Enkel de laatste vector is een eenheidsvector. Geen van de inproducten
$\vec e_u \cdot e_v = 4uv, \vec e_v \cdot \vec e_w = 2u, \vec e_w \cdot \vec e_u =2v$
is in het algemeen gelijk aan nul. Het systeem is dus niet orthogonaal.

\medskip
\noindent
We vinden voor de vectoren van de duale basis
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\vec e^u & = & \nabla u = {1 \over 2} \vec i + {1 \over 2} \vec j \\
\vec e^v & = & \nabla v = {1 \over 2} \vec i - {1 \over 2} \vec j \\
\vec e^w & = & \nabla w = -x \vec i +y \vec j + \vec k = -(u+v) \vec i
+ (u-v) \vec j + \vec k . \\
\end{array}
\end{equation}
We zien dat in het algemeen $\vec e^u$ niet parallel is met $\vec e_u$,
$\vec e^v$ niet met $\vec e_v$, en $\vec e^w$ niet met $\vec e_w$.

\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip
\noindent
Gegeven een vectorveld $\vec \lambda$ kunnen we op elk punt $\mathcal{P}$ de
vector $\vec \lambda$ beschrijven ten opzichte van de natuurlijke basis
$\{ \vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$ of de duale basis $\{ \vec e^u, \vec e^v, \vec e^w \}$.
We schrijven
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i = \lambda_i \vec e^i .
\end{equation}
Het dualisme is compleet omdat we vectoren ook kunnen beschouwen als
functies die 1-vormen afbeelden op de re\"ele getallen. Gegeven vector $\vec V$
krijgen we een re\"eel getal als we de vector voorzien van een 1-vorm,
\begin{equation}
\vec V (\tilde{p}) \equiv \tilde{p}(\vec V) \equiv p_\alpha V^\alpha.
\end{equation}
Vectoren hebben dus geen speciale positie als objecten die als input
dienen voor tensoren. We kunnen een vector ook als tensor zien: een lineaire
functie van een 1-vorm naar een re\"eel getal. Vectoren en 1-vormen hebben
hiermee een gelijke en symmetrische status.

\subsubsection{Tensorveld}

Een tensor van het type
$\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$
is een afbeelding (functie) van $M$ 1-vormen en $N$ vectoren naar re\"ele getallen,
die lineair is in elk van zijn $M+N$ argumenten\footnote{Men kan een
dergelijke tensor opvatten als een apparaat men $M$ gaten waar
men 1-vormen en $N$ gaten waar men
vectoren in kan stoppen. Nadat men die $M$ 1-vormen en $N$ vectoren erin gestopt heeft,
rolt er een re\"eel getal uit het apparaat. De uitkomst is lineair
in elk van de input vectoren.}. Merk op dat in deze definitie van een
tensor niet spreekt over de componenten van de 1-vormen en vectoren. De tensor
dient hetzelfde re\"ele getal als uitkomst te geven, onafhankelijk
van het gebruikte co\"ordinatensysteem.

\medskip
\noindent
Net als een 1-vorm en vector heeft ook een tensor componenten. De definitie is
als volgt: De componenten in een referentiesysteem $\mathcal{O}$ van
een tensor van het type
$\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$
zijn de waarden van de functie als men voor de argumenten de
basis 1-vormen $\{ \vec e^\alpha \}$ en basisvectoren
$\{ \vec e_\alpha \}$ van het systeem $\mathcal{O}$ gebruikt.
De componenten van een tensor zijn dus afhankelijk van het referentiesysteem
van de waarnemer, omdat de basis immers verschillend is.

\subsection{Metrische tensor}

Tot nu toe hebben we enkel vari\"eteiten beschouwd die een eenvoudige vorm hebben.
De vari\"eteit is continu en differentieerbaar, waardoor we 1-vormen, vectoren
en andere tensoren kunnen definieren. Verder betreft het een
amorfe verzameling punten (of puntgebeurtenissen). Er is nog geen
meetkunde gedefinieerd. Zo hebben we nog geen voorstelling van een
inproduct van vectoren en kunnen we twee vectoren (of 1-vormen) niet
afbeelden op een re\"eel getal. Er is dan ook geen concept van inproduct.

\medskip
Als volgende stap kiezen we nu een
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor
die dienst gaat doen als de metriek van de vari\"eteit. Een dergelijke
vari\"eteit noemen we een riemannse vari\"eteit. De metrische tensor
maakt het mogelijk om de (kwadratische) lengte van een vector
te berekenen, of het scalaire product (inproduct) van twee
vectoren te bepalen. Ook levert de metriek een \' e\' en op \' e\' en
correspondentie tussen vectoren en 1-vormen. We defini\"eren
\begin{equation}
g( \vec A, \vec B) \equiv \vec A \cdot \vec B
\end{equation}
en hieruit volgt direct dat de metrische tensor symmetrisch is,
$g( \vec A, \vec B) = g( \vec B, \vec A)$.
We beschouwen $g(~,~)$ als een functie met twee argumenten en die lineair
is in deze argumenten, bijvoorbeeld
\begin{equation}
g( \alpha \vec A + \beta \vec B, \vec C)
= \alpha g(\vec A,\vec C) + \beta g(\vec B,\vec C).
\end{equation}
Merk op dat deze definitie van metriek geen gebruik maakt van de componenten
van de vectoren. In een specifieke basis heeft de metrische tensor
componenten die gegeven zijn door
\begin{equation}
g(\vec e_\alpha ,\vec e_\beta) = \vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta
= g_{\alpha \beta}.
\end{equation}

\medskip
De fundamentele rol van de metriek is om te zorgen voor een afbeelding
tussen vectoren en 1-vormen. Om te begrijpen hoe dit werkt, beschouwen
we $g$ en een enkele vector $\vec V$. Omdat $g$ twee vector argumenten
nodig heeft, kunnen we de uitdrukking $g(\vec V,~)$, waar nog een
argument ontbreekt, beschouwen als een functie van vectoren. Als men
aan $g(\vec V,~)$ nog een vector toekent, dan krijgen we een re\"eel
getal. Een dergelijke lineaire functie van vectoren die een re\"eel
getal produceert, noemen we een 1-vorm. We noemen het $\tilde{V}$.
Er geldt
\begin{equation}
g(\vec V,~) \equiv \tilde V(~),
\end{equation}
waar we tussen de haakjes het vector argument moeten aanleveren.
Dan geldt dat $\tilde{V}$ de 1-vorm is die voor de vector $\vec A$
de waarde $\vec V \cdot \vec A$ heeft. Er geldt
\begin{equation}
\tilde{V}(\vec A) \equiv g(\vec V, \vec A)=\vec V \cdot \vec A .
\end{equation}
Omdat $g$ symmetrisch is, kunnen we ook schrijven
$g(~,\vec V) \equiv \tilde{V}(~)$.
De componenten van $\tilde{V}$ vinden we als volgt,
\begin{equation}
V_\alpha \equiv \tilde{V}(\vec e_\alpha ) = \vec V \cdot \vec e_\alpha
= \vec e_\alpha \cdot \vec V = \vec e_\alpha \cdot (V^\beta \vec e_\beta )
=(\vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta ) V^\beta = g_{\alpha \beta} V^\beta.
\end{equation}
Hiermee hebben we de relatie tussen vectoren en 1-vormen gevonden,
\begin{equation}
V_\alpha = g_{\alpha \beta} V^\beta .
\end{equation}
We onderscheiden de componenten $V^\alpha$ van de vector $\vec V$
van de componenten $V_\alpha$ van de 1-vorm $\tilde{V}$ {\sl enkel}
door de positie van de index $\alpha$. De inverse van de metriek
bestaat ook en wordt aangeduid met $g^{\alpha \beta}$. Hiermee
vinden we
\begin{equation}
V^\alpha = g^{\alpha \beta} V_\beta .
\end{equation}

\medskip
\noindent
Een vector is een
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ tensor
en een 1-vorm is een
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensor.
We gebruiken de metrische tensor als afbeelding tussen beide.
Op dezelfde manier kunnen we een
$\left( \begin{array}{c} N \\ M \\ \end{array} \right)$ tensor
afbeelden op een
$\left( \begin{array}{c} N-1 \\ M+1 \\ \end{array} \right)$ tensor,
of door gebruik te maken van de inverse metriek op een
$\left( \begin{array}{c} N+1 \\ M-1 \\ \end{array} \right)$ tensor.
Het is gebruikelijk om voor deze geassocieerde tensoren hetzelfde
symbool te gebruiken, maar we dienen ons er van bewust te zijn
dat we te maken hebben met verschillende tensoren. Stel
$T_{~~\gamma}^{\alpha \beta}$ zijn de componenten van een
$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensor. Dan zijn
\begin{equation}
T_{~\beta \gamma}^\alpha \equiv g_{\beta \mu} T_{~~\gamma}^{\alpha \mu}
\end{equation}
de componenten van een
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor, omdat
we het {\sl tweede} 1-vorm argument veranderd hebben in een vector.
We noemen dergelijke manipulaties het naar boven brengen en naar
beneden halen van indices en gebruik hierbij de metriek als afbeelding.

\medskip
\noindent
We kunnen dit ook doen met de metriek zelf en vinden
\begin{equation}
g_{~\beta}^\alpha \equiv g^{\alpha \mu} g_{\mu \beta} = \delta_{~\beta}^\alpha .
\end{equation}
De laatste stap volgt uit het feit dat $g^{\alpha \beta}$ en $g_{\alpha \beta}$
elkaars inverse afbeelding zijn.


\vfill
\eject

