\section{Quantumfysische verschijnselen in het universum}\label{astro}

\subsection{Stervorming}

Sterren condenseren uit gaswolken die voornamelijk uit waterstof bestaan.
Als een gaswolk voldoende dichtheid heeft of koud genoeg is, dan kunnen
delen ervan condenseren en sterren vormen. Het gebied dat condenseert
dient een minimum afmeting te hebben, zodat er voldoende massa en gravitatie
is om de gasdruk in de wolk te overwinnen. Deze minimum lengte heet de
{\sl Jeans lengte}\footnote{Naar de Britse astrofysicus Sir James Jeans
(1877 - 1946). We kunnen de grootte $R$ van een sferisch gebied dat instabiel
is voor stervorming bij benadering vinden door de gemiddelde kinetische energie 
${3 \over 2}kT$ van een molecuul met massa $m$ gelijk te stellen aan de
absolute waarde van de gravitationele potenti\"ele energie ${GmM \over R}$.
Vervolgens vervangen we de massa $M$ van dit gebied door haar dichtheid
$\rho$ via de substitutie $M = {4 \over 3}\pi \rho R^3$. Dit levert dan de benadering
${3 \over 2}kT = {GmM \over R}\rightarrow
{3 \over 2}kT = {4 \over 3} \pi G m \rho R^2 \rightarrow
R=\left( {9kT \over 8\pi G\rho m} \right)^{1 \over 2}$.  
Een exacte berekening die de geluidssnelheid in de gaswolk in rekening brengt,
levert vergelijking (\ref{eq:jeans}).} en bedraagt 
\begin{equation}
\lambda_{\rm Jeans} = \left( {\pi kT \over G \rho m} \right)^{1 \over 2},
\label{eq:jeans}
\end{equation}
met $T$ en $m$ respectievelijk de temperatuur en massa van het
molecuul en $\rho$ de dichtheid van de condenserende gaswolk. Elk deel
van de gaswolk groter dan de Jeans lengte heeft voldoende zelf-gravitatie
en kan condenseren. De massa van een dergelijk gebied is 
${4 \over 3}\pi \rho \lambda_{\rm Jeans}^3$ en wordt de Jeans massa genoemd,
\begin{equation}
M_{\rm J} = {4 \over 3}\pi \rho \lambda_{\rm Jeans}^3 =
{4\pi^{5 \over 2} \over 3} \left( {kT \over Gm} \right)^{3 \over 2} \rho^{-{1 \over 2}}.
\end{equation}
Het is belangrijk om in te zien dat $M_{\rm J}$ afneemt als $\rho$
toeneemt. Als dus een instabiel gebied initieel ter grootte $\lambda_{\rm Jeans}$
condenseert, neemt de dichtheid toe. Dit verlaagt de Jeans massa en dat maakt
kleinere delen van het gebied instabiel voor condensatie. Indien de dichtheid
in de gaswolk niet homogeen is, dan is het waarschijnlijk dat de samentrekkende
gaswolk fragmenteert in kleinere gebieden. Sterrenkundigen noemen een dergelijk
gebied een {\sl protoster}.

\medskip
\noindent
De gravitationele potenti\"ele energie van de moleculen wordt tijdens de contractie
van de gaswolk omgezet in warmte\footnote{Ook onze zon is uit een dergelijke
protoster ontstaan. De zon heeft een massa $M_\odot = 2 \times 10^{30}$ kg en
bestaat uit ongeveer $10^{57}$ waterstofatomen met elk een massa van
$m = 1,67 \times 10^{-27}$ kg. De huidige luminositeit van de zon bedraagt
$L_\odot = 3,8 \times 10^{26}$ W. We hebben gezien dat de ontsnappingssnelheid
van de zon gelijk is aan $v_{\rm ontsnapping} = \sqrt{2GM_\odot \over R_\odot}$.
De kinetische energie van een atoom als het de zon bereikt is dus
${1 \over 2}mv_{\rm ontsnapping}^2 = {GM_\odot m \over R_\odot} = 3 \times 10^{-16}$ J.
Hieruit volgt dat de gravitationele potenti\"ele energie voldoende is om de
protoster enkele miljoenen jaren te laten schijnen.}. 
Hierdoor neemt de temperatuur van
het gas toe tijdens de contractie. Gedurende contractie van de protoster
wordt de dichtheid uiteindelijk voldoende hoog om straling gevangen te houden
en begint de protoster zich te gedragen als een zwart lichaam. Op dat moment
neemt de temperatuur scherp toe en begint de protoster te schijnen in het
zichtbare licht. De energie van contractie is voldoende om de protoster 
enkele miljoenen jaren te laten schijnen.

\subsection{Energiehuishouding in sterren}\label{ppcyclus}

De verhitting tijdens contractie van de protoster is voldoende om kernfusie
te initi\"eren. Het mechanisme van energieproductie in de zon is fusie
van waterstofatomen tot helium en fusie is de energiebron van sterren. 
De constructie van een fusiereactor op aarde
is ingewikkeld, het grootste probleem is de zogenaamde `confinement' 
(opsluiting) van het plasma. Een plasma met een temperatuur van ongeveer
$10^8$ K dient in een eindig volume opgesloten te worden. Vaste wanden
zijn niet mogelijk en we dienen toevlucht te nemen tot magnetische opsluiting
of opsluiting met behulp van lasers. Het volume van het magnetisch veld
dient relatief klein te zijn, enkele kubieke meters, want anders wordt
het vermogen, maar worden ook de constructiekosten, onoverkomelijk. In de
zon zijn deze problemen opgelost, alhoewel niet al te effici\" ent.
De buitentemperatuur is ongeveer 6000 K, terwijl de temperatuur in het
centrum van de zon ongeveer $1,6 \times 10^7$ K is. Kernfusie verloopt
relatief traag, maar de totale energieproductie is groot, omdat het
volume zo groot is. 

\medskip
\noindent
Gravitatie reguleert het fusieproces in sterren:
als om een of andere reden de reacties sneller verlopen, dan heeft dat een
temperatuurstijging tot gevolg. Dit leidt direct tot expansie van het
centrale deel van de ster, waardoor de reactiesnelheid vermindert en
de energieproductie afneemt. Evenzo als het tegenovergestelde gebeurt 
en de temperatuur en dus ook de gasdruk afneemt, dan krimpt de kern van
de ster en neemt de reactiesnelheid weer toe. Op deze wijze kan een ster
miljarden jaren een stabiele energieproductie leveren.
Hetzelfde proces maakt ook dat als de massa van de ster groot is, de
centrale druk en temperatuur relatief hoog is, waardoor de energieproductie
groot is. Dit heeft ook tot gevolg dat zware sterren een relatief
korte levensduur hebben.
 
\medskip
\noindent
V\' o\' or de ontdekking van kernreacties kon de energieproductie in de zon
niet verklaard worden: er was geen bron bekend die een dergelijke
hoeveelheid energie gedurende langere tijd kon produceren. Geologische
studies tonen aan dat de zon ongeveer dezelfde temperatuur heeft
gehad voor een periode van minstens $10^9$ jaar. Eddington was een
van de eersten die erop wezen, dat met de fusie van vier waterstofatomen
tot een $^4$He-atoom, er ongeveer 7 MeV/nucleon aan energie vrijkomt.
Dit proces levert miljoenen keren meer energie op dan een chemische reactie.
Er blijft echter een probleem: klassiek kan fusie niet optreden in
sterren, omdat de thermische energie van de protonen onvoldoende is
om de Coulombafstoting te overwinnen. Het quantummechanisch tunneleffect
maakt dergelijke reacties ook bij lagere temperatuur mogelijk. Men kan nu
specifieke reacties, verantwoordelijk voor stellaire energieproductie,
vaststellen. De eerste sequentie die werd voorgesteld was de zogenaamde
koolstof of CNO cyclus weegegeven in Fig. \ref{fig:cno}, 
waarin $^{12}$C en $4p$ getransformeerd worden
in een $\alpha$-deeltje en $^{12}$C. De CNO-cyclus verloopt als volgt,
\begin{eqnarray}
^{12}{\rm C}~p & \rightarrow & ^{13}{\rm N}~\gamma , \nonumber \\
^{13}{\rm N} & \rightarrow & ^{13}{\rm C}~e^+\nu , \nonumber \\
^{13}{\rm C}~p & \rightarrow & ^{14}{\rm N}~\gamma , \nonumber \\
^{14}{\rm N}~p & \rightarrow & ^{15}{\rm O}~\gamma , \nonumber \\
^{15}{\rm O} & \rightarrow & ^{15}{\rm N}~e^+\nu , \nonumber \\
^{15}{\rm N}~p & \rightarrow & ^{12}{\rm C}~^4{\rm He} . \nonumber \\
\end{eqnarray}
In deze sequentie fungeert het koolstof als een katalysator. Het
ondergaat veranderingen, maar het wordt niet verbruikt. De totale
reactie kan dus geschreven worden als
\begin{equation}
4p \rightarrow ^4{\rm He}.
\end{equation}
De totale energie $Q$ die in deze reactie vrijkomt, kan eenvoudig
gevonden worden uit de bekende massa's (via $E=mc^2$). Er geldt
\begin{equation}
Q(4p \rightarrow ^4{\rm He}) = 26,7 ~{\rm MeV}.
\end{equation}
Van deze energie wordt ongeveer 25 MeV gebruikt om de ster te
verhitten, de rest wordt afgevoerd door de neutrino's. De CNO-cyclus
is dominant in {\sl hete} sterren. In {\sl koude} sterren zoals de
zon, is de $pp$-cyclus belangrijker. De essenti\" ele stappen in de
$pp$-cyclus zijn
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{c}
pp \rightarrow de^+ \nu \\
\\
{\rm of}\\
\\
ppe^- \rightarrow d\nu \\
\end{array} 
\right\}
dp \rightarrow ^3{\rm He}\gamma
\label{eq:zwakkereacties}
\end{equation} 
en
\begin{equation}
^3{\rm He}~^3{\rm He} \rightarrow ^4{\rm He}~2p ,
\label{eq:ppcyclus_a}
\end{equation}
of
\begin{equation}
^3{\rm He}~^4{\rm He} \rightarrow ^7{\rm Be}~\gamma .
\label{eq:ppcyclus_b}
\end{equation}
In vergelijking (\ref{eq:ppcyclus_a}) is
de reactie $4p \rightarrow ^4{\rm He}+2e^+ + 2\nu$ reeds gerealiseerd.
In vergelijking (\ref{eq:ppcyclus_b}) wordt $^7$Be gevormd en dit leidt tot $^4$He via
twee sequenties,
\begin{equation}
^7{\rm Be} ~e^- \rightarrow ^7{\rm Li}~\nu ;~~~~
^7{\rm Li} ~p \rightarrow 2 ~^4{\rm He},
\end{equation}
of
\begin{equation}
^7{\rm Be} ~p \rightarrow ^8{\rm B}~\gamma ;~~~~
^8{\rm B} \rightarrow ^8{\rm Be}^* ~e^+\nu ;~~~~
^8{\rm Be}^* \rightarrow 2 ~^4{\rm He}.
\end{equation}
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/cno.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl CNO en $pp$-cyclus voor het fusieproces van een ster. De $pp$-cyclus
is dominant in de zon (de CNO-cyclus verzorgt slechts 1,6 \% van de energie
productie in de zon). De CNO-cyclus is belangrijk in massieve waterstof-brandende
sterren met een hoge centrale temperatuur, zoals Sirius A.} 
\label{fig:cno}
\end{figure}
De $pp$-cyclus heeft dezelfde energieopbrengst als de CNO-cyclus.
Om de reactiesnelheden te kunnen berekenen, zijn er twee verschillende
soorten input nodig. Ten eerste, de temperatuurverdeling van het
inwendige van de zon dient bekend te zijn. Het originele werk gaat
terug tot Eddington en verbeterde versies lijken betrouwbaar te
zijn (astronomen zijn van mening dat de temperatuur in het inwendige
van de zon ongeveer 16 miljoen K is). Ten tweede dienen de werkzame
doorsneden\footnote{De werkzame doorsnede is een
maat voor de waarschijnlijkheid dat een bepaalde wisselwerking tussen deeltjes plaatsvindt
(bijvoorbeeld verstrooiing of een kernreactie). Deze waarschijnlijkheid is vaak sterk afhankelijk 
van de energie van de deeltjes of de samenstelling van een target dat wordt beschoten. 
De werkzame doorsnede wordt aangeduid met $\sigma$ en heeft de dimensie van oppervlakte.}
voor de genoemde reacties bekend te zijn voor temperaturen
in de orde van 16 miljoen K. Deze temperatuur correspondeert met
kinetische energie\" en van slechts enkele keV, en de bijbehorende
werkzame doorsneden zijn uitermate klein. De vergelijkingen tonen
dat er twee typen reacties een rol spelen: hadronische en zwakke
reacties (alle reacties met neutrino's zijn zwak). De gemiddelde
levensduur van het verval $^8{\rm B} \rightarrow ^8{\rm Be}^* ~e^+\nu$
is gemeten. De twee zwakke reacties in vergelijking (\ref{eq:zwakkereacties})
verlopen echter zo traag, dat ze niet in het laboratorium gemeten
kunnen worden: ze worden berekend door gebruik te maken van
de Hamiltoniaan voor de zwakke wisselwerking. Teneinde de werkzame
doorsneden voor de hadronische reacties te vinden, worden de waarden
die bij hogere energie\" en gemeten zijn, ge\" extrapoleerd naar enkele keV.
Experimentatoren (zoals W.A. Fowler van Caltech) en diverse theoreten
zijn van mening dat hun schattingen stabiel zijn en dat zowel de structuur
van sterren als de kernfysische aspecten van de productie van
zonne-energie goed begrepen zijn.

\subsection{Nucleosynthese in sterren}

Verschillende lichte elementen zijn gevormd tijdens de Big Bang. Deze zogenaamde
primordiale productie is niet mogelijk voor zware elementen, omdat neutron-
of protonvangst van $^4$He niet tot stabiele kernen leidt en vanwege
het trage verloop van andere reacties. Neutronvangst bijvoorbeeld, leidt
tot $^5$He, hetgeen instabiel is en weer direct vervalt naar $^4$He. Ook de
vangst van $\alpha$-deeltjes via $^4{\rm He}^4{\rm He} \rightarrow ^8{\rm Be}$,
vormt alleen het instabiele $^8$Be, dat weer onmiddellijk
opbreekt in twee alfa deeltjes. Als de temperatuur van het universum
gedaald is tot ongeveer $3 \times 10^8$ K, ongeveer een half uur na
haar geboorte, stopt nucleosynthese, omdat Coulomb repulsie verdere
kernreacties verhindert. De abondanties van de diverse elementen gevormd
in de Big Bang zijn nu ingevroren, zodat de abondanties van de lichte
elementen $d$, $^3$He, $^4$He en $^7$Li, zoals die tegenwoordig worden
waargenomen, nog steeds de toestand van een universum van een half uur oud 
reflecteren.

\medskip
\noindent
Lichte kernen kunnen ook in sterren geproduceerd worden.
In het geval van $^4$He verklaart dit productieproces echter slechts ongeveer
10 \% van de waargenomen abondantie van dit element. Deuterium kan
al helemaal niet in significante hoeveelheden in sterren geproduceerd
worden, omdat het bij dergelijke hoge dichtheden direct in zware
elementen geconverteerd wordt. Deze conversie beperkt de huidige
baryondichtheid in het universum tot minder dan ongeveer 
$5 \times 10^{-28}$ kg/m$^3$. De productie van lithium in sterren
wordt positief be\"{\i}nvloed door neutrino interacties met $^4$He.
Deze reacties produceren $^3$H, $^3$He, protonen en neutronen. Een
van de successen van het standaard model is haar vermogen om de
abondanties van de lichte elementen te voorspellen, zelfs al verschillen
die een factor miljard van elkaar. Echter, de gemeten abondanties
van zware elementen kan niet verklaard worden door Big Bang nucleosynthese.
Klaarblijkelijk werden de zware elementen in een later stadium geproduceerd,
nadat stervorming reeds plaatsgevonden had. Nucleosynthese, de verklaring
van de abondantie van de elementen, is dus onlosmakelijk verbonden
met sterstructuur en sterevolutie.

\medskip
\noindent
%In een ster neemt de gravitationele druk af met het volume van de ster,
%terwijl de gasdruk in haar binnenste weerstand biedt aan deze reductie.
Druk en temperatuur in een ster zijn immens. In de zon bijvoorbeeld,
is de druk in het centrum $2\times 10^{10}$ bar en de temperatuur
$16 \times 10^6$ K. Atomen zijn onder deze omstandigheden bijna 
volledig ge\"{\i}oniseerd, waardoor er een plasma van vrije elektronen
en naakte atoomkernen ontstaat. De interne druk wordt in stand gehouden
door kernreacties die voor de stralingsenergie van de ster zorgen.
Zolang deze reacties plaatsvinden, zullen gravitationele en
interne druk elkaar in balans houden en is de ster in een evenwichtstoestand.
Wat gebeurt er echter als de brandstof opgebruikt is? Wat gebeurt er
met onze zon als alle waterstof opgebruikt is en de $pp$-cyclus stopt?
De ster zal dan onder gravitatie samentrekken, waardoor de centrale
druk en temperatuur zullen toenemen. Bij hogere temperatuur zullen
nieuwe kernreacties plaatsvinden en een nieuwe evenwichtstoestand wordt
bereikt. Onder die omstandigheden zullen nieuwe elementen worden gevormd.
Er zijn dus verschillende stadia van kernfusie en contractie.
%Een ster kan dus net als de zon rustig stralen of zich explosief 
%gedragen zoals in een supernova. 
In alle stadia zullen zware elementen gegenereerd worden.
\medskip
\noindent
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/supercomp.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Resultaten van de berekening van de samenstelling 
van een ster met een massa van 15 zonnemassa's. De abondanties van
de diverse elementen worden gegeven als functie van massa (in zonnemassa's).} 
\label{fig:supercomp}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:supercomp} geeft de resultaten van de
berekening van de samenstelling van een ster met een massa van
15 zonnemassa's. Deze ster bevindt zich aan het eind van de diverse
stadia van verbranding. Een dergelijke ster zal dan de supernova-fase
ondergaan, waarna zij zich tot een neutronenster zal ontwikkelen.
Ook voor de berekening van de supernova-fase bestaan er
nauwkeurige modellen. Figuur \ref{fig:superentropie} toont de
resultaten van een dergelijke berekening. 

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/super1.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Resultaat van een computersimulatie van een supernova. De massaverdeling wordt
gegeven als functie van de tijd, voor de eerste 0,7 seconde van
het proces.}
\label{fig:superentropie}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/expster.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Residu van koolstofverbranding in een exploderende ster. De
cirkels stellen zonnestelsel abondanties voor, terwijl de berekende waarden
door kruisen gerepresenteerd worden. De lijnen verbinden stabiele
isotopen van een gegeven element. De aangenomen piektemperatuur is
$2 \times 10^9$ K en de dichtheid is $10^8$ kg/m$^3$.}
\label{fig:expster}
\end{figure}

\medskip
\noindent
De volgende belangrijke stap, na de vorming van $^4$He, is de productie
van $^{12}$C. Het $^8$Be, gevormd in de reactie
$^4{\rm He}^4{\rm He} \rightarrow ^8{\rm Be}$, is instabiel. Echter,
indien de $^4$He dichtheid hoog genoeg is, kunnen meetbare hoeveelheden
$^8$Be aanwezig zijn in de evenwichtsreactie
\begin{equation}
^4{\rm He}~^4{\rm He} \Longleftrightarrow ^8{\rm Be}^*.
\end{equation}
Vangst van een alfa deeltje kan dan plaatsvinden,
\begin{equation}
^4{\rm He}~^8{\rm Be}^* \rightarrow ^{12}{\rm C},
\end{equation}
waardoor koolstof gevormd wordt. Deze vangst-reactie wordt
versterkt, omdat de vorming van $^{12}$C voornamelijk verloopt
via een resonantie met een aangeslagen toestand, $^{12}{\rm C}^*$.

\medskip
\noindent
De vorming van $^{16}$O vindt plaats via
\begin{equation}
^4{\rm He}~^{12}{\rm C} \rightarrow ^{16}{\rm O}~\gamma .
\end{equation}
Bovenstaande sequentie kan herhaald worden voor zwaardere elementen,
terwijl proton- en neutronvangst de elementen kunnen vormen die tussen
de alfa-achtige nucle\"{\i}den liggen. 
Fusiereacties, zoals koolstofverbranding, zijn van vitaal belang 
om rekenschap te kunnen geven van de abondantie van elementen
in het gebied $20 \leq A \leq 32$. De reacties,
\begin{eqnarray}
^{12}{\rm C}~^{12}{\rm C} & \rightarrow & ^{20}{\rm Ne}~\alpha \nonumber \\
                          & \rightarrow & ^{23}{\rm Na}~p \nonumber \\
                          & \rightarrow & ^{23}{\rm Mg}~n \nonumber \\
\end{eqnarray} 
vereisen een temperatuur hoger dan ongeveer $10^9$ K. Dergelijke temperaturen
komen slechts voor in enkele zeer massieve sterren en men denkt dat
koolstofverbranding voornamelijk plaatsvindt in massieve, zogenaamde
exploderende sterren. Men neemt aan dat de temperatuur in exploderende
sterren ongeveer $2 \times 10^9$ K is. Figuur \ref{fig:expster} laat zien
dat de abondantie van de geproduceerde elementen goed overeenkomt
met de resultaten van stermodellen. Op dezelfde manier kan zuurstofverbranding,
\begin{eqnarray}
^{16}{\rm O}~^{16}{\rm O} & \rightarrow & ^{28}{\rm Si}~\alpha \nonumber \\
                          & \rightarrow & ^{31}{\rm P}~p \nonumber \\
                          & \rightarrow & ^{31}{\rm S}~n \nonumber \\
\end{eqnarray} 
rekenschap geven van de abondantie van elementen met $32 \leq A \leq 42$,
maar vereist een temperatuur van ongeveer $3,6 \times 10^9$ K.
Verbranding van silicium draagt bij tot de verklaring van de vorming
van veel elementen tot Ni.

\medskip
\noindent
Een nieuw aspect komt aan de orde als de vorming van ijzer
bereikt wordt. De bindingsenergie per nucleon heeft een maximum in de buurt
van de Fe-groep. Voor atoomgetallen groter dan dat van ijzer, neemt
de bindingsenergie per nucleon af. Om die reden kan de Fe-groep niet
dienst doen als brandstof en de verbranding stopt als ijzer gevormd is.
Dit verklaart ook waarom de elementen in de buurt van Fe meer abondant
zijn dan andere. Elementen zwaarder dan ijzer zijn waarschijnlijk gevormd
door neutron- en protonvangst reacties. Deze processen vinden plaats
zolang de ster brandt of wanneer explosies protonen en neutronen
produceren. Op het moment dat de kernreacties die de energie
van de ster leveren stoppen, stopt ook de productie van zware elementen.

\subsection{Standaard zonnemodel}

Het standaard zonnemodel (standard solar model - SSM) is een van de meest
complete en succesvolle theorie\"en van de moderne sterrenkunde. We zullen
de basisgedachten achter dit model en de consequenties ervan kort bespreken.
Het SSM is gebaseerd op vier aannamen:
\begin{itemize}
\item{} De zon is sferisch symmetrisch.
\item{} De zon is in hydrostatisch evenwicht.
\item{} Energie wordt overgebracht door straling en convectie alsook
door neutrino's.
\item{} Fusie van waterstof tot helium is de energiebron.
\end{itemize}
De centripetale versnelling op de equator van de zon is $a=v^2/R \approx 5 \times 10^{-3}$
m/s$^2$ en dat is verwaarloosbaar ten opzichte van haar gravitatie van 
$g = GM/R^2 \approx 274$ m/s$^2$.
Sferische symmetrie is dus een goede aanname en we mogen toestandvariabelen, zoals temperatuur
en druk, schrijven als functie van de afstand tot het centrum van de zon,
bijvoorbeeld $T(r)$ en $P(r)$. Indien de lokale compositie (voornamelijk
waterstof en helium) bekend is, dan geven deze twee grootheden ook de dichtheid.
Als we aannemen dat de gasdruk\footnote{We vinden de uitdrukking voor de gasdruk
uit de ideale gaswet, $PV=NkT$, met $P$ de gasdruk, $V$ het volume, $N$
het aantal moleculen, $k$ de constante van Boltzmann en $T$ de temperatuur. Omdat
de deeltjesdichtheid, ${N \over V} = {\rho \over \mu}$, met $\rho$ de massadichtheid,
$\mu$ het moleculaire massa ($\mu = 2m_p$ voor waterstofmoleculen, H$_2$) en $m_p$
de massa van het proton, kunnen we de gasdruk ook schrijven als $P={\rho kT \over \mu}$.}
dominant is over de stralingsdruk dan kunnen
we deze laatste verwaarlozen. Er geldt $P_{\rm gas} = {\rho kT \over \mu}$
en $P_{\rm straling} = {4 \sigma T^4 \over 3c}$, met $\rho$ de dichtheid,
$\mu$ de deeltjesmassa ($3,345 \times 10^{-27}$ kg voor waterstofmoleculen), 
$\sigma$ de Stefan-Boltzmann constante en $c$ de
lichtsnelheid. Diep in de zon bedraagt de dichtheid $\rho \sim 10^4$ kg/m$^3$
en temperatuur $T \sim 10^7$ K en
onder deze condities vinden we $P_{\rm gas} \sim 1,4 \times 10^{15}$ N/m$^2$ en
$P_{\rm straling} \sim 2,5 \times 10^{12}$ N/m$^2$. We zien dat de stralingsdruk
inderdaad verwaarloosbaar is\footnote{Voor massieve sterren met hogere temperatuur kan
stralingsdruk wel een belangrijke rol spelen.}.

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/he.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl In de zon is er evenwicht tussen gravitatie en de gasdruk ten gevolge van de
energie opgewekt door kernfusie. Rechts: op een schil met oppervlakte $A$ en dikte $h$ is er
hydrostatisch evenwicht tussen de krachten.}
\label{fig:he}
\end{figure}
\noindent
We stellen ons voor dat de zon is opgebouwd uit sferische schillen. Op de bodem van
een volume element werkt een kracht ter grootte $F_{\rm bodem} = P(r)A$, terwijl
op de top een kracht werkt ter grootte $F_{\rm top} = -(P+\Delta P)A$. Het minteken
geeft aan dat deze kracht naar het centrum van de zon wijst. Verder werkt er nog
de gravitatie op de massa van het volume element. Het gewicht is gelijk aan
$F_{\rm gravitatie} = -\Delta mg$, met $\Delta m$ de massa van het element en $g$ 
de lokale gravitatie versnelling. We vinden $F_{\rm gravitatie} = -\rho Ah g$.
De lokale gravitatie wordt gegeven door $g = {GM_I \over r^2}$, waarbij $M_I$
de totale massa binnen de bol is die begrensd wordt door de sferische schil.
Deze krachten zijn in hydrostatisch evenwicht,
$P(r)A -(P+\Delta P)A -\rho Ah {GM_I \over r^2} = 0$, en er geldt voor een dunne
sferische schil (met $\Delta P \rightarrow dP$ en $\Delta r = h \rightarrow dr$)
\begin{equation}
P - (P+dP) - {GM_I \rho dr \over r^2} = 0 ~~~~\rightarrow ~~~~
{dP \over dr} = -{GM_I\rho \over r^2} = -{GM_I P \mu \over kT r^2}.
\label{eq:drukverschil} 
\end{equation}
Als randvoorwaarde hebben we dat de druk nul moet zijn aan de rand van de ster,
waar $\rho \sim 0$. De massa binnen de bol bedraagt $M_I$ en de sferische
schil levert een bijdrage
\begin{equation}
dM_I = 4\pi r^2 \rho dr = {4\pi r^2 P\mu \over kT}dr ~~~~\rightarrow~~~~
{dM_I \over dr} = {4\pi r^2 P\mu \over kT}.
\end{equation}
Hier geldt de randvoorwaarde dat $M_I = 0$ als $r=0$. Verder geldt dat $M_I=M_\odot$
als $r=R_\odot$, de straal van de ster.

\medskip
\noindent
In de evenwichtstoestand is de energie binnen het volume element, tussen $r$
en $r+dr$ constant. De stralingsflux door het buitenoppervlak is dan gelijk
aan de som van de flux door het binnen oppervlak en het vermogen dat binnen
de sferische schil wordt gegenereerd. Dit geeft
\begin{equation}
L+dL = L+4\pi r^2\epsilon \rho dr ~~~~\rightarrow~~~~
{dL \over dr} = 4\pi r^2 \epsilon \rho = {4\pi r^2 P \mu \epsilon \over kT},
\end{equation}
met $L$ de {\sl luminositeit} ofwel de flux van uitgestraalde energie per
tijdseenheid, en $\epsilon$ de functie van intrinsieke energie generatie (in W/kg).
Bij een hogere temperatuur zal er meer energie in de ster worden gegenereerd.
Als randvoorwaarden gebruiken we $L=0$ en $r=0$, terwijl voor $r=R_\odot$ we
de luminositeit $L=L_\odot$ van de zon dienen te vinden.

\medskip
\noindent
Tenslotte stellen we een vergelijking op voor
de temperatuurverdeling van de zon. Hiertoe beschouwen
we de intensiteit (J/(m$^2$s)) door een sferische schil. Straling passeert
deze schil, terwijl er ook straling door kernfusie in de schil kan worden
gegenereerd. Als de gemiddelde intensiteit van de straling binnen de schil
gelijk is aan $I$, dan is de energie die geabsorbeerd wordt per tijdseenheid
voor straling die de schil passeert gelijk aan $-I\kappa \rho dr$, met $\kappa$
de {\sl opaciteit} gedefinieerd als $\kappa = {\zeta \over \rho}$, met $\zeta$
de {\sl lineaire absorptie co\"effici\"ent}. De geabsorbeerde intensiteit
bedraagt $dI=-\zeta I dr = -\kappa \rho I dr$. De intensiteit van de straling
die de schil passeert is gerelateerd aan de lokale luminositeit volgens
$I = {L \over 4\pi r^2}$. Vanwege de relatie tussen energie ($E$) en impuls 
($p$ voor straling geldt $E=pc$), kunnen we de impulsverandering per tijdseenheid
van de straling tussen binnen- en buitenoppervlak schrijven als
\begin{equation}
dp = -{I\kappa \rho \over c} dr= - {L\kappa \rho \over 4 \pi r^2c}dr.
\end{equation}
De impulsverandering in een sectie met eenheidsoppervlak vertegenwoordigt
een krachtverschil per eenheid van oppervlakte, of stralingsdruk tussen 
binnen- en buitenoppervlak van het element. Er geldt
\begin{equation}
{dP_{\rm straling} \over dr} = -{L\kappa \rho \over 4 \pi r^2 c}.
\end{equation}
Omdat de stralingsdruk gegeven wordt door $P_{\rm straling} = {4 \sigma T^4 \over 3c}$,
kunnen we dit differenti\"eren naar $r$ en in bovenstaande vergelijking invullen.
We vinden dan
\begin{equation}
{dP_{\rm straling} \over dr} = {16 \sigma T^3 \over 3c}{dT \over dr}~~~~\rightarrow ~~~~
{dT \over dr} = -{3L \kappa \rho \over 64 \pi \sigma T^3 r^2}.
\end{equation}
Voor de temperatuur nemen we als randvoorwaarde $T = T_{\rm oppervlak}$
als $r = R_\odot$. Dat is de conventionele temperatuur van een ster, die men
kan waarnemen; het is de temperatuur van de fotosfeer, de zichtbare buitenkant
van de ster.

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/ssm.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Resultaten van het standaard model voor de zon. Boven: temperatuur en 
dichtheidsverdeling; onder: massafracties van diverse elementen.}
\label{fig:ssm}
\end{figure}
\noindent
Bovenstaande differentiaalvergelijkigen kunnen iteratief worden opgelost
en Fig. \ref{fig:ssm} geeft de berekende temperatuur en dichtheidsverdeling in de zon.
We zien dat in het centrum van de zon een temperatuur van 16 miljoen graden
wordt bereikt.

\medskip
\noindent
We kunnen een gevoel krijgen voor het verband tussen massa ($M$), grootte ($R$)
en de druk ($P_C$) in het binnenste van de ster. Hiervoor gebruiken we vergelijking
(\ref{eq:drukverschil}) om bij grove benadering de druk in de
ster (in \'e\'en stap met $dr \rightarrow R$ en $M_I \rightarrow M$) te schrijven als 
${dP \over dr} = -{GM_I\rho \over r^2} ~~\rightarrow ~~
P_C \approx {GM \rho_C \over R}$. We benaderen de massa met
$M \approx {4 \over 3}\pi R^3 \rho_C$. Combineren levert 
$P_C \approx {3GM^2 \over 4\pi R^4}$. Op dezelfde wijze vinden
we dat de centrale temperatuur schaalt als $T_C \sim {M \over R}$.

\medskip
\noindent
Als we sterren met globaal dezelfde massa $M$ beschouwen, dan
geldt $M \sim \rho_C R^3 = {\rm constant}$. Omdat dus geldt dat
$R \sim \rho_C^{-{1 \over 3}}$, vinden we de toestandsvergelijking
voor de centrale druk
\begin{equation}
P_C \sim \rho_C^{4 \over 3}.
\label{eq:tsv}
\end{equation}
Dit is de toestandsvergelijking voor een ster waarbij de druk precies in balans
is met de gravitatie. Toestandsvergelijking van de vorm $P \sim \rho^\gamma$
worden polytropische toestandsvergelijkingen genoemd. Als de polytropische
index $\gamma$ groter is dan $4/3$ dan neemt de druk
sneller toe bij compressie en stoot de ster terug, de ster is stabiel.
Toestandsvergelijkingen met $\gamma < 4/3$ zijn niet stabiel.

\subsection{Witte dwergen, supernovae en neutronensterren}

In het voorgaande hebben we diverse verbrandingsprocessen die zich in sterren
afspelen beschreven. In deze fusiereacties worden elementen geproduceerd
en tegelijkertijd wordt meer en meer kernbrandstof opgebruikt. Wat gebeurt
er wanneer er geen brandstof meer is? Volgens de gangbare theorie\" en
kan een ster op vier manieren aan zijn einde komen: het kan een zwart gat, een
witte dwerg, of een neutronenster worden, of het kan volledig fragmenteren.
Haar uiteindelijke lot wordt bepaald door de beginmassa
van de ster. Als deze massa minder is dan ongeveer vier zonnemassa's,
dan zal de ster een witte dwerg worden. Als deze massa echter groter
is dan ongeveer vier zonnemassa's, kan een supernova ontstaan die
resulteert in een neutronenster, een zwart gat of in volledige fragmentatie.
Zwarte gaten trekken zich oneindig lang samen en benaderen, maar
zullen dit nooit bereiken, een straal van ongeveer 3 km en een dichtheid
van meer dan $10^{19}$ kg/m$^3$. Neutronensterren hebben een straal
van ongeveer 10 km en een centrale dichtheid die groter is dan die
van kernmaterie, ongeveer $10^{17}$ kg/m$^3$. In het volgende bespreken
we de vorming en eigenschappen van neutronensterren.

\medskip
\noindent
Stel dat het fusieproces ten einde loopt en de ster begint te contraheren
onder zijn eigen gravitatie. Volgens het Pauliprincipe dient een systeem
dat $N_e$ elektronen bevat spinparen te vormen met impulsen die minstens
$\Delta p_{\rm minimum}$ verschillen. Dit betekent dat in drie dimensies de grootste
impuls in elke richting minstens de waarde $N_e^{1 \over 3}\Delta p_{\rm minimum}$
dient te hebben. Merk op dat in deze bespreking we ons niet druk maken
over factoren 2 of $\pi$, etc. De minimum impuls kunnen we vinden uit
Heisenbergs onzekerheidsrelatie en is geassocieerd met de maximale onzekerheid
in de plaats van het deeltje, hetgeen de grootte ($2R$) van de ster is.
We vinden hiermee voor de minimum impuls in de $x$-richting
$\Delta p_{\rm minimum ~x} = {h \over 2R}$, met $h$ de constante van Planck.
We kunnen nu het effect van het Pauliprincipe in rekening brengen
door te vermenigvuldigen met $N_e^{1 \over 3}$ en vinden de minimum waarde
die de grootste impuls in de $x$-richting dient te hebben. 
De drie richtingen combineren om een kinetische energie te
leveren van
\begin{equation}
< {\rm K} >_{\rm gemiddeld} = 
3{\left( N_e^{1 \over 3}\Delta p_{\rm minimum ~x} \right)^2 \over 2 m_e} 
= N_e^{2 \over 3}{3h^2 \over 8m_e R^2}
\end{equation}
waarbij we de klassieke relatie tussen kinetische energie en
impuls gebruikt hebben ($K = {p^2 \over 2m}$).
Deze random kinetische energie leidt direct tot de gasdruk
via relatie $PV=NkT$ waarbij we de thermische energie $kT$ vervangen
door $kT = {2 \over 3}<{\rm K}>_{\rm gemiddeld}$. We vinden dan
\begin{equation}
P_{\rm Fermi} = {2 \over 3} {N \over V} <{\rm K}>_{\rm gemiddeld} =
{h^2 N_e^{5 \over 3} \over 4 m_e VR^2}.
\label{eq:p1} 
\end{equation}
Vervolgens gebruiken we de benadering die een relatie geeft tussen
druk, massa en grootte van een ster $P = {3GM^2 \over 4\pi R^4}$ en
stellen dit gelijk aan de Fermi gasdruk $P_{\rm Fermi}$. Verder
geldt dat $M = N_e \mu \approx 2m_p N_e$ en $V = {4 \over 3} \pi R^3$.
We vinden
\begin{equation}
R = N_e^{2 \over 3}{h^2 \over 8 G m_p m_e M},
\label{eq:r}
\end{equation}
en als we hiervoor de massa van de zon gebruiken ($M=M_\odot$) vinden
we een straal $R = 10^7$ m. Dat is een straal in de orde van de straal
van de aarde. Een exacte berekening geeft als uitkomst dat een witte
dwerg met een massa van 1 zonnemassa een straal heeft die ongeveer
90 \% is van de straal van de aarde. 

\medskip
\noindent
We kunnen voor een witte dwerg de toestandsvergelijking afleiden
door op te merken dat $R \sim V^{1 \over 3}$ en we zien dat de Fermi gasdruk
alleen afhangt van de verhouding $N_e /V$, het aantal elektronen per
volume eenheid. Deze elektronendichtheid is evenredig met de
massadichtheid $\rho = \mu N_e /V$ en we vinden hiermee de Fermi
toestandsvergelijking
\begin{equation}
P_{\rm Fermi} = \beta \rho^{5 \over 3},
\end{equation}
waarbij de constante $\beta$ afhangt van $h$, $m_e$ en $m_p$. De
polytropische index $\gamma = {5 \over 3}$ en dat betekent dat een
niet-relativistisch ontaard Fermigas stabiel is onder kleine verstoringen\footnote{Met
ontaarde materie bedoelen we materie waarbij de dichtheid dermate groot
is dat de belangrijkste bijdrage tot de druk komt van het Pauliprincipe. Compressie
van ontaarde materie dwingt deeltjes over te gaan naar quantumtoestanden met 
hogere energie.}.

\medskip
\noindent
Een ster die gedragen wordt door elektron ontaarding wordt een
witte dwerg genoemd. Ook de protonen in het plasma van de ster zijn
onderhevig aan de onzekerheidsrelatie en het Pauliprincipe. Derhalve
vormen de protonen ook een ontaard gas en leveren ze een bijdrage tot
de gasdruk van de ster. Omdat de kinetische energie gegeven wordt
door ${1 \over 2}mv^2 = {p^2 \over 2m}$ leveren protonen bij dezelfde
waarde van impuls een beduidend kleinere bijdrage tot de kinetische
energie en daarmee de gasdruk (het schaalt omgekeerd evenredig met de massa).
Witte dwergen worden waargenomen door sterrenkundigen en komen
relatief veel voor: typisch 1 op de 10 sterren is een witte dwerg.

\medskip
\noindent
Als een ster massief is, dan worden de elektronen in een klein
volume gedwongen door de gravitatiekracht. Hierdoor wordt hun typische
snelheid groot, in de orde van de lichtsnelheid. Om te begrijpen wat
er dan fysisch gebeurt, dienen we een {\sl relativistisch} ontaard elektronengas
te beschouwen. 
We nemen hierbij aan dat de elektronen een gas vormen van ultra-relativistische
vrije fermionen, die zich in een volume $V$ bevinden. Alle beschikbare
toestanden zijn bezet tot de Fermi energie $E_F$. Dit ontaarde
elektronengas levert de druk die in evenwicht is met de gravitationele
aantrekking. 
Voor ultra-relativistische deeltjes wordt het verband
tussen energie en impuls gegeven door $E = \vert \vec p \vert c$.
Analoog aan vergelijking (\ref{eq:p1}) wordt de druk voor een ontaard
relativistisch elektrongas gegeven door
\begin{equation}
P={hcN_e^{4 \over 3} \over 3RV}.
\label{eq:p2}
\end{equation} 
Als we dit weer gelijkstellen aan ${3GM^2 \over 4\pi R^4}$ en het volume 
vervangen door ${4 \over 3}\pi R^3$ krijgen we
\begin{equation}
{hcN_e^{4 \over 3} \over 4\pi R^4} = {3GM^2 \over 4\pi R^4}.
\label{eq:chand}
\end{equation}
In bovenstaande vergelijking gebeurt er iets verrassends, want de
straal van de ster valt uit de vergelijking. Wat we overhouden is
een uitdrukking voor de massa. Klaarblijkelijk heeft een relativistische
witte dwerg een {\sl unieke} massa. Deze massa noemen we de
Chandrasekhar massa\footnote{Subrahmanyan Chandrasekhar (1910 - 1995)
heeft deze limiet afgeleid, die bepaalt of een instortende ster een
witte dwerg wordt of een exotischer object: neutronenster of zwart gat.
Ook quarksterren bestaande uit quarkmaterie (met name $s$-quarks) behoren
tot de theoretische mogelijkheden.} en deze wordt gegeven door
\begin{equation}
M_{\rm Ch} = 
\left( {hc \over 3G} \right)^{3 \over 2} \left( {1 \over \mu} \right)^2
= \left( {1 \over 3^{3 \over 2}} {m_{\rm Pl}^3 \over m_p^2} \right) \approx 1,4 M_\odot .
\end{equation}
We hebben we in vergelijking (\ref{eq:chand}) de relatie
$M = N_e \mu$ gebruikt, en in de laatste stap hebben we $\mu = m_p$ genomen. 
Verder is $m_{\rm Pl}$ de zogenaamde Planck massa, die wordt gegeven door
$m_{\rm Pl} = \left( {hc \over G} \right)^{1 \over 2} = 5,5 \times 10^{-8}$ kg.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/ch.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Relatie tussen straal en massa voor een witte dwerg voor een
(niet-)relativistisch elektrongas. In de limiet van een ultra-relativistisch
elektrongas wordt de Chandrasekhar limiet bereikt.}
\label{fig:ch}
\end{figure}

\noindent
Uit vergelijking (\ref{eq:p2}) kunnen we de toestandsvergelijking
van een ultra-relativistische witte dwerg vinden. Omdat $R \sim V^{1 \over 3}$
zien we dat
\begin{equation}
P = \beta \rho^{4 \over 3}
\end{equation}
Zoals we besproken hebben in vergelijking (\ref{eq:tsv}) is een index
$\gamma = {4 \over 3}$ slechts marginaal stabiel voor gravitationele
ineenstorting. Elke kleine correctie op de eigenschappen van een
ultra-relativistische witte dwerg kan instabiliteit tot gevolg hebben.

\medskip
\noindent
Men neemt aan dat neutronensterren zich ontwikkelen uit de gravitationele
samenstorting van sterren die massiever zijn dan ongeveer acht zonnemassa's.
Tegen het einde van de diverse stadia van kernverbranding heeft de
temperatuur een waarde van ongeveer $8 \times 10^9$ K bereikt
in een centrale, voornamelijk uit ijzer bestaande, kern ter grootte van 
ongeveer 1,5 zonnemassa. Het element $^{56}$Fe heeft de meest stabiele
kern bij lage temperatuur en druk. Bij de druk, dichtheid en temperatuur
van de centrale kern zullen de atomen volledig ge\"{\i}oniseerd zijn,
waarbij de vrije elektronen een ontaard gas vormen. Het gedrag van deze
elektronen bepaalt de verdere evolutie van de ster.

\medskip
\noindent
De ultra-relativistische witte dwerg is niet stabiel voor gravitationele ineenstorting.
De sterkern verliest elektronen vanwege elektronvangst\footnote{Elektronvangst
is de reactie $p+e^- \rightarrow n+\nu_e$. Hierdoor worden protonen omgezet
in neutronen, terwijl de ster neutrino's uitzendt.} door het ijzer, waarbij
neutrino's worden uitgezonden. Als elektronen niet langer weerstand kunnen
bieden aan de massa van de kern, stort de ster in. De gravitationele energie
die hierbij vrijkomt wordt in warmte en kinetische energie omgezet. Kernen
gaan hierbij over tot een gas van nucleonen en de dichtheid van de kern van
de ster neemt toe tot waarden die ongeveer twee keer zo groot
zijn als die van kernmaterie. Op dit punt aangekomen, stopt de compressie
omdat het nucleongas nu de druk levert die nodig is om verdere ineenstorting te
voorkomen.
In het geval van niet al te grote massieve
sterren, stuitert de kern wat op en neer als de compressie stopt, waardoor 
uitgaande drukgolven ontstaan die resulteren in een schokgolf. Deze schokgolf
zal de mantel van de ster doen scheuren waardoor er een explosie volgt. Op
deze wijze wordt een type II supernova geboren. De energie van de ineengestorte
kern, ongeveer $3 \times 10^{46}$ J, wordt in een tijdspanne van ongeveer 10 s
uitgezonden in de vorm van neutrino's, waarbij er een neutronenster resteert.
De neutrino's van SN1987a zijn op aarde waargenomen door het Superkamiokande
en IMB experiment, waarbij de energie- en
tijdverdeling van deze neutrino's gemeten is.

\medskip
\noindent
Neutrino emissie is een effici\" ent koelproces voor de resterende
neutronenster. De ster koelt al fors binnen een paar seconden en heeft na
een paar dagen een interne temperatuur van ongeveer $10^{10}$ K bereikt. Deze
interne temperatuur blijft zeker boven de $10^9$ K gedurende de eerste
duizend jaar, met neutrino emissie als het belangrijkste koelproces.
Daarna wordt foton-emissie het dominante koelproces en bereikt de
neutronenster een temperatuur van ongeveer $10^8$ K.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/stercross.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Doorsnede van een typische neutronenster. De hadronische
kern kan quarkmaterie of een pion-condensaat bevatten.}
\label{fig:stercross}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:stercross} toont een doorsnede van een typische neutronenster.
Hierbij zijn de volgende vragen relevant: Hoe heeft de ster deze eindtoestand
bereikt? Waarom stort de ster niet volledig in? Veel vakgebieden zijn
betrokken bij een formulering van antwoorden op deze vragen: relativiteitstheorie,
quantummechanica, kern- en deeltjesfysica en vastestof fysica. In het
volgende bespreken we een aantal subatomaire fysica aspecten.

\medskip
\noindent
We beschouwen als eerste de dichtheid en samenstelling van de ster. Voor
een gegeven massa van de neutronenster, kunnen we de straal en dichtheidsverdeling
uitrekenen\footnote{G. Baym en C. Pethick, {\sl Ann. Rev. Nucl. Sci.} {\bf 25},
27 (1975); S. Tsuruta, {\sl Comm. Astrophys.} {\bf 11}, 151 (1986).}.
Voor een ster met een straal van 10 km is de centrale dichtheid ongeveer
$10^{17} - 10^{18}$ kg/m$^3$. De dichtheid neemt toe van nul, aan de top van
de `atmosfeer', tot een waarde die groter is dan die van kernmaterie in
het centrum. Uit de dichtheid kunnen we de samenstelling op een gegeven
diepte afleiden. De buitenste laag bestaat voornamelijk uit $^{56}$Fe, het
eindresultaat van het proces van kernverbranding. De dichtheid neemt toe
als we in de richting van het centrum van de ster gaan en de Fermi energie
wordt dusdanig groot, dat elektronvangst kan optreden, net zoals dat
het geval was bij het ontstaan van een neutronenster in de pre-supernova fase.
Bij deze hogere temperatuur worden meer neutronen-rijke isotopen
gevormd. Elektronvangst blijft toenemen en bij een dichtheid van ongeveer
$4 \times 10^{14}$ kg/m$^3$ zullen kernen met 82 neutronen, zoals $^{118}$Kr,
het meest stabiel zijn. Merk op dat gewoon krypton op aarde een atoomgetal
$A = 84$ heeft. De meest stabiele nucle\"{\i}den bij dergelijke hoge drukken
zijn dus zeer neutronen-rijk. Onder normale toestanden zouden dergelijke
kernen direct vervallen door elektron-emissie. Echter bij drukken die heersen
in een neutronenster, zijn alle beschikbare toestanden reeds door elektronen
bezet en verbiedt het Pauliprincipe een dergelijk beta-verval.

\medskip
\noindent
Het buitenste neutron van $^{118}$Kr is nauwelijks gebonden. Als de
dichtheid groter wordt dan $4 \times 10^{14}$ kg/m$^3$, beginnen de 
neutronen uit de kernen te lekken en ontstaat er een ontaarde vloeistof.
Als de druk verder toeneemt, zullen de kernen in deze zogenaamde
`neutron drip line' meer en meer neutronen-rijk worden en in grootte
groeien. Bij een dichtheid van ongeveer $2.5 \times 10^{17}$ kg/m$^3$, 
beginnen de kernen elkaar te raken en gaan ze in elkaar over om een
continue vloeistof van neutronen, protonen en elektronen te vormen.
Neutronen zijn hierbij in de meerderheid en de fractie protonen wordt
geraamd op ongeveer 4 \% van alle materie. De neutronen kunnen niet
vervallen in protonen, omdat de energie van het vrijkomende elektron
kleiner zou zijn dan de Fermi energie van het elektrongas. Het
verval is derhalve verboden door het Pauliprincipe. 

\medskip
\noindent
Als de energie nog groter wordt, is het energetisch mogelijk om
via elektronvangst meer massieve elementaire deeltjes te vormen,
zoals bijvoorbeeld
\begin{equation}
e^- n \rightarrow \nu ~ \Sigma^- ,
\end{equation}
waarbij dergelijke deeltjes weer stabiel zijn vanwege het 
Pauliprincipe. Fig. \ref{fig:neutcomp} toont resultaten van een
berekening\footnote{M.A. Ruderman, {\sl Sci. Amer.} {\bf 224}, 24
(februari 1971).} van de samenstelling van een neutronenster
als functie van de dichtheid.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/neutcomp.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Aantal materiedeeltjes als functie van de dichtheid.
Het `neutron drip regime', waarbij neutronen uit kernen lekken, 
begint bij $4 \times 10^{14}$ kg/m$^3$. Bij een dichtheid van
ongeveer $2,5 \times 10^{17}$ kg/m$^3$ beginnen de kernen op te lossen.
Bij hogere dichtheden kunnen muonen en vreemde deeltjes ontstaan.}
\label{fig:neutcomp}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Als we onze aandacht nog een keer richten op de druk in een
neutronenster, dan hebben we reeds gezien dat het ontaarde elektronengas
bij relatief lage drukken, de tegendruk levert die ineenstorting van
de ster voorkomt. Bij hogere drukken wordt volledige ineenstorting
voorkomen door een combinatie van twee effecten, de afstotende kracht
in de nucleon-nucleon interactie en de energie ontaardheid van de
neutronen. Fig. \ref{fig:neutcomp} toont dat neutronen domineren bij
de hoogste drukken. Ze vormen een ontaard Fermigas en we kunnen de
argumenten die geleid hebben tot vergelijking (\ref{eq:r})
herhalen voor het niet-relativistische geval. We vervangen in
vergelijking (\ref{eq:r}) $m_e$ door $m_n$ en stellen $\mu = m_p$ (dus
vermenigvuldigen met een factor 2). Dit betekent dat de straal van een
neutronenster ongeveer 600 keer kleiner is dan die van een witte dwerg,
of wel ongeveer 17 km.
We vinden dan weer dat de druk toeneemt met afnemend volume totdat het, 
samen met de afstotende kracht tussen nucleonen op korte afstand (de
zogenaamde harde-pit repulsie van de nucleon-nucleon (NN) kracht), 
in evenwicht is met de gravitationele aantrekking.

\medskip
\noindent
Het bestaan van neutronensterren is reeds in de jaren dertig van de
vorige eeuw voorspeld. Hun ontdekking kwam onverwacht in 1967 toen
een nieuwe klasse hemellichamen werd waargenomen. Deze objecten zijn
puntvormig, staan buiten ons zonnestelsel en zenden periodieke
radiogolven uit. Ze werden pulsars genoemd en op dit moment zijn
er meer dan 1000 bekend. Hun periode varieert van ongeveer 1,5 ms tot 4 s.
In 1968 suggereerde 
Gold\footnote{T. Gold, {\sl Nature} {\bf 218}, 731 (1968).}
dat een pulsar een neutronenster is. De periode
van de pulsar wordt geassocieerd met de rotatiefrequentie van de
neutronenster. De frequentie neemt geleidelijk af vanwege het verlies
aan rotatie-energie. Dit energieverlies is aanzienlijk, zo is het
verlies van rotatie-energie van de Krabpulsar ongeveer even groot
als de totale energie uitgezonden door deze nevel. De neutronenster
is dus de energiebron van de enorme Krabnevel. 

\medskip
\noindent
Men heeft pulsars niet alleen waargenomen als radiosterren, maar
ook is periodieke emissie van licht gemeten. De perioden, 
de vertragingssnelheden, en de plotselinge veranderingen van de
perioden zijn zorgvuldig bestudeerd. Hiermee zijn diverse
eigenschappen van neutronensterren vastgesteld en weten we
meer van het gedrag van kernmaterie bij
dichtheden groter dan $10^{18}$ kg/m$^3$.

\subsection{Neutrino astronomie}

Er is \' e\' en deeltje dat kan ontsnappen uit het inwendige
van een dichte ster: het neutrino. Neutrino astronomie, alhoewel uitermate
ingewikkeld, maakt het mogelijk om in het inwendige van sterren, bijvoorbeeld
de zon, te kijken. De
eigenschappen die het neutrino uniek maken, kunnen als volgt worden samengevat:
\begin{enumerate}
\item{} De absorptie van neutrino's en antineutrino's in materie is
klein. De werkzame doorsnede voor absorptie kan geschreven worden als
\begin{equation}
\sigma~({\rm cm}^2) = 2,3 \times 10^{-44}{p_e \over m_ec^2}
{E_e \over m_ec^2},
\end{equation}
met $p_e$ en $E_e$ de impuls en energie van het elektron in de
eindtoestand in de reactie $\nu N \rightarrow eN^\prime$. We vinden
dat de gemiddelde vrije weglengte van een 1 MeV neutrino in water ongeveer
$10^{19}$ m is. Dit is vele malen groter dan de lineaire afmetingen van
sterren, die in het algemeen kleiner zijn dan $10^{11}$ m.
\item{} Men kan neutrino's en antineutrino's onderscheiden door verschillen
in wisselwerkingen met water. De luminositeit van neutrino's op aarde
wordt gedomineerd door de zon, omdat die zo dichtbij staat. We geloven
echter dat de primaire galactische bronnen van neutrino's supernovae
en hun restanten zijn. In het koelproces van supernovae worden neutrino
en antineutrino paren van alle flavors\footnote{In de natuur komen
er drie soorten neutrino's voor: elektron neutrino $\nu_e$, muon neutrino
$\nu_\mu$ en tau neutrino $\nu_\tau$.} uitgezonden via reacties
met neutrale stromen\footnote{In de zwakke wisselwerking worden 
$Z$ bosonen of $W$ bosonen uitgewisseld. Omdat het $Z$ boson ongeladen
is, spreekt men van neutrale stromen. De $W$ bosonen zijn geladen.}, 
zoals $e^+e^- \rightarrow \nu \overline{\nu}$.
Verder worden elektron neutrino's en antineutrino's gegenereerd door
kernreacties met geladen stromen, zoals $e^-p \rightarrow n\nu_e$.
\end{enumerate}
Figuur \ref{fig:sn1987a_flux} toont dat
de neutrino's van SN1987a zijn waargenomen.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/sn1987a_flux.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Tijd- en energieverdeling van neutrino's waargenomen met
het Kamiokande en het IMB experiment.}
\label{fig:sn1987a_flux}
\end{figure}
In het volgende zullen we de zonneneutrino's nader beschouwen. We
hebben in sectie \ref{ppcyclus}
gezien dat vier reacties van de $pp$-cyclus neutrino's produceren.
Fig. \ref{fig:neutSSM} geeft de voorspelling van het SSM voor deze neutrino's.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/neutSSM.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Energieverdeling van het SSM voor reacties van de $pp$-cyclus waarbij
zogenaamde zonneneutrino's worden geproduceerd.}
\label{fig:neutSSM}
\end{figure}
Bahcall en Davis hebben erop gewezen dat het mogelijk zou moeten zijn
het bestaan van de $pp$ fusiereacties in de zon te bewijzen, door 
zonneneutrino's te detecteren met behulp van de reactie
\begin{equation} \nu_e~^{37}{\rm Cl} \rightarrow e^-~^{37}{\rm Ar}.
\end{equation}
Elektron neutrino's, maar niet de antineutrino's, met een energie van meer
dan 0,814 MeV kunnen worden ingevangen door $^{37}$Cl. Dit resulteert in
$^{37}$Ar en een elektron. Hoewel de werkzame doorsnede voor dit proces klein is,
is het zeer wel mogelijk om een dergelijk experiment uit te voeren. De
redenen hiervoor zijn als volgt samen te vatten:
\begin{enumerate}
\item{} De neutrinoflux van de zon is zeer groot, in de orde van
$10^{15}$ neutrino's/m$^2$-s, op het aardoppervlak. Uit Fig. \ref{fig:neutSSM}
volgt dan een flux van energetische neutrino's van ongeveer $6 \times 10^{10}$
neutrino's/m$^2$-s.
\item{} Men kan de detectoren zeer groot maken. Op dit moment worden detectoren
ontworpen ter grootte van 1 kubieke kilometer. Icecube is het vervolg van
het Amanda experiment op Antarctica, terwijl KM3Net het vervolg wordt 
van het Antares experiment in de Middellandse zee. De beide
detectoren zijn weergegeven in figuur \ref{fig:icecube}.
\item{} Het $^{37}$Ar kan in uiterst kleine hoeveelheden worden waargenomen,
omdat het radioactief is. Het vervalt door elektronvangst,
\begin{equation}
e^-~^{37}{\rm Ar} \rightarrow \nu_e~^{37}{\rm Cl},
\end{equation}
met een halfwaardetijd van 35 dagen. Het elektron wordt gewoonlijk gevangen
uit de $K$-schil en laat daar een gat achter. De energie die vrijkomt
als een ander elektron van hoger gelegen schillen het gat opvult, wordt
uitgezonden als een $X$-foton of het wordt gebruikt om een elektron uit
een hoger gelegen schil te emitteren (men noemt het dan een Auger elektron).
Het Auger elektron heeft een goed-gedefinieerde energie van 2,8 keV en
kan relatief eenvoudig worden waargenomen.
\item{} Argon is een edelgas. We kunnen het daarom relatief eenvoudig
scheiden van het chloor om het vervolgens in een klein volume te concentreren. 
\end{enumerate}
\renewcommand{\topfraction}{1.0}
\renewcommand{\textfraction}{0.0}
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/icecube.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Boven: schematische voorstelling van het Icecube experiment
op Antartica. Beneden: weergave van het Antares experiment in de
Middellandse zee.}
\label{fig:icecube}
\end{figure}
Het experiment van Davis $et$ $al.$ maakte gebruik van een tank met
390.000 liter C$_2$Cl$_4$ (tetrachloorethyleen, een schoonmaakvloeistof).
De tank werd 1,5 km ondergronds geplaatst in de Homestake goudmijn in
Lead, Zuid Dakota. De 1,5 km rots boven het experiment diende als
afscherming om de kosmische straling te reduceren. De abondantie van
de cruciale isotoop $^{37}$Cl is 25 \%. Een neutrino interactie met
dit chlooratoom produceert $^{37}$Ar. Het radioactieve argon werd over
een periode van 2 maanden verzameld en dan verwijderd door helium door
de tank te stromen. Het argon werd van het helium gescheiden door absorptie
op een gekoelde koolstofval. Vervolgens werd het in een volume van
0,5 cm$^3$ geteld met een proportionele teller. Het resultaat wordt
uitgedrukt in zogenaamde solar neutrino units, uitgesproken als `snew',
waarbij 1 SNU = $10^{-36}$ gebeurtenissen/s chloor atoom. De verwachting
was dat Davis $et$ $al.$ ongeveer 8 SNU zouden moeten meten. Het
experiment bepaalde $2,4 \pm 0,3$ SNU. Dit resultaat werd bevestigd
door een experiment in de Kamiokande mijn, waarbij een fractie
van $0,46 \pm 0.21$ werd gemeten van de voorspelling door het standaard
zonnemodel. 

\medskip
\noindent
Lange tijd heeft men gezocht naar verklaringen voor de puzzel van de
zonneneutrino's. De oplossing is onlangs gevonden en heeft te maken met
de transformatie van elektron neutrino's naar muon (en tau) neutrino's
in het inwendige van de zon. Als de neutrinomassa niet gelijk is aan 
nul, dan kan een dergelijke transformatie plaatsvinden. In het inwendige
van de zon wordt een dergelijke conversie geholpen door de aanwezigheid
van elektronen. Door de geladen-stromen interactie krijgen de
neutrino's effectief een verandering in hun massa en deze verandering
maakt de transformatie in muon neutrino's mogelijk. Dergelijke veranderingen
staan bekend als neutrino oscillaties en zijn onlangs ontdekt.
De neutrale-stroom interactie draagt niet tot een dergelijke versterking
bij, omdat de resulterende werkzame doorsnede van lage-energie neutrino's
niet van de neutrinosoort afhangt.

\subsection{Neutrino oscillaties}

We beperken de discussie tot twee flavors, het elektron neutrino $\nu_e$
en het muon neutrino $\nu_\mu$. De flavor eigentoestanden, $\nu_e$ en $\nu_\mu$,
zijn echter geen massa eigentoestanden, $\nu_1$ en $\nu_2$,
maar zijn hieraan gerelateerd door een zogenaamde menghoek $\theta$, 
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
\nu_e \\
\nu_\mu \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
\cos{\theta} & \sin{\theta} \\
-\sin{\theta} & \cos{\theta} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
\nu_1 \\
\nu_2 \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
We nemen aan dat we een bundel $\nu_e$'s geproduceerd hebben met een precieze
impuls, waarbij alle deeltjes in de $x$-richting bewegen en de bron zich
op $x=0$ bevindt. We vragen ons af wat de waarschijnlijkheid is om een $\nu_e$
te detecteren op positie $x \neq 0$?

\medskip
\noindent
Neem aan dat we op tijdstip $t=0$ een zuivere $\nu_e$ toestand hebben.
Omdat $\nu_1$ en $\nu_2$ massa eigentoestanden zijn, en omdat de bundel bestaat
uit eigentoestanden van impuls, vertelt de relatie
\begin{equation}
E_i^2 = p^2c^2 + m_i^2c^4~~~~{\rm voor}~i=1,2
\end{equation}
ons, dat dit ook eigentoestanden van energie zijn. De tijdevolutie wordt daarom
gegeven door de uitdrukkingen
\begin{eqnarray}
\nu_1(t) & = & \nu_1 e^{-iE_1 t / \hbar}, \nonumber \\
\nu_2(t) & = & \nu_2 e^{-iE_2 t / \hbar} . \nonumber \\
\end{eqnarray}
Vervolgens gebruiken we de gegeven relatie tussen $\nu_e$ en $\nu_i$ en vinden
dat de golffunctie op $t=0$ geschreven kan worden als
\begin{equation}
\psi (0) = \nu_e = \cos{\theta} \cdot \nu_1 + \sin{\theta} \cdot \nu_2 .
\end{equation}
We gebruiken de tijdafhankelijkheid van de $\nu_i$ en kunnen de
volledige oplossing van de Schr\" odingervergelijking met als begintoestand
$\psi (0) = \nu_e$ schrijven als
\begin{equation}
\psi (t) = \cos{\theta} \cdot \nu_1(t) + \sin{\theta} \cdot \nu_2(t) =
\cos{\theta} \cdot e^{-iE_1 t / \hbar} \cdot \nu_1 
+ \sin{\theta} \cdot e^{-iE_2 t / \hbar}\cdot \nu_2.
\end{equation}

\medskip
\noindent
De waarschijnlijkheid om een $\nu_e$ te detecteren is het kwadraat van de
projectie van $\psi (t)$ op de flavoreigentoestand $\nu_e$. We maken
gebruik van de orthonormaliteitsrelaties voor de massa eigentoestanden,
\begin{equation}
\nu_i^\dagger \cdot \nu_j = \delta_{ij}
\end{equation}
en berekenen de projectie als
\begin{eqnarray}
\nu_e^\dagger \cdot \psi (t) & = & \left( \cos{\theta}\cdot \nu_1^\dagger +
\sin{\theta}\cdot \nu_2^\dagger \right) \cdot \left( \cos{\theta} \cdot e^{-iE_1t / \hbar}
\cdot \nu_1 + \sin{\theta} \cdot e^{-iE_2t / \hbar} \cdot \nu_2 \right) \nonumber \\
& = & \cos^2{\theta} \cdot e^{-iE_1t / \hbar} + \sin^2{\theta}\cdot e^{-iE_2t / \hbar}. \nonumber \\
\end{eqnarray}
Als we het kwadraat nemen van bovenstaande uidrukking vinden we
\begin{eqnarray}
P(\nu_e) & = & \vert \cos^2{\theta} \cdot e^{-iE_1t / \hbar} 
+ \sin^2{\theta}\cdot e^{-iE_2t / \hbar} \vert^2 \nonumber \\
& = & \cos^4{\theta} + \sin^4{\theta} + 2 \cos^2{\theta}\sin^2{\theta}\cos{ \left[
(E_1 - E_2)t / \hbar \right] }.
\end{eqnarray}
We zien dat de periode van oscillatie gegeven wordt door
\begin{equation}
T = {2 \pi \hbar \over E_1 - E_2}.
\end{equation}
Als we aannemen dat de neutrino's ultra-relativistisch zijn, dus
$E \approx pc \gg mc^2$, dan geldt
\begin{equation}
E_i = \sqrt{p^2c^2 + m_i^2c^4} \approx pc + {m_i^2c^3 \over 2p} + \ldots
\end{equation}
Als we dit invullen vinden we
\begin{equation}
T = {2 \pi \hbar \over E_1 - E_2} \approx {4\pi \hbar p \over m_1^2c^3 - m_2^2c^3}
\approx {4\pi \hbar E \over (m_1c^2)^2 - (m_2c^2)^2}.
\end{equation}
Omdat de neutrino's ultra-relativistisch bewegen, bewegen ze zich met
praktisch de lichtsnelheid. De afgelegde weg bedraagt dus $x = c \cdot t$.
We zien dat de flavor oscillatie in de tijd, zich vertaalt in een oscillatie
van de neutrino flavor als functie van de afstand tot de bron. De afstand
die correspondeert met een oscillatieperiode wordt de oscillatielengte,
$L_{\rm osc}$, genoemd. We vinden hiermee de relatie
\begin{equation}
L_{\rm osc} = c \cdot T = {4\pi \hbar c E \over (m_1c^2)^2 - (m_2c^2)^2}
= {4\pi E \hbar c \over \Delta m^2c^4},
\end{equation}
met $\Delta m^2 = \vert m_1^2 - m_2^2 \vert$. Als we de juiste 
conversiefactoren gebruiken vinden we
\begin{eqnarray}
L_{\rm osc} & = & {4\pi \cdot (1,6 \times 10^{-13}~{\rm J/MeV}) \cdot (3 \times 10^8
~{\rm m/s}) \cdot (1,054 \times 10^{-45}~{\rm Js}) \cdot E \over
(1,6 \times 10^{-19}~{\rm J/eV})^2 \cdot \Delta m^2} \nonumber \\
& = & 2,483 {\rm m} \cdot {\rm eV}^2 \cdot {\rm MeV}^{-1} \cdot
{E \over \Delta m^2} \nonumber \\
& \approx & 2,5~{\rm km}~{E~({\rm GeV}) \over \Delta m^2~({\rm eV})^2} .
\nonumber \\
\end{eqnarray}
\renewcommand{\topfraction}{1.0}
\renewcommand{\textfraction}{0.0}
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/neutrinomap.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Gebieden in de neutrino parameterruimte opgespannen
door $\Delta m^2$ en menghoek $\theta$ die worden uitgesloten of
die waarvoor er een voorkeur voor de waarden van deze parameters bestaat.}
\label{fig:neutrinomap}
\end{figure}

\noindent
Er zijn diverse experimenten uitgevoerd om neutrino oscillaties te
observeren. Hierbij werden neutrino's van zowel de zon, als
kernreactoren alsook de neutrino's geproduceerd in atmosferische
showers van kosmische straling gebruikt. Fig. \ref{fig:neutrinomap}
toont de gebieden in de neutrino parameterruimte opgespannen
door $\Delta m^2$ en menghoek $\theta$ die worden uitgesloten of
die waarvoor er een voorkeur bestaat. De huidige consensus is
dat neutrino oscillaties zijn waargenomen met een significantie
van ongeveer 5 $\sigma$.

\subsection{Kosmische straling}

Op dit moment worden we gebombardeerd door
energetische deeltjes uit de kosmos. Gemiddeld is de flux
ongeveer 150 geladen deeltjes per vierkante meter en
per seconde (voor een groot deel muonen met een energie
van ongeveer 2 GeV).
Kosmische straling werd ontdekt door de Limburgse geestelijke 
Theodore Wulf in het begin van de twintigste eeuw. Theodore Wulf
fabriceerde uiterst nauwkeurige elektrometers. Hij nam echter
waar dat hoe goed hij een elektrometer ook isoleerde, na verloop
van tijd de aangebrachte lading geneutraliseerd werd. 
De gangbare theorie, geformuleerd door Ernest Rutherford, 
was dat dit veroorzaakt werd
door de straling van radioactieve elementen in de aardbodem.
Theodore Wulf trachtte deze bijdrage te elimineren, door
zijn elektrometers te plaatsen op het hoogste gebouw ter
wereld, op dat moment de 324 m hoge Eiffeltoren in Parijs.
Metingen toonden aan dat het ontladen van de elektrometers
met dezelfde snelheid doorging. Hierop nam Victor Hess in 1912
enkele elektrometers, vervaardigd door Theodore Wulf, 
mee in ballonvluchten. Het was duidelijk dat voor hoogten
groter dan 1 km de ontlading toenam en zelfs verdubbelde bij 4 km.
Dit was het moment van de ontdekking van kosmische straling.
Sinds die tijd is de samenstelling,
het energiespectrum en de ruimtelijke en tijdverdeling van deze
straling uitvoerig bestudeerd. Kosmische straling vormt een
belangrijke component van ons sterrenstelsel: haar energiedichtheid,
ongeveer 1 eV/cm$^3$, is van dezelfde orde van grootte als 
de energiedichtheid van het galactisch magnetisch veld en de
thermische beweging van het gas. 
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/kosmisch_proton.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Een invallend hoog-energetisch proton raakt de top
van de aardatmosfeer en produceert een zogenaamde `cascade shower'.}
\label{fig:kosmisch_proton}
\end{figure}

\noindent
Kosmische straling is bestudeerd op verschillende hoogten, met
ballonnen, raketten en satellieten in de atmosfeer, maar ook
in mijnen diep ondergronds. De straling die op de aardatmosfeer
invalt bestaat uit kernen, elektronen, positronen, fotonen en
neutrino's. Het is gebruikelijk om alleen de geladen deeltjes
kosmische straling te noemen. Zo wordt $X$-ray en $\gamma$-ray 
astronomie bedreven. Het lot van een
kosmisch proton, dat met een hoge energie op de aardatmosfeer
invalt, wordt geschetst in figuur \ref{fig:kosmisch_proton}.
Het proton gaat een interactie aan met een stikstof- of zuurstofkern
en dat heeft een reeks van gebeurtenissen tot gevolg. In eerste 
instantie wordt een groot aantal hadronen geproduceerd, waarbij
pionen domineren. Er kunnen echter ook antinucleonen, kaonen
en hyperonen geproduceerd worden. Deze hadronen zullen op hun beurt
weer wisselwerken met de stikstof- en zuurstofkernen in de atmosfeer,
terwijl de onstabiele deeltjes ook via de zwakke wisselwerking
kunnen vervallen. Merk op dat hierbij de verhouding van elektron
tot muon (anti)neutrino's 1:2 is. De vervalproducten bestaan bijvoorbeeld
uit elektronen, muonen, neutrino's en fotonen. De fotonen kunnen
aanleiding geven tot paarproductie van deeltjes. De muonen zijn
instabiel, maar kunnen veelal vanwege tijddilatatie toch
het aardoppervlak bereiken. Samenvattend, kan een hoog-energetisch
proton een `cascade shower' initi\" eren, waarbij een groot aantal
deeltjes, verspreid over een oppervlak van vele vierkante kilometers,
het aardoppervlak kan bereiken. In tegenstelling tot een proton, 
zal een hoog-energisch foton meestal slechts een klein aantal
muonen produceren. In het volgende zullen we ons concentreren op
de primaire kosmische straling en de compositie van de `shower'
niet verder bespreken.

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/comp_kosmisch.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Samenstelling van de nucleaire component van de primaire
kosmische straling. De stippellijn toont de universele referentieverdeling.}
\label{fig:comp_kosmisch}
\end{figure}
\noindent
De samenstelling van de nucleaire component van de primaire kosmische
straling wordt getoond in figuur \ref{fig:comp_kosmisch}. De figuur
toont ook de zogenaamde universele distributie van elementen zoals
waargenomen in de zonneatmosfeer en in meteorieten. De data
tonen een aantal opvallende feiten:
\begin{enumerate}
\item{} De elementen Li, Be en B zijn ongeveer $10^5$ keer meer
abondant in kosmische straling dan universeel waargenomen.
\item{} De verhouding $^3$He/$^4$He is ongeveer 300 keer groter
in kosmische straling.
\item{} Zeer zware kernen komen vaker in kosmische straling voor.
\item{} Er zijn geen antihadronen aangetroffen in de primaire
kosmische straling.
\item{} Elektronen zijn ongeveer 1 \% keer zo abondant als
kernen in hetzelfde energie interval; positronen vormen ongeveer
10 \% van de elektron component.
\end{enumerate}
De eerste twee feiten kunnen worden verklaard door aan te nemen
dat de kosmische straling enkele g/cm$^2$ moeten passeren
tussen de bron en de top van de aardatmosfeer. In een dergelijke
hoeveelheid materie produceren kernreacties de geobserveerde
verdeling. Omdat de interstellaire dichtheid ongeveer $10^{-22}$
kg/m$^3$ is, zijn de kosmische stralen ongeveer $10^6 - 10^7$
jaar onderweg geweest. 
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/kosmisch_spectrum1.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Energiespectrum van de nucleaire component van de
primaire kosmische straling.}
\label{fig:kosmisch_spectrum}
\end{figure}
Het energiespectrum, dat is het aantal primaire deeltjes als
functie van de energie, is gemeten over een enorm gebied. Voor de
nucleaire component wordt dit getoond in Fig. \ref{fig:kosmisch_spectrum},
waarbij de meetgegevens zich uitstrekken over 14 decaden in energie
en 32 decaden in intensiteit. De energie van het meest energetische
deeltje is $4 \times 10^{21}$ eV of ongeveer 60 J.

\medskip
\noindent
Het is duidelijk dat het energiespectrum geen thermische
verdeling heeft: het is niet exponentieel, maar valt minder steil af.
Een redelijke fit aan de meetgegevens, afgezien van de laagste
energie\" en, geeft
\begin{equation}
I(E) \sim E^{-2,7},
\label{eq:power_spectrum}
\end{equation}
met $I(E)$ de intensiteit van de nucleaire component met energie $E$.
Er is een `knie' bij ongeveer $10^{15}$ eV, die men niet goed kan
zien in Fig. \ref{fig:kosmisch_spectrum}, maar die zichtbaar gemaakt
kan worden door het spectrum te normeren op de fit. Het resultaat
wordt getoond in Fig. \ref{fig:kosmisch_spectrum_norm}.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/kosmisch_spectrum_norm.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Energiespectrum van hoog-energetische kosmische straling
gemeten door verschillende groepen. Er is een `knie' zichtbaar bij
$10^6$ GeV, terwijl er een `enkel' te zien is bij $10^{10}$ GeV.}
\label{fig:kosmisch_spectrum_norm}
\end{figure}
Men denkt dat de `knie' veroorzaakt wordt door propagatie effecten
of door een nieuw mechanisme van versnellen van geladen kosmische
deeltjes. Boven ongeveer $10^{18}$ eV, waar het spectrum enigszins
vlak wordt, neemt men aan dat de bijbehorende deeltjes
van buiten ons sterrenstelsel afkomstig zijn
(extra-galactische straling), omdat
het galactisch magneetveld onvoldoende is om dergelijke deeltjes
op te sluiten. Het spectrum van elektronen lijkt voor energie\" en
boven de 1 GeV op dat van figuur \ref{fig:kosmisch_spectrum},
maar is steiler boven de 100 GeV vanwege elektromagnetische interacties
gedurende de vlucht van deze deeltjes. Hierdoor biedt
het elektronspectrum een mogelijkheid om propagatiemodellen
nauwkeurig te testen.

\medskip
\noindent
Er zijn nog twee factoren van belang in de discussie van de 
energiespectra van kosmische straling. De eerste is de isotropie van de
straling, de tweede de constantheid in de tijd.
Metingen geven aan dat de flux van kosmische straling
isotroop is voor energie\" en kleiner dan $10^{15}$ eV. Er zijn
aanwijzingen dat de flux uit het centrum van ons melkwegstelsel
ongeveer 1 \% groter is dan gemiddeld. De tijdafhankelijkheid van
de intensiteit over langere perioden is bestudeerd door te kijken
naar de abondantie van nucle\"{\i}den in maangesteente en meteorieten.
Hieruit kan men afleiden dat de intensiteit van kosmische straling
constant is geweest over een periode van 1 miljard jaar.

\medskip
\noindent
De hierboven beschreven experimentele aanwijzingen impliceren
dat de bron van kosmische straling de volgende eigenschappen
dient te bezitten: hij dient deeltjes met energie\" en
tot bijna $10^{22}$ eV te produceren met een spectrum zoals gegeven
door vergelijking (\ref{eq:power_spectrum}). De totale energie
geproduceerd in ons melkwegstelsel dient ongeveer $10^{42}$ J/jaar
te zijn; de straling dient isostroop en constant te zijn over
minstens $10^9$ jaar. Het primaire spectrum dient zware elementen
te bevatten tot ongeveer $Z=100$, maar met minder dan 1 \% antihadronen.

\medskip
\noindent
Er is nog geen model geformuleerd dat in staat is alle meetgegevens
uniek en bevredigend te beschrijven. De drie belangrijkste openstaande
vragen zijn (1) Waar komen de kosmische stralen vandaan? (2) Hoe worden
de kosmische deeltjes geproduceerd? (3) Hoe worden ze versneld? In het volgende
zullen we enkele opmerkingen hierover maken.
\begin{enumerate}
\item{} We kunnen de eerste vraag nauwkeuriger formuleren door een
schematische tekening te maken van een doorsnede door ons melkwegstelsel.
Dit is weergegeven in figuur \ref{fig:melkweg}.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/melkweg.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Schematische weergave van een doorsnede door ons 
melkwegstelsel.}
\label{fig:melkweg}
\end{figure}
Kosmische straling kan geproduceerd worden in de binnenste stralingsdiscus,
in de galactische halo, of ze kunnen ons melkwegstelsel van buitenaf binnenvliegen.
De meeste natuurkundigen zijn van mening dat kosmische
straling met een energie $< 10^{18}$ eV van ons melkwegstelsel afkomstig is.
\item{} Men neemt aan dat supernovae en neutronensterren kosmische
straling kunnen produceren. In ons melkwegstelsel
komt een supernova gemiddeld eens in de 40 jaar voor, waarbij een 
supernova tussen de $10^{43}$ en $10^{45,5}$ J aan energie produceert. Een
recente extragalactische supernova werd in 1987 waargenomen, 
SN1987 genoemd, en deze supernova
wordt uitvoerig bestudeerd. Studies van supernovae tonen aan
dat deze de voor kosmische straling benodigde energie van $10^{42}$ J/jaar 
kunnen leveren. Het is echter moeilijk gebleken om met 
versnellingsmodellen gebaseerd op supernovaschokgolven
rekenschap te geven van deeltjes met
energie\" en groter dan $10^{15}$ eV. Recente waarneming van kosmische straling
van het binaire systeem Cygnus X-3 en Hercules X-1 suggereren dat voor
energie\" en boven de `knie', de meeste kosmische straling afkomstig is
van pulsars of binaire systemen die bestaan uit een neutronenster en
een grote ster.
\item{} Het is mogelijk dat bronnen kosmische straling uitzenden met
een energiespectrum, zoals gegeven door vergelijking (\ref{eq:power_spectrum}).
Daarentegen, is het ook mogelijk dat de natuur dezelfde techniek gebruikt
als we nu in versnellers toepassen: versnellen in stappen. Een mechanisme
voor deeltjesversnelling in de interstellaire ruimte, botsing van deeltjes
met een bewegend magnetisch veld, werd voorgesteld door Fermi\footnote{E. Fermi,
{\sl Phys. Rev.} {\bf 75}, 12 (1949).}. Echter, in het algemeen is men de
mening toegedaan dat de primaire bronnen van kosmische straling gevormd
worden door supernovae explosies en hun restanten.
\end{enumerate}

\vfill
\eject
$~$
\vfill
\eject

