\section{De speciale relativiteitstheorie}\label{srt}

\subsection{Historische introductie en Einsteins postulaten}

\medskip
\noindent
De relativiteitstheorie is geboren in het prille begin van de twintigste eeuw. De
negentiende eeuw was net ten eind gekomen, en de natuurkunde bevond zich in een
unieke positie: voor het eerst in de geschiedenis leken alle fundamentele
vraagstukken opgelost te zijn. Al in de 17e eeuw had Sir Isaac Newton
(1643-1727) een theoretisch model opgesteld waarmee beweging en krachten in detail
konden worden berekend en voorspeld, samengevat in drie wetten die nu
zijn naam dragen. Tezamen met Newtons universele wet van de zwaartekracht konden
deze drie wetten zelfs de banen van de planeten om de zon perfect\footnote{Later
zullen we zien dat er wel degelijk een afwijking bekend was van de planeetbanen
zoals beschreven door newtoniaanse wetten, te weten de perihelium verschuiving
van Mercurius. Het verklaren van deze afwijking was een van de eerste
experimentele verificaties van Einsteins theorie van de zwaartekracht: de algemene
relativiteitstheorie. We komen hier in latere hoofdstukken op terug.} beschrijven.
Ook konden deze wetten, wanneer toegepast op de aanname dat materie bestaat uit
vele miniscule deeltjes in constante botsing, de wetten van de warmteleer
reproduceren; hiermee was het vakgebied van de thermodynamica vrijwel
geheel\footnote{Ook hier geldt een kleine opmerking: er waren enkele
onduidelijkheden (zoals de Gibbs correctie factor) die later verklaard zijn
door de quantummechanica.} verklaard, wat een triomf is van de newtoniaanse
bewegingsleer.

\medskip
\noindent
Verder was er nog de theorie van de elektrische en magnetische velden, onderzocht
door Faraday, Oersted, Coulomb en Savart, en uiteindelijk
halverwege de 19e eeuw tot een wiskundig geheel samengesmeed door James Clerk Maxwell
(1831-1879); de vier wetten van deze theorie dragen nu zijn naam. Ook deze theorie,
de elektrodynamica geheten, was uitermate succesvol. Het beschrijft, onder andere,
de interactie tussen elektriciteit en magnetisme en laat zien dat zij eigenlijk een
aspect zijn van een en dezelfde kracht. Ook laten de wetten van Maxwell zien dat
elektrische en magnetische velden verstoord kunnen worden, en dat deze verstoring
zich voortplant met een snelheid van 299.800 kilometer per seconde, een
waarde nu universeel aangegeven door de letter $c$.\footnote{De keuze voor de
letter $c$ komt van het Griekse woord voor snelheid, \emph{celeritas}.} Dit is
precies de snelheid waarvan men al lang eerder gemeten had dat het licht zich
ermee voortplant, en de conclusie werd dan ook al snel getrokken dat licht niets
anders is dan een verstoring in het elektromagnetische veld. Al snel konden alle
regels uit de lenzen- en spiegelleer afgeleid worden uit de elektrodynamica, en
hiermee werd het gehele vakgebied van de optica een solide fundament gegeven.

\medskip
\noindent
Het was dan ook geen wonder dat de natuurkundigen aan het eind van de negentiende
eeuw in een euforische staat verkeerden. Er waren weliswaar nog bepaalde berekeningen
in detail uit te voeren, maar niets leek erop te wijzen dat er meer zou bestaan
dan de elektromagnetische kracht en de zwaartekracht, en dat alle relaties tussen
krachten en bewegingen beschreven konden worden door de leer van Newton. Alle
andere krachten en verschijnselen (licht, warmte, ..) waren al aangetoond een
direct gevolg te zijn van de wetten van Newton of de wetten van Maxwell (of een
combinatie van beide), en er waren simpelweg weinig aanwijzingen om te vermoeden
dat de natuur zich aan meer wetten hield dan deze.

\medskip
\noindent
Er waren in het begin van de twintigste eeuw dan ook maar weinig natuurkundigen
die zich realiseerden dat er wel degelijk een fundamenteel probleem verscholen
zat in deze twee grote theorie\"en. Het probleem zat hem niet in de theorie\"en afzonderlijk,
maar in hun \emph{combinatie}. De wetten van Maxwell laten zien, zoals we besproken
hebben, dat er golven bestaan die zich voortplanten door de ruimte en dat zij dit
doen met precies de snelheid van het licht. De elektrodynamica zegt bovendien dat
deze snelheid dezelfde is voor alle waarnemers, ook als deze zich ten opzichte van
elkaar met constante snelheid bewegen. Dat is op zichzelf wel wonderlijk, maar
hoeft nog geen probleem te zijn (zolang het maar niet door experiment
tegengesproken wordt). Het probleem openbaart zich pas wanneer nu tegelijkertijd
de wetten van Newton worden beschouwd: deze zeggen namelijk dat \emph{alle}
snelheden (ook die van het licht) wel degelijk behoren te verschillen tussen
waarnemers die zelf een snelheid hebben ten opzichte van elkaar: dit zit
onmiskenbaar ingebouwd in de wetten van Newton. Het was dan ook duidelijk
dat de wetten van Newton en de wetten van Maxwell elkaar op enkele punten
tegenspreken, en dat een van deze sets aangepast zou moeten worden. Het
bleken de wetten van Newton te zijn. Het is deze noodzaak tot aanpassing
die de jonge Albert Einstein in 1905 leidde tot de
theorie die wij nu de speciale relativiteitstheorie (SRT) noemen. 

\medskip
\noindent
Als startpunt van de SRT nam Einstein twee
\emph{postulaten}, twee principes waar geen bewijs van bekend is, maar
waarvan hij vermoedde dat de natuur die altijd in acht nam. Beide
zijn gebaseerd op vermoedens gevoed door de elektrodynamica, en beide zullen
nu in zeker detail besproken worden.

\medskip
\noindent
De wetten van Maxwell laten
zien dat een elektromagnetische verstoring zich voortplant met de snelheid
van het licht ongeacht met welke snelheid een waarnemer zelf beweegt. Dit is
een wonderlijk resultaat: als waarnemer $A$ een foton voorbij ziet vliegen met
de snelheid van het licht, $c$, en een waarnemer $B$ beweegt zich met een
zekere snelheid $v$ ten opzichte van $A$ in dezelfde richting als het foton,
dan zegt het `gezond verstand' dat waarnemer $B$ het foton met een snelheid
$c-v$ ziet bewegen. De wetten van Maxwell zeggen echter dat \emph{ook}
waarnemer $B$ het foton met $c$ ziet bewegen, en dat hetzelfde geldt voor
\emph{alle} waarnemers $C, ~D,...$ die zich met een constante snelheid
bewegen ten opzichte van waarnemer A. Nogmaals: de verklaring voor dit
gegeven is niet bekend, maar Einstein nam het als een \emph{gegeven},
een feit van de natuur. Hij breidde het zelfs uit: waar de
elektrodynamica suggereert dat dit een eigenschap is van louter en alleen
het licht, nam Einstein aan dat alles wat zich met deze snelheid beweegt aan
deze eigenschap voldoet. Dit vormt dan het eerste postulaat van de SRT:

\medskip
\noindent
\emph{Postulaat 1: de lichtsnelheid heeft dezelfde waarde voor alle waarnemers 
die zich ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid.}

\medskip
\noindent
Dit gegeven staat bekend als het \emph{principe van de invariantie van de
lichtsnelheid}. De fysische (en zelfs filosofische!) implicaties van dit postulaat
zijn enorm, omdat het direct tot gevolg heeft dat de duur van tijd en de grootte van
afstanden niet hetzelfde kunnen zijn voor al deze waarnemers. 

\medskip
\noindent
Het tweede postulaat komt voort uit een andere eigenschap van de
elektrodynamica. Zoals verteld gaat de elektrodynamica over de relatie tussen
elektrische velden en magnetische velden, waar een elektrisch veld een maat is
voor de invloed van een stilstaand geladen deeltje op alle andere geladen deeltjes
in zijn omgeving; een magnetisch veld is een maat voor de invloed van een
bewegend geladen deeltje op alle andere geladen deeltjes in zijn omgeving. Op het
eerste gezicht lijken deze definities in elkaar over te gaan. Immers, een stilstaand
deeltje kan ook gezien worden als een bewegend deeltje wanneer de waarnemer van een
stilstaand geladen deeltje besluit met constante snelheid te gaan bewegen;
dientengevolge zal het elektrisch veld van het deeltje gedeeltelijk overgaan in
een magnetisch veld. In zoverre lijkt het verschil tussen de twee velden slechts
een keuze. Echter, er is een heel fysisch verschil tussen de twee velden,
en dat is dat een ervan voldoet aan twee van de vier wetten van Maxwell, waar het
andere veld voldoet aan de twee andere wetten van Maxwell, met fysisch heel verschillende
eigenschappen. Bovendien is het gevolg van een elektrisch veld op een tweede geladen
deeltje een kracht die \emph{parallel} is aan het elektrische veld, waar het gevolg
van een magnetisch veld een kracht is die \emph{loodrecht} staat op het magnetische
veld. Als het verschil tussen elektrische en magnetische velden slechts een keuze
is van de snelheid van de waarnemer, hoe kan het dan zijn dat een fysisch
meetbaar verschijnsel als kracht op een geladen deeltje zo verschillend is? Blijkbaar
is er wel degelijk een heel fundamenteel verschil tussen elektrische en magnetische velden.

\medskip
\noindent
Ondanks dit schijnbare verschil, is er de volgende wonderlijke eigenschap van de
elektrodynamica: als twee waarnemers, die relatief ten opzichte van
elkaar bewegen met constante snelheid, de wetten
van Maxwell toepassen op een en hetzelfde systeem van geladen deeltjes, dan
zullen zij tot dezelfde fysische resultaten komen, ongeacht alle schijnbaar
fundamentele verschillen tussen elektrische en magnetische velden. De waarnemers
verschillen dan wel van mening over welke richting de krachten op wijzen, of de
deeltjes al dan niet bewegen, en elektrische velden voor de ene waarnemer zijn
magnetische voor de ander, maar het \emph{totaal} van al deze effecten geeft
uiteindelijk precies dezelfde fysische voorspellingen. Hiermee wordt bedoeld
dat als de twee waarnemers hun voorspellingen corrigeren voor het feit dat
zij met onderling snelheid bewegen ten opzichte van elkaar, deze altijd
precies overeenkomen: de wetten van Maxwell kunnen dus worden toegepast
door beide waarnemers zonder op onderlinge tegenstrijdigheden te stuiten. Blijkbaar
maakt de natuur, in ieder geval wat elektromagnetische velden betreft, geen
onderscheid tussen waarnemers met onderlinge verschillende constante snelheden.
Einstein nam dit aan als een \emph{gegeven}, en nam aan dat dit geldt voor
\emph{alle} natuurkundige verschijnselen (niet alleen de elektromagnetische).
Dit vormt het tweede postulaat van de SRT:

\medskip
\noindent
\emph{Postulaat 2: de natuur maakt geen onderscheid tussen waarnemers die zich ten 
opzichte van elkaar bewegen met constante snelheid.}

\medskip
\noindent
Praktisch betekent dit postulaat dat het onmogelijk is om via experimenten te
bepalen of een waarnemer in absolute beweging is ten opzichte van een fysisch systeem of niet:
het verschil tussen verschillende waarnemers is fundamenteel niet meetbaar.
Hierdoor is elke waarnemer even `correct' als elke andere waarnemer die zich
met constante snelheid beweegt ten opzichte van de eerste. In het bijzonder
betekent dit dat er geen waarnemersstelsel is ten opzichte waarvan fysische
grootheden gemeten moeten worden: elk ander stelsel voldoet namelijk even goed.
De gemeten waarden van de grootheden verschillen in het algemeen\footnote{Er zijn
uitzonderingen op deze regel: er bestaan ook grootheden die hetzelfde zijn voor
alle waarnemers. Een ervan is al genoemd: de lichtsnelheid $c$.} 
per waarnemer, maar de \emph{wetten} waaraan deze grootheden
voldoen dienen allemaal precies hetzelfde te zijn. Daarom moet bij elke
meting van een grootheid aangegeven worden ten opzichte van welke waarnemer
het gemeten is. Dit wil zeggen: uitkomsten van metingen hebben nooit absolute
betekenis, maar slechts louter relatief. Dit postulaat staat daarom bekend
als het \emph{relativiteitsprincipe}. Dit levert een wiskundig voorschrift:
teneinde een theorie te formuleren die voldoet aan het relativiteitsprincipe,
moeten de wiskundige wetten van deze theorie geschreven worden in een vorm die
geen onderscheid maakt tussen waarnemers met verschillende constante snelheden.
Dit zullen we dan ook expliciet doen in het vervolg.


\subsection{Het minkowskilijnelement}

Nu de twee postulaten van de SRT zijn gemotiveerd, kunnen
we deze gaan gebruiken om de relatie tussen tijd en ruimte te onderzoeken, en de wetten
van beweging af te leiden. Startpunt is het lijnelement
\begin{equation}
ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu.
\end{equation}
De metriek speelt zoals altijd de hoofdrol. In het geval van de SRT
(en wanneer geschreven in cartesische co\"ordinaten) wordt
de metriek gegeven door
\begin{equation}
\eta_{\mu \nu} =
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right) .
\end{equation}
Deze metriek draagt de naam \emph{minkowskimetriek}, en wordt conventioneel aangeduid door
de griekse letter $\eta$, oftewel $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}$. De inverse van de
minkowskimetriek is eenvoudig te vinden, en blijkt precies dezelfde vorm te hebben
als de metriek zelf,
\begin{equation}
\eta^{\mu \nu} =
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right) .
\end{equation}
Als we het lijnelement uitschrijven vinden we:
\begin{equation}
ds^2 = -c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.
\end{equation}
Dit kunnen we meteen gebruiken om een fysische interpretatie toe te kennen aan het lijnelement.
Ten eerste kan worden opgemerkt dat de laatste drie termen precies de stelling van Pythagoras
vormen\footnote{Merk op dat met de definitie $dT \equiv ict$, we het lijnelement
kunnen schrijven als $ds^2 = dT^2+dx^2+dy^2+dz^2$.}. 
Dit betekent dat als een waarnemer de afstand tussen twee punten in ruimtetijd meet,
en dat op hetzelfde tijdstip doet, voor deze waarnemer geldt dat $ds^2$ niets anders is dan
de afstand tussen deze twee punten. Verder kan worden opgemerkt dat als een waarnemer het
tijdsverschil meet tussen twee gebeurtenissen en dat doet zonder ondertussen van positie te
veranderen ten opzichte van de gebeurtenissen (dit wil zeggen: deze waarnemer is in rust ten
opzichte van de gebeurtenissen!), de laatste drie termen van het lijnelement gelijk zijn aan
nul; voor deze waarnemer geldt dus dat het lijnelement de interpretatie heeft van minus
de verstreken tijd tussen twee gebeurtenissen. \emph{Het lijnelement is een maat voor de
tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte
van deze gebeurtenis}.

\subsection{Tijddilatatie}
\label{dilatatie}

We zullen nu de eerste paar directe gevolgen van het minkowskilijnelement beschouwen. Zoals
al eerder aangestipt, suggereert het eerste postulaat dat
verschillende waarnemers van mening zullen verschillen over de afstand en
het tijdverschil tussen twee gebeurtenissen. 
Allereerst zal het effect van tijddilatatie worden beschouwd. Startpunt is het lijnelement
\begin{equation}
c^2d\tau^2 = c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.
\end{equation}
Hierin is $d\tau$ op te vatten als de tijd die verstrijkt op de klok van een
waarnemer (W1) voor wie de twee gebeurtenissen plaatsvinden op dezelfde positie, en is $dt$ de tijd
die verstrijkt tussen die gebeurtenissen zoals gemeten door een andere waarnemer (W2). Wanneer nu
de rechterkant van deze vergelijking gedeeld wordt door $c^2dt^2$, kan de relatie tussen
verstreken tijd van de eerste waarnemer ($d\tau$) en die van de tweede waarnemer (W2) ($dt$)
geschreven worden als
\begin{equation}
d\tau = \pm \sqrt{1-\left(\frac{v}{c} \right)^2} dt.
\label{eq:dilat}
\end{equation}
Het plusmin-teken van deze uitdrukking is het wiskundige gevolg van het nemen van een wortel;
fysisch zijn we echter alleen ge\"{\i}nteresseerd in het plusteken, aangezien een minteken zou
impliceren dat de twee waarnemers tegengesteld lopende tijden ervaren. We zullen daarom vanaf
nu altijd het plusteken gebruiken. Verder is geschreven $v \equiv \frac{dx}{dt}$, oftewel het
is de afstand tussen de twee gebeurtenissen zoals gemeten door de tweede waarnemer, gedeeld
door de tijdsduur zoals gezien door de tweede waarnemer (W2). Dit is de snelheid $v$
waarmee deze waarnemer zich beweegt ten opzichte van de twee gebeurtenissen (en hiermee ook
ten opzichte van de eerste waarnemer, die immers stil staat ten opzichte van de gebeurtenissen).
Uit de gevonden vergelijking blijkt dat de twee waarnemers hun tijden verschillend registeren:
de hoeveelheid tijd die voor de ene waarnemer verstrijkt tussen twee gebeurtenissen is niet
dezelfde als die voor de ander. De factor $\left(1- \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{-1/2}$
is een maat daarvoor. Deze factor wordt de \emph{lorentzfactor} genoemd, en zal nog vaker
voorkomen in de SRT; hij wordt conventioneel aangeduid met de
letter $\gamma$, waarbij
\begin{equation}
\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}}.
\end{equation}
Merk alvast op dat deze factor oneindig groot wordt als de twee waarnemers een onderlinge
snelheid hebben gelijk aan $c$; verder kan al worden opgemerkt dat als de twee waarnemers
een onderlinge snelheid hebben groter dan $c$, de factor imaginair wordt en daardoor nooit
fysisch relevant kan zijn. Dit is een eerste hint dat de lichtsnelheid niet alleen invariant
is, maar ook de \emph{maximale} snelheid is die fysisch mogelijk is. Voor
het effect van tijddilatatie is het alleen nodig op te merken dat de lorentzfactor altijd
groter is dan $1$. Hieruit volgt dat $d\tau$ kleiner is dan $dt$, oftewel: de tijd verstreken
tussen twee gebeurtenissen is voor de waarnemer die stilstaat ten opzichte van de twee
gebeurtenissen, kleiner dan voor de waarnemer die zich met snelheid $v$ beweegt ten opzichte
van de gebeurtenissen ($d\tau < dt$). 
Wat betekent dit nu fysisch? Op eerste gezicht lijkt dit te betekenen
dat de tijd sneller verloopt voor de eerste waarnemer dan voor de tweede: immers, de eerste
waarnemer heeft minder tijd nodig om van een gebeurtenis naar de andere te gaan. De conclusie
is echter net andersom, zoals een voorbeeld laat zien. Laat de eerste gebeurtenis het moment
zijn waarop de twee waarnemers nog gelijk lopende klokken hebben, en waarop beide waarnemers
kijken naar de slinger van de klok van waarnemer W1, die net op het punt staat een slinger
te maken. Na een zekere tijd $T$ heeft de slinger de andere kant bereikt, gezien vanuit de
waarnemer die de klok bij zich heeft: $d\tau = T$. De stilstaande waarnemer W2 kijkt ondertussen
naar dezelfde klok (die zich ten opzichte van hem voortbeweegt met snelheid $v$), en voor
deze waarnemer doet de slinger er een tijd $dt = \gamma d\tau$ over: langer. Dit wil dus zeggen,
dat de stilstaande waarnemer observeert dat de voorbijvliegende klok langer nodig heeft
dan $T$ om een enkele slinger te maken. De conclusie van de stilstaande waarnemer zou dan
ook zijn dat de voorbijkomende klok te langzaam loopt. Dit is wat er bedoeld wordt met
tijddilatatie: voor een stilstaande waarnemer lijkt een voorbij komende klok langzamer
te lopen dan voor de waarnemer die met de klok meebeweegt. Dit wordt vaak aangeduid met
de slogan `bewegende klokken lopen langzamer'; echter, de lading zou wellicht beter gedekt
zijn door de uitspraak `voor een stilstaande waarnemer lijkt de bewegende klok langzamer te
lopen'.

\medskip
\noindent
Een vraag komt dan al snel op: loopt een bewegende klok nu `echt' langzamer dan de
stilstaande klok? Want goed beschouwd hebben we hier alleen maar laten zien dat de
bewegende klok langzamer \emph{lijkt} te lopen wanneer bekeken door een stilstaande
waarnemer. Het antwoord is dat er geen verschil is tussen langzamer \emph{lijken} te
lopen, en daadwerkelijk langzamer lopen: fysica gaat immers alleen over gemeten effecten,
wat wil zeggen dat wij over alle effecten die zich niet via een meting openbaren,
geen zinnige (dat wil zeggen testbare) uitspraak kunnen doen. Elke gemeten waarneming is net zo
`waar' als elke andere gemeten waarneming. Het heeft dan ook geen zin ons af te vragen
of de slinger van een klok nu `echt' langzamer slingert wanneer het beweegt, of dat het
alleen maar zo `lijkt' in onze waarneming: alleen onze meting geldt.

\medskip
\noindent
Wat de relativiteitstheorie ons
nu geleerd heeft, is dat de gemeten tijdsduur van een
proces afhankelijk is van de snelheid van de waarnemer, en de vraag hoe snel een proces
nu `echt' gaat, is onzinnig geworden. Dit is, zoals ook al genoemd in de discussie over
het relativiteitsprincipe, de kern van het woord `relativiteit': er is geen absoluut
antwoord meer op de vraag wat de `werkelijke' waarde is van bepaalde grootheid; elke
waarde is waarnemer-afhankelijk geworden, en elke gemeten waarde is even `waar'.

\medskip
\noindent
Enkele laatste opmerkingen over tijddilatatie. Het moge duidelijk zijn dat dit
verschijnsel niets te maken heeft met de mechaniek van de klokken. Het is een puur
geometrisch verschijnsel, direct voortkomend uit de minkowskimetriek. Het verschijnsel
beperkt zich dan ook niet tot klokken, en geldt voor elk fysisch meetbaar
tijdsverschil: de slinger van een klok, de duur van een harteklop, het verval
van een atoomkern, de levensduur van een mens, het vallen van een steen, etc,
\emph{alle} verschijnselen lijken langzamer te gaan voor een waarnemer, wanneer
deze verschijnselen zich bewegen ten opzichte van deze waarnemer.

\subsection{Lorentzcontractie}

Een tweede direct gevolg van het minkowskilijnelement is de lorentzcontractie: afstanden
tussen gebeurtenissen zijn korter voor een waarnemer die beweegt ten opzichte van de
gebeurtenissen. Startpunt is wederom het lijnelement en we kiezen de $x$-as
als richting van relatieve beweging. Er geldt
\begin{equation}
-c^2dt^2+dx^2 = -c^2dt^{\prime 2}+dx^{\prime 2}.
\end{equation}
Om lorentzcontractie aan te tonen beschouwen we de volgende twee gebeurtenissen: de voorkant
van een lat passeert een waarnemer, en de achterkant van de lat passeert deze waarnemer.
Voor deze waarnemer vinden de twee gebeurtenissen plaats op dezelfde positie, dus geldt $dx' = 0$.
De tijd die de lat erover doet om de waarnemer te passeren, $dt'$, kan gebruikt worden 
door deze waarnemer
als een maat voor de lengte van de lat. Als de lat passeert met een snelheid $v$, concludeert deze
waarnemer dat de lat een lengte heeft van $L' = v dt'$. De rechterkant van deze vergelijking kan
dan ook worden geschreven als
\begin{equation}
-c^2dt^2+dx^2 = -{c^2L^{\prime 2} \over v^2}.
\label{eq:lat}
\end{equation}
De linkerkant van deze vergelijking heeft betrekking op een andere waarnemer die met de lat meebeweegt.
Voor deze waarnemer vinden de twee gebeurtenissen (het de eerste waarnemer passeren van voor en
achterkant van de lat) plaats op een onderlinge afstand van $L$, de lengte van de lat zoals
gemeten door deze tweede waarnemer. De tijdsduur tussen de twee momenten, $dt$ is echter anders voor
deze waarnemer, omdat
er een tijddilatatie optreedt\footnote{De correcte plaatsing van de lorentzfactor 
$\gamma$ kan soms verwarrend zijn: welke waarnemer meet nu een langere tijdsduur?
De vuistregel is altijd, dat de waarnemer die in rust is ten opzichte van de twee gebeurtenissen,
de kortste tijdsduur meet tussen de twee gebeurtenissen. Dit betekent hier dat $\frac{dt'}{dt} < 1$,
wat aangeeft hoe de factor $\gamma$ geplaatst dient te worden.}. Er geldt
$dt' = \gamma^{-1} dt$. Als we dan vervolgens weer gebruiken dat de tijd $dt'$ een maat is voor
de lengte $L'$ van de lat zoals gemeten door de eerste waarnemer, dan kan
vergelijking (\ref{eq:lat}) geschreven worden als
\begin{equation}
-c^2\gamma^2 {L^{\prime 2} \over v^2} +L^2 = -{c^2L^{\prime 2} \over v^2}.
\end{equation}
Dit is nu een relatie tussen de lengte van de lat zoals gemeten door de waarnemer die de lat stil
ziet staan, en zoals gemeten door de waarnemer die de lat ziet passeren met een snelheid $v$.
Vereenvoudigd is deze relatie
\begin{equation}
L = \gamma L'.
\label{eq:contract}
\end{equation}
Wanneer herinnerd wordt dat $\gamma$ altijd groter is dan 1, zien we nu dat de lengte van een
lat korter lijkt voor iemand die de lat ziet bewegen, dan iemand die de lat in rust ziet. Dit
is de lorentzcontractie: afstanden lijken korter wanneer waargenomen door een bewegende
waarnemer. Merk op dat dit niet alleen geldt voor latten, maar natuurlijk voor \emph{alle}
fysisch meetbare afstandsverschillen. Net als tijddilatatie, is lorentzcontractie een
puur geometrisch effect, een direct gevolg van het minkowskilijnelement. Bovendien geldt
ook hier weer dat er geen absoluut antwoord is op de vraag hoe lang een lat nu `echt' is:
afstand is een snelheids-afhankelijke grootheid geworden, en kan dientengevolge alleen
bepaald worden \emph{ten opzichte van} een gegeven waarnemer: het relativiteitsprincipe!

\subsection{De lorentztransformaties}

Uit het relativiteitsprincipe volgde al dat het lijnelement invariant dient te zijn
onder transformaties van co\"ordinaten. Dit betekent dat er een beperkte set waarnemers is
die onderling het minkowksilijnelement mogen gebruiken. We vragen ons af
welke transformaties tussen waarnemers het minkowskilijnelement niet van vorm doen
veranderen. 

\medskip
\noindent
Wiskundig gezien is dan ook de vraag welke functies
$x' = x' (t,x,y,z)$, $y' = y'(t,x,y,z)$, $z' = z'(t,x,y,z)$ de volgende vergelijking
oplossen,
\begin{equation}
c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 = c^2dt^{\prime 2}-dx^{\prime 2}-dy^{\prime 2}-dz^{\prime 2}.
\label{eq:ds2}
\end{equation}
Er zijn meerdere transformaties te bedenken die hieraan voldoen. De makkelijkste die
we bedenken kunnen is dat we gewoon bij elke coordinaat een constante optellen,
\begin{equation}
t'= t+a_t, \quad \quad \quad x'= x+a_x, \quad \quad \quad y'= y+a_y, \quad \quad \quad z'= z+a_z.
\end{equation}
Ingevuld in vergelijking (\ref{eq:ds2})
laat direct zien dat dit een oplossing is. Fysisch betekent deze
oplossing niets anders dan dat de twee waarnemers een (vaste) afstand van elkaar
staan ($a_x,a_y,a_z$), en dat de klok van een van de waarnemers een (vaste) hoeveelheid
tijd voor of achter
loopt op die van de ander ($a_t$). Zulke transformaties noemt men \emph{translaties}.

\medskip
\noindent
Een tweede set transformaties die het lijnelement gegeven in vergelijking (\ref{eq:ds2})
invariant laten, kan gevonden worden door veranderingen
in de tijd en \' e\' en van de plaats-co\"ordinaten (bijvoorbeeld $z$) niet te beschouwen. In dat
geval moet voldaan worden aan
\begin{equation}
dx^2 + dy^2 = dx^{\prime 2} + dy^{\prime 2},
\label{eq:ds3}
\end{equation}
oftewel de som van twee kwadraten dient niet te veranderen. Deze vergelijking is
eenvoudig op te lossen door te schrijven
\begin{equation}
x' = A_x x + A_y y \quad \quad y' = B_x x + B_y y,
\end{equation}
waar $A_x, A_y, B_x, B_y$  constanten zijn. Ingevuld in vergelijking (\ref{eq:ds3})
laat dan zien dat voor deze constanten dient te gelden
\begin{equation}
A_x^2+B_x^2 = 1, \quad \quad A_y^2+B_y^2 = 1 \quad \quad A_x A_y = -B_x B_y.
\end{equation}
Aan de eerste twee eisen kan direct voldaan worden: als een som van twee kwadraten
een constante moet opleveren, dan ligt het voor de hand om sinussen en cosinussen te
proberen, aangezien voor deze functies geldt $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ voor
elke hoek $\alpha$. Men kan dus kiezen $A_x = \cos \alpha, B_x = \sin \alpha$ en
$A_y = \cos \beta, B_y = \sin \beta$ om aan de eerste twee vergelijkingen te voldoen;
aan de derde vergelijking is dan ook voldaan wanneer gekozen wordt $\beta = -\alpha$.
Op deze manier is de transformatie compleet, en vinden we
\begin{equation}
x' = (\cos \alpha) x + (\sin \alpha) y, \quad \quad  y' = (\sin \alpha) x - (\cos \alpha) y.
\end{equation}
Deze transformatie correspondeert met een
draaiing om de $z$-as over een hoek $\alpha$. Bijvoorbeeld, als die hoek ${\pi \over 2}$ is
(een draaiing van $90^\circ$), dan is $x' = y$, en $y' = x$: de twee waarnemers staan
stil ten opzichte van elkaar, maar zijn onderling $90^\circ$ gedraaid. Transformaties
als deze heten \emph{rotaties}. In het voorgaande hebben we alleen een draaiing over
de $z$-as beschouwd, maar de uitbreiding naar draaiingen over de andere assen zijn
net zo eenvoudig te vinden.

\medskip
\noindent
Een derde soort transformatie kan gevonden worden door nu niet de tijd en een
plaatsco\"ordinaat constant te houden, maar in plaats daarvan twee ruimtelijke co\"ordinaten
(bijvoorbeeld $y$ en $z$). In dat geval dient de transformatie te voldoen aan
\begin{equation}
-c^2dt^{\prime 2} + dx^{\prime 2} = -c^2dt^2+dx^2.
\label{eq:ds4}
\end{equation}
Door nu te schrijven
\begin{equation}
ct' = A_t ct + A_x x , \quad \quad x' = B_t ct + B_x x ,
\end{equation}
(waar $A_t$, $A_x$, $B_t$, $B_x$ constanten zijn) en in te vullen in vergelijking (\ref{eq:ds4}), 
wordt gevonden dat de constanten moeten voldoen aan
\begin{equation}
A_t^2-B_t^2 = 1, \quad \quad -A_x^2+B_x^2 = 1 \quad \quad A_t A_x = B_t B_x.
\end{equation}
Deze keer zullen sinussen en cosinussen niet voldoen, omdat hier nu het
\emph{verschil} van twee kwadraten een constante moet zijn om aan de eerste
twee vergelijkingen te voldoen. Dit is precies wat de \emph{hyperbolische functies}
$\cosh$ en $\sinh$ definieert: voor deze geldt namelijk dat $\cosh^2 \eta-\sinh^2 \eta= 1$,
voor elke waarde van $\eta$. Het ligt dan ook voor de hand te kiezen
$A_t = \cosh \eta , B_t=\sinh \eta $ en $A_x = \sinh \rho , B_x = \cosh \rho$
zodat aan de eerste twee vergelijkingen is voldaan. Aan de derde vergelijking kan
vervolgens voldaan worden door $\rho = \eta$ te kiezen. Hiermee is dan de transformatie
compleet, en vinden we
\begin{equation}
ct' = (\cosh \eta) ct + (\sinh \eta) x, \quad \quad  x' = (\sinh \eta) ct + (\cosh \eta) x.
\label{eq:hypo}
\end{equation}
Wiskundig is dit een draaiing in ruimtetijd, maar dan over een
`hyperbolische hoek' $\eta$ in plaats van een normale. Maar wat betekent dit
fysisch? Met name: wat is de betekenis van de hyperbolische hoek $\eta$? Dit kan
worden gevonden door de tijddilatatie te beschouwen: we hadden al gezien dat de tijden
van twee waarnemers die met snelheid $v$ ten opzichte van elkaar bewegen, gerelateerd
zijn via vergelijking (\ref{eq:dilat}). 
Als we de differentiaalvorm nemen van vergelijking ({\ref{eq:hypo})
en kiezen $dt'$ = $d\tau$, dan
kunnen we de eerste uitdrukking in vergelijking (\ref{eq:hypo}) schrijven als
\begin{equation}
d\tau = (\cosh \eta) dt + (\sinh \eta)\frac{1}{c} dx
\end{equation}
Kwadrateren, delen door $dt^2$ en vergelijken met de tijddilatatie formule 
geeft dan
\begin{equation}
\cosh^2 \eta+ \left(\frac{v}{c} \right)^2 \sinh^2 \eta + 2 \left( \frac{v}{c} \right)
\cosh \eta \sinh \eta =  1-\left(\frac{v}{c} \right)^2.
\label{eq:hypo1}
\end{equation}
Dit is een kwadratische vergelijking voor de variabele $\frac{v}{c}$, en geeft een
relatie tussen de snelheid $v$ en de hyperbolische hoek $\eta$. Zo is al meteen te zien
dat $\eta$ niets anders is dan een ingewikkelde manier om de snelheid tussen twee
waarnemers te beschrijven\footnote{Deze alternatieve maat voor de snelheid wordt in
sommige takken van de fysica meer gebruikt dan de snelheid $v$; hij heeft als naam
de \emph{rapidity}. De reden voor deze voorkeur is dat
de snelheid $v$ tussen waarnemers nooit groter kan zijn dan de lichtsnelheid, terwijl
de rapidity wel degelijk $\infty$ groot kan worden. Dit heeft soms rekenkundige voordelen.}.
Wat de precieze relatie is tussen $v$ en $\eta$ vraagt nog een beetje meer rekenwerk.
Allereerst moet vergelijking (\ref{eq:hypo1}) herschreven worden tot
\begin{eqnarray}
\left( \frac{v}{c} \right)^2(1+\sinh^2 \eta) + 2\left( \frac{v}{c} \right)
(\cosh \eta \sinh \eta)+(\cosh^2 \eta-1) &=& 0 \nonumber \\
\nonumber \\
\Rightarrow \quad \quad \left( \frac{v}{c} \right)^2(\cosh^2 \eta) + 2\left(
\frac{v}{c} \right)(\cosh \eta \sinh \eta)+(\sinh^2 \eta) &=& 0.
\end{eqnarray}
waar in de laatste stap de relatie $\cosh^2 \eta - \sinh^2 \eta =1 $ is gebruikt.
Deze vergelijking kan worden opgelost voor $\frac{v}{c}$ met behulp van de abc-formule.
Het resultaat is het directe verband tussen $\frac{v}{c}$ en $\eta$,
\begin{equation}
\left( \frac{v}{c} \right)= - \frac{\sinh \eta}{ \cosh \eta} \equiv -\tanh \eta
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \eta = -{\rm arctanh} \left(\frac{v}{c} \right)
\label{eq:hypo2}
\end{equation}
Dit kan nu worden gebruikt om de transformatievergelijking (\ref{eq:hypo2})
uit te drukken in de snelheid $v$,
wat vaak een inzichtelijker grootheid is dan de hyperbolische hoek $\eta$. Hiervoor
kunnen de volgende rekenregels worden gebruikt\footnote{Deze rekenregels zijn eenvoudig
te bewijzen met behulp van de definities: $\cosh x \equiv \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$,
$\sinh x \equiv \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$, ${\rm arctanh} ~x = \frac{1}{2} \ln (\frac{1+x}{1-x})$},
\begin{eqnarray}
\cosh \left(-{\rm arctanh} \left(\frac{v}{c} \right) \right) &=& \sqrt{\frac{1}{1- \left(
\frac{v}{c} \right)^2}} = \gamma \nonumber \\
\sinh \left(-{\rm arctanh} \left(\frac{v}{c}\right) \right) &=& -\left(\frac{v}{c}\right)
\sqrt{\frac{1}{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}} = -\left( \frac{v}{c} \right)\gamma.
\end{eqnarray}
Merk op dat de lorentzfactor $\gamma$ hier op natuurlijke wijze zijn intrede doet.
Hiermee is dan gevonden dat de transformaties tussen de twee waarnemers gegeven worden door
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
cdt' &=& \gamma \left( cdt - \left( \frac{v}{c} \right) dx \right) \\
dx' &=& \gamma (dx - vdt) \\
dy' &=& dy \\
dz'&=& dz,
\end{array}
\right\}
\rightarrow
\left(
\begin{array}{c}
x^{0^\prime} \\
x^{1^\prime} \\
x^{2^\prime} \\
x^{3^\prime} \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cccc}
\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\
-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x^0 \\
x^1 \\
x^2 \\
x^3 \\
\end{array}
\right) \rightarrow
x^{\mu^\prime} = \Lambda_{~\nu}^{\mu^\prime} x^\nu 
\label{eq:lorentzi}
\end{equation}
(waar de relaties tussen de $y$ en $z$ afstanden ook weer zijn toegevoegd). 
Hierbij is $\beta = v/c$ de snelheid als fractie van de lichtsnelheid. 
Verder gebruiken we $x^\mu$ met $x^0 = ct$, $x^1 = x$, $x^2 = y$ en $x^3 = z$, alsook
de transformatiematrix $\Lambda_{~\mu}^{\nu^\prime}$.

\medskip
\noindent
De inverse transformaties kunnen we vinden door $v$ door $-v$ te vervangen. We vinden
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
cdt &=& \gamma ( cdt' + \beta dx' )  \\
dx &=& \gamma (dx' + vdt') \\
dy &=& dy' \\
dz&=& dz',
\end{array}
\right\}
\rightarrow
\left(
\begin{array}{c}
x^0 \\
x^1 \\
x^2 \\
x^3 \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cccc}
\gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\
\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x^{0^\prime} \\
x^{1^\prime} \\
x^{2^\prime} \\
x^{3^\prime} \\
\end{array}
\right) \rightarrow
x^\mu = \Lambda_{~\nu^\prime}^\mu x^{\nu^\prime} .
\label{eq:lorentz}
\end{equation}
We zien dan dat vergelijking (\ref{eq:lorentzi}) geschreven
kan worden als $x^{\mu^\prime} = \Lambda_{~\nu}^{\mu^\prime} x^\nu$, terwijl
voor de inverse relaties (\ref{eq:lorentz}) geldt
$x^{\mu} = \Lambda_{~\nu^\prime}^{\mu} x^{\nu^\prime}$.  
Deze vergelijkingen heten de \emph{lorentztransformaties}, en spelen een hoofdrol in
de SRT. Fysisch stellen zij het verschil voor tussen
afstanden en tijdsduren zoals gemeten door waarnemers die zich ten opzichte
van elkaar bewegen met een constante snelheid $v$ in $x$-richting. Zulke vergelijkingen
zijn eenvoudig af te leiden voor waarnemers die zich met snelheid $v$ in andere
richtingen bewegen. Tezamen met de translaties in alle richtingen en de rotaties om
de drie ruimte-assen, vormen de lorentztransformaties de volledige set transformaties
die het lijnelement niet veranderen, oftewel: onder deze transformaties is het
relativiteitprincipe veilig gesteld. De conclusie is dan ook de volgende: zolang
waarnemers maar louter getranslateerd en/of geroteerd zijn ten opzichte van elkaar, of
alleen met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen, kunnen zij allen het
minkowskilijnelement blijven gebruiken, en gelden dus alle wetten afgeleid in dit
hoofstuk voor de co\"ordinaatsystemen voor al zulke waarnemers. Zulke stelsels noemen
we \emph{inertiaalstelsels}. Dit is wat de speciale relativititeitstheorie het
predikaat `speciaal' geeft: alle wetten afgeleid gelden voor een beperkte set
waarnemers. In latere hoofdstukken zullen we onze bevindingen uitbreiden naar
\emph{alle} waarnemers, leidend tot de theorie van de \emph{algemene} relativiteit.
Voor nu zullen we in de rest van dit hoofdstuk altijd louter inertiaalstelsels
beschouwen: vanaf nu zal er met `waarnemer' een waarnemer bedoeld worden die zich
in een inertiaalstelsel bevindt.

\medskip
\noindent
De lorentztransformaties geven ons alle mogelijke relaties tussen de tijdsduren
en afstanden zoals gemeten door verschillende waarnemers die zich bewegen met
snelheid $v$ ten opzichte van elkaar. Twee specifieke voorbeelden van zulke relaties
hadden we al eerder gezien, toen nog direct afgeleid uit het minkowskilijnelement:
de tijddilatatie en de lorentzcontractie. Deze liggen dan ook automatisch opgesloten
in de lorentztransformaties. Voor tijddilatatie hoeven we alleen maar te kijken
naar het speciale geval dat een van de waarnemers een tijdsduur meet tussen
twee gebeurtenissen die ten opzichte van hem op een en dezelfde positie plaatsvinden,
zodat $dx = 0$; voor deze waarnemer schrijven we $dt = d\tau$;
er volgt dan direct uit vergelijking (\ref{eq:lorentz})
dat een andere waarnemer een tijdsduur meet tussen
deze twee gebeurtenissen gelijk aan $dt' = \gamma d\tau$. Dit is precies de
tijddilatatieformule in vergelijking (\ref{eq:dilat}). 
Verder, om de lorentzcontractie af te leiden uit
de lorentztransformaties hoeft alleen naar het speciale geval gekeken te worden
dat de twee gebeurtenissen de metingen zijn van voor- en achterkant van een lat
door een waarnemer die deze metingen doet op een en hetzelfde tijdstip (immers:
als dat niet het geval is, zal de lat `voorbij' vliegen in de tijd die deze waarnemer
wacht tussen meting van voor- en achterkant, en stelt de afstand tussen gemeten
positie van voor- en achterkant dus niet meer de lengte van de lat voor). Voor
deze waarnemer geldt dan ook $dt = 0$, en zal de lengte van de lat gegeven zijn
door $dx = L$; volgens vergelijking (\ref{eq:lorentz})
meet de waarnemer in rust ten opzichte van de lat een
lengte van $dx' = L = \gamma L$. Dit is
precies de lorentzcontractie formule, vergelijking (\ref{eq:contract}).

\medskip
\noindent
De tijddilatatie en lorentzcontractie zijn slechts
speciale gevallen van de lorentztransformaties, een set algemene
relaties tussen tijdsduren en afstanden zoals gemeten door waarnemers die bewegen
ten opzichte van elkaar met een snelheid $v$.

\subsection{Invariantie van de lichtsnelheid}

We zijn nu op het punt aangekomen dat we ons kunnen buigen over de vraag hoe snelheden
veranderen tussen waarnemers die zich bewegen ten opzichte van elkaar. Snelheid is
niets anders dan een verandering van positie gedeeld door de verstreken tijd
benodigd om de afstand tussen de begin- en eindposities te overbruggen. Maar zoals al gezien,
zijn afgelegde afstanden en verstreken tijden niet meer absoluut: zij verschillen
van waarnemer tot waarnemer. Het is dan ook te verwachten dat het concept gemeten
snelheid op een nieuwe manier zal transformeren tussen verschillende waarnemers.
Hiervoor beschouwen we twee waarnemers, 1 en 2, die
ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid $v$. Beiden kijken
naar een bewegend deeltje, en meten daar de snelheid van, waarbij $u_1$ de snelheid
is zoals gemeten door waarnemer 1, en $u_2$ de snelheid zoals gemeten door
waarnemer 2. De vraag is nu hoe deze twee gemeten snelheden zich tot elkaar
verhouden.

\medskip
\noindent
Per definitie is de snelheid zoals gemeten door waarnemer 2 gegeven door
\begin{equation}
u_2 \equiv \frac{dx_2}{dt_2}.
\end{equation}
De transformatie tussen tijd- en positieverschillen wordt gegeven door de lorentztransformatie,
vergelijking (\ref{eq:lorentz}); teller en noemer
kunnen dan ook direct worden ingevuld, en worden uitgedrukt in de gemeten afstand en
verstreken tijd $dx_1$ en $dt_1$ zoals gemeten door waarnemer 1. Dit levert
\begin{equation}
u_2 = \frac{\gamma}{\gamma} \frac{dx_1+vdt_1}{dt_1+\left( \frac{v}{c^2} \right) dx_1}
= \frac{\frac{dx_1}{dt_1}+v}{1+\left( \frac{v}{c^2} \right) \frac{dx_1}{dt_1}}
= \frac{u_1+v}{1+\left(\frac{v}{c^2}\right)u_1},
\end{equation}
waarin is gebruikt dat $dx_1$ gedeeld door $dt_1$ precies de snelheid $u_1$ is zoals
gemeten door waarnemer 1.

\medskip
\noindent
Dit is de zogenaamde \emph{regel van Einstein voor het samenstellen van snelheden}: 
gegeven de snelheid $u_1$ van een
object zoals gemeten door waarnemer 1, geeft deze formule ons de snelheid $u_2$ van
dit object zoals gemeten door waarnemer 2 die zich zelf met snelheid $v$ beweegt ten
opzichte van waarnemer 1. Voor kleine snelheden gaat de relatie over in de normale
optelling van snelheden in de klassieke mechanica: $u_2 = u_1 + v$.

\medskip
\noindent
Een aantal interessante eigenschappen kan nu worden opgemerkt. Zo kan eenvoudig
worden aangetoond dat als een waarnemer een deeltje ziet bewegen met een snelheid
lager dan de lichtsnelheid (oftewel $u_1 < c$), elke andere waarnemer dit deeltje
ook ziet bewegen met een snelheid lager dan de lichtsnelheid ($u_2 < c$). Ook kan
worden aangetoond dat als een waarnemer het deeltje ziet bewegen met een snelheid
hoger dan de lichtsnelheid, elke andere waarnemer dit deeltje ook ziet bewegen met
een snelheid hoger dan de lichtsnelheid. Dit laatste is overigens alleen wiskundig
waar: het zal later worden aangetoond dat niets sneller kan gaan dan het
licht\footnote{Dit geldt in de conventionele leer van de natuurkunde. Er zijn wel
degelijk exotische theorie\"en waarin deeltjes bestaan die sneller gaan dan het licht
(de zogenaamde \emph{tachyonen}); echter, theorie\"en met tachyonen hebben doorgaans
de eigenschap instabiele materie te voorspellen. Zulke deeltjes zullen daarom niet
worden beschouwd.}.

\medskip
\noindent
Het belangrijkste gevolg van Einsteins snelheidsregel is dat alle
waarnemers dezelfde snelheid voor een lichtsignaal zullen meten, ongeacht de onderlinge
snelheden tussen deze waarnemers: voor elke waarnemer zal een foton zich voortplanten
met snelheid $c$. Neem als bewegend object een foton, dat voor waarnemer 1 met een
snelheid van $u_1=c$ beweegt. Einsteins snelheidsregel zegt dan vervolgens dat
ook waarnemer 2 dit foton met snelheid $u_2 = c $ ziet bewegen,
\begin{equation}
u_2 = \frac{u_1+v}{1+\left(\frac{v}{c^2}\right)u_1} |_{u_1 = c}
= \frac{c+v}{1+\left(\frac{v}{c}\right)} = c.
\end{equation}
Dit betekent dat licht zich altijd (dit wil zeggen voor elke waarnemer in elk inertiaalsysteem)
met de lichtsnelheid voortbeweegt! Stel dat waarnemer 1 een lichtstraal
afvuurt. De fotonen snellen met de lichtsnelheid weg ten opzichte van waarnemer 1.
Waarnemer 2 besluit om met hoge snelheid het licht achterna te gaan. Hiertoe beweegt
hij bijvoorbeeld met 99 \% van de snelheid ten opzichte van waarnemer 1. Als hij nu
een meting uitvoert van de snelheid van de lichtbundel uitgezonden door waarnemer 1,
meet hij toch weer dezelfde snelheid $c$. Ten opzichte van het licht heeft hij geen
enkele vordering gemaakt! De snelheid $v$ tussen de twee waarnemers
blijkt geheel irrelevant (hij werd weggedeeld in de laatste stap). Blijkbaar maakt
het niet uit hoe snel de twee waarnemers zich bewegen ten opzichte van elkaar: als
een van hen een foton ziet dat met de lichtsnelheid gaat, dan ziet elke andere
waarnemer dit ook.
De conclusie is dan ook: \emph{licht gaat voor elke waarnemer met de lichtsnelheid}.
Men zegt ook wel: de lichtsnelheid is \emph{invariant}.
Op deze manier hebben we Einsteins oorspronkelijke eerste postulaat teruggevonden, louter
en alleen door uit te gaan van de minkowskimetriek en het relativiteitsprincipe.

\medskip
\noindent
Tijddilatatie kan ook direct worden afgeleid uit de constantheid van de
lichtsnelheid voor verschillende waarnemers. Om dit duidelijk te maken
beschouwen we een eenvoudige klok gebaseerd op reflecterend licht. De
klok is weergegeven in Fig. \ref{fig:time}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/time.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Een klok gebaseerd op een foton dat reflecteert tussen twee
spiegels. Links: de klok is in rust en een kloktik komt overeen met
de vluchttijd van het foton. Rechts: een waarnemer die een bewegende
klok ziet, meet dat deze klok langzamer loopt.}
\label{fig:time}
\end{figure}
Elke kloktik correspondeert met de heen- en terugreis van een foton
tussen de spiegels. Voor een stilstaande klok duurt een kloktik
$\Delta t {2L \over c}$ s. Als de klok beweegt met snelheid $v$, dan moet het licht
een langere weg afleggen om de heen- en terugreis te maken. De
geometrie laat toe om de kloktik van de bewegende klok te bepalen.
Er geldt $\Delta t^\prime = {2D \over c}$ en de diagonale afstand $D$
kan met behulp van de stelling van Pythagoras bepaald worden als
$D = \sqrt{L^2 + {1 \over 4}v^2(\Delta t^\prime )^2}$. Invullen en 
oplossen van $\Delta t^\prime$ levert 
$\Delta t^\prime = {2L \over c}{1 \over \sqrt{1-{v^2 \over c^2}}} = \gamma \Delta t$.
We vinden hiermee weer de formule voor tijddilatatie. 

\medskip
\noindent
Een goed voorbeeld van tijddilatatie zijn muonen die gecre\"eerd worden
in de buitenste laag van de aardatmosfeer en richting de aarde bewegen.
Vanwege tijddilatatie is hun levensduur beduidend langer dan de
levensduur zoals die op aarde (in het rustsysteem van de muonen) gemeten
wordt: 2.2 $\mu$s. Dit laat toe dat dergelijke kosmische muonen een
grotere weg afleggen en het oppervlak van de aarde bereiken kunnen.
Voor een waarnemer die meereist met een muon nadert de aarde met een
snelheid in de buurt van de lichtsnelheid, maar kan de afgelegde weg desondanks
niet meer dan $c \Delta t = (3 \times 10^8 ~{\rm m/s})(2.2 \times 10^{-6})
=660$ m afleggen. Toch bereiken deze muonen het aardoppervlak, terwijl
de afstand van de buitenste laag van de atmosfeer tot het oppervlak
ongeveer 20 km is. De verklaring is dat deze lengte van 20 km voor
de meereizende waarnemer lorentz-gecontraheerd is tot minder dan 660 m.

\medskip
\noindent
We kunnen onze lichtklok ook gebruiken om lorentzcontractie te begrijpen.
We tonen de geometrie in Fig. \ref{fig:contr}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/contr.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Een klok gebaseerd op een foton dat reflecteert tussen twee
spiegels. Panel (a): uiteinde 1 van de staaf passeert waarnemer $A$;
panel (b): uiteinde 2 passeert $A$; panel (c): de situatie zoals gezien
door waarnemer $B$.}
\label{fig:contr}
\end{figure}
Twee waarnemers $A$ en $B$ hebben een relatieve snelheid $v$ ten opzichte
van elkaar. Waarnemer $B$ houdt een staaf vast in de richting van $v$.
We beschouwen eerst de situatie vanuit waarnemer $A$. Panel (a) toont de
situatie waarbij uiteinde 1 van de staaf waarnemer $A$ passeert. Op dat 
moment stuurt $A$ een lichtflits in de richting van de spiegel. In panel
(b) wordt de situatie getoond waarbij uiteinde 2 van de staaf waarnemer $A$
passeert. De afstand tussen waarnemer $A$ en de spiegel is dusdanig dat
precies op dit tijdstip de lichtflits weer bij $A$ aankomt. Voor $A$
is er inmiddels een tijd $\Delta t^\prime$ verstreken. Waarnemer
$A$ die de lengte van een ten opzichte van hem bewegende staaf meet,
concludeert dus dat de lengte van de staaf $L^\prime$ gegeven wordt
door $L^\prime = 2v\Delta t^\prime$. 
Panel (c) schetst de situatie voor de met de staaf
meebewegende waarnemer $B$. Door te kijken naar dezelfde lichtklok meet
$B$ de lengte van de staaf als $L=2v\Delta t$, waarbij $\Delta t$ de
tijdspanne verstreken op zijn klok is. Vervolgens gebruikt hij de
tijddilatatie formule, $\Delta t = \gamma \Delta t^\prime$ (merk op
dat waarnemer $B$ de tijd van een voor hem bewegende klok gebruikt!)
en vindt $L^\prime = L \sqrt{1-{v^2 \over c^2}} = {L \over \gamma}$.

\subsection{Verlies van universele definitie van tijd en gelijktijdigheid}

Als twee gebeurtenissen plaatsvinden op verschillende plaatsen, maar een
waarnemer meet dat ze gelijktijdig gebeuren, dan kan het zo zijn dat een andere
waarnemer (die beweegt ten opzichte van de eerste)
meet dat ze voor hem niet gelijktijdig gebeuren. We noemen dit het {\sl verlies
van gelijktijdigheid}. Voor Newton en Galileo hadden {\sl voor} en {\sl na}
een invariante betekenis: iedereen zou het erover eens zijn dat gebeurtenis
$A$ plaatsvond v\' o\' or gebeurtenis $B$. Dit lijkt alleen maar logisch
omdat $A$ wel eens de reden kan zijn dat $B$ gebeurt, en het zou weleens
tegenstrijdig kunnen zijn als iemand anders bepaalt dat $B$ v\' o\' or $A$
heeft plaatsgevonden. In de SRT is het alleen vereist dat de begrippen v\' o\' or
en na nodig zijn als de gebeurtenissen elkaar kunnen be\"{\i}nvloeden. Dus
als $A$ de gebeurtenis $B$ kan veroorzaken, dan moet iedereen het erover
eens zijn dat $A$ eerder was. Echter $A$ kan alleen $B$ veroorzaken als
licht (of een langzamer signaal) kan reizen van $A$ naar $B$: geen enkele
invloed kan sneller reizen dan het licht. Derhalve, als $B$ te ver verwijderd
is om licht van $A$ te ontvangen tegen de tijd dat $B$ plaatsvindt, dan is
er geen logische reden dat verschillende waarnemers het erover eens moeten
zijn welke van de gebeurtenissen het eerst plaatsvond.

\medskip
\noindent
Gebeurtenissen die op dezelfde tijd maar op verschillende posities plaatsvinden,
zoals gezien door een waarnemer, zijn precies van dit soort: geen van beide
kan de ander veroorzaken. Daarom geeft de SRT ze geen unieke volgorde: voor
de ene waarnemer gebeuren ze gelijktijdig, voor een ander gebeurt $A$ eerst,
en voor een derde kan $B$ eerst gebeuren. Echter alle drie de waarnemers zullen
het erover eens zijn dat licht niet van de ene naar de andere gebeurtenis
kan reizen, en er dus geen causaal verband tussen beide gebeurtenissen kan zijn.

\medskip
\noindent
Als echter licht {\sl kan} reizen van $A$ naar $B$, dan zullen alle waarnemers
het hierover eens zijn en gebeurt $B$ later dan $A$ (maar wel met verschillende
tijddilatatie effecten). Dus SRT behoudt het begrip van v\' o\' or en na, van
toekomst en verleden, maar het past deze relatie niet toe op alle mogelijke
paren gebeurtenissen.

\medskip
\noindent
Dit betekent dat het niet mogelijk is om Newtons idee van een drie-dimensionale
absolute ruimte te handhaven, met tijd als alleen een parameter. In Newtons
wereld zal iedereen het erover eens zijn hoe ruimte eruit ziet op een gegeven
tijdstip. In Einsteins wereld is er alleen {\sl ruimtetijd}, het vier-dimensionale
continu\"um van alle gebeurtenissen die op elk mogelijk tijdstip kunnen
plaatsvinden. Gebeurtenissen zijn de punten in ruimtetijd. Een waarnemer zal
een bepaalde verzameling gebeurtenissen groeperen in de drie-dimensionale
ruimte op een bepaald tijdstip. Echter een andere waarnemer kan evenwel besluiten
dat een andere verzameling gebeurtenissen ruimte vertegenwoordigt op een
bepaald tijdstip.

\medskip
\noindent
Twee gebeurtenissen die geen causaal verband met elkaar kunnen hebben, worden
{\sl ruimtelijk gescheiden} in ruimtetijd genoemd. Twee gebeurtenissen die
verbonden kunnen worden door iets dat reist met een snelheid lager dan
de lichtsnelheid worden {\sl tijdachtig gescheiden} genoemd. Gebeurtenissen
die verbonden kunnen worden door \'e\'en enkel foton worden {\sl lichtachtig
gescheiden} genoemd. Relativiteitstheorie mengt de begrippen ruimte en tijd.
Als we het gezichtspunt van de waarnemer veranderen dan is er een transformatie 
van hoe we ruimte van tijd onderscheiden (zie vergelijkingen (\ref{eq:lorentz}),
hoe we tijdverschillen behandelen en hoe we afstanden meten. Dit alles
wordt door de lorentztransformaties uitgedrukt. 

\subsection{Ruimtetijd}

Hier stellen we ons wederom de vraag: wat is ruimtetijd? Waarom is het onjuist
om over ruimte en tijd als aparte grootheden te spreken in plaats van over ruimtetijd
als geheel? In de natuurkunde van Aristoteles werd ruimte voorgesteld als een
Euclidische drie-dimensionale ruimte $\mathbb{E}^3$. De punten van de ruimte
behouden hun identiteit van het ene moment op het andere. 
Stel een deeltje bevindt zich in rust op een bepaald ruimtelijk punt. 
We nemen dan aan dat wanneer we dit ruimtelijk punt nu beschouwen en ook
op een later tijdstip, we te maken hebben met hetzelfde ruimtelijk punt.
Ons beeld van realiteit correspondeert dan met het scherm in een bioscoop,
waar een bepaald punt op het scherm zijn identiteit behoudt wat er ook op
dat scherm geprojecteerd wordt. Evenzo wordt tijd voorgesteld als een Euclidische
ruimte, maar dat is de triviale $\mathbb{E}^1$ \'e\'en-dimensionale
ruimte\footnote{Tijd wordt door Aristoteles niet voorgesteld als een kopie
van de re\"ele lijn $\mathbb{R}$, want $\mathbb{R}$ bevat het voorkeurselement
0. Er is echter geen sprake van een voorkeur voor een oorsprong in de
beschrijving van dynamische objecten.}. De Euclidische ruimte geeft een
definitie van het begrip afstand tussen punten. Verder is er een begrip
van gelijktijdigheid. Het is dus absoluut zinvol om te spreken van gebeurtenissen
die gelijktijdig hier en elders plaatsvinden. Om in de beeldspraak van de
bioscoop te blijven: als we een bepaald frame van de film beschouwen dan worden
alle gelijktijdige gebeurtenissen op verschillende plaatsen op het scherm
geprojecteerd. De ruimtetijd van Aristoteles is het product
\begin{equation}
\mathcal{A} = \mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3 .
\end{equation}
Het is eenvoudig de ruimte opgespannen door de paren $(t, \vec x)$, met
$t$ een element van $\mathbb{E}^1$, een tijd, en $\vec x$ een element van $\mathbb{E}^3$,
een punt in de ruimte. Deze ruimtetijd wordt weergegeven in Fig. \ref{fig:ari}
(linker figuur).
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/ari.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: de ruimtetijd van Aristoteles $\mathcal{A} = \mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3$
bestaat uit paren $(t,\vec x)$. Rechts: de ruimtetijd van Galileo, $\mathcal{G}$, is
een fiberruimte. Er is geen puntsgewijze connectie tussen verschillende $\mathbb{E}^3$
fibers: er bestaat geen absolute ruimte! Er is echter wel een unieke tijd voor
elke ruimtetijd gebeurtenis: absolute tijd bestaat.}
\label{fig:ari}
\end{figure}
Laten we nu eens kijken wat Galileo's relativiteitsprincipe voor een gevolg heeft op ons
begrip van ruimtetijd. Galileo vertelt ons dat de dynamische wetten hetzelfde
zijn in elk inertiaalsysteem. Er is niets in de natuurkunde dat gebruikt kan
worden om een systeem van rust te onderscheiden van een systeem dat met uniforme
snelheid beweegt. Dit betekent dat er geen dynamische betekenis is in het stellen
dat een bepaald ruimtelijk punt op dit moment hetzelfde is als het ruimtelijk
punt een moment later. Het is zinloos te stellen dat het ruimtelijk punt
waar mijn koffiekop zich nu bevindt, hetzelfde ruimtelijk punt is een minuut
later. Gedurende deze minuut is de aarde om zijn as geroteerd en in dat systeem
is mijn koffiekop op een ander ruimtelijk punt. Echter de aarde draait ook
om de zon en dat levert weer een ander punt op. Kortom, de analogie van een
projectiescherm is onjuist! We hebben niet \' e\' en enkele Euclidische ruimte
$\mathbb{E}^3$ als de arena waarin de acties van de fysische wereld zich in de
tijd afspelen. We hebben verschillende $\mathbb{E}^3$s voor elk tijdstip en er is
geen natuurlijke identificatie tussen deze verschillende $\mathbb{E}^3$s. Wiskundig
gezien is Galileo's ruimtetijd $\mathcal{G}$ geen productruimte
$\mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3$, maar iets dat wiskundigen een {\sl fiberbundel}
noemen met als basis $\mathbb{E}^1$ en fiber $\mathbb{E}^3$. De situatie
is geschetst in Fig. \ref{fig:ari} (rechter figuur). Een fiberbundel heeft
geen puntgewijze connectie tussen \' e\' en fiber en de volgende. Desalnietemin
vormen de fibers samen een geheel. Aan elk ruimtetijd element van $\mathcal{G}$
wordt een tijd toegekend, en deze laatste is een element van de `klokruimte' $\mathbb{E}^1$.

\medskip
\noindent
Het bestaan van een lichtsnelheid die voor elke waarnemer hetzelfde is, heeft
het verdwijnen van de absolute tijd tot gevolg. In Fig. \ref{fig:kegel} nemen
we een gebeurtenis $\mathcal{P}$ in ruimtetijd en beschouwen we alle lichtstralen die
door $\mathcal{P}$ gaan voor elke richting (zie Fig. \ref{fig:kegel}a). 
We kunnen ruimtetijd voorstellen door horizontaal de $x$ en $y$ richting
uit te zetten, terwijl we de tijdco\"ordinaat ($ct$) verticaal kiezen.
De lichtstralen vormen een kegel in ruimtetijd,
de zogenaamde {\sl lichtkegel}. Als we de lichtsnelheid als fundamenteel nemen,
dan betekent dit dat we de lichtkegel als fundamenteel nemen. De lichtkegel
definieert een structuur in de tangentenruimte $T_P$ die hoort bij $\mathcal{P}$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/kegel.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De lichtkegel specificeert de fundamentele snelheid van het licht.
In (a) worden de banen van de uitgezonden fotonen ruimtelijk geschetst
als een bol die expandeert vanuit punt $\mathcal{P}$. In (b) zien we dat in ruimtetijd
de fotonen een kegel uitsnijden. In (c) zien we dat de kegel ruimtetijd
opsplitst in een verleden en een toekomst. De wereldlijn van een massief
deeltje in $\mathcal{P}$ heeft een vector die naar de toekomst wijst en tijdachtig
is. Deze vector ligt dus binnen de toekomst lichtkegel van $\mathcal{P}$.}
\label{fig:kegel}
\end{figure}
De lichtkegel wordt gevormd door gebeurtenissen waarvoor geldt
\begin{equation}
s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta r^2 = 0.
\end{equation}
Gebeurtenissen die van $\mathcal{P}$ gescheiden zijn door een tijdachtig
interval, vallen binnen de lichtkegel en er
geldt $s^2 > 0 \rightarrow c^2 \Delta t^2 > \Delta r^2$.
Dergelijke gebeurtenissen kunnen causaal
verbonden zijn. Dat is niet mogelijk voor zogenaamde ruimtelijk gescheiden 
gebeurtenissen die buiten de
lichtkegel vallen. Hiervoor geldt $s^2 < 0 \rightarrow c^2 \Delta t^2 < \Delta r^2$.

\medskip
\noindent
Merk op dat de lichtkegel uit twee delen bestaat: een {\sl verleden} kegel
en een {\sl toekomst} kegel. We kunnen ons de verleden kegel voorstellen als
de geschiedenis van een lichtflits die implodeert op $\mathcal{P}$. De toekomst kegel
zien we als een lichtflits die explodeert vanuit punt $\mathcal{P}$. Fotonen liggen
op de rand van de kegel, terwijl de wereldlijnen van massieve deeltjes die
door $\mathcal{P}$ gaan, binnen de kegel dienen te liggen. De structuur van ruimtetijd
in de SRT is zodanig dat voor elke gebeurtenis van ruimtetijd een lichtkegel
bestaat die voor deze gebeurtenis de causale structuur bepaalt. We zullen
dit uitdiepen in de volgende sectie.
  
\subsection{Ruimtetijddiagrammen}

We gebruiken ruimtetijddiagrammen om gebeurtenissen in de vierdimensionale
ruimtetijd te beschrijven. In een ruimtetijd diagram (ook wel minkowskidiagram
genoemd) tonen we een ruimtelijke dimensie op de $x$-as en de tijd op de $y$-as.
Een ruimtetijd diagram stelt typisch het co\"ordinatenstelsel van een
waarnemer voor. Deze waarnemer is dan zelf in rust in dit systeem en zijn
wereldlijn correspondeert met de tijd-as.
Typisch wordt verticaal niet $t$, maar $ct$ uitgezet, zodat de wereldlijn
van een foton een rechte lijn wordt met een helling van 45$^\circ$.

\medskip
\noindent
We beginnen met het verhelderen van het verschil
tussen de ruimtetijd van Galileo en die van de SRT. 
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/gal.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: in de klassieke mechanica heeft een gebeurtenis $A$
plaats op hetzelfde tijdstip. Rechts: in de SRT kennen verschillende waarnemers
verschillende tijden toe aan gebeurtenis $A$.}
\label{fig:gal}
\end{figure}
In de linker figuur stelt de schuine lijn de tijd-as voor van een
waarnemer die ten opzichte van het co\"ordinatensysteem beweegt met snelheid $v$. 
%Merk op dat de hoek $\alpha$ die de assen $ct$ en $ct^\prime$ met
%elkaar maken, gegeven wordt door vergelijking (\ref{eq:xxx}).
Op tijdstip $x=x^\prime = t = t^\prime = 0$ vallen beide
co\"ordinatensystemen samen. De as van de bewegende waarnemer staat
niet loodrecht op de $x$-as en de tijdschaal is uitgerekt. Beide
waarnemers observeren gebeurtenis $A$ en kennen er dezelfde tijd aan toe,
omdat de klassieke mechanica een absolute tijd $t=t^\prime$ voor gebeurtenissen
kent. De plaats is verschillend omdat de bewegende waarnemer naar
gebeurtenis $A$ toe beweegt. Deze grafische representatie noemen we
een galileotransformatie.

\medskip
\noindent
Einstein ontdekte dat deze beschijving onjuist is. Het co\"ordinatensysteem
van een bewegende waarnemer dient getekend te worden zoals gedaan is in
de rechter afbeelding in Fig. \ref{fig:gal}. Dit volgt direct uit de
lorentztransformaties, zie vergelijking (\ref{eq:lorentz}). Voor
de hoek ${\alpha}$ geldt $\tan{\alpha} = {v \over c}$. Er bestaat geen
absolute tijd meer en beide waarnemers kennen verschillende tijden toe
aan gebeurtenis $A$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/gelijkt.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Ruimtetijddiagram voor een stilstaande waarnemer heeft assen
$x$ en $ct$, terwijl het diagram voor een waarnemer die met snelheid $v$
ten opzichte van de eeste beweegt, de assen $x^\prime$ en $ct^\prime$ heeft.
Voor de stilstaande waarnemer vinden gebeurtenissen $A$ en $B$ gelijktijdig
plaats. Dat is niet zo voor de bewegende waarnemer.}
\label{fig:gelijkt}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Ook het verdwijnen van gelijktijdigheid kunnen we direct zien in een
ruimtetijd diagram, zie Fig. \ref{fig:gelijkt}. Hiertoe beschouwen we twee waarnemers die relatief
ten opzichte van elkaar bewegen met snelheid $v$. Het co\"ordinatensysteem van de
bewegende waarnemer is aangegeven met $x^\prime$ en $ct^\prime$ in
het systeem van de stilstaande waarnemer. De ori\"entatie van deze
assen kan gevonden worden uit de lorentztransformaties.
We beschouwen twee ruimteachtig
gescheiden gebeurtenissen $A$ en $B$. Deze gebeurtenissen kunnen geen
causaal verband met elkaar hebben, omdat ze niet door fotonen (dat zijn
lijnen onder $\pm 45^\circ$) of langzamere signalen verbonden kunnen
worden. De gebeurtenissen gebeuren
gelijktijdig in het systeem van de stilstaande waarnemer. In het
systeem van de bewegende waarnemer gebeurt $B$ op tijdstip $C$ en
gebeurtenis $A$ op tijdstip $D$. In zijn systeem gebeurt $B$ eerder
dan $A$. Er is echter ook een systeem te vinden waarin $A$ eerder
gebeurt dan $B$. Dat is een waarnemer die met snelheid $-v$ beweegt
ten opzichte van stilstaande waarnemer. We zien dat tijd haar absolute
betekenis heeft verloren. Welke deelverzameling gebeurtenissen van ruimtetijd
de gelijktijdige gebeurtenissen vormt, hangt af van de beweging van
de waarnemer.

\subsection{Relativistisch Dopplereffect}

De verandering van het begrip tijd in de SRT leidt tot een eenvoudige modificatie van
de formule voor de roodverschuiving van een foton, zie vergelijking (\ref{eq:doppler})
en ook Fig. \ref{fig:doppler}. In sectie \ref{doppler} telden we het aantal
golffronten dat een bewegende detector passeert, en vergeleken dat met het aantal
dat een detector in rust registreerde. Het aantal golffronten dat per tijdseenheid
passeert is de frequentie van de golf. We dienen nu in rekening te brengen dat de
klok van een bewegende detector iets langzamer loopt dan die van een detector in rust.
Dit betekent dat als de detector in rust $N$ golffronten telt in tijd $t$, dan
telt de bewegende detector $N^\prime = N(1-{v \over c})$ golffronten 
(zie Fig. \ref{fig:doppler}) in een tijd $t^\prime = t/ \gamma$ (Einsteins tijddilatatie).
Als we het aantal golffronten delen door de tijd, dan meet de stilstaande detector
een frequentie $f = N/t$, terwijl de bewegende detector een frequentie
$f^\prime = N^\prime / t^\prime$ meet. Dit levert
\begin{equation}
f^\prime = (1 - {v \over c})\gamma f = {1 - {v \over c} \over \sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}f.
\end{equation}
Bovenstaande relatie geldt als de bewegende waarnemer zich verwijdert van de lichtbron,
zoals gezien door een waarnemer in rust. Dit produceert een verlaging van de
frequentie, een roodverschuiving. In het geval de waarnemer de bron nadert, spreken
we over een blauwverschuiving. Omdat de noemer altijd kleiner is dan 1, zijn de
waarden van de rood- of blauwverschuiving {\sl groter} dan die op basis van de
niet-relativistische Doppler formule. Merk op dat er zelfs een verschuiving is
als de bewegende waarnemer loodrecht beweegt op de richting naar de lichtbron. In dat
geval is de niet-relativistische Doppler verschuiving gelijk aan nul, omdat de
loodrechte beweging geen golffronten toevoegt of aftrekt van het aantal dat geteld
wordt door een stilstaande detector. Echter is er nog steeds de tijddilatatie en
die reduceert de hoeveelheid tijd dat een bewegende detector kan meten. Dit produceert
een blauwverschuiving in de SRT, terwijl er geen effect is in de klassieke Doppler
formule. Dit wordt het transversale Dopplereffect genoemd.
 
\subsection{Relativistische mechanica}\label{srtlagrange}

De lagrangiaanse methode beschreven in sectie \ref{lagrange}
leent zich uitstekend voor de uitbreiding van de
mechanica van Newton naar een versie die overeenkomt met het relativiteitsprincipe. 
Allereerst zullen we
een vrij deeltje beschouwen, oftewel een deeltje met massa $m$ dat beweegt zonder
be\"{\i}nvloed te worden door een kracht. De lagrangiaan voor een dergelijk deeltje bestaat
dan alleen uit een kinetische term,
\begin{equation}
L = K.
\end{equation}
In de klassieke mechanica wordt de kinetische energie gegeven door
$K = \frac{1}{2}m\vec{v}^2$. Deze uitdrukking kunnen we echter niet overnemen
in de relativiteitstheorie. Immers, het relativiteitsprincipe eist dat de
natuurwetten zodanig geformuleerd dienen te worden, dat zij niet van vorm veranderen
wanneer naar een ander inertiaalstelsel wordt getransformeerd. Dit betekent
dat de gezochte lagrangiaan invariant moet zijn onder transformaties tussen
inertiaalstelsels, en daar voldoet bovenstaande uitdrukking zeker niet aan.
Echter, met enige aanpassing is een vorm te vinden die erg lijkt
op de oude uitdrukking, maar die wel degelijk invariant is. Hiervoor schrijven we
eerst de oude uitdrukking uit als
\begin{equation}
L = K = \frac{1}{2}m \frac{dx^i}{dt} \frac{dx_i}{dt},
\end{equation}
waar Einsteins sommatieconventie gebruikt is: $dx^i dx_i = dx^2+dy^2+dz^2$.
Wat de invariantie van deze uitdrukking in de weg staat zijn twee dingen: allereerst
zijn de $dx$-en inertiaalstelsel-afhankelijk; ten tweede zijn de $dt$'s dat eveneens.
We hadden immers al gezien dat waarnemers in verschillende inertiaalsystemen,
verschillende afstanden en tijdsduren meten. Deze uitdrukking kan daarom nooit
voldoen aan het relativiteitsprincipe. Echter, wanneer we $dx^i dx_i$ vervangen
door $\eta_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ staat in de teller nu precies het lijnelement
$ds^2$, waarvan bekend is dat dit invariant is. Op dezelfde manier ligt een
uitbreiding van de twee $dt$'s ook voor de hand: vervang $dt dt$ door $d\tau^2$,
zodat ook dit nu invariant is geworden. Een natuurlijke suggestie voor een
relativistische lagrangiaan van een vrij deeltje is dan
\begin{equation}
L = \frac{1}{2}m \eta_{\mu \nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}.
\label{eq:geodetenl}
\end{equation}
Deze overwegingen zijn natuurlijk geen \emph{bewijs} voor de geldigheid van
deze uitdrukking: het is een gok. Er zijn ook andere Lagrangianen denkbaar
die voldoen aan het relativiteitsprincipe. Echter, deze uitdrukking is
de meest eenvoudige, en bovendien zal blijken dat de bewegingswettem die hieruit
volgen, reduceren tot de oude vertrouwde bewegingswetten van Newton wanneer ze
toegepast worden in situaties waarbij snelheden veel lager zijn dan de lichtsnelheid.
Uiteindelijk zal het echter aan het experiment zijn om aan te tonen of de gevonden
wetmatigheden correct zijn. Tot nu toe wijzen alle experimenten uit dat dit
inderdaad het geval is.

\medskip
\noindent
De actie $S$ behorend bij deze lagrangiaan wordt verkregen door de lagrangiaan
te integreren over de tijd. Ook hier moet het relativiteitsprincipe in acht
worden genomen: de uitdrukking moet worden ge\"{\i}ntegreerd over de eigentijd
$d\tau$ (in tegenstelling tot over de waarnemer-afhankelijke tijd $t$) om zo
de invariantie van de actie te waarborgen. De actie wordt dan dus
\begin{equation}
S = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left\{ \frac{1}{2}m \eta_{\mu \nu}  \frac{dx^\mu}{d\tau}
\frac{dx^\nu}{d\tau}  \right\} d\tau.
\end{equation}
Om de bewegingswet voor het deeltje af te leiden, dient het principe van
extreme actie weer te worden toegepast: er moet gezocht worden naar het pad
$x^\mu (\tau)$ dat de waarde van deze integraal minimaal of maximaal maakt.
De Euler-Lagrange vergelijkingen voor deze situatie hebben de
vorm\footnote{Dit is een generalisatie van vergelijking (\ref{eq:actie2}). 
Het bewijs van deze stelling
gaat analoog aan dat van vergelijking (\ref{eq:actie2}).}
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial x^\alpha} = \frac{d}{d\tau} \left( \frac{\partial L}
{ \partial \left( \frac{dx^\alpha}{d\tau}  \right) }  \right).
\end{equation}
Merk op dat dit vier vergelijkingen zijn: voor elk van de vier coordinaten van
het pad $x^\mu(t)$ is er een vergelijking die moet worden opgelost.
Wanneer de relativistische lagrangiaan wordt ingevuld en beide zijden van de
Euler-Lagrange vergelijkingen worden uitgerekend, wordt gevonden dat een vrij
relativistisch deeltje een pad $x^\mu (\tau)$ volgt waarvan de componenten
voldoen aan de vergelijkingen
\begin{equation}
m\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} = 0.
\label{eq:newt}
\end{equation}
Dit lijkt sprekend op de tweede wet van Newton voor een vrij deeltje, met twee
subtiele verschillen.

\medskip
\noindent
Ten eerste doet de wet van Newton uitspraken over de drie plaatsco\"ordinaten
van het deeltje, waar deze nieuwe uitdrukking ook uitspraak doet over de tijd.
Deze laatste stelt dat
\begin{equation}
m \frac{dt^2}{d\tau^2}=0,
\end{equation}
waaruit volgt dat $\frac{dt}{d\tau}$ gelijk is aan een constante. Dat is niet
verrassend: we hadden immers al gezien dat de tijd $\tau$ zoals gemeten door
een waarnemer die het deeltje ziet stilstaan, een andere is dan de tijd
$t$ gemeten door een waarnemer die het deeltje ziet bewegen. Dit was precies
het tijddilatatie effect zoals besproken in sectie \ref{dilatatie}, 
en de waarde van deze constante
laat zich dan ook aflezen van vergelijking (\ref{eq:dilat}): 
het is precies de lorentzfactor $\gamma$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/u.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Ruimtetijddiagram in een specifiek lorentzframe dat de 3D ruimte
toont op $t=0$ de viersnelheid $\vec U$ van een deeltje dat deze
3D ruimte passeert (op $t=0$), en twee 3D vectoren die in deze 3D ruimte
liggen: het ruimtelijke deel van de viersnelheid $\vec U$ en de gewone
snelheid $\vec v$ van het deeltje.}
\label{fig:u}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Het tweede verschil met de wet van Newton is het feit dat er hier afgeleiden
worden genomen naar de eigentijd $\tau$, waar in Newtons theorie afgeleiden
werden genomen naar de tijd $t$. Dit maakt van deze nieuwe afgeleide een
soort `gemengd-object': de gemeten afstanden $x$ worden genomen zoals
gemeten door een willekeurige waarnemer ten opzichte van wie het deeltje
beweegt, waar de tijd gemeten wordt door de waarnemer die stilstaat ten opzichte
van het bewegende deeltje. Dit object wordt de \emph{viersnelheid} $U^\mu(t)$
genoemd. Er geldt $\vec U = d\vec x /d\tau$ en voor de componenten geldt
$U^\alpha = {dx^\alpha / d\tau}$. Dit betekent voor de gewone snelheid
dat $v^j \equiv {dx^j \over dt} = {dx^j / d\tau \over dt / d\tau} = {U^j \over U^0}$.
Deze relatie in combinatie met de normering van $\vec U$, 
$\vec U^2 = g_{\alpha \beta}U^\alpha U^\beta = -(U^0)^2 +\delta_{ij}U^iU^j = -1$,
betekent dat de componenten van de viersnelheid van de vorm
$U^0 = \gamma , U^i = \gamma v^i,~~{\rm met}~~
\gamma = 1 / (1-\delta_{ij}v^iv^j)^{1\over2}$ zijn. We vatten een en ander nog
een samen in Fig. \ref{fig:u}. Het is nuttig om $v^j$ te zien als de
componenten van een 3D vector $\vec v$, de gewone snelheid, die leeft in
de 3D euclidische ruimte $t={\rm constant}$ van het gekozen lorentzstelsel.
Deze 3D ruimte is niet goed gedefinieerd totdat er een lorentzstelsel gekozen
is, en daarom hangt het bestaan van $\vec v$ af van de specifieke keuze.
Op het moment dat een lorentzframe gekozen is, kunnen we $\vec v$ zien
als een co\"ordinaten-onafhankelijk object. 

\medskip
\noindent
Teneinde weer contact te maken met de klassieke mechanica, schrijven we de viersnelheid
om naar een meer natuurlijk object (te weten: afstand en tijd
gemeten door een en dezelfde waarnemer). Dit kunnen we doen door te beseffen
dat de verlopen tijd gemeten door het deeltje, en die door een andere waarnemer,
met elkaar gerelateerd zijn via de formule van tijddilatatie:
$d\tau = \gamma^{-1} dt$. Op deze manier is de gevonden wet uit te drukken als
\begin{equation}
m \gamma^2 \frac{d\vec{x}^2}{dt^2} = 0.
\label{eq:rela1}
\end{equation}
De wet van Newton kan nu gezien worden als een speciaal geval van deze nieuwe
wet. Als we aannemen dat het deeltje veel langzamer beweegt dan het licht ten
opzichte van de waarnemer in wiens tijdsduur en afstand we nu alles hebben
uitgedrukt (oftewel we nemen aan dat $v \ll c$), dan kan
vergelijking (\ref{eq:rela1}) benaderd worden door
\begin{equation}
m \gamma^2 \frac{d\vec{x}^2}{dt^2} \equiv  \frac{m}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}
\frac{d\vec{x}^2}{dt^2}
\approx m\left(1+\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)\frac{d\vec{x}^2}{dt^2}
\approx m \frac{d\vec{x}^2}{dt^2} = 0,
\label{eq:relast}
\end{equation}
waar gebruik is gemaakt van de wiskundige regel $(1+x)^m \approx 1+mx$, welke
geldt als $x \ll 1$. Dit is precies de wet van Newton! Zo is nu aangetoond dat
de wet van Newton slechts een speciaal geval is van een meer algemene
bewegingswet, vergelijking (\ref{eq:newt})! 
Dit geeft ons vertrouwen dat onze keuze voor de lagrangiaan
waarschijnlijk de juiste was: hij voldoet aan het relativiteitsprincipe, en
geeft ons bovendien onze oude vertrouwde bewegingswetten terug.

\medskip
\noindent
Met dit in het achterhoofd kunnen we nu verder gaan met het afleiden
van wetten betreffende de energie en impuls. Zoals besproken in sectie \ref{lagrange},
volgt een impuls uit een gegeven lagrangiaan via vergelijking (\ref{eq:impulsL}). 
Toegepast op de
relativistische lagrangiaan levert dit voor de impuls van het vrije deeltje
\begin{equation}
p_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \frac{dx^\alpha}{d\tau}}
= m \frac{dx^\nu}{d\tau} \eta_{\alpha \nu},
\end{equation}
en na beide kanten te contraheren met de inverse $\eta^{\mu \alpha}$ van
de minkowksimetriek wordt dit
\begin{equation}
p^\mu = m \frac{d x^\mu}{d\tau} = m U^\mu .
\end{equation}
Wederom lijkt dit erg op de impuls zoals bekend uit de mechanica van Newton:
een massa vermenigvuldigd met een snelheid. Echter, de snelheid is hier nu weer de
viersnelheid, en deze nieuwe impuls wordt dan ook de \emph{vierimpuls} genoemd.
Vergeleken met de uitdrukking voor de newtoniaanse variant, 
vergelijking (\ref{eq:impulsL1}), gaan weer
twee verschillen op: ten eerste is er een nul-component aanwezig, en ten
tweede is het weer een `gemengd-object': afgelegde afstand gemeten door een
willekeurige waarnemer, en tijdsduur gemeten door een waarnemer die stilstaat
ten opzichte van het deeltje. Het tweede verschil kunnen we weer een plaats
geven door de relatie tussen eigentijd en tijd te gebruiken. Dit levert
\begin{equation}
p^\alpha = m \gamma \frac{dx^\alpha}{dt},
\end{equation}
en via dezelfde benaderingsmethode als gebruikt in vergelijking (\ref{eq:relast})
volgt direct dat
de $i$-component ($i=1,2,3$) hiervan reduceert tot de impuls zoals bekend uit de
mechanica van Newton, wanneer het deeltje veel langzamer beweegt
dan het licht. De $i=1,2,3$ componenten van dit object worden daarom opgevat als
de relativistische uitdrukkingen van de impuls. Wat de nul-component
betreft, deze moet nog een interpretatie krijgen. Deze component is
\begin{equation}
p^0 = m c \gamma.
\end{equation}
Via een dimensie-analyse is meteen te zien dat het de dimensie van een
energie heeft, en dit wekt de suggestie dat het gaat om de energie van
het vrije deeltje. De vraag dringt zich dan al snel op: op welke manier
is deze uitdrukking gerelateerd aan de newtoniaanse uitdrukking voor de
energie van een vrij deeltje, $K = \frac{1}{2}mv^2$?  Ook hier biedt de
benadering van lage snelheden uitkomst. Er geldt
\begin{equation}
cp^0 = mc^2 \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}}
\approx mc^2 \left( 1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2 \right)
= mc^2+K,
\label{eq:energie}
\end{equation}
waar de uitdrukking voor de newtoniaanse energie $K$ van een vrij deeltje
is ingevuld. Hier is nu gevolgd dat, in de benadering van lage snelheden,
de nul-component van de relativistische impuls reduceert tot de newtoniaanse
energie plus een extra term. Afgezien van deze constante term, is de
nul-component bij lage snelheden inderdaad gelijk aan de energie van het
deeltje zoals voorspeld door de newtoniaanse mechanica. Het ligt dan ook
voor de hand om aan te nemen dat we $p^0$ ook bij hoge snelheden mogen
opvatten als de energie van het deeltje. Wat de constante term betreft
kan de vraag worden gesteld hoe fysisch interessant deze is. Immers, in
de natuurkunde kennen alleen energie\emph{verschillen} een meetbare
betekenis\footnote{Denk bijvoorbeeld aan de relatie tussen een kracht
$F$ in de $x$-richting en de potenti\"ele energie $V$: $F = -\frac{dV}{dx}$,
oftewel een meetbare grootheid is uitgedrukt als een verschil in energie.},
en dus zal elke extra constante term toegevoegd aan de energie van een
systeem uit de berekening vallen wanneer een energieverschil opgeschreven
wordt. Toch heeft de constante term $m$ hier wel degelijk een fysische
betekenis: het is namelijk niet zomaar een willekeurige constante, het
is een constante die een eigenschap van het deeltje bevat (de massa)!
Deze energie is ook aanwezig wanneer het deeltje geen bewegingsenergie
heeft voor een gegeven waarnemer, $K=0$; we spreken dan ook over \emph{rust-energie},
en deze is gelijk aan
\begin{equation}
E = mc^2.
\end{equation}
Dit is wellicht de bekendste formule uit de natuurkunde. Hij zegt dat
elke massa een energie met zich meedraagt gelijk aan deze massa maal $c^2$,
en dat dit energie is die zich niet laat wegtransformeren door naar een
ander inertiaalstelsel te gaan. Het is daarom een fundamentele hoeveelheid
energie voor een gegeven massa $m$: voor \emph{alle} waarnemers geldt dat
een massa op zijn minst deze hoeveelheid energie met zich meedraagt.

\medskip
\noindent
Resumerend is nu gevolgd dat onze keuze voor de lagrangiaan ons een
uitdrukking geeft voor de impuls, waarvan de $i$-componenten netjes reduceren
tot de impuls zoals die in de newtoniaanse mechanica bekend was; de
nul-component van de vierimpuls blijkt overeen te komen met de energie
van het deeltje. We schrijven dan ook
\begin{equation}
p^\mu = \left( 
\begin{array}{c}
\frac{E}{c} \\
p_x \\
p_y \\
p_z \\
\end{array}
\right),
\label{eq:vierimpuls}
\end{equation}
waarin geldt
\begin{equation}
E = \gamma m c^2, \quad \quad p^i = \gamma m v^i.
\end{equation}
De naam is niet de enige overeenkomst tussen de vierimpuls en viersnelheid: beide
transformeren op dezelfde manier tussen inertiaalsystemen. Met name de 
lorentztransformaties werken op deze objecten op dezelfde manier; dit betekent dat
twee waarnemers die zich in de $x$-richting met snelheid $v$ bewegen ten opzichte
van elkaar, verschillende energie ($E$ en $E'$) en impuls ($p_x$ en $p'_x$)
meten van een en hetzelfde deeltje, en dat deze zich tot elkaar verhouden als
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
\frac{E'}{c} &=& \gamma\left(\frac{E}{c}-\left(\frac{v}{c}\right) p_x \right) \\
p'_x &=& \gamma \left( p_x-v\frac{E}{c^2} \right) \\
p'_y &=& p_y \\
p'_z &=& p_z \\
\end{array}
\right\}
\rightarrow
\left(
\begin{array}{c}
p^{0^\prime} \\
p^{1^\prime} \\
p^{2^\prime} \\
p^{3^\prime} \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cccc}
\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\
-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
p^0 \\
p^1 \\
p^2 \\
p^3 \\
\end{array}
\right) \rightarrow
p^{\mu^\prime} = \Lambda_{~\nu}^{\mu^\prime} p^\nu 
\label{eq:plorentzi}
\end{equation}
Bovendien kunnen we de contractie $p_\mu p^\mu$ van de vierimpuls met zichzelf nemen,
omdat we al gezien hadden dat de contractie van een viervector met zichzelf
altijd een invariant oplevert. Het is dan eenvoudig om aan te tonen dat
deze invariant gelijk is, op een factor $-c^2$ na, aan de massa van het
deeltje in het kwadraat. Er geldt
\begin{eqnarray}
\eta_{\mu \nu} p^\mu p^\nu &=& -\left(\frac{E}{c}\right)^2+p^2 \nonumber \\
&=& -m^2 c^2 \gamma^2+m^2 v^2 \gamma^2 \nonumber \\
&=& -m^2 c^2 \gamma^2\left( 1-\left(\frac{v}{c}\right)^2 \right) = -m^2 c^2.
\end{eqnarray}
Dit leidt dan tot de volgende uitdrukking voor de relatie tussen de energie
en de impuls,
\begin{equation}
E^2 = p^2c^2 + m^2c^4.
\end{equation}
Deze is bijna geheel\footnote{Er is een subtiel maar belangrijk verschil: deze
uitdrukking geeft niet de energie van een deeltje, maar het \emph{kwadraat} van
de energie; er moet dus nog een wortel worden genomen! Nu heeft een kwadratische
vergelijking altijd twee oplossingen: een met een plusteken, en een met een minteken.
De laatste oplossing duidt op deeltjes met een negatieve energie, iets wat 
vergelijking (\ref{eq:energie}) nog
niet deed! Het correct interpreteren van deze nieuwe oplossingen leidde Paul Dirac
tot het voorspellen van het bestaan van antimaterie.} equivalent aan de eerder
gevonden uitdrukking voor de relativistische energie, 
vergelijking (\ref{eq:energie}), maar is in de
praktijk soms te prefereren omdat deze ons in staat stelt de energie van een deeltje
uit te rekenen zonder de snelheid $v$ van het deeltje te hoeven kennen.
Met name in de deeltjesfysica, waar men vaak de \emph{impulsen} van de deeltjes
beter kan meten dan louter hun snelheid, wordt deze formule veel gebruikt.

\medskip
\noindent
Het belang van energie\"en en impulsen in de relativiteitstheorie is dezelfde
als die in de Newtoniaanse mechanica. Daar is het een experimenteel gegeven
dat energie en impuls behouden grootheden zijn; 
dit levert enorme voordelen op tijdens het berekenen van mechanische
processen. Het blijkt experimenteel dat dit nog steeds geldt voor onze nieuwe
uitdrukkingen voor de energie en impuls: \emph{elk experiment toont aan dat
deze twee grootheden niet veranderen tijdens fysische processen.} Dit maakt
het uitermate handig om met energie en impuls te werken wanneer een
relativistisch probleem wordt beschouwd. Het is hier nu van belang om het
verschil tussen `behouden' en `invariant' te onderstrepen: een grootheid is
\emph{behouden} wanneer geldt dat zijn waarde voor en na een proces dezelfde
is; een grootheid is \emph{invariant} als geldt dat zijn waarde voor alle
waarnemers in verschillende inertiaalstelsels dezelfde is. Enkele voorbeelden:
de lichtsnelheid $c$ is een invariant en is behouden; de massa van een deeltje
is invariant maar in het algemeen niet behouden; de energie van een deeltje is
behouden maar niet invariant; snelheden zijn in het algemeen zowel niet behouden
noch invariant.

\medskip
\noindent
Nog enkele woorden over snelheden. Zoals al besproken, volgt uit de
minkowskimetriek de snelheidsregel van Einstein, waaruit we hebben laten volgen
dat het onmogelijk is een deeltje sneller te zien gaan dan het licht als het
voor een enkele waarnemer niet sneller gaat dan het licht. De vraag \emph{of}
er een waarnemer bestaat voor wie het deeltje sneller gaat dan het licht is
nog niet aan de orde gekomen. Met de uitdrukking voor de relativistische
energie kan die vraag nu definitief worden beantwoord, en wel als volgt.
De uitdrukking gegeven in vergelijking (\ref{eq:energie})
voor de relativistische energie vertelt ons dat er in
een deeltje dat zich ten opzichte van ons met snelheid $v$ beweegt, een
energie $E$ verscholen is. Omgekeerd kan de relatie ook gelezen worden
als de hoeveelheid energie benodigd om een deeltje vanuit stilstand tot
deze snelheid te versnellen. Als wij nu een deeltje naar de lichtsnelheid
willen versnellen, dan geldt $v = c$ en wordt de noemer van vergelijking (\ref{eq:energie})
gelijk aan nul: de benodigde energie $E$ wordt oneindig groot. Dit is 
een andere manier van zeggen dat het onmogelijk is een deeltje de
lichtsnelheid te geven! Hiermee is dan ook aangetoond dat deeltjes voor
deze waarnemer niet sneller kunnen gaan dan de lichtsnelheid; via 
Einsteins snelheidsregel volgt dan direct dat geen enkele andere waarnemer
het deeltje sneller dan het licht kan zien bewegen.

\medskip
\noindent
Er is een uitzondering op deze regel. Om tot de energie $E$ van $\infty$
te komen, hebben we opgemerkt dat een deeltje met snelheid $v = c$ de
noemer in vergelijking (\ref{eq:energie})
gelijkmaakt aan nul, en delen door nul geeft oneindig.
Dit is inderdaad waar, \emph{mits de teller niet gelijk is aan nul}. Als de
teller van een breuk \emph{ook} gelijk is aan nul, levert delen door nul niet
altijd meer oneindig op. De waarde van de uitkomst is dan onbepaald:
afhankelijk van de context kan er iets eindigs uitkomen. Hier staat in de
teller van de breuk de massa van het deeltje, dus al met al ziet het ernaar
uit dat er wel degelijk deeltjes zouden kunnen bestaan die met precies de
lichtsnelheid bewegen \emph{mits de massa van zulke deeltjes maar gelijk is
aan nul}\footnote{Een omgekeerde conclusie kan ook worden getrokken uit 
vergelijking (\ref{eq:energie}):
als een deeltje een massa gelijk aan nul zou hebben maar niet zou bewegen met
de lichtsnelheid, zou alleen de teller nul zijn, en daarmee de hele uitdrukking
voor de energie. Deeltjes zonder energie bestaan niet (alles heeft energie),
en dus volgt nu ook dat als een deeltje geen massa heeft, het noodzakelijkerwijs
met de lichtsnelheid moet bewegen.}. Zulke deeltjes kennen we:
fotonen\footnote{Er zijn nog meer massaloze deeltjes die met de lichtsnelheid bewegen:
gluonen en gravitonen. Voor het gemak spreken we alleen over de fotonen,
maar impliciet bedoelen we hier alle massaloze deeltjes mee.} gaan met de
lichtsnelheid, en deze hebben inderdaad een massa gelijk aan nul. Dit volgt uit
alle metingen, maar het is interessant om te zien dat dit resultaat ook \emph{volgt}
uit puur theoretische overwegingen. De impuls van een foton heeft de
waarde $E = \vert \vec p \vert c$. Zoals elke keer weer blijkt dit een direct
gevolg te zijn van de minkowskimetriek en het relativiteitsprincipe!

\medskip
\noindent
De vraag dient zich dan aan wat de waarde is van de energie van een foton: wat is hier
de uitkomst van nul gedeeld door nul? De uitdrukking voor de relativistische
energie doet geen uitspraak. Dit betekent niet dat er geen antwoord bestaat voor
de energie van een massaloos deeltje, maar alleen dat deze waarde niet door 
vergelijking (\ref{eq:energie})
of door de relativiteitstheorie bepaald kan worden, en dat een andere formule
nodig is. In het geval van een foton is de formule bekend uit de quantummechanica,
\begin{equation}
E = h f
\end{equation}
waar $f$ de frequentie (kleur) van het licht is, en $h$ de constante van Planck.
De ontdekking van deze formule door Max Planck in 1900, was de start van de studie
van de quantummechanica. Samen met de ontdekking van de speciale relativiteitstheorie
leidde de ontwikkeling van de quantummechanica tot een gehele herschrijving van
de grondslagen van de natuurkunde.

\subsection{De extra traagheid van druk}

We hebben gezien hoe SRT ge\"{\i}soleerde lichamen be\"{\i}nvloedt als ze sneller
bewegen: klokken (lopen trager), afstanden (worden korter), versnelde deeltjes
(hun energie neemt toe), etc. De SRT heeft echter ook gevolgen voor een verzameling
deeltjes, een gas. Met name speelt de gasdruk een belangrijke rol in de traagheid
van het gas. We zullen ontdekken dat hoe hoger de gasdruk, hoe moeilijker het is
om het gas te versnellen (de traagheid neemt toe). Dit heeft belangrijke gevolgen
voor de ART. Als we neutronensterren bestuderen zullen we ontdekken dat dit effect
ervoor zorgt dat het neutronengas een groter gewicht heeft. Dit zal ertoe leiden
dat de ster een grotere gasdruk krijgt, hetgeen ervoor zorgt dat het gewicht toeneemt,
etc. Deze druk-terugkoppeling leidt er uiteindelijk toe dat het onmogelijk wordt
voor de ster om zichzelf in stand te houden: de traagheid van de gasdruk leidt
de ineenstorting tot een zwart gat in.

\medskip
\noindent
De traagheid van de gasdruk is terug te leiden op de lorentzcontractie. We bekijken
het effect alleen voor kleine snelheden, waar SRT correcties relatief klein zijn.
We beschouwen een doos met volume $V$ die gevuld is met een uniform gas met
massadichtheid $\rho$ en gasdruk $P$. Stel dat we een kleine kracht uitoefenen op
de doos, waardoor we haar versnellen tot een snelheid $v$, die klein is ten opzichte
van $c$. De vraag is nu: hoeveel energie hebben we moeten leveren om het gas een
snelheid $v$ te geven? Ter vereenvoudiging spreken we alleen over het gas en niet
over de doos (astronomische objecten als sterren zitten niet in een doos ...).

\medskip
\noindent
Als het gas een snelheid $v$ heeft, dan heeft het kinetische energie. Men zou dus
kunnen verwachten dat de totale energie die we hebben moeten toevoegen aan de doos
om het gas te versnellen gelijk is aan deze kinetische energie:
${1 \over 2} mv^2 = {1 \over 2} \rho V v^2$. Dit is echter niet het hele verhaal,
omdat de lorentzcontractie de lengte van de doos kleiner heeft gemaakt en daarmee
het volume veranderd heeft. De doos kleiner maken, terwijl er een gas of vloeistof
met druk $P$ in zit, betekent het verrichten van arbeid. Deze arbeid is
gelijk aan $\vec F \cdot d\vec s = -P\Delta V$, met $\Delta V$ de volumeverandering.
Het minteken is nodig omdat de volumeverandering ($\Delta V$)negatief is, terwijl de
verrichte arbeid positief is. Deze extra energie vertegenwoordigt de extra
traagheid van het gas: het is moeilijker om het gas te versnellen, omdat niet
alleen arbeid verricht dient te worden om de bestaande energie te versnellen,
maar ook om het gas te comprimeren, zoals de lorentzcontractie vereist.

\medskip
\noindent
De lengteverandering door de lorentzcontractie is gelijk aan
\begin{equation}
\Delta L = L \sqrt{1 - {v \over c}^2} - L 
\approx -{1 \over 2}{v^2 \over c^2}L.
\end{equation}
De extra energie die nodig is, is gelijk aan ${1 \over 2}{v^2 \over c^2}PV$.
Deze energie verdwijnt niet, maar gaat naar de interne energie van het gas
(op welke wijze hangt af van het type gasmolecuul). Een deel van de energie
wordt gebruikt om het gas te verwarmen (de random kinetische energie van de
moleculen). De totale energie die nodig is om het gas te versnellen kunnen
we schrijven als
\begin{equation}
E = {1 \over 2}mv^2 - P\Delta V = {1 \over 2}\rho Vv^2 +{1 \over 2}{v^2 \over c^2}PV
={1 \over 2} \left( \rho + {P \over c^2} \right) v^2 V.
\label{eq:etot}
\end{equation}
We zien dat de energie die nodig is om het gas te versnellen evenredig is
met de som $\rho + {P \over c^2}$. Dus voor een bepaalde uitgeoefende kracht
zal de doos minder versnellen dan we zouden verwachten op basis van alleen
haar massa, omdat een deel van de energie gaat naar de interne energie van
het gas. We zien dus dat de traagheid groter is dan alleen haar rustmassa.
We noemen de grootheid $\rho + {P \over c^2}$ de traagheid van de massadichtheid
van het gas.

\subsection{De energie-impuls tensor}

Vergelijking (\ref{eq:etot}) geeft de energie die nodig is om een gas te
versnellen. De energie is echter afhankelijk van het referentiestelsel, want
het is de 0-component van de vierimpuls gegeven
door vergelijking (\ref{eq:vierimpuls}). Alhoewel deze vierimpuls een
volledige beschrijving geeft van de energie en impuls van een individueel
deeltje, zullen we in het vervolg vaak uitgebreide systemen bespreken die
zijn samengesteld uit grote aantallen deeltjes. In plaats van het toekennen
van vierimpulsen aan ieder individueel deeltje, kiezen we ervoor om het
hele systeem als een vloeistof te beschrijven - een continuum dat gekarakteriseerd
wordt door macroscopische grootheden als druk, dichtheid, entropie en viscositeit.
In het algemeen heeft deze vloeistof een bepaald viersnelheidveld.

\medskip
\noindent
Een enkele impuls viervectorveld is onvoldoende om de energie en impuls
van de vloeistof te beschrijven. We defini\"eren een energie-impuls tensor
(ook wel de stress tensor genoemd) met componenten $T^{\mu \nu}$. Deze
symmetrische 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor vertelt ons alles wat we moeten weten van de energie-achtige eigenschappen
van een systeem: energiedichtheid, druk, spanning, etc. Een algemene definitie
van $T^{\mu \nu}$ is de flux van vierimpuls $p^\mu$ door een oppervlak met
constante $x^\nu$. Beschouw bijvoorbeeld een oneindig klein vloeistofelement
in zijn rustsysteem. Dan is $T^{00}$ de flux van $p^0$ (energie) in de
$x^0$ (tijd) richting: het is de energiedichtheid $\rho$ in het rustsysteem.
Op dezelfde manier zien we dat in dit frame $T^{0i} = T^{i0}$ de impulsdichtheid
is. De ruimtelijke componenten $T^{ij}$ zijn de impulsflux, ofwel de
stress, en vertegenwoordigen de krachten tussen aangrenzende volume elementen.
Een diagonale term als $T^{11}$ geeft de $x-$component van de kracht die
per eenheid oppervlakte door het element wordt uitgeoefend in de
$x-$richting. We interpreteren dit als de $x-$component van de druk ($P_x$).
De druk heeft drie dergelijke componenten, $P_i = T^{ii}$, in het
rustsysteem van de vloeistof.

\medskip
\noindent
We zullen het bovenstaande concreter maken door `stof' (engels: dust) als
voorbeeld te nemen. Kosmologen hebben de neiging om materie als synoniem
voor stof te gebruiken. We defini\"eren stof in de vlakke ruimtetijd
als een verzameling deeltjes die in rust zijn ten opzichte van elkaar.
Het viervector snelheidsveld $U^\mu (x)$ is de constante viersnelheid
van de individuele deeltjes. De componenten zijn hetzelfde op elk
punt. We defini\"eren de flux viervector als
\begin{equation}
N^\mu = nU^\mu,
\end{equation}
met $n$ de deeltjesdichtheid gemeten in het rustsysteem. Dan is $N^0$
de deeltjesdichtheid gemeten in een ander systeem, terwijl $N^i$ de
deeltjesflux is in de $x^i$-richting. Verder nemen we aan dat elk deeltje
massa $m$ heeft. In het rustsysteem wordt de energiedichtheid van de
stof gegeven door
\begin{equation}
\rho = nm.
\end{equation}
Per definitie specificeert de energiedichtheid de stof volledig.
Echter $\rho c^2$ meet de energiedichtheid in het rustsysteem. Hoe
zit het met de andere systemen? Merk op dat zowel $n$ als $m$
de $0-$componenten zijn van viervectoren in hun rustsysteem,
namelijk $N^\mu = (n,0,0,0)$ en $p^\mu = mU^\mu = (mc,0,0,0)$. We zien dus
dat $\rho c^2$ de $\mu = 0,~\nu = 0$ component is van de tensor
$p \otimes N$ gemeten in het rustsysteem. Dit leidt tot de
volgende definitie van de energie-impuls tensor voor stof,
\begin{equation}
T_{\rm stof}^{\mu \nu} = p^\mu N^\nu = mnU^\mu U^\nu = \rho U^\mu U^\nu ,
\label{eq:tmunustof}
\end{equation}
met $\rho c^2$ de energiedichtheid in het rustsysteem. We zien dat
de druk van het stof in elke richting gelijk is aan nul. Dat klopt
ook wel, omdat wij stof gedefinieerd hebben als een verzameling
deeltjes zonder random bewegingen.

\medskip
\noindent
Stof is onvoldoende voor een algemene beschrijving van belangrijke
fenomenen in de ART. Hiervoor is het concept van een `perfecte vloeistof'
nodig. Een perfecte vloeistof kan volledig worden gespecificeerd
door twee grootheden: de energiedichtheid $\rho$ in het rustsysteem,
en een isotrope druk $P$ in het rustsysteem. De parameter $P$ geeft
de druk in elke richting. Een consequentie van de isotropie is dat
$T^{\mu \nu}$ diagonaal is in het rustsysteem. Verder moeten de
diagonale componenten allemaal gelijk zijn: $T^{11}=T^{22}=T^{33}$.
Er zijn dus slechts twee onafhankelijke parameters en dat is de
energiedichtheid $\rho = T^{00}$ en de druk $P = T^{ii}$. De
energie-impuls tensor van een perfecte vloeistof heeft daarmee
de volgende vorm in het rustsysteem,
\begin{equation}
T^{\mu \nu} = \left(
\begin{array}{cccc}
\rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & P & 0 & 0 \\
0 & 0 & P & 0 \\
0 & 0 & 0 & P \\
\end{array}
\right) .
\label{eq:tmunurust}
\end{equation}
We willen uiteraard een formule die geldig is in elk systeem,
een tensorvergelijking. Voor stof hadden we $T^{\mu \nu} = \rho U^\mu U^\nu$,
dus we gokken op $(\rho + P/c^2 )U^\mu U^\nu$. Dit geeft
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
\rho c^2 + P & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\end{equation}
en we zien dat dat niet correct is. We dienen er de volgende bijdrage
bij op te tellen,
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
-P & 0 & 0 & 0 \\
0 & P & 0 & 0 \\
0 & 0 & P & 0 \\
0 & 0 & 0 & P \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
hetgeen we kunnen schrijven als $P g^{\mu \nu}$, met $g^{\mu \nu} = \eta^{\mu \nu}$
in de SRT. Hiermee vinden we voor de algemene vorm van de energie-impuls tensor
voor een perfecte vloeistof
\begin{equation}
T^{\mu \nu} = (\rho + P/c^2) U^\mu U^\nu + Pg^{\mu \nu} .
\label{eq:tmunu}
\end{equation}
Gegeven dat vergelijking (\ref{eq:tmunurust}) de vorm van $T^{\mu \nu}$ in
het rustsysteem is, en dat vergelijking (\ref{eq:tmunu}) een tensorvergelijking
is die in het rustsysteem reduceert tot vergelijking (\ref{eq:tmunurust}), weten
we dat we met vergelijking (\ref{eq:tmunu}) de correcte uitdrukking voor
elk co\"ordinatenstelsel hebben gevonden.

\medskip
\noindent
Het concept van een perfecte vloeistof is algemeen genoeg om een grote
verscheidenheid van vormen van materie te beschrijven. We specificeren
de toestandsvergelijking om de evolutie van een dergelijke vloeistof te
bepalen. De toestandsvergelijking relateert de druk aan de energiedichtheid,
$P = P(\rho )$. Stof is een speciaal geval waarvoor $P=0$, terwijl een
isotroop gas bestaande uit fotonen $P = {1\over 3}\rho$ heeft.
Een meer exotisch voorbeeld is de energie van het vacuum, waarvoor de
energie-impuls tensor evenredig is met de metriek, 
$T^{\mu \nu} = -\rho_{\rm vacuum} g^{\mu \nu}$. Het idee van een energiedichtheid
van het vacuum is zinloos in de SRT, omdat daar de absolute schaal
van de energie niet relevant is, alleen energieverschillen tussen toestanden.
In de ART koppelt alle energie echter met gravitatie (en veroorzaakt kromming
van ruimtetijd), en wordt de mogelijkheid van het bestaan van vacuumenergie
een belangrijke beschouwing.

\medskip
\noindent
Behalve dat $T^{\mu \nu}$ symmetrisch is, heeft hij de belangrijke eigenschap
dat hij behouden is. Energie- en impulsbehoud worden uitgedrukt door het feit dat
de divergentie gelijk is aan nul,
\begin{equation}
\partial_\mu T^{\mu \nu} = 0.
\end{equation}
Bovenstaande uitdrukking is een verzameling van vier vergelijkingen, een voor
elke waarde van $\nu$. De uitdrukking met $\nu = 0$ correspondeert met
energiebehoud, terwijl $\partial_\mu T^{\mu k} = 0$ met $k=1,2,3$ behoud
van de $k-$de component van de impuls uitdrukt. Laten we dit eens toepassen
op de perfecte vloeistof. We vinden dan
\begin{equation}
\partial_\mu T^{\mu \nu} = \partial_\mu (\rho +P/c^2)U^\mu U^\nu +
(\rho + P/c^2)(U^\nu \partial_\mu U^\mu + U^\mu \partial_\mu U^\nu )
+\partial^\nu P .
\label{eq:appie}
\end{equation}
Om te analyseren wat deze uitdrukking betekent, is het nuttig om afzonderlijk
te beschouwen wat er gebeurt als we een en ander projecteren langs en loodrecht
op het viersnelheidsveld $U^\mu$. Allereerst merken we
op dat de normalisatie $U_\nu U^\nu = -1$ de volgende identiteit levert,
\begin{equation}
U_\nu \partial_\mu U^\nu = {1 \over 2} \partial_\mu (U_\nu U^\nu ) = 0.
\end{equation}
Projecteren komt neer op contraheren met $U_\nu$ en we vinden
\begin{equation}
U_\nu \partial_\mu T^{\mu \nu} = -\partial_\mu (\rho U^\mu )
-P\partial_\mu U^\mu .
\end{equation}
Als we dit gelijkstellen aan nul vinden we de relativistische vergelijking
voor energiebehoud van een perfecte vloeistof. Het ziet er vertrouwder uit
in de niet-relativistische limiet, waar geldt
\begin{equation}
U^\mu = (1,v^i),~~~~\vert v^i \vert \ll 1,~~~~P \ll \rho .
\end{equation}
De laatste vergelijking is aannemelijk, omdat druk alleen van de random
bewegingen van de individuele deeltjes komt, en in deze limiet zijn deze
bewegingen (net als de beweging van de bulk met $U^\mu$) klein. We
vinden dus in niet-relativistische taal
\begin{equation}
\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho \vec v ) = 0,
\end{equation}
hetgeen de continu\"{\i}teitsvergelijking is voor de energiedichtheid.

\medskip
\noindent
Tenslotte gaan we naar het deel van vergelijking (\ref{eq:appie})
dat loodrecht staat op de viersnelheid. Om een vector loodrecht op $U^\mu$
te projecteren, moeten we die vermenigvuldigen met de projectie tensor
\begin{equation}
P_{~\nu}^\sigma = \delta_\nu^\sigma +U^\sigma U_\nu .
\end{equation}
We kunnen controleren dat bovenstaande projectie tensor zijn werk doet
door een vector $V_\parallel^\nu$ parallel aan $U^\mu$ en een andere vector
$W_\perp^\mu$ loodrecht op $U^\mu$ te nemen. We vinden dan
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
P_{~\nu}^\sigma V_\parallel^\nu & = & 0, \\
P_{~\nu}^\sigma W_\perp^\nu & = & W_\perp^\sigma .\\
\end{array}
\end{equation}
Toepassen op $\partial_\mu T^{\mu \nu}$ levert
\begin{equation}
P_{~\nu}^\sigma \partial_\mu T^{\mu \nu} = (\rho + P/c^2)U^\mu \partial_\mu U^\sigma
+ \partial^\sigma P + U^\sigma U^\mu \partial_\mu P .
\end{equation}
We interpreteren deze vergelijking in 
de niet-relativistische limiet. Als we de ruimtelijke componenten
gelijkstellen aan nul, vinden we
\begin{equation}
\rho \left[ \partial_t \vec v + ( \vec v \cdot \nabla ) \vec v \right]
+ \nabla P + \vec v( \partial_t P + \vec v \cdot \nabla P ) = 0.
\end{equation}
Merk op dat de laatste paar termen afgeleiden hebben van $P$ keer
de driesnelheid $\vec v$, waarvan we aannemen dat die klein is. Deze
termen zijn verwaarloosbaar ten opzichte van de $\nabla P$ term. We
houden dan over
\begin{equation}
\rho \left[ \partial_t \vec v + ( \vec v \cdot \nabla ) \vec v \right] = -\nabla P,
\end{equation}
en dit is de vergelijking van Euler uit de vloeistofmechanica.

\vfill
\eject
$~$
\vfill
\eject
