\section{RUIMTETIJD ALS DIFFERENTIEERBARE VARI\"ETEIT}\label{ruimtetijd}

De natuurkunde bestudeert materi\" ele systemen en de arena waarin
het fysisch gebeuren plaatsvindt is de ruimte en tijd. Ruimte en tijd
zijn fundamentele begrippen in de fysica. In de geschiedenis van
de natuurkunde zijn ruwweg vier concepties met betrekking tot ruimte
en tijd te onderscheiden.

\subsection{Ruimte en tijd volgens Aristoteles}

Dit beeld komt overeen met het idee dat de `gemiddelde mens' heeft
van ruimte en tijd. De ruimte is drie-dimensionaal en euclidisch
($E^3$) en de tijd is \' e\' en-dimensionaal en euclidisch ($E^1$).
De bewering dat een object in rust is heeft in dit beeld van ruimte
en tijd objectieve betekenis. Ruimtetijd is het cartesische product
$E^1 \times E^3$. Een punt in ruimtetijd heeft co\"ordinaten $(t,x,y,z)$
en het stelt dus een gebeurtenis op een scherp bepaalde tijd $t$ en met
de precies bepaalde plaats $(x,y,z)$ voor. Een dergelijke gebeurtenis
noemen we een {\sl puntgebeurtenis}. Ruimtetijd is dus de verzameling
van alle mogelijke puntgebeurtenissen. Voor twee puntgebeurtenissen
$(t_1, \vec r_1)$ en $(t_2, \vec r_2)$ kunnen we spreken van de {\sl
afstand} $\vert \vec r_1 - \vec r_2 \vert$ en over het {\sl tijdverschil}
$t_1 - t_2$ van beide puntgebeurtenissen. Afstand en tijdverschil
hebben absolute betekenis.

\subsection{Ruimtetijd volgens Galile\"{\i}}

Dit is het beeld van ruimte en tijd zoals dit in de klassieke mechanica
van Newton voorkomt. Belangrijk hierin is het relativiteitsprincipe
van Galile\"{\i}. Dit principe wordt als volgt geformuleerd: er bestaan
inertiaalsystemen; inertiaalsystemen bewegen met constante snelheid
$\vec v$ ten opzichte van elkaar en verschillende inertiaalsystemen
zijn equivalent met betrekking tot de wetten van de klassieke mechanica. We
herinneren nog even aan de definitie van een inertiaalsysteem. Een
inertiaalsysteem is een referentiesysteem waarin ieder vrij deeltje
eenparig en rechtlijnig beweegt. Het begrip rust verliest hier zijn
absolute betekenis. Immers als een deeltje in rust is in \' e\' en
inertiaalsysteem, is het niet in rust ten opzichte van een
inertiaalsysteem dat beweegt ten opzichte van het eerste inertiaalsysteem.
De afstand tussen twee puntgebeurtenissen heeft geen absolute
betekenis meer. Immers als we twee puntgebeurtenissen $p$ en $q$
beschouwen op dezelfde plaats ten opzichte van de aarde met een
tijdverschil van $1 ~s$, dan is de afstand tussen beide $0 ~m$. De
afstand van beide puntgebeurtenissen ten opzichte van het inertiaalsysteem
dat rust ten opzichte van de zon is $30 ~km$, omdat de aarde met een snelheid
van $30 ~km/s$ om de zon beweegt. Tijdverschillen hebben nog wel absolute
betekenis.

\subsection{Ruimtetijd volgens Einstein - Minkowski}

Dit is het ruimtetijd beeld van de speciale relativiteitstheorie
(Einstein 1905). Het is ontstaan uit de confrontatie van de klassieke
mechanica van Newton en de elektrodynamica van Maxwell. Speciale
relativiteitstheorie steunt op het volgende tweetal postulaten:
\begin{itemize}
\item{} Relativiteitsprincipe van Einstein: er bestaan inertiaalsystemen
en deze zijn equivalent met betrekking tot {\sl alle} fysische
verschijnselen.
\item{} Er bestaat een eindige maximale signaalsnelheid en deze is
gelijk aan de voortplantingssnelheid van licht in vacu\"um.
\end{itemize}
In het bijzonder kan licht licht niet inhalen. In de speciale
relativiteitstheorie is het geboden om ruimte en tijd niet meer apart
te beschouwen. In de woorden van H. Minkowski: "M.H.! Die Anschauungen
\"uber Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln m\"ochte, sind auf
experimentell-physikalischen Boden erwachsen. Darin liegt ihre St\" arke.
Ihre Tendenz is eine radikale. Vond Stunde an sollen Raum f\"ur sich
und Zeit f\"ur sich v\"ollig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine
Art Union der beide soll Selbst\"andigkeit bewahren".

We zullen zien dat in de speciale relativiteitstheorie naast afstanden
ook tijdverschillen hun absolute betekenis verliezen. In plaats
van beide komt de minkowskimetriek, die wel een invariante betekenis
heeft. Het mathematische model voor ruimtetijd is de {\sl minkowskiruimte},
dit is een vier-dimensionale vlakke ruimte met een indefiniete metriek
met signatuur -2.

\subsection{Ruimtetijd volgens Einstein}

Dit is het ruimtetijd beeld van de algemene relativiteitstheorie.
Einstein formuleerde haar in 1915. Deze theorie is ontstaan uit de
confrontatie van de speciale relativiteitstheorie en de theorie van
de gravitationele wisselwerking. Ruimtetijd is in de algemene
relativiteitstheorie een {\sl riemannse ruimte} met signatuur -2.
In het speciale geval dat gravitatie te verwaarlozen is, krijgt
men de minkowskiruimte terug. Een drastisch verschil tussen de ruimtetijd
in de speciale en de algemene relativiteitstheorie is dat in de laatste
de structuur van ruimtetijd (in het bijzonder de metriek) wordt
bepaald door de materie. Het begrip materie wordt hier gebruikt in
een zeer ruime betekenis en het omvat naast deeltjes ook het
elektromagnetische veld, etc.

\subsection{Het begrip puntgebeurtenis}

We voeren in deze paragraaf een centraal begrip van de algemene
relativiteitstheorie in, namelijk het begrip {\sl puntgebeurtenis}\footnote{In
het Engels spreken van een {\sl event}.}. Dit is een zogeheten primitief
begrip, dit wil zeggen een begrip dat wordt gedefinieerd in termen van
andere begrippen. Wat dit betreft is het vergelijkbaar met het begrip
`punt' uit de euclidische meetkunde. Primitieve begrippen worden niet
gedefinieerd, omdat in hun definities weer andere begrippen optreden,
die weer gedefinieerd zouden moeten worden, enz. Aan deze oneindige
regressie wordt een einde gemaakt in de axiomatische methode. De
daarin optredende axioma's zijn te beschouwen als impliciete definities van
de in de theorie voorkomende primitieve begrippen. We volgen derhalve
een axiomatische opbouw van de algemene relativiteitstheorie. Hier
introduceren we het begrip puntgebeurtenis met voorbeelden. In de
materi\"ele werkelijkheid om ons heen vinden allerlei gebeurtenissen
plaats: de zon gaat op, twee auto's botsen op elkaar, ... Dat zijn
allemaal gebeurtenissen en karakteristiek voor gebeurtenissen is dat ze
zich in een zeker gebied van de ruimte afspelen en dat ze in een zeker tijdinterval
gebeuren. Gebeurtenissen zijn vaak zeer complex en we ontleden ze dan
ook verder. Een gebeurtenis kan worden beschouwd als te zijn opgebouwd uit zeer vele
gebeurtenissen, die op een kleiner gebied en een kleiner tijdinterval
betrekking hebben. Het ge\"{\i}dealiseerde limietgeveal van een gebeurtenis, die op
een oneindig klein gebied plaats heeft en oneindig kort duurt noemen we
een {\sl puntgebeurtenis}. Een puntgebeurtenis is een gebeurtenis met
een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip. Een voorbeeld
van een puntgebeurtenis is de explosie van een oneindig klein rotje
met een oneindig kort durende knal. Een ander voorbeeld is de botsing van
twee massapunten, immers als de twee massapunten elkaar raken is er sprake
van een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip.

Het begrip puntgebeurtenis houdt een extrapolatie van onze ervaring in,
omdat er een eindige ondergrens is voor het scheidend vermogen voor
afstanden en tijdsduren. Ieder fysisch proces is te beschouwen als een
collectie van puntgebeurtenissen. De verzameling van alle mogelijke
puntgebeurtenissen noemen we {\sl ruimtetijd}. Ruimtetijd is niet
slechts een verzameling, ruimtetijd heeft meer mathematische structuur.
Het fundamentele begrip in de differentiaalmeetkunde is dat van een
differentieerbare ruimte (differentieerbare vari\"eteit). We zullen
trachten plausibel te maken en daarna postuleren dat ruimtetijd een
differentieerbare vari\"eteit is.

\subsection{Ruimtetijd van de ART}

We zullen nu plausibel proberen te maken dat ruimtetijd een
differentieerbare vari\"eteit is. Daartoe wordt een ge\"{\i}dealiseerde
waarnemer ingevoerd, dat is een waarnemer met verwaarloosbare afmetingen
ten opzichte van de beschouwde schaal. Hierbij moet men denken aan
een massapunt met daarop een glad lopende klok. Deze klok hoeft voorlopig
helemaal niet eenparig (uniform) te lopen, als hij maar niet stilstaat.
Bij iedere puntgebeurtenis op de plaats van deze waarnemer (dus
op de plaats van het massapunt) hoort nu een eenduidig bepaald tijdstip,
namelijk de tijd $t$ die de klok aanwijst als de puntgebeurtenis
$P=P(t)$ plaatsvindt. Voor een zeker tijdinterval $I$ is er dus een bijectie
\begin{equation}
\gamma : t \in I \subset \mathbb{R} \longmapsto \gamma (t) = P(t) \in \Sigma .
\end{equation}
Dit is een kromme in $\Sigma$, de {\sl wereldlijn} van de waarnemer. Er
zijn talloze voorbeelden van wereldlijnen te geven. E\' en zo'n voorbeeld
is de wereldlijn van een punttrein, dat is een trein met verwaarloosbare
afmetingen ten opzichte van de beschouwde schaal (zie Fig. \ref{fig:punttrein}).
Hierin is $x$ de afstand van de punttrein tot het station $O$ en $t$
is de verlopen tijd sinds het vertrek uit $O$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/punttrein.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Wereldlijn van een punttrein.}
\label{fig:punttrein}
\end{figure}
Lichtsignalen zijn van groot belang voor het beschrijven van de structuur
van ruimtetijd. Bij lichtsignalen moet men denken aan golfpakketjes van
radarsignalen, lichtpulsen of $\gamma$-quanta, waarvan de ruimtelijke
afmetingen en de tijdsduur weer verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de
beschouwde schaal. Het is gebruikelijk doch niet geheel juist dergelijke
golfpakketjes collectief met de term {\sl foton} aan te duiden. Het belang van
fotonen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd is te wijten aan de
empirisch vastgestelde universaliteit van de voorplanting van elektromagnetische
golven in vacu\"um, dat wil zeggen de voortplantingssnelheid in vacu\"um is
onafhankelijk van de bewegingstoestand van de bron en van de golflengte,
de intensiteit en de polarisatie van de elektromagnetische golven.

\medskip
\noindent
Beschouw nu een radarstation $P$, dat een puntgebeurtenis $e$ waarneemt.
Het radarstation is klein genoeg om dit met een wereldlijn in $\Sigma$
te beschrijven. Bij de puntgebeurtenis $e$ kan men denken aan een vliegtuig
waaraan op een zeker tijdstip en op een zekere plaats het radarsignaal
wordt gereflecteerd. De tijd $t_V$ van vertrek van het radarsignaal en
de tijd $t_O$ van ontvangst van het gereflecteerde radarsignaal worden
door het radarstation $P$ geregistreerd. In de newtonse mechanica wordt een
puntgebeurtenis vastgelegd door vier co\"ordinaten, $(t,x,y,z) \in \mathbb{R}^4$.
Daarom introduceren we een tweede radarstation $P^\prime$, dat een andere
wereldlijn beschrijft en tijden $t_V^\prime$ en $t_O^\prime$ registreert
voor dezelfde puntgebeurtenis $e$ met de klok op $P^\prime$. Men veronderstelt
nu dat er een deelverzameling $U$ van $\Sigma$ bestaat, zodanig dat
voor iedere puntgebeurtenis uit $U$ de vier re\"ele getallen
$(t_V, t_O, t_V^\prime, t_O^\prime)$ een co\"ordinatenstelsel vormen.
De kaart $(U,\kappa )$ met $U \subset \Sigma$ en
$\kappa (e) = (t_V, t_O, t_V^\prime, t_O^\prime )$ heet een
{\sl radarco\"ordinatenstelsel}. Er is hier ondersteld dat een radarstation
door slechts \' e\' en uitgaande en \' e\' en terugkomende radarpuls met $e$
verbonden is. Als het heelal gesloten is zou puntgebeurtenis $e$ door meer
dan twee radarsignalen met een radarstation verbonden kunnen zijn. We
beperken daarom in bovenstaande constructie alle wereldlijnen tot een
deelverzameling $V$ van $\Sigma$, zodat $e$ en $P$, respectievelijk
$e$ en $P^\prime$ door slechts twee radarpulsen worden verbonden.
Dit wordt schematisch weergegeven in Fig. \ref{fig:radar}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/radar.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Radarco\"ordinaten van een puntgebeurtenis $e$.}
\label{fig:radar}
\end{figure}
Door nu ruimtetijd $\Sigma$ lapjesgewijs helemaal in kaart te brengen
op bovenstaande wijze komt men tot de uitspraak: {ruimtetijd is
een vierdimensionale differentieerbare vari\"eteit}.

\medskip
\noindent
Er zijn naast genoemde manier nog andere manieren om ruimtetijd van
co\"ordinaten te voorzien. We noemen er twee.
\begin{enumerate}
\item{} Breng in ruimtetijd een voldoend dichte zwerm willekeurig
bewegende deeltjes aan (massapunten), en voorzie ieder van deze
deeltjes van een klok die weer niet noodzakelijkerwijs eenparig
hoeft te lopen, als hij maar niet stilstaat. Kenmerk verder ieder
deeltje door drie re\"ele getallen $(x,y,z)$ om ze van elkaar te
onderscheiden. Aan een puntgebeurtenis worden nu vier re\"ele
getallen toegevoegd, namelijk het drietal plaatsco\"ordinaten
$(x,y,z)$ van het massapunt $P$ waar de puntgebeurtenis $e$ plaatsvindt
en het tijdstip $t$ dat de klok van $P$ aanwijst op het moment
dat de puntgebeurtenis $e$ wordt waargenomen. We krijgen zo een
kaart $e \longmapsto (t,x,y,z)$. Het co\"ordinatenstelsel wordt
zo geconstrueerd dat voor naburige puntgebeurtenissen bijbehorende
$(t,x,y,z)$ weinig verschillen.
\item{} Neem vier waarnemers met ieder een lopende klok, die
willekeurig bewegen. Laat deze waarnemers de aankomsttijden
$t^\mu~~(\mu = 0,1,2,3)$ van een lichtsignaal registreren dat door een
puntgebeurtenis $e$ is uitgezonden. Men krijgt voor de puntgebeurtenis
$e$ dan vier co\"ordinaten $(t^\mu )$.
\end{enumerate}
De belangrijkste begrippen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd
zijn dus {\sl puntgebeurtenis}, {\sl massapunt}, {\sl foton} en {\sl klok}.

\medskip
\noindent
Als binnen ruimtetijd het concept inproduct een betekenis heeft,
$\vec A \cdot \vec B = {\rm re"eel~getal}$, dan kunnen we een tensor
definieren, de metrische tensor, door
$g(\vec A, \vec B ) \equiv \vec A \cdot \vec B$. Dit is inderdaad
mogelijk voor de ruimtetijd vari\"eteit. Hiertoe introduceren
we een Lokaal Lorentz Frame (LLF). Een LLF is het referentiesysteem
op punt $\mathcal{P}_0$ dat de beste benadering is van een globaal
Lorentz frame op die gebeurtenis. Het is een co\"ordinatensysteem
waarvoor geldt dat $g_{\mu \nu}(\mathcal{P}_0 = \eta_{\mu \nu}$,
en waarvoor $g_{\mu nu}$ in de nabijheid van $\mathcal{P}_0$ de
beste benadering is van $\eta_{mu \nu}$: dus
${\partial g_{\mu \nu} \over \partial x^\alpha}(\mathcal{P_0}) = 0$.
Hierbij is $\eta_{\mu nu}$ de metriek van de speciale relativiteitstheorie.
We maken hier gebruik van het {\sl equivalentie principe} waarbij
een vrijvallend systeem op punt $\mathcal{P}_0$ de constructie
van een LLF toestaat.

\medskip
\noindent
Notatie consistent maken

\vfill
\eject

