\section{Wiskunde II - Kromlijnige co\"ordinaten}\label{gekromd}

Het wiskundige apparaat dat we dienen te ontwikkelen voor de
beschrijving van de algemene relativiteitstheorie is formidabel.
Voordat we gekromde ruimtetijd gaan bestuderen, bekijken we
eerst kromlijnige co\"ordinaten in de euclidische ruimte. Hierdoor
kunnen we een fors deel van de wiskundige machinerie ontwikkelen
in een vertrouwde situatie. Daarna is de stap naar gekromde ruimten
relatief eenvoudig. 

\medskip
\noindent
In een cartesisch co\"ordinatenstelsel geven we een punt $\mathcal{P}$ in de
vlakke 2D euclidische ruimte aan met co\"ordinaten $x$ en $y$.
We kunnen ook een ander co\"ordinatenstelsel gebruiken, waarbij
we $\mathcal{P}$ aangeven met $\xi$ en $\eta$. Vergelijking (\ref{eq:transmatrix}) 
geeft dan de transformatie $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$
tussen beide systemen. Voor de afstand tussen twee nabij gelegen punten geldt
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\xi = \xi (x,y), ~~~~ \Delta \xi & = & {\partial \xi \over \partial x} \Delta x + {\partial \xi \over \partial y} \Delta y, \\
& & \\
\eta = \eta (x,y), ~~~~ \Delta \eta & = & {\partial \eta \over \partial x}\Delta x + {\partial \eta \over \partial y} \Delta y. \\
\end{array}
\end{equation}
Wiskundig is het belangrijk dat de afbeelding \'e\'en op \'e\'en is en dat vereist
dat de Jacobiaan van de co\"ordinatentransformatie ongelijk is aan nul\footnote{Stel
we hebben in systeem $\mathcal{O}$ de punten $P$ en $Q$ met co\"ordinaten
$(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$, respectievelijk. Deze punten worden afgebeeld op $P^\prime$ en $Q^\prime$
in systeem $\mathcal{O}^\prime$. 
Stel dat de afbeelding $P \rightarrow P^\prime$ door de volgende twee lineaire vergelijkingen 
gegeven wordt: $a_1x_1 + a_2y_1 = x_1^\prime$ en $b_1x_1 + b_2y_1 = y_1^\prime$. Evenzo
voor $Q \rightarrow Q^\prime$.
Als in $\mathcal{O}$ de punten $P$ en $Q$ samenvallen,
dan dienen ook de punten $P^\prime$ en $Q^\prime$ in $\mathcal{O}^\prime$ samen te vallen.
Dan geldt $a_1 \Delta x + a_2 \Delta y = 0$ en $b_1 \Delta x + b_2 \Delta y = 0$.
Als we hieruit $\Delta x$ en $\Delta y$ elimineren vinden we de uitdrukking $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$. In dat geval
is het systeem singulier en wordt er op $(0,0)$ afgebeeld, terwijl $P$ en $Q$ {\sl niet}
samenvallen (en dus $\Delta x \neq 0$ en $\Delta y \neq 0$). We eisen voor een
bijectie dat de jacobiaan ongelijk aan nul is.}. Dus
\begin{equation}
{\rm det} \left(
\begin{array}{cc}
{\partial \xi / \partial x} & {\partial \xi / \partial y} \\
{\partial \eta / \partial x} & {\partial \eta / \partial y} \\
\end{array}
\right) \neq 0.
\end{equation}

\noindent
We demonstreren het bovenstaande met een beschouwing over poolco\"ordinaten.

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} poolco\"ordinaten in het euclidische vlak.

\medskip
\noindent
In het euclidische 2D-vlak kunnen we de cartesische co\"ordinaten
$x$ en $y$ of de poolco\"odinaten $\{ r,\theta \}$ gebruiken. Er
geldt $r=\sqrt{x^2+y^2}$ en $\theta = {\rm arctan}~{y \over x}$, en de
inverse relaties $x=r\cos{\theta}$ en $y=r\sin{\theta}$. Kleine
veranderingen $\Delta x$ en $\Delta y$ produceren veranderingen
$\Delta r$ en $\Delta \theta$ volgens
\begin{equation}
\begin{array}{rcrcl}
\Delta r & = & {x \over r} \Delta x + {y \over r} \Delta y
& = & \cos{\theta} \Delta x + \sin{\theta}\Delta y,\\
& & & & \\
\Delta \theta & = & -{y \over r^2}\Delta x + {x \over r^2} \Delta y
& = & -{1 \over r} \sin{\theta} \Delta x + {1 \over r} \cos{\theta} \Delta y , \\
\end{array}
\end{equation}
in eerste orde benadering.
\normalsize

\subsection{Vectoren en 1-vormen}

De traditionele manier waarop een vector gedefinieerd wordt, is door te stellen dat
hij onder willekeurige co\"ordinatentransformaties op dezelfde manier transformeert
als de verplaatsing. Hiermee bedoelen we dat een vector $\Delta \vec r$ voorgesteld
kan worden als een verplaatsing $(\Delta x , \Delta y)$, of in poolco\"ordinaten
als $(\Delta r, \Delta \theta )$, of in het algemeen door $(\Delta \xi , \Delta \eta )$.
Voor kleine $(\Delta x, \Delta y )$ geldt dan
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c}
\Delta \xi \\
\Delta \eta \\
\end{array} \right) = \left(
\begin{array}{cc}
{\partial \xi \over \partial x} & {\partial \xi \over \partial y} \\
{\partial \eta \over \partial x} & {\partial \eta \over \partial y} \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{c}
\Delta x \\
\Delta y \\
\end{array} \right) .
\end{equation}
We stellen nu dat een willekeurige vector $\vec V$ op precies dezelfde manier 
dient te transformeren. Dus geldt
\begin{equation}
V^{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} V^\beta
~~~~~{\rm met}~~~~~
\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} =
\left(
\begin{array}{cc}
{\partial \xi \over \partial x} & {\partial \xi \over \partial y} \\
{\partial \eta \over \partial x} & {\partial \eta \over \partial y} \\
\end{array} \right) ,
\label{eq:vvx}
\end{equation}
waarbij de index $\beta$ refereert aan het systeem $(x,y)$ en
index $\alpha^\prime$ aan het systeem $(\xi , \eta )$.

\medskip
\noindent
Er is een moderne en meer natuurlijke manier om vectoren en 1-vormen te introduceren.
Hiertoe beschouwen we een scalair veld $\phi$. Gegeven de co\"ordinaten
$(\xi , \eta )$ is het altijd mogelijk om de afgeleiden $\partial \phi / \partial \xi$
en $\partial \phi / \partial \eta$ te vormen. We {\sl defini\"eren} de
1-vorm $\tilde {\rm d} \phi$ als het geometrisch object met componenten
\begin{equation}
\tilde {\rm d} \phi \rightarrow \left( {\partial \phi \over \partial \xi},
{\partial \phi \over \partial \eta} \right)
\end{equation}
in het co\"ordinatenstelsel $(\xi ,\eta )$. Dit is de algemene definitie van
een oneindig aantal 1-vormen, en we vinden een andere 1-vorm voor 
elke keuze van het scalaire veld $\phi$. De transformatie
van de componenten volgt uit de kettingregel,
\begin{equation}
{\partial \phi \over \partial \xi} =
{\partial x \over \partial \xi} {\partial \phi \over \partial x} +
{\partial y \over \partial \xi} {\partial \phi \over \partial y},
\end{equation}
en evenzo voor ${\partial \phi \over \partial \eta}$. We vinden hiermee
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c}
\partial \phi / \partial \xi \\
\partial \phi / \partial \eta \\
\end{array} \right) = \left(
\begin{array}{cc}
{\partial x \over \partial \xi} & {\partial y \over \partial \xi} \\
{\partial x \over \partial \eta} & {\partial y \over \partial \eta} \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{c}
\partial \phi / \partial x \\
\partial \phi / \partial y \\
\end{array} \right) ~~~~{\rm met}~~~~
\Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha = \left(
\begin{array}{cc}
{\partial x \over \partial \xi} & {\partial y \over \partial \xi} \\
{\partial x \over \partial \eta} & {\partial y \over \partial \eta} \\
\end{array} \right) .
\end{equation}
We zien dat componenten van 1-vormen transformeren met $\Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha$ en
dat is tegenovergesteld aan het transformatiegedrag van vectorcomponenten, zoals
gegeven in vergelijking (\ref{eq:vvx}).\footnote{Het is van belang expliciet te
controleren dat $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$ en $\Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta$
elkaars inverse zijn. Dus $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \Lambda_{~\alpha^\prime}^\gamma$ is
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cc}
{\partial \xi \over \partial x} & {\partial \xi \over \partial y} \\
{\partial \eta \over \partial x} & {\partial \eta \over \partial y} \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{cc}
{\partial x \over \partial \xi} & {\partial x \over \partial \eta} \\
{\partial y \over \partial \xi} & {\partial y \over \partial \eta} \\
\end{array} \right) = \left(
\begin{array}{cc}
{\partial \xi \over \partial x}{\partial x \over \partial \xi} +
{\partial \xi \over \partial y}{\partial y \over \partial \xi} &
{\partial \xi \over \partial x}{\partial x \over \partial \eta} +
{\partial \xi \over \partial y}{\partial y \over \partial \eta} \\
{\partial \eta \over \partial x}{\partial x \over \partial \xi} +
{\partial \eta \over \partial y}{\partial y \over \partial \xi} &
{\partial \eta \over \partial x}{\partial x \over \partial \eta} +
{\partial \eta \over \partial y}{\partial y \over \partial \eta} \\
\end{array} \right) = \left(
\begin{array}{cc}
{\partial \xi \over \partial \xi} & {\partial \xi \over \partial \eta} \\
{\partial \eta \over \partial \xi} & {\partial \eta \over \partial \eta} \\
\end{array} \right) = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array} \right) .
\end{equation}
Merk op dat een en ander volgt uit de definitie van parti\"ele afgeleide
en uit het feit dat $\xi$ en $\eta$ onafhankelijke variabelen zijn en dus geldt dat
${\partial \xi \over \partial \eta} = {\partial \eta \over \partial \xi} = 0$.}

\medskip
\noindent
We beschouwen nu de afgeleide ${\rm d}\phi / {\rm d}s$ van een scalair veld $\phi$ 
langs een curve met parameter $s$ (zie ook sectie \ref{curve}). Deze afgeleide hangt af
van de parameter $s$ en als we die veranderen, dan verandert ook de afgeleide.
We kunnen dit schrijven als
\begin{equation}
{{\rm d}\phi \over {\rm d}s} = < \tilde{\rm d} \phi , \vec V >,
\label{eq:prpr}
\end{equation}
waarbij $\vec V$ de vector met componenten $({\rm d}\xi / {\rm d}s, {\rm d}\eta /{\rm d}s)$,
notatie $< \tilde{p} , \vec V > \equiv \tilde{p}( \vec V)$.
De vector $\vec V$ hangt alleen van de curve af, terwijl $\tilde {\rm d} \phi$ alleen
van $\phi$ afhangt. Daarom is $\vec V$ karakteristiek voor de curve
en wordt de {\sl tangent} vector (of raakvector) genoemd. We kunnen een vector dus
opvatten als een object dat ${\rm d} \phi / {\rm d}s$ produceert als
$\phi$ gegeven is. Dit leidt tot de moderne opvatting dat een tangent
vector aan een curve ${\rm d} / {\rm d}s$ genoemd moet worden\footnote{Wellicht
dat een andere kijk op deze zaak verhelderend is: we gaan weer uit van
vergelijking (\ref{eq:prpr}) en omdat $\phi = \phi (\xi , \eta )$ verwacht
je voor de afgeleide van $\phi$ langs de raakvector $\vec V$ van de curve
\begin{equation}
\nabla_{\vec V} \phi = V^\alpha {\partial \phi \over \partial x^\alpha}.
\end{equation}
Het symbool $\nabla_{\vec V}$ betekent de waarde van de richtingsafgeleide
van een scalairveld in de richting gegeven door vector $\vec V$. Dus geldt
\begin{equation}
\nabla_{\vec V} = V^\alpha {\partial \over \partial x^\alpha} 
= {{\rm d}x^\alpha \over {\rm d}s} {\partial \over \partial x^\alpha}
= \left( {{\rm d} \over {\rm d}s} \right)_{\rm langs~de~curve}.
\end{equation}
Merk op dat we nu de volgende situatie hebben,
\begin{equation}
\nabla_{\vec V} = V^\alpha {\partial \over \partial x^\alpha}
~~~~{\rm en}~~~~\vec V = V^\alpha \vec e_\alpha ,
\end{equation}
en zien dat beide uitdrukkingen dezelfde expansieco\"effici\"enten $V^\alpha$
hebben. De eerste vergelijking is voor een richtingsafgeleide en de tweede
beschrijft een vector. Er is dus een isomorfisme tussen vectoren en richtingsafgeleiden.
We mogen derhalve schrijven
\begin{equation}
\vec V = \nabla_{\vec V} = \partial_{\vec V} = {{\rm d} \mathcal{P} \over {\rm d}s} 
= {{\rm d} \over {\rm d}s}
\end{equation}
en voor de basisvectoren
\begin{equation}
\vec e_\alpha = {\partial \mathcal{P} \over \partial x^\alpha} = {\partial \over \partial x^\alpha} .
\end{equation}
Voor een wiskundige is de tangentruimte de ruimte opgespannen door de richtingsafgeleiden
op punt $\mathcal{P}$. Deze richtingsafgeleiden hebben dus hun eigen ruimte.}.
%\begin{equation}
%{{\rm d}\phi \over {\rm d}s} = {\partial \phi \over \partial \xi}
%{\partial \xi \over \partial s} + 
%{\partial \phi \over \partial \eta} {\partial \eta \over \partial s} 
%\label{eq:prpr1}
%\end{equation}
Elke curve (met parameter $s$) heeft een tangent vector $\vec V$
gedefinieerd als een lineaire functie die een 1-vorm als argument
neemt en afbeeldt naar het re\"ele getal ${\rm d}\phi / {\rm d}s$.

\medskip
\noindent
Onder een co\"ordinatentransformatie gebeurt er niets met $s$ (de definitie
van deze parameter had niets met co\"ordinaten te maken), maar veranderen
de componenten van $\vec V$ volgens de kettingregel als
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
{{\rm d} \xi \over {\rm d}s} \\
{{\rm d} \eta \over {\rm d}s} \\
\end{array} \right) = \left(
\begin{array}{cc}
{\partial \xi \over \partial x} & {\partial \xi \over \partial y} \\
{\partial \eta \over \partial x} & {\partial \eta \over \partial y} \\
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{c}
{{\rm d} x \over {\rm d}s} \\
{{\rm d} y \over {\rm d}s} \\
\end{array} \right) .
\end{equation}
Dit is dezelfde transformatiewet die we eerder voor vectoren hebben gevonden;
vergelijk dit met uitdrukking (\ref{eq:vvx}) en op basis van deze correspondentie
mogen we $\vec V$ een vector noemen. Met deze informatie kunnen we onze
beschouwing in poolco\"ordinaten voortzetten.

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} basis 1-vormen en vectoren in poolco\"ordinaten.

\medskip
\noindent
Voor de basisco\"ordinaten geldt $\vec e_{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta \vec e_\beta$
en dit levert
\begin{equation}
\vec e_r = \Lambda_{~r}^x \vec e_x + \Lambda_{~r}^y \vec e_y
= {\partial x \over \partial r} \vec e_x + {\partial y \over \partial r} \vec e_y
= \cos{\theta} \vec e_x + \sin{\theta} \vec e_y ,
\end{equation}
en op dezelfde wijze
\begin{equation}
\vec e_\theta = {\partial x \over \partial \theta} \vec e_x + {\partial y \over \partial \theta} \vec e_y
= -r \sin{\theta} \vec e_x + r \cos{\theta} \vec e_y .
\end{equation}
Merk op dat we gebruiken dat $\Lambda_{~r}^x = {\partial x \over \partial r}$.
Op dezelfde wijze kunnen we de andere kant op transformeren met
$\Lambda_{~x}^r = {\partial r \over \partial x}$.
De transformatiematrices zijn eenvoudig: we hoeven alleen te kijken naar welke index
boven of beneden is en we weten welke afgeleide we dienen te gebruiken.

\medskip
\noindent
De basis 1-vormen vinden we op analoge wijze. Er geldt
$\tilde{\rm d} p^{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \tilde{\rm d}p^\beta$
en dus
\begin{equation}
\tilde {\rm d}\theta = {\partial \theta \over \partial x} \tilde {\rm d}x
+ {\partial \theta \over \partial y} \tilde {\rm d}y
= -{1 \over r} \sin{\theta} \tilde {\rm d}x + {1 \over r} \cos{\theta} \tilde {\rm d}y,
\end{equation}
en ook
\begin{equation}
\tilde {\rm d} r = \cos{\theta} \tilde {\rm d}x + \sin{\theta} \tilde {\rm d}y .
\end{equation}
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/polar.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: basisvectoren voor poolco\"ordinaten; rechts: basis 1-vormen.}
\label{fig:polar}
\end{figure}

\noindent
In Fig. \ref{fig:polar} trachten we de basisvectoren en 1-vormen grafisch
weer te geven. We tekenen de 1-vormen door oppervlakken te tekenen met constante
$r$ of $\theta$ voor respectievelijk $\tilde {\rm d}r$ en $\tilde {\rm d}\theta$.
Merk op dat de bases veranderen van punt tot punt! Ook de lengten van de bases
zijn niet constant. We vinden bijvoorbeeld
$\vert \vec e_\theta \vert^2 = \vec e_\theta \cdot \vec e_\theta
=r^2 \sin^2{\theta} + r^2 \cos^2{\theta} = r^2,$ zodat de lengte van
$\vec e_\theta$ toeneemt met haar afstand tot de oorsprong. We hebben dus
ook geen eenheidsbasis meer. Er geldt
$\vert \vec e_r \vert = 1, \vert \tilde {\rm d}r \vert = 1,
\vert \vec e_\theta \vert = r, \vert \tilde{\rm d} \theta \vert = r^{-1}$.

\medskip
\noindent
De inproducten kunnen worden uitgerekend, omdat we de metriek in cartesische
co\"ordinaten $(x,y)$ kennen: $\vec e_x \cdot \vec e_x = \vec e_y \cdot \vec e_y = 1$
en $\vec e_x \cdot \vec e_y = 0$. In tensornotatie is dat
$g(\vec e_\alpha , \vec e_\beta ) = \delta_{\alpha \beta}$ voor cartesische co\"ordinaten.
De metriek {\bf g} heeft in poolco\"ordinaten de componenten
$g_{\alpha^\prime \beta^\prime}
= g(\vec e_{\alpha^\prime} , \vec e_{\beta^\prime} )
= \vec e_{\alpha^\prime} \cdot \vec e_{\beta^\prime}$ en dit levert
$g_{rr} = 1$, $g_{\theta \theta} = r^2$ en $g_{r\theta} = 0$. We kunnen de componenten
van ${\bf g}$ ook schrijven als
\begin{equation}
(g_{\alpha \beta} )_{\rm pool} = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & r^2 \\
\end{array}
\right)~~~~{\rm en~ook}~~~~
{\rm d}\vec l \cdot {\rm d}\vec l = {\rm d}s^2
= \vert {\rm d}r \vec e_r + {\rm d} \theta \vec e_\theta \vert^2 = {\rm d}r^2 + r^2 {\rm d}\theta^2 .
\end{equation}
De laatste formule in bovenstaande uitdrukking\footnote{Verwar ${\rm d}r$ en ${\rm d}\theta$
{\sl niet} met de basis 1-vormen $\tilde {\rm d}r$ en $\tilde {\rm d}\theta$. Het zijn de
componenten van ${\rm d}\vec l$ in poolco\"ordinaten en de `d' betekent `oneindig kleine $\Delta$'.}
geeft de lengte van een willekeurige
en oneindig kleine verplaatsing ${\rm d}\vec l$, hetgeen een handige manier is om de
componenten van de metrische tensor en tegelijkertijd de co\"ordinaten van het
lijnelement ${\rm d}\vec l$ te tonen.

\medskip
\noindent
De metriek heeft een inverse
\begin{equation}
(g^{\alpha \beta} )_{\rm pool} = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & r^2 \\
\end{array}
\right)^{-1} = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & r^{-2} \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
waarmee geldt dat $g^{rr} = 1$, $g^{r\theta} = 0$ en $g^{\theta \theta} = 1/r^2$. We kunnen
dit gebruiken om een afbeelding te maken tussen vectoren en 1-vormen. Stel bijvoorbeeld
dat $\phi$ een scalairveld is en $\tilde {\rm d}\phi$ haar gradi\"ent, dan heeft de
vector $\vec {\rm d}\phi$ de componenten
\begin{equation}
(\vec {\rm d} \phi )^\alpha = g^{\alpha \beta} \phi_{,\beta}~~~~{\rm en~dus~} \left\{
\begin{array}{rcl}
(\vec {\rm d} \phi )^r & = & g^{r\beta}\phi_{,\beta}
= g^{rr}\phi_{,r} + g^{r\theta} \phi_{,\theta} = {\partial \phi \over \partial r} \\
(\vec {\rm d} \phi )^\theta & = & g^{\theta \beta}\phi_{,\beta}
= g^{\theta r}\phi_{,r} + g^{\theta \theta} \phi_{,\theta} ={ 1\over r^2} {\partial \phi \over \partial \theta} \\
\end{array}
\right.
\label{eq:vectorgradient}
\end{equation}
Dus terwijl $(\phi_{,r},\phi_{,\theta})$ componenten van een 1-vorm zijn, heeft de
vector gradi\"ent componenten $(\phi_{,r},\phi_{,\theta}/r^2)$. Ondanks dat we in de euclidische
ruimte zijn, zien we dat vectoren in het algemeen componenten hebben die verschillen van
die van de geassocieerde 1-vormen. Cartesische co\"ordinaten zijn de enige co\"ordinaten
waarvoor de componenten hetzelfde zijn (want dan geldt dat $g_{\alpha \beta}={\rm diag}(1,1)$).
\normalsize

\subsection{Tensorcalculus}

Stel we hebben een vector $\vec V$ waarvan de componenten $V^\alpha$ gegeven zijn ten opzichte
van een willekeurig co\"ordinatenstelsel $\{ \vec e_\alpha \}$. We willen nu de afgeleide
van deze vector bepalen. Er geldt
\begin{equation}
\vec V = V^\alpha \vec e_\alpha ~~\rightarrow~~
{\partial \vec V \over \partial x^\beta} = {\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} \vec e_\alpha
+ V^\alpha {\partial \vec e_\alpha \over \partial x^\beta},
\label{eq:cov}
\end{equation}
waarbij $\beta$ gelijk is aan $0$ of $1$, etc.
De laatste term wordt veroorzaakt doordat de basisvectoren niet overal constant
hoeven te zijn. Omdat $\partial \vec e_\alpha / \partial x^\beta$ zelf een vector is,
kunnen we deze schrijven als een lineaire combinatie van basisvectoren. Hiertoe
introduceren we het symbool $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$ om de co\"effici\"enten
aan te duiden. Er geldt
\begin{equation}
{\partial \vec e_\alpha \over \partial x^\beta} = \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \vec e_\mu .
\end{equation}
De interpretatie van $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$ is dat het de $\mu$-de component
van ${\partial \vec e_\alpha \over \partial x^\beta}$ voorstelt. Dit object heet een
{\sl christoffelsymbool} en heeft drie indices: de eerste ($\alpha$) geeft de
basisvector aan die wordt gedifferentieerd, de tweede ($\beta$) geeft de co\"ordinaat
aan waarnaar wordt gedifferentieerd, en de derde ($\mu$) geeft de component van
de resulterende afgeleide vector aan. Alle indices dienen te refereren naar hetzelfde
co\"ordinatenstelsel.

\medskip
\noindent
Met bovenstaande definitie van de christoffelsymbolen kunnen we vergelijking
(\ref{eq:cov}) schrijven als
\begin{equation}
{\partial \vec V \over \partial x^\beta} = {\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} \vec e_\alpha
+ V^\alpha \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \vec e_\mu .
\label{eq:cov1}
\end{equation}
De laatste term bevat twee sommaties (over $\alpha$ en $\mu$) en als we de bijbehorende
dummie indices herlabelen, vinden we
\begin{equation}
{\partial \vec V \over \partial x^\beta} = {\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} \vec e_\alpha
+ V^\mu \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha \vec e_\alpha ~~\rightarrow ~~
{\partial \vec V \over \partial x^\beta} = \left( {\partial V^\alpha \over \partial x^\beta}
+ V^\mu \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha \right) \vec e_\alpha .
\label{eq:cov1}
\end{equation}
We zien dat het vectorveld $\partial \vec V / \partial x^\beta$ de componenten
${\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} + V^\mu \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha$ heeft.
Merk op dat we voor parti\"ele afgeleiden reeds de komma-notatie gebruiken,
${\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} = V_{~,\beta}^\alpha$. We defini\"eren
een nieuwe notatie
\begin{equation}
V_{~;\beta}^\alpha \equiv V_{~,\beta}^\alpha + V^\mu \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha
~~\rightarrow~~
{\partial \vec V \over \partial x^\beta} = V_{~;\beta}^\alpha \vec e_\alpha .
\label{eq:cov3}
\end{equation}
Nu is ${\partial \vec V \over \partial x^\beta}$ een vectorveld als we de index $\beta$
opvatten als \'e\'en vast getal. Deze index kan echter meer waarden aannemen
en we kunnen ${\partial \vec V \over \partial x^\beta}$ dan ook beschouwen als
zijnde geassocieerd met een 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensorveld dat de vector $\vec e_\beta$ afbeeldt op de vector 
${\partial \vec V \over \partial x^\beta}$. Dit tensorveld wordt de
{\sl covariante afgeleide} van $\vec V$ genoemd\footnote{Ter verheldering bekijken
we de covariante afgeleide $\nabla$ weer als een geometrisch object, dit wil zeggen als een
apparaat met drie sleuven.  Op elk punt $\mathcal{P}$ van ruimtetijd bevindt zich
een dergelijk apparaat. De interpretatie is dat
$\nabla (\tilde{\sigma} , \vec V( \mathcal{P}), \vec u ) \equiv 
< \tilde{\sigma} , \nabla_{\vec u} \vec V >$. We stoppen een willekeurige 1-vorm
$\tilde{\sigma}$ die in de tangentruimte bestaat op punt $\mathcal{P}$ in de eerste sleuf. In de
tweede sleuf stoppen we een vectorveld $\vec V(\mathcal{P})$ dat in de omgeving van
$\mathcal{P}$ gedefinieerd is. Tenslotte stoppen we in de derde sleuf een vector
$\vec u$ die zich in de tangentruimte van punt $\mathcal{P}$ bevindt. Uit de
machine rolt nu een getal dat het inproduct is van de covariante afgeleide
$\nabla_{\vec u} \vec V$ van het vectorveld $\vec V$ in de richting van $\vec u$
met de 1-vorm $\tilde{\sigma}$. Je kunt $\nabla_{\vec u} \vec V$ zien als de
mate van verandering van $\vec V$ langs de vector $\vec u$. Een alternatieve
manier om ernaar te kijken is om de eerste sleuf leeg te laten. We krijgen dan een
nieuw vectorveld $\nabla(...,\vec V(\mathcal{P}), \vec u) \equiv \nabla_{\vec u} \vec V$
uit het oude vectorveld $\vec V$. We noemen dat de covariante afgeleide van het
vectorveld $\vec V$ langs de vector $\vec u$. Tenslotte is er een derde manier om
de zaak te bekijken: we laten zowel de eerste als de derde sleuf leeg. We krijgen
nu een 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensorveld $\nabla (..., \vec V(\mathcal{P}),...) \equiv \nabla \vec V$ uit het
originele vectorveld $\vec V$. Dit noemen we de covariante afgeleide of de
gradi\"ent van het vectorveld $\vec V$.} en aangeduid met $\nabla \vec V$.
Haar componenten zijn
\begin{equation}
(\nabla \vec V )_{~\beta}^\alpha = (\nabla_\beta \vec V)^\alpha = V_{~;\beta}^\alpha .
\end{equation}
Op een cartesische basis zijn de componenten gelijk aan $V_{~,\beta}^\alpha$ omdat
dan de vectorvelden van de basis constant zijn. Op een gekromde basis moeten
we rekening houden met de afgeleiden van de basisvectoren en krijgen we
$V_{~;\beta}^\alpha$ als componenten van $\nabla \vec V$ in het co\"ordinatensysteem
waaraan de christoffelsymbolen refereren. Er bestaat \'e\'en enkele
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ 
\end{scriptsize}
tensor die we
$\nabla \vec V$ noemen. In cartesische co\"ordinaten zijn de componenten
gelijk aan ${\partial V^\alpha \over \partial x^\beta}$. In algemene
co\"ordinaten $\{ x^{\mu^\prime} \}$ worden de componenten
$V_{~;\beta^\prime}^{\alpha^\prime}$ genoemd. We kunnen deze componenten op de
volgende manieren vinden: (i) reken ze direct uit met behulp van vergelijking
(\ref{eq:cov3}) hetgeen kennis vereist van de christoffelsymbolen voor dit
co\"ordinatenstelsel; of (ii) verkrijg ze via de gebruikelijke tensortransformatie
vanuit een cartesisch systeem naar $\{ x^{\mu^\prime} \}$. We demonstreren de
eerste methode aan de hand van een voorbeeld in poolco\"ordinaten.

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} tensorcalculus in poolco\"ordinaten.

\medskip
\noindent
In poolco\"ordinaten is het vectorveld $\vec e_x$ constant: hetzelfde op
elk punt. In poolco\"ordinaten heeft dit veld de componenten
$\vec e_x \rightarrow (\Lambda_{~x}^r, \Lambda_{~x}^\theta) = (\cos{\theta},-r^{-1}\sin{\theta})$.
Deze componenten zijn duidelijk niet constant, terwijl $\vec e_x$ dat wel is. Dit komt
omdat de componenten refereren naar een niet constante basis. Als we deze
componenten zouden differenti\"eren naar, zeg, $\theta$, dan vinden we
zeker niet $\partial \vec e_x / \partial \theta$, want dat dient
gelijk te zijn aan nul. We zien dus dat alleen het nemen van de afgeleide van de componenten
van een vector niet de afgeleide van de vector oplevert. We dienen ook de
niet-constante basisvectoren te differenti\"eren, in overeenstemming met
vergelijking (\ref{eq:cov}). Omdat de cartesische basisvectoren $\vec e_x$ en $\vec e_y$
constante velden zijn (en hun afgeleiden dus verdwijnen) vinden we
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
{\partial \over \partial r} \vec e_r & = & 
{\partial \over \partial r} (\cos{\theta} \vec e_x + \sin{\theta} \vec e_y ) = 0 , \\
{\partial \over \partial \theta} \vec e_r & = & 
{\partial \over \partial \theta} (\cos{\theta} \vec e_x + \sin{\theta} \vec e_y )
= -\sin{\theta} \vec e_x + \cos{\theta} \vec e_y = {1 \over r} \vec e_\theta . \\
\end{array}
\end{equation}
Evenzo vinden we
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
{\partial \over \partial r} \vec e_\theta & = & 
{\partial \over \partial r} (-r\sin{\theta} \vec e_x + r\cos{\theta} \vec e_y )
= -\sin{\theta} \vec e_x + \cos{\theta} \vec e_y = {1 \over r} \vec e_\theta , \\
{\partial \over \partial \theta} \vec e_\theta & = & 
-r\cos{\theta} \vec e_x - r\sin{\theta} \vec e_y = -r \vec e_r .\\
\end{array}
\end{equation}
We kunnen nu de afgeleide $\partial \vec e_x / \partial \theta$ uitrekenen
en vinden
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
{\partial \over \partial \theta} \vec e_x 
& = & {\partial \over \partial \theta} (\cos{\theta}) \vec e_r + \cos{\theta}{\partial \over \partial \theta}(\vec e_r)
-{\partial \over \partial \theta}\left( {1 \over r} \sin{\theta} \right) \vec e_\theta
- {1 \over r} \sin{\theta} {\partial \over \partial \theta} \vec e_\theta \\
& = & -\sin{\theta} \vec e_r + \cos{\theta}\left( {1 \over r} \vec e_\theta \right)
-{1 \over r} \cos{\theta} \vec e_\theta - {1 \over r} \sin{\theta} (-r\vec e_r ) . \\
\end{array}
\end{equation}
Vereenvoudigen levert $\partial \vec e_x / \partial \theta = 0$ zoals we verwachten.

\medskip
\noindent
We kunnen ook de christoffelsymbolen berekenen en vinden
\begin{equation}
\begin{array}{rcccl}
(1)~~~~{\partial \vec e_r \over \partial r} & = & 0 &~~\rightarrow~~& \Gamma_{~rr}^\mu = 0~~~~{\rm voor~alle~}\mu ,\\
(2)~~~~{\partial \vec e_r \over \partial \theta} & = & {1 \over r}\vec e_\theta 
& ~~\rightarrow~~ & \Gamma_{~r\theta}^r = 0, ~~\Gamma_{~r\theta}^\theta = {1 \over r},\\
(3)~~~~{\partial \vec e_\theta \over \partial r} & = & {1 \over r}\vec e_\theta 
& ~~\rightarrow~~ & \Gamma_{~\theta r}^r = 0, ~~\Gamma_{~\theta r}^\theta = {1 \over r},\\
(4)~~~~{\partial \vec e_\theta \over \partial \theta} & = & -r\vec e_r 
& ~~\rightarrow~~ & \Gamma_{~\theta \theta}^r = -r, ~~\Gamma_{~\theta \theta}^\theta = 0 . \\
\end{array}
\label{eq:chrispol}
\end{equation}
We zien dat alle indices naar hetzelfde co\"ordinatenstelsel refereren.
\normalsize

\medskip
\noindent
De covariante afgeleide verschilt alleen van de parti\"ele afgeleide
als de basisvectoren niet constant zijn. Een scalairveld $\phi$ hangt echter niet
van de basisvectoren af en dus is haar covariante afgeleide gelijk aan haar
parti\"ele afgeleide en dat is de gradi\"ent,
\begin{equation}
\nabla_\alpha \phi = \partial \phi / \partial x^\alpha;~~~~\nabla \phi = \tilde{\rm d}\phi .
\end{equation}
Vervolgens beschouwen we de {\sl divergentie} en {\sl Laplace} operatoren.
In cartesische co\"ordinaten is de divergentie van een vector $V^\alpha$
gelijk aan $V_{~,\alpha}^\alpha$. Dit is een getal (scalairveld) dat we krijgen
door contractie van de indices van $V_{~\beta}^\alpha$. Deze contractie (dit getal dus) hangt
niet van het co\"ordinatenstelsel af en we kunnen de divergentie van $\vec V$
dan ook uitrekenen in andere co\"ordinaten $\{ x^{\mu^\prime} \}$ door weer de
componenten van $\nabla \vec V$ te contraheren over haar twee indices. Het
resultaat is een getal met de waarde $V_{~;\alpha^\prime}^{\alpha^\prime}$.
Het is belangrijk om in te zien dat dit hetzelfde getal is als
$V_{~,\alpha}^\alpha$ in cartesische co\"ordinaten. Dus
\begin{equation}
V_{~,\alpha}^\alpha = V_{~;\alpha^\prime}^{\alpha^\prime},
\label{eq:gradi}
\end{equation}
waarbij de indices zonder accenten refereren naar cartesische co\"ordinaten, terwijl
die met accenten refereren naar een willekeurig systeem.

\medskip
\noindent
Wellicht is de lezer vertrouwder met de Laplace operator en dat is de
divergentie van de gradi\"ent. Vergelijking (\ref{eq:gradi}) geeft de
divergentie van een vector, terwijl de gradi\"ent een 1-vorm is. We dienen
deze 1-vorm dus eerst om te schrijven in een vector. We zullen dit weer
uitwerken aan de hand van een voorbeeld in poolco\"ordinaten.

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} divergentie en Laplace operator in poolco\"ordinaten.

\medskip
\noindent
In poolco\"ordinaten hebben we voor de divergentie
\begin{equation}
V_{~;\alpha}^\alpha = {\partial V^r \over \partial r} +
{\partial V^\theta \over \partial \theta} + {1 \over r} V^r 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}(rV^r) +{\partial \over \partial \theta} V^\theta ,
\label{eq:diverpol}
\end{equation}
waarbij we vergelijking (\ref{eq:cov3}) en de verschillende christoffelsymbolen 
in poolco\"ordinaten (vergelijking (\ref{eq:chrispol}) gebruikt hebben.
Teneinde de Laplace operator te vinden, starten we met een scalairveld $\phi$
en bepalen we de vector gradi\"ent. Dat is reeds gebeurd in vergelijking (\ref{eq:vectorgradient}).
We vullen deze vector in in vergelijking (\ref{eq:diverpol}) en vinden
\begin{equation}
\nabla \cdot \nabla \phi \equiv \nabla^2 \phi = {1 \over r} {\partial \over \partial r}
\left( r{\partial \phi \over \partial r} \right) + {1 \over r^2}{\partial^2 \phi \over \partial \theta^2} .
\end{equation}
Dit is de Laplace operator in euclidische poolco\"ordinaten en deze is
identiek aan
\begin{equation}
\nabla^2 \phi = {\partial^2 \phi \over \partial x^2} + {\partial^2 \phi \over \partial y^2} .
\end{equation}
\normalsize

\medskip
\noindent
Ter afronding bekijken we de afgeleiden van 1-vormen en hogere-orde tensorvelden.
Om de afgeleide van een 1-vorm te vinden, gebruiken we de eigenschap dat een
1-vorm en vector samen een scalair geven. Dus als $\tilde p$ een 1-vorm is
en $\vec V$ een vector, dan is voor gegeven $\beta$, $\nabla_\beta \tilde p$
ook een 1-vorm, $\nabla_\beta \vec V$ een vector, en $<\tilde p, \vec V > \equiv \phi$
een scalar. In een willekeurig co\"ordinatenstelsel wordt deze scalar
geschreven als $\phi = p_\alpha V^\alpha$. Daarom geldt voor $\nabla_\beta \phi$
volgens de productregel voor afgeleiden
\begin{equation}
\nabla_\beta \phi = \phi_{,\beta} = {\partial p_\alpha \over \partial x^\beta}V^\alpha
+ p_\alpha {\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} .
\label{eq:prod}
\end{equation}
We kunnen vergelijking (\ref{eq:cov3}) gebruiken om $\partial V^\alpha / \partial x^\beta$
te vervangen door $V_{~;\beta}^\alpha$ hetgeen de componenten zijn van $\nabla_\beta \vec V$
en vinden
\begin{equation}
\nabla_\beta \phi = {\partial p_\alpha \over \partial x^\beta} V^\alpha
+ p_\alpha V_{~;\beta}^\alpha - p_\alpha V^\mu \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha 
= \left( {\partial p_\alpha \over \partial x^\beta} - p_\mu \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \right)
V^\alpha + p_\alpha V_{~;\beta}^\alpha ,
\end{equation}
waarbij we in de laatste stap termen verwisseld hebben en dummie indices andere
namen gegeven. Van iedere term in bovenstaande vergelijking weten we dat het een 
tensorcomponent is voor willekeurige $\vec V$, behalve van die tussen haakjes.
Omdat vermenigvuldigen en optellen van tensorcomponenten altijd nieuwe
tensoren oplevert, moet het zo zijn dat de term tussen haakjes ook een tensor is.
Dit is de covariante afgeleide van $\tilde p$. Er geldt dus
\begin{equation}
(\nabla_\beta \tilde p)_\alpha \equiv (\nabla \tilde p)_{\alpha \beta}
\equiv p_{\alpha ;\beta} = p_{\alpha ,\beta} - p_\mu \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu .
\label{eq:covp}
\end{equation}
Verder geldt
\begin{equation}
\nabla_\beta (p_\alpha V^\alpha ) = p_{\alpha ; \beta}V^\alpha + p_\alpha V_{~;\beta}^\alpha .
\end{equation}
We zien dat covariant differenti\"eren aan dezelfde soort productregel voldoet
als vergelijking (\ref{eq:prod}). Dit kan ook niet anders, want in cartesische co\"ordinaten
staat $\nabla$ voor parti\"eel differenti\"eren van componenten.

\medskip
\noindent
We kunnen nu de volgende uitdrukkingen vergelijken,
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
V_{~;\beta}^\alpha & = & V_{~,\beta}^\alpha + V^\mu \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha , \\
p_{\alpha ;\beta} & = & p_{\alpha ,\beta} - p_\mu \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu , \\
\end{array}
\end{equation}
en zien enkele overeenkomsten en enkele verschillen. We herinneren ons dat
de laatste index van het christoffelsymbool de differentiatie index is. Dit betekent
dat alleen de andere indices met de metriek naar boven of beneden kunnen worden gehaald.
Wat er dan nog overblijft is het tekenverschil. Hierbij helpt het om zich te
herinneren dat $\Gamma_{~\mu \beta}^\alpha$ te maken had met afgeleiden van 
basisvectoren. Het lijkt daarom redelijk te veronderstellen dat
$-\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$ te maken heeft met afgeleiden van basis 1-vormen.
De tekenverandering duidt erop dat de basis 1-vormen tegenovergesteld veranderen
aan de basisvectoren, hetgeen redelijk is als we beseffen dat de
contractie $< \tilde \omega^\alpha , \vec e_\beta > = \delta_{~\beta}^\alpha$
een constante is met afgeleide nul.

\medskip
\noindent
Dezelfde procedure leidt ook tot
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\nabla_\beta T_{\mu \nu} & = & T_{\mu \nu , \beta} 
- T_{\alpha \nu} \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha - T_{\mu \alpha} \Gamma_{~\nu \beta}^\alpha ; \\
\nabla_\beta A^{\mu \nu} & = & A_{~~, \beta}^{\mu \nu} 
+ A^{\alpha \nu} \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu + A^{\mu \alpha} \Gamma_{~\alpha \beta}^\nu ; \\
\nabla_\beta B_{~\nu}^{\mu} & = & B_{~ \nu , \beta}^{\mu} 
+ B_{~\nu}^\alpha \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu - B_{~ \alpha}^\mu \Gamma_{~\nu \beta}^\alpha . \\
\end{array}
\label{eq:64}
\end{equation}
We zien dat deze uitdrukkingen een bepaalde systematiek hebben. Zo is er een $\Gamma$ term
voor elke index; een boven index wordt als een vector behandeld en een beneden index als
een 1-vorm.
 
\subsection{Christoffelsymbolen en de metriek}

Het formalisme dat we in de vorige sectie besproken hebben, heeft geen eigenschappen
van de metrische tensor gebruikt in het opstellen van de covariante afgeleiden.
De metriek kan vectoren veranderen in 1-vormen en omgekeerd, en we verwachten daarom
dat deze een rol speelt in het verband tussen hun afgeleiden. In het geval van cartesische
co\"ordinaten zijn de componenten van de 1-vorm en de eraan gerelateerde vector gelijk,
en omdat $\nabla$ dan alleen het nemen van afgeleiden van componenten is, moeten de
componenten van de covariante afgeleide van de 1-vorm en vector gelijk zijn
aan elkaar. Dit betekent dat als $\vec V$ een willekeurige vector is en
$\tilde V = g(\vec V,~)$ de eraan gerelateerde 1-vorm, dan geldt in cartesische co\"ordinaten
\begin{equation}
\nabla_\beta \tilde V = g(\nabla_\beta \vec V, ...).
\label{eq:nn}
\end{equation}
Bovenstaande relatie is een tensorvergelijking en moet dus gelden in {\sl alle}
co\"ordinaten. We concluderen dat
\begin{equation}
V_{\alpha ; \beta} = g_{\alpha \mu} V_{~;\beta}^\mu ,
\label{eq:nnn}
\end{equation}
hetgeen de componenten representatie is van vergelijking (\ref{eq:nn}).

\medskip
\noindent
Als de hierboven gevolgde argumentatie niet bevredigend is, dan kunnen we er
met vergelijkingen nog eens door heen lopen. De indices $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ...
geven cartesische co\"ordinaten aan, terwijl de indices met accenten
$\alpha^\prime$, $\beta^\prime$, $\gamma^\prime$, ... willekeurige co\"ordinaten
aangeven. We beginnen met het statement 
$V_{\alpha^\prime} = g_{\alpha^\prime \mu^\prime} V^{\mu^\prime}$,
dat geldig is in elk co\"ordinatenstelsel. Echter in cartesische co\"ordinaten
geldt $g_{\mu \nu} = \delta_{\mu \nu}$ en $V_\alpha = V^\alpha$. Nu is het ook zo
dat in cartesische co\"ordinaten de christoffelsymbolen allemaal gelijk zijn aan nul.
Dus hebben we $V_{\alpha ; \beta} = V_{\alpha , \beta}$ en 
$V_{~;\beta}^\alpha = V_{~,\beta}^\alpha$. We kunnen daarom concluderen dat
$V_{\alpha ; \beta} = V_{~;\beta}^\alpha$, alleen in cartesische co\"ordinaten.
Om dit om te zetten in een vergelijking die geldig is in alle co\"ordinatenstelsels,
merken we op dat in cartesische co\"ordinaten geldt dat
$V_{~;\beta}^\alpha = g_{\alpha \mu}V_{~;\beta}^\mu$, zodat, ook weer in cartesische
co\"ordinaten, geldt dat $V_{\alpha ; \beta} = g_{\alpha \mu} V_{~;\beta}^\mu$.
Deze vergelijking is een tensorvergelijking, zodat geldigheid ervan in \'e\'en
co\"ordinatenstelsel de geldigheid in alle stelsels impliceert. We vinden dan
weer vergelijking (\ref{eq:nnn}),
\begin{equation}
V_{\alpha^\prime ; \beta^\prime} = g_{\alpha^\prime \mu^\prime}V_{~;\beta^\prime}^{\mu^\prime}.
\label{eq:adq}
\end{equation}
Bovenstaand resultaat heeft verreikende consequenties. Als we de $\beta^\prime$
covariante afgeleide nemen van 
$V_{\alpha^\prime} = g_{\alpha^\prime \mu^\prime} V^{\mu^\prime}$, vinden we
\begin{equation}
V_{\alpha^\prime ; \beta^\prime} 
= g_{\alpha^\prime \mu^\prime ;\beta^\prime} V^{\mu^\prime}  
+ g_{\alpha^\prime \mu^\prime} V_{~;\beta^\prime}^{\mu^\prime}.
\label{eq:adw}
\end{equation}
Als we uitdrukking (\ref{eq:adw}) vergelijken met uitdrukking (\ref{eq:adq})
dan vinden we dat moet gelden
\begin{equation}
g_{\alpha^\prime \mu^\prime ;\beta^\prime} = 0
\label{eq:covconst}
\end{equation}
in alle co\"ordinatenstelsels. Dat is een directe consequentie van vergelijking (\ref{eq:nn}).
In cartesische co\"ordinaten is
$g_{\alpha \mu ;\beta} \equiv g_{\alpha \mu ,\beta} = \delta_{\alpha \mu ,\beta} = 0$
een triviale identiteit. Echter in andere co\"ordinaten is dat niet zo voor de hand
liggend. Dit laten we zien aan de hand van poolco\"ordinaten.

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} afgeleiden van de metrische tensor.

\medskip
\noindent
We starten met de procedure analoog aan vergelijking (\ref{eq:64}), en schrijven 
\begin{equation}
g_{\alpha \beta ; \mu} = g_{\alpha \beta , \mu}
- \Gamma_{~\alpha \mu}^\nu g_{\nu \beta} - \Gamma_{~\beta \mu}^\nu g_{\alpha \nu} ,
\label{eq:metrica}
\end{equation}
waarbij de indices algemene co\"ordinaten voorstellen.
We werken nu een aantal termen uit in poolco\"ordinaten. Bijvoorbeeld stel dat $\alpha = r$, 
$\beta = r$ en $\mu = r$, dan vinden we
\begin{equation}
g_{r r ; r} = g_{rr , r}
- \Gamma_{~r r}^\nu g_{\nu r} - \Gamma_{~rr}^\nu g_{r \nu} .
\end{equation}
Omdat $g_{rr,r} = 0$ en $\Gamma_{~rr}^\nu = 0$ voor alle $\nu$, is dit triviaal
gelijk aan nul. Niet zo triviaal is $\alpha = \theta$, $\beta = \theta$ en $\mu = r$.
Dan vinden we
\begin{equation}
g_{\theta \theta ; r} = g_{\theta \theta , r}
- \Gamma_{~\theta r}^\nu g_{\nu \theta} - \Gamma_{~\theta r}^\nu g_{\theta \nu} .
\end{equation}
Met $g_{\theta \theta} = r^2$, $\Gamma_{~\theta r}^\theta = {1 \over r}$ en 
$\Gamma_{~\theta r}^r = 0$ wordt dit
\begin{equation}
g_{\theta \theta ; r} = (r^2)_{,r} - {1 \over r}(r^2) - {1 \over r}(r^2) = 0,
\end{equation}
en we zien dat het werkt. Het is belangrijk in te zien dat dit direct
volgt uit het feit dat $g_{\alpha \beta , \mu} = 0$ in cartesische
co\"ordinaten en dat $g_{\alpha \beta ; \mu}$ de componenten zijn van
{\sl dezelfde} tensor $\nabla g$ in willekeurige co\"ordinaten.

\normalsize
\medskip
\noindent
Wat we hierboven gedaan hebben is het introduceren van covariante differentiatie
in willekeurige co\"ordinaten door onze kennis van de euclidische
ruimte te gebruiken. We hebben laten zien dat de metriek van de euclidische
ruimte covariant constant is, vergelijking (\ref{eq:covconst}). Als we
gekromde ruimten gaan behandelen, zal blijken dat vergelijking (\ref{eq:covconst})
nog steeds geldig is, en dus ook alle consequenties ervan die we nu gaan bespreken.

\subsubsection{Berekenen van de christoffelsymbolen uit de metriek}

Vergelijking (\ref{eq:metrica}) leidt tot een uiterst belangrijk resultaat: we
kunnen deze vergelijking gebruiken om $g_{\alpha \beta , \mu}$ te bepalen in termen
van $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$. Het omgekeerde blijkt ook waar te zijn:
$\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$ uitdrukken in termen van $g_{\alpha \beta , \mu}$.
Dat geeft een eenvoudige manier om de christoffelsymbolen uit te rekenen.
We moeten eerst echter de relatie $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \equiv \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu$
bewijzen, die geldt in elk co\"ordinatenstelsel. 
Om deze symmetrie te bewijzen beschouwen we een willekeurig scalairveld $\phi$.
De eerste afgeleide $\nabla \phi$ is een 1-vorm met componenten $\phi_{,\beta}$.
De tweede covariante afgeleide $\nabla \nabla \phi$ heeft componenten
$\phi_{,\beta ; \alpha}$ en is een
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor. In cartesische co\"ordinaten zijn de componenten
\begin{equation}
\phi_{,\beta ,\alpha} \equiv {\partial \over \partial x^\alpha} 
{\partial \over \partial x^\beta} \phi
\end{equation}
en we zien dat deze symmetrisch zijn in $\alpha$ en $\beta$, omdat parti\"ele
afgeleiden commuteren. Echter als een tensor symmetrisch is in \'e\'en basis,
dan is hij symmetrisch in alle bases. Dus geldt
\begin{equation}
\phi_{,\beta ;\alpha} = \phi_{,\alpha;\beta }
\end{equation}
in elke basis. Gebruikmaken van de definitie gegeven in vergelijking (\ref{eq:covp})
levert
\begin{equation}
\phi_{,\beta ,\alpha } - \phi_{,\mu}\Gamma_{~\beta \alpha}^\mu
= \phi_{,\alpha ,\beta} - \phi_{,\mu} \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu
\end{equation}
in elk co\"ordinatensysteem. Maar er geldt
$\phi_{,\alpha,\beta } = \phi_{,\beta ,\alpha}$ en dit levert
\begin{equation}
\Gamma_{~\alpha \beta }^\mu \phi_{,\mu} = \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu \phi_{,\mu}
\end{equation}
voor willekeurige $\phi$. Hiermee is bewezen dat in elk co\"ordinatenstelsel
\begin{equation}
\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \equiv \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu .
\end{equation}

\medskip
\noindent
We gebruiken bovenstaande symmetrie om vergelijking (\ref{eq:metrica}) te inverteren.
Dat is tevens een mooi voorbeeld van geavanceerde index-manipulatie.
Hiertoe schrijven we vergelijking (\ref{eq:metrica}) in drie permutaties van
de indices,
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
g_{\alpha \beta , \mu} & = & \Gamma_{~\alpha \mu}^\nu g_{\nu \beta} + \Gamma_{~\beta \mu}^\nu g_{\alpha \nu}, \\
g_{\alpha \mu, \beta} & = & \Gamma_{~\alpha \beta}^\nu g_{\nu \mu} + \Gamma_{~\mu \beta}^\nu g_{\alpha \nu}, \\
-g_{\beta \mu, \alpha} & = & -\Gamma_{~\beta \alpha}^\nu g_{\nu \mu} - \Gamma_{~\mu \alpha}^\nu g_{\beta \nu}. \\
\end{array}
\end{equation}
We tellen deze op, groeperen termen, gebruiken de symmetrie van $g$, $g_{\beta \nu} = g_{\nu \beta}$
en vinden
\begin{equation}
g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} - g_{\beta \mu, \alpha} =
(\Gamma_{~\alpha \mu}^\nu - \Gamma_{~\mu \alpha}^\nu ) g_{\nu \beta}
+ (\Gamma_{~\alpha \beta}^\nu - \Gamma_{~\beta \alpha}^\nu ) g_{\nu \mu}
+ (\Gamma_{~\beta \mu}^\nu + \Gamma_{~\mu \beta}^\nu ) g_{\alpha \nu}.
\end{equation}
In deze vergelijking vallen de eerste twee termen rechts weg vanwege de
symmetrie van $\Gamma$ en vinden we
\begin{equation}
g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha} =
2 g_{\alpha \nu} \Gamma_{~\beta \mu}^\nu .
\end{equation}
Delen door 2, vermenigvuldigen met $g^{\alpha \gamma}$ (en sommeren over
$\alpha$), en gebruik maken van 
$g^{\alpha \gamma} g_{\alpha \nu} \equiv \delta_{~\nu}^\gamma$ levert
\begin{equation}
\Gamma_{~\beta \mu}^\gamma = {1 \over 2} g^{\alpha \gamma} 
(g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha}) .
\label{eq:chrissietje}
\end{equation}
Dit is de uitdrukking voor de christoffelsymbolen in termen van de
parti\"ele afgeleiden van de componenten van $g$. We geven weer een
korte demonstratie voor poolco\"ordinaten. 

\footnotesize
\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} christoffelsymbolen en metriek

\medskip
\noindent
In poolco\"ordinaten geldt bijvoorbeeld
\begin{equation}
\Gamma_{~r \theta}^\theta = {1 \over 2} g^{\alpha \theta} 
(g_{\alpha r , \theta} + g_{\alpha \theta, r} -g_{r \theta, \alpha}) .
\end{equation}
Omdat $g^{r \theta} = 0$ en $g^{\theta \theta} = r^{-2}$ vinden we
\begin{equation}
\Gamma_{~r \theta}^\theta = {1 \over 2r^2}
(g_{\theta r, \theta} + g_{\theta \theta, r} - g_{r \theta, \theta}) 
= {1 \over 2r^2} g_{\theta \theta , r} = {1 \over 2r^2}(r^2)_{,r} = {1 \over r}.
\end{equation}
Dit is hetzelfde resultaat voor $\Gamma_{~r \theta}^\theta$ dat we al
eerder hebben afgeleid. Deze rekenmethode is ook geldig in
gekromde ruimten. 

\normalsize

\vfill
\eject

