\section{Klassieke mechanica}\label{km}

\subsection{Inleiding}

In de mechanica willen we de banen van deeltjes (of meer algemeen objecten, dat
wil zeggen verzamelingen van deeljes) beschrijven. Om een dergelijke beschrijving
mogelijk te maken kiezen we een willekeurig co\"ordinatenstelsel in de
drie-dimensionale (3D) ruimte. Dit stelsel bevat een oorsprong en drie veelal
onderling loodrecht gekozen richtingen die we vervolgens de $x$, $y$ en
$z$-richting noemen en aangeven met respectievelijk de
vectoren $\vec i$, $\vec j$ en $\vec k$. Verder brengen we een afstandsverdeling
aan op de $x$, $y$ en $z$-as. Tijd wordt gemeten met een universeel lopende
klok en een willekeurig tijdstip wordt gekozen als $t=0$. Vervolgens worden
tijden van gebeurtenissen relatief gemeten ten opzichte van $t=0$.

\medskip
\noindent
We beschrijven de positie waarop een object zich bevindt in de
3D ruimte met de plaatsvector (of positievector)
\begin{equation}
\vec r = x\vec i + y \vec j + z \vec k .
\end{equation}
Deze plaatsvector wijst van de oorsprong van het co\"ordinatenstelsel naar de
positie van het deeltje. De instantane snelheidsvector $\vec v$ is de mate van verandering
van de plaatsvector. De grootte van deze vector noemen we de snelheid en deze
vector wijst in de bewegingsrichting. Er geldt
\begin{equation}
\vec v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} {\Delta \vec r \over \Delta t} = {d\vec r \over dt}.
\end{equation}
Gerelateerd aan de snelheid is de impuls. Er geldt $\vec p = m\vec v$.
De totale impuls van een systeem, $\sum_i \vec p_i$, is een behouden grootheid.

\medskip
\noindent
De instantane versnelling $\vec a$ is ook een vector en is de mate van verandering
van de snelheidsvector. Er geldt
\begin{equation}
\vec a = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} {\Delta \vec v \over \Delta t} =
{d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2}.
\end{equation}

\subsection{Galileo Galile\"{\i} en het relativiteitsprincipe}

Stel u voor dat u een blok ijs op een glazen plaat gooit:
het glijdt en komt uiteindelijk tot
stilstand. Maak de plaat nat en het blok zal een grotere weg afleggen, alvorens
tot stilstand te komen. Neem een blok droogijs (dat is bevroren koolstofdioxide)
dat glijdt over een luchtkussen van koolstofdioxidedamp en neem waar dat
dit blok veel verder zal glijden zonder noemenswaardige vermindering van
snelheid. Voor de komst van Galileo Galile\"{\i} (1564 - 1642)
dacht men dat er altijd een kracht nodig is
om een object met constante snelheid te laten bewegen. Galile\"{\i}
zag in dat de snelheidsvermindering veroorzaakt wordt door wrijvingskrachten. Als men de
wrijving vermindert, dan vermindert ook de snelheidsafname. Galile\"{\i}
redeneerde dat als men {\sl alle} krachten van een object kan verwijderen, inclusief
wrijvingskrachten, de snelheid van een lichaam nooit zal veranderen.
Deze eigenschap noemde hij {\sl inertia}.

\medskip
\noindent
Uit het bovenstaande volgt dat we geen verschil kunnen maken tussen een
object in rust of een object dat met constante snelheid beweegt. Of een
object in rust blijft of met constante snelheid beweegt hangt af van het
co\"ordinatenstelsel (referentiesysteem) waarin het object wordt beschouwd.
Stel u voor dat u een reiziger bent in een trein die met constante snelheid langs
een rechte lijn beweegt en u plaatst een biljartbal op het tafeltje voor u
(nodeloos te zeggen dat we aannemen dat deze tafel perfect horizontaal is ...).
Relatief ten opzichte van de trein is de bal in rust, zolang de trein
met constante snelheid ten opzichte van het perron beweegt. Relatief ten
opzichte van het perron beweegt de bal met dezelfde snelheid als de trein.

\noindent
Vervolgens begint de machinist met afremmen omdat de trein het volgende station
nadert. De trein versnelt ten opzichte van het perron (het is een
negatieve versnelling, een vertraging) en u zult zien dat de bal op uw tafeltje
naar voren begint te rollen. De bal versnelt ten opzichte van de trein ondanks
het feit dat er geen kracht op werkt! Een referentiesysteem dat versnelt ten
opzichte van een inertiaal referentiesysteem is geen inertiaal referentiesysteem.
Als er geen krachten werken op een object (in ons geval de biljartbal), dan is
elk referentiesysteem ten opzichte waarvan de versnelling van het object
gelijk is aan nul een {\sl inertiaal referentiesysteem}. Zowel de trein, zolang
die met constante snelheid beweegt, als het perron zijn, in goede benadering,
inertiaalsystemen\footnote{Het referentiesysteem dat verbonden is met het
oppervlak van de aarde is niet helemaal een inertiaal referentiesysteem, omdat
er een kleine versnelling is van het aardoppervlak ten gevolge van de rotatie
van de aarde, alsook een versnelling ten gevolge van de beweging rond de zon.
Deze versnellingen zijn kleiner dan $0,01$ m/s$^2$ en kunnen vaak worden
verwaarloosd.}.

\medskip
\noindent
Toen Galileo Galile\"{\i} leefde was er om voor de hand liggende redenen,
grote belangstelling voor de banen van kanonskogels.
Galile\"{\i} bestudeerde dergelijke banen en ontdekte dat
\begin{itemize}
\item{} de mate waarin een voorwerp valt (versnelling) niet afhangt van de massa
van het object, en dat
\item{} de mate waarin een voorwerp valt, de versnelling van een
voorwerp tijdens de val, constant is, dus onafhankelijk van de tijd. We noemen deze
constante de gravitatieversnelling en deze bedraagt $g=9,8$ m/s$^2$.
\end{itemize}
Een grote en een kleine kanonskogel vallen derhalve op dezelfde manier en zelfs
ook een kanonskogel en een veertje mits men er voor zorgt dat luchtweerstand geen
rol speelt. Gewicht heeft er niets mee te maken\footnote{Dit kan ook begrepen worden uit een
gedachtenexperiment van toegeschreven aan Galile\"{\i}. Stel dat zware voorwerpen
sneller vallen dan lichte voorwerpen. We binden vervolgens een lichte kogel vast aan
een zware en gooien het stel naar beneden van de toren van Pisa. Nu zal de lichte kogel
de zware afremmen en de combinatie valt langszamer dan de zware kogel
alleen zou vallen. De combinatie is echter zwaarder dan enkel de zware kogel
en zou dus sneller moeten vallen. Ergo, contradictio in terminis.}
en we kunnen dit bewijzen door
experimenten uit te voeren\footnote{Simon Stevin heeft reeds in 1586 zijn experiment
gepubliceerd waarin hij twee loden ballen, een tien keer zwaarder dan de ander, van
de klokkentoren van de oude kerk in Delft heeft laten vallen over een afstand van ongeveer 10 m.
Hierbij werd geen verschil waargenomen in tegenstelling tot de bewering van
aanhangers van Aristoteles.
Zijn publicatie was drie jaar v\' o\' or Galile\"{\i}'s eerste behandeling van gravitatie
en 18 jaar eerder dan Galile\"{\i}'s theoretisch werk over vallende lichamen.}
\footnote{Een dergelijk experiment is door astronaut
David Scott uitgevoerd op de maan met een hamer en veer tijdens de Apollo 15 missie.}.
Dit is de eerste stap richting het {\sl equivalentieprincipe} dat stelt
dat gravitatie niet onderscheidbaar is van uniforme versnelling.

\medskip
\noindent
Wij beschouwen een vrij-vallend voorwerp in \'e\'en dimensie: de verticale
($y$) richting. De waarde $y$ neemt toe met afnemende afstand tot het
middelpunt van de aarde.
Als we een voorwerp laten vallen dan is de versnelling constant en geldt
$a = g = 9,8$ m/s$^2$. Omdat $a = {dv \over dt}$ vinden we nu de snelheid
door integratie. Er geldt $v = \int_0^t adt =v_0 +gt$, waarbij $v_0$ de
initi\"ele snelheid op $t=0$ is. Verder neemt de snelheid lineair in de tijd toe.
De afgelegde weg vinden we door nogmaals te integreren. Er geldt
$d(t) = \int_o^t vdt = \int_0^t (v_0 +gt) dt = d_0 + v_0t + {1 \over 2}gt^2$,
waarbij $d_0$ de afstand is die het voorwerp reeds afgelegd had v\'o\'or tijdstip
$t=0$. We zien dat de afgelegde weg kwadratisch toeneemt in de tijd.

\medskip
\noindent
Vervolgens beschouwen we de beweging van een voorwerp in twee dimensies. Hiertoe analyseren
we de beweging van een kanonskogel die afgevuurd wordt op tijdstip $t=0$
met een beginsnelheid $u$ onder een hoek $\theta$ met de $x$-as. De situatie
is geschetst in Fig. \ref{fig:projectiel}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/projectiel.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Baan van een kanonskogel die afgevuurd wordt op tijdstip $t=0$
met een beginsnelheid $u$ onder een hoek $\theta$ met de $x$-as.
De rechterfiguur laat zien dat de verticale
beweging onafhankelijk van de horizontale beweging beschouwd kan worden.}
\label{fig:projectiel}
\end{figure}
\noindent
Voor de initi\"ele snelheid geldt $u_x=u\cos{\theta}$ en $u_y=u\sin{\theta}$.
De snelheid in de verticale richting wordt gegeven door
\begin{equation}
v_y = u_y-gt ~~~~\rightarrow ~~~~ y = u_yt - {1 \over 2} gt^2 .
\label{eq:yprojectiel}
\end{equation}
De kanonskogel raakt de grond als $y=0$ en oplossen van bovenstaande
vergelijking levert een vluchttijd $T = {2u_y \over g}$.

\medskip
\noindent
In de horizontale richting werkt er geen versnelling en wordt de
$x$-positie gegeven door
\begin{equation}
x = u_xt .
\label{eq:xprojectiel}
\end{equation}
We kunnen vergelijking (\ref{eq:yprojectiel}) en (\ref{eq:xprojectiel}) samennemen
en hieruit $t$ elimineren. We vinden dan de baan van de kogel,
\begin{equation}
y={u_y \over u_x}x - {g \over 2u_x^2}x^2,
\end{equation}
en zien dat de kogel een parabolische baan heeft.

\medskip
\noindent
Het idee dat we de beweging in horizontale en verticale richting mogen ontkoppelen
en zelfstandig behandelen is van Galile\"{\i}. Het is een eerste versie van het
{\sl relativiteitsprincipe}. Toen Nicolas Copernicus (1473 - 1543) stelde dat de aarde en
andere planeten rond de zon bewegen, was het moeilijk te begrijpen waarom we
deze beweging niet voelen. Waarom vliegen we niet van de aarde af, of blijft de
atmosfeer achter als de aarde met grote snelheid rond de zon raast? Galile\"{\i}
gebruikte de onafhankelijkheid van verschillende bewegingen om dit te verklaren.
Net zoals voorwerpen die binnen een trein verticaal vallen en het niet uitmaakt
of de trein stilstaat of met constante snelheid beweegt, zo merken wij ook niet
dat de aarde met grote snelheid door het universum vliegt. Tegenwoordig stellen
we dat {\sl alle} natuurwetten hetzelfde zijn voor een waarnemer die met uniforme
snelheid in een rechte lijn beweegt als die voor een waarnemer in rust. We
noemen dit het {\sl relativiteitsprincipe}.

\subsection{De wetten van Newton}

In moderne bewoordingen kunnen de wetten van Newton als volgt geformuleerd worden:
\begin{itemize}
\item{\sl Eerste wet:} een voorwerp blijft in rust als er geen externe kracht
op werkt. Een voorwerp in beweging heeft een constante snelheid als er
geen externe kracht op werkt.
\item{\sl Tweede wet:} de versnelling van een voorwerp is in
de richting van de netto externe kracht die erop werkt. De versnelling is
evenredig met de externe kracht overeenkomstig $\vec F = m\vec a$, met $m$
de massa van het voorwerp. Merk op dat het verband tussen kracht en
impuls gegeven wordt door $\vec F = {d \vec p \over dt}$.
De netto kracht is de vectorsom van alle
krachten die op het voorwerp werken, $\vec F_{\rm netto} = \sum \vec F = m\vec a$.
\item{\sl Derde wet:} krachten komen altijd voor in paren met gelijke grootte
en tegengestelde richting.
Als een voorwerp $A$ een kracht $\vec F_{A,B}$ uitoefent op voorwerp $B$, dan
wordt er een gelijke maar tegengesteld gerichte kracht $\vec F_{B,A}$ door voorwerp
$B$ op $A$ uitgeoefend. Er geldt $\vec F_{B,A} = - \vec F_{A,B}$.
\end{itemize}

\medskip
\noindent
De eerste wet is duidelijk in overeenstemming met
de ide\"een van Galileo Galile\"{\i}. Het leidt
tot het relativiteitsprincipe en het feit dat beweging in verschillende richtingen
onafhankelijk behandeld kan worden. Ook de tweede wet is ge\"{\i}nspireerd door
Galile\"{\i} en om dit duidelijk te maken dienen we de begrippen massa en gewicht
nader te beschouwen. Als we een voorwerp willen versnellen, dan dienen we er
een kracht op uit te oefenen. De versnelling heeft dan de waarde $a={F \over m}$.
De {\sl  massa} $m$ kan gezien worden als de weerstand, inertia, tegen versnelling.
Massa heeft als eenheid kilogram [ kg ].
Hoe groter de massa, hoe moeilijker het is om het voorwerp in beweging te brengen.
Het {\sl gewicht} van een voorwerp is de gravitatiekracht die erop werkt.
Het is een kracht die, voor een object met massa 1 kg,
aan het aardoppervlak gelijk is aan $F_g = mg = 9,8$ N met
als eenheid Newton [ N ].
Als we de tweede wet van Newton combineren met Galile\"{\i}'s ontdekking dat voorwerpen
met verschillende massa's op dezelfde manier vernellen onder gravitatie, dan
blijkt dat het gewicht van een voorwerp inderdaad evenredig moet zijn met haar massa.

\medskip
\noindent
Dit is als volgt in te zien: stel we tillen een zwaar voorwerp op en houden het
vast. Wat we {\sl voelen} als gewicht is in werkelijkheid de sensatie van
het uitoefenen van een naar boven gerichte kracht om het voorwerp hoog te houden
tegen de werking van de zwaartekracht in. Uit de eerste wet volgt dat de totale
kracht op het voorwerp nul is en dat onze opwaartse kracht precies de zwaartekracht
op het voorwerp opheft. Het gewicht van het voorwerp is dus gelijk aan de
zwaartekracht die erop werkt. Als we het voorwerp loslaten, dan is de
zwaartekracht erop nog steeds gelijk, terwijl onze opwaartse kracht verdwenen is:
het voorwerp versnelt naar beneden, het valt. Volgens Galile\"{\i} is de versnelling
echter niet afhankelijk van het gewicht. De enige manier waarop we de kracht
$F$ (het gewicht) kunnen veranderen zonder de versnelling $a$ te veranderen, is
door het gewicht $F$ evenredig te maken met $m$, dus
$\vec F_{\rm gewicht} = m\vec g$. In dat geval geldt namelijk
$\vec a = {\vec F_{\rm gewicht} \over m} = {m\vec g \over m} = \vec g$
en voorwerpen vallen onafhankelijk van hun gewicht of massa, de versnelling is gelijk
voor alle voorwerpen en bedraagt 9,8 m/s$^2$. We noemen de massa $m$
die als evenredigheidsconstante optreedt in de uitdrukking voor gewicht
$\vec F = m\vec g = m_{\rm zware}\vec g$ ook wel de {\sl zware} massa, terwijl de massa die
optreedt in de tweede wet $\vec F=m\vec a=m_{\rm trage}\vec a$ de {\sl trage}
massa. Galile\"{\i}'s equivalentieprincipe stelt dat zware massa en trage massa
gelijk zijn en we schrijven $m_{\rm zware} = m_{\rm trage} = m$. We
kunnen Galile\"{\i}'s equivalentieprincipe nu als volgt formuleren: de massa
van een lichaam is evenredig met haar gewicht.

\medskip
\noindent
Newton liet zien dat dezelfde gravitatie die ervoor zorgt dat appels naar de
aarde vallen, er ook voor zorgt dat de maan bij de aarde blijft en dat de
aarde rond de zon beweegt. De relatief eenvoudige wiskundige uitdrukking
$\vec F = m\vec a$
was consistent met alle bekende meetgegevens van planeetbanen. De grootte van de kracht
tussen twee objecten met massa $M_1$ en $M_2$ gescheiden door een afstand $r$
bedraagt
\begin{equation}
F_{\rm grav} = {GM_1M_2 \over r^2},
\label{eq:newton}
\end{equation}
met $G$ een evenredigheidsconstante die Newtons gravitatieconstante
genoemd wordt met als waarde $G = 6,6720 \times 10^{-11}$ m$^3$s$^{-2}$kg$^{-1}$.
De kracht is altijd attractief en in Newtons theorie is de werking instantaan.

\subsection{Dopplereffect en gravitationele roodverschuiving}
\label{doppler}

Stel dat Galile\"{\i} samen met twee kanonskogels van de toren van Pisa was gevallen.
Op weg naar beneden zouden de twee kogels eenvoudig in zijn nabijheid zijn
gebleven. Ten opzichte van hem zouden de kogels zich gedragen alsof er helemaal
geen krachten op werken. Als hij nu \' e\' en van de kogels een zetje zou geven in
een willekeurige richting, dan zou deze kogel ten opzichte van hem met
uniforme snelheid langs een lijn in die richting bewegen. Zowel Galile\"{\i} als de
kogel versnellen ten opzichte van de aarde, maar als we over hun relatieve
beweging spreken, dan kan deze gemeenschappelijke versnelling afgetrokken
worden en houden we alleen een relatieve beweging over. Dit gebeurt
enkel omdat voor gravitatie de versnelling van elk object in een gravitatieveld
gelijk is. We kunnen het equivalentieprincipe nu ook als volgt formuleren:
in een gravitatieveld gedragen alle voorwerpen zich zodanig dat ze volkomen
vrij lijken te zijn van gravitatiekrachten als ze bekeken worden door
vrij-vallende waarnemers. Voor een vrij-vallende waarnemer zijn de natuurwetten
hetzelfde als die in de ruimte, ver van alle massieve objecten en hun gravitatievelden.

\medskip
\noindent
Bovenstaande formulering van het equivalentieprincipe maakt geen gebruik van begrippen
als massa en versnelling en is bijzonder nuttig in het beschrijven van het
effect van gravitatie op licht\footnote{We weten dat licht een bijzondere plaats
inneemt in Einstein's relativiteitstheorie: de snelheid van licht is een universele
constante in elk referentiesysteem, terwijl licht een inertiale massa heeft die
gelijk is aan nul. We kunnen daarom niet eenvoudig de wet $\vec F = m\vec a$
gebruiken om de beweging van licht te beschrijven.}. We kunnen het effect van
gravitatie op licht nu vinden door te eisen dat het zich dient te gedragen
alsof er geen gravitatie is als het wordt beschouwd door een vrij-vallende
waarnemer. Dit betekent in het bijzonder dat het voor die waarnemer
een rechte lijn dient te volgen zonder verandering in frequentie.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{Figures/doppler.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Lichtgolven lopen van links naar rechts. Een detector meet het aantal
golffronten dat passeert. De frequentie is het aantal golffronten dat per
tijdseenheid gemeten wordt en hangt af van de snelheid van de detector.}
\label{fig:doppler}
\end{figure}

\medskip
\noindent
In het algemeen wordt de frequentie van licht be\"{\i}nvloed door de beweging van
een waarnemer. Dit wordt de Dopplerverschuiving\footnote{In het geval van
geluidsgolven zorgt het Dopplereffect voor een verschuiving naar hogere
frequentie van de toon van de sirene van een naderende ziekenwagen, terwijl de toon
naar lagere frequenties verschuift als de ziekenwagen van ons af beweegt.} genoemd.
We beschouwen licht als een golfverschijnsel met golflengte $\lambda$ en
frequentie $f$. Hiervoor geldt de relatie $\lambda = {c \over f} = cT$ met
$c$ de lichtsnelheid en $T$ de periode. De bovenste afbeelding in Fig. \ref{fig:doppler}
toont de situatie voor een stilstaande detector. Alle golffronten in het interval
$ct$ zijn de detector gepasseerd (vetgedrukte fronten).
Als dit $N$ golffronten zijn, dan is de
frequentie $f = {N \over t}$. In het onderste plaatje zijn slechts $N^\prime$
golffronten gedurende tijd $t$ de detector gepasseerd (vetgedrukte fronten),
omdat de detector naar rechts beweegt. De verhouding ${N^\prime \over N}$
is hetzelfde als de verhouding van de lengten, ${(c-v)t \over ct}=1-{v\over c}$.
Hieruit volgt dat de meebewegende detector een lagere frequentie meet,
\begin{equation}
f^\prime = {N^\prime \over t} = (1-{v \over c}){N \over t} = (1-{v \over c})f.
\label{eq:doppler}
\end{equation}
Als de frequentie verandert, dan verandert de kleur van het licht.
Als de lichtbron van ons af beweegt spreken van een roodverschuiving, terwijl
we over een blauwverschuiving spreken als de bron naar ons toe beweegt.

\medskip
\noindent
We zijn nu in staat om de gravitationele effecten op licht af te leiden
door te eisen dat licht zich dient te gedragen alsof er geen gravitatie is
wanneer het wordt waargenomen door een vrij-vallende waarnemer\footnote{Evenzo
voelen wij de beweging van de aarde rond de zon niet, omdat de aarde in
vrije val is en er dus niets te voelen valt.}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Figures/rebka.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Schematische weergave van het Pound-Rebka-Snider experiment voor
de meting van de gravitationele roodverschuiving van fotonen door de aarde.}
\label{fig:rebka}
\end{figure}
Hiertoe beschouwen we het Pound-Rebka-Snider experiment dat begin jaren 60 van
de vorige eeuw is uitgevoerd op het Jefferson Physical Laboratory van Harvard.
Het experiment is weergegeven in Fig. \ref{fig:rebka}. In de figuur
schijnt men (we noemen deze persoon W1) een lichtbundel met
frequentie $f_{\rm bron}$ vanaf de aarde naar boven. Een waarnemer (W2)
staat op een toren met hoogte $h$ direct boven de bron en meet de frequentie
van dit licht. Hij (W2) noemt deze frequentie $f_{\rm top}$. We gebruiken het
equivalentieprincipe om de relatie tussen $f_{\rm bron}$ en $f_{\rm top}$ te
bepalen\footnote{Relatie (\ref{eq:gravshift}) kan ook gevonden worden door
twee experimentatoren in een ruimteschip te beschouwen, dat reist
met constante versnelling $g$. De afstand tussen de twee waarnemers is $h$ in
de richting van de versnelling. Laten we aannemen dat het ruimteschip in rust
is ten opzichte van een bepaald inertiaalsysteem op het moment dat de waarnemer
beneden (bron) een foton uitzendt. Het duurt tijd $t = h/c$ voordat dit foton bij de
bovenste (top) waarnemer aankomt. Op dat moment heeft deze waarnemer een
snelheid $v = gt = gh/c$ en neemt hij het foton waar met een Dopplerverschuiving,
precies volgens vergelijking (\ref{eq:gravshift}). Het equivalentieprincipe
eist dat, indien deze roodverschuiving wordt waargenomen in een experiment
dat wordt uitgevoerd onder condities van uniforme versnelling in afwezigheid
van een gravitatieveld, dezelfde roodverschuiving waargenomen dient te worden in een
experiment onder condities van een uniform gravitatieveld, maar zonder versnelling.}
en dat betekent het introduceren van nog een andere waarnemer (W3) die
vrij-vallend is. Deze waarnemer (W3) valt van de top van de toren naar beneden
op het moment dat het licht de bron verlaat. Een dergelijke vrij-vallende
waarnemer (W3) ziet het licht alsof er geen gravitatie werkzaam is. Het
licht beweegt voor hem (W3) in een rechte lijn en zonder frequentieverschuiving:
op het moment dat hij begint met vallen, meet hij (W3) dezelfde frequentie als
de waarnemer (W1) bij de bron. Volgens het equivalentieprincipe meet hij (W3) dezelfde
frequentie even later als het licht de top bereikt. Het duurt een tijd
$t = {h \over c}$ voordat het licht de top bereikt, en dan heeft deze waarnemer (W3) een
instantane snelheid $v=gt={gh \over c}$. Ten opzichte van hem (W3) beweegt de
waarnemer (W2) boven dan met snelheid $-v$ van hem (W3) af, hetgeen een Dopplerverschuiving
met zich mee brengt. Het equivalentieprincipe en
vergelijking (\ref{eq:doppler}) geeft ons nu direct
\begin{equation}
f_{\rm top} = f_{\rm bron} (1-{gh \over c^2}).
\label{eq:gravshift}
\end{equation}
Voor de 22,6 m hoge toren van het Pound-Rebka-Snider experiment is het
effect klein, $2,46 \times 10^{-15}$, maar het werd desalnietemin gemeten
met een precisie van 1 \%. Het effect is beduidend groter voor de
satellieten van het Global Positioning System (GPS)
die op ongeveer 20.200 km hoogte vliegen. Teneinde de navigatie nauwkeurigheid
van ongeveer 15 m te bereiken dienen de GPS satellieten hun tijdsignalen
te co\"ordineren met een precisie van ongeveer 50 ns
($={15 ~{\rm m} \over 3 \times 10^8~{\rm m/s}}$). Deze precisie is ongeveer
1000 maal groter dan de gravitationele roodverschuiving (ongeveer 40 $\mu$s).
Zonder correcties op basis van de algemene relativiteitstheorie zouden
GPS systemen een afwijking van kilometers per dag vertonen.

\medskip
\noindent
Het is belangrijk te begrijpen dat de roodverschuiving een eigenschap is van
zowel het licht als de waarnemers. Dus licht op welke hoogte van de aarde
dan ook heeft geen unieke frequentie. Als de frequentie gemeten wordt door
waarnemers die stilstaan ten opzichte van de grond, dan meten we een
roodverschuiving. Als de frequentie gemeten wordt door vrijvallende
waarnemers, dan is er geen verschuiving.

\medskip
\noindent
De gravitationele roodverschuiving\footnote{Waarnemen van een gravitationele
roodverschuiving heeft ook als directe consequentie dat ruimtetijd
gekromd dient te zijn.} heeft directe consequenties voor het
begrip tijd. Stel dat we twee klokken vervaardigen die gebaseerd zijn op
het tellen van golffronten van een lichtbron. Elk golffront dat de detector
passeert en geregistreerd wordt zien we als een tik van de klok. De gravitationele
roodverschuiving heeft dan als consequentie dat voor een waarnemer in de toren
zijn klok sneller tikt dan de klok die op aarde staat. Als hij na een dag
met zijn klok naar beneden gaat en de klokken vergelijkt, ziet hij dat
zijn klok met ongeveer 1 ns voorloopt, hetgeen tegenwoordig eenvoudig
te meten is. Overigens geldt deze conclusie voor
al zijn klokken, biologisch of fysisch.

\subsection{Satellieten en equivalentieprincipe}

\medskip
\noindent
In het volgende zullen we enkele consequenties van de wetten van Newton
bestuderen. We gebruiken het equivalentieprincipe om te verklaren hoe satellieten
in hun baan blijven.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/escape.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Als we een voorwerp met snelheid $v$ horizontaal lanceren, dan zal het
bij voldoende snelheid een cirkelbaan rond de aarde beschrijven.}
\label{fig:escape}
\end{figure}
De positie en snelheidsvectoren van een deeltje dat een cirkelbaan beschrijft
zijn gegeven in Fig. \ref{fig:escape}. De hoek $\Delta \theta$ tussen
$\vec v(t)$ en $\vec v(t+ \Delta t)$ is hetzelfde als tussen $\vec r(t)$ en
$\vec r(t+\Delta t)$, omdat de plaats- en snelheidsvectoren over gelijke hoeken
moeten roteren om onderling loodrecht te blijven. Een gelijkbenige driehoek
wordt gevormd door de twee snelheidsvectoren en $\Delta \vec v$. Een tweede
gelijkbenige driehoek wordt gevormd door de twee plaatsvectoren en $\Delta \vec r$.
Om de richting van de versnellingsvector te vinden, beschouwen we de driehoek
gevormd door de twee snelheidsvectoren en $\Delta \vec v$. De som van de hoeken
van elke driehoek is 180$^\circ$ en de basishoeken van elke gelijkbenige driehoek
zijn gelijk. In de limiet dat $\Delta t$ naar nul gaat, gaat $\Delta \theta$ ook
naar nul, en in deze limiet gaan beide basishoeken naar 90$^\circ$. Dit betekent
dat $\Delta \vec v$ loodrecht op de snelheid staat. Als we $\Delta \vec v$
tekenen vanaf de positie van het deeltje dan wijst het in de centripetale
richting, dus naar het middelpunt van de aarde.

\medskip
\noindent
De twee driehoeken zijn congruent en dus geldt ${\vert \Delta \vec v \vert \over v}
= {\vert \Delta \vec r \vert \over r}$ (lengten van corresponderende zijden
zijn evenredig). Delen door $\Delta t$ en herschikken levert
\begin{equation}
{\vert \Delta \vec v \vert \over \Delta t} =
{v \over r}{\vert \Delta \vec r \vert \over \Delta t}.
\end{equation}
In de limiet dat $\Delta t$ nul nadert, gaat de term
${\vert \Delta \vec v \vert \over \Delta t}$ over in de versnelling $a$,
de grootte van de instantane versnelling, terwijl de term
${\vert \Delta \vec r \vert \over \Delta t}$ de snelheid $v$ benadert,
de grootte van de instantane snelheid. Met deze substituties vinden we
voor de centripetale versnelling, $a_c$
\begin{equation}
a_c = {v^2 \over r}.
\end{equation}
Een deeltje dat met {\sl veranderende snelheid} in een cirkel beweegt
heeft ook een versnellingscomponent $a_t$ tangentiaal aan de cirkel
gegeven door $a_t = {dv \over dt}$.

\medskip
\noindent
In het volgende beschouwen we een satelliet die met constante snelheid in
een cirkelbaan rond het centrum van de aarde over het oppervlak beweegt.
De versnelling is nu gelijk aan $a = {v^2 \over r} = g = 9,81$ m/s$^2$ 
en we vinden voor de snelheid met $r = 6370$ km de waarde
$v=\sqrt{rg} = \sqrt{(6370~{\rm km})(9,81~{\rm m/s}^2)} = 7,91$ km/s.
De omlooptijd bedraagt
$T = {2\pi r \over v} = {2\pi (6370~{\rm km}) \over 7,91~{\rm km/s}}
=5060$ s = 84,3 min.

\medskip
\noindent
Op grotere hoogte is de omlooptijd langer en
bedraagt bijvoorbeeld 91 minuten op 300 km hoogte waar de Space Shuttle opereert.
Astronauten in de Space Shuttle zijn gewichtsloos. Dit komt niet omdat op
300 km van het aardoppervlak het gravitatieveld van de aarde verwaarloosbaar is
(dat is eenvoudig uit te rekenen met vergelijking (\ref{eq:newton})).
Het is een perfecte demonstratie van het equivalentieprincipe: de Space Shuttle is in
vrije val rond de aarde en dat veroorzaakt dat voorwerpen in de Space
Shuttle zich gedragen alsof gravitatie afwezig is.

\medskip
\noindent
We willen het bovenstaande verder uitdiepen met het volgende voorbeeld.
Stel we stappen in een stilstaande lift. De sensatie van gewicht komt doordat
de vloer van de lift een kracht op ons uitoefent tegengesteld gericht aan
de gravitatiekracht van de aarde. Als we de liftkabel doorknippen, dan valt de
kracht van de vloer weg. We raken in vrije val, en dan verdwijnt de sensatie van gewicht
volledig. De vloer van de lift, niet de gravitatiekracht, is verantwoordelijk
voor ons gewicht. We kunnen dit argument omkeren: als we de lift naar boven
versnellen, zullen we ons zwaarder gaan voelen. Als we in een geblindeerde lift
zitten en we voelen ons gewichtloos, dan kunnen we niet onderscheiden of we
in vrije val zijn op aarde of ons in de ruimte ver weg van graviterende objecten
bevinden. Evenzo, als we w\`el gewicht ervaren, weten we niet of dat komt doordat
we in een stilstaande lift op aarde staan, of dat we in de verre ruimte naar
boven worden versneld. Als gravitatie overal uniform zou zijn, kunnen we het
niet onderscheiden van versnelling. Dit is de betekenis van het woord
{\sl equivalentie} in het {\sl equivalentieprincipe}.

\subsection{Zwarte gaten en afbuiging van licht}\label{gravpot}

\medskip
\noindent
We hebben reeds in vergelijking (\ref{eq:newton}) gezien dat de gravitatiekracht
uitgeoefend door deeltje 1 op deeltje 2 gegeven wordt door
\begin{equation}
\vec F_{1,2} = -{Gm_1m_2 \over r_{1,2}^2}\hat r_{1,2},
\label{eq:zwf}
\end{equation}
waarbij $\hat r_{1,2} = {\vec r_{1,2} \over \vert \vec r_{1,2} \vert}$
een eenheidsvector is die wijst van deeltje 1 naar deeltje 2. We hebben
bovenstaande uitdrukking gegeven als vectorrelatie; het minteken brengt de
richting in rekening.

\medskip
\noindent
We beschouwen de situatie met $m_1 = m$ de massa van een deeltje
en $m_2 = M$ de massa van een massief object, bijvoorbeeld
de aarde. We stellen ons voor dat het deeltje in
een cirkelbaan rond de aarde beweegt. Er geldt $a = F/m$ en dit
betekent dat ${GM \over r^2}$ de versnelling van het deeltje is.
Deze versnelling is centripetaal en we vinden dan
\begin{equation}
a = {v^2 \over r} = {GM \over r^2} ~~~~\rightarrow~~~~ v =v_{\rm cirkelbaan} = \sqrt{GM \over r}
\label{eq:cirkelbaan}
\end{equation}
voor de snelheid van een deeltje dat gravitationeel gebonden is in een
cirkelvormige baan met straal $r$ rond een massief object met massa $M$.

\medskip
\noindent
Als we een deeltje van de aarde naar het oneindige brengen, dient er arbeid
verricht te worden. Deze arbeid is gelijk (maar met een minteken) aan de potenti\"ele
energie $V$ van het deeltje (als we immers het deeltje vanuit het oneindige op
de aarde laten vallen verkrijgt het kinetische energie en kan het weer arbeid
verrichten). De hoeveelheid potenti\"ele energie wordt gegeven door
\begin{equation}
V(r) = -\int_{r_0}^\infty \vec F \cdot d\vec s =
-\int_{r_0}^\infty  F\hat r \cdot d\vec s = -\int_{r_0}^{r=\infty}
F_r dr = -\int_{r_0}^{r=\infty} \left( -{GmM \over r^2}\right) dr = -{GmM \over R}.
\label{eq:zwv}
\end{equation}
Omdat enkel veranderingen in potenti\"ele energie relevant zijn, kunnen we altijd
een constante $V_0$ erbij optellen. We kiezen deze constante zo, dat
de potenti\"ele energie gelijk is aan nul, $V=0$, als het deeltje oneindig
ver van de aarde staat. In dit geval geldt dan $V_0 = 0$. We merken op
dat vergelijkingen (\ref{eq:zwf}) en (\ref{eq:zwv}) toestaan om de
gravitationele potentiaal in te voeren. Er geldt
\begin{equation}
\vec F_{\rm grav} = -m\nabla \Phi (\vec x ) ~~~~{\rm en~ook~}
{d^2 \vec x \over dt^2} = -\nabla \Phi (\vec x),
\label{eq:324j54}
\end{equation}
waarbij $\vec F_{\rm grav}$ de kracht is op een deeltje met massa $m$ en
op positie $\vec x$ ten gevolge van de gravitationele potentiaal
$\Phi$ geproduceerd door een ander deeltje (met bijvoorbeeld massa $M$).
Voor een enkel deeltje met massa $M$
gaf vergelijking (\ref{eq:zwv}) $\Phi (\vec x) = -GM/x$,
en voor een continue massadichtheid $\rho (\vec x)$ geldt
\begin{equation}
\Phi (\vec x) = - \int {G\rho (\vec x^\prime ) \over \vert \vec x - \vec x^\prime
\vert } d^3 x^\prime .
\end{equation}
Het newtoniaanse gravitatieveld $\vec g$ wordt dan gedefinieerd door
\begin{equation}
\vec g(\vec x) \equiv - \nabla \Phi (\vec x) ,
\end{equation}
waardoor we vinden
\begin{equation}
\nabla \cdot \vec g( \vec x ) = -4\pi G \rho (\vec x )
~~\rightarrow ~~ \nabla^2 \Phi (\vec x ) = 4\pi G\rho (\vec x ) .
\label{eq:ng}
\end{equation}
Hierin bedoelen we met $\nabla^2$ de laplace operator
$\partial^2 / \partial x^2 + \partial^2 / \partial y^2 
+ \partial^2 / \partial z^2$. We noemen dit de poissonvergelijking
van newtoniaanse gravitatie.

\medskip
\noindent
Een object, bijvoorbeeld een satelliet met massa $m$, dat in een willekeurige
baan met straal $r$ rond de aarde (met massa $M$) draait heeft
zowel kinetische energie $K$\footnote{We kunnen de formule voor de kinetische
energie $K$ vinden door de arbeid te beschouwen die verricht moet worden om
een deeltje gedurende tijd $dt$ te versnellen. Er geldt
$\vec F \cdot d\vec x = \vec F \cdot \vec vdt = {d\vec p \over dt} \cdot \vec vdt
= \vec v \cdot d\vec p = \vec v \cdot d(m\vec v)$. Ook geldt
$d(\vec v \cdot \vec v)=(d \vec v)\cdot \vec v + \vec v \cdot (d \vec v)
= 2(\vec v \cdot d\vec v)$. Aannemende dat de massa constant is vinden
we hiermee $\vec v \cdot d(m\vec v) = {1 \over 2}md(\vec v \cdot \vec v)
={1 \over 2} mdv^2 = d \left( {1 \over 2}mv^2 \right)$. Integreren hiervan
levert de relatie $K = {1 \over 2} mv^2$.}
als potenti\"ele energie $V$. De som van beide, de totale energie $E = K+V$,
is een behouden grootheid en dient constant te zijn. Er geldt
\begin{equation}
E={1 \over 2}mv^2 - {GmM \over r}.
\end{equation}
Het object kan van de aarde ontsnappen als het oneindig ver weg kan zijn
en dan toch nog een bepaalde kinetische energie heeft. Als het {\sl net}
ontsnapt, dan is de eindsnelheid gelijk aan nul. In dat geval geldt,
wanneer de satelliet zich op een afstand $R$ van de aarde bevindt,
\begin{equation}
{1 \over 2}mv_{\rm ontsnapping}^2 = {GmM \over R}~~~~\rightarrow ~~~~
v_{\rm ontsnapping} = \left( {2GM \over R} \right)^{1\over 2}.
\label{eq:ontsnapping}
\end{equation}
Als we uitdrukking (\ref{eq:cirkelbaan}) met (\ref{eq:ontsnapping}) vergelijken
zien we dat $v_{\rm ontsnapping} = \sqrt{2}v_{\rm cirkelbaan}$.

\medskip
\noindent
De Deense sterrenkundige Olaf Roemer (1644 - 1710) gaf als eerste een goede
schatting van de lichtsnelheid (hij vond 11 minuten per astronomische eenheid
(AU)\footnote{De astronomische eenheid was vroeger gedefinieerd als de straal van
de cirkelbaan van de aarde (in 1900) rond de zon: 1 AU = $1,496 \times 10^{11}$ m.},
terwijl de juiste waarde 8 minuten en 19 seconden is). Dit resultaat vond hij
in 1675 door de eclipse van Jupiters eerste satelliet te bestuderen voor
verschillende posities van Jupiter relatief ten opzichte van de aarde.

\medskip
\noindent
De Britse natuurkundige John Mitchell (1724 - 1793) en de Franse wiskundige en
natuurkundige Pierre Laplace (1749 - 1827) combineerden de eindige lichtsnelheid
met het feit dat uit de wetten van Newton volgt dat geen object van een lichaam
kan ontsnappen als haar snelheid minder is dan $(2GM/R)^{1 \over 2}$.
Hieruit volgt dat ook licht niet kan ontsnappen van een lichaam waarvan
de ontsnappingssnelheid groter is dan $c$. Dus als het mogelijk is om een
lichaam met vaste massa $M$ kleiner te maken dan straal $R_g$, met
\begin{equation}
R_g = {2 GM \over c^2},
\end{equation}
dan lijkt dit lichaam zwart voor de buitenwereld.
Merk op dat deze limiet voor de straal, $R_g$, enkel afhangt van $M$ en
de natuurconstanten $c$ en $G$. We noemen dit de {\sl gravitatiestraal}
van een lichaam met massa $M$. Het is precies de waarde die we in de algemene
relativiteitstheorie vinden voor de straal van een zwart gat. Overigens
verschilt het klassieke zwarte gat in belangrijke mate van een relativistisch
zwart gat. In het klassieke geval komt het erop neer dat fotonen met
de lichtsnelheid vertrekken, om vervolgens steeds meer snelheid te
verliezen. Uiteindelijk wordt hun snelheid gelijk aan nul, draaien ze
om en vallen vervolgens weer naar beneden.

\medskip
\noindent
Cavendish was de eerste die in 1784 een formule afleidde voor de afbuiging
van licht ten gevolge van de gravitatie van de zon. We zullen deze afbuiging
afleiden uit het equivalentieprincipe. Beschouw licht dat de zon passeert. We
weten dat licht een rechte lijn dient te volgen in het referentiesysteem van
een vrij-vallende waarnemer. Omdat lokaal vrij-vallende waarnemers allemaal
in de zon vallen, dient het licht continu zijn baan te buigen, zodat de baan
recht lijkt voor al deze vrij-vallende locale waarnemers. We zullen de grootte
van de afbuiging afschatten met behulp van de klassieke mechanica van Newton.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/afbuiging.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Licht zal gravitationeel worden afgebogen als het een massief
object zoals de zon passeert.}
\label{fig:afbuiging}
\end{figure}

\medskip
\noindent
We beschouwen een enkele vrij-vallende waarnemer die initieel in rust is ten opzichte
van de zon op het punt waar het licht het dichtst bij de zon is tijdens de
passage. De afstand noemen we $d$. De versnelling van de waarnemer naar de
zon bedraagt $g = GM/d^2$. Het licht reist met snelheid $c$ en het belangrijkste
deel van de afbuiging treedt op gedurende een tijd $d/c$. Gedurende deze
tijd bereikt de waarnemer een snelheid $v=gd/c=GM/cd$ loodrecht op de richting
van het licht. Vanwege het equivalentieprincipe dient het licht een dergelijke
transversale snelheid te krijgen. De hoekafbuiging is klein en er geldt
$\tan{\alpha} = \alpha = {v \over c} = {GM \over c^2d}$ in radialen. De totale
afbuiging dient het dubbele te zijn, omdat dezelfde afbuiging voor de inkomende
lichtstraal ook geldt voor de uitgaande lichtstraal (zie Fig. \ref{fig:afbuiging}).
We vinden
\begin{equation}
{\rm Newtoniaanse~afbuigingshoek} = 2\alpha = {2GM \over c^2d}.
\end{equation}
Een exacte klassieke berekening geeft precies bovenstaand resultaat. Een berekening
met de algemene relativiteitstheorie geeft echter een factor 2 grotere afbuiging. Een
afbuiging van deze grootte werd in 1919 waargenomen door Britse astronomen
onder leiding van Sir Arthur Eddington (1882 - 1944) en Frank W. Dyson (1868 - 1939).
Deze bevestiging van de algemene relativiteitstheorie leidde tot de grote
internationale doorbraak van Einstein.

\subsection{Gravitatie en getijdenkrachten}

Getijdenkrachten zijn krachten die niet verdwijnen als we een systeem
in vrije val beschouwen en zijn afkomstig van de niet-uniformiteit van de
gravitatieversnelling. Getijdenkrachten spelen een belangrijke rol in
het universum: van eb en vloed op aarde tot instabiliteiten in sterrenstelsels.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/tweestenen.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Getijdenkrachten zijn eenvoudig te herkennen als we de beweging van
vrij-vallende objecten beschouwen.}
\label{fig:tweestenen}
\end{figure}
We schetsen de effecten van getijdenkrachten in Fig. \ref{fig:tweestenen}. De
figuur links toont dat wanneer twee objecten met enkel een verticale separatie
vanuit rust vallen, hun separatie in de tijd toeneemt. De figuur rechts laat
zien dat wanneer twee objecten met enkel een horizontale onderlinge afstand
vanuit rust vallen, hun onderlinge afstand afneemt. Vanuit het gezichtspunt
van een vrij-vallende waarnemer lijken de twee objecten naar elkaar toe te
versnellen, alsof er een kracht op werkt. Dit leidt tot de conclusie dat het
equivalentieprincipe slechts {\sl lokaal} geldig is, niet globaal.

\medskip
\noindent
Een ander bekend voorbeeld van getijdenkrachten zijn de getijden op aarde
ten gevolge van de gravitatiekrachten van maan en zon. Hier bespreken we de
getijden van het aarde - maan systeem, geschetst in Fig. \ref{fig:getijden}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Figures/getijden.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Getijden veroorzaakt door de maan op aarde zijn afkomstig van
de residuele versnelling van gravitatie. Hierbij is de aarde in vrije val met de
gemiddelde versnelling van de gravitatie van de maan op aarde. In de rechter
figuur is de centrale versnelling afgetrokken van de verschillende
versnellingsvectoren.}
\label{fig:getijden}
\end{figure}
Het centrum van de aarde is in vrije val. De overige delen van de aarde
ondervinden relatief kleine verschilkrachten die leiden tot het ontstaan
van getijden. De getijden hebben een karakteristiek gedrag onder rotaties:
plaatsen met gelijke getijden zijn gescheiden door een rotatie over $180^\circ$.

\medskip
\noindent
De werking van getijdenkrachten leidt tot een aantal belangrijke effecten,
zoals het feit dat de rotatie van de maan om zijn as gesynchroniseerd is
met zijn rotatie rond de aarde\footnote{De getijdenkrachten van de maan
op de aarde proberen ook de rotatie van de aarde te synchroniseren met de
omlooptijd van de maan. De aarde is echter veel massiever dan de maan. Ongeveer
1 miljard jaar geleden duurde een dag maar ongeveer 18 uur.}.
Ook raken aarde en maan steeds verder verwijderd
van elkaar ten gevolge van de getijdenkrachten (dit kan worden begrepen
als een consequentie van het behoud van impulsmoment). Een ander voorbeeld
van de werking van getijdenkrachten is te vinden in het Mercurius - zon systeem.
Mercurius is dicht bij de zon en ervaart getijdenkrachten die ongeveer
drie keer groter zijn dan in het aarde - maan systeem. De omlooptijd van
Mercurius rond de zon bedraagt 88 dagen, terwijl de rotatie rond zijn as
58,6 dagen bedraagt, precies ${2 \over 3}$ van de omlooptijd. Dit is weer een
gevolg van getijdenkrachten.

\subsection{Newtoniaanse mechanica en het formalisme van Lagrange}
\label{lagrange}

De bewegingswetten van Newton zijn algemeen bekend. De bekendste is waarschijnlijk
dat deeltjes zich in een rechte lijn en met constante snelheid voortbewegen zolang
er geen krachten op werken. Dit wordt mathematisch uitgedrukt als
\begin{equation}
m \frac{d^2 \vec{x}}{dt^2} = 0,
\end{equation}
waar $\vec{x} = \vec{x}(t)$ de positie van het deeltje is, en $m$ zijn massa.
Indien er een kracht $\vec{F}$ op het deeltje werkt, komt deze aan de rechterzijde
van deze vergelijking te staan. Deze formule is de basis van de Newtoniaanse
mechanica en levert een stappenplan voor het oplossen van mechanische vraagstukken:
vul de kracht in die op een deeltje werkt, los de resulterende vergelijking op,
en de positie van het deeltje als functie van de tijd is dan bekend.
De tweede wet kan niet worden afgeleid; het is een experimenteel gegeven. 

\medskip
\noindent
Lagrange (1736-1813) ontwikkelde een nieuwe manier van mechanica doen,
gebaseerd op een functie die nu zijn naam draagt: de \emph{Lagrangiaan} $L$.
Deze functie is gedefinieerd als het verschil tussen de kinetische energie $K$
van een deeltje, en zijn potenti\" ele energie $V$
\begin{equation}
L(x(t), v(t))=K(x(t),v(t))-V(x(t),v(t)),
\end{equation}
en deze functie ge\"{\i}ntegreerd over de tijdsduur van een fysisch proces noemt
met de \emph{actie} $S$,
\begin{equation}
S = \int^{t_2}_{t_1} L(x(t),v(t)) dt,
\end{equation}
waarin $t_1$ het tijdstip van begin van het proces is, en $t_2$ het tijdstip
van het eind van het proces. Zoals al gesuggereerd door onze notatie, heeft
de Lagrangiaan van een deeltje in het algemeen geen constante waarde. Dit
komt doordat de kinetische energie en de potenti\"ele energie in het algemeen
geen constante waarden hebben, omdat zij functies zijn van de positie en
snelheid van het deeltje. Beschouw als voorbeeld een deeltje in het
zwaartekrachtsveld van de aarde: de potenti\" ele energie is laag wanneer dit
deeltje dicht bij de aarde is, maar hoog wanneer het ver weg is; de kinetische
energie neemt echter toe wanneer het deeltje onder invloed van die
zwaartekracht steeds sneller naar de aarde valt. Dit voorbeeld laat zien dat
de waarde van de Lagrangiaan van een deeltje in het algemeen afhankelijk is
van de positie en snelheid van het deeltje. Deze zijn op hun beurt weer
functies van de tijd, dus uiteindelijk is de Lagrangiaan een geheel
tijdsafhankelijke functie. De actie $S$ daarentegen is \emph{wel} een constante,
omdat we de Lagrangiaan integreren over de tijd (elke functie ge\"{i}ntegreerd over
zijn variabele levert immers een constante op). De waarde van deze constante
hangt daarmee, uiteraard, geheel af van het pad $x(t)$ dat het deeltje volgt
tussen de twee tijdstippen $t_1$ en $t_2$. Welk pad dit is, is precies de vraag
die wij beantwoord willen zien wanneer we mechanica doen. Als antwoord
postuleert het formalisme van Lagrange dat \emph{een deeltje altijd het pad
volgt dat de waarde van de actie minimaal of maximaal maakt}. Dit noemt men
het \emph{principe van extreme actie}, en levert een geheel nieuw voorschrift
om mechanica te doen: schrijf de Lagrangiaan op van bewegend deeltje,
integreer deze over de tijd, en zoek het pad dat deze integraal minimaal
of maximaal maakt.

\medskip
\noindent
Deze manier van mechanica doen is soms te prefereren boven de meer
gebruikelijke wetten van Newton\footnote{Enkele redenen zijn dat in het
formalisme van Lagrange de belangrijkste functie een scalair is, waar in
de tweede wet van Newton vectoren voorkomen. Ook is het zo dat bepaalde
symmetrie-eigenschappen van fysische systemen zich vaak duidelijk openbaren
in het Lagrange-formalisme. Het is om deze redenen dat in onder andere
de quantumveldentheorie vrijwel uitsluitend met Lagrangianen gewerkt wordt.}.
Hij is echter niet minder fundamenteel: het is zowel mogelijk het principe van
extreme actie af te leiden door uit te gaan van de tweede
wet van Newton, als omgekeerd.
Het principe van extreme actie en de tweede wet van Newton
zijn daarom geheel equivalent.

\medskip
\noindent
Als voorbeeld van een toepassing van het formalisme van Lagrange, zal de
wet van Newton worden afgeleid door uit te gaan van het principe van
extreme actie. We beschouwen een deeltje met massa $m$, dat beweegt onder
invloed van een kracht $F$ en daarom een potenti\"ele energie $V$ heeft
gerelateerd aan de kracht via $\vec{F} \equiv -\nabla V$; de kinetische
energie $K$ van een deeltje wordt, zoals altijd, gegeven door\footnote{De
notatie $v^i v_i$ betekent in bovenstaand geval
$v^i v_i \equiv \sum_{i=1}^3 \left( v_i \right)^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2
= \vert \vec v \vert^2 = v^2$. Het betreft de zogenaamde Einstein sommatieconventie
die we later veelvuldig zullen gebruiken.}
$K = \frac{1}{2}m v^i v_i$ (waar $v^i \equiv \frac{dx^i(t)}{dt}$ ). De Lagrangiaan
van dit deeltje wordt dan gegeven door
\begin{equation}
L = \frac{1}{2}m  v^i(t)v_i(t) - V(x(t)),
\end{equation}
en de actie $S$ is dan
\begin{equation}
S = \int^{t_2}_{t_1} \left\{ \frac{1}{2}m v^i(t)v_i(t) - V(x(t)) \right\} dt.
\end{equation}
Volgens het principe van extreme actie zal het deeltje een pad volgen dat
de actie een extreme waarde geeft. Dit leidt tot het volgende wiskundige
vraagstuk: gegeven een integraal over $t$ met integrand $L(\vec{x}(t),\vec{v}(t))$,
hoe kan men dan bepalen welke functie $\vec{x}(t)$ de uitkomst van deze
integraal minimaal of maximaal maakt? Het antwoord wordt gegeven door de
\emph{vergelijkingen van Euler-Lagrange}: de componenten $x^i(t)$ van het pad
$\vec{x}(t)$ dat de integraal een extreme waarde geeft, voldoen aan
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial x^i} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}
{\partial v^i} \right).
\label{eq:actie2}
\end{equation}
Het bewijs van deze stelling is niet moeilijk, en gaat als volgt. Laten we
aannemen dat $x(t)$ de $x$-component is van het pad $\vec{x}(t)$ dat de
integraal een extreme waarde geeft. Per definitie van een extreme waarde zal
elke kleine afwijking van dit pad, $\delta x \ll x$, de actie $S$ een extra
bijdrage geven, $\delta S$, die gelijk dient te zijn aan nul. We willen dus
op zoek naar het pad $x(t)$ waarvoor geldt
\begin{equation}
S + \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left\{ L(x(t)+\delta x(t),v(t)+ \delta v(t) ) \right\} dt,
\label{eq:actie}
\end{equation}
waarin
\begin{equation}
\delta S = 0.
\end{equation}
Aangezien $\delta x$ klein is, kunnen we de Lagrangiaan benaderen door\footnote{Dit
is gebaseerd op een
eerste-orde Taylorreeks van $L$ rond de waarden $x(t)$ en $v(t)$.}
\begin{equation}
L(x(t)+\delta x(t),v(t)+\delta v(t)) \approx L(x(t),v(t))+ \frac{\partial L}
{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial v}\delta v.
\end{equation}
Wanneer we dit invullen in vergelijking (\ref{eq:actie})
vinden we de actie $S$ terug plus een extra term,
die we kunnen identificeren als $\delta S$,
\begin{equation}
\delta S \equiv \int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{\partial L}{\partial x}\delta x
+ \frac{\partial L}{\partial v}\delta v \right\}dt.
\label{eq:partieel1}
\end{equation}
Deze uitdrukking hoort gelijk te zijn aan nul. Nadat we een parti\"ele
integratie\footnote{Stel dat $f$ en $g$ functies zijn van $x$, dus $f=f(x)$
en $g=g(x)$. Dan geldt voor de afgeleide van het product
${d \over dx}\left( fg \right) = {df \over dx}g + f{dg \over dx} \rightarrow
{df \over dx}g = {d \over dx}\left( fg \right) - f{dg \over dx}$. Integreren
over $dx$ levert
$\int gdf = fg  - \int fdg$. In vergelijking (\ref{eq:partieel1}) gebruiken
we $f = {\partial L \over \partial v}$ en $dg = \delta v dt = d\left( \delta x \right)$.}
doen op de tweede term van de integrand, wordt gevonden
\begin{equation}
\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}
\left( \frac{\partial L}{\partial v} \right) \right\} \delta x(t)dt
+ \frac{\partial L}{\partial v} \delta x(t)|_{t_1}^{t_2}.
\label{eq:actie1}
\end{equation}
De afwijking $\delta x(t)$ mag in principe elke mogelijke functie zijn, mits
maar geldt dat zij nul is op het begin en eind van het proces. Er geldt dan
ook $\delta x(t_1) = 0$ en $\delta x(t_2) = 0$, en hieruit volgt dat de
laatste term in vergelijking (\ref{eq:actie1})
gelijk is aan nul. De overgebleven integraal zal in het
algemeen gelijk kunnen zijn aan nul voor specifieke functies $\delta x(t)$;
echter, de eis is dat deze integraal nul is voor \emph{elke} mogelijke afwijking
$\delta x(t)$ van het pad $x(t)$, en dit kan alleen wanneer alles tussen de
gekrulde haken gelijk is aan nul. Deze eis levert dan precies
vergelijking (\ref{eq:actie2}), voor de
$x$-component (waarvoor geldt $i=1$)
van het gezochte pad. Voor de twee andere plaatsco\"ordinaten
van dit pad, $y(t), z(t)$ kan deze afleiding ook gebruikt worden en geldt
dezelfde uitkomst. \newline
Wanneer de vergelijkingen van Euler-Lagrange toegepast worden op de huidige
Lagrangiaan, vinden we
\begin{equation}
-\frac{\partial V}{ \partial x^i} = m \frac{dv^i}{dt}.
\end{equation}
De linkerkant van deze vergelijkingen herkennen we als de kracht $F^i$ in de $i$-richting,
terwijl de rechterkant precies gelijk is aan $m \frac{d^2 x^i}{dt^2}$. We kunnen
deze drie uitkomsten samen nemen in een enkele vectorvergelijking,
\begin{equation}
m \frac{d^2 \vec{x}(t)}{dt^2} = \vec{F},
\end{equation}
wat precies de wet van Newton is. Zoals aangekondigd volgt deze inderdaad uit het
principe van extreme actie.

\medskip
\noindent
Het Lagrangiaanse formalisme kan ook gebruikt worden om de impuls van een deeltje
te bepalen. De impuls volgt uit de Lagrangiaan als
\begin{equation}
p_i = \frac{\partial L}{\partial v^i},
\label{eq:impulsL}
\end{equation}
wat voor de huidige Lagrangiaan de gebruikelijke uitdrukking voor de impuls
van een deeltje oplevert
\begin{equation}
\vec{p} = m\vec{v}.
\label{eq:impulsL1}
\end{equation}

\subsection{Het principe van Mach}

\medskip
\noindent
Newton besprak in zijn `The Mathematical Principles of Natural Philosophy' (1687) een
experiment waarbij een met water gevulde emmer aan een touw hangt. We draaien de emmer
rond zijn as en op deze wijze wordt het touw strak opgewonden. Nu laten we de emmer
los, en deze begint snel rond zijn as te draaien, niet alleen ten opzichte van de waarnemer,
maar ook ten opzichte van het water erin.

\medskip
\noindent
Alhoewel op dit moment de relatieve beweging maximaal is, blijft het oppervlak van
het water vlak, hetgeen aangeeft dat het water geen neiging heeft om weg te bewegen
van de rotatieas. Uiteindelijk als het touw ontwonden is, neemt het water een
concave vorm aan terwijl het de beweging aanneemt van de emmer die ten opzichte
van de waarnemer roteert. Deze concave vorm toont dat het water roteert, ondanks
het feit dat het water in rust is ten opzichte van de wanden van de emmer. Met
andere woorden het is niet de relatieve beweging van water en emmer die de
concave vorm van het water veroorzaakt, in tegenstelling tot het idee dat bewegingen
enkel relatief kunnen zijn, en dat absolute beweging niet bestaat. Is het mogelijk
dat de concave vorm van het water de rotatie toont relatief ten opzichte van iets
anders, laten we zeggen de absolute ruimte?!

\medskip
\noindent
Volgens Ernst Mach zegt Newtons experiment met de roterende emmer water ons eenvoudig
dat de relatieve beweging van het water ten opzichte van de wanden van de emmer geen
merkbare centrifugale krachten produceert, maar dat dergelijke krachten geproduceerd
worden door de relatieve rotaties ten opzichte van de massa van de aarde en de
andere hemellichamen.

\medskip
\noindent
Op basis van het bovenstaande kunnen we ons afvragen of een object in een leeg
heelal inertia heeft. Het principe van Mach stelt dat lokale fysische wetten bepaald
worden door de structuur van het universum op grote schaal. Albert Einstein
leek het principe Mach te interpreteren als `... traagheid wordt veroorzaakt door
een soort interactie tussen lichamen...'\footnote{A. Einstein in een brief naar Ernst Mach,
Z\" urich, 25 Juni 1923.}. Einstein meende in het Lense - Thirring effect bewijs
te vinden voor het principe van Mach. In een brief naar Ernst Mach schrijft hij:
`Het ... blijkt dat inertia haar oorsprong vindt in een soort interactie tussen
lichamen, zoals uw beschouwingen van Newtons emmer experiment aangeven... Als men
een zware schil materie roteert, relatief ten opzichte van de vaste sterren rond
een as die door het centrum gaat, ontstaat er een corioliskracht in het binnenste
van de schil. Deze kracht zorgt ervoor dat het vlak van een Foucault slinger heen 
en weer wordt gesleept (met een praktisch onmeetbaar kleine hoeksnelheid)'. 
We zullen dit Lense - Thirring effect later in detail bespreken.

\vfill
\eject
