\section{INLEIDING}\label{intro}

\subsection{Ruimte en tijd}

De natuurkunde bestudeert materi\" ele systemen en de arena waarin
het fysisch gebeuren plaatsvindt is de ruimte en tijd. Ruimte en tijd
zijn fundamentele begrippen in de fysica. In de geschiedenis van
de natuurkunde zijn ruwweg vier concepties met betrekking tot ruimte
en tijd te onderscheiden.

\subsubsection{Ruimte en tijd volgens Aristoteles}

Dit beeld komt overeen met het idee dat de `gemiddelde mens' heeft
van ruimte en tijd. De ruimte is drie-dimensionaal en euclidisch
($E^3$) en de tijd is \' e\' en-dimensionaal en euclidisch ($E^1$).
De bewering dat een object in rust is heeft in dit beeld van ruimte
en tijd objectieve betekenis. Ruimtetijd is het cartesische product
$E^1 \times E^3$. Een punt in ruimtetijd heeft co\"ordinaten $(t,x,y,z)$
en het stelt dus een gebeurtenis op een scherp bepaalde tijd $t$ en met
de precies bepaalde plaats $(x,y,z)$ voor. Een dergelijke gebeurtenis
noemen we een {\sl puntgebeurtenis}. Ruimtetijd is dus de verzameling
van alle mogelijke puntgebeurtenissen. Voor twee puntgebeurtenissen
$(t_1, \vec r_1)$ en $(t_2, \vec r_2)$ kunnen we spreken van de {\sl
afstand} $\vert \vec r_1 - \vec r_2 \vert$ en over het {\sl tijdverschil}
$t_1 - t_2$ van beide puntgebeurtenissen. Afstand en tijdverschil
hebben absolute betekenis.

\subsubsection{Ruimtetijd volgens Galile\"{\i}}

Dit is het beeld van ruimte en tijd zoals dit in de klassieke mechanica
van Newton voorkomt. Belangrijk hierin is het relativiteitsprincipe
van Galile\"{\i}. Dit principe wordt als volgt geformuleerd: er bestaan
inertiaalsystemen; inertiaalsystemen bewegen met constante snelheid
$\vec v$ ten opzichte van elkaar en verschillende inertiaalsystemen
zijn equivalent met betrekking tot de wetten van de klassieke mechanica. We
herinneren nog even aan de definitie van een inertiaalsysteem. Een
inertiaalsysteem is een referentiesysteem waarin ieder vrij deeltje
eenparig en rechtlijnig beweegt. Het begrip rust verliest hier zijn
absolute betekenis. Immers als een deeltje in rust is in \' e\' en
inertiaalsysteem, is het niet in rust ten opzichte van een
inertiaalsysteem dat beweegt ten opzichte van het eerste inertiaalsysteem.
De afstand tussen twee puntgebeurtenissen heeft geen absolute
betekenis meer. Immers als we twee puntgebeurtenissen $p$ en $q$
beschouwen op dezelfde plaats ten opzichte van de aarde met een
tijdverschil van $1 ~s$, dan is de afstand tussen beide $0 ~m$. De
afstand van beide puntgebeurtenissen ten opzichte van het inertiaalsysteem
dat rust ten opzichte van de zon is $30 ~km$, omdat de aarde met een snelheid
van $30 ~km/s$ om de zon beweegt. Tijdverschillen hebben nog wel absolute
betekenis.

\subsubsection{Ruimtetijd volgens Einstein - Minkowski}

Dit is het ruimtetijd beeld van de speciale relativiteitstheorie
(Einstein 1905). Het is ontstaan uit de confrontatie van de klassieke
mechanica van Newton en de elektrodynamica van Maxwell. Speciale
relativiteitstheorie steunt op het volgende tweetal postulaten:
\begin{itemize}
\item{} Relativiteitsprincipe van Einstein: er bestaan inertiaalsystemen
en deze zijn equivalent met betrekking tot {\sl alle} fysische
verschijnselen.
\item{} Er bestaat een eindige maximale signaalsnelheid en deze is
gelijk aan de voortplantingssnelheid van licht in vacu\"um.
\end{itemize}
In het bijzonder kan licht licht niet inhalen. In de speciale
relativiteitstheorie is het geboden om ruimte en tijd niet meer apart
te beschouwen. In de woorden van H. Minkowski: "M.H.! Die Anschauungen
\"uber Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln m\"ochte, sind auf
experimentell-physikalischen Boden erwachsen. Darin liegt ihre St\" arke.
Ihre Tendenz is eine radikale. Vond Stunde an sollen Raum f\"ur sich
und Zeit f\"ur sich v\"ollig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine
Art Union der beide soll Selbst\"andigkeit bewahren".

We zullen zien dat in de speciale relativiteitstheorie naast afstanden
ook tijdverschillen hun absolute betekenis verliezen. In plaats
van beide komt de minkowskimetriek, die wel een invariante betekenis
heeft. Het mathematische model voor ruimtetijd is de {\sl minkowskiruimte},
dit is een vier-dimensionale vlakke ruimte met een indefiniete metriek
met signatuur -2.

\subsubsection{Ruimtetijd volgens Einstein}

Dit is het ruimtetijd beeld van de algemene relativiteitstheorie.
Einstein formuleerde haar in 1915. Deze theorie is ontstaan uit de
confrontatie van de speciale relativiteitstheorie en de theorie van
de gravitationele wisselwerking. Ruimtetijd is in de algemene
relativiteitstheorie een {\sl riemannse ruimte} met signatuur -2.
In het speciale geval dat gravitatie te verwaarlozen is, krijgt
men de minkowskiruimte terug. Een drastisch verschil tussen de ruimtetijd
in de speciale en de algemene relativiteitstheorie is dat in de laatste
de structuur van ruimtetijd (in het bijzonder de metriek) wordt
bepaald door de materie. Het begrip materie wordt hier gebruikt in
een zeer ruime betekenis en het omvat naast deeltjes ook het
elektromagnetische veld, etc.

\subsubsection{Het begrip puntgebeurtenis}

We voeren in deze paragraaf een centraal begrip van de algemene
relativiteitstheorie in, namelijk het begrip {\sl puntgebeurtenis}\footnote{In
het Engels spreken van een {\sl event}.}. Dit is een zogeheten primitief
begrip, dit wil zeggen een begrip dat wordt gedefinieerd in termen van
andere begrippen. Wat dit betreft is het vergelijkbaar met het begrip
`punt' uit de euclidische meetkunde. Primitieve begrippen worden niet
gedefinieerd, omdat in hun definities weer andere begrippen optreden,
die weer gedefinieerd zouden moeten worden, enz. Aan deze oneindige
regressie wordt een einde gemaakt in de axiomatische methode. De
daarin optredende axioma's zijn te beschouwen als impliciete definities van
de in de theorie voorkomende primitieve begrippen. We volgen derhalve
een axiomatische opbouw van de algemene relativiteitstheorie. Hier
introduceren we het begrip puntgebeurtenis met voorbeelden. In de
materi\"ele werkelijkheid om ons heen vinden allerlei gebeurtenissen
plaats: de zon gaat op, twee auto's botsen op elkaar, ... Dat zijn
allemaal gebeurtenissen en karakteristiek voor gebeurtenissen is dat ze
zich in een zeker gebied van de ruimte afspelen en dat ze in een zeker tijdinterval
gebeuren. Gebeurtenissen zijn vaak zeer complex en we ontleden ze dan
ook verder. Een gebeurtenis kan worden beschouwd als te zijn opgebouwd uit zeer vele
gebeurtenissen, die op een kleiner gebied en een kleiner tijdinterval
betrekking hebben. Het ge\"{\i}dealiseerde limietgeveal van een gebeurtenis, die op
een oneindig klein gebied plaats heeft en oneindig kort duurt noemen we
een {\sl puntgebeurtenis}. Een puntgebeurtenis is een gebeurtenis met
een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip. Een voorbeeld
van een puntgebeurtenis is de explosie van een oneindig klein rotje
met een oneindig kort durende knal. Een ander voorbeeld is de botsing van
twee massapunten, immers als de twee massapunten elkaar raken is er sprake
van een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip.

Het begrip puntgebeurtenis houdt een extrapolatie van onze ervaring in,
omdat er een eindige ondergrens is voor het scheidend vermogen voor
afstanden en tijdsduren. Ieder fysisch proces is te beschouwen als een
collectie van puntgebeurtenissen. De verzameling van alle mogelijke
puntgebeurtenissen noemen we {\sl ruimtetijd}. Ruimtetijd is niet
slechts een verzameling, ruimtetijd heeft meer mathematische structuur.
Het fundamentele begrip in de differentiaalmeetkunde is dat van een
differentieerbare ruimte (differentieerbare vari\"eteit). We zullen
trachten plausibel te maken en daarna postuleren dat ruimtetijd een
differentieerbare vari\"eteit is.

\subsection{Meetkunde}

Het begrip differentieerbare vari\"eteit komt voort uit het werk van
Gauss en Riemann. In de `Elementen' van Euclides wordt de meetkunde
opgebouwd uitgaande van postulaten en axioma's. E\'en van deze postulaten,
het vijfde, lijkt minder vanzelfsprekend dan de overige, en men heeft
in de loop der eeuwen gepoogd dit postulaat te bewijzen met behulp van de
andere postulaten. Het vijfde postulaat stelt het volgende: laat $l_1$ en
$l_2$ rechten zijn die de rechte $l$ snijden met hoeken $\beta$ en $\alpha$,
dan impliceert $\alpha + \beta < 180^\circ$ dat $l_1$ en $l_2$ elkaar
snijden, aan die kant van de rechte $l$ waar ook de hoeken $\beta$ en $\alpha$
liggen. Er is een aantal equivalente formuleringen van het vijfde postulaat.
Twee ervan luiden als volgt:
\begin{itemize}
\item{} Door een punt $P$ buiten een rechte $l$ is precies \' e\' en rechte te
trekken die $l$ niet snijdt (parallellenpostulaat).
\item{} De som van de hoeken van een driehoek is $180^\circ$.
\end{itemize}
De pogingen om het parallellenpostulaat te bewijzen uit de overige faalden alle
en gaandeweg kwam met tot het inzicht dat meetkunde waarbij het parallellenpostulaat
niet geldig is tot de logische mogelijkheden behoort. Een dergelijke meetkunde
heet een niet-euclidische meetkunde.

\subsubsection{Niet-euclidische meetkunde}

Uit brieven blijkt dat C.F. Gauss (1777 - 1855) al in 1824 een vergaand
inzicht in de niet-euclidische meetkunde had. Hij maakte dit echter niet
publiek omdat hij hiervan teveel opschudding verwachtte. De niet-euclidische meetkunde
werd ook onafhankelijk door J. Bolyai (1802 - 1860) en N.I. Lobachevski (1793 - 1856)
geformuleerd.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/curve.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De raakvector in een punt van een kromme. Voor $\Delta \lambda \rightarrow 0$
naders ${\Delta \vec r \over \Delta \lambda}$ tot de raakvector.}
\label{fig:curve}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:curve} toont dat
een kromme is voor te stellen door de vergelijking $\vec r =  \vec r(\lambda )$,
met $\lambda$ de {\sl parameter} van de kromme. Voor de componenten $(x, y, z)$ van
de vector $\vec r$ geldt $x = x(\lambda )$, $y = y(\lambda )$ en $z = z(\lambda )$.
Een raakvector aan de kromme wordt gegeven door
\begin{equation}
{d\vec r \over d\lambda} = \lim_{\Delta \lambda \rightarrow 0}
{\vec r(\lambda + \Delta \lambda ) - \vec r (\lambda ) \over \Delta \lambda}.
\end{equation}
De booglengte langs de kromme tussen de punten $\vec r(\lambda_1)$ en $\vec r(\lambda_2)$
wordt gegeven door
\begin{equation}
s \equiv \int_{\vec r(\lambda_1)}^{\vec r(\lambda_2)} \left| d\vec r \right| =
\int_{\lambda_2}^{\lambda_1} \left| {d\vec r \over d\lambda} \right| d\lambda =
\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \sqrt{ {d\vec r \over d\lambda}\cdot{d\vec r \over d\lambda}} d\lambda .
\end{equation}
De booglengte $s$ tot een vast punt op de kromme is ook te gebruiken als parameter
in plaats van $\lambda$, immer $s = s(\lambda )$. Men schrijft $\vec r = \vec r(s)$,
en de raakvector is dan
\begin{equation}
\vec t \equiv {d\vec r \over ds}.
\end{equation}
Merk op dat dit een eenheidsvector is, $\vec t \cdot \vec t = {d\vec r \over ds} \cdot
{d\vec r \over ds} =1$, omdat $(ds)^2 = d\vec r \cdot d\vec r$.
Uit $\vec t \cdot \vec t = 1$ volgt door differentiatie naar $s$, dat $\vec t \cdot \dot{\vec t} = 0$,
zodat $\dot{\vec t} = {d\vec t \over ds}$ loodrecht op $\vec t$, dus op de raaklijn staat.
De hoofdnormaal $\vec n$ is per definitie de eenheidsvector in de richting van
$\dot{\vec t}$, dus
\begin{equation}
\dot{\vec t} = \kappa \vec n~~~~~~~~~~{\rm met~\kappa = \kappa (s)}.
\label{eq:tpunt}
\end{equation}
Uit het bovenstaande volgt $\vec t \cdot \vec n = 0$ en uit vergelijking (\ref{eq:tpunt})
met $\vec n^2 = 1$, dat $\kappa = \left| \dot{\vec t} \right|$, waarbij $\kappa$ de
{\sl kromming} van de curve is. Tenslotte wordt de binormaal $\vec b$ gedefinieerd door
\begin{equation}
\vec b = \vec t \times \vec n .
\label{eq:bpunt}
\end{equation}
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Figures/frenet.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Meebewegend orthonormaal co\"ordinatenstelsel $\{\vec t, \vec n, \vec b\}$ van een kromme.
De triade bestaat uit de tangentvector $\vec t$, de normaalvector $\vec n$ en de binormaalvector
$\vec b$.}
\label{fig:frenet}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:frenet} toont dat in
ieder punt $\vec r(s)$ van de kromme er nu een drietal vectoren {$\vec t, \vec n, \vec b$} bestaat.
Dit stelsel heet de meebewegende triade. Ze vormen een orthonormaal stelsel.

\medskip
\noindent
Uit vergelijking ($\ref{eq:bpunt}$) volgt $\vec b \cdot \vec t = 0$. Differentiatie naar $s$
geeft, met vergelijkingen ($\ref{eq:tpunt}$) en ($\ref{eq:bpunt}$)
\begin{equation}
0 = \dot{\vec b} \cdot \vec t + \vec b \cdot \dot{\vec t}
= \dot{\vec b} \cdot \vec t + \kappa \vec b \cdot \vec n = \dot{\vec b} \cdot \vec t .
\end{equation}
Uit $\vec b \cdot \vec b = 1$ volgt $\dot{\vec b} \cdot \vec b = 0$ en we zien
dat $\dot{\vec b}$ parallel is aan vector $\vec n$. Men definieert $\tau = \tau (s)$
met $\dot{\vec b} = -\tau \vec n$, waarbij $\tau$ de {\sl torsie} van de kromme wordt genoemd.
Tenslotte volgt uit $\vec n = \vec b \times \vec t$ dat
\begin{equation}
\dot{\vec n} = \dot{\vec b} \times \vec t + \vec b \times \dot{\vec t}
= -\tau \vec n \times \vec t + \kappa \vec b \times \vec n = \tau \vec b - \kappa \vec t .
\end{equation}
Samenvattend geldt
\begin{equation}
\begin{array}{ccccc}
\dot{\vec t} & = & & \kappa \vec n & \\
\dot{\vec n} & = & -\kappa \vec t & & +\tau \vec b \\
\dot{\vec b} & = & & -\tau \vec n & \\
\end{array}
\end{equation}
en dit zijn de formules van Frenet (1847) en Serret (1850). Een gevolg hiervan is dat
bij gegeven kromming en torsie door integratie van deze eerste-orde differentiaalvergelijkingen
de kromme op een verplaatsing na (integratieconstanten) vastligt.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/plane.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Kromme door punt $P$ in het oppervlak $\Sigma$. Beschouw alle krommen
door $P$. De verzameling van alle raakvectoren in $P$ van al deze krommen
vormt de tangentenvectorruimte $T_P$.}
\label{fig:plane}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Vervolgens beschouwen we gebogen oppervlakken in $E^3$. In de tijd voor Gauss
werd een gebogen oppervlak voorgesteld door $z = f(x,y)$ of $w(x,y,z) = 0$. In het
bijzonder kan men krommen in een dergelijk oppervlak beschouwen en voor deze
krommen kan men uiteraard de bovenstaande begrippen invoeren.
Fig. \ref{fig:plane} toont dat $\gamma$ een
kromme in het oppervlak $\Sigma$ is met $P$ een punt op $\gamma$. Dan heeft $\gamma$
een raakvector ${d\vec r \over d\lambda}$ in het punt $P$. Beschouw nu alle mogelijke
krommen in $\Sigma$ door $P$, dan vormt de verzameling van alle bijbehorende
raakvectoren ${d \vec r \over d\lambda}$ een twee-dimensionale vectorruimte $T_P$,
de raakvectorruimte, tangentenvectorruimte of raakvlak genoemd. De normaal $\vec n$
in $P$ op het oppervlak $\Sigma$ is de eenheidsvector in $P$ loodrecht op $T_P$.
Het volgende resultaat was reeds v\' o\' or Gauss bekend.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/euler1.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Door $P$ gaat een vlak $X$ dat normaalvector $\vec n$ bevat. Het vlak $X$
snijdt gebogen oppervlak $\Sigma$ langs curve $\gamma$. De eenheidsvector $\vec t$
is tangentiaal aan $\gamma$ en geeft de richting van deze snede. De vector $\vec t$
ligt in het tangentenvlak $T_P$.}
\label{fig:euler1}
\end{figure}

\medskip
\noindent
\underline{Stelling van Euler (1760):} Zij $P$ een punt van het oppervlak $\Sigma$ en
zij $\vec n$ de normaal in $P$ op $\Sigma$ (zie Fig. \ref{fig:euler1}).
Zij $X$ een vlak door $\vec n$ en zij
$\gamma$ de doorsnijding van $X$ en $\Sigma$ (dit is een kromme) en laat $\kappa$
de kromming van $\gamma$ in $P$ zijn. Dan bestaat er een vlak $X_1$ (respectievelijk $X_2$)
door $\vec n$ waarvoor $\kappa_\gamma$ maximaal (respectievelijk minimaal) is en men
noemt deze kromming dan $\kappa_1$ (respectievelijk $\kappa_2$). Als het vlak $X$
een hoek $\theta$ maakt met $X_1$, dan geldt
\begin{equation}
\kappa_\gamma = \kappa_1 \cos^2{\theta} + \kappa_2 \sin^2{\theta} .
\end{equation}
De krommingen $\kappa_1$ en $\kappa_2$ heten de hoofdkrommingen.

\medskip
\noindent
De theorie van de gebogen oppervlakken werd aanzienlijk verder ontwikkeld door
C.F. Gauss in zijn artikel `Disquisitiones generales circa superficies curvas' uit
1827. Gauss beschreef hierin een oppervlak met behulp van de parametervoorstelling
$x = x(u,v)$, $y=y(u,v)$ en $z=z(u,v)$ of samengevat $\vec r = \vec r (u,v)$ en
zoals Fig. \ref{fig:gauss} toont
ontstaan hiermee op het oppervlak krommen $u = {\rm constant}$ en $v={\rm constant}$.
We benadrukken dat een punt op het oppervlak $\Sigma$ wordt vastgelegd door twee
re\"ele parameters $u$ en $v$, namelijk $\vec r = \vec r(u,v)$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/gauss.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Co\"ordinaten van Gauss voor de beschrijving van een gebogen oppervlak.}
\label{fig:gauss}
\end{figure}
Een kromme $\vec r = \vec r(\lambda )$ in het oppervlak $\Sigma$ is dus ook te
geven door een parametervoorstelling $u = u(\lambda )$ en $v=v(\lambda )$. De
afstand $ds$ tussen twee infinitesimaal van elkaar verwijderde punten
$\vec r(u,v)$ en $\vec r(u+du, v+dv)$ wordt gegeven door $(ds)^2 = d\vec r\cdot d\vec r$
met
\begin{equation}
d\vec r = \vec r(u+du, v+dv) - \vec r(u,v) = {\partial \vec r \over \partial u} du
+{\partial \vec r \over \partial v} dv = \vec r_u du + \vec r_v dv .
\end{equation}
We vinden hiermee voor de afstand
\begin{equation}
(ds)^2 = \left( \vec r_u du + \vec r_v dv \right) \cdot \left( \vec r_u du + \vec r_v dv \right)
=\vec r_u \cdot \vec r_u (du)^2 + 2\vec r_u \cdot \vec r_v du dv + \vec r_v \cdot \vec r_v (dv)^2.
\end{equation}
Met de traditionele afkortingen $E \equiv \vec r_u \cdot \vec r_u$,
$F \equiv \vec r_u \cdot \vec r_v$ en $G \equiv \vec r_v \cdot \vec r_v$ vinden we
\begin{equation}
(ds)^2 = E(du)^2 + 2Fdudv +G(dv)^2,
\end{equation}
met $E$, $F$ en $G$ functies van $u$ en $v$. Deze kwadratische vorm voor $(ds)^2$
heet de eerste fundamentaalvorm of de {\sl metriek}. Als het oppervlak $\Sigma$
een plat vlak is dan geldt bijvoorbeeld
\begin{equation}
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 = (dr)^2 + r^2(d\phi )^2,
\end{equation}
naar gelang men voor $(u,v)$ cartesische co\"ordinaten of poolco\"ordinaten
kiest. Tegenwoordig noteert men voor $(u,v)$ ook wel $(x^1, x^2)$, dus
\begin{equation}
(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} dx^idx^j,~~~~~~~~g_{ij}=g_{i,j}(x^1,x^2),
\end{equation}
met
\begin{equation}
g_{11}(x^1,x^2) \equiv E(x^1,x^2)=\vec e_1 \cdot \vec e_1, ~~
g_{12} = g_{21} \equiv F=\vec e_1 \cdot \vec e_2, ~~{\rm en}~~
g_{22} \equiv G=\vec e_2 \cdot \vec e_2,
\end{equation}
waarbij $\vec e_1 \equiv {\partial \vec r \over \partial x^1} = \vec r_u$ de raakvector
aan de co\"ordinaatlijn $x^2 = {\rm constant}$ en
$\vec e_2 \equiv {\partial \vec r \over \partial x^2} = \vec r_v$ de raakvector
aan de co\"ordinaatlijn $x^1 = {\rm constant}$ is. Dus $g_{ij}=\vec e_i \cdot \vec e_j = g_{ji}$.
De vectoren $\vec e_1$ en $\vec e_2$ vormen een basis van de twee-dimensionale
raakvectorruimte in $\vec r = \vec r (u,v)$ aan $\Sigma$. Iedere raakvector in dit
punt is een lineaire combinatie van $\vec e_1$ en $\vec e_2$,
\begin{equation}
\vec a = \sum_{i=1}^{2} a^i \vec e_i~~~~~{\rm en~ook}~~~~~
\vec b = \sum_{i=1}^{2} b^i \vec e_i .
\end{equation}
Voor het inproduct in de raakvectorruimte geldt
\begin{equation}
\vec a \cdot \vec b = \sum_{i=1}^{2} a^i \vec e_i \cdot \sum_{j=1}^{2} b^j \vec e_j
=a^1b^1\vec e_1 \cdot \vec e_1 + a^1b^2\vec e_1 \cdot \vec e_2 +
a^2b^1\vec e_2 \cdot \vec e_1 + a^2b^2\vec e_2 \cdot \vec e_2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} a^ib^j.
\end{equation}

\medskip
\noindent
Zij $\gamma$ een kromme in het oppervlak $\Sigma$ en laat $A$ en $B$ twee punten op
$\gamma$ zijn, dan definieert men de booglengte $s_\gamma$ langs $\gamma$ tussen
$A$ en $B$ als $s_\gamma = \int_{A}^{B} ds$. Als de kromme $\gamma$ wordt voorgesteld
door $u = u(\lambda )$ en $v=v(\lambda )$, dan volgt in verband met $ds = {ds \over
d\lambda}d\lambda$ dat
\begin{equation}
s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ E \left( {du \over d\lambda} \right)^2
+ 2F \left( {du \over d\lambda}{dv \over d\lambda} \right)
+ G \left( {dv \over d\lambda} \right)^2 } d\lambda
= \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} (x^1, x^2)
{dx^i \over d\lambda}{dx^j \over d\lambda} } d\lambda .
\label{eq:afstand}
\end{equation}
Laat $A$ en $B$ twee punten van het oppervlak $\Sigma$ zijn, dan is de {\sl geodeet}
door $A$ en $B$ die kromme $\gamma$ in $\Sigma$ waarvoor de booglengte $s_\gamma$
tussen $A$ en $B$ minimaal (of extremaal) is. In het euclidische vlak is een rechte
een geodeet en omgekeerd. Op de bol is een grote cirkel (dit is een cirkel waarvan
het vlak door het middelpunt van de bol gaat) een geodeet en omgekeerd. Merk op
dat de intrinsieke meetkunde van het oppervlak, dat is de meetkunde van
twee-dimensionale wezens die in het oppervlak leven en die geen weet hebben van
de drie-dimensionale ruimte, geheel bepaald wordt door de metriek $(ds)^2$. De
hoofdkrommingen $\kappa_1$ en $\kappa_2$ van een punt $P$ in $\Sigma$ zijn
intrinsieke eigenschappen van het oppervlak. Dit is eenvoudig in te zien aan de hand
van het volgende voorbeeld. Voor een plat vlak (bijvoorbeeld een vel papier)
geldt $\kappa_1 = \kappa_2 = 0$ en $(ds)^2=(dx)^2 + (dy)^2$. Als het vel papier
tot een cylinder wordt gevouwen, dan gebeurt er niets met de metriek, maar $\kappa_2$
wordt ongelijk aan nul. Het opmerkelijke is nu, dat er een combinatie van $\kappa_1$
en $\kappa_2$ bestaat die ongewijzigd blijft bij het vouwen van het papier. Dit
is de gausskromming.

\medskip
\noindent
\underline{Theorema egregium van Gauss:} De gausskromming $\kappa \equiv \kappa_1\kappa_2$
is een intrinsieke grootheid, dit wil zeggen geheel bepaald door de metriek, namelijk
\begin{equation}
\kappa = -{1 \over 4W^4} \left|
\begin{array}{ccc}
E & E_u & E_v \\
F & F_u & F_v \\
G & G_u & G_v \\
\end{array}
\right| - {1 \over 2W} \left\{ {\partial \over \partial v} \left( { E_v - F_u \over W}
\right) - {\partial \over \partial u} \left( {F_v - G_u \over W} \right) \right\} ,
\end{equation}
met $W \equiv \sqrt{ EG - F^2}$.

\medskip
\noindent
Merk op dat $\kappa$ slechts afhangt van de metriek via $E$, $F$ en $G$ en eerste en
tweede orde afgeleiden hiervan, waardoor $\kappa$ inderdaad een intrinsieke grootheid
is. De hoofdkrommingen hangen bovendien nog af van de wijze waarop het oppervlak
is ingebed in de drie-dimensionale ruimte. De gausskromming is een functie van $u$ en $v$,
$\kappa = \kappa (u,v)$. Oppervlakken van constante kromming zijn oppervlakken waarvoor
$\kappa (u,v) = {\rm constant}$. Hiervan bestaan drie typen, namelijk
\begin{enumerate}
\item{} het sferische vlak (eenheidsbol) met metriek
\begin{equation}
(ds)^2 = (du)^2 + \sin^2{u}(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = +1;
\end{equation}
\item{} het euclidische vlak (in poolco\"ordinaten) met metriek
\begin{equation}
(ds)^2 = (du)^2 + u^2(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = 0;
\end{equation}
\item{} het hyperbolische vlak met metriek
\begin{equation}
(ds)^2 = (du)^2 + \sinh^2{u}(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = -1.
\end{equation}
\end{enumerate}
Het laatste geval is de niet-euclidische meetkunde van Gauss-Lobachevski-Bolyai.

\medskip
\noindent
In het volgende beschouwen we een infinitesimaal parallellogram in $\Sigma$
(zie Fig. \ref{fig:parallellogram}).
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/parallellogram.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Een infinitesimaal parallellogram in een gebogen oppervlak.}
\label{fig:parallellogram}
\end{figure}
De zijden $\vec r_udu$ en $\vec r_vdv$ resulteren in een oppervlakte
$d\sigma = \left| \vec r_ \times \vec r_v \right| du dv$.
Merk op dat $\left| \vec a \times \vec b \right|^2 = a^2b^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2$
omdat $\sin^2{\chi} + \cos^2{\chi} = 1$. Dus volgt
\begin{equation}
d\sigma = \sqrt{EG - F^2} dudv.
\end{equation}
De stelling uit de euclidische meetkunde die zegt dat de som van de hoeken van
een driehoek $\pi$ is kan nu worden gegeneraliseerd. Een driehoek in het oppervlak
$\Sigma$ is een drietal punten $A$, $B$ en $C$ in $\Sigma$ verbonden door de
geodeten tussen puntenparen (zie Fig. \ref{fig:driehoek}).
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/driehoek.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Een geodetendriehoek.}
\label{fig:driehoek}
\end{figure}
Laat $\vec t_1$ en $\vec t_2$ eenheidsraakvectoren in $A$ zijn aan de twee geodeten
(de zijden $AB$ en $AC$ van de geodetendriehoek) door $A$, dan is de hoek $\alpha$
gedefinieerd met behulp van
\begin{equation}
\cos{\alpha} = \vec t_1 \cdot \vec t_2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} t_1^i t_2^j.
\end{equation}
Voor $B$ en $C$ analoog. Dan geldt
\begin{equation}
\alpha + \beta + \gamma -\pi = \int \kappa d\sigma ,
\end{equation}
waarbij de integraal over het oppervlak van de geodetendriehoek wordt
uitgevoerd en $\kappa$ de gausskromming is. In het bijzondere geval van een oppervlak met
constante kromming geldt $\alpha + \beta + \gamma - \pi = \kappa \Delta$,
waarin $\Delta$ het oppervlak van de driehoek is; voor $\kappa = 0$ wordt
inderdaad het resultaat uit de euclidische meetkunde teruggevonden.

\subsubsection{Riemannse meetkunde}

De tweede belangrijke stap in de ontwikkeling van de differentiaalmeetkunde
werd gezet door B. Riemann (1826 - 1866) in een colloqium, gehouden op 10
juni 1854, voor de filosofische faculteit van de universiteit van G\"ottingen,
waarvan de titel luidde `Ueber die hypothesen welche der Geometrie zu Grunde
liegen'. Hierin gaf hij aan hoe een twee-dimensionaal gekromd oppervlak kan
worden gegeneraliseerd tot `eind n fach ausgedehnte M\"anigfaltigkeit' en
bovendien introduceerde hij een afstandsbegrip voor de $n$-dimensionale
ruimte (riemannse meetkunde). De `n fach ausgedehnte M\"anigfaltigkeit' is wat
tegenwoordig een $n$-dimensionale differentieerbare vari\"eteit wordt genoemd.

\medskip
\noindent
De generalisatie is als volgt: Gauss beschreef de punten van een
twee-dimensionaal oppervlak met behulp van een tweetal re\"ele co\"ordinaten
$(u,v)\equiv (x^1, x^2)$. Riemann beschreef de punten van een
$n$-dimensionale differentieerbare vari\"eteit met behulp van re\"ele
co\"ordinaten $(x^1, x^2, ... , x^n)$. Bij Gauss is de afstand tussen twee
infinitesimaal verwijderde punten
\begin{equation}
(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} (x^1,x^2)dx^idx^j
\end{equation}
en bij Riemann wordt dit gegeneraliseerd tot
\begin{equation}
(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{n} g_{ij} (x^1,...,x^n)dx^idx^j .
\end{equation}
De afstand tussen twee punten op een kromme $\gamma \equiv x^i = x^i(\lambda)
~~~(i=1,2,...,n)$ in een $n$-dimensionale ruimte wordt hiermee
gegeneraliseerd tot (zie vergelijking (\ref{eq:afstand})
\begin{equation}
s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ \sum_{i,j=1}^{n} g_{ij} (x^1,..., x^n)
{dx^i \over d\lambda}{dx^j \over d\lambda} } d\lambda .
\label{eq:afstand1}
\end{equation}
Een kromme heet weer een geodeet als $s_\gamma$ extremaal is. In het bijzondere
geval van een euclidische ruimte geldt $g_{ij} = \delta_{ij}$, zodat
vergelijking (\ref{eq:afstand1}) overgaat in
\begin{equation}
s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}
\left( {dx^i \over d\lambda} \right)^2 } d\lambda .
\end{equation}
Als $\gamma$ een rechte lijn is\footnote{In dat geval geldt $x^i = a^i \lambda + b^i$
en wordt bijvoorbeeld $\lambda_A = {x_A^i - b^i \over a^i}$. Dan geldt
${dx^i \over d\lambda } = a^i$ waardoor de afgeleide niet meer van $\lambda$
afhangt en buiten de integraal gehaald kan worden. Verder schrijven we $x_A^i = A^i$.}, krijgt men
\begin{equation}
s_\lambda^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( {dx^i \over d\lambda} \right)^2
\left\{ \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} d\lambda \right\}^2
= \sum_{i=1}^{n} \left( {dx^i \over d\lambda} \right)^2
\left( \lambda_B - \lambda_A \right)^2
%= \sum_{i=1}^{n} \left( {dx^i \over d\lambda}\lambda_B -
%{dx^i \over d\lambda}\lambda_A \right)^2
= \sum_{i=1}^{n} \left( B^i - A^i \right)^2 .
\end{equation}
Dit is de stelling van Pythagoras voor een $n$-dimensionale ruimte.

\medskip
\noindent
Een verdere belangrijke bijdrage van Riemann is zijn generalisatie van de
kromming van Gauss tot een $n$-dimensionale ruimte: {\sl de
krommingstensor van Riemann}. De krommingstensor speelt een uitermate
belangrijke rol in Einstein's gravitatietheorie.

\subsection{Diffentieerbare vari\"eteit}

In de vorige paragraaf werden twee-dimensionale gekromde oppervlakken
besproken. Deze waren ingebed in de drie-dimensionale wereld. Een
belangwekkende vraag is nu: kan men over dergelijke twee-dimensionale
oppervlakken spreken zonder het hulpmiddel van de drie-dimensionale
euclidische ruimte? In de algemene relativiteitstheorie is ruimtetijd
een gekromde vier-dimensionale ruimte; deze willen we graag beschrijven
zonder haar in te bedden in een hoger dimensionale euclidische
ruimte. Het antwoord is bevestigend, zoals blijkt uit het volgende
voorbeeld: in de geografie beschrijft men het aardoppervlak, een
oppervlak dat ongelijk is aan de twee-dimensionale ruimte $\mathbb{E}^2$,
met behulp van een atlas, bestaande uit twee-dimensionale kaarten,
waarbij de drie-dimensionale ruimte niet nodig is. Een kaart beschrijft
het stukje van het aardoppervlak met behulp van een stukje $\mathbb{R}^2$,
zie Fig. \ref{fig:aarde}.
\medskip
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/aarde.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Het aardoppervlak kan in kaart worden
gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende
kaarten ($n=2$ kaarten).
Voor het realiseren van een kaart zijn verschillende
afbeeldingen $\kappa$ mogelijk.
Links projecteren we het noordelijk halfrond op een kaart.
Rechts passen we cilinderprojectie toe (de polen worden hierbij niet
correct afgebeeld. Mercatorprojectie is een cilinderprojectie, waarna
een breedtegraat-afhankelijke schaalcorrectie wordt toegepast, hetgeen
leidt tot hoekgelijkheid.}
\label{fig:aarde}
\end{figure}
Het gehele aardoppervlak (zie Fig. \ref{fig:aarde}) wordt in kaart
gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende
kaarten. Teneinde ook de polen goed te kunnen afbeelden zijn er
minstens 2 kaarten nodig. Merk op dat wanneer we een klein gebied
rond een bepaald punt steeds verder uitvergroten, we de topologische
structuur van de euclidische ruimte meer en meer benaderen.

\medskip
\noindent
Wiskundig gebruiken we de volgende definities.
Stel dat $\Sigma$ een verzameling is. Een {\sl $n$-kaart} van een punt
$\mathcal{P}$ van $\Sigma$ is een paar $(U,\kappa )$, waarbij $U \subset \Sigma$
een deelverzameling is die $\mathcal{P}$ bevat, en $\kappa$ een
bijectieve afbeelding $\kappa : U \longmapsto O \subset \mathbb{R}^n$ met $O$
een open deelverzameling van $\mathbb{R}^n$.
Een kaart $(U,\kappa )$ voegt aan ieder punt $\mathcal{P} \in U \subset \Sigma$
{\sl co\"ordinaten} $(x^1,x^2,...,x^n)$ toe gedefinieerd door
$(x^1,x^2, ..., x^n) \equiv \kappa (\mathcal{P}) \in \mathbb{R}^n$.
We noteren ook wel korter $(x^i) \equiv (x^1,x^2, ...,x^n)$, waarbij
stilzwijgend $i=1,2,...,n$. De associatie van punten met de waarden van
hun parameters kan men zien als een afbeelding van punten van een vari\" eteit
naar punten van de euclidische ruimte met de juiste dimensie. Een vari\" eteit
lijkt lokaal op een euclidische ruimte: hij is `glad' en heeft een bepaald
aantal dimensies.

Via de afbeelding $\kappa$ krijgt de oorspronkelijke
deelverzameling $U$ van $\Sigma$ eveneens sommige van de structuren die de
open deelverzameling $O \subset \mathbb{R}^n$ heeft. Een kaart geeft een
{\sl co\"ordinatisering} van $U$; een kaart wordt ook wel een {\sl co\"ordinatenstelsel
van $U$} genoemd. De co\"ordinatenlijnen in $O$ worden met $\kappa^{-1}$ teruggebracht
naar $U$.

Een kaart moet een bijectieve, bicontinue afbeelding zijn
van het aardoppervlak naar $\mathbb{R}^2$. Een bijectieve afbeelding
$\kappa$ heet {\sl bicontinu} als $\kappa$ en $\kappa^{-1}$ continu
zijn. Een bicontinue bijectie heet een {\sl homeomorfisme}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/kaart.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Twee elkaar overlappende kaarten $(U,\kappa)$ en $(U^\prime ,\kappa^\prime )$.}
\label{fig:kaart}
\end{figure}
We vatten alles nog eens samen in Fig. \ref{fig:kaart}.

\medskip
\noindent
Een $n$-atlas op $\Sigma$ is een collectie kaarten $\{ (U_\alpha , \kappa_\alpha )\}$
zo dat $\{U_\alpha \}$ een overdekking van $\Sigma$  is, dit wil zeggen
$\Sigma = \cup_{\alpha} U_\alpha$. Door een atlas wordt ieder punt van $\Sigma$
minstens \' e\' en keer in kaart gebracht. Door de atlas op verzameling $\Sigma$
wordt het mogelijk analyse te bedrijven en kan men bijvoorbeeld over differentieerbaarheid
gaan praten.

\medskip
\noindent
Samenvattend kunnen we het volgende zeggen.
Het begin is een structuurloze verzameling $\Sigma$. $\Sigma$ wordt
verdeeld in elkaar gedeeltelijk overlappende deelverzamelingen, en
deze deelverzamelingen worden stuk voor stuk in kaart gebracht,
met andere woorden deze deelverzamelingen worden geco\"ordinatiseerd.
Als $\Sigma$ helemaal is overdekt door zulke gebiedjes, en als de
overgangen tussen de verschillende co\"ordinatenstelsels voldoende
vaak differentieerbaar zijn, dan heet $\Sigma$ een differentieerbare
vari\"eteit.

\subsection{Differentiaal topologie}

We bespreken nu eerst een aantal objecten die leven in een vari\" eteit zonder
dat er een metriek hoeft te bestaan (die voegen we later toe).
Onze doelstelling is om alle fundamentele wetten van de natuur uit te drukken
in dergelijke topologische objecten. {\sl De fundamentele wetten van de
natuurkunde zijn onafhankelijk van de keuze van het referentiesysteem.}
Door gebruik te maken van topologische objecten (tensoren) kunnen we dit het
best tot uitdrukking brengen.

\subsubsection{Puntgebeurtenis}

Het primitieve concept van een puntgebeurtenis $\mathcal{P}$ hebben we
reeds besproken. De belangrijkste eigenschap is dat we een puntgebeurtenis
kunnen identificeren en hiervoor is geen metriek nodig.
\subsubsection{Curve}

Een curve $\mathcal{P}(\lambda )$ is ook te identificeren. Als een
metriek ontbreekt kunnen we echter niet spreken over lengte langs een curve.

\subsubsection{Differentieerbare vari\" eteit en scalar veld}

We beschouwen enkel differentieerbare
vari\" eteiten en dat zijn ruimten die continu en differentieerbaar zijn.
Dit betekent dat we op elk punt van de vari\" eteit een scalair veld
$\Phi$ kunnen definieren en dat deze functie overal kan worden
gedifferentieerd.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/manifold.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Grafische voorstelling van een differentieerbare vari\"eteit $\mathcal{S}$.
Binnen een lokaal gebied kan een kaart met gladde (re\"ele getallen) co\"ordinaten $(x,y)$
de punten in de vari\"eteit labelen. Om de hele vari\"eteit te bestrijken dienen
we verschillende kaarten samen te `lijmen'.}
\label{fig:manifold}
\end{figure}
Stel we hebben een gladde functie $\Phi$ gedefinieerd op $\mathcal{S}$, denk
bijvoorbeeld aan de temperatuur op het aardoppervlak. In moderne wiskundige
taal is $\Phi$ dan een gladde afbeelding van $\mathcal{S}$ naar de ruimte
van re\"ele getallen $\mathbb{R}$, omdat $\Phi$ aan ieder punt van
$\mathcal{S}$ een re\"eel getal toekent, dit wil zeggen $\Phi$ maakt
een afbeelding van $\mathcal{S}$ naar de re\"ele getallen. Een
dergelijke functie wordt vaak een {\sl scalair veld} op $\mathcal{S}$ genoemd.
Binnen een bepaald lokaal gebied heeft $\Phi$ dan een co\"ordinatenvergelijking
$\Phi = f(x,y)$ op de bijbehorende kaart. De gladheid van het scalaire
veld $\Phi$ komt dan tot uitdrukking in de {\sl differentieerbaarheid}
van de functie $f(x,y)$. Het zal de lezer opgevallen zijn dat onderscheid
wordt gemaakt tussen $\Phi$ en $f$. De reden is $\Phi$ gedefinieerd
is op het oppervlak, maar uitgedrukt kan worden in verschillende
co\"ordinatensystemen. De wiskundige uitdrukking voor $f(x,y)$ kan
verschillende voor verschillende kaarten, terwijl de grootheid $\Phi$
op elk specifiek punt van het oppervlak bestreken door deze kaarten
niet verandert. Voor een andere kaart in Fig. \ref{fig:manifold}
geldt bijvoorbeeld $\Phi = F(X,Y)$. Als de kaarten overlappen geldt
$f(x,y) = F(X,Y)$. De specifieke uitdrukking voor $F$, in termen
van $X$ en $Y$, zal in het algemeen verschillen van de uitdrukking
voor $f$ in termen van $x$ en $y$. In het algemeen is $X$ een
gecompliceerde functie van $x$ en $y$ in het overlap gebied,
en dat geldt ook voor $Y$. Met deze functies dienen we rekening
te houden als we van $f$ naar $F$ gaan. Dergelijke functie, die de
co\"ordinaten van \' e\' en systeem beschrijven in termen van die
van het andere systeem,
\begin{equation}
X=X(x,y)~~~~~{\rm en}~~~~~Y=Y(x,y)
\end{equation}
en hun inverse
\begin{equation}
x=x(X,Y)~~~~~{\rm en}~~~~~y=y(X,Y)
\end{equation}
noemen we {\sl overgangsfuncties}.

\subsubsection{Definitie van een vector}

Het begrip vector is ontstaan in de fysica en wel door de begrippen
snelheid, versnelling, enzovoort. Deze grootheden hebben een grootte
en een richting en ze kunnen worden opgeteld en met een re\" eel getal
vermenigvuldigd.
Veel verwarring komt voort uit het feit dat de naam `vector' refereert
naar twee verschillende concepten: enerzijds een zuiver numeriek object
(een rij of kolom getallen) en anderzijds een object met geometrische
of topologische eigenschappen. In deze laatste betekenis is de vector
onafhankelijk van het referentiesysteem en heeft daarom geen unieke
decompositie in numerieke elementen. We benadrukken het om een vector
(of meer algemeen een tensor)
te zien als een `geometrisch object', iets dat men zich kan voorstellen
zonder te moeten refereren naar een specifiek referentiesysteem.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/vectorfield.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Grafische voorstelling van een vectorveld als een
`verdeling van pijltjes over de vari\"eteit' getekend op $\mathcal{S}$.}
\label{fig:vectorveld}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:vectorveld} geeft een voorstelling van een vectorveld,
bijvoorbeeld de horizontale windsnelheid op het oppervlak van de aarde.

\medskip
Een topologische vector is een object $\vec x$ dat leeft in een bepaalde ruimte,
in ons voorbeeld een niet-euclidische twee-dimensionale ruimte met
constante positieve kromming\footnote{Andere voorbeelden zijn de
Hilbertruimte met complexe golffuncties van de quantummechanica,
of de Minkowskiruimte van de
speciale relativiteitstheorie.}. De vector heeft een bepaalde betekenis
in die ruimte en stelt in ons voorbeeld de horizontale windsnelheid
op het oppervlak van de aarde voor.
We kunnen vectoren tekenen als pijltjes, zonder
te refereren naar een bepaalde basis, en dat hebben we gedaan in
Fig. \ref{fig:vectorveld}. We kunnen twee vectoren optellen
door het begin van een vector aan de eind van de andere vector te plaatsen;
een eenvoudige grafische regel.

\medskip
\noindent
Er is geen unieke manier om een topologische
vector te expanderen in termen van componenten. Zonder verdere
informatie is een statement als
\begin{equation}
x = \left(
\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
zonder enige betekenis, omdat we niet weten welke basis we dienen te gebruiken.
Wat we dienen te doen is iets te schrijven als
\begin{equation}
\vec x \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{}
\left( \begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right),
\label{eq:vector1}
\end{equation}
waarmee we met het pijltje $\xrightarrow[ O ]{}$ bedoelen dat de vector
componenten heeft die gegeven zijn in het referentiesysteem van
waarnemer $\mathcal{O}$ (het $(x,y)$ systeem).
De vector $\vec x$ is een pijl tussen de
met als componenten een verzameling van co\"ordinaten
afhankelijke getallen. We kunnen ook schrijven
\begin{equation}
\vec x =  a \vec e_{x(\mathcal{O})} + b \vec e_{y(\mathcal{O})},
\end{equation}
waarbij $\vec e_{x(\mathcal{O})}$ en $\vec e_{y(\mathcal{O})}$
de basisvectoren in het
referentiesysteem van waarnemer $\mathcal{O}$ zijn. We hadden net zo goed
een andere waarnemer kunnen kiezen, bijvoorbeeld $\overline{\mathcal{O}}$,
en dan geldt
\begin{equation}
\vec x \xrightarrow[ \overline{\mathcal{O}} ]{}
\left( \begin{array}{c}
p \\
q \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
waarbij
\begin{equation}
\vec x =  p \vec e_{X(\overline{\mathcal{O}})} +
q \vec e_{Y(\overline{\mathcal{O}})},
\label{eq:vector2}
\end{equation}
met $\vec e_{X(\overline{\mathcal{O}})}$ en $\vec e_{Y(\overline{\mathcal{O}})}$
de basisvectoren in het
referentiesysteem van waarnemer $\overline{\mathcal{O}}$ (het $(X,Y)$ systeem).
Merk op dat vergelijkingen
(\ref{eq:vector1}) - (\ref{eq:vector2}) alle geldige beschrijvingen zijn van
{\sl dezelfde} topologische vector $\vec x$.

Het verleidelijk om te denken dat het symbool $\vec e_x$ de $x$-component van
de $\vec e$-vector voorstelt. We bedoelen echter met $\vec e_x$ een volledige vector,
waarbij het subscript $x$ onderdeel is van de naam van de vector en aangeeft
welke van de basisvectoren we bedoelen (namelijk de basisvector in de $x$-richting).
De vector $\vec e_x$ heeft zelf componenten, waarvan de $x$-component geschreven
kan worden als $(\vec e_x)_x$. De volledige basis\footnote{Er worden vaak andere symbolen
gebruikt voor de basisvectoren, zoals $\bf i$, $\bf j$ en $\bf k$. Ook is het
mogelijk om $\vec e$ te zien als een object met hogere rang, bijvoorbeeld een
vector van vectoren. Dat is niet fout, maar in ons geval ook niet nuttig.}
geven we in dit geval aan met \{$\vec e_x, \vec e_y$\}.

\medskip
\noindent
Elke complete set vectoren kan gebruikt worden als basis. In Fig. \ref{fig:manifold}
zijn de referentiesystemen van drie waarnemers weergegeven. Een topologische
vector wordt voorgesteld door de pijl (zie Fig. \ref{fig:vectorveld}) en hoort niet bij een of
ander referentiesysteem. Het is een topologisch object met zelfstandig bestaansrecht.
De waarnemers bekijken het echter vanuit hun eigen gezichtpunt (referentiesysteem).
Cruciaal is te begrijpen dat de vector niet verandert als we van het ene naar
het andere referentiesysteem gaan. Er geldt
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right)_{\mathcal{O}} =
\left( \begin{array}{c}
p \\
q \\
\end{array}
\right)_{\overline{\mathcal{O}}}.
\end{equation}
Natuurlijk zijn de componenten $a$ en $b$ niet gelijk aan $p$ en $q$ en
dienen we een voorschrift te vinden hoe we deze kunnen berekenen als we van
basis veranderen. We gaan als volgt te werk: kies eerst een
puntgebeurtenis $\mathcal{P}_0$. Op deze puntgebeurtenis kiezen we
dan een complete set onafhankelijke vectoren (hierbij is elke
redelijke keuze geoorloofd). We noemen deze vectoren $\vec e_i$ en gebruiken
deze als basis om andere vectoren op punt $\mathcal{P}_0$ in te expanderen:
$\vec u = u^\alpha \vec e_\alpha$ en $\vec v = v^\alpha \vec e_\alpha$.
Merk op dat deze basis een tangentenruimte $T_P$ definieert op punt $\mathcal{P}_0$
en dat alle vectoren {\sl lokaal} op dit punt worden beschreven\footnote{We
stappen dus af van het begrip vrije vector. In de algemene relativiteitstheorie
kunnen we een vector niet eenvoudig vrij verplaatsen!}. Vervolgens
construeren we de richtingsafgeleiden $\partial_\alpha \equiv \partial_{\vec e_\alpha}$
langs deze basisvectoren. We geven een toelichting aan de hand
van een voorbeeld.

\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} co\"ordinatensysteem in Euclidische ruimte

\medskip
\noindent
We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische co\"ordinaten $(x,y,z)$
en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren $\{ \vec i, \vec j, \vec k \}$.
We gebruiken dit systeem als algemene referentie om andere, niet cartesische
co\"ordinaten in te beschreven.
We hebben een tweede co\"ordinatensysteem $(u,v,w)$ dat niet cartesisch is,
bijvoorbeeld de sferische co\"ordinaten $(r, \theta , \phi )$. Er geldt
\begin{equation}
x = x (u,v,w),~~~~ y = y(u,v,w), ~~~~ z=z(u,v,w),
\label{eq:partieel}
\end{equation}
en we kunnen dit inverteren om $u,v,w$ te schrijven in termen van $x,y,z$.
We kunnen bovenstaande vergelijking schrijven als
\begin{equation}
\vec r = x(u,v,w)\vec i + y(u,v,w)\vec j + z (u,v,w)\vec k,
\end{equation}
Indien we $w$ gelijk zetten aan de constante $w_0$, terwijl $u,v$ mogen
vari\"eren, krijgen we
\begin{equation}
\vec r = x(u,v,w_0)\vec i + y(u,v,w_0)\vec j + z (u,v,w_0)\vec k.
\end{equation}
hetgeen een parametrische vergelijking is voor het co\"ordinatenoppervlak
$w=w_0$, waarbij de co\"ordinaten $u,v$ de rol van parameters spelen.
We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere oppervlakken
op identieke wijze verkrijgen. Als we in bovenstaande vergelijking
$v=v_0$ en $w=w_0$ stellen, maar $u$ laten vari\"eren, krijgen we
\begin{equation}
\vec r = x(u,v_0,w_0)\vec i + y(u,v_0,w_0)\vec j + z (u,v_0,w_0)\vec k,
\label{eq:curve}
\end{equation}
krijgen we een parametrische vergelijking voor de co\"ordinatencurve
gegeven door de snijlijn van vlakken $v=v_0$ en $w=w_0$, waarbij $u$
de rol van parameter langs de curve speelt.
We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere curven
op identieke wijze verkrijgen.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/sferisch.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De co\"ordinaatoppervlakken en co\"ordinaatcurven voor sferische
co\"ordinaten.}
\label{fig:sferisch}
\end{figure}
Door elk punt $\mathcal{P}$ met co\"ordinaten $(u_0,v_0,w_0)$ gaan drie
{\sl co\"ordinaatvlakken} gegeven door $u=u_0$, $v=v_0$ en $w=w_0$. De
vlakken snijden elkaar in {\sl co\"ordinaatcurven}. Voor sferische
co\"ordinaten hebben we
\begin{equation}
x=r\sin{\theta}\cos{\phi},~~~~y=r\sin{\theta}\sin{\phi},~~~~z=r\cos{\theta}.
\end{equation}
waarbij de co\"ordinaten het volgende bereik hebben: $r \geq 0$,
$0 \leq \theta \leq \pi$ en $0 \leq \phi < 2\pi$.
Fig. \ref{fig:sferisch}
toont dat het co\"ordinaatvlak $r=r_0$ een bol is met straal $r_0$,
het co\"ordinaatvlak $\theta = \theta_0$ is een oneindige kegel met de apex
in de oorsprong en de as verticaal, en het co\"ordinaatvlak $\phi = \phi_0$ is een
half-oneindig vlak met de $z$-as als rand.

\medskip
De oppervlakken $\theta = \theta_0$ en $\phi = \phi_0$ snijden elkaar en dat
resulteert in de co\"ordinaatcurve die een deellijn is die vanaf $O$ vertrekt
door $\mathcal{P}$ gaat; de oppervlakken $\phi = \phi_0$ en $r = r_0$ snijden
elkaar in de curve die een halve cirkel is met eindpunten op de $z$-as en
die door $\mathcal{P}$ gaat; en de oppervlakken $r = r_0$ en $\theta = \theta_0$
snijden elkaar in de horizontale cirkel door $\mathcal{P}$ met het middelpunt
op de $z$-as.

\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip
\noindent
Als we vergelijking (\ref{eq:curve}) differentieren naar de parameter $u$,
dan krijgen we een tangentenvector aan de co\"ordinaatcurve. Omdat we tijdens
differenti\"eren $v$ en $w$ constant houden (want op deze wijze was de
curve gedefinieerd), hebben we in feite de {\sl parti\"ele afgeleide}
naar $u$ genomen van vergelijking (\ref{eq:partieel}). Als we op dezelfde
manier vergelijking (\ref{eq:partieel}) partieel afleiden naar $v$ en $w$,
krijgen we de tangentenvectoren van de andere twee co\"ordinaatcurven.
De drie parti\"ele afgeleiden
\begin{equation}
\vec e_u \equiv {\partial \vec r \over \partial u},~~~~
\vec e_v \equiv {\partial \vec r \over \partial v},~~~~
\vec e_w \equiv {\partial \vec r \over \partial w},
\label{eq:natuurlijk}
\end{equation}
berekend op punt $(u_0,v_0,w_0)$ geven tangentenvectoren aan de drie
co\"ordinaatcurven die door $\mathcal{P}$ gaan. Op deze wijze
verkrijgen we de {\sl natuurlijke basis} $\{ \vec e_u,\vec e_v,\vec e_w \}$
op punt $\mathcal{P}$. In het algemeen is deze basis niet orthogonaal
en zijn de vectoren geen eenheidsvectoren.

\medskip
\noindent
Gegeven een vectorveld $\vec \lambda$, kunnen we in elk punt $\mathcal{P}$
de vector $\vec \lambda$ refereren aan basis $\{ \vec e_u, \vec e_v,\vec e_w \}$,
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^u \vec e_u + \lambda^v \vec e_v + \lambda^w \vec e_w .
\label{eq:lambda}
\end{equation}
We gebruiken $u^i$ $(i=1,2,3)$ in plaats van $(u,v,w)$ voor de co\"ordinaten,
en $\{ \vec e_i \}$ $(i=1,2,3)$ in plaats van $\{ \vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$
voor de natuurlijke basis. Voor een vector $\vec \lambda$ duiden we
de componenten in de basis $\{ \vec e_i \}$ aan met $\lambda^i$ $(i=1,2,3)$.
We kunnen vergelijking (\ref{eq:lambda}) nu uitdrukken als
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^1 \vec e_1 + \lambda^2 \vec e_2 + \lambda^3 \vec e_3
= \sum_{i=1}^{3} \lambda^i \vec e_i .
\label{eq:lambda1}
\end{equation}
We spreken nu af dat een index uit het midden van het alfabet ($i,j,k, ...$)
altijd loopt over de waarden 1,2 en 3. Verder sommeren we automatisch
als dezelfde index voorkomt als superscript en subscript (dit heet de
sommatieconventie van Einstein). We kunnen vergelijking (\ref{eq:lambda1})
nu schrijven als $\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i$.
Merk op dat de twee indices die op deze wijze gebruikt worden
{\sl dummie indices} genoemd worden en vervangen mogen worden door andere
letters (die nog niet in gebruik zijn).

\medskip
\noindent
De componenten $\lambda^i$ van een vector $\vec \lambda$ ten opzichte
van de natuurlijke basis $\{ \vec e_i \}$ worden de
{\sl contravariante componenten} genoemd.
Stel dat we twee systemen met curvelineaire co\"ordinaten hebben
in de euclidische ruimte, aangegeven met $(u,v,w)$ en
$(u^\prime , v^\prime , w^\prime )$. We vragen ons af hoe
de contravariante componenten van een vector veranderen als we
van het ene naar het andere systeem gaan. We noemen $\{ \vec e_i \}$
de basis in het systeem van waarnemer $\mathcal{O}$ en $\{ \vec e_{i^\prime} \}$
de basis in het systeem van waarnemer $\mathcal{O}^\prime$.
Er geldt
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i = \lambda^{i^\prime} \vec e_{\prime} .
\label{eq:lambda2}
\end{equation}
In het gebied dat door beide co\"ordinatensystemen beschreven
wordt, hebben we te maken met de relatie $u^{i^\prime} = u^{i^\prime}(u^j)$,
waarmee de co\"ordinaten van waarnemer $\mathcal{O}^\prime$ worden
uitgedrukt in die van waarnemer $\mathcal{O}$. Per definitie geldt
$\vec e_i \equiv \partial \vec r / \partial u^i$ en
$\vec e_{i^\prime} \equiv \partial \vec r / \partial u^{i^\prime}$.
De kettingregel geeft dan
\begin{equation}
{\partial \vec r \over \partial u^j} = {\partial \vec r \over \partial u^{i^\prime}}
{\partial u^{i^\prime} \over \partial u^j}.
\end{equation}
en kunnen we schrijven
\begin{equation}
\vec e_j = U_j^{i^\prime} \vec e_{i^\prime},
\end{equation}
met $U_j^{i^\prime}$ als afkorting voor de parti\"ele afgeleide
${\partial u^{i^\prime} / \partial u^j}$. Er geldt
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^i \vec e_j = \lambda^i U_j^{i^\prime} \vec e_{i^\prime}.
\end{equation}
Vergelijken met vergelijking (\ref{eq:lambda2}) geeft
\begin{equation}
\lambda^{i^\prime} = U_j^{i^\prime} \lambda^j
\end{equation}
als transformatieformule voor de contravariante componenten van een vector.

\medskip
\noindent
We kunnen de inverse transformaties vinden door ons te realiseren dat
de systemen $\mathcal{O}$ en $\mathcal{O}^\prime$ op gelijke voet
staan. We kunnen derhalve de indices met en zonder accenten verwisselen
en vinden voor de inverse transformatie van basis en componenten
\begin{equation}
\vec e_{j^\prime} = U_{j^\prime}^i \vec e_i ,~~~~{\rm en}~~~~
\lambda^i = U_{j^\prime}^i \lambda^{j^\prime} .
\label{eq:inverse}
\end{equation}
Dit volgt ook uit het feit dat eerst heen en vervolgens
terug transformeren niets mag veranderen. Dit leidt tot de identiteit
\begin{equation}
U_{i^\prime}^k U_j^{i^\prime} = \delta_j^k,
\end{equation}
hetgeen ook uit de kettingregel volgt. We vinden hiermee
\begin{equation}
U_{i^\prime}^k \lambda^{i^\prime} = U_{i^\prime}^k U_j^{i^\prime} \lambda^j
= \delta_j^k \lambda^j = \lambda^k,
\end{equation}
wat overeenkomt met vergelijking (\ref{eq:inverse}).

\subsubsection{De lineaire functionaal of 1-vorm}

Een tensor van het type
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$
wordt een covector, een covariante vector, een lineaire functionaal of
een 1-vorm genoemd. De lineaire functionaal\footnote{Net zoals
we vectoren aangeven door een $\vec p$ boven het symbool te plaatsen, geven
een lineaire functionaal aan door er een $\tilde{p}$ boven te plaatsen.}
 $\tilde{p}$ heeft een vector als argument en beeldt af op de re\"ele getallen:
$\tilde{p}(\vec A)$ is een re\"eel getal. De functionalen voldoen aan
de axioma's voor een vectorruimte. Deze ruimte wordt de {\sl duale vectorruimte}
genoemd om het onderscheiden van de ruimte van alle vectoren $\vec A$.
De componenten van $\tilde{p}$ worden $p_\alpha$ genoemd en er geldt
\begin{equation}
p_\alpha \equiv \tilde{p} (\vec e_\alpha ) .
\end{equation}
Elke component met een enkel subscript is per conventie de component
van een 1-vorm; een superscript geeft een component van een vector aan.
In termen van componenten wordt $\tilde{p} (\vec A )$ gegeven door
\begin{equation}
\tilde{p} (\vec A ) = \tilde {p} (A^\alpha \vec e_\alpha )
= A^\alpha \tilde{p} (\vec e_\alpha ) = A^\alpha p_\alpha .
\end{equation}
Merk op dat we in bovenstaande afleiding gebruik maken van de
lineairiteit van de functionaal. Voor ruimtetijd ($n=4$) is het getal
$\tilde{p} (\vec A )$ gelijk aan $A^0p_0+a^1p_1+A^2p_2+A^3p_3$
en de bewerking wordt {\sl contractie van $\vec A$ en $\tilde{p}$} genoemd.

\medskip
\noindent
De componenten van $\tilde{p}$ op de basis $\{ \vec e_{i^\prime} \}$ zijn
\begin{equation}
p_{i^\prime} \equiv \tilde{p} (\vec e_{i^\prime})
= \tilde{p} (U_{i^\prime}^j \vec e_j ) = U_{i^\prime}^j \tilde{p} ( \vec e_j )
= U_{i^\prime}^j p_j .
\end{equation}
Als we dit vergelijken met uitdrukking (\ref{eq:inverse}) dan zien we
dat 1-vormen op precies dezelfde wijze transformeren als basisvectoren
en tegengesteld aan de componenten van vectoren. Met tegengesteld
bedoelen we met de inverse transformatie (zie vergelijking (\ref{eq:inverse})).
Dit gebruik van de inverse garadeert dat $A^\alpha p_\alpha$ systeem
onafhankelijk is voor ieder vector $\vec A$ en 1-vorm $\tilde{p}$.
De inverse transformatie geeft aanleiding tot het woord {\sl duaal}
in {\sl duale vectorruimte}. De eigenschap van transformeren {\sl met}
basisvectoren geeft aanleiding tot de {\sl co} in {\sl covariante vector}.
Omdat componenten van gewone vectoren tegengesteld transformeren aan
de basisvectoren, worden ze {\sl contravariant} genoemd.

\medskip
\noindent
Omdat de 1-vormen een vectorruimte vormen, kunnen we een verzameling van
onafhankelijke 1-vormen als basis kiezen. We hebben de basis $\{ \vec e_\alpha \}$
reeds gebruikt om de componenten van de 1-vorm te definieren. We kunnen
nu de geassocieerde 1-vorm basis $\tilde{\omega}^\alpha , \alpha = 0,...,3$
definieren die we {\sl duaal} aan $\{ \vec e_\alpha \}$ noemen. Dat wil
zeggen dat we de verzameling $\{ \tilde{\omega} \}$ z\'o kiezen, dat
\begin{equation}
\tilde{p} = p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha .
\label{eq:1vormbasis}
\end{equation}
We vinden op deze manier specieke 1-vormen als basis.
Merk op dat we de notatie weer zodanig kiezen dat we gebruik kunnen
maken van de sommatieconventie. Als we vergelijking (\ref{eq:1vormbasis})
gebruiken, vinden we
\begin{equation}
\tilde{p}(\vec A) = p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha (\vec A)
= p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha (A^\beta \vec e_\beta)
= p_\alpha A^\beta \tilde{\omega}^\alpha (\vec e_\beta)
\end{equation}
Het bovenstaande dient gelijk te zijn aan $p_\alpha A^\alpha$ en
daaruit volgt
\begin{equation}
\tilde{\omega}^\alpha (\vec e_\beta) = \delta_{~\beta}^\alpha .
\end{equation}
Bovenstaande relatie definieert de 1-vorm basis: de vector basis
induceert een unieke en bruikbare 1-vorm basis\footnote{Dit is
niet de enig mogelijke basis voor 1-vormen. Men kan eenvoudig
laten zien dat andere basis 1-vormen voldoen aan $\tilde{\omega^\prime} =
U_{~\beta}^{\alpha^\prime} \tilde{\omega}^\beta$.}.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/1vorm.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: de waarde $\tilde{\omega}(\vec V)$ is gelijk aan 2.5.
Rechts: een topologische kaart demonstreert de gradi\"ent 1-vorm (lokale
contouren van constante hoogte). De verandering van hoogte voor een
reis (pijl) is het aantal contouren dat door de pijl doorboort wordt.
Deze is het grootst voor reis (2).}
\label{fig:1vorm}
\end{figure}
\medskip
Bij vectoren denken we meestal aan een pijl als we een beeld nodig hebben.
Het kan handig zijn om ook een voorstelling van een 1-vorm te hebben.
Dit beeld moet het feit uitdrukken dat een 1-vorm een afbeelding
is van een vector naar re\"ele getallen. In de drie-dimensionale
ruimte kan men zich een 1-vorm op punt $\mathcal{P}$
voorstellen als een aantal parallelle vlakken. De contractie met een
vector $\vec V$ is dan het aantal vlakken dat door de vector
`doorboort' wordt. Hoe dichter de oppervlakken bij elkaar staan,
hoe groter $\tilde{\omega}(\vec V)$.

\medskip
We kunnen de gradi\"ent van een scalaire functie beschouwen als een
1-vorm. Teneinde dat duidelijk te maken gaan we weer even terug
naar onze beschrijving in de drie-dimensionale euclidische ruimte.
Vergelijking (\ref{eq:natuurlijk}) geeft de natuurlijke
basis $\{\vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$ op punt $\mathcal{P}$, waarbij
we de co\"ordinaten $(u,v,w)$ gebruiken om punten te labelen.
Er is een andere manier om het co\"ordinatensysteem $(u,v,w)$ te
gebruiken om een basis te construeren op punt $\mathcal{P}$.
Allereerst inverteren we vergelijkingen (\ref{eq:partieel})
om $u$, $v$ en $w$ te krijgen in termen van $x$, $y$ en $z$.
\begin{equation}
u=u(x,y,z),~~~~~v=v(x,y,z),~~~~~w=w(x,y,z).
\end{equation}
Dit stelt ons in staat om elke co\"ordinaat als een scalair veld
te beschouwen en de bijbehorende gradi\"enten te berekenen.
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\nabla u & = & {\partial u \over \partial x} \vec i +
{\partial u \over \partial y} \vec j + {\partial u \over \partial z} \vec k \\
\nabla v & = & {\partial v \over \partial x} \vec i +
{\partial v \over \partial y} \vec j + {\partial v \over \partial z} \vec k \\
\nabla w & = & {\partial w \over \partial x} \vec i +
{\partial w \over \partial y} \vec j + {\partial w \over \partial z} \vec k \\
\end{array}
\end{equation}
Op elk punt $\mathcal{P}$ staan deze gradi\"ent vectoren loodrecht op de
corresponderende co\"ordinaatoppervlakken door $\mathcal{P}$, die overeenkomen
met de oppervlakken $u=u_0$, $v=v_0$ en $w=w_0$. We hebben daarom met
$\{ \nabla u, \nabla v, \nabla w \}$ een alternatieve basis op $\mathcal{P}$.
Deze basis is de {\sl duale} van de basis van tangentenvectoren. Teneinde
deze basis te onderscheiden van de natuurlijke basis, gebruiken we
de indices als superscipten\footnote{Door de indices als superscripten te
plaatsen kunnen we weer gebruik maken van de elegante en compacte indexnotatie.}.
\begin{equation}
\vec e^u \equiv \nabla u, ~~~~\vec e^v \equiv v,~~~~\vec e^w \equiv \nabla w .
\end{equation}
We vatten een en ander samen aan de hand van een voorbeeld.

\medskip
\noindent
\underline{Voorbeeld:} co\"ordinatensysteem in Euclidische ruimte

\medskip
\noindent
We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische co\"ordinaten $(x,y,z)$
en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren $\{ \vec i, \vec j, \vec k \}$.
We gebruiken dit systeem weer als algemene referentie om een ander, niet cartesisch
systeem, $(u,v,w)$ te beschrijven. Er geldt
\begin{equation}
x=u+v,~~~~~y=u-v,~~~~~z=2uv+w,
\end{equation}
waarbij $-\infty < u < \infty , -\infty < v < \infty , -\infty < w < \infty$.
Inverteren van deze vergelijkingen geeft
\begin{equation}
u={1\over2}(x+y),~~~~~v={1\over 2}(x-y),~~~~~w=z-{1\over 2}(x^2-y^2),
\end{equation}
waaraan we kunnen zien dat de co\"ordinaatvlakken $u=u_0$ een familie
vlakken vormen, net zoals $v=v_0$, terwijl de co\"ordinaatvlakken $w=w_0$
een familie hyperbolische parabolo\"{\i}den vormen.

\medskip
\noindent
De positievector $\vec r$ wordt gegeven door
\begin{equation}
\vec r = (u+v) \vec i + (u-v)\vec j + (2uv + w) \vec k,
\end{equation}
waarmee we voor de vectoren van de natuurlijke basis
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\vec e_u & = & \partial \vec r / \partial u = \vec i + \vec j + 2v \vec k \\
\vec e_v & = & \partial \vec r / \partial v = \vec i - \vec j + 2u \vec k \\
\vec e_w & = & \partial \vec r / \partial w = \vec k \\
\end{array}
\end{equation}
vinden. Enkel de laatste vector is een eenheidsvector. Geen van de inproducten
$\vec e_u \cdot e_v = 4uv, \vec e_v \cdot \vec e_w = 2u, \vec e_w \cdot \vec e_u =2v$
is in het algemeen gelijk aan nul. Het systeem is dus niet orthogonaal.

\medskip
\noindent
We vinden voor de vectoren van de duale basis
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\vec e^u & = & \nabla u = {1 \over 2} \vec i + {1 \over 2} \vec j \\
\vec e^v & = & \nabla v = {1 \over 2} \vec i - {1 \over 2} \vec j \\
\vec e^w & = & \nabla w = -x \vec i +y \vec j + \vec k = -(u+v) \vec i
+ (u-v) \vec j + \vec k . \\
\end{array}
\end{equation}
We zien dat in het algemeen $\vec e^u$ niet parallel is met $\vec e_u$,
$\vec e^v$ niet met $\vec e_v$, en $\vec e^w$ niet met $\vec e_w$.

\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip
\noindent
Gegeven een vectorveld $\vec \lambda$ kunnen we op elk punt $\mathcal{P}$ de
vector $\vec \lambda$ beschrijven ten opzichte van de natuurlijke basis
$\{ \vec e_u, \vec e_v, \vec e_w \}$ of de duale basis $\{ \vec e^u, \vec e^v, \vec e^w \}$.
We schrijven
\begin{equation}
\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i = \lambda_i \vec e^i .
\end{equation}
Het dualisme is compleet omdat we vectoren ook kunnen beschouwen als
functies die 1-vormen afbeelden op de re\"ele getallen. Gegeven vector $\vec V$
krijgen we een re\"eel getal als we de vector voorzien van een 1-vorm,
\begin{equation}
\vec V (\tilde{p}) \equiv \tilde{p}(\vec V) \equiv p_\alpha V^\alpha.
\end{equation}
Vectoren hebben dus geen speciale positie als objecten die als input
dienen voor tensoren. We kunnen een vector ook als tensor zien: een lineaire
functie van een 1-vorm naar een re\"eel getal. Vectoren en 1-vormen hebben
hiermee een gelijke en symmetrische status.

\subsubsection{Definitie van een tensor}

Een tensor van het type
$\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$
is een afbeelding (functie) van $M$ 1-vormen en $N$ vectoren naar re\"ele getallen,
die lineair is in elk van zijn $M+N$ argumenten\footnote{Men kan een
dergelijke tensor opvatten als een apparaat men $M$ gaten waar
men 1-vormen en $N$ gaten waar men
vectoren in kan stoppen. Nadat men die $M$ 1-vormen en $N$ vectoren erin gestopt heeft,
rolt er een re\"eel getal uit het apparaat. De uitkomst is lineair
in elk van de input vectoren.}. Merk op dat in deze definitie van een
tensor niet spreekt over de componenten van de 1-vormen en vectoren. De tensor
dient hetzelfde re\"ele getal als uitkomst te geven, onafhankelijk
van het gebruikte co\"ordinatensysteem.

\medskip
\noindent
Net als een 1-vorm en vector heeft ook een tensor componenten. De definitie is
als volgt: De componenten in een referentiesysteem $\mathcal{O}$ van
een tensor van het type
$\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$
zijn de waarden van de functie als men voor de argumenten de
basis 1-vormen $\{ \vec e^\alpha \}$ en basisvectoren
$\{ \vec e_\alpha \}$ van het systeem $\mathcal{O}$ gebruikt.
De componenten van een tensor zijn dus afhankelijk van het referentiesysteem
van de waarnemer, omdat de basis immers verschillend is.

\subsection{De metrische tensor}

Tot nu toe hebben we enkel vari\"eteiten beschouwd die een eenvoudige vorm hebben.
De vari\"eteit is continu en differentieerbaar, waardoor we 1-vormen, vectoren
en andere tensoren kunnen definieren. Verder betreft het een
amorfe verzameling punten (of puntgebeurtenissen). Er is nog geen
meetkunde gedefinieerd. Zo hebben we nog geen voorstelling van een
inproduct van vectoren en kunnen we twee vectoren (of 1-vormen) niet
afbeelden op een re\"eel getal.

\medskip
Als volgende stap kiezen we nu een
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor
die dienst gaat doen als de metriek van de vari\"eteit. Een dergelijke
vari\"eteit noemen we een riemannse vari\"eteit. De metrische tensor
maakt het mogelijk om de (kwadratische) lengte van een vector
te berekenen, of het scalaire product (inproduct) van twee
vectoren te bepalen. Ook levert de metriek een \' e\' en op \' e\' en
correspondentie tussen vectoren en 1-vormen. We defini\"eren
\begin{equation}
g( \vec A, \vec B) \equiv \vec A \cdot \vec B
\end{equation}
en hieruit volgt direct dat de metrische tensor symmetrisch is,
$g( \vec A, \vec B) = g( \vec B, \vec A)$.
We beschouwen $g(~,~)$ als een functie met twee argumenten en die lineair
is in deze argumenten, bijvoorbeeld
\begin{equation}
g( \alpha \vec A + \beta \vec B, \vec C)
= \alpha g(\vec A,\vec C) + \beta g(\vec B,\vec C).
\end{equation}
Merk op dat deze definitie van metriek geen gebruik maakt van de componenten
van de vectoren. In een specifieke basis heeft de metrische tensor
componenten die gegeven zijn door
\begin{equation}
g(\vec e_\alpha ,\vec e_\beta) = \vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta
= g_{\alpha \beta}.
\end{equation}

\medskip
De fundamentele rol van de metriek is om te zorgen voor een afbeelding
tussen vectoren en 1-vormen. Om te begrijpen hoe dit werkt, beschouwen
we $g$ en een enkele vector $\vec V$. Omdat $g$ twee vector argumenten
nodig heeft, kunnen we de uitdrukking $g(\vec V,~)$, waar nog een
argument ontbreekt, beschouwen als een functie van vectoren. Als men
aan $g(\vec V,~)$ nog een vector toekent, dan krijgen we een re\"eel
getal. Een dergelijke lineaire functie van vectoren die een re\"eel
getal produceert, noemen we een 1-vorm. We noemen het $\tilde{V}$.
Er geldt
\begin{equation}
g(\vec V,~) \equiv \tilde V(~),
\end{equation}
waar we tussen de haakjes het vector argument moeten aanleveren.
Dan geldt dat $\tilde{V}$ de 1-vorm is die voor de vector $\vec A$
de waarde $\vec V \cdot \vec A$ heeft. Er geldt
\begin{equation}
\tilde{V}(\vec A) \equiv g(\vec V, \vec A)=\vec V \cdot \vec A .
\end{equation}
Omdat $g$ symmetrisch is, kunnen we ook schrijven
$g(~,\vec V) \equiv \tilde{V}(~)$.
De componenten van $\tilde{V}$ vinden we als volgt,
\begin{equation}
V_\alpha \equiv \tilde{V}(\vec e_\alpha ) = \vec V \cdot \vec e_\alpha
= \vec e_\alpha \cdot \vec V = \vec e_\alpha \cdot (V^\beta \vec e_\beta )
=(\vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta ) V^\beta = g_{\alpha \beta} V^\beta.
\end{equation}
Hiermee hebben we de relatie tussen vectoren en 1-vormen gevonden,
\begin{equation}
V_\alpha = g_{\alpha \beta} V^\beta .
\end{equation}
We onderscheiden de componenten $V^\alpha$ van de vector $\vec V$
van de componenten $V_\alpha$ van de 1-vorm $\tilde{V}$ {\sl enkel}
door de positie van de index $\alpha$. De inverse van de metriek
bestaat ook en wordt aangeduid met $g^{\alpha \beta}$. Hiermee
vinden we
\begin{equation}
V^\alpha = g^{\alpha \beta} V_\beta .
\end{equation}

\medskip
\noindent
Een vector is een
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ tensor
en een 1-vorm is een
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensor.
We gebruiken de metrische tensor als afbeelding tussen beide.
Op dezelfde manier kunnen we een
$\left( \begin{array}{c} N \\ M \\ \end{array} \right)$ tensor
afbeelden op een
$\left( \begin{array}{c} N-1 \\ M+1 \\ \end{array} \right)$ tensor,
of door gebruik te maken van de inverse metriek op een
$\left( \begin{array}{c} N+1 \\ M-1 \\ \end{array} \right)$ tensor.
Het is gebruikelijk om voor deze geassocieerde tensoren hetzelfde
symbool te gebruiken, maar we dienen ons er van bewust te zijn
dat we te maken hebben met verschillende tensoren. Stel
$T_{~~\gamma}^{\alpha \beta}$ zijn de componenten van een
$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensor. Dan zijn
\begin{equation}
T_{~\beta \gamma}^\alpha \equiv g_{\beta \mu} T_{~~\gamma}^{\alpha \mu}
\end{equation}
de componenten van een
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor, omdat
we het {\sl tweede} 1-vorm argument veranderd hebben in een vector.
We noemen dergelijke manipulaties het naar boven brengen en naar
beneden halen van indices en gebruik hierbij de metriek als afbeelding.

\medskip
\noindent
We kunnen dit ook doen met de metriek zelf en vinden
\begin{equation}
g_{~\beta}^\alpha \equiv g^{\alpha \mu} g_{\mu \beta} = \delta_{~\beta}^\alpha .
\end{equation}
De laatste stap volgt uit het feit dat $g^{\alpha \beta}$ en $g_{\alpha \beta}$
elkaars inverse afbeelding zijn.

\subsection{Ruimtetijd als differentieerbare vari\"eteit}

In deze paragraaf zal plausibel worden gemaakt dat ruimtetijd een
differentieerbare vari\"eteit is. Daartoe wordt een ge\"{\i}dealiseerde
waarnemer ingevoerd, dat is een waarnemer met verwaarloosbare afmetingen
ten opzichte van de beschouwde schaal. Hierbij moet men denken aan
een massapunt met daarop een glad lopende klok. Deze klok hoeft voorlopig
helemaal niet eenparig (uniform) te lopen, als hij maar niet stilstaat.
Bij iedere puntgebeurtenis op de plaats van deze waarnemer (dus
op de plaats van het massapunt) hoort nu een eenduidig bepaald tijdstip,
namelijk de tijd $t$ die de klok aanwijst als de puntgebeurtenis
$P=P(t)$ plaatsvindt. Voor een zeker tijdinterval $I$ is er dus een bijectie
\begin{equation}
\gamma : t \in I \subset \mathbb{R} \longmapsto \gamma (t) = P(t) \in \Sigma .
\end{equation}
Dit is een kromme in $\Sigma$, de {\sl wereldlijn} van de waarnemer. Er
zijn talloze voorbeelden van wereldlijnen te geven. E\' en zo'n voorbeeld
is de wereldlijn van een punttrein, dat is een trein met verwaarloosbare
afmetingen ten opzichte van de beschouwde schaal (zie Fig. \ref{fig:punttrein}).
Hierin is $x$ de afstand van de punttrein tot het station $O$ en $t$
is de verlopen tijd sinds het vertrek uit $O$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/punttrein.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Wereldlijn van een punttrein.}
\label{fig:punttrein}
\end{figure}
Lichtsignalen zijn van groot belang voor het beschrijven van de structuur
van ruimtetijd. Bij lichtsignalen moet men denken aan golfpakketjes van
radarsignalen, lichtpulsen of $\gamma$-quanta, waarvan de ruimtelijke
afmetingen en de tijdsduur weer verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de
beschouwde schaal. Het is gebruikelijk doch niet geheel juist dergelijke
golfpakketjes collectief met de term {\sl foton} aan te duiden. Het belang van
fotonen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd is te wijten aan de
empirisch vastgestelde universaliteit van de voorplanting van elektromagnetische
golven in vacu\"um, dat wil zeggen de voortplantingssnelheid in vacu\"um is
onafhankelijk van de bewegingstoestand van de bron en van de golflengte,
de intensiteit en de polarisatie van de elektromagnetische golven.

\medskip
\noindent
Beschouw nu een radarstation $P$, dat een puntgebeurtenis $e$ waarneemt.
Het radarstation is klein genoeg om dit met een wereldlijn in $\Sigma$
te beschrijven. Bij de puntgebeurtenis $e$ kan men denken aan een vliegtuig
waaraan op een zeker tijdstip en op een zekere plaats het radarsignaal
wordt gereflecteerd. De tijd $t_V$ van vertrek van het radarsignaal en
de tijd $t_O$ van ontvangst van het gereflecteerde radarsignaal worden
door het radarstation $P$ geregistreerd. In de newtonse mechanica wordt een
puntgebeurtenis vastgelegd door vier co\"ordinaten, $(t,x,y,z) \in \mathbb{R}^4$.
Daarom introduceren we een tweede radarstation $P^\prime$, dat een andere
wereldlijn beschrijft en tijden $t_V^\prime$ en $t_O^\prime$ registreert
voor dezelfde puntgebeurtenis $e$ met de klok op $P^\prime$. Men veronderstelt
nu dat er een deelverzameling $U$ van $\Sigma$ bestaat, zodanig dat
voor iedere puntgebeurtenis uit $U$ de vier re\"ele getallen
$(t_V, t_O, t_V^\prime, t_O^\prime)$ een co\"ordinatenstelsel vormen.
De kaart $(U,\kappa )$ met $U \subset \Sigma$ en
$\kappa (e) = (t_V, t_O, t_V^\prime, t_O^\prime )$ heet een
{\sl radarco\"ordinatenstelsel}. Er is hier ondersteld dat een radarstation
door slechts \' e\' en uitgaande en \' e\' en terugkomende radarpuls met $e$
verbonden is. Als het heelal gesloten is zou puntgebeurtenis $e$ door meer
dan twee radarsignalen met een radarstation verbonden kunnen zijn. We
beperken daarom in bovenstaande constructie alle wereldlijnen tot een
deelverzameling $V$ van $\Sigma$, zodat $e$ en $P$, respectievelijk
$e$ en $P^\prime$ door slechts twee radarpulsen worden verbonden.
Dit wordt schematisch weergegeven in Fig. \ref{fig:radar}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/radar.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Radarco\"ordinaten van een puntgebeurtenis $e$.}
\label{fig:radar}
\end{figure}
Door nu ruimtetijd $\Sigma$ lapjesgewijs helemaal in kaart te brengen
op bovenstaande wijze komt men tot de uitspraak: {ruimtetijd is
een vierdimensionale differentieerbare vari\"eteit}.

\medskip
\noindent
Er zijn naast genoemde manier nog andere manieren om ruimtetijd van
co\"ordinaten te voorzien. We noemen er twee.
\begin{enumerate}
\item{} Breng in ruimtetijd een voldoend dichte zwerm willekeurig
bewegende deeltjes aan (massapunten), en voorzie ieder van deze
deeltjes van een klok die weer niet noodzakelijkerwijs eenparig
hoeft te lopen, als hij maar niet stilstaat. Kenmerk verder ieder
deeltje door drie re\"ele getallen $(x,y,z)$ om ze van elkaar te
onderscheiden. Aan een puntgebeurtenis worden nu vier re\"ele
getallen toegevoegd, namelijk het drietal plaatsco\"ordinaten
$(x,y,z)$ van het massapunt $P$ waar de puntgebeurtenis $e$ plaatsvindt
en het tijdstip $t$ dat de klok van $P$ aanwijst op het moment
dat de puntgebeurtenis $e$ wordt waargenomen. We krijgen zo een
kaart $e \longmapsto (t,x,y,z)$. Het co\"ordinatenstelsel wordt
zo geconstrueerd dat voor naburige puntgebeurtenissen bijbehorende
$(t,x,y,z)$ weinig verschillen.
\item{} Neem vier waarnemers met ieder een lopende klok, die
willekeurig bewegen. Laat deze waarnemers de aankomsttijden
$t^\mu~~(\mu = 0,1,2,3)$ van een lichtsignaal registreren dat door een
puntgebeurtenis $e$ is uitgezonden. Men krijgt voor de puntgebeurtenis
$e$ dan vier co\"ordinaten $(t^\mu )$.
\end{enumerate}
De belangrijkste begrippen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd
zijn dus {\sl puntgebeurtenis}, {\sl massapunt}, {\sl foton} en {\sl klok}.

\medskip
\noindent
Nu laten zien dat er een metriek bestaat! Eigentijd van een deeltje, etc.

Hoofdstukindelingen

Notatie consistent maken

\vfill
\eject

