\section{Relativistische kosmologie}\label{kosmo}

\subsection{Introductie}

In de vorige hoofdstukken hebben we de speciale en de algemene relativiteitstheorie behandeld. 
De concepten van gekromde ruime en tijd zijn bediscussieerd, we weten welk verband er bestaat 
tussen de metriek en de aanwezige massa en energie, en zijn in staat een verkregen metriek te 
gebruiken om fysisch meetbare grootheden (afstanden en tijden) te berekenen. De volgende stap 
die gemaakt kan worden, is het toepassen van de theorie op enkele specifieke problemen, en dit 
is precies waar we in dit hoofdstuk mee zullen beginnen. Hier zullen we een van 
de meest voorkomende toepassingen van de ART behandelen: de theorie 
van de oerknal. We zullen dan zien dat een gevolg van de relativiteitstheorie is dat het 
heelal uitdijt, en dat de snelheid van uitdijing te berekenen is wanneer we massa en energie 
kennen waarmee het heelal gevuld is. Verder zullen we zien dat het model niet compleet is: 
waarnemingen laten zien dat er enkele onvolkomenheden in de oerknaltheorie zijn opgesloten. 
Deze zullen we behandelen, en daarna pogen op te lossen door de theorie uit te breiden met een 
nieuw idee: de kosmologische inflatie. 

\subsection{Het kosmologisch principe}

We zullen ons nu gaan bezighouden met de toepassing van de relativiteitstheorie op het heelal.
Het is belangrijk om in te zien dat de delen van het universum dat we kunnen waarnemen,
op zijn minst in principe, is gelimiteerd tot de gebieden die voldoende tijd gehad
hebben om ons via lichtsignalen te bereiken vanaf de Big Bang. We geven dit
schematisch weer in Fig. \ref{fig:kosmohor}.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/kosmohor.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{(a) De verleden lichtkogel van een waarnemer vormt de grens van het waarneembare
gebied dat we de deeltjeshorizon noemen. Als deze waarnemer in de toekomst een
andere waarneming doet, dat is dit gebied naar boven en naar de zijkanten groter
geworden. Het gebied buiten de randen bevat gebeurtenissen die in de toekomst
waarneembaar kunnen worden. Met licht ziet de waarnemer slechts gebeurtenissen
die op de lichtkegel liggen, maar de gebeurtenissen binnen deze kegel kunnen
informatie gestuurd hebben met lagere snelheid. Het diagram laat zien dat er
grenzen zijn aan het waarneembare gebied. (b) Twee sterrenstelsels liggen in
tegengestelde richtingen van elkaar en op grote afstand, zodat hun licht het
universum toont toen het veel jonger was. Ze liggen zo ver uit elkaar dat ze onvoldoende
tijd hebben gehad om te communiceren: hun verleden lichtkegels bereiken de
Big Bang voordat ze elkaar snijden. Dit is het gebruikelijke beeld van de
Big Bang zonder inflatie en toont waarom de homogeniteit van het universum
moeilijk te begrijpen is voor het standaard Big Bang scenario. Het vereist
dat de Big Bang op nagenoeg gelijke wijze begonnen is op niet-verbonden
lokaties.}
\label{fig:kosmohor}
\end{figure}
Een vraag dringt zich dan meteen op: op welke grond nemen we aan dat louter relativiteitstheorie 
genoeg is om de evolutie van het heelal te beschrijven? Er zijn immers nog enkele andere 
natuurkrachten, die vele ordes van grootte krachtiger zijn dan de zwaartekracht. Dit is inderdaad 
het geval, maar we moeten ons bedenken dat deze krachten op kosmische schaal vrijwel geen invloed 
uitoefenen: de sterke en zwakke kernkracht werken alleen op schalen van de orde van femtometers, 
en de elektromagnetische kracht speelt een verwaarloosbare rol aangezien sterren, sterrenstelsels, 
en alle andere materie elektrisch neutraal zijn op macroscopische schaal. Het gevolg is dan ook 
dat alleen de zwaartekracht een rol kan spelen in de dynamica van het heelal, en dus dat we 
relativiteitstheorie kunnen gebruiken om deze dynamica te onderzoeken.

\medskip
\noindent
Wat weten we van het heelal? Een van de eerste dingen die opvalt wanneer we naar de nachthemel 
kijken, is dat het er in elke richting hetzelfde uit lijkt te zien. Wanneer iets beter bekeken, 
lijkt dit toch niet helemaal zo te zijn: planeten volgen een pad ten opzichte van de vaste sterren, 
meteorenregens verschijnen op gezette tijden en op verschillende plaatsen aan de hemel, en hier 
en daar lijkt de sterrendichtheid groter dan op een andere plek. Echter, al deze onregelmatigheden 
zijn alleen te ontwaren wanneer het heelal bekeken wordt op een schaal zo groot als wij kunnen zien 
in een enkel beeld van een telescoop of het blote oog; op een schaal gezien van enkele honderden 
megaparsecs zijn deze onregelmatigheden uitgesmeerd, en lijkt het heelal wel degelijk erg hetzelfde, 
gezien in alle richtingen. Deze eigenschap draagt de naam {\sl isotropie}. 
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/cmbr.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De kosmische microgolf achtergrondstraling (CMBR) is een vorm van elektromagnetische
straling die het universum vult. De CMBR wordt verklaard door de oerknaltheorie als
het nagloeien van het waterstofplasma 380.000 jaar na de oerknal. Dat is de periode
van recombinatie van protonen en elektronen tot waterstof. De CMBR heeft het spectrum
van de thermisch straling van een zwart lichaam met een temperatuur van 2,725 K (tot
een precisie van 50 delen op 1 miljoen) en isotroop tot ongeveer 1 deel in $10^5$.}
\label{fig:cmbr}
\end{figure}
De isotropie van het 
heelal wordt veel meer kracht bijgezet wanneer niet alleen gekeken wordt naar de verdeling van 
materie in het heelal, maar ook naar de verdeling van licht en straling. 
Volgens Gamow begon ons universum als een extreem hete en gecomprimeerde
neutrale bol in een stralingsbad. Vanwege haar grote interne energie
expandeerde deze vuurbal z\' o snel, dat dit proces gewoonlijk de Big
Bang wordt genoemd. Tegenwoordig verschilt het geaccepteerde `standaard
model' van het beginnend universum in details van Gamow's beeld, maar
het concept van een Big Bang wordt ondersteund door de ontdekking in 1965 van
de achtergrondstraling door Penzias en Wilson. 
Al in 1965 meetten Penzias 
en Wilson dat de aarde gebombardeerd wordt door enorme aantallen fotonen die, ongeacht uit welke 
richting zij komen, allemaal\footnote{Ook nu kijken we naar het heelal op zeer grote schaal; dit 
betekent dat we de lokale afwijkingen van de energie van de fotonen door lokale invloeden van 
sterren, gaswolken, etc, buiten beschouwing laten.} dezelfde energie hebben (deze energie komt 
overeen met een temperatuur van ongeveer 2,725 Kelvin). Dit betekent dat alle zichtbare delen van 
het heelal dezelfde temperatuur hebben: blijkbaar is ook de stralingsenergie geheel isotroop 
verdeeld over het zichtbare heelal.
Recente meetgegevens van de Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) worden
getoond in figuur \ref{fig:wmap}.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/wmap.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Meetgegevens verzameld met de Wilkinson Microwave Anisotropy Probe.
Boven: de temperatuurverdeling in galactische co\" ordinaten. Beneden: een
referentiekaart die emissie van de melkweg, het Cygnus compex en andere bronnen
toont.}
\label{fig:wmap}
\end{figure}
De mikrogolf achtergrondstraling wordt ge\"{\i}nterpreteerd als de
straling die overgebleven is van het initi\" ele stralingsbad van
het beginnend universum. Uit de ruimtelijke verdeling van de straling
kunnen we informatie verkrijgen over het universum toen het ongeveer
380.000 jaar oud. Sinds die tijd hebben de fotonen een roodverschuiving 
ondergaan door 
expansie van het universum. Voor tijden kleiner dan 380.000 jaar na de
Big Bang was de temperatuur te hoog voor een ongestoorde
voortplanting van de fotonen en was bijvoorbeeld ook waterstofgas niet
stabiel. De meetgegevens van WMAP duiden op een temperatuur van
2,725 K met diverse anisotropi\" en. De grootste anisotropie is afkomstig
van de beweging van ons melkwegstelsel ten opzichte van het de kosmische
achtergrondstraling\footnote{Er is dus een voorkeur voor een referentiesysteem
in het universum: een systeem dat is rust is ten opzichte van de 
kosmische achtergrondstraling. Dit breekt Lorentzinvariantie en leidt
ook tot het niet gelden van behoud van energie en impuls.}.
Belangrijk zijn vooral de anisotropi\" en op het $10^{-5}$ niveaus op
een schaal van ongeveer 10 boogminuten tot enkele graden. Deze kleine
variaties zijn het gevolg van het zogenaamde Sachse-Wolf effect, waardoor
fotonen van de achtergrondstraling een gravitationele roodverschuiving
krijgen. Volgens het inflatiemodel ligt de oorsprong van deze variaties
in quantum fluctaties die gedurende de inflatie era expandeerden en
resulteerden in primordiale fluctuaties. Uit deze laatste fluctaties
is de huidige structuur van ons universum ontstaan. De belangrijkste
conclusies van WMAP tot nu toe kunnen als volgt worden samengevat:
\begin{itemize}
\item{} Het universum is $13,72 \pm 0,12$ miljard jaar oud.
\item{} De diameter van het universum is minstens 78 miljard lichtjaar.
\item{} Het universum bestaat uit $4,6 \pm 0,1$ \% gewone baryonische materie,
uit $23,3 \pm 1,3$ \% van een onbekend soort `dark matter' genaamd, omdat deze niet
zichtbaar is, maar wel gravitationele effecten heeft, en uit $72,1 \pm 1,5$ \% van
iets dat we `dark energy' noemen. Dit laatste is een hypotetische energievorm
die het hele universum doordringt en een negatieve druk uitoefent, waardoor
er effectief een afstotende gravitatiekracht ontstaat.
\item{} De kosmologische scenario's voor inflatie zijn consistent met
de waarnemingen.
\item{} De Hubble constante is $70,1 \pm 1,3$ km/s/Mpc.
\item{} Als de huidige theorie\" en worden toegepast op de WMAP
meetgegevens, dan is er een indicatie dat het universum eeuwig zal
expanderen.
\end{itemize}
Veel van deze conclusies zullen we in het vervolg van dit hoofdstuk afleiden.
Naast het overtuigende bewijs geleverd door COBE en WMAP, zijn er meer
aanwijzingen voor de juistheid van de
Big Bang theorie, bijvoorbeeld de abondantie van de lichte elementen,
de zogenaamde primordiale nucleosynthese.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/gsurvey.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De 2dF roodverschuiving survey heeft spectra gemeten van 245.591 objecten,
voornamelijk sterrenstelsels. Getoond worden de hoekposities en roodverschuivingen
van deze sterrenstelsels. Het lijkt alsof er minder sterrenstelsels op grote
afstand worden gemeten, maar dat wordt veroorzaakt door het feit dat dan alleen
maar de helderste stelsels zichtbaar zijn.}
\label{fig:gsurvey}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Ook de materieverdeling op grote schaal in het universum is isotroop. Dit wordt
getoond in Fig. \ref{fig:gsurvey}. In het binnengebied, waar het onderzoek meer
volledig is, worden gaten, knopen en draden zichtbaar, maar op de grootste schalen
is de verdeling van sterrenstelsels gelijk voor praktisch elk gebied in het universum. 
Wanneer deze isotropie wordt samengevoegd met de gedachte dat de aarde geen speciale positie inneemt, 
dan moeten we aannemen dat het heelal er van {\sl elke} positie gezien er het zelfde uitziet (de 
zogenaamde aanname van {\sl homogeniteit}) in alle richtingen. Deze combinatie van isotropie en 
homogeniteit wordt vaak als startpunt genomen van de toepassing van relativiteitstheorie op het heelal, 
en draagt als naam {\sl het kosmologisch principe}: 

\bigskip
\noindent
{\sl vanaf elke positie in het heelal, lijken materie en energie gelijkmatig verdeeld te zijn, 
wanneer bekeken op een schaal van ongeveer 100 Mpc.}

\bigskip
\noindent
Als wij een model willen bouwen dat de evolutie van het heelal succesvol beschrijft, dan moet dit 
het kosmologisch principe hebben ingebouwd, danwel een manier bevatten waarop het op een of andere 
manier een logisch gevolg is van de details van het model. Wij zullen in het vervolg het kosmologisch 
principe zelf inbouwen in onze beschrijving.

\medskip
\noindent
Willen wij de algemene relativiteitstheorie gebruiken om het heelal te beschrijven, dan ligt het 
voor de hand een metriek te kiezen die een materie- en energieverdeling oplevert die in overeenstemming 
is met het kosmologisch principe. Dit blijkt niet een heel moeilijke taak te zijn. In de eerste plaats 
hadden we al opgemerkt dat zwaartekracht de enige kracht is die op deze schaal een rol speelt in de 
evolutie van het heelal, en dit betekent dat we geen rekening hoeven te houden met de ingewikkelde 
quantummechanische details van de andere drie krachten, danwel de wisselwerking van onze metriek met 
deze krachten opdat de gewenste homogeniteit en isotropie gevonden wordt. In plaats daarvan kunnen 
we de metriek en de verdeling van massa en energie als direct gecorreleerd zien zonder invloeden van 
de andere krachten. Zo volgt dan ook dat als de metriek zelf geen voorkeursrichting danwel voorkeurspositie 
kent, de energieverdeling dit ook niet zal hebben.

\medskip
\noindent
Het is niet zo heel moeilijk om een metriek te vinden die aan deze eis voldoet. Alvorens dit te doen, 
zullen we nu even een paar van de ons al bekende metrieken beschouwen. De schwarzschild-metriek 
is isotroop, maar niet homogeen; de metriek die newtoniaanse zwaartekracht opleverde, 
vergelijking(\ref{eq:artdsnewton}), is ook 
isotroop maar niet homogeen. De minkowskimetriek, daarentegen, is zowel isotroop als homogeen! Maar de 
minkowskimetriek zou tekort schieten om het heelal te beschrijven, aangezien we al gezien hadden in 
het vorige hoofdstuk dat deze metriek strikt genomen alleen een oplossing is van de Einsteinvergelijkingen 
in de afwezigheid van materie en energie: een leeg heelal dus. Bovendien beperken we ons met deze keuze 
van de metriek meer dan het kosmologisch principe verlangt: het principe zegt inderdaad dat het heelal 
er vanaf elke positie gezien, in alle richtingen er hetzelfde uit behoort te zien, maar niet dat dit 
uitzicht {\sl op elk tijdstip} hetzelfde hoeft te zijn. Het is dan ook toegestaan om een 
{\sl tijdsafhankelijkheid} aan de minkowskimetriek toe te kennen, mits deze maar in alle ruimtelijke 
richtingen hetzelfde is. Deze tijdsafhankelijkheid voegt men toe door middel van een (op dit moment nog) 
onbekende functie $a(t)$, genaamd de {\sl schaalfactor}, en de metriek wordt gegeven door
\begin{equation}
g_{\mu \nu} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a^2(t) & 0 & 0 \\
0 & 0 & a^2(t) & 0 \\
0 & 0 & 0 & a^2(t)
\end{array}
\right) .
\label{RWmetric}
\end{equation}
Deze metriek draagt de naam {\sl vlakke Robertson-Walker metriek}, en speelt een hoofdrol in de 
kosmologie\footnote{Er zijn nog twee andere metrieken denkbaar die voldoen aan het kosmologisch 
principe, te weten de sferische en de hyperbolische Robertson-Walker metrieken, en deze leiden tot 
een ruimte die niet alleen uitdijt, maar ook gekromd is. Deze beschrijven dan ook een heelal waarin 
aanvankelijk evenwijdige lopende lichtstralen convergeren respectievelijk divergeren. Echter, de 
theorie van {\sl kosmologische inflatie} leidt ertoe dat de vlakke Robertson-Walker metriek de beste 
beschrijving geeft van het heelal waarin wij leven. Bovendien wordt deze vorm van de metriek bevestigd 
door experiment. Wij komen hierop terug in het volgende hoofdstuk.  }. De fysische betekenis van de 
schaalfactor $a(t)$ is snel in te zien door het lijnelement $ds^2$ uit te schrijven. We vinden
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -c^2dt^2+a^2(t)dx^2+a^2(t)dy^2+a^2(t)dz^2 \nonumber \\
&=& a^2(t)dx^i dx_i \nonumber \\
&=& a^2(t)d \vec{x}^2 ,
\end{eqnarray}
waar de tweede stap geldt voor een speciale waarnemer die een afstand wil meten, en voor wie daarom geldt $dt=0$. 
Integreren om een eindige afstand $S$ te berekenen levert
\begin{eqnarray}
S &=&  \int a(t)d\vec{x} \nonumber \\
&=& a(t) \int d\vec{x}.
\end{eqnarray}
Blijkbaar is de gemeten afstand $S$ in de vlakke Robertson-Walker ruimte niets anders dan de afstand 
$\int d\vec{x}$ zoals die gemeten zou zijn in een minkowskimetriek, maal de functie $a(t)$. Dit verklaart 
de naam $schaal$factor: $a(t)$ geeft aan hoeveel groter (als $a(t) > 1$) of hoeveel kleiner (als $a(t) < 1$) 
een gemeten afstand is bij een gegeven co\"ordinaatafstand, vergeleken met de overeenkomstige gemeten 
afstand in een minkowskimetriek. Bovendien kunnen we nu de tijdsafhankelijkheid van de schaalfactor 
interpreteren: als $a(t)$ een stijgende functie is in de tijd, betekent dit dat gemeten afstanden steeds 
groter worden. De implicatie van dit is enorm: het betekent dat twee, zeg, sterren op vaste 
co\"ordinaatafstand, zich van elkaar zullen verwijderen met een snelheid gelijk aan $\dot{a}(t)$. Vanaf 
de aarde gezien (of, overeenkomstig het kosmologisch principe, vanaf {\sl elk willekeurig punt} 
in het heelal) lijken deze sterren zich van elkaar te verwijderen met een snelheid $\dot{a}(t)$. Dit 
geldt voor elke willekeurige twee sterren of alle andere materie of straling in het heelal: alles 
verwijdert zich van elkaar met een snelheid gedicteert door de tijdsafgeleide van de schaalfactor:  
we spreken in dat geval van een {\sl uitdijend heelal}. Op dezelfde manier volgt dat als $a(t)$ een 
dalende functie in de tijd is, gemeten afstanden afnemen in de tijd, en het heelal krimpt. De 
tijdsafgeleide $\dot{a}(t)$ van de schaalfactor is daarom een maat voor de snelheid waarmee het 
heelal uitdijt of inkrimpt; de tweede tijdsafgeleide $\ddot{a}(t)$ van de schaalfactor is een maat 
voor de verandering van de uitdijingssnelheid. 

\subsection{De wet van Hubble}

Een uitdijend of inkrimpend heelal heeft als kenmerk dat de golflengte van het licht van de sterren, 
oprekt of inkrimpt, en daardoor de kleur van dit licht roder danwel blauwer wordt. Dit betekent dat, 
in een uitdijend heelal, uitgezonden sterrenlicht roder aankomt in onze telescopen dan het uitgezonden 
wordt door de sterren, en bovendien dat deze roodverschuiving een maat is voor de uitdijingssnelheid 
$\dot{a}(t)$ van het heelal. Dit verband zullen we nu onderzoeken. We beschouwen hiertoe een 
lichtstraal in dit heelal. Volgens de relativiteitstheorie volgt deze lichtstraal een lichtachtig pad,
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -c^2dt^2+a^2(t)dx^2 \nonumber \\
&\equiv& 0 .
\end{eqnarray}
We nemen hier aan, zonder verlies van algemeenheid, dat het licht zich langs de $x$-richting voortbeweegt. 
Als deze lichtstraal is uitgezonden op tijdstip $t_e$ (emissie) en gemeten is op het huidige tijdstip $t_o$
(ontvangst), dan 
kunnen we deze relatie integreren om te zien hoeveel co\"ordinaatafstand $R$ het licht aflegt tussen de 
emissie en ontvangst. Er geldt
\begin{equation}
R = \int_{0}^{R} dx = \int_{t_{e}}^{t_{o}} \frac{cdt}{a(t)} .
\end{equation}
We beschouwen nu een waarnemer op grote afstand die licht in pulsjes uitzendt, en een tweede waarnemer 
die deze pulsjes ontvangt; hun onderlinge co\"ordinaatsafstand is $R$. De zender stuurt twee pulsjes weg, 
een tijd $\delta t_{e}$ van elkaar. De ontvanger zal de pulsjes iets later na elkaar ontvangen, 
aangezien het heelal ondertussen uitdijt: hij meet dat de pulsjes een tijd $\delta t_{o}$ na elkaar 
aankomen. Aangezien de co\"ordinaatafstand tussen de twee waarnemers niet verandert tijdens uitdijing 
van het heelal\footnote{In de kosmologie gebruiken we een co\"ordinatenstelsel dat met
de universele expansie mee oprekt. We noemen dergelijke co\"ordinaten, {\sl meebewegende
co\"ordinaten.}}, moet er nu gelden
\begin{equation}
c\int_{t_{e}+\delta t_{e}}^{t_{o}+\delta t_{o}} \frac{dt}{a(t)} = c\int_{t_{e}}^{t_{o}} \frac{dt}{a(t)} .
\label{Hubble}
\end{equation}
Beide kanten van de vergelijking worden vermenigvuldigd met de factor $c$; deze delen we weg. De 
rechterkant van deze vergelijking kunnen we schrijven als
\begin{equation}
\int_{t_{e}}^{t_{o}} \frac{dt}{a(t)} =   \int_{t_{e}}^{t_{e}+\delta t_{e}} \frac{dt}{a(t)} 
+ \int_{t_{e}+\delta t_e}^{t_{o}+\delta t_o} \frac{dt}{a(t)} 
+  \int^{t_{o}}_{t_{o}+\delta t_{o}} \frac{dt}{a(t)} .
\end{equation}
Wil dit gelijk zijn aan de linkerkant van de vergelijking (\ref{Hubble}), dan moet gelden
\begin{equation}
\int_{t_{e}}^{t_{e}+\delta t_{e}} \frac{dt}{a(t)} + \int^{t_{o}}_{t_{o}
+\delta t_{o}} \frac{dt}{a(t)} = 0.
\end{equation}
Als we aannemen dat $\delta t_o$ en $\delta t_e$ z\'o klein zijn dat de schaalfactor maar weinig 
verandert in deze integralen (dit wil zeggen: we nemen aan dat het heelal veel minder snel uitdijt 
dan de pulsen na elkaar uitgezonden worden), dan kunnen we $a(t)$ als constant nemen, en zegt 
deze laatste eis dat
\begin{equation}
\frac{\delta t_o}{\delta t_e} = \frac{a(t_o)}{a(t_e)} .
\end{equation}
Dit is een relatie tussen de tijden tussen pulsjes zoals gemeten en zoals verzonden. 
Dit verschil wordt direct bepaald door de grootte van het heelal ten tijde van uitzending ($t_e$) 
en ontvangst ($t_o$). Als we de duur tussen de pulsjes nu opvatten als de trillingstijd van een lichtgolf, 
dan kunnen we een uitspraak doen over de verhouding in frequentie $\omega \equiv 2 \pi \delta t^{-1}$ 
(kleur) van het licht zoals verzonden en ontvangen. 
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/redshift.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De kosmologische roodverschuiving. De spectra van twee sterrenstelsels worden getoond
als de ontvangen intensiteit als functie van de golflengte (1 Angstrom = $10^{-10}$ m). De 
heldere lijnen van de twee spectra corresponderen met een verschuiving van
$\Delta \lambda / \lambda \equiv z = 0,1$. Dit wordt de kosmologische roodverschuiving genoemd.}
\label{fig:redshift}
\end{figure}
We vinden dan de formule voor de {\sl kosmologische 
roodverschuiving} $z$. Er geldt
\begin{equation}
1+z \equiv \frac{\omega_e}{\omega_o} = \frac{a(t_o)}{a(t_e)} .
\end{equation}
We zien dat de roodverschuiving $z$ een maat is voor de verandering van de kleur van het licht, 
ten gevolge van de uitdijing van het heelal. Experimenteel gezien betekent dit, dat we door meting van 
de kleurverschuiving van sterrenlicht kunnen bepalen wat de huidige waarde is van de schaalfactor, ten 
opzichte van die ten tijde dat het licht uitgezonden werd. Dit geeft ons daarmee een maat voor de 
tijdsevolutie van de schaalfactor, en daarmee voor de uitdijingssnelheid van het heelal.

\medskip
\noindent
Voor sterren die niet te ver weg staan van onze telescopen heeft het licht niet veel tijd 
nodig om de afstand te overbruggen, en kan de schaalfactor nooit heel erg veranderd zijn tussen de 
momenten van uitzending en ontvangst van het sterrenlicht. Dit betekent dat we de schaalfactor ten 
tijde van uitzending, $a(t_e)$, goed kunnen benaderen door de Taylor-reeks
\begin{equation}
a(t_e) \approx a(t_o) + \dot{a}(t_o) (t_e-t_o) .
\end{equation}
Ingevuld in de formule voor de kosmologische roodverschuiving, volgt op deze manier
\begin{eqnarray}
1+z = \frac{a(t_o)}{a(t_e)} &\approx& a(t_o) \Big( a(t_o) 
+ \dot{a}(t_o) (t_e-t_o) \Big)^{-1}  \nonumber \\
&\approx& 1+\frac{\dot{a}(t_o)}{a(t_o)} (t_o-t_e) ,
\end{eqnarray}
waar in de laatste stap de wiskundige regel is gebruikt dat $(1+x)^m \approx 1+mx$, welke geldt als 
$mx \ll 1$; dit is hier het geval, aangezien $(t_e-t_o)$ een maat is voor de afstand tussen zender 
en ontvanger, en we hadden aangenomen dat deze klein is. Het tijdsverschil $(t_e-t_o)$ laat zich 
omzetten in een afstand tussen de zender en ontvanger door een factor $c$ te plaatsen. Op deze 
manier is nu de roodverschuiving van sterrenlicht gerelateerd geraakt aan de afstand $d$ tot de ster als
\begin{equation}
z \approx \frac{\dot{a}(t_o)}{a(t_o)} c d.
\end{equation}
De combinatie $\frac{\dot{a}(t_o)}{a(t_o)}$ draagt de naam {\sl Hubble constante} en is een maat 
voor de snelheid waarmee het heelal op dit moment uitdijt. Hij is vernoemd naar Edwin Hubble, die 
dit lineaire verband tussen roodverschuiving en afstand tot de sterren al in 1929 wist te meten; 
hiermee werd het eerste experimentele bewijs geleverd voor het uitdijen van het heelal. Sindsdien 
zijn de metingen steeds nauwkeuriger geworden, en is de waarde van de Hubble constante vastgesteld 
op, in eenheden die in de waarnemende sterrenkunde gebruikelijk zijn, 
$H(t_o) = 70,1$ km$\cdot$s$^{-1}\cdot$Mpc$^{-1}$; in standaardeenheden is de waarde ongeveer 
$H(t_o) = 2,1 \cdot 10^{-18}$ s$^{-1}$. Deze experimentele waarde zullen we later nodig hebben 
om de leeftijd van het heelal te schatten.

\subsection{De Friedmannvergelijkingen}

Een van de grootste opgaven van de kosmologie is het bepalen wat de expliciete vorm is van de 
functie $a(t)$: wanneer dit bekend is, weten we namelijk hoe de grootte van het heelal (en 
mogelijk zijn oorsprong en toekomstig gedrag) evolueert in de tijd. De vraag is dan ook: hoe kunnen 
we de vorm van de schaalfactor bepalen? Het antwoord wordt, zoals altijd, uiteindelijk gedicteerd 
door de aanwezigheid van materie en energie in het heelal. Immers, de vorm en het gedrag van een 
metriek is via de Einsteinvergelijkingen gekoppeld aan de energie-impuls tensor $T_{\mu \nu}$, en het ligt 
dan ook voor de hand om de vraag te stellen welke energie-impuls tensor als gevolg heeft dat de 
Einsteinvergelijkingen de Robertson-Walker metriek \label{RWmetric} als oplossing kent. Merk op hoe dit afwijkt 
van de gebruikelijke procedure: meestal bij het doen van relativiteitstheorie, is de energie-impuls tensor 
het {\sl startpunt} van berekeningen, en is de metriek een {\sl gevolg}; de huidige situatie is een 
van de weinige keren dat de metriek bekend is, en er een energie-impuls tensor gevonden dient te worden.

\medskip
\noindent
Dit is geen triviaal probleem: het vraagstuk wordt bemoeilijkt door het feit dat er een wisselwerking 
plaatsvindt tussen de tijdsafhankelijkheid van de metriek, en de vorm van de energie-impuls tensor. Denk ter 
illustratie aan een gas in een ballon: niet alleen wordt de grootte van de ballon bepaald door de druk 
van het gas in de ballon, maar deze druk is zelf weer een functie van de grootte (grootte van de ballon) 
van het volume waarin het gas opgesloten is. Op dezelfde manier wordt de metriek (een maat voor de 
grootte van het heelal) niet alleen {\sl bepaald} door de aanwezige energie en materie, maar oefent 
deze metriek ook zelf weer een {\sl invloed} uit op de energie-impuls tensor: een ingewikkelde wisselwerking 
is het gevolg.

\medskip
\noindent
Het kosmologisch principe biedt uitkomst. Willen energie en materie homogeen en isotroop verdeeld zijn 
over het heelal, dan moet de energie-impuls tensor overeenkomstig gekozen worden, wat betekent dat deze tensor 
geen plaatsafhankelijkheid mag kennen. Verder doet de eis van een uitgesmeerde hoeveelheid materie ons 
denken aan een {\sl perfecte vloeistof}. Vloeistoffen worden gekenmerkt door een druk $P$ en een 
energiedichtheid $\rho$, die, zoals beargumenteerd, nu ten hoogste van de tijd mogen afhangen. Voor 
vloeistoffen is een energie-impuls tensor bekend, en deze wordt gegeven door
(zie ook vergelijking (\ref{eq:tmunu}), maar merk op dat we $\rho$ nu als {\sl energie}dichtheid
defini\"eren in plaats van een {\sl massa}dichtheid)
\begin{equation}
T^{\mu \nu} = {1 \over c^2}(\rho + P) U^\mu U^\nu + Pg^{\mu \nu} .
\label{eq:friedeim}
\end{equation}
waarin $U^\mu$ de viersnelheid is van een waarnemer die in rust is ten opzichte van de 
vloeistof. Er geldt dat $U^\mu = (c,0,0,0)$.

\medskip
\noindent
Nu het kosmologisch principe ons tot aannames heeft geleid voor de vorm van de metriek en de vorm 
van de energie-impuls tensor, kunnen de Einsteinvergelijkingen worden gebruikt om het verband tussen de twee 
objecten te vinden; het resultaat zal zijn dat er een direct verband bestaat tussen de schaalfactor 
$a(t)$ en de druk $P(t)$ en energiedichtheid $\rho(t)$ van het heelal. Hiertoe dienen de Riccitensor 
en Riemannscalar behorend bij de Robertson-Walker metriek te worden berekend. Dit is een eenvoudige 
opgave, en leidt tot 
\begin{eqnarray}
R_{0 0} &=& 3\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}, \nonumber \\
R_{ij} &=& -\Big(2\dot{a}^2(t)+a(t)\ddot{a}(t)\Big)\delta_{ij}, \nonumber \\
R &=& -6\frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)}-6\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} .
\end{eqnarray}
Wanneer deze worden ingevuld in de linkerkant van de Einsteinvergelijkingen en de energie-impuls tensor 
ingevuld in de rechterkant, wordt een tensorvergelijking gevonden die in principe 10 verschillende 
relaties geeft tussen de schaalfactor en de druk en dichtheid van de aanwezige energie en 
materie. Echter, uiteindelijk levert dit ons slechts twee relaties op, aangezien de tensoren 
alleen niet-nul componenten op de diagonaal kennen, en de drie ruimtelijke componenten hiervan 
dezelfde informatie bevatten (kosmologisch principe!). Voor $\mu =0, \nu = 0$ levert dit
\begin{equation}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 = +\frac{8\pi G}{3c^2}\rho(t) ,
\end{equation}
en voor $\mu = i, \nu = i$ levert dit
\begin{equation}
\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} + \left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 
= -\frac{8 \pi G}{c^2}P(t) .
\end{equation}
Het is gebruikelijk deze tweede vergelijking te herschrijven door de eerste vergelijking 
te substitueren; de twee resulterende vergelijkingen zijn dan
\begin{eqnarray}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 &=& +\frac{8\pi G}{3c^2}\rho(t) , \nonumber \\
\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} &=& -\frac{4 \pi G}{3c^2}\Big( 3P(t)+\rho(t)  \Big) .
\end{eqnarray}
Deze twee vergelijkingen geven het verband tussen de energiedichtheid en druk van de vloeistof 
waarmee we het heelal gevuld hebben, en de schaalfactor. Zij heten de {\sl Friedmannvergelijkingen}, 
en vormen het hart van de kosmologie. Vraagstukken over de evolutie van de grootte van het 
heelal zijn hiermee tot een simpel stappenplan gereduceerd: beargumenteer wat de druk $P(t)$ en 
dichtheid $\rho(t)$ is van de energie en materie in het heelal, los de Friedmannvergelijkingen 
op, en vindt dan de expliciete vorm van de schaalfactor $a(t)$ (en daarmee de mate van uitdijing 
of inkrimping van het heelal). In sectie \ref{oplfriedman} zullen we deze vergelijkingen expliciet 
oplossen voor enkele speciale gevallen, en hieruit het model van de oerknal construeren. Alvorens 
dit te doen zullen we enkele directe, algemene gevolgen (dus geldend voor {\sl alle} oplossingen) van de 
Friedmannvergelijkingen bekijken.

\medskip
\noindent
Ten eerste voorspellen de Friedmannvergelijkingen dat het heelal een begin heeft gehad. Dit kan 
worden geconcludeerd op basis van het feit dat, voor ons bekende soorten materie en energie, de 
dichtheid en druk beide positieve grootheden zijn\footnote{In de volgende sectie zullen we zien dat 
er ook een energiesoort bestaat waarvoor dit niet opgaat; echter, zoals we eveneens zullen 
aantonen, heeft deze energiesoort een verwaarloosbare invloed in de eerste paar miljarden jaren 
van het heelal, en kan daarom worden genegeerd wanneer we voorspellingen willen doen over het vroege 
heelal.} en de rechterkant van de tweede Friedmannvergelijking daarom negatief is: hieruit volgt 
dat $\ddot{a}(t)$ negatief is: de uitdijingssnelheid van het heelal neemt af in de tijd. Gecombineerd 
met Hubble's experimentele feit dat het heelal op dit moment uitdijt, $\dot{a}(t_{\rm nu}) > 0$, 
leidt dit direct tot de conclusie dat op een bepaald moment in de historie van het heelal, de 
schaalfactor $a(t)$ de waarde nul heeft aangenomen. Dit correspondeert met een heelal waarin 
alle materie en energie opgeborgen is geweest in een volume ter grootte nul. De Friedmannvergelijkingen 
voorspellen dan ook dat de ruimtetijd begonnen is als {\sl een singulariteit met oneindige 
energiedichtheid}, en daarna (om onduidelijke redenen) is gaan uitdijen. Dit moment wordt gezien als 
het begin van het heelal, en draagt de naam {\sl oerknal}.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{Figures/leeftijd.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl De Hubble constante is gerelateerd aan een schaalfactor en levert een
bovengrens op de leeftijd van het heelal.}
\label{fig:leeftijd}
\end{figure}
Hierop voortbordurend, kan de tijd verlopen sinds de oerknal opgevat worden als de leeftijd van het 
heelal. Een schatting van de leeftijd kan gemaakt worden door op te merken dat de schaalfactor $a(t)$ 
zijn huidige waarde heeft gekregen terwijl het is gegroeid met een `snelheid' gelijk aan $\dot{a}(t)$. 
Een maat voor de leeftijd van het heelal kan daarom worden gegeven door de huidige waarde van de 
schaalfactor, gedeeld door zijn huidige snelheid. Dit levert in het algemeen een overschattig op, 
aangezien de tweede Friedmannvergelijking ons al leerde dat de snelheid van uitdijing $\dot{a}(t)$ 
niet altijd dezelfde waarde heeft gehad maar steeds kleiner is geworden. Het volgt daarom dat de 
leeftijd $t_{\rm nu}$ van het heelal een bovengrens heeft gegeven door
\begin{equation}
t_{\rm nu} < \frac{a(t_{\rm nu})}{\dot{a}(t_{\rm nu})}.
\label{eq:leeftijd}
\end{equation}
Aan de rechterkant van deze ongelijkheid herkennen we de inverse van de {\sl Hubble constante} die 
we al eerder ge\"{\i}ntroduceerd hadden, $H(t) \equiv \dot{a}(t)/a(t)$. Het essenti\"ele
verschil met de laatste keer dat 
wij deze tegenkwamen, is dat $H$ toen nog alleen op het huidige tijdstip werd genomen, waar we 
vanaf nu $H(t)$ ook op andere tijden zullen beschouwen\footnote{Merk op dat het daarom strikt genomen 
niet correct meer is om $H$ aan te duiden als een {\sl constante}: hij is immers tijdsafhankelijk. 
Het is echter algemeen gebruik om $H(t)$ nog altijd aan te duiden met de naam {\sl Hubble constante}, 
en dat zullen we in het vervolg dan ook blijven doen.}. Zoals besproken is $H(t)$ een fysisch 
meetbare grootheid, te bepalen door de roodverschuiving van dichtbijgelegen sterren te meten, en is 
bekend een waarde te hebben van ongeveer $70$ (km/s)/Mpc. Als we deze waarde invullen
in vergelijking (\ref{eq:leeftijd}), levert op een bovengrens voor de 
leeftijd van het heelal van ongeveer 15 miljard jaar. 

\subsection{Oplossingen van de Friedmannvergelijkingen}\label{oplfriedman}

Het heelal is, voor zover wij kunnen overzien en hebben kunnen meten, gevuld met energie en materie 
die we in drie groepen kunnen verdelen. Ten eerste is er de {\sl koude materie}: atomen, molekulen 
en alles wat daarvan gemaakt is. Denk hierbij aan sterren, sterrenstelses, gaswolken, nevels, de aarde 
en alles wat erop leeft, en ook de mysterieuze donkere materie. Ten tweede is er {\sl straling}, 
waarmee we alles bedoelen wat zich met (vrijwel) de lichtsnelheid voortbeweegt: fotonen uitgezonden 
door sterren, de fotonen van de kosmische achtergrondstraling (deze waren we al tegen gekomen 
bij de introductie van het kosmologische principe), maar ook zeer snel bewegende massieve deeltjes 
horen in deze categorie. Ten derde is er de  geheimzinnige energie die, zoals we zullen zien, het 
heelal versneld doet uitdijen, en waarvan de oorsprong nog een groot mysterie is; dit soort energie 
zullen we aanduiden met de naam {\sl kosmologische constante}\footnote{In de literatuur duiken ook 
andere namen op, veelal afhankelijk van de context waarin deze energie beschreven wordt, en zonder 
dat er een duidelijk onderscheid gehanteerd wordt tussen de eventuele subtiele verschillen tussen 
al deze concepten: {\sl vacuum energie}, {\sl donkere energie}, {\sl quintessence veld}, etc.}.

\medskip
\noindent
Elk van deze soorten materie en of energie zal een specifieke evolutie van het heelal voorspellen, en doel 
van deze sectie is het oplossen van de Friedmannvergelijkingen voor deze gevallen. Hiertoe 
zullen we uitdrukkingen moeten opschrijven voor de energiedichtheid en druk ten gevolge van elk van 
deze drie soorten van energie en materie. We zullen daarbij aannemen dat de dichtheid en druk 
evenredig zijn aan elkaar
\begin{equation}
P(t)=n\rho(t).
\end{equation}
Deze vergelijking wordt de {\sl toestandsvergelijking} genoemd van de energie of materie. 
De waarde van de evenredigheidsconstante $n$ is afhankelijk van meerdere factoren 
(waaronder de temperatuur, het type materie of energie, mate van interactie met andere soorten 
energie, en quantummechanische eigenschappen), maar kan in de huidige context als constant 
worden beschouwd.

\medskip
\noindent
Om de waarde van $n$ te vinden, kan men kennis uit de thermodynamica gebruiken (dit is immers de 
studie is van macroscopische grootheden als druk en interne energie van materie) en met name de 
eerste hoofdwet, de wet van behoud van totale energie. In andere takken van fysica is dit inderdaad 
de manier waarop $n$ bepaald wordt. Echter, in het geval van de kosmologie is dit niet nodig: 
zoals dadelijk zal blijken, {\sl dicteren} de Friedmannvergelijkingen wat de waarde is van $n$. 
Voor elke gegeven vorm van de energiedichtheid $\rho(t)$, volgt dan ook direct de druk $P(t)$ . 
Dit is niet verbazingwekkend: de Friedmannvergelijkingen volgen uit de Einsteinvergelijkingen, en deze 
hebben, zoals we gezien hebben in hoofstuk \ref{art}, het behoud van energie ingebouwd.

\subsubsection{Heelal gedomineerd door koude materie}

In het geval van de koude materie kunnen we een goede aanname doen voor de vorm van de energiedichtheid 
$\rho(t)$. Een energiedichtheid is altijd gedefinieerd als een hoeveelheid energie of materie gedeeld 
door een volume. Nu wordt met volume uiteraard het {\sl fysische} volume bedoeld, een produkt van 
fysisch gemeten lengte, breedte, en hoogte. Elk van deze drie grootheden zijn afstanden, en fysische 
afstanden worden (zoals we al gezien hadden) direct bepaald door de schaalfactor $a(t)$. Het ligt 
dan ook voor de hand om de dichtheid van de koude materie te schrijven als
\begin{equation}
\rho(t) = \frac{A}{a^3(t)} ,
\label{rhomatter}
\end{equation}
waarin $A$ een constante is; het is een maat voor de hoeveelheid energie en materie ten tijde dat 
de schaalfactor precies de waarde $a(t) = 1$ had; de waarde ervan is niet zo relevant in de volgende 
discussie. We zullen aannemen dat deze $A$ niet van waarde verandert; fysisch betekent dit dat de 
koude materie niet omgezet wordt in een van de andere soorten energie. De Friedmannvergelijkingen 
nemen dan de volgende vorm aan,
\begin{eqnarray}
\dot{a}^2(t)  &=& \frac{8 \pi G}{3c^2} \frac{A}{a(t)}, \nonumber \\
\ddot{a}(t) &=& -\frac{4 \pi G}{3c^2}(1+3n)\frac{A}{a^2(t)} .
\end{eqnarray} 
Bovenstaande differentiaalvergelijkingen
zullen wij dadelijk expliciet oplossen om de schaalfactor als functie van de tijd te vinden; 
eerst zullen we laten zien dat deze vergelijkingen, zoals beloofd, ook de waarde van de constante 
$n$ bepalen. Differentieer hiertoe de eerste van deze vergelijkingen naar de tijd
\begin{equation}
2\ddot{a}(t) = -\frac{8 \pi G}{3c^2}\frac{A}{a^2(t)} ,
\end{equation}
en substitueer deze in de tweede van de vergelijkingen. We vinden dan
\begin{equation}
-\frac{4 \pi G}{3c^2}A = -\frac{4 \pi G}{3c^2}(1+3n)A ,
\end{equation}
wat alleen waar kan zijn wanneer de evenredigheidparameter $n$ gelijk is aan $0$. Hiermee is 
gevonden dat de druk $P(t) = n\rho(t)$ ten gevolge van koude materie gelijk is aan nul. Fysisch betekent 
dit dat deze materie te weinig energetisch is om de deeltjes van deze materie genoeg snelheid te 
geven om een significante druk uit te oefenen. Het is precies om deze reden dat we deze materie het 
predikaat `koud' hebben gegeven.

\medskip
\noindent
Nu er uitdrukkingen gevonden zijn voor de energiedichtheid en druk voor het geval van koude 
materie, kunnen we deze uitdrukkingen substitueren in de Friedmannvergelijkingen, en deze pogen 
op te lossen om zo de schaalfactor $a(t)$ te vinden. De volgende differentiaalvergelijkingen 
worden dan gevonden,
\begin{eqnarray}
a(t)\dot{a}^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}A , \nonumber \\
a^2(t)\ddot{a}(t) &=& -\frac{4 \pi G}{3c^2}A .
\end{eqnarray}
Het is niet moeilijk in te zien dat de oplossing van deze vergelijkingen gegeven wordt 
door de functie
\begin{equation}
a(t) = Bt^{3/2} ,
\end{equation}
waarin $B$ een integratieconstante is\footnote{De constante factoren in de uitdrukking voor de 
schaalfactor zijn fysisch weinig interessant: ze herdefini\"eren enkel de afstandsmaat waarin 
afstanden gemeten worden. Om uitspraken te doen over de uitdijing van het heelal is alleen de 
{\sl verhouding} tussen de schaalfactoren van twee tijdstippen van belang. De constanten 
$B$ vallen er daarom altijd uit.}. Een oplossing is gevonden! Louter op basis van het 
kosmologisch principe en een voor de hand liggende aanname voor de energiedichtheid van 
de aanwezige materie, is nu gevonden hoe het heelal evolueert in de tijd. Interessant om 
te zien is het volgende: de gevonden oplossing voorspelt dat het heelal uitdijt: $\dot{a}(t) > 0$, 
maar dat deze uitdijing steeds minder snel gaat: $\ddot{a} < 0 $; dit is precies wat we 
verwachten op basis van het feit dat zwaartekracht een aantrekkende werking heeft.

\subsubsection{Heelal gedomineerd door straling}

Ook voor het geval van straling kunnen we een goede aanname doen voor de vorm van de energiedichtheid. 
Wederom geldt dat de dichtheid van straling (fotonen) afneemt naarmate het heelal uitdijt en dus 
dat $\rho(t) \propto a^{-3}(t)$. Bovendien geldt dat er een {\sl extra} afname van 
de energiedichtheid optreedt ten gevolge van de gravitationele roodverschuiving. Voor fotonen 
geldt dat de energie is gegeven voor $E = h\nu = \hbar \omega$, waar $\nu$ de frequentie ($\omega$
de hoekfrequentie $2\pi \nu$) is van de fotonen. 
Uitgedrukt in de golflengte $\lambda$ is deze relatie gegeven door $E= (2 \pi \hbar c)/\lambda$, 
waar de golflengte $\lambda$ een fysische afstand is, en daardoor schaalt met $a(t)$. Het gevolg 
is dan ook dat de stralingsenergiedichtheid afneemt met een extra factor $a(t)$ ten gevolge van 
deze roodverschuiving, en we dus verwachten dat deze energiedichtheid gegeven wordt door
\begin{equation}
\rho(t) = \frac{A}{a^4(t)}.
\label{rhoradiation}
\end{equation}
(waarin $A$ een constante is). Op dezelfde manier als eerder, kunnen we de Friedmannvergelijkingen 
gebruiken om de waarde van de constante $n$ te bepalen, en daarmee een functie voor de druk $P(t)$. 
Er wordt dan gevonden dat $n = 1/3$, en straling daarom de volgende druk kent,
\begin{equation}
P(t) = \frac{A}{3}\frac{1}{a^4(t)} .
\end{equation}
Met behulp van de gevonden uitdrukkingen voor energiedichtheid en druk, kunnen we ze vervolgens in 
de Friedmannvergelijkingen substitueren en vinden we voor het stralingsgedomineerde heelal
\begin{eqnarray}
a^2(t)\dot{a}^2(t) &=& +\frac{8 \pi G}{3c^2}A , \nonumber \\
a^3(t)\ddot{a}(t) &=& -\frac{8 \pi G}{3c^2}A .
\end{eqnarray}
De oplossing voor deze vergelijkingen is snel gevonden. Er geldt
\begin{equation}
a(t) = B \sqrt{t},
\end{equation}
waarin $B$ een integratieconstante is. Deze oplossing vertelt ons dat een heelal gevuld 
met straling, uitdijt, $\dot{a}(t) > 0$, en dat de uitdijingssnelheid afneemt, $ \ddot{a}(t) < 0$, 
wederom precies zoals we zouden verwachten op basis van het gegeven dat zwaartekracht een 
aantrekkende invloed uitoefent. Ook is te zien dat de uitdijing van een stralingsgedomineerd 
heelal sneller gaat dan de uitdijing van een heelal gedomineerd door koude materie. Dit 
heeft een belangrijke consequentie, waar we dadelijk op zullen terugkomen.

\subsubsection{Heelal gedomineerd door een kosmologische constante}

Tenslotte zullen we een heelal beschouwen dat gevuld is met een energievorm die wij hebben 
aangeduid met de naam `kosmologische constante'. We hebben de implicaties voor een deel
al in sectie \ref{kosmconst} besproken. Per definitie wordt hiermee een energievorm bedoeld, 
waarvan de energiedichtheid niet afneemt tijdens het uitdijen of inkrimpen van het heelal: 
$\rho(t)$ zal als een constante $\rho_c$ worden gekozen,
\begin{equation}
\rho(t) = \rho_c = {\rm const}.
\end{equation}
Fysisch betekent dit dat deze energievorm niet een gevolg kan zijn van `normale' materie of 
straling: voor alle soorten straling en materie geldt immers dat de dichtheid afneemt wanneer 
het uitgesmeerd wordt over een steeds groter wordend volume. De kosmologische constante kan 
daarom misschien het best\footnote{Een andere mogelijkheid die is bestudeerd, is dat energie 
niet behouden is op kosmische schaal: er wordt spontaan materie en/of energie gecre\"eerd uit 
het niets, en dit in precies de juiste hoeveelheden om de afname van de dichtheid ten gevolge 
van het groeien van het volume te compenseren. Deze aanpak is echter niet erg succesvol 
gebleken, en wordt door weinig kosmologen aangehangen.} worden gezien als een eigenschap van 
de ruimtetijd {\sl zelf} (en niet van iets {\sl op} de ruimtetijd): een energie die gedragen 
wordt door de ruimtetijd en daarom niet afhangt van de grootte van de ruimtetijd. Het is een 
experimenteel feit dat er wel degelijk een energievorm in het heelal aanwezig is dat aan deze 
eigenschap voldoet: ongeveer driekwart van {\sl alle} energie, lijkt van deze bijzondere vorm 
te zijn. We zullen hier later op terugkomen; op dit moment zullen we wederom de Friedmannvergelijkingen 
gebruiken om uit te rekenen hoe de druk van deze materie eruit ziet. Op dezelfde manier als 
eerder, kan uit de Friedmannvergelijkingen worden gevonden dat $n=-1$, en dus dat de druk ten 
gevolge van de kosmologische constante eveneens constant is, en gegeven wordt door
\begin{equation}
P(t) = -\rho(t) = -\rho_c = {\rm const}.
\end{equation}
Merk op dat deze druk {\sl negatief} is! Nu druk en dichtheid zijn gevonden, kunnen de 
Friedmannvergelijkingen gebruikt worden om de schaalfactor uit te rekenen. Zij worden
gegeven door
\begin{eqnarray}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}\right )^2 &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}\rho_c , \nonumber \\
\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}\rho_c .
\end{eqnarray}
De oplossing is wederom eenvoudig te vinden, en is
\begin{equation}
a(t) = a_0e^{\sqrt{\frac{8 \pi G}{3c^2}\rho_c}t},
\end{equation}
waarin $a_0$ een integratieconstante is. De uitdijing van dit heelal is exponentieel, en 
gaat dientengevolge {\sl steeds sneller}. Merk op hoe dit indruist tegen ons begrip van 
zwaartekracht: we zouden verwachten dat een aantrekkende kracht de uitdijingssnelheid van 
het heelal zou afremmen (zoals ook het geval was voor een heelal gevuld met koude materie 
of straling). Wederom blijkt hier dat de kosmologische constante een bijzonder vreemde 
soort energie is!

\subsection{Het Standaard Model van de kosmologie}

Het heelal dijt uit. Dit was een direct gevolg van de Friedmannvergelijkingen, en was 
bovendien experimenteel geverifieerd.  Dit betekent dat de energiedichtheid van de verschillende 
energievormen vroeger vele malen groter was dan tegenwoordig. Dit uit zich in een afnemende 
hoeveelheid energie die deeltjes kunnen uitwisselen. De uitwisselingsenergie van de deeltjes 
bepaalt in welke mate zij interactie aangaan met andere deeltjes, en zo volgt dat er 
verschillende maten van interactie hebben plaatsgevonden naarmate het heelal ouder werd en groeide.

\medskip
\noindent
Nu we de schaalfactoren ten gevolge van verschillende soorten energie en materie hebben 
berekend, kunnen wij ze gebruiken om een model te maken van de geschiedenis van het 
heelal: wanneer hebben welke fysische processen plaatsgevonden? We zullen hierbij gebruik 
moeten maken van een aantal verschillende takken van de fysica, zoals de atoomfysica
en de subatomaire fysica. Het resultaat staat bekend als het {\sl Standaard Model van de kosmologie}. 
De berekeningen die we nu zullen doen, nemen niet alle subtiele (en belangrijke!) aspecten 
van het verhaal in beschouwing, maar zullen desondanks tot goede schattingen leiden van de 
ordes van grootte van de tijden waarop belangrijke gebeurtenissen hebben plaatsgevonden.

\medskip
\noindent
We zullen aannemen dat de interactie tussen verschillende soorten materie altijd heeft plaatsgevonden 
door uitzending van fotonen of gluonen. Dit is in overeenstemming met onze kennis van de atoom- en 
subatomaire fysica, die zegt dat, inderdaad, de interactie tussen quarks (voornamelijk) wordt 
bewerkstelligd door uitzending van gluonen, en de interactie tussen elektronen en protonen door 
uitzending van fotonen. Beide typen deeltjes zijn massaloos, en kunnen we daarom opvatten als 
straling. De energiedichtheid voor straling in een uitdijend heelal zijn we al tegengekomen: we 
hadden toen gezien dat de energiedichtheid van straling schaalt met $a^{-4}(t)$. De energie per 
foton\footnote{Net als eerder zullen we, voor het gemak, alleen fotonen bij naam noemen, en in 
het achterhoofd houden dat de volgende resultaten ook gelden voor gluonen.} is niets anders dan 
de energiedichtheid maal het volume; de laatste schaalt met $a^3(t)$, en zo volgt dat de 
energie $E_{\rm foton}$van een enkel foton het volgende verband kent met de schaalfactor,
\begin{equation}
E_{\rm foton} \propto \frac{1}{a(t)} .
\end{equation}
Deze relatie geldt zowel in een stralingsgedomineerde- als koude materie gedomineerd heelal. 
Het is pas wanneer de specifieke functie voor de schaalfactor wordt ingevuld, dat het verschil 
tussen beide situaties zichtbaar wordt. Dit leidt tot functies voor de energie\"en 
van een foton in een stralingsgedomineerd heelal ($E_{\rm foton,~straling}$) en in een materie 
gedomineerd heelal ($E_{\rm foton,~materie}$), gegeven door
\begin{equation}
E_{\rm foton,~straling} = A_{\rm straling} t^{-1/2}, \quad \quad \quad \quad 
E_{\rm foton,~materie}= A_{\rm materie} t^{-2/3} .
\label{Efoton}
\end{equation}
Hierin zijn de $A$'s constanten, die nog nader bepaald zullen worden.

\medskip
\noindent
Deze twee vergelijkingen zijn de sleutel tot het berekenen van de leeftijd van het heelal op het 
moment dat belangrijke fysische gebeurtenissen plaatsvonden. Het enige dat gedaan moet worden, is 
invullen welke energie de fotonen op dat moment gehad hebben, en dan de bijbehorende tijdstippen 
uitrekenen. Hiertoe is wel nog wat extra informatie nodig: de constanten $A_{\rm straling}$ en $A_{\rm materie}$ 
zullen een waarde toegekend moeten worden, en verder moet er een idee zijn van wanneer welk van de 
twee vergelijkingen gebruikt mag worden. Dit wil zeggen: kunnen we een schatting maken van de leeftijd 
van het heelal waarop de invloed ten gevolge van koude materie dominanter werd dan die ten gevolge 
van straling?

\medskip
\noindent
De laatste vraag kunnen we beantwoorden met behulp van een experimenteel gegeven: als er gemeten wordt 
hoeveel energie er ongeveer per volume-eenheid aan fotonen en aan atomen is in het heelal, dan wordt 
er gevonden dat er op dit tijdstip ongeveer 1000 keer meer energiedichtheid ten gevolge van materie is, 
dan ten gevolge van fotonen. Er geldt
\begin{equation}
\left( \frac{\rho_{\rm materie}}{\rho_{\rm fotonen}} \right)_{\rm nu} \approx 1000.
\label{eq:rho41}
\end{equation}
De linkerkant van deze vergelijking schaalt, volgens vergelijkingen (\ref{rhomatter}) en 
(\ref{rhoradiation}), met de schaalfactor
\begin{equation}
a(t_{\rm nu}) \propto 1000.
\label{eq:1000}
\end{equation}
Er staat hier nu het evenredigheids-teken ($\propto$), omdat we alleen weten dat de dichtheden evenredig 
zijn met schaalfactoren. We kennen de waarden van de evenredigheidsconstanten niet. Het zal blijken 
dat we die ook niet nodig hebben.

\medskip
\noindent
Vergelijking (\ref{eq:1000}) geldt in het huidige heelal, $t = t_{\rm nu}$ We kennen echter ook 
een dergelijke 
vergelijking ten tijde van het moment waarop de energiedichtheid ten gevolge van straling even groot 
was als die ten gevolge van materie: per definitie zijn deze dichtheden dan gelijk. Er geldt
\begin{equation}
\left( \frac{\rho_{\rm materie}}{\rho_{\rm fotonen}} \right)_{\rm omslag} \equiv 1.
\label{eq:rho43}
\end{equation}
We bedoelen met het label {\sl omslag}, ten tijde van het omslagpunt van een stralingsgedomineerd 
heelal naar een materiegedomineerd heelal. Er geldt vervolgens weer
\begin{equation}
a(t_{\rm omslag}) \propto 1.
\end{equation}
Ook hier geldt dat we alleen weten dat er een evenredigheid is. Echter, en dit is van cruciaal 
belang, de onbekende evenredigheidsconstante is {\sl dezelfde} als in vergelijking (\ref{Efoton}). 
Dit betekent dat we de twee vergelijkingen (\ref{eq:rho41}) en (\ref{eq:rho43}) op elkaar kunnen 
delen en dan vinden
\begin{equation}
\left( a \right)_{\rm nu} = 1000 \cdot \left( a \right)_{\rm omslag},
\label{eq:kosmo44} 
\end{equation}
nu {\sl zonder} evenredigheidsteken. Merk op dat we het wegvallen van evenredigheidsconstanten in de 
schaalfactoren al hadden voorspeld in een voetnoot van een vorige sectie.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/frw.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Evolutie van het universum binnen het vlakke Friedmann-Robertson-Walker model.
Hierbij is de willekeurige aanname gedaan dat de energiedichtheid gelijk verdeeld is
over straling, materie en vacu\"um. Vlak na de Big Bang is de expansie gedomineerd
door straling ($a(t) \propto t^{1\over 2}$), daarna door materie ($a(t) \propto t^{2 \over 3}$)
en uiteindelijk door het vacuum ($a(t) \propto e^{Ht}$). De huidige leeftijd van
het heelal wordt gegeven door $t_0$.}
\label{fig:frw}
\end{figure}
\medskip
\noindent
Vergelijking (\ref{eq:kosmo44}) dat het heelal ten tijde van het omslagpunt, ongeveer 1000 keer kleiner was dan dat 
het nu is. Dit is genoeg informatie om het moment van omslagpunt te berekenen: we hoeven alleen 
maar deze verhouding van schaalfactoren om te zetten in een verhouding tussen de leeftijd van het 
heelal nu en tijdens het omslagpunt, en dan de huidige leeftijd van het heelal in te vullen. De 
eerste stap kunnen we doen door te bedenken dat in het huidige heelal de schaalfactor gaat 
als $\propto t^{2/3}$, en ten tijde van het omslagpunt, bij benadering, eveneens (immers, net {\sl na} 
het omslagpunt was het heelal materiegedomineerd geworden). We vinden dan ook voor de relatie 
tussen de leeftijd van het heelal nu, en de leeftijd van het heelal ten tijde van het omslagpunt
\begin{equation}
t^{2/3}_{\rm nu} = 1000 t^{2/3}_{\rm omslag} \quad \quad  
\rightarrow \quad \quad t_{\rm omslag} \approx \frac{t_{\rm nu}}{10^5}.
\end{equation}
Een schatting van de leeftijd van het heelal hadden we al gevonden in de bespreking van de 
wet van Hubble, en gevonden was $t_{\rm nu} \approx 10^{10}$ jaar. Ingevuld geeft dit dat het 
heelal op het moment dat het van stralingsgedomineerd overging naar materiegedomineerd, een 
leeftijd had van ongeveer $10^5$ jaar.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/kosmosch.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Structuur van het universum volgens type Ia supernovae metingen en CMBR
metingen. De horizontale as toont de fractie van de kritisch dichtheid $\rho_0$ (dat is de
dichtheid die nodig is om een vlak heelal te krijgen) voor materie, $\Omega_M = \rho / \rho_0$.
De verticale as is de fractie donkere energie $\Omega_\Lambda$, die wordt
bijgedragen door de kosmologische constante $\Lambda$. Als deze optellen tot 1, dan
is het heelal vlak, want dat is de totale energiedichtheid gelijk aan de kritische
dichtheid. Vlakke heelallen liggen op de schuine neerwaartse lijn. De gebieden boven deze
lijn hebben meer massa en corresponderen met een gekromd en gesloten heelal; de gebieden
eronder met een open heelal. De verschillende ovalen gebieden tonen de delen van het
diagram die consistent zijn met de meetgegevens. Er is maar een klein deel van het
diagram waar de meetgegevens overlappen. Het centrum van dit gebied correspondeert
met een model waarbij de massadichtheid van het universum 30\% is en de energiedichtheid
van de kosmologische constante 70\% van de kritische dichtheid. We vinden een
vlak expanderend heelal.}
\label{fig:kosmosch}
\end{figure}

\medskip
\noindent
De leeftijd van het heelal kunnen we ook gebruiken om de constanten $A_{\rm straling}$ en 
$A_{\rm materie}$ te bepalen. We zullen met de laatste beginnen. Hiertoe gebruiken we weer een 
experimenteel gegeven: de fotonen die ons vanuit het heelal bereiken, hebben nagenoeg 
allemaal\footnote{Zie ook de discussie op het begin van dit hoofdstuk. Daar werd dit 
experimentele feit al genoemd, en gebruikt om het kosmologisch principe te motiveren.} 
een temperatuur van 2,7 Kelvin. Dit komt overeen\footnote{Het verband tussen energie 
en temperatuur wordt bepaald door de zogenaamde 
{\sl Boltzmannconstante} $k_B = 1,4 \cdot 10^{-23}$ J/K.} 
met een energie van de orde van $10^{-23}$ Joule. Ingevuld in de tweede vergelijking (\ref{Efoton}) 
(het heelal is immers tegenwoordig materiegedomineerd), tezamen met het feit dat het heelal 
nu ongeveer $10^{10}$ jaar oud is, wordt de constante $A_{\rm materie}$ vastgelegd. We vinden
\begin{equation}
A_{\rm materie} \approx 10^{-12} J s^{2/3} \approx 10^{-2} {\rm GeV} s^{2/3} .
\end{equation}
We hebben hier de constante omgezet in de eenheid Giga-elektroVolt maal seconde$^{2/3}$; dit 
omdat we dadelijk energie\"en uit de subatomaire fysica nodig zullen hebben, en 
voor deze waarden de eenheid Joule een onhandig grote maat voor de energie is.

\medskip
\noindent
Tenslotte zullen we ook de waarde van de constante $A_{\rm straling} $ bepalen. Hiertoe hoeven we 
ons alleen te realiseren dat op het omslagpunt van het stralingsgedomineerde heelal naar een 
materiegedomineerd heelal, per definitie 
\begin{equation}
\left( E_{\rm foton,~straling} \right)_{\rm omslag} 
\equiv \left( E_{\rm foton,~materie} \right)_{\rm omslag}.
\end{equation}
Vergelijking (\ref{Efoton}) ingevuld, tezamen met de al gevonden waarde voor $A_{\rm materie}$ en 
het feit dat ten tijde van het omslagpunt het heelal ongeveer $10^5$ jaar oud was, geeft dan 
direct een orde van grootte voor de waarde van de constante $A_{\rm straling}$. We vinden
\begin{equation}
A_{\rm straling} \approx 10^{-13} J s^{1/2} \approx 10^{-3} {\rm GeV} s^{1/2}.
\end{equation}
Hiermee liggen de twee relaties (\ref{Efoton}) tussen de energie van een foton en de leeftijd 
van het heelal geheel vast. We zullen deze nu gebruiken om een idee te krijgen van de 
geschiedenis van het heelal, door uit te rekenen wanneer enkele belangrijke fysische 
gebeurtenissen hebben plaatsgevonden.

\medskip
\noindent
Als voorbeeld beschouwen we het moment waarop quarks samensmolten tot baryonen, en
dit moment draagt de naam {\sl baryogenese}. De subatomaire fysica leert ons dat dit plaatsvond 
op het moment dat de energie van de gluonen te veel was afgenomen door de uitdijing van het 
heelal om de quarks nog de energie te leveren de onderlingen aantrekkingskracht het hoofd te 
kunnen bieden: dit vond plaats bij een energie van ongeveer $1$ GeV. In welk van de twee 
vergelijkingen (\ref{Efoton}) moeten we deze waarde stoppen? Vond baryogenese plaats in een 
stralingsgedomineerd heelal, of een materie-gedomineerd heelal? Het antwoord is dat het 
plaatsvond in het stralingsgedomineerde heelal. Dit kunnen we zien doordat we al gezien 
hadden dat het omslagpunt plaatsvond toen de leeftijd van het heelal ongeveer $10^5$ jaar was, 
en dit via vergelijking (\ref{Efoton})
overeenkomt met een deeltjesenergie van ongeveer $10^{-5}$ GeV. Dit 
is veel minder dan de energie tijdens baryogenese, en dus volgt dat dit proces plaats heeft 
gevonden in het stralingsgedomineerde heelal. We moeten daarom nu de eerste vergelijking 
(\ref{Efoton}) gebruiken om uit te rekenen op welk tijdstip baryogenese heeft plaatsgevonden. 
Hiertoe vullen we de energie van $1$ GeV in, en vinden dan een leeftijd van ongeveer $10^{-4}$ seconde. 
Blijkbaar zijn de quarks samengesmolten tot de eerste protonen en neutronen toen het heelal nog maar 
een tienduizendste seconde oud was!

\medskip
\noindent
Op dezelfde manier zijn de tijdstippen van andere belangrijke fysische processen uit te rekenen. 
Zo leert de quantumveldentheorie ons dat de electromagnetische kracht en de zwakke kernkracht 
vroeger een aspect waren van een enkele kracht ({\sl elektrozwakke kracht}), en dat zij van elkaar 
zijn ontkoppeld toen de fotonen een energie hadden van ongeveer $10^3$ GeV, en op dezelfde manier 
als zojuist voorgerekenend volgt dat het heelal op dat moment ongeveer $10^{-10}$ seconde oud was.

\medskip
\noindent
Een tabel met enkele interessante fysische processen, de bijbehorende energie\"en, en de 
daaruitvolgende leeftijden van het heelal volgt. 

\medskip
\noindent
\begin{tabular}{ | l || c | c | r |}
\hline
 Gebeurtenis & Fysische gebeurtenis & Energie per foton & Leeftijd\\
 \hline 
 \hline
oerknal & begin van het heelal & $\infty$ (?) & 0 s\\
inflatie & heelal dijt versneld uit &? &? \\ 
ontkoppeling & elektrozwakke kracht onkoppelt& $10^{3}$ GeV & $10^{-10}$ s \\
baryogenese & quarks vormen baryonen& $1$ GeV& $10^{-4} $ s \\
nucleosynthese & baryonen vormen atoomkernen& $10^{-3}$ GeV & $100$ s \\
recombinatie & elektronen binden aan atoomkernen& $10^{-9}$ GeV& $10^5$ jaar \\
omslag & heelal wordt materiegedomineerd&  $10^{-9}$ GeV& $10^5$ jaar \\
het heden & fotonen hebben energie van 2,7 Kelvin & $10^{-12}$ GeV & $10^{10}$ jaar \\
\hline
\end{tabular} 

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/hh.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Schematische weergave van enkele interessante fysische processen en
de bijbehorende leeftijden van het heelal.}
\label{fig:hh}
\end{figure}

\bigskip
\noindent
Hiermee hebben we een globaal beeld gevormd van de geschiedenis van het heelal: het 
Standaard Model van de kosmologie. We zullen dit nu in woorden samenvatten.
Het heelal is ongeveer $10^{10}$ jaar oud, en is vanaf zijn ontstaan aan het uitdijen geweest, 
waardoor de energie per foton en gluon altijd is blijven afnemen. Het is begonnen als 
stralingsgedomineerd ($a(t) \propto \sqrt{t}$). Quarks smolten samen tot baryonen na 
ongeveer $10^{-4}$ seconden, baryonen smolten samen tot atoomkernen na ongeveer $100$ 
seconden, en elektronen bonden zich aan deze atoomkernen na ongeveer $10^5$ jaar. Op 
ongeveer hetzelfde moment ging het heelal over van stralingsgedomineerd naar 
materiegedomineerd ($a(t) \propto t^{3/2}$). In de resterende tijd tot tegenwoordig, 
zijn de sterren gevormd, nevels, planeten, en leven.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/nusyn1.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Voorspellingen voor de primordiale abondanties van de
lichtste elementen, getoond als functie van tijd en temperatuur
na de Big Bang.}
\label{fig:nusyn1}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Primordiale nucleosynthese begon pas toen het universum meer dan 10
seconden oud was en door haar expansie was afgekoeld tot een temperatuur
van ongeveer $3 \times 10^9$ K. Voor deze tijd was de temperatuur zo hoog,
dat de lichte kernen, gevormd door nucleon en nucleaire botsingen, 
na hun vorming ook weer direct uiteen vielen. Voor temperaturen lager
dan $3 \times 10^9$ K en dus voor tijden groter dan 10 s na de Big Bang
bleef $^4$He gebonden, terwijl de lichtere kernen nog steeds uiteen vielen.
Hierdoor kon nucleosynthese nog steeds geen aanvang nemen. Echter,
ongeveer 3 minuten later, waarbij de temperatuur door verdere expansie
afgekoeld was tot minder dan $10^9$ K, waren deuteron gevormd door de
reactie $n+p \rightarrow d+\gamma$ stabiel. Vervolgens leidde
neutron- en protonvangst door deuteronen tot $^3$H en $^3$He. Het $^3$H
gaat via beta-verval over in $^3$He en dat kan op haar beurt door
neutronvangst weer overgaan in $^4$He. De bijdrage van dit
laatste proces is echter klein ten opzichte van de vorming van $^4$He
door directe neutronvangst van $^3$He of door de reactie
$d~^3{\rm He} \rightarrow p~^4{\rm He}$. Botsingen tussen $^3$H en $^3$He
met $^4$He cre\" eerde kleine hoeveelheden $^7$Li en $^7$Be. Dit laatste
kan via beta-verval overgaan in het stabiele $^7$Li, hetgeen weer
de reactie $p ~ ^7{\rm Li} \rightarrow ^4{\rm He}^4{\rm He}$ kan aangaan.
Ook andere lichte kernen kunnen op deze wijze vernietigd worden, bijvoorbeeld
$n~^3{\rm He} \rightarrow p~^3{\rm H}$. De hoeveelheden $^2$H, $^3$H,
$^3$He, $^4$He en $^7$Li geproduceerd in de Big Bang is derhalve gevoelig
voor de baryondichtheid, of wel de verhouding van baryonen tot
fotonen (ongeveer $3 \times 10^{-10}$), maar ook voor de expansiesnelheid
(snelheid van afkoeling) van het beginnend universum. De relatieve
abondantie van een gegeven kern is gevoelig voor de
reactiesnelheid van diverse kernreacties. Figuur \ref{fig:nusyn1} toont
de abondanties van de lichte kernen gevormd in de Big Bang ten opzichte
van de abondantie van waterstof.
Hoe groter de baryonendichtheid, ofwel de massafractie in figuur \ref{fig:nusyn2},
des te groter is de vernietigingssnelheid van $d$, $^3$H en $^3$He.
De gemeten abondanties van $d$, $^3$He en $^7$Li komen overeen met
een $\eta$ dicht bij het minimum in de $^7$Li curve. 
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/nusyn2.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Voorspellingen en metingen voor de primordiale abondanties van de
lichtste elementen, getoond als functie van de baryon-foton verhouding $\eta$.}
\label{fig:nusyn2}
\end{figure}
De $^4$He-kern heeft
de grootste abondantie vanwege haar grote bindingsenergie. De expansiesnelheid
van het universum neemt toe met het aantal neutrinofamilies en berekeningen
bevestigen dat er drie neutrinofamilies bestaan. Dit komt overeen met waarnemingen
van $Z^0$ verval. De resultaten van Big Bang nucleosynthese zijn in
overeenstemming met het WMAP resultaat dat het universum bestaat uit 
$4,6 \pm 0,1$ \% gewone baryonische materie,
uit $23,3 \pm 1,3$ \% van een onbekend soort `dark matter' genaamd, omdat deze niet
zichtbaar is, maar wel gravitationele effecten heeft, en uit $72,1 \pm 1,5$ \% van
iets dat we `dark energy' noemen. 

\medskip
\noindent
Dit model is niet compleet. Zo weten we niet wat er gebeurd is op tijdschalen van 
de orde van $<10^{-44}$ seconde. De reden is, dat op dat moment de afstandsschalen zo 
klein geweest zijn dat quantumeffecten een rol hebben moeten spelen in de interactie 
tussen deeltjes, en wij op dit moment (nog) niet beschikken over een theorie die zulke 
effecten weet te beschrijven in combinatie met zwaartekracht. Vermoedelijk zal een 
soortgelijke theorie ({\sl quantumzwaartekracht}) verklaren waar de quarks en elektronen 
vandaan gekomen zijn, en waarom er meer deeltjes zijn dan antideeltjes: in het 
Standaard Model van de kosmologie hebben we de aanwezigheid en hoeveelheid van zulke 
deeltjes als {\sl gegeven} beschouwd.

\medskip
\noindent
Verder zijn er redenen om aan te nemen dat het heelal in zijn allereerste fractie van 
een seconde een periode heeft gekend van extreme snelle expansie: {\sl inflatie}. Het is 
om deze reden dat we dit alvast in de tabel hebben ingevuld. Dit is het onderwerp van het 
volgende hoofdstuk, en zal daar worden besproken.

\medskip
\noindent
Merk op, tenslotte, dat het experimenteel moeilijk is om uitspraken te doen over 
de geschiedenis van het heelal van voor recombinatie ($10^{5} $ jaar). Immers, het is 
vanaf dat moment geweest dat fotonen, per definitie van recombinatie, te weinig energie 
hadden om nog interactie te hebben met atomen (materie), en daarom pas vanaf dat moment 
vrij konden rondbewegen. Dit betekent dat het meten aan fotonen ons niet verder terug 
kan doen kijken dan het tijdstip van recombinatie. Het is om deze reden dat nieuwe typen 
telescopen gebruikt worden om het vroege heelal te bestuderen: telescopen gebaseerd op 
neutrino's (Antares en KM3NeT, Amanda en IceCube), zwaartekrachtsgolven (Virgo, LIGO, 
GEO600, Einstein Telescope en LISA).

\vfill
\eject
$~$
\vfill
\eject
