\documentclass[11pt]{report}
\usepackage{geometry}                % See geometry.pdf to learn the layout options. There are lots.
\geometry{letterpaper}                   % ... or a4paper or a5paper or ... 
%\geometry{landscape}                % Activate for for rotated page geometry
%\usepackage[parfill]{parskip}    % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epstopdf}
\DeclareGraphicsRule{.tif}{png}{.png}{`convert #1 `dirname #1`/`basename #1 .tif`.png}
\usepackage{mathrsfs}

\title{Relativiteitscursus, hoofdstuk 4}
\author{Gideon Koekoek}
\date{}                                           % Activate to display a given date or no date

\begin{document}
\maketitle
%\section{}
%\subsection{}

\chapter{Relativistische kosmologie}

\section{Introductie}

In de vorige hoofdstukken hebben we de speciale en de algemene relativiteitstheorie behandeld. De concepten van gekromde ruime en tijd zijn bediscussieerd, we weten welk verband er bestaat tussen de metriek en de aanwezige massa en energie, en zijn in staat een verkregen metriek te gebruiken om fysisch meetbare grootheden (afstanden en tijden) te berekenen. De volgende stap die gemaakt kan worden, is het toepassen van de theorie op enkele specifieke problemen, en dit is precies waar we in dit hoofdstuk mee zullen beginnen. In dit hoofdstuk zullen we een van de meest voorkomende toepassingen van de Algemene Relativiteitstheorie behandelen: de theorie van de Oerknal. We zullen dan zien dat een gevolg van de Relativiteitstheorie is dat het heelal uitdijt, en dat de snelheid van uitdijing te berekenen is wanneer we massa en energie kennen waarmee het Heelal gevuld is. Verder zullen we zien dat het model niet compleet is: waarnemingen laten zien dat er enkele onvolkomenheden in de Oerknaltheorie zijn opgesloten. Deze zullen we behandelen, en daarna pogen op te lossen door de theorie uit te breiden met een nieuw idee: de kosmologische inflatie. 

\section{Het Kosmologisch Principe}

We zullen ons nu gaan bezighouden met de toepassing van de relativiteitstheorie op het heelal. Een vraag dringt zich dan meteen op: op welke grond nemen we aan dat louter relativiteitstheorie genoeg is om de evolutie van het heelal te beschrijven? Er zijn immers nog enkele andere natuurkrachten, die vele ordes van grootte krachtiger zijn dan de zwaartekracht. Dit is inderdaad het geval, maar we moeten ons bedenken dat deze krachten op kosmische schaal vrijwel geen invloed uitoefenen: de sterke en zwakke kernkracht werken alleen op schalen van de orde van femtometers, en de elektromagnetische kracht speelt een verwaarloosbare rol aangezien sterren, sterrenstelsels, en alle andere materie elektrisch neutraal zijn op macroscopische schaal. Het gevolg is dan ook dat alleen de zwaartekracht een rol kan spelen in de dynamica van het heelal, en dus dat we relativiteitstheorie kunnen gebruiken om deze dynamica te onderzoeken. \newline
Wat weten we van het Heelal? Een van de eerste dingen die opvalt wanneer we naar de nachthemel kijken, is dat het er in elke richting hetzelfde uit lijkt te zien. Wanneer iets beter bekeken, lijkt dit toch niet helemaal zo te zijn: planeten volgen een pad ten opzichte van de vaste sterren, meteorenregens verschijnen op gezette tijden op en verschillende plaatsen aan de hemel, en hier en daar lijkt de sterrendichtheid groter dan op een andere plek. Echter, al deze onregelmatigheden zijn alleen te ontwaren wanneer het heelal bekeken wordt op een schaal zo groot als wij kunnen zien in een enkel beeld van een telescoop of het blote oog; op een schaal gezien van enkele honderden megaparsecs zijn deze onregelmatigheden uitgesmeerd, en lijkt het heelal wel degelijk erg hetzelfde, gezien in alle richtingen. Deze eigenschap draagt de naam \emph{isotropie}. De isotropie van het heelal wordt veel meer kracht bijgezet wanneer niet alleen gekeken wordt naar de verdeling van materie in het heelal, maar ook naar de verdeling van licht en straling. Al in 1965 meetten Penzias en Wilson dat de aarde gebombardeerd wordt door enorme aantallen fotonen die, ongeacht uit welke richting zij komen, allemaal\footnote{Ook nu kijken we naar het heelal op zeer grote schaal; dit betekent dat we de lokale afwijkingen van de energie van de fotonen door lokale invloeden als sterren, gaswolken, etc, buiten beschouwing laten} dezelfde energie hebben (deze energie komt overeen met een temperatuur van ongeveer 2.7 Kelvin). Dit betekent dat alle zichtbare delen van het heelal dezelfde temperaturen hebben: blijkbaar is ook de stralingsenergie geheel isotroop verdeeld over het zichtbare heelal. \newline
Wanneer deze isotropie wordt samengevoegd met de gedachte dat de aarde geen speciale positie inneemt, dan moeten we aannemen dat het heelal er van \emph{elke} positie gezien er het zelfde uitziet (de zogenaamde aanname van \emph{homogeniteit}  ) in alle richtingen. Deze combinatie van isotropie en homogeniteit wordt vaak als startpunt genomen van de toepassing van Relativiteitstheorie op het heelal, en draagt als naam \emph{Het Kosmologisch Principe}: \newline
\newline
\emph{vanaf elke positie in het heelal, lijken materie en energie gelijkmatig verdeeld te zijn, wanneer bekeken op een schaal van ongeveer 100 Mpc}
\newline
\newline
Als wij een model willen bouwen dat de evolutie van het heelal succesvol beschrijft, dan moet dit het Kosmologisch Principe hebben ingebouwd, danwel een manier bevatten waarop het op een of andere manier een logisch gevolg is van de details van het model. Wij zullen in het vervolg het Kosmologisch Principe zelf inbouwen. \newline
Willen wij de algemene relativiteitstheorie gebruiken om het heelal te beschrijven, dan ligt het voor de hand een metriek te kiezen die een materie- en energieverdeling oplevert die in overeenstemming is met het Kosmologisch Principe. Dit blijkt niet een heel moeilijke taak te zijn. In de eerste plaats hadden we al opgemerkt dat zwaartekracht de enige kracht is die op deze schaal een rol speelt in de evolutie van het heelal, en dit betekent dat we geen rekening hoeven te houden met de ingewikkelde quantummechanische details van de andere drie krachten, danwel de wisselwerking van onze metriek met deze krachten opdat de gewenste homogeniteit en isotropie gevonden wordt. In plaats daarvan kunnen we de metriek en de verdeling van massa en energie als direct gecorreleerd zien zonder invloeden van de andere krachten. Zo volgt dan ook dat als de metriek zelf geen voorkeursrichting danwel voorkeurspositie kent, de energieverdeling dit ook niet zal hebben. \newline
Het is niet zo heel moeilijk om een metriek te vinden die aan deze eis voldoet. Alvorens dit te doen, zullen we nu even een paar van de ons al bekende metrieken beschouwen. De Schwarzschild-metriek, eq. X, is isotroop, maar niet homogeen; de metriek die Newtiaanse zwaartekracht opleverde, eq. X, is ook isotroop maar niet homogeen. De Minkowski-metriek, daarentegen, is zowel isotroop als homogeen! Maar de Minkowski-metriek zou tekort schieten om het heelal te beschrijven, aangezien we al gezien hadden in het vorige hoofdstuk dat deze metriek strict genomen alleen een oplossing is van de Einstein vergelijkingen in de afwezigheid van materie en energie: een leeg heelal dus. Bovendien beperken we ons met deze keuze van de metriek meer dan het Kosmologisch Principe verlangt: het principe zegt inderdaad dat het heelal er vanaf elke positie gezien, in alle richtingen er hetzelfde uit behoort te zien, maar niet dat dit uitzicht \emph{op elk tijdstip} hetzelfde hoeft te zijn. Het is dan ook toegestaan om een \emph{tijdsafhankelijkheid} aan de Minkowski-metriek toe te kennen, mits deze maar in alle ruimtelijke richtingen hetzelfde is. Deze tijdsafhankelijkheid voegt men toe door middel van een (op dit moment nog) onbekende functie $a(t)$, genaamd de \emph{schaalfactor}, en wel op de volgende manier:
\begin{equation}
g_{\mu \nu} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a^2(t) & 0 & 0 \\
0 & 0 & a^2(t) & 0 \\
0 & 0 & 0 & a^2(t)
\end{array}
\right)
\label{RWmetric}
\end{equation}
Deze metriek draagt de naam \emph{vlakke Robertson-Walker metriek}, en speelt een hoofdrol in de kosmologie\footnote{Er zijn nog twee andere metrieken denkbaar die voldoen aan het Kosmologisch Principe, te weten de sferische en de hyperbolische Robertson-Walker metrieken, en deze leiden tot een ruimte die niet alleen uitdijt, maar ook gekromd is. Deze beschrijven dan ook een heelal waarin aanvankelijk evenwijdige lopende lichtstralen convergeren respectievelijk divergeren. Echter, de theorie van \emph{kosmologische inflatie} leidt ertoe dat de vlakke Robertson-Walker metriek de beste beschrijving geeft van het heelal waarin wij leven. Bovendien wordt deze vorm van de metriek bevestigd door experiment. Wij komen hierop terug in het volgende hoofdstuk.  }. De fysische betekenis van de schaalfactor $a(t)$ is snel in te zien door het lijnelement $ds^2$ uit te schrijven:
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -c^2dt^2+a^2(t)dx^2+a^2(t)dy^2+a^2(t)dz^2 \nonumber \\
&=& a^2(t)dx^i dx_i \nonumber \\
&=& a^2(t)d \vec{x}^2
\end{eqnarray}
(waar de tweede stap geldt voor een waarnemer die een afstand wil meten, en voor wie daarom geldt $dt=0$), en dit te integreren om een eindige afstand $S$ te berekenen:
\begin{eqnarray}
S &=&  \int a(t)d\vec{x} \nonumber \\
&=& a(t) \int d\vec{x}.
\end{eqnarray}
Blijkbaar is de gemeten afstand $S$ in de vlakke Robertson-Walker ruimte niks anders dan de afstand $\int d\vec{x}$ zoals die gemeten zou zijn in een Minkowski-metriek, maal de functie $a(t)$. Dit verklaart de naam $schaal$factor: $a(t)$ geeft aan hoeveel groter (als $a(t) > 1$) of hoeveel kleiner (als $a(t) < 1$) een gemeten afstand is bij een gegeven coordinaatafstand, vergeleken met de overeenkomstige gemeten afstand in een Minkowski-metriek. Bovendien kunnen we nu de tijdsafhankelijkheid van de schaalfactor interpreteren: als $a(t)$ een stijgende functie is in de tijd, betekent dit dat gemeten afstanden steeds groter worden. De implicatie van dit is enorm: het betekent dat twee, zeg, sterren op vaste coordinaatafstand, zich van elkaar zullen verwijderen met een snelheid gelijk aan $\dot{a}(t)$. Vanaf de aarde gezien (of, overeenkomstig het Kosmologisch Principe, vanaf \emph{elk willekeurig punt} in het Heelal) lijken deze sterren zich van elkaar te verwijderen met een snelheid $\dot{a}(t)$. Dit geldt voor elke willekeurige twee sterren of alle andere materie of straling in het heelal: alles verwijdert zich van elkaar met een snelheid gedicteert door de tijdsafgeleide van de schaalfactor:  we spreken in dat geval van een \emph{uitdijend heelal}. Op dezelfde manier volgt dat als $a(t)$ een dalende functie in de tijd is, gemeten afstanden afnemen in de tijd, en het heelal krimpt. De tijdsafgeleide $\dot{a}(t)$ van de schaalfactor is daarom een maat voor de snelheid waarmee het heelal uitdijt of inkrimpt; de tweede tijdsafgeleide $\ddot{a}(t)$ van de schaalfactor is een maat voor de verandering van de uitdijingssnelheid. \newline

\section{De Wet van Hubble}


Een uitdijend of inkrimpend Heelal heeft als kenmerk dat de golflengte van het licht van de sterren, oprekt of inkrimpt, en daardoor de kleur van dit licht roder danwel blauwer wordt. Dit betekent dat, in een uitdijend Heelal, uitgezonden sterrelicht roder aankomt in onze telescopen dan het uitgezonden wordt door de sterren, en bovendien dat deze roodverschuiving een maat is voor de uitdijingssnelheid $\dot{a}(t)$ van het Heelal. Dit verband zullen we nu onderzoeken. We beschouwen hiertoe een lichtstraal in dit Heelal. Volgens de Relativiteitstheorie volgt deze lichtstraal een lichtachtig pad,
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -c^2dt^2+a^2(t)dx^2 \nonumber \\
&\equiv& 0
\end{eqnarray}
(we nemen hier aan, zonder verlies van algemeenheid, dat het licht zich langs de $x$-richting voortbeweegt). Als deze lichtstraal is uitgezonden op tijdstip $t_e$ en gemeten is op het huidige tijdstip $t_0$, dan kunnen we deze relatie integreren om te zien hoeveel coordinaatafstand $R$ het licht aflegt tussen de emissie en ontvangst:
\begin{equation}
R = \int_{t_{e}}^{t_{0}} \frac{cdt}{a(t)}
\end{equation}
We beschouwen nu een waarnemer op grote afstand die licht in pulsjes uitzendt, en een tweede waarnemer die deze pulsjes ontvangt; hun onderlinge coordinaatsafstand is $R$. De zender stuurt twee pulsjes weg, een tijd $\delta t_{e}$ van elkaar. De ontvanger zal de pulsjes iets later na elkaar ontvangen, aangezien het Heelal ondertussen uitdijt: hij meet dat de pulsjes een tijd $\delta t_{0}$ na elkaar aankomen. Aangezien de coordinaatafstand tussen de twee waarnemers niet verandert tijdens uitdijing van het Heelal, moet er  nu gelden:
\begin{equation}
c\int_{t_{e}+\delta t_{e}}^{t_{0}+\delta t_{0}} \frac{dt}{a(t)} = c\int_{t_{e}}^{t_{0}} \frac{dt}{a(t)}
\label{Hubble}
\end{equation}
Beide kanten van de vergelijking worden vermenigvuldigd met de factor $c$; deze delen we weg. De rechterkant van deze vergelijking kunnen we schrijven als volgt:
\begin{equation}
\int_{t_{e}}^{t_{0}} \frac{dt}{a(t)} =   \int_{t_{e}}^{t_{e}+\delta t_{e}} \frac{dt}{a(t)} + \int_{t_{e}+\delta t_e}^{t_{0}+\delta t_0} \frac{dt}{a(t)} +  \int^{t_{0}}_{t_{0}+\delta t_{0}} \frac{dt}{a(t)}
\end{equation}
Wil dit gelijk zijn aan de linkerkant van de vergelijking \ref{Hubble}, dan moet gelden
\begin{equation}
\int_{t_{e}}^{t_{e}+\delta t_{e}} \frac{dt}{a(t)} + \int^{t_{0}}_{t_{0}+\delta t_{0}} \frac{dt}{a(t)} =0
\end{equation}
Als we aannemen dat $\delta t_0$ en $\delta t_e$ zo klein zijn dat de schaalfactor maar weinig verandert in deze integralen (dit wil zeggen: we nemen aan dat het Heelal veel minder snel uitdijt dan de pulsen na elkaar uitgezonden worden), dan kunnen we $a(t)$ als constanten nemen, en zegt deze laatste eis dat
\begin{equation}
\frac{\delta t_0}{\delta t_e} = \frac{a(t_0)}{a(t_e)}
\end{equation}
Dit is een relatie tussen de tijden tussen pulsjes zoals gemeten en zoals verzonden; zoals verwacht wordt dit verschil direct bepaald door de grootte van het Heelal ten tijde van uitzending ($t_e$) en ontvangst ($t_0$). Als we duur tussen de pulsjes nu opvatten als de trillingstijd van een lichtgolf, dan kunnen we een uitspraak doen over het verschil in frequentie $\omega \equiv 2 \pi \delta t^{-1}$ (kleur) van het licht zoals verzonden en ontvangen. We vinden dan de formule voor de \emph{kosmologische roodverschuiving} $z$:
\begin{equation}
1+z \equiv \frac{\omega_e}{\omega_o} = \frac{a(t_0)}{a(t_e)}
\end{equation}
Zoals nu te zien is, is de roodverschuiving $z$ een maat voor de verandering van de kleur van het licht, ten gevolge van de uitdijing van het Heelal. Experimenteel gezien betekent dit, dat we door meting van de kleurverschuiving van sterrenlicht kunnen bepalen wat de huidige waarde is van de schaalfactor, ten opzichte van die ten tijde dat het licht uitgezonden werd. Dit geeft ons daarmee een maat voor de tijdsevolutie van de schaalfactor, en daarmee voor de uitdijingssnelheid van het Heelal.\newline
Voor sterren die bovendien niet te ver weg staan van onze telescopen heeft het licht niet veel tijd nodig om de afstand te overbruggen, en kan de schaalfactor nooit heel erg veranderd zijn tussen de momenten van uitzending en ontvangst van het sterrenlicht. Dit betekent dat we de schaalfactor ten tijde van uitzending, $a(t_e)$, goed kunnen benaderen door een Taylor-reeks:
\begin{equation}
a(t_e) \approx a(t_0) + \dot{a}(t_0) (t_e-t_0)
\end{equation}
Ingevuld in de formule voor de kosmologische roodverschuiving, volgt op deze manier
\begin{eqnarray}
1+z = \frac{a(t_0)}{a(t_e)} &\approx& a(t_0) \Big( a(t_0) + \dot{a}(t_0) (t_e-t_0) \Big)^{-1}  \nonumber \\
&\approx& 1+\frac{\dot{a}(t_0)}{a(t_0)} (t_0-t_e) 
\end{eqnarray}
waar in de laatste stap de wiskundige regel is gebruikt dat $(1+x)^m \approx 1+mx$, welke geldt als $mx << 1$; dit is hier het geval, aangezien $(t_e-t_0)$ een maat is voor de afstand tussen zender en ontvanger, en we hadden aangenomen dat deze klein is. Het tijdsverschil $(t_e-t_0)$ laat zich omzetten in een afstand tussen de zender en ontvanger door een factor $c$ te plaatsen. Op deze manier is nu de roodverschuiving van sterrenlicht gerelateerd geraakt aan de afstand $d$ tot de ster:
\begin{equation}
z \approx \frac{\dot{a}(t_0)}{a(t_0)} c d.
\end{equation}
De combinatie $\frac{\dot{a}(t_0)}{a(t_0)}$ draagt de naam \emph{Hubble constante}: het is een maat voor de snelheid waarmee het Heelal op dit moment uitdijt. Hij is vernoemd naar Edwin Hubble, die dit lineaire verband tussen roodverschuiving en afstand tot de sterren al in 1929 wist te meten; hiermee werd het eerste experimentele bewijs geleverd voor het uitdijen van het Heelal. Sindsdien zijn de metingen steeds nauwkeuriger geworden, en is de waarde van de Hubble constante vastgesteld op, in eenheden die in de waarnemende sterrenkunde gebruikelijk zijn, $H(t_0) = 70.1$ km$\cdot$s$^{-1}\cdot$Mpc$^{-1}$; in standaardeenheden is de waarde ongeveer $H(t_0) = 2.1 \cdot 10^{-18}$ s$^{-1}$. Deze experimentele waarde zullen we later nodig hebben om de leeftijd van het Heelal te schatten.


\section{De Friedmann vergelijkingen}

Een van de grootste opgaven van de kosmologie is het bepalen wat de expliciete vorm is van de functie $a(t)$: wanneer dit bekend is, weten we namelijk hoe de grootte van het heelal (en mogelijk zijn oorsprong en toekomstig gedrag) evolueert in de tijd. De vraag is dan ook: hoe kunnen we de vorm van de schaalfactor bepalen? Het antwoord wordt, zoals altijd, uiteindelijk gedicteerd door de aanwezigheid van materie en energie in het heelal. Immers, de vorm en het gedrag van een metriek is via de Einstein Vergelijking gekoppeld aan de energie tensor $T_{\mu \nu}$, en het ligt dan ook voor de hand om de vraag te stellen welke energie tensor als gevolg heeft dat de Einstein vergelijking de Robertson-Walker metriek \label{RWmetric} als oplossing kent. Merk op hoe dit afwijkt van de gebruikelijke procedure: meestal bij het doen van relativiteitstheorie, is de energie tensor het \emph{startpunt} van berekeningen, en is de metriek een \emph{gevolg}; de huidige situatie is een van de weinige keren dat de metriek bekend is, en er een energie tensor gevonden dient te worden. \newline
Dit is geen triviaal probleem: het vraagstuk wordt bemoeilijkt door het feit dat er een wisselwerking plaatsvindt tussen de tijdsafhankelijkheid van de metriek, en de vorm van de energie tensor. Denk ter illustratie aan een gas in een ballon: niet alleen wordt de grootte van de ballon bepaald door de druk van het gas in de ballon, maar deze druk is zelf weer een functie van de grootte (grootte van de ballon) van het volume waarin het gas opgesloten is. Op dezelfde manier wordt de metriek (een maat voor de grootte van het heelal) niet alleen \emph{bepaald} door de aanwezige energie en materie, maar oefent deze metriek ook zelf weer een \emph{invloed} uit op de energie tensor: een ingewikkelde wisselwerking is het gevolg. \newline
Het Kosmologisch Principe biedt uitkomst. Willen energie en materie homogeen en isotroop verdeeld zijn over het heelal, dan moet de energie tensor overeenkomstig gekozen worden, wat betekent dat de tensor geen plaatsafhankelijkheid mag kennen. Verder doet de eis van een uitgesmeerde hoeveelheid materie ons denken aan een \emph{perfecte vloeistof}. Vloeistoffen worden gekenmerkt door een druk $p$ en een energiedichtheid $\rho$, die, zoals beargumenteerd, nu ten hoogste van de tijd mogen afhangen. Voor vloeistoffen is een energie tensor bekend, en wordt gegeven door
\begin{equation}
T^{\mu \nu} = \frac{1}{c^2}\Big( \rho(t) + p(t) \Big)u^\mu u^\nu + p(t)g^{\mu \nu}
\end{equation}
waarin $u^\mu$ de 4-snelheid is van een waarnemer die in rust is ten opzichte van de vloeistof: $u^\mu = (-c,0,0,0)$. \newline 
Nu het Kosmologisch Principe ons tot aannames heeft geleid voor de vorm van de metriek en de vorm van de energietensor, kan de Einstein vergelijking worden gebruikt om het verband tussen de twee objecten te vinden; het resultaat zal zijn dat er een direct verband bestaat tussen de schaalfactor $a(t)$ en de druk $p(t)$ en energiedichtheid $\rho(t)$ van het heelal. Hiertoe dienen de Ricci-tensor en Riemann scalar te worden berekend behorend bij de Robertson-Walker metriek. Dit is een eenvoudige opgave, en leidt tot de volgende uitdrukkingen:
\begin{eqnarray}
R_{0 0} &=& 3\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}, \\
R_{ij} &=& -\Big(2\dot{a}^2(t)+a(t)\ddot{a}(t)\Big)\delta_{ij}, \\
R &=& -6\frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)}-6\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}
\end{eqnarray}
Wanneer deze worden ingevuld in de linkerkant van de Einstein vergelijking en de energie tensor ingevuld in de rechterkant, wordt een tensorvergelijking gevonden die in principe 10 verschillende relaties aangeeft tussen de schaalfactor en de druk en dichtheid van de aanwezige energie en materie. Echter, uiteindelijk levert dit ons slechts twee relaties op, aangezien de tensoren alleen niet-nul componenten op de diagonaal kennen, en de drie ruimtelijke componenten hiervan dezelfde informatie bevatten (Kosmologisch Principe!). De $\mu =0, \nu = 0$ levert op
\begin{equation}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 = +\frac{8\pi G}{3c^2}\rho(t)
\end{equation}
en de $\mu = i, \nu = i$ levert op
\begin{equation}
\left( \frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}  \right) + \left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 = -\frac{8 \pi G}{c^2}p(t)
\end{equation}
Het is gebruikelijk deze tweede vergelijking te herschrijven door de eerste vergelijking te substitueren; de twee resulterende vergelijkingen zijn dan:
\begin{eqnarray}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 &=& +\frac{8\pi G}{3c^2}\rho(t) \\
\left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}\right)&=&-\frac{4 \pi G}{3c^2}\Big( 3p(t)+\rho(t)  \Big)
\end{eqnarray}
Deze twee vergelijkingen geven het verband tussen de energiedichtheid en druk van de vloeistof waarmee we het heelal gevuld hebben, en de schaalfactor. Zij heten de \emph{Friedmann vergelijkingen}, en vormen het hart van de kosmologie. Vraagstukken over de evolutie van de grootte van het heelal zijn hiermee tot een simpel stappenplan gereduceerd: beargumenteer wat de druk $p(t)$ en dichtheid $\rho(t)$ is van de energie en materie in het heelal, los de Friedmann vergelijkingen op, en vindt dan de expliciete vorm van de schaalfactor $a(t)$ (en daarmee de mate van uitdijing of inkrimping van het heelal). In de volgende Sectie zullen we deze vergelijkingen expliciet oplossen voor enkele speciale gevallen, en hieruit het model van de Oerknal construeren. Alvorens dit te doen zullen we enkele directe, algemene (d.w.z. geldend voor alle oplossingen) van de Friedmann vergelijkingen bekijken. \newline
\newline
Ten eerste voorspellen de Friedmann vergelijkingen dat het heelal een begin heeft gehad. Dit kan worden geconcludeerd op basis van het feit dat, voor ons bekende soorten materie en energie, de dichtheid en druk beide positieve grootheden zijn\footnote{In de volgende sectie zullen we zien dat er ook een energiesoort bestaat waarvoor dit niet opgaat; echter, zoals we eveneens nog zullen aantonen, heeft deze energiesoort een verwaarloosbare invloed in de eerste paar miljarden jaren van het heelal, en kan daarom worden genegeerd wanneer we voorspellingen willen doen over het vroege heelal.} en de rechterkant van de tweede Friedmann vergelijking daarom negatief is: hieruit volgt dat $\ddot{a}(t)$ negatief is: de uitdijingssnelheid van het Heelal neemt af in de tijd. Gecombineerd met het Hubble's experimentele feit dat het heelal op dit moment uitdijt, $\dot{a}(t_{nu}) > 0$, leidt direct tot de conclusie dat op een bepaald moment in de historie van het heelal, de schaalfactor $a(t)$ de waarde van nul heeft aangenomen. Dit correspondeert met een heelal waarin alle materie en energie opgeborgen is geweest in een volume van grootte nul. De Friedmann vergelijkingen voorspellen dan ook dat de ruimtetijd begonnen is als \emph{een singulariteit met oneindige energiedichtheid}, en daarna (om onduidelijke redenen) is gaan uitdijen. Dit moment wordt gezien als het begin van het heelal, en draagt de naam \emph{Oerknal}. \newline
Hierop voortboordurend, kan de tijd verlopen sinds de Oerknal opgevat worden als de leeftijd van het heelal. Een schatting van de leeftijd kan gemaakt worden door op te merken dat de schaalfactor $a(t)$ zijn huidige waarde heeft gekregen terwijl het is gegroeid met een 'snelheid' gelijk aan $\dot{a}(t)$. Een maat voor de leeftijd van het heelal kan daarom worden gegeven door de huidige waarde van de schaalfactor, gedeeld door zijn huidige snelheid. Dit levert in het algemeen een overschattig op, aangezien de tweede Friedmann vergelijking ons al leerde dat de snelheid van uitdijing $\dot{a}(t)$ niet altijd dezelfde waarde heeft gehad maar steeds kleiner is geworden. Het volgt daarom dat de leeftijd $t_{nu}$ van het heelal de volgende bovengrens heeft:
\begin{equation}
t_{nu} < \frac{a(t_{nu})}{\dot{a}(t_{nu})}.
\end{equation}
Aan de rechterkant van deze ongelijkheid herkennen we de inverse van de \emph{Hubble constante} die we al eerder geintroduceerd hadden: $H(t) \equiv \dot{a}(t)/a(t)$; verschil met de laatste keer dat wij deze tegenkwamen, is dat $H$ toen nog alleen op het huidige tijdstip werd genomen, waar we vanaf nu $H(t)$ ook op andere tijden zullen beschouwen\footnote{Merk op dat het daarom strict genomen niet correct meer is om $H$ aan te duiden als een \emph{constante}: hij is immers tijdsafhankelijk. Het is echter algemeen gebruik om $H(t)$ nog altijd aan te duiden met de naam \emph{Hubble constante}, en dat zullen we in deze cursus dan ook blijven doen.}. Zoals besproken is $H(t)$ een fysisch meetbare grootheid, te bepalen door de roodverschuiving van dichtbijgelegen sterren te meten, en is bekend een waarde te hebben van $70$ (km/s)/Mpc; ingevuld in de ongelijkheid, levert op dat de leeftijd van het heelal een bovengrens heeft van ongeveer 15 miljard jaar. In het vervolg van dit hoofdstuk zullen we niet zo kijken op factoren $1.5$, en de leeftijd van het Heelal steeds afschatten als 10 miljard jaar.

\section{Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen}

Het Heelal is, voor zover wij kunnen overzien en hebben kunnen meten, gevuld met energie en materie die we in drie groepen kunnen verdelen. Ten eerste is er de \emph{koude materie}: atomen, molekulen en alles wat daarvan gemaakt is. Denk hierbij aan sterren, sterrenstelses, gaswolken, nevels, de aarde en alles wat erop leeft, en ook de mysterieuze Donkere Materie. Ten tweede is er \emph{straling}, waarmee we alles bedoelen wat zich met (vrijwel) de lichtsnelheid voortbeweegt: fotonen uitgezonden door sterren, de fotonen van de kosmische achtergrondstraling (deze waren we al tegen waren gekomen bij de introductie van het Kosmologische Principe), maar ook zeer snel bewegende massieve deeltjes horen in deze categorie. Ten derde is er de  geheimzinnige energie die, zoals we zullen zien, het heelal versneld doet uitdijen, en waarvan de oorsprong nog een groot mysterie is; dit soort energie zullen we aanduiden met de naam \emph{kosmologische constante}\footnote{In de literatuur duiken ook andere namen op, veelal afhankelijk van de context waarin deze energie beschreven wordt, en zonder dat er een duidelijk onderscheid gehanteerd wordt tussen de eventuele subtiele verschillen tussen al deze concepten: \emph{vacuum energie}, \emph{donkere energie}, \emph{quintessence veld}, etc.}.  \newline
Elk van deze soorten materie/energie zal een specifieke evolutie van het heelal voorspellen, en doel van deze sectie is het oplossen van de Friedmann vergelijkingen voor alledrie deze gevallen. Hiertoe zullen we uitdrukkingen moeten opschrijven voor de energiedichtheid en druk ten gevolge van elk van deze drie soorten van energie en materie. We zullen daarbij aannemen dat de dichtheid en druk evenredig zijn aan elkaar
\begin{equation}
p(t)=n\rho(t).
\end{equation}
Deze vergelijking wordt de \emph{toestandsvergelijking} genoemd van de energie of materie onder beschouwing. De waarde van de evenredigheidsconstante $n$ is afhankelijk van meerdere factoren (waaronder de temperatuur, het type materie of energie, mate van interactie met andere soorten energie, quantummechanische eigenschappen, etc), maar kan in de huidige context als constant worden beschouwd. \newline
Om de waarde van $n$ te vinden, kan men kennis uit de thermodynamica gebruiken (dit is immers de studie is van macroscopische grootheden als druk en interne energie van materie) en met name de Eerste Hoofdwet, de wet van behoud van totale energie. In andere takken van fysica is dit inderdaad de manier waarop $n$ bepaald wordt. Echter, in het geval van de kosmologie is dit niet nodig: zoals dadelijk zal blijken, \emph{dicteren} de Friedmann vergelijkingen wat de waarde is van $n$, voor elke gegeven vorm van de energiedichtheid $\rho(t)$; de druk $p(t)$ volgt dan ook direct. Dit is niet verbazend: de Friedmann vergelijkingen volgen uit de Einstein vergelijking, en deze heeft, zoals we gezien hebben in Hoofstuk X, het behoud van energie ingebouwd. \newline
 \newline
In het geval van de koude materie kunnen we een goede gok doen voor de vorm van de energiedichtheid $\rho(t)$. Een energiedichtheid is altijd gedefinieerd als een hoeveelheid energie of materie gedeeld door een volume. Nu wordt met volume uiteraard het \emph{fysische} volume bedoeld, een produkt van fysisch gemeten lengte, breedte, en hoogte. Elk van deze drie grootheden zijn afstanden, en fysische afstanden worden (zoals we al gezien hadden) direct bepaald door de schaalfactor $a(t)$. Het ligt dan ook voor de hand om de dichtheid van de koude materie te gokken als volgt:
\begin{equation}
\rho(t) = \frac{A}{a^3(t)}
\label{rhomatter}
\end{equation}
waarin $A$ een constante is; het is een maat voor de hoeveelheid energie en materie ten tijde dat de schaalfactor precies de waarde $a(t) = 1$ had; de waarde ervan is niet zo relevant in de volgende discussie. We zullen aannemen dat deze $A$ niet van waarde verandert; fysisch betekent dit dat de koude materie niet omgezet wordt in een van de andere soorten energie. De Friedmann vergelijkingen nemen dan de volgende vorm aan:
\begin{eqnarray}
\dot{a}^2(t)  &=& \frac{8 \pi G}{3c^2} \frac{A}{a(t)} \nonumber \\
\ddot{a}(t) &=& -\frac{4 \pi G}{3c^2}(1+3n)\frac{A}{a^2(t)}
\end{eqnarray} 
Deze zullen wij dadelijk expliciet oplossen om de schaalfactor als functie van de tijd te vinden; eerst zullen we laten zien dat deze vergelijkingen, zoals beloofd, ook de waarde van de constante $n$ bepalen. Differentieer hiertoe de eerste van deze vergelijkingen naar de tijd
\begin{equation}
2\ddot{a}(t) = -\frac{8 \pi G}{3c^2}\frac{A}{a^2(t)}
\end{equation}
en substitueer deze in de tweede van de vergelijkingen. Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
-\frac{4 \pi G}{3c^2}A = -\frac{4 \pi G}{3c^2}(1+3n)A
\end{equation}
wat alleen waar kan zijn wanneer de evenredigheidparameter $n$ gelijk is aan $0$. Hiermee is gevonden dat de druk $p(t) = n\rho(t)$ ten gevolge van koude materie gelijk is aan nul. Fysisch betekent dit dat deze materie te weinig energetisch is om de deeltjes van deze materie genoeg snelheid te geven om een significante druk uit te oefenen. Het is precies om deze reden dat we deze materie het predikaat 'koud' hebben gegeven. \newline
Nu er uitdrukkingen gevonden zijn voor de energiedichtheid en druk voor het geval van koude materie, kunnen we deze uitdrukkingen substitueren in de Friedmannvergelijkingen, en deze pogen op te lossen om zo de schaalfactor $a(t)$ te vinden. De volgende differentiaalvergelijkingen worden dan gevonden:
\begin{eqnarray}
a(t)\dot{a}^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}A \nonumber \\
a^2(t)\ddot{a}(t) &=& -\frac{4 \pi G}{3c^2}A
\end{eqnarray}
Het is niet moeilijk in te zien dat de oplossing van deze vergelijkingen gegeven wordt door de volgende functie:
\begin{equation}
a(t) = Bt^{3/2}
\end{equation}
waarin $B$ een integratieconstante is\footnote{De constante factoren in de uitdrukking voor de schaalfactor zijn fysisch weinig interessant: ze herdefinieren enkel de afstandsmaat waarin afstanden gemeten worden. Om uitspraken te doen over de uitdijing van het Heelal is alleen de \emph{verhouding} tussen de schaalfactoren van twee tijdstippen van belang. De constanten $B$ vallen er daarom altijd uit.}. Een oplossing is gevonden! Louter op basis van het Kosmologische Principe en een voor de hand liggende aanname voor de energiedichtheid van de aanwezige materie, is nu gevonden hoe het heelal evolueert in de tijd. Interessant om te zien is het volgende: de gevonden oplossing voorspelt dat het heelal uitdijt: $\dot{a}(t) > 0$, maar dat deze uitdijing steeds minder snel gaat: $\ddot{a} < 0 $; dit is precies wat we verwachten op basis van het feit dat zwaartekracht een aantrekkende werking heeft. \newline
\newline
Ook voor het geval van straling kunnen we een goede gok doen voor de vorm van de energiedichtheid. Wederom geldt dat de dichtheid van straling (fotonen) afneemt naarmate het heelal uitdijt en dus dat $\rho(t) \propto a^{-3}(t)$, maar deze keer geldt bovendien dat er een \emph{extra} afname van de energiedichtheid optreedt ten gevolge van de gravitationele roodverschuiving. Voor fotonen geldt dat de energie is gegeven voor $E = \hbar \nu$, waar $\nu$ de frequentie is van de fotonen. Uitgedrukt in de golflengte $\lambda$ is deze relatie gegeven door $E= (2 \pi \hbar c)/\lambda$, waar de golflengte $\lambda$ een fysische afstand is, en daardoor schaalt met $a(t)$. Het gevolg is dan ook dat de stralingsenergiedichtheid afneemt met een extra factor $a(t)$ ten gevolge van deze roodverschuiving, en we dus verwachten dat deze energiedichtheid gegeven wordt door
\begin{equation}
\rho(t) = \frac{A}{a^4(t)}.
\label{rhoradiation}
\end{equation}
(waarin $A$ een constante is). Op dezelfde manier als eerder, kunnen we de Friedmann vergelijkingen gebruiken om de waarde van de constante $n$ te bepalen, en daarmee een functie voor de druk $p(t)$. Er wordt dan gevonden dat $n = 1/3$, en straling daarom de volgende druk kent:
\begin{equation}
p(t) = \frac{A}{3}\frac{1}{a^4(t)}
\end{equation}
Met behulp van de gevonden uitdrukkingen voor energiedichtheid en druk, kunnen we ze vervolgens in de Friedmann vergelijkingen substitueren en vinden we voor het stralingsgedomineerde Heelal: 
\begin{eqnarray}
a^2(t)\dot{a}^2(t) &=& +\frac{8 \pi G}{3c^2}A \nonumber \\
a^3(t)\ddot{a}(t) &=& -\frac{8 \pi G}{3c^2}A
\end{eqnarray}
De oplossing voor deze vergelijkingen is snel gevonden:
\begin{equation}
a(t) = B \sqrt{t},
\end{equation}
waarin $B$ een integratieconstante is. Deze oplossing vertelt ons dat een heelal gevuld met straling, uitdijt ( $\dot{a}(t) > 0$ ), en dat de uitdijingssnelheid afneemt $ \ddot{a}(t) < 0$), wederom precies zoals we zouden verwachten op basis van het gegeven dat zwaartekracht een aantrekkende invloed uitoefent. Ook is te zien dat de uitdijing van een stralingsgedomineerd heelal sneller gaat dan de uitdijing van een heelal gedomineerd door koude materie. Dit heeft een belangrijke consequentie, waar we dadelijk op zullen terugkomen. \newline
\newline
Tenslotte zullen we een heelal beschouwen dat gevuld is met een energievorm die wij hebben aangeduid met de naam 'kosmologische constante'. Per definitie wordt hiermee een energievorm bedoeld waarvan de energiedichtheid niet afneemt tijdens het uitdijen of inkrimpen van het heelal: $\rho(t)$ zal als een constante $\rho_c$ worden gekozen:
\begin{equation}
\rho(t) = \rho_c = const.
\end{equation}
Fysisch betekent dit dat deze energievorm niet een gevolg kan zijn van 'normale' materie of straling: voor alle soorten straling en materie geldt immers dat de dichtheid afneemt wanneer het uitgesmeerd wordt over een steeds groter wordend volume. De kosmologische constante kan daarom misschien het best\footnote{Een andere mogelijkheid die is bestudeerd, is dat energie niet behouden is op kosmische schaal: er wordt spontaan materie en/of energie gecreeerd uit het niets, en dit in precies de juiste hoeveelheden om de afname van de dichtheid ten gevolge van het groeien van het volume te compenseren. Deze aanpak is echter niet erg succesvol gebleken, en wordt door weinig kosmologen aangehangen.} worden gezien als een eigenschap van de ruimtetijd \emph{zelf} (en niet van iets \emph{op} de ruimtetijd): een energie die gedragen wordt door de ruimtetijd en daarom niet afhangt van de grootte van de ruimtetijd. Het is een experimenteel feit dat er wel degelijk een energievorm in het heelal aanwezig is dat aan deze eigenschap voldoet: zeker driekwart van \emph{alle} energie, lijkt van deze bijzondere vorm te zijn. We zullen hier later op terugkomen; op dit moment zullen we wederom de Friedmann vergelijkingen gebruiken om uit te rekenen hoe de druk van deze materie eruit ziet. Op dezelfde manier als eerder, kan uit de Friedmann vergelijkingen worden gevonden dat $n=-1$, en dus dat de druk ten gevolge van de kosmologische constante eveneens constant is, en gegeven wordt door:
\begin{equation}
p(t) = -\rho(t) = -\rho_c = const.
\end{equation}
Merk op dat deze druk \emph{negatief} is! Nu druk en dichtheid zijn gevonden, kunnen de Friedmann vergelijkingen gebruikt worden om de schaalfactor uit te rekenen. Zij zijn
\begin{eqnarray}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}\right )^2 &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}\rho_c  \\
\left( \frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}  \right) &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}\rho_c 
\end{eqnarray}
De oplossing is eenvoudig te vinden, en is
\begin{equation}
a(t) = a_0e^{\sqrt{\frac{8 \pi G}{3c^2}\rho_c}t},
\end{equation}
waarin $a_0$ een integratieconstante is. De uitdijing van dit heelal is exponentieel, en gaat dientengevolge \emph{steeds sneller}. Merk op hoe dit indruist tegen ons begrip van zwaartekracht: we zouden verwachten dat een aantrekkende kracht de uitdijingssnelheid van het heelal zou afremmen (zoals ook het geval was voor een heelal gevuld met koude materie of straling). Wederom blijkt hier dat de kosmologische constante een bijzonder vreemde soort van energie is! \newline
\newline


\section{Het Standaard Model van de kosmologie}

Het Heelal dijt uit. Dit was een direct gevolg van de Friedmann vergelijkingen, en was bovendien experimenteel geverifieerd.  Dit betekent dat de energiedichtheid van de verschillende energievormen vroeger vele malen groter was dan tegenwoordig. Dit uit zich in een afnemende hoeveelheid energie die deeltjes kunnen uitwisselen. De uitwisselingsenergie van de deeltjes bepaalt in welke mate zij interactie aangaan met andere deeltjes, en zo volgt dat er verschillende maten van interactie hebben plaatsgevonden naarmate het Heelal ouder werd en groeide. \newline
Nu we de schaalfactoren ten gevolge van verschillende soorten energie en materie hebben berekend, kunnen wij ze nu gebruiken om een model te maken van de geschiedenis van het Heelal: wanneer welke fysische processen hebben plaatsgevonden. We zullen hierbij gebruik moeten maken van een aantal verschillende takken van de fysica, zoals de nucleaire fysica, en de atoomfysica. Het resultaat staat bekend als het \emph{Standaard Model van de Kosmologie}. De berekeningen die we nu zullen doen, nemen niet alle subtiele (en belangrijke!) aspecten van het verhaal in beschouwing, maar zullen desondanks tot goede schattingen leiden van de ordes van grootte van de tijden waarop belangrijke gebeurtenissen hebben plaatsgevonden. \newline
\newline
We zullen aannemen dat de interactie tussen verschillende soorten materie altijd heeft plaatsgevonden door uitzending van fotonen of gluonen. Dit is in overeenstemming met onze kennis van de atoom- en nucleaire fysica, die zegt dat, inderdaad, de interactie tussen quarks (voornamelijk) wordt bewerkstelligd door uitzending van gluonen, en de interactie tussen electronen en protonen door uitzending van fotonen. Beide typen deeltjes zijn massaloos, en kunnen we daarom opvatten als straling. De energiedichtheid voor straling in een uitdijend heelal zijn we al tegengekomen: we hadden al gezien dat de energiedichtheid van straling schaalt met $a^{-4}(t)$. De energie per foton\footnote{Net als eerder zullen we, voor het gemak, alleen fotonen bij naam noemen, en in het achterhoofd houden dat de volgende resultaten ook gelden voor gluonen.} is niks anders dan de energiedichtheid maal het volume; de laatste schaalt met $a^3(t)$, en zo volgt dat de energie $E_{foton}$van een enkel foton het volgende verband kent met de schaalfactor:
\begin{equation}
E_{foton} \propto \frac{1}{a(t)}
\end{equation}
Deze relatie geldt zowel in een stralingsgedomineerde- als koude materie gedomineerd Heelal. Het is pas wanneer de specifieke functie voor de schaalfactor wordt ingevuld, dat het verschil tussen beide situaties zichtbaar wordt. Dit leidt tot de volgende functies voor de energieen van een foton in een stralingsgedomineerd heelal ($E_{foton,straling}$ ) en in een materie gedomineerd heelal ($E_{foton,materie}$):
\begin{equation}
E_{foton,straling} = A_{straling} t^{-1/2}, \quad \quad \quad \quad E_{foton, materie}= A_{materie} t^{-2/3}
\label{Efoton}
\end{equation}
Hierin zijn de $A$'s constanten, die nog nader bepaald zullen worden. \newline
Deze twee vergelijkingen zijn de sleutel tot het berekenen van de leeftijd van het Heelal op het moment dat belangrijke fysische gebeurtenissen plaatsvonden. Het enige dat gedaan moet worden, is invullen welke energie de fotonen op dat moment gehad hebben, en dan de bijbehorende tijdstippen uitrekenen. Hiertoe is wel nog wat extra informatie nodig: de constanten $A_{straling}$ en $A_{materie}$ zullen een waarde toegekend moeten worden, en verder moet er een idee zijn van wanneer welk van de twee vergelijkingen gebruikt mag worden. Dit wil zeggen: kunnen we een schatting maken van de leeftijd van het Heelal waarop de invloed ten gevolge van koude materie dominanter werd dan die ten gevolge van straling? \newline
\newline
De laatste vraag kunnen we beantwoorden met behulp van een experimenteel gegeven: als er gemeten wordt hoeveel energie er ongeveer per volume-eenheid aan fotonen en aan atomen is in het Heelal, dan wordt er gevonden dat er op dit tijdstip ongeveer 1000 keer meer energiedichtheid ten gevolge van materie is, dan ten gevolge van fotonen:
\begin{equation}
\frac{\rho_{materie}}{\rho_{fotonen}}|_{nu} \approx 1000.
\end{equation}
Linkerkant van deze vergelijking schaalt, volgens \ref{rhomatter}. en \ref{rhoradiation}, met de schaalfactor
\begin{equation}
a(t_{nu}) \propto 1000.
\end{equation}
Er staat hier nu het evenredigheids-teken ($\propto$), omdat we alleen weten dat de dichtheden evenredig zijn met schaalfactoren, maar niet wat de waarden van de evenredigheidsconstanten zijn. Het zal blijken dat we die niet nodig hebben. \newline
Deze vergelijking geldt in het huidige Heelal, $t = t_{nu}$ We kennen echter ook een dergelijke vergelijking ten tijde van het moment waarop de energiedichtheid ten gevolge van straling even groot was als die ten gevolge van materie: per definitie zijn deze dichtheden dan gelijk:
 \begin{equation}
\frac{\rho_{materie}}{\rho_{fotonen}}|_{omslag} \equiv 1.
\end{equation}
(met het label \emph{omslag} bedoelen we: ten tijde van het omslagpunt van een stralingsgedomineerd Heelal naar een materiegedomineerd Heelal). Ook hier geldt vervolgens weer
\begin{equation}
a(t_{omslag}) \propto 1.
\end{equation}
en ook hier geldt dat we alleen weten dat er een evenredigheid is. Maar, en dit is van cruciaal belang: de onbekende evenredigheidsconstante is \emph{dezelfde} als in vergelijking \ref{Efoton}. Dit betekent dat we de twee vergelijkingen op elkaar kunnen delen en dan vinden
\begin{equation}
a|_{nu} = 1000 \cdot a|_{omslag},
\end{equation}
nu \emph{zonder} evenredigheidsteken; dit wegvallen van evenredigheidsconstanten in de schaalfactoren hadden we al voorspeld in een voetnoot van een vorige Sectie. \newline
Hier staat dat het Heelal ten tijde van het omslagpunt, ongeveer 1000 keer kleiner was dan dat het nu is. Dit is genoeg informatie om het moment van omslagpunt te berekenen: we hoeven alleen maar deze verhouding van schaalfactoren om te zetten in een verhouding tussen de leeftijd van het Heelal nu en tijdens het omslagpunt, en dan de huidige leeftijd van het Heelal in te vullen. De eerste stap kunnen we doen door te bedenken dat in het huidige Heelal de schaalfactor gaat als $\propto t^{2/3}$, en ten tijde van het omslagpunt, bij benadering, eveneens (immers: net \emph{na} het omslagpunt was het Heelal materiegedomineerd geworden). We vinden dan ook de volgende relatie tussen de leeftijd van het Heelal nu, en de leeftijd van het Heelal ten tijde van het omslagpunt:
\begin{equation}
t^{2/3}_{nu} = 1000 t^{2/3}_{omslag} \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad t_{omslag} \approx \frac{t_{nu}}{10^5}.
\end{equation}
Een schatting van de leeftijd van het Heelal hadden we al gevonden in de bespreking van de Wet van Hubble, en gevonden was $t_{nu} \approx 10^{10}$ jaar. Ingevuld geeft dit dat het Heelal op het moment dat het van stralingsgedomineerd overging naar materiegedomineerd, een leeftijd had van ongeveer $10^5$ jaar. \newline
De leeftijd van het Heelal kunnen we ook gebruiken om de constanten $A_{straling}$ en $A_{materie}$ te bepalen. We zullen met de laatste beginnen. Hiertoe gebruiken we weer een experimenteel gegeven: de fotonen die ons vanuit het Heelal bereiken, hebben nagenoeg allemaal\footnote{Zie ook de discussie op het begin van dit Hoofdstuk. Daar werd dit experimentele feit al eerder genoemd, en gebruikt om het Kosmologisch Principe te motiveren.} een temperatuur van ongeveer 2.7 Kelvin. Dit komt overeen\footnote{Het verband tussen energie en temperatuur wordt bepaald door de \emph{Boltzmannconstante} $k_B = 1.4 \cdot 10^{-23}$ J/K.} met een energie van de orde van $10^{-23}$ Joule. Ingevuld in de tweede vergelijking van \ref{Efoton} (het Heelal is immers tegenwoordig materiegedomineerd), tezamen met het feit dat het Heelal nu ongeveer $10^{10}$ jaar oud is, wordt de constante $A_{materie}$ vastgelegd. Er wordt gevonden:
\begin{equation}
A_{materie} \approx 10^{-12} J s^{2/3} \approx 10^{-2} GeV s^{2/3}
\end{equation}
We hebben hier de constante omgezet in de eenheid Giga-electroVolt maal seconde$^{2/3}$; dit omdat we dadelijk energieen uit de nucleaire fysica en atoomfysica nodig zullen hebben, en voor deze waarden de eenheid Joule een onhandig grote maat voor de energie is. \newline
Tenslotte zullen we ook de waarde van de constante $A_{straling} $ bepalen. Hiertoe hoeven we ons alleen te realiseren dat op het omslagpunt van het stralingsgedomineerde Heelal naar een materiegedomineerd Heelal, per definitie gold
\begin{equation}
E_{foton,straling}|_{omslag} \equiv E_{foton, materie}|_{omslag}.
\end{equation}
Vergelijking \ref{Efoton} ingevuld, tezamen met de al gevonden waarde voor $A_{materie}$ en het feit dat ten tijde van het omslagpunt het Heelal ongeveer $10^5$ jaar oud was, geeft dan direct een orde van grootte voor de waarde van de constante $A_{straling}$:
\begin{equation}
A_{straling} \approx 10^{-13} J s^{1/2} \approx 10^{-3} GeV s^{1/2}.
\end{equation}
Hiermee liggen de twee relaties, \ref{Efoton}, tussen de energie van een foton en de leeftijd van het Heelal geheel vast. We zullen deze nu gaan gebruiken om een idee te krijgen van de geschiedenis van het Heelal, door uit te rekenen wanneer enkele belangrijke fysische gebeurtenissen hebben plaatsgevonden.\newline
\newline
Zoals aangekondigd, gebruiken we hiertoe enige kennis uit de nucleaire en atoomfysica. Deze takken van de natuurkunde vertellen ons namelijk bij welke energieen bepaalde processen plaatsvinden. Als voorbeeld beschouwen we het moment waarop quarks samensmolten tot baryonen (dit moment heeft de naam \emph{Baryogenese}): de nucleaire fysica leert ons dat dit plaatsvond op het moment dat de energie van de gluonen te veel was afgenomen door de uitdijing van het Heelal om de quarks nog de energie te leveren de onderlingen aantrekkingskracht het hoofd te kunnen bieden: dit vond plaats bij een energie van ongeveer $1$ GeV. In welk van de twee vergelijkingen \ref{Efoton} moeten we deze waarde stoppen: vond Baryogenese plaats in een stralingsgedomineerd Heelal, of een materie-gedomineerd Heelal? Het antwoord is dat het plaatsvond in het stralingsgedomineerde Heelal. Dit kunnen we zien doordat we al gezien hadden dat het omslagpunt plaatsvond toen de leeftijd van het Heelal ongeveer $10^5$ jaar was, en dit via \ref{Efoton} overeenkomt met een deeltjesenergie van ongeveer $10^{-5}$ GeV. Dit is veel minder dan de energie tijdens Baryogenese, en dus volgt dat dit proces plaats heeft gevonden in het stralingsgedomineerde Heelal. We moeten daarom nu de eerste vergelijking van \ref{Efoton} gebruiken om uit te rekenen op welk tijdstip Baryogenese heeft plaatsgevonden. Hiertoe vullen we de energie van $1$ GeV in, en vinden dan een leeftijd van ongeveer $10^{-4}$ seconde. Blijbaar zijn de quarks samengesmolten tot de eerste protonen en neutronen toen het Heelal nog maar een tienduizendste seconde oud was! \newline
Op dezelfde manier zijn de tijdstippen van andere belangrijke fysische processen ook uit te rekenen. Zo leert de quantumvelden theorie ons dat de electromagnetische kracht en de zwakke kernkracht vroeger een aspect waren van een enkele kracht (\emph{elektrozwakke kracht}), en dat zij van elkaar zijn ontkoppeld toen de fotonen een energie hadden van ongeveer $10^3$ GeV, en op dezelfde manier als zojuist voorgerekenend volgt dat het Heelal op dat moment ongeveer $10^{-10}$ seconde oud was. \newline
Een tabel met enkele interessante fysische processen, de bijbehorende energieen, en de daaruitvolgende leeftijden van het Heelal volgt. De gebruikte energieen kunnen worden gevonden in alle studieboeken over nucleaire fysica en atoomfysica. \newline
\newline
\newline
\begin{tabular}{ | l || c | c | r |}
\hline
 Gebeurtenis & Fysische gebeurtenis & Energie per foton & Leeftijd\\
 \hline 
 \hline
  Oerknal & Begin van het Heelal & $\infty$ (?) & 0 s\\
Inflatie &Heelal dijdt versneld uit &? &? \\ 
Ontkoppeling &Elektrozwakke kracht onkoppelt& $10^{3}$ GeV & $10^{-10}$ s \\
Baryogenese &Quarks vormen baryonen& $1$ GeV& $10^{-4} $ s \\
Nucleosynthese &Baryonen vormen atoomkernen& $10^{-3}$ GeV & $100$ s \\
Recombinatie & Elektronen binden aan atoomkernen& $10^{-9}$ GeV& $10^5$ jaar \\
Omslag & Heelal wordt materiegedomineerd&  $10^{-9}$ GeV& $10^5$ jaar \\
Het heden &Fotonen hebben energie van 2.7 Kelvin & $10^{-12}$ GeV & $10^{10}$ jaar \\
\hline
\end{tabular} 
\newline
\newline
\newline
Hiermee hebben we een globaal beeld gevormd van de geschiedenis van het Heelal: het Standaard Model van de Kosmologie. We zullen dit nu in woorden samenvatten. \newline
Het Heelal is ongeveer $10^{10}$ jaar oud, en is vanaf zijn ontstaan aan het uitdijen geweest, waardoor de energie per fotonen en gluonen altijd is blijven afnemen. Het is begonnen als stralingsgedomineerd ($a(t) \propto \sqrt{t}$). Quarks smolten samen tot baryonen na ongeveer $10^{-4}$ seconden, baryonen smolten samen tot atoomkernen na ongeveer $100$ seconden, en elektronen bonden zich aan deze atoomkernen na ongeveer $10^5$ jaar. Op ongeveer hetzelfde moment ging het Heelal over van stralingsgedomineerd naar materiegedomineerd ($a(t) \propto t^{3/2}$). In de resterende tijd tot tegenwoordig, zijn de sterren gevormd, nevels, planeten, en leven. \newline
Dit model is nog niet compleet. Zo weten we niet wat er gebeurd is op tijdschalen van de orde van $<10^{-44}$ seconde. De reden is, dat op dat moment de afstandsschalen zo klein geweest zijn dat quantumeffecten een rol hebben moeten spelen in de interactie tussen deeltjes, en wij op dit moment (nog) niet beschikken over een theorie die zulke effecten weet te beschrijven in combinatie met zwaartekracht. Vermoedelijk zal een soortgelijke theorie (\emph{quantumzwaartekracht}) verklaren waar de quarks en elektronen vandaan gekomen zijn, en waarom er meer normale deeltjes zijn dan antideeltjes: in het Standaard Model van de Kosmologie hebben we de aanwezigheid en hoeveelheid van zulke deeltjes als \emph{gegeven} beschouwd. \newline
Verder zijn er redenen om aan te nemen dat het Heelal in zijn allereerste fractie van een seconde een periode heeft gekend van extreme snelle expansie: \emph{inflatie}. Het is om deze reden dat we dit alvast in de tabel hebben ingevuld. Dit is het onderwerp van het volgende Hoofdstuk, en zal daar uitgebreid worden behandeld. \newline
Merk op, tenslotte, dat het experimenteel heel moeilijk is om uitspraken te doen over de geschiedenis van het Heelal van voor Recombinatie ($10^{5} $ jaar). Immers, het is vanaf dat moment geweest dat fotonen, per definitie van Recombinatie, te weinig energie hadden om nog interactie te hebben met atomen (materie), en daarom pas vanaf dat moment vrij konden  rondbewegen. Dit betekent dat het meten aan fotonen ons niet verder terug kan doen kijken dan het tijdstip van Recombinatie. Het is om deze reden dat nieuwe typen telescopen gebruikt worden om het vroege Heelal te bestuderen: telescopen gebaseerd op neutrino's (Antares experiment, KM3-net, etc), of zwaartekrachtsgolven (Virgo/Ligo, Einstein Telescope, etc.).

\end{document}