\section{Inleiding}\label{inleiding}

\medskip
\noindent
Gravitatie is universeel en werkt aantrekkend tussen objecten die
massa hebben. Het beinvloedt alle lichamen
op dezelfde wijze (dit werd ontdekt door Galileo Galile\"{\i} en wordt tot
uitdrukking gebracht in het equivalentieprincipe) en kan niet afgeschermd
worden, zoals dat wel mogelijk is voor bijvoorbeeld elektrische velden
met een kooi van Faraday. Gravitatie beschrijft de banen van projectielen
op aarde, en van planeten rond de zon. Gravitatie beheerst de evolutie van het universum
en voorspelt exotische objecten als neutronensterren en zwarte gaten.

\medskip
\noindent
De natuurkunde bestudeert materi\"ele systemen zoals planeten, sterren
en quasars en de arena waarin
het fysisch gebeuren plaatsvindt is de ruimte en tijd. Ruimte en tijd
zijn fundamentele begrippen in de fysica. In de geschiedenis van
de natuurkunde zijn ruwweg vier concepties met betrekking tot ruimte
en tijd te onderscheiden.

\medskip
\noindent
{\bf Ruimte en tijd volgens Aristoteles}

\noindent
Dit beeld komt overeen met het idee dat de `gemiddelde mens' heeft
van ruimte en tijd. De ruimte is drie-dimensionaal en euclidisch
($\mathbb{E}^3$) en de tijd is \' e\' en-dimensionaal en 
euclidisch ($\mathbb{E}^1$).
De bewering dat een object in rust is heeft in dit beeld van ruimte
en tijd objectieve betekenis. Ruimtetijd is het cartesische product
$\mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3$. Een punt in ruimtetijd 
heeft co\"ordinaten $(t,x,y,z)$
en het stelt dus een gebeurtenis op een scherp bepaalde tijd $t$ en met
de precies bepaalde plaats $(x,y,z)$ voor. Een dergelijke gebeurtenis
noemen we een {\sl puntgebeurtenis}. Ruimtetijd is dus de verzameling
van alle mogelijke puntgebeurtenissen. Voor twee puntgebeurtenissen
$(t_1, \vec r_1)$ en $(t_2, \vec r_2)$ kunnen we spreken van de {\sl
afstand} $\vert \vec r_1 - \vec r_2 \vert$ en over het {\sl tijdverschil}
$t_1 - t_2$ van beide puntgebeurtenissen. Afstand en tijdverschil
hebben absolute betekenis.

\medskip
\noindent
{\bf Ruimtetijd volgens Galile\"{\i} }

\noindent
Dit is het beeld van ruimte en tijd zoals dit in de klassieke mechanica
van Newton voorkomt. Belangrijk hierin is het relativiteitsprincipe
van Galile\"{\i}\footnote{Galileo Galile\"{\i} heeft een belangrijke
invloed op de ontwikkeling van wetenschap gehad: hij was van mening
dat wetenschap gebaseerd diende te zijn op zorgvuldig experimenteel
onderzoek. Ook beschreef hij waarnemingen wiskundig.
Hij formuleerde het equivalentieprincipe, liet zien dat de versnelling
van de zwaartekracht uniform is ($g=9.8$ m/s$^2$), toonde dat horizontale
en verticale bewegingen afzonderlijk beschreven kunnen worden, en gaf ons
het principe van relativiteit. Galile\"{\i} was hiermee de eerste relativist.}. 
Dit principe wordt als volgt geformuleerd: er bestaan
inertiaalsystemen; inertiaalsystemen bewegen met constante snelheid
$\vec v$ ten opzichte van elkaar en verschillende inertiaalsystemen
zijn equivalent met betrekking tot de wetten van de klassieke mechanica. We
herinneren nog even aan de definitie van een inertiaalsysteem. Een
inertiaalsysteem is een referentiesysteem waarin ieder vrij deeltje
eenparig en rechtlijnig beweegt. Het begrip rust verliest hier zijn
absolute betekenis. Immers als een deeltje in rust is in \' e\' en
inertiaalsysteem, is het niet in rust ten opzichte van een
inertiaalsysteem dat beweegt ten opzichte van het eerste inertiaalsysteem.
De afstand tussen twee puntgebeurtenissen heeft geen absolute
betekenis meer. Immers als we twee puntgebeurtenissen $p$ en $q$
beschouwen op dezelfde plaats ten opzichte van de aarde met een
tijdverschil van $1 ~s$, dan is de afstand tussen beide $0 ~m$. De
afstand van beide puntgebeurtenissen ten opzichte van het inertiaalsysteem
dat rust ten opzichte van de zon is $30 ~km$, omdat de aarde met een snelheid
van $30 ~km/s$ om de zon beweegt. Tijdverschillen hebben nog wel absolute
betekenis.

\medskip
\noindent
{\bf Ruimtetijd volgens Einstein - Minkowski}

\noindent
Dit is het ruimtetijd beeld van de speciale relativiteitstheorie
(Einstein 1905). Het is ontstaan uit de confrontatie van de klassieke
mechanica van Newton en de elektrodynamica van Maxwell. Speciale
relativiteitstheorie steunt op het volgende tweetal postulaten:
\begin{itemize}
\item{} Relativiteitsprincipe van Einstein: er bestaan inertiaalsystemen
en deze zijn equivalent met betrekking tot {\sl alle} fysische
verschijnselen.
\item{} Er bestaat een eindige maximale signaalsnelheid en deze is
gelijk aan de voortplantingssnelheid van licht in vacu\"um.
\end{itemize}
In het bijzonder kan licht licht niet inhalen. In de speciale
relativiteitstheorie is het geboden om ruimte en tijd niet meer apart
te beschouwen. In de woorden van H. Minkowski: "M.H.! Die Anschauungen
\"uber Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln m\"ochte, sind auf
experimentell-physikalischen Boden erwachsen. Darin liegt ihre St\" arke.
Ihre Tendenz is eine radikale. Von Stunde an sollen Raum f\"ur sich
und Zeit f\"ur sich v\"ollig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine
Art Union der beide soll Selbst\"andigkeit bewahren".

\noindent
We zullen zien dat in de speciale relativiteitstheorie naast afstanden
ook tijdverschillen hun absolute betekenis verliezen. In plaats
van beide komt de minkowskimetriek, die w\`el een invariante betekenis
heeft. Het mathematische model voor ruimtetijd is de {\sl minkowskiruimte},
dit is een vier-dimensionale vlakke ruimte met een indefiniete metriek
met signatuur $-2$.

\medskip
\noindent
{\bf Ruimtetijd volgens Einstein}

\noindent
Dit is het ruimtetijd beeld van de algemene relativiteitstheorie.
Einstein formuleerde haar in 1915. Deze theorie is ontstaan uit de
confrontatie van de speciale relativiteitstheorie en de theorie van
de gravitationele wisselwerking. Ruimtetijd is in de algemene
relativiteitstheorie een {\sl riemannse ruimte} met signatuur $-2$.
In het speciale geval dat gravitatie te verwaarlozen is, krijgt
men de minkowskiruimte terug. Een drastisch verschil tussen de ruimtetijd
in de speciale en de algemene relativiteitstheorie is dat in de laatste
de structuur van ruimtetijd (in het bijzonder de metriek) wordt
bepaald door de materie. Het begrip materie wordt hier gebruikt in
een zeer ruime betekenis en het omvat naast deeltjes ook het
elektromagnetische veld, etc.

\bigskip
\noindent
In het volgende zullen we aspecten van de algemene relativiteitstheorie
bespreken. Hierbij spelen drie essenti\"ele idee\"en een rol. Het eerste
is dat, zoals gezegd,
ruimtetijd beschreven kan worden als een gekromde, vier-dimensionale
wiskundige structuur die we een pseudo-riemannse vari\"eteit noemen, dat is
een differentieerbare vari\"eteit met een metriek met signatuur $-2$.
Het komt erop neer dat tijd en ruimte samen een gekromde vier-dimensionale
niet-euclidische geometrie vormen. Het tweede idee is dat er op elk
ruimtetijd punt, dus op elke puntgebeurtenis, een lokaal inertiaal
referentiesysteem bestaat dat correspondeert met lokaal vlakke
co\"ordinaten die gedragen worden door waarnemers die in vrije val zijn.
Voor deze waarnemers is de natuurkunde beschreven door de algemene
relativiteitstheorie niet te onderscheiden van die beschreven door de speciale
relativiteitstheorie. Dit is het beroemde sterke equivalentieprincipe
van Einstein en dit maakt de algemene relativiteitstheorie tot een extensie
van de speciale relativiteitstheorie voor gekromde ruimtetijd. Het derde
idee is dat massa (en ook energie en impulsflux) kromming van
ruimtetijd veroorzaakt op een wijze die beschreven wordt door de tensorveld
vergelijkingen van Einstein.

\medskip
\noindent
We zullen de onderliggende idee\"en in de volgende hoofdstukken bespreken. 
Klassieke mechanica wordt besproken in hoofdstuk \ref{km}, waar we zullen zien dat
zowel de afbuiging van licht rond de zon alsook het bestaan van
zwarte gaten mogelijk zijn binnen de klassieke natuurkunde. Ook wordt hier
het formalisme van Lagrange besproken met het bijbehorende principe van
extreme actie. We besluiten met een discussie van het principe van Mach.
Vervolgens geven we in hoofdstuk \ref{astro} een overzicht van astrofysische objecten 
en fenomenen die een quantummechanische beschrijving behoeven. 
In hoofdstuk \ref{bouwstenen} defini\" eren we ruimtetijd op een
mathematische wijze. Als belangrijkste object van ruimtetijd vinden we de
metriek. Als we de metriek kennen, dan kunnen we een goede beschrijving
geven van ruimtetijd. Als voorbeeld behandelen we de metriek van de lege
ruimtetijd, de minkowskimetriek, en leiden hieruit de postulaten van de
speciale relativiteitstheorie (SRT) af in hoofdstuk \ref{srt}. 
Conventioneel wordt de SRT gemotiveerd
door uit te gaan van Einsteins twee postulaten, en wordt op basis daarvan de wiskunde
ontwikkeld, en dan met name de vorm van de metriek. Wij bewandelen hier een
omgekeerde route: hier zal eerst de metriek worden gepostuleerd, en wordt op
basis daarvan getoond dat Einsteins postulaten volgen. De reden van deze
`omgekeerde' aanpak is de volgende: in de algemene relativiteitstheorie (ART)
(de latere hoofdstukken)
is het vrijwel altijd zo dat eerst de metriek bekend is, voordat de rest volgt. 
SRT is ook om deze reden speciaal te noemen: het is een van de weinige
voorbeelden in de relativiteit dat de metriek \emph{af te leiden} is uit gedachtenexperimenten;
vrijwel in alle andere gevallen zijn zulke gedachtenexperimenten niet uit te voeren,
en is de metriek niet een gevolg, maar een startpunt. Het is om deze reden dat in dit
hoofdstuk ook deze route bewandeld zal worden. Als de manier van redeneren dan
begrepen is, is de overstap naar de ART in aansluitende
hoofdstukken, snel gemaakt.

\medskip
\noindent
De wiskundige beschrijving van systemen in gekromde co\"ordinaten, maar voor
vlakke euclidische ruimten, wordt gegeven in hoofdstuk \ref{gekromd}.
In hoofdstuk \ref{art} beginnen we met de behandeling van de ART. We behandelen
de beweging van objecten in de ART, terwijl ook de
einsteinvergelijkingen worden besproken in dit hoofdstuk. 
%Vervolgens geven we enkele voorbeelden van metrieken die van belang zijn in de algemene
%relativiteitsheorie: Friedmann, Schwarzschild, en Kerr metrieken. 
In hoofdstuk \ref{kosmo} starten we met de Friedmann metriek en geven we
een uiteenzetting van de huidige inzichten met betrekking tot kosmologie.
De oerknal en dan met name inflatie wordt behandeld in hoofdstuk \ref{inflatie}.
%We beschrijven
%de voorspelling van gravitatiestraling in hoofdstuk \ref{gravwaves} en besluiten met een
%schets van de belangrijkste experimenten die het bestaan van gravitatiestraling
%proberen aan te tonen in hoofdstuk \ref{virgo}.

\medskip
\noindent
In appendix \ref{appendixa} zullen we de differentiaalmeetkunde in historisch perspectief
plaatsen. Diverse eigenschappen van gekromde ruimten waren reeds
ontdekt door wiskundigen als C.F. Gauss, J. Bolyai, N.I. Lobachevski
en B. Riemann. We bespreken aspecten van meetkunde in euclidische en niet-euclidische ruimten. 
Lineaire algebra en eigenschappen van vectorruimten worden besproken
in appendix \ref{wi1}. Fundamentele natuurconstanten zijn gegeven
in appendix \ref{appendix_c}. Oefenopgaven met uitwerkingen zijn het
onderwerp van appendix \ref{appendix_d}, terwijl een beknopt overzicht
van tensoren gegeven wordt in appendix \ref{appendix_e}.


\vfill
\eject
$~$
\vfill
\eject

