\section{Kosmologische inflatie}\label{inflatie}

Het Standaard Model van de kosmologie geeft ons een globaal beeld van de evolutie van
het heelal, maar kent enkele subtiele, maar ernstige tekortkomingen: er is een aantal
zaken die nadere verklaring behoeven. Hier zullen we deze nader beschouwen, en
vervolgens een oplossing aandragen die deze tekortkomingen in een klap oplost: kosmologische
inflatie. De details van de inflatie hangen af van het model dat gekozen wordt; in dit
hoofdstuk zullen we een inflatiemodel in detail beschrijven om uit te werken hoe lang inflatie
geduurd heeft. Inflatie dient slechts een korte tijd geduurd te hebben, om aansluiting te
vinden bij het oerknalmodel uit het vorige hoofdstuk, en we zullen dan ook een mechanisme
introduceren om dit te doen: verhitting. Tenslotte zullen we dit mechanisme uitwerken.

\subsection{Tekortkomingen van het Standaard Model}

Ten eerste is er het {\sl horizon probleem}. Om dit probleem goed te beschrijven, moet het
concept van de {\sl horizon} worden behandeld. De horizon van een waarnemer is de grootste
afstand waarover
een invloed, elke invloed, gereisd kan hebben om deze waarnemer te bereiken; het is
dus een bovenlimiet voor de grootte van de ruimte waarmee de waarnemer nog in causaal contact
kan staan. We hadden al gezien dat geen enkele invloed sneller kan gaan dan het licht, en zo
volgt dat de horizon van een waarnemer ook de grootte is van het zichtbare heelal van deze waarnemer.

\medskip
\noindent
Thermisch evenwicht tussen verschillende gebieden van het heelal kan alleen zijn bewerkstelligd
door middel van de fotonen van de kosmologische achtergrondstraling. Echter, deze fotonen zijn,
zoals we al hadden gezien, ontkoppeld van de materie ongeveer $10^5$ jaar na de oerknal: na dit
moment is het niet meer mogelijk geweest om verschillende gebieden van het heelal in thermisch
evenwicht met elkaar te brengen. Tijdens deze ontkoppeling was de horizon van een waarnemer vele
malen kleiner dan nu, en we zouden daarom verwachten dat gebieden waarin tegenwoordig fotonen
met dezelfde temperatuur worden gevonden, veel kleiner zijn dan het nu zichtbare heelal. Het
tegenovergestelde blijkt waar te zijn: meetgegevens laten zien dat ons {\sl hele} zichtbare
heelal nagenoeg dezelfde temperatuur heeft (we hadden dit feit eerder al gebruikt om het
kosmologisch principe te rechtvaardigen). De paradox die hieruit volgt noemen we het horizon probleem.

\medskip
\noindent
Ten tweede is er het {\sl vlakheidsprobleem}. Metingen wijzen uit dat het heelal tegenwoordig
een metriek heeft die extreem vlak is: de vlakke Robertson-Walker metriek uit het vorige hoofdstuk.
We hadden echter al berekend dat de uitdijing van het heelal voorspelt dat de kromming van het
heelal steeds kleiner dient te worden: $\Omega \rightarrow 0$ als $t $ groter wordt. Dit impliceert
dat de metriek in het vroege heelal {\sl nog veel meer} geleken heeft op de perfect vlakke
Robertson-Walker metriek, teneinde de huidige vlakheid te verklaren. Dit is het vlakheidsprobleem:
via welk mechanisme is de vroegste waarde van de vlakheid zo dicht bij de perfecte Robertson-Walker
vlakheid komen te liggen? Deze vraag kan ontweken worden door {\sl aan te nemen}
dat het heelal altijd al precies vlak is geweest. Dit leidt echter tot de vraag {\sl waarom} het
heelal begonnen is met precies de kritische dichtheid. Het Standaard Model van de kosmologie geeft
geen antwoord op deze vragen.

\medskip
\noindent
Tenslotte is er het {\sl probleem van de missende deeltjes}. Veel van de moderne theorie\"en van
deeltjesfysica voorspellen het bestaan van exotische, nog niet gemeten deeltjes; voorbeelden zijn
supersymmetrische deeltjes en de magnetische monopolen. Deze deeltjes zijn typisch heel zwaar, en
zijn daarom moeilijk (danwel praktisch onmogelijk) te cre\"eeren in aardse deeltjesversnellers. Echter,
in het heel vroege heelal zijn temperaturen hoog genoeg geweest om de natuurlijke creatie van zulke
deeltjes aannemelijk te maken. Geen van deze deeltjes is ooit geobserveerd\footnote{Op zijn minst
een enkele keer heeft een onderzoeksgroep beweert een magnetische monopool gemeten te hebben,
maar het is daarna geen enkele andere onderzoeksgroep ooit gelukt dit resultaat te reproduceren.
Veel deeltjesfysici zijn daarom erg sceptisch over het resultaat, en negeren deze bewering.}. De
vraag is dan ook: als deze deeltjes inderdaad geproduceerd zijn in het vroege heelal, waarom
zijn ze dan nooit meer teruggevonden?

\medskip
\noindent
Al deze problemen kunnen in \'e\'en klap worden opgelost door het Standaard Model van de kosmologie
uit te breiden met een nieuw concept: {\sl kosmologische inflatie}. Dit is de aanname dat het heelal,
vlak na de oerknal, een periode heeft gekend van extreme snelle uitdijing. Mathematisch zullen we dit
als volgt defini\"eren: ten tijde van inflatie geldt\footnote{Merk op dat een heelal met een kosmologische
constante precies aan deze definitie voldoet, en dus dat we onze huidige uitdijing als inflatie
zouden kunnen bestempelen. We zullen echter de naam inflatie reserveren voor versnelde expansie
in het {\sl vroege} heelal.}
\begin{equation}
\dot{a}(t) > 0, \quad \quad \quad \quad \ddot{a}(t) > 0.
\label{definflatie}
\end{equation}
Door inflatie te introduceren, kunnen we de drie tekortkomingen van het Standaard Model oplossen.
Zo wordt het horizonprobleem opgelost door het feit dat tijdens de inflationaire periode, de
schaalfactor $a(t)$ extreem groot wordt. Dit betekent dat een stuk van het heelal waarin thermisch
evenwicht al was opgetreden v\'o\'or de start van de inflatieperiode, opgeblazen wordt tot veel grotere
proporties dan de horizon van een waarnemer in dit deel van het heelal.
Het gevolg is dan ook dat, nadat de
inflatieperiode is afgelopen, het zichbare heelal voor deze waarnemer geheel in thermisch evenwicht
is, precies zoals we vandaag de dag meten!

\medskip
\noindent
Het vlakheidsprobleem wordt opgelost door het feit dat elke ruimte, wanneer opgeblazen tot
voldoende grote proporties, vlak lijkt voor een lokale waarnemer. Dit is volkomen vergelijkbaar
met het aardoppervlak, dat zo groot is vergeleken met ons lokale waarnemers, dat het ons voorkomt
als plat.

\medskip
\noindent
Tenslotte is ook het probleem van de missende deeltjes op een triviale manier opgelost door
de introductie van een inflatieperiode. Immers, als het heelal tot enorme proporties is opgeblazen,
zullen alle exotische deeltjes die gecre\"eerd zijn v\'o\'or de aanvang van de inflatieperiode, worden
uitgesmeerd over een zeer groot volume. Dit maakt de kans er een tegen te komen in aardse detectoren
bijzonder klein. Uiteraard verklaart inflatie alleen waarom de {\sl aanvankelijke} exotische deeltjes
niet gevonden worden, en doet zij geen uitspraak over de deeltjes die eventueel {\sl na} de
inflatieperiode gecre\"eerd zijn. Overigens verwachten we ook niet dat zulke
deeltjes in een latere stadium
gecre\"eerd worden. De reden hiervoor is dat, zoals al genoemd, zulke exotische deeltjes
typisch heel hoge massa hebben, en het dus heel moeilijk is zulke deeltjes te cre\"eren in een heelal
waarin de energiedichtheid afneemt ten gevolge van de expansie.

\subsection{De dynamica van kosmologische inflatie}

We gaan ons nu bezighouden met de vraag hoe kosmologische inflatie gerealiseerd kan worden: op
welke manier kunnen de Friedmannvergelijkingen toegepast worden om inflatie te
bewerkstelligen? Een manier hadden we al gezien in de discussie van de kosmologische constante, waar
we hadden geconcludeerd dat een energievorm met constante dichtheid $\rho_c$ en toestandsvergelijking
$\rho = -P$ een heelal oplevert dat exponentieel uitdijt. Dit is echter niet de enige mogelijkheid om
aan vergelijking (\ref{definflatie}) te voldoen. Als we de tweede Friedmannvergelijking beschouwen, zien we dat inflatie
optreedt wanneer de rechterkant van deze vergelijking groter is dan nul; in termen van de
toestandsvergelijking, betekent dit dat inflatie gevonden wordt voor alle materie of energie die de
eigenschap $n < -\frac{1}{3}$ hebben.

\medskip
\noindent
Zulke energie wordt in de klassieke natuurkunde niet gevonden. Echter, in de quantumfysica zijn
zulke energievormen wel degelijk te realiseren, door energie te beschrijven in termen van {\sl velden}
in plaats van deeltjes. We zullen dan ook nu verder gaan met het defini\"eren van een veld, en dit zodanig
te construeren dat het een energiedichtheid en druk kent die voldoen aan een toestandsvergelijking
waarin $n < -\frac{1}{3}$. Het is dan vervolgens aan experimentele natuurkunde om uit te maken of dit
veld gemeten kan worden.

\medskip
\noindent
Het model dat het meest gebruikt wordt, is dat van een scalarveld $\Phi(t)$ dat alleen afhankelijk
is van de tijd en niet van de ruimte. Immers, het kosmologisch principe suggereert dat alle energie
en materie homogeen en isotroop verdeeld dient te zijn, en de keuze voor een vector- of tensorveld is
niet in overeenstemming met de eis van isotropie vanwege de rotatie-afhankelijkheid van zulke velden;
verder zou een plaatsafhankelijkheid niet in overeenstemming zijn met de eis van homogeniteit.  Een
scalarveld kent een Lagrangiaan-dichtheid gegeven door
\begin{equation}
\mathscr{L} = -\frac{1}{2}g^{\mu \nu} \Big(\partial_\mu \Phi(t) \Big)
\Big(\partial_\nu \Phi(t) \Big)-V\Big(\Phi(t) \Big) ,
\end{equation}
 waar in het huidige geval, alle ruimtelijke afgeleiden geen bijdragen leveren. Bij elke
Lagrangiaan-dichtheid hoort een actie $S$, gegeven door
 \begin{equation}
 S = \int d^3xdt \sqrt{-g} \mathscr{L}
 \end{equation}
waarin, zoals eerder beargumenteerd, $g$ de determinant is van de metriek; in het huidige geval
gebruiken we de vlakke Robertson-Walker metriek, vergelijking (\ref{RWmetric}),
en is de determinant daarom gegeven door
\begin{equation}
g = -a^6(t).
\end{equation}
Via de Euler-Lagrange vergelijkingen kunnen we nu de bewegingsvergelijking voor het scalarveld
$\Phi(t)$ afleiden. Dit is een wat lange berekening, maar relatief eenvoudig aangezien het veld
louter van de tijd afhangt, en het resultaat is dan ook snel gevonden. Het scalarveld $\Phi(t)$
evolueert in de tijd volgens de bewegingsvergelijking
\begin{equation}
\ddot{\Phi}(t)+3 \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \dot{\Phi}(t)+c^2 \partial_\Phi V\Big( \Phi(t) \Big) = 0 .
\label{EOMinflaton}
\end{equation}
Merk op dat de details van de evolutie van het scalarveld afhangen van de potenti\"ele
energiedichtheid $V \big( \Phi(t) \big)$; de verschillende soorten modellen van kosmologische
inflatie worden dan ook gekenmerkt door de keuze van deze grootheid. We zullen hier nog niet
in detail op in gaan; in alles wat volgt zullen we geen aannames maken voor de vorm van
$V \big( \Phi(t) \big)$, en dientengevolge blijven al onze volgende conclusies zo algemeen mogelijk.

\medskip
\noindent
Elke Lagrangiaandichtheid leidt tot een energie-impuls tensor
\begin{equation}
T_{\mu \nu} = \Big( \partial_\mu \Phi \Big) \Big( \partial_\nu \Phi \Big)
+ g_{\mu \nu} \mathscr{L} .
\end{equation}
Deze uitdrukking kunnen we gebruiken om de druk en dichtheid ten gevolge van het scalarveld
te berekenen. Hiertoe vullen we onze huidige Lagrangiaandichtheid en metriek in, en vergelijken
we de resulterende energie-impuls tensor met die van de Friedmann vloeistof,
vergelijking (\ref{eq:friedeim}). De uitdrukkingen
voor de dichtheid en druk kunnen dan direct worden afgelezen, en gevonden wordt dat deze
gegeven zijn door
\begin{eqnarray}
\rho(t) &=& \frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)+V\big( \Phi(t) \big) , \nonumber \\
P(t) &=& \frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)-V\big( \Phi(t) \big) .
\label{eq:uitdrukking8}
\end{eqnarray}
Merk op dat de eerste term gezien kan worden als de kinetische energiedichtheid van het scalarveld,
en de tweede term als de potenti\"ele energiedichtheid; de uitdrukking voor de dichtheid $\rho$
van de {\sl totale} energie klopt dan ook precies met wat we zouden verwachten\footnote{De uitdrukkingen
voor de dichtheid en druk hadden ook gevonden kunnen worden door {\sl aan ten nemen} dat $\rho$ deze
vorm zou hebben, en daarna, zoals voorgedaan was in het vorige hoofdstuk, de Friedmannvergelijkingen
te gebruiken om de bijbehorende druk te vinden.}.

\medskip
\noindent
We beschouwen een heelal dat, in zijn vroegste epoch, gevuld is met de gebruikelijke
soorten energie: koude materie, straling, een kosmologische constante, en voegen nu
een inflatonveld toe. Al deze invloeden bepalen, via de Friedmannvergelijkingen, de mate waarin
de schaalfactor evolueert in de tijd. Als de invloed van het inflatonveld het grootst is, zal
het heelal een periode ingaan van exponenti\"ele uitdijing. Het gevolg is dan, dat de andere
invloeden vrijwel meteen verwaarloosd kunnen worden. Immers, de energiedichtheid en druk van
een gebruikelijke vorm van energie en materie, is evenredig met de inverse van de schaalfactor
tot een bepaalde macht (zie onze resultaten uit het vorige hoofdstuk), en zullen daarom
asymptotisch (en, voor typische inflatiemodellen, heel snel) naar nul gaan. Alle termen in de
Friedmannvergelijkingen die evenredig zijn met druk en dichtheid kunnen we daarom negeren bij
de beschrijving van het heelal in een inflatie periode. Al met al is nu gevonden dat we
het heelal in een inflatieperiode kunnen beschrijven door de Friedmannvergelijking met daarin
louter de invloed van het inflatonveld gesubstitueerd, en, uiteraard, de bewegingsvergelijking
voor dat inflaton veld, \ref{EOMinflaton}. De resulterende set bewegingsvergelijkingen
noemen we de {\sl inflatievergelijkingen}
\begin{eqnarray}
\ddot{\Phi}(t)+3H(t) \dot{\Phi}(t)+c^2\partial_\Phi V\big( \Phi(t) \big) = 0 , \nonumber \\
H^2(t) = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)
+V \big( \Phi(t) \big)  \Big) .
\label{inflatievergelijking}
\end{eqnarray}
Het doen van inflatiekosmologie kunnen we nu als volgt samenvatten: beargumenteer een vorm
voor de potentiele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$, substitueer deze in de
inflatievergelijkingen, en los de resulterende set bewegingsvergelijkingen op om de expliciete
vorm voor de schaalfactor $a(t)$ en het inflatonveld $\Phi(t)$ te vinden.

\medskip
\noindent
Merk op dat het niet gegarandeerd is dat een gevonden oplossing $a(t), \Phi(t)$ inderdaad
inflatie ($\dot{a}(t)>0, \ddot{a}(t) >0$) beschrijft, voor elke willekeurige vorm voor de
potenti\"ele energiedichtheid $V(\Phi(t))$. In de volgende sectie zullen we daarom criteria
afleiden die, mits hieraan voldaan wordt, inflatie zullen garanderen.

\subsection{De vereenvoudigde inflatievergelijkingen}

Nu deze uitdrukkingen gevonden zijn, kunnen we ons buigen over de vraag op welke manier een
scalarveld gebruikt kan worden om inflatie te realiseren. Dit is geen triviale vraag: we hadden
al gezien dat inflatie volgt wanneer dichtheid en druk leiden tot een toestandsvergelijking
met $n< -\frac{1}{3}$, maar beide grootheden hangen op een niet-triviale manier af van de
waarde van het scalarveld $\Phi(t)$, welke zelf weer gedicteerd wordt door de
bewegingsvergelijking \label{EOMinflatie}. Het is om deze reden dat men op dit moment
vaak de {\sl aanname van langzame evolutie}\footnote{In het Engels: de {\sl Slow Roll Condition}.}
maakt: aangenomen wordt dat het scalarveld heel langzaam evolueert in de tijd, zodanig dat
we mogen aannemen dat de $\dot{\Phi}$-termen in uitdrukking (\ref{eq:uitdrukking8})
voor de dichtheid en druk verwaarloosbaar
zijn (fysisch gezien betekent dit dat de kinetische energie van
het veld veel kleiner is dan de potenti\"ele energie),
\begin{equation}
\frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t) \ll V\big( \Phi(t) \big) .
\end{equation}
Er geldt dan
\begin{eqnarray}
\rho(t) &\approx& +V\big( \Phi(t) \big) , \nonumber \\
P(t) &\approx& -V\big( \Phi(t) \big) .
\end{eqnarray}
Merk op dat, onder deze aanname, de toestandsvergelijking de waarde $n =  -1$ heeft
gekregen, en dit voor alle keuzes voor de potenti\"ele energie $V\big( \Phi(t) \big)$.
In het vorige hoofdstuk hadden we al gezien dat deze waarde van $n$ leidt tot exponenti\"ele
expansie van het heelal, en zo is gevonden dat, onder de aanname van langzame evolutie, exponenti\"ele
inflatie gevonden wordt {\sl ongeacht de details van het model}. Het scalarveld zullen we in het
vervolg dan ook aanduiden met de naam {\sl inflatonveld}; de deeltjes die we aan dit veld kunnen
toekennen heten {\sl inflatonen}.

\medskip
\noindent
We zullen verder aannemen dat $\ddot{\Phi}(t)$ veel kleiner is dan $3H\dot{\Phi}(t)$, zodat
we de eerste term in vergelijking (\ref{inflatievergelijking}) kunnen verwaarlozen; fysisch betekent
deze aanname dat we ervan uitgaan dat $\dot{\Phi}(t)$ maar heel langzaam van waarde verandert.
Deze voorwaarde is belangrijk, want het zegt effectief dat de kinetische energiedichtheid van
het inflaton lang klein blijft, en daarmee voorkomt dat inflatie te snel ten einde komt.

\medskip
\noindent
Onder deze aannames zien de inflatievergelijkingen er eenvoudiger uit,
\begin{eqnarray}
3H(t)\dot{\Phi}(t)  + c^2\partial_\Phi V \big( \Phi(t) \big) &=& 0 , \nonumber \\
 H^2(t) - \frac{8 \pi G}{3c^2} V\left( \Phi(t) \right) &=& 0 .
\end{eqnarray}
Deze zullen we de {\sl Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen} (VIV) noemen. Voordat we deze
gaan oplossen, zullen we eerst twee belangrijke parameters afleiden die ons zeggen
wanneer we deze aannames mogen gebruiken. Samengevat gelden de VIV alleen zolang aan
\begin{equation}
\quad \frac{\frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)}{V\big(\Phi(t) \big)} \ll 1,
~~~~{\rm en}~~~~
\quad \frac{\ddot{\Phi}(t)}{3H(t) \dot{\Phi}(t)} \ll 1
\label{eq:tweedeeis}
\end{equation}
voldaan is. Beide eisen kunnen worden herschreven met behulp van de twee VIV zelf, en zo in
een vorm worden gegoten waarin alleen de potenti\"ele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$
voorkomt. Dit maakt het makkelijk om voor een gegeven inflatiemodel snel te zien of de
vereenvoudigde inflatievergelijkingen gebruikt mogen worden.

\medskip
\noindent
De eerste eis kan worden herschreven als volgt
\begin{eqnarray}
\frac{\frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)}{V\big((\Phi(t) \big)}
&=& \frac{1}{18H^2(t)} \frac{\big( \partial_\Phi V (\Phi(t) )\big)^2}{V(\Phi(t))} \nonumber \\
&=& \frac{1}{6} \frac{c^4}{8 \pi G} \left(
\frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2 \quad \ll 1,
\end{eqnarray}
waar in de eerste stap de eerste VIV is gebruikt, en in de tweede stap de tweede. We
defini\"eren nu de inflatieparameter $\epsilon$ als
\begin{equation}
\epsilon \equiv \frac{1}{6} \frac{c^4}{8 \pi G}
\left( \frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2 ,
\end{equation}
en zoals nu gebleken is, moet deze veel kleiner zijn dan $1$ om de eerste van de
twee VIV te mogen gebruiken. De fysische interpretatie van de parameter $\epsilon$ is
snel af te lezen: $\epsilon$ is een maat voor de steilheid van de functie $V(\Phi(t))$,
en de eis dat deze parameter heel klein is, zegt dus dat we aannemen dat $V(\Phi(t))$
heel vlak is. De parameter heeft ook een heel andere betekenis, die we kunnen vinden
door op te merken dat de VIV kunnen worden gebruikt om aan te tonen dat
\begin{equation}
-\frac{\dot{H}(t)}{H^2(t)} = \frac{1}{3}\epsilon .
\label{epscondition}
\end{equation}
Als $\epsilon \ll 1$ geldt dat de linkerkant van deze vergelijking veel kleiner is dan $1$.
Dit is niks anders dan zeggen dat er inflatie aan de gang is, en dit kunnen we zien als
volgt. De definitie van de Hubble constante, $H(t) \equiv \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$ zegt
dat deze vergelijking geschreven kan worden als
\begin{equation}
1- \frac{\ddot{a(t)}a(t)}{\dot{a}^2(t)} = \frac{1}{3}\epsilon \ll 1 \quad \quad
\rightarrow \quad \quad \frac{\ddot{a}(t)a(t)}{\dot{a}^2(t)} \gg 0 ,
\end{equation}
en de ongelijkheid garandeert dat $\ddot{a}(t) \gg 0 $: versnelde uitdijing van het
heelal. De conclusie is dan ook dat de eis $\epsilon \ll 1$ niet alleen betekent
dat de vereenvoudigde inflatievergelijkingen gebruikt mogen worden, maar
ook {\sl dat inflatie gegarandeerd is}. De laatste opmerking verklaart de
naam {\sl inflatieparameter}.

\medskip
\noindent
De tweede eis in vergelijking (\ref{eq:tweedeeis}) kan eveneens worden herschreven,
\begin{eqnarray}
\frac{\ddot{\Phi}(t)}{3H(t) \dot{\Phi}(t)} &=& -\frac{1}{9H^2(t)}
\left( c^2 \partial^2_\Phi V(\Phi(t)) + 3 \dot{H}(t) \right) \nonumber \\
&=& -\frac{c^4}{24 \pi G} \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))}
+ \frac{\epsilon}{9} \quad \ll 1,
\end{eqnarray}
waarin in de eerste stap de tijdsafgeleide van de eerste VIV is gebruikt,
en in de tweede stap de tweede VIV is gebruikt samen met de conditie
gegeven in vergelijking (ref{epscondition}).
Als we nu de eis op parameter $\epsilon$ gebruiken, $\epsilon \ll 1$, zien we
dat de tweede term genegeerd kan worden. We defini\"eren dan een parameter $\eta$ als
\begin{equation}
\eta \equiv -\frac{c^4}{24 \pi G} \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} ,
\end{equation}
en nu blijkt dat deze veel kleiner moet zijn dan $1$ om de tweede van
de VIV te mogen gebruiken. De fysische interpretatie van de parameter $\eta$ is
snel in te zien: $\eta$ is een maat voor de snelheid waarmee $V(\Phi(t))$ van
steilheid verandert, en de eis dat deze parameter klein is zegt dat we aannemen
dat $V(\Phi(t))$ lang vlak {\sl blijft}.

\medskip
\noindent
Dit alles maakt dat we kunnen concluderen dat we de VIV kunnen gebruiken om inflatie
te beschrijven voor elke keuze voor de potenti\"ele energiedichtheid $V(\Phi(t))$, mits
het maar een functie is die erg vlak is ($\epsilon \ll 1$) en langere tijd vlak
blijft ($\eta \ll 1$). Deze eis {\sl garandeert} bovendien dat exponenti\"ele
inflatie het gevolg is.

\subsection{Een voorbeeld van een inflatiemodel}

We zullen nu de vereenvoudigde inflatievergelijkingen oplossen voor
een {\sl massief} inflatonveld, oftewel een
quantumveld dat opgebouwd is uit deeltjes met massa $m$. Uit de veldentheorie is
bekend\footnote{Dit is de zogenaamde Klein Gordon vergelijking. Het is
de relativistische tegenhanger van de Schr\"odingervergelijking voor
een deeltje met spin 0.} dat de Lagrangiaandichtheid voor
een tijdsafhankelijk scalarveld voor een deeltje met massa $m$ gegeven wordt door
\begin{equation}
\mathscr{L} = -\frac{1}{2}\dot{\Phi}^2(t)-\frac{m^2}{2}
\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t) ,
\end{equation}
waarin $\hbar$ de gereduceerde constante van Planck is ($\hbar = h/ 2\pi$).
We kunnen hier aflezen dat de
potenti\"ele energiedichtheid $V(\Phi(t))$ van dit veld gegeven wordt door
\begin{equation}
V(\Phi(t)) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t) ,
\end{equation}
en de VIV luiden dan ook
\begin{eqnarray}
3H(t)\dot{\Phi}(t)+m^2 \left( \frac{c^4}{\hbar^2} \right)\Phi(t) &=& 0 , \nonumber \\
H^2(t) - \frac{8 \pi G}{6} \frac{m^2}{\hbar^2}\Phi(t) &=& 0 .
\label{VIVmodel}
\end{eqnarray}
Dit zijn twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen: de oplossing van de een
be\"{\i}nvloedt direct die van de ander, en vice versa. Het is vaak een hele
uitdaging om zulke systemen van gekoppelde differentiaalvergelijkingen op te lossen,
maar in dit geval blijkt het niet zo moeilijk te zijn. We kunnen de afhankelijkheid
van \'e\'en vergelijking gebruiken om die van de ander te elimineren. In dit geval
kan dat als volgt: wanneer we de wortel nemen van de tweede VIV, vinden we een
uitdrukking voor de Hubble constante $H(t)$,
\begin{equation}
H(t) = \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \frac{m}{\hbar} \Phi(t) ,
\end{equation}
(het $\pm$-teken is het gevolg van het nemen van een wortel; we zullen dadelijk uitmaken
welk van de twee tekens gekozen dient te worden om inflatie correct te beschrijven), en
deze constante kunnen we gebruiken om de eerste van de VIV onafhankelijk te maken van
$H(t)$. Ingevuld in vergelijking (\ref{VIVmodel})
krijgen we nu een differentiaalvergelijking
die alleen nog maar van $\Phi(t)$ afhangt. Er geldt
\begin{equation}
\pm 3 \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi(t) \dot{\Phi}(t)
+m^2 \frac{c^4}{\hbar^2}\Phi(t) = 0 .
\end{equation}
We kunnen vervolgens $m \Phi(t)$ wegdelen aan beide kanten, en vinden
\begin{equation}
\dot{\Phi}(t) \pm \frac{mc^4}{3\hbar} \sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}  = 0.
\end{equation}
De overgebleven differentiaalvergelijking is eenvoudig op te lossen: we zijn op zoek
naar een functie die, wanneer gedifferentieerd, een constante oplevert: een lineaire
functie! De oplossing is dan ook
\begin{equation}
\Phi(t) = \Phi_0 \mp \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t .
\end{equation}
Hierin is $\Phi_0$ een constante; het is duidelijk dat dit de waarde is van het
inflatonveld op het begin van zijn tijdsevolutie (dus als $t=0$ ).

\medskip
\noindent
We hebben nu een van de twee gezochte functies gevonden. De volgende stap is om een
uitdrukking te vinden voor de schaalfactor $a(t)$. Dit kunnen we doen door de tweede
VIV te gebruiken, en hierin het gevonden antwoord voor het inflatonveld te substitueren.
De VIV ziet er dan uit als
\begin{eqnarray}
H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} &=& \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \frac{m}{\hbar}
\left( \Phi_0 \mp \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t   \right) \nonumber \\
&=& \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar} \Phi_0-\frac{m^2 c^4}{3 \hbar^2}t .
\label{eq232}
\end{eqnarray}
We zijn nu op het punt aangekomen dat we een uitspraak kunnen doen over welk van de
twee tekens te kiezen: het onderste of het bovenste teken van de $\pm$ of $\mp$. Willen
we een {\sl uitdijend} heelal beschrijven, dan zal per definitie moeten gelden dat
$\dot{a}(t)>0$. Aan vergelijking (\ref{eq232}) is te zien dat dit zeker niet het geval kan zijn als
het onderste teken gekozen wordt, omdat dan voor alle tijdstippen volgt dat $H(t)<0$.
We zullen daarom vanaf nu het bovenste teken kiezen. Merk op dat met deze keuze het
nog steeds niet {\sl gegarandeerd} is dat $\dot{a}(t)>0$: de rechterkant van de
vergelijking (\ref{eq232})kan nog altijd negatief zijn voor bepaalde tijden $t$. We zullen hier
later op terugkomen; voor nu is het alleen van belang op te merken dat de gemaakte
keuze in ieder geval de {\sl mogelijkheid} biedt om $\dot{a}(t) >0$ te vinden.

\medskip
\noindent
We zullen nu proberen de differentiaalvergelijking (\ref{eq232}) op te lossen. Met de
gemaakte keuze voor het teken, is de vergelijking te schrijven als
\begin{equation}
\dot{a}(t) = \left(\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}
\Phi_0-\frac{m^2c^4}{3\hbar^2}t\right)a(t)
\label{EOMmodel}
\end{equation}
Het is nu minder eenvoudig om direct in te zien hoe de oplossing gekozen moet
worden. Toch kunnen we dit doen door stap voor stap te kijken hoe de oplossing er
ongeveer uit zou moeten zien. Ten eerste moet de oplossing zodanig zijn,
dat de afgeleide ervan ongeveer de functie zelf weer oplevert. Een e-macht lijkt voor
de hand te liggen, maar is niet genoeg: de afgeleide moet namelijk ook nog een lineaire
functie in $t$ opleveren! De exponent van de e-macht zou daarom een {\sl kwadraat}
van een lineaire functie moeten zijn: via de kettingregel van differenti\"eren geeft dit
dan precies een lineaire functie terug. We stellen daarom de volgende oplossing voor,
\begin{equation}
a(t) = e^{-(\kappa+\lambda t)^2} ,
\label{eq:verg33}
\end{equation}
en laten hierin de constanten $\kappa$ en $\lambda$ nog even vrij; we gaan nu op
zoek naar waarden voor deze constanten zodanig dat deze aanname de VIV
inderdaad oplost. Vul hiertoe vergelijking (\ref{eq:verg33}) in in
vergelijking (\ref{EOMmodel}), en we vinden
\begin{equation}
-2\kappa \lambda -2 \lambda^2 t =   \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}
\Phi_0-\frac{m^2c^4}{3\hbar^2}t .
\end{equation}
We kunnen nu direct aflezen voor welke waarden van $\kappa$ en $\lambda$ deze
vergelijking klopt: blijkbaar moeten we kiezen
\begin{equation}
\kappa = \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2}\Phi_0 , ~~~~{\rm en}~~~~ \quad \quad \quad \lambda
= \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}} .
\end{equation}
We vinden dat onze aanname voor $a(t)$ inderdaad een oplossing is
van de VIV (\ref{EOMmodel}), mits wij de constanten $\kappa$ en $\lambda$ maar kiezen
als bovenstaand. Hiermee hebben we dus de oplossing voor $a(t)$ gevonden, en tezamen
met de gevonden uitdrukking voor het inflatonveld $\Phi(t)$ is het gehele probleem
opgelost. De oplossing schrijven we hier nogmaals op en luidt
\begin{eqnarray}
\Phi(t) &=& \Phi_0 - \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t , \nonumber \\
a(t) &=& e^{-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0
+  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2} .
\label{inflatieoplossing}
\end{eqnarray}
Tot zover de wiskunde; we zullen nu overgaan tot het fysisch interpreteren van deze functies.

\medskip
\noindent
Wat de oplossing voor het inflatonveld $\Phi$ betreft, zien we dat deze afneemt
in de tijd. Maar daalt hij langzaam genoeg? We hadden immers gezien dat versnelde uitdijing
volgt wanneer de functie $V(\Phi(t))$, hier $V = \Phi^2(t)$, een langzaam dalende functie in
de tijd is. Is dat hier het geval? Verder zegt de oplossing voor de schaalfactor iets
eigenaardigs: in de exponent van de e-macht zien we {\sl minus} een kwadraat staan, en
dit betekent dat de schaalfactor {\sl krimpt} in de tijd! Dit zou een inkrimpend heelal
betekenen, en zeker geen inflatie. Bovendien hadden we in de vorige sectie gezien dat de
VIVs altijd een exponentieel uitdijend heelal zouden moeten opleveren (dit wil zeggen: de
exponent zou lineair moeten zijn, waar we hier een kwadratische exponent hebben gevonden).

\medskip
\noindent
De reden dat we op deze vreemde resultaten uitkomen, is omdat we nog niet de twee voorwaarden
voor het gebruik van de VIV hebben toegepast: $\epsilon \ll 1$ en $\eta \ll 1$. We mogen daarom
niet verwachten dat de resultaten van het gebruik van de VIV hier gevonden zouden worden. We
zullen daarom nu de twee voorwaarden voor het gebruik van de VIVs expliciet gebruiken om onze
gevonden oplossing te herinterpreteren.

\medskip
\noindent
Zoals we gezien hadden in de vorige sectie, is inflatie alleen gegarandeerd als de
inflatieparameter $\epsilon$ veel kleiner is dan 1. Als we de definitie van
de inflatieparameter invullen, vinden we
\begin{eqnarray}
\epsilon &\equiv& \frac{1}{6} \frac{3c^4}{8 \pi G}
\left( \frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2 \nonumber \\
&=& \frac{c^4}{12 \pi G} \frac{1}{\Phi^2(t)} \ll 1 .
\end{eqnarray}
Als aan deze conditie is voldaan, is inflatie gegarandeerd. Wat de parameter $\eta$ betreft,
deze blijkt in dit geval aan dezelfde conditie te moeten voldoen. We vinden
\begin{eqnarray}
\eta &\equiv& -\frac{c^4}{24 \pi G}
\left( \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right) \nonumber \\
&=& -\frac{c^4}{12 \pi G} \frac{1}{\Phi^2(t)} \nonumber \\
&=& -\epsilon .
\end{eqnarray}
Dit betekent dat als we kunnen aantonen dat een van de twee parameters, zeg $\epsilon$,
veel kleiner is dan $1$, de ander dat ook is. We zullen nu uitzoeken wanneer dit het geval
is. Hiertoe vullen we uitdrukking (ref{inflatieoplossing}) voor het
inflatonveld in en nemen we de wortel van beide kanten. We vinden dan dat we de conditie
kunnen schrijven als
\begin{equation}
t \ll \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0-\frac{\hbar}{mc^2}\sqrt{6} .
\end{equation}
Dit levert een tijdslimiet op: alleen zolang er niet meer tijd verstreken is dan deze
$t$, zal inflatie blijven aanhouden. Maar het zegt meer: als we aannemen dat inflatie
nog niet tot dit tijdstip geduurd heeft, dan geldt eveneens dat
\begin{equation}
t \ll \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0 .
\label{eindconditie}
\end{equation}
Dit tijdstip noemen we $t_{\rm eind}$ en vanaf ongeveer dit tijdstip zal inflatie ophouden.
\begin{equation}
t_{\rm eind} \equiv \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0 .
\label{teind}
\end{equation}
We gebruiken dit om de oplossing voor de schaalfactor te herinterpreteren.
Immers, de exponent van vergelijking (\ref{inflatieoplossing}) uitgeschreven levert
\begin{equation}
-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0 +  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2
= -\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t
-\frac{m^2c^4}{6\hbar^2}t^2 .
\end{equation}
De eerste term hiervan is een constante, en levert slechts een extra factor
op in de uitdrukking voor de schaalfactor. De twee andere termen zijn te vereenvoudigen
met behulp van onze inflatievoorwaarde (\ref{eindconditie}), omdat deze zegt dat de laatste term
veel kleiner is dan de middelste, en daarom verwaarloosd kan worden zolang $t \ll t_{\rm eind}$.
Het gevolg is dat de exponent vereenvoudigt tot
\begin{equation}
-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0 +  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2
\approx -\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t .
\end{equation}
Wanneer we dit terug substitueren in de uitdrukking voor de schaalfactor, vinden we
\begin{equation}
a(t) = e^{-\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi_0^2} \cdot
e^{+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t} ,
\label{schaalfactor}
\end{equation}
wat nu wel degelijk een stijgende functie in de tijd is: inflatie! Zo zien we dat de
VIV, inderdaad, precies het gedrag opleveren dat we in de vorige sectie al voorspeld hadden.

\medskip
\noindent
Om dit voorbeeld af te sluiten, zullen we de gevonden resultaten gebruiken om getallen
toe te kennen aan ons model van het massieve inflatonveld. Hiertoe nemen we enkele waarden
voor de grootheden $m$ en $\Phi_0$, zoals deze in de literatuur gebruikelijk
zijn\footnote{Er zijn meerdere theoretische en experimentele redenen om aan te nemen dat
deze waarden nodig zijn om ons huidige heelal uit de inflatieperiode te doen komen, maar
de afleiding hiervan is geavanceerd en wordt hier niet behandeld.}. Er geldt
\begin{equation}
m \approx 10^{13} \frac{\rm GeV}{c^2} \approx 10^{-14} {\rm kg}, \quad \quad \quad \quad \Phi_0
\approx 10^{23} \frac{\sqrt{{\rm m} \cdot {\rm kg}}}{\rm s} .
\end{equation}
Als we deze waarden invullen in de gevonden uitdrukking voor de tijdsduur $t_{\rm eind}$, zien we
dat inflatie ongeveer $t \approx 10^{-35}$ s heeft geduurd. Dit is een onvoorstelbaar korte
tijd, maar de expansie van het heelal is desondanks enorm geweest. Dit kunnen we
uitrekenen door de schaalfactor op het begin van inflatie (gegeven door
vergelijking (\ref{schaalfactor}),
met $t = 0$) te vergelijken met de waarde van de schaalfactor op het eind van inflatie
(gegeven door vergelijking (\ref{inflatieoplossing}); met de eindtijd $t_{\rm eind}$ ingevuld
is deze $a({\rm eind}) = e^0$). We vinden dan
\begin{equation}
\frac{a({\rm eind})}{a({\rm begin})} = e^{\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0} .
\end{equation}
Door van beide kanten de logaritme te nemen, en de waarden van $m$ en $\Phi_0$ in te
vullen, wordt gevonden hoeveel e-machten groter het heelal is geworden tijdens de
inflatieperiode van ons model. Er wordt dan gevonden dat het heelal
tientallen e-machten is gegroeid. Dit is een gigantische expansie, in een
enorm korte tijd: inflatie!

\subsection{Het afbreken van de inflatieperiode}

Het is niet wenselijk dat inflatie voor altijd doorgaat. Dit zou namelijk een heelal
opleveren dat extreem leeg en ijl is, omdat alle materie en energie zou worden uitgesmeerd
over een enorm groot (en altijd doorgroeiend) volume. Baryogenese, nucleosynthese, en
recombinatie zouden nooit plaatsvinden, laat staan de vorming van sterren, planeten, en
leven. Het feit dat wij bestaan is een duidelijk signaal dat kosmologische inflatie
slechts een eindige hoeveelheid tijd heeft plaatsgevonden. Bovendien zou de expansiesnelheid
onderhand een vrijwel oneindig grote waarde hebben aangenomen, en dat is duidelijk niet in
overeenstemming met onze metingen. Het is dan ook zaak om een mechanisme te vinden waarmee
de inflatieperiode werd gestopt. Ook moet dit mechanisme er zorg voor dragen dat, aan het
eind van de inflatieperiode, het heelal zich opnieuw gevuld heeft met fotonen zodat het
stralingsgedomineerd is geworden, en zo aansluiting vindt bij het Standaard Model van de
kosmologie uit het vorige hoofdstuk.

\medskip
\noindent
Deze twee voorwaarden kunnen beide in de inflatiemodellen worden opgenomen door gebruik
te maken van de quantummechanische eigenschappen van het inflatonveld. De quantumveldentheorie
leert ons dat elk veld een mate kent van interactie met andere quantumvelden, en dat deze
interactie bepaalt hoe snel de quanta (deeltjes) van het ene veld over kunnen gaan in die
van het andere veld. Het zou dan ook mogelijk moeten zijn om de dynamica van het
inflatonveld $\Phi(t)$ zodanig uit te breiden, dat het in rekening neemt dat het
inflatonveld vervalt naar nieuwe deeltjes die, via een of andere keten van vervalsprodukten,
fotonen opleveren. Tijdens een inflatieperiode zal deze uitbreiding weinig uitmaken op de
evolutie van het heelal: de gecre\"eerde fotonen vullen de Friedmannvergelijkingen
weliswaar aan met een extra energiedichtheid en druk ten gevolge van straling, maar deze
schalen met $a^{-4}$ en gaan daarom meteen naar nul tijdens een periode van extreme uitdijing.
Fysisch betekent dit dat er weliswaar fotonen worden gecre\"eerd, maar dat deze worden
uitgesmeerd over een extreem groot volume, en daarom een verwaarloosbare energiedichtheid
hebben. Echter, als we een manier kunnen bedenken om de extreme expansie te stoppen,
krijgt de omzetting van inflatonen naar fotonen een kans om groot genoeg te worden om de
evolutie van het heelal te domineren. Wanneer alle inflatonen zijn vervallen naar
(uiteindelijk) fotonen, zal het heelal vanaf dat moment stralingsgedomineerd zijn. Het
Standaard Model van de kosmologie uit het vorige hoofdstuk kan dan de evolutie overnemen.

\medskip
\noindent
Het is niet eenvoudig om quantumveldentheorie te gebruiken om het verval van inflatonen
naar andere deeltjes te beschrijven. Dit heeft er voornamelijk mee te maken dat er zeer weinig
bekend is over het gedrag van quantumvelden in andere tijdruimten dan minkowksiruimtetijd.
Het is echter
wel mogelijk een kwalitatieve beschrijving te geven, en dit zullen we dan ook nu gaan doen voor
het meest conventionele model voor de overgang van inflatonen naar fotonen.

\medskip
\noindent
In woorden zegt dit model het volgende: in de potenti\"ele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$
van het inflaton eld bevindt zich ergens een diepe en steile dip. Wanneer het inflatonveld bij
deze dip is aangekomen, zal het zijn potenti\"ele energiedichtheid omzetten in kinetische
energiedichtheid (op dezelfde manier als een knikker zijn potenti\"ele energie omzet in kinetische
energie wanneer die in een put rolt). Er geldt dan niet meer dat de inflatieparameter $\epsilon$
veel kleiner is dan $1$ en inflatie breekt af. Omdat het heelal dan stopt met zijn extreem
snelle uitdijing, zullen fotonen die vanaf dat moment worden gecre\"eerd uit het verval van het
inflatonveld, niet meer worden uitgesmeerd over een enorm groot volume. De
stralingsenergiedichtheid ten gevolge van fotonen heeft dan de kans om te groeien, en op den duur
de dichtheid ten gevolge van het inflatonveld over te nemen. Op dat moment is het
heelal stralingsgedomineerd geworden, en kan het Standaard Model van de kosmologie de
beschrijving van de evolutie overnemen. Dit model staat bekend onder de naam
{\sl Verhittingsfase}\footnote{Engels: {\sl Reheating Phase}. De prefix {\sl re-} is
misleidend: het suggereert dat het heelal al eens eerder verhit is geweest. Of dit het geval
is, kan waarschijnlijk alleen worden beantwoord door een theorie van quantumzwaartekracht.}

\medskip
\noindent
De dynamica van de verhittingsfase kan niet meer beschreven worden door de vereenvoudigde
inflatievergelijkingen, omdat tijdens deze fase niet meer geldt dat
$\epsilon \ll 1$ en $\eta \ll 1$. We zullen
dus terug moeten gaan naar de oorspronkelijke inflatievergelijkingen (\ref{inflatievergelijking}).
Deze voldoen echter ook niet, omdat ze geen
rekening houden met de afname van het inflatonveld naar fotonen, of met het feit dat er een
groeiende energiedichtheid is ten gevolge van straling. We corrigeren dit door
aan de eerste inflatonvergelijking (\ref{inflatievergelijking})
een term toe te voegen, die de afname van inflaton veldsterkte beschrijft ten
gevolge van het verval naar andere deeltjes. We nemen aan dat de afname van de veldsterkte
goed beschreven wordt door een term evenredig met de tijdsafgeleide van de veldsterkte, zoals
ook de wrijvingskracht op een knikker in een put evenredig is met de snelheid
van de knikker. Deze analogie is uiteraard geen {\sl bewijs} van de stelling dat het verval
naar andere deeltjes beschreven wordt door een term evenredig aan $\dot{\Phi}(t)$.
Geavanceerde quantummechanische berekeningen wijzen echter uit dat het verval inderdaad door
een term van deze vorm beschreven kan worden. We zullen daarom aan de eerste inflatievergelijking
een term $\Gamma \dot{\Phi}(t)$ toevoegen, waarin $\Gamma$ een maat is voor de vervalssterkte
van het inflatonveld,
\begin{equation}
\ddot{\Phi}(t)+\left( 3H(t)+\Gamma \right) \dot{\Phi}(t)+\partial_\Phi V(\Phi(t)) = 0.
\label{een}
\end{equation}
Ten tweede zal ook de tweede inflatievergelijking (\ref{inflatievergelijking}) aangepast moeten
worden, omdat die nog geen rekening houdt met het feit dat, naarmate het inflatonveld
vervalt, er een groeiende energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$ zal zijn ten gevolge van straling.
Hiertoe voegen we deze dichtheid toe en vinden
\begin{equation}
H^2(t) = \frac{8 \pi G}{3c^2} \bigg( \rho_\Phi(t) + \rho_\gamma(t) \bigg).
\label{twee}
\end{equation}
Ook kennen we aan de tweede Friedmannvergelijking een druk en dichtheid ten gevolge van straling toe.
Er geldt
\begin{equation}
\left( \frac{\ddot{a}}{a}\right) = -\frac{4 \pi G}{3c^2} \bigg( \rho_\gamma(t)+3P_\gamma(t)
+ \rho_\Phi +3P_\Phi(t)  \bigg) .
\label{drie}
\end{equation}
Dit kunnen we vereenvoudigen, want we hadden al gezien dat de druk ten gevolge van
straling gelijk is aan $\rho_\gamma/3$. Verder kunnen we de druk ten gevolge van het inflatonveld
schrijven als
\begin{equation}
P_\Phi = n(t) \rho_\Phi.
\label{schrijfwijze}
\end{equation}
Tijdens inflatie zelf was $n = -1$, maar tijdens de verhittingsfase weten we nog niet
wat $n$ is. We weten zelfs niet of het een constante zal zijn, en om deze reden staat er nu
nog een tijdsafhankelijkheid. De tweede Friedmannvergelijking luidt nu
\begin{equation}
\left( \frac{\ddot{a}}{a}\right) = -\frac{4 \pi G}{3c^2} \bigg( 2\rho_\gamma(t)
+ (3n(t)+1)\rho_\Phi(t)  \bigg) .
\end{equation}
In principe zijn we nu klaar: vergelijkingen (\ref{een}), (\ref{twee}), en (\ref{drie}) vertellen ons
hoe het inflatonveld zijn energie omzet in fotonen, hoe het inflatonveld afneemt, en hoe de
schaalfactor evolueert tijdens dit proces. In principe hoeven we nu alleen een vervalsmaat
$\Gamma$, de vorm $V(\Phi(t))$ van de potentiaalput,  en een toestandsparameter $n(t)$ in
te vullen, en deze vergelijkingen op te lossen; hiermee ligt de hele evolutie van het
verhittingsproces vast.

\medskip
\noindent
Het is echter gebruikelijk om deze vergelijkingen te herschrijven in een vorm waarin het
inflatonveld $\Phi(t)$ niet meer expliciet voorkomt, en in plaats daarvan de energiedichtheid
$\rho_\Phi$ gebruikt wordt (dit is namelijk een inzichtelijker grootheid dan het veld). Deze
herschrijving gaat als volgt. Om de eerste van deze vergelijkingen te vinden, dient de
tijdsafgeleide van $\rho_\Phi(t) = \frac{1}{2c^2} \dot{\Phi}^2(t)+V(\Phi(t))$ te worden genomen,
\begin{equation}
\dot{\rho}_\Phi(t) = \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}(t) \ddot{\Phi}(t)
+\dot{\Phi}(t) \partial_\Phi V(\Phi(t)),
\end{equation}
en te worden ingevuld in vergelijking (\ref{een}). Samen met het feit dat $\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}(t)
= \rho_\Phi(t)+P_\Phi(t)$ en de schrijfwijze (\ref{schrijfwijze}), geeft dit precies
vergelijking (\ref{verhitting}). Een tweede vergelijking kan worden gevonden door de eerste
Friedmannvergelijking te differenti\"eren naar de tijd, en dan de tweede Friedmannvergelijking
te gebruiken om $\ddot{a}/a$ te elimineren. Het resultaat is
\begin{eqnarray}
\dot{\rho}_\Phi(t) &=& -\Big(3H(t)+\Gamma \Big)\Big(n(t)+1\Big)\rho_\Phi(t) , \nonumber \\
\dot{\rho}_\gamma(t) &=& -4H(t) \rho_\gamma(t)+\Gamma \Big(n(t)+1\Big)\rho_\Phi(t) , \nonumber \\
H^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \rho_\Phi(t)+\rho_\gamma(t) \Big) .
\label{verhitting}
\end{eqnarray}
Deze set vergelijkingen heten de {\sl verhittingsvergelijkingen}. In de volgende sectie zullen we
deze vergelijkingen oplossen voor een speciale keuze van de functies $\Gamma$, $V(\Phi(t))$ en $n(t)$.

\subsection{Een voorbeeld van de verhittingsfase}

De verhittingsvergelijkingen vormen een set van drie gekoppelde differentiaalvergelijkingen, en
zijn in de regel lastig op te lossen. We zullen daarom een kunstgreep toepassen: we zullen aannemen
dat het inflatonveld per oscillatie in de potentiaalput maar weinig energie overdraagt naar fotonen,
en tegelijkertijd dat het heelal maar weinig van grootte verandert tijdens een enkele oscillatie. Met
andere woorden, we nemen aan dat de tijdschaal waarop de oscillaties plaatsvinden veel korter is
dan de tijdschalen van het verval van het inflatonveld en de uitdijing van het heelal. De eerste
aanname legt een eis op voor de grootte van de functie $\Gamma$, de tweede aanname is waarschijnlijk
goed te motiveren aangezien het heelal zich tijdens de verhittingsfase niet meer in een exponentieel
uitdijende fase bevindt. Onder deze aannames, kunnen we de energiedichtheid van het inflatonveld
per oscillatie als een constante nemen. Er geldt
\begin{eqnarray}
\rho_\Phi &=& \frac{1}{2c^2}\dot{\Phi}^2(t)+V(\Phi(t)) \nonumber \\
&=& \rho_{\rm max} = {\rm const}.
\end{eqnarray}
Laat het nogmaals benadrukt zijn dat deze vergelijking alleen geldt {\sl per oscillatie}: elke
volgende oscillatie zal $\rho_{\rm max}$ een kleinere waarde hebben dan de oscillatie daarvoor.

\medskip
\noindent
Onder deze aanname kunnen we de verhittingsvergelijkingen vereenvoudigen: het zal namelijk blijken
dat we nu de toestandsparameter $n(t)$ een waarde zullen kunnen toekennen wanneer we de functie
$V(\Phi(t))$ toegewezen hebben, en dat deze waarde dan {\sl constant} zal blijken te zijn. Merk
hiertoe op dat de toestandsparameter en de druk en dichtheid aan elkaar gerelateerd zijn,
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{\rho_\Phi(t)+P_\Phi(t)}{\rho_\Phi(t)} .
\label{nplus1}
\end{equation}
De aanname van de snelle oscillatie van het inflatonveld maakt dat we de teller en noemer kunnen
vervangen door constanten, te weten hun {\sl gemiddelden} over een enkele oscillatie. Een dergelijk
gemiddelde $<f(t)>$ defini\"eren we als de integraal van alle waarden die een functie $f(t)$ aanneemt
tijdens de oscillatie, gedeeld door de periodetijd $T$ van de oscillatie,
\begin{equation}
<f(t)> \quad \equiv \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt .
\end{equation}
Omdat we alle tijdsafhankelijkheid nu weg-integreren, zal de uitdrukking voor de toestandsparameter
$n(t)$ een {\sl constante} opleveren; dit zal het oplossen van de verhittingsvergelijkingen een
stuk eenvoudiger maken!

\medskip
\noindent
Alvorens dit te doen, zullen we eerst de tijdsgemiddelden (\ref{nplus1}) moeten uitrekenen. Dit
lijkt een probleem op te leveren: om deze integralen uit te rekenen, hebben we de functies
$\rho_\Phi(t)$ en $P_\Phi(t)$ nodig, en die probeerden we nu juist uit te rekenen door de
Verhittingsvergelijkingen op te lossen. Dit lijkt een impasse, maar is het niet: we kunnen de
integralen over de tijd namelijk herschrijven naar integralen over het inflatonveld, en hiervan
weten we wel degelijk iets: het inflatonveld oscilleert tussen twee uiterste waarden,
\begin{equation}
\Phi_0 \equiv \Phi(t=0),
~~~~{\rm en}~~~~ \quad \quad \quad \Phi_{1/2} \equiv \Phi(t=\frac{T}{2}) .
\end{equation}
Hierbij is $\Phi_0$ de waarde die het inflatonveld heeft wanneer het op het punt staat te
beginnen met de oscillatie: het is de waarde van het inflatonveld wanneer het bovenaan de put
is. De tweede is de waarde die het inflatonveld heeft wanneer het halverwege de oscillatie is:
het is de waarde van het inflatonveld wanneer het op de bodem van de put is, en op het punt
staat weer omhoog te klimmen.

\medskip
\noindent
Het zal blijken dat we hieraan genoeg hebben om de integralen uit te rekenen. De gemiddelden
kunnen herschreven worden als
\begin{equation}
<f(t)> \quad \equiv \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{2}{T}
\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \frac{f(t)}{\dot{\Phi}(t)}d\Phi .
\end{equation}
Via onze aanname dat de energiedichtheid van het veld als constante kan worden gezien tijdens
een enkele oscillatie, volgt dat
\begin{equation}
\rho_\Phi = \frac{1}{2c^2} \dot{\Phi}^2(t) + V(\Phi(t)) = \rho_{max} \quad \quad
\rightarrow \quad \quad \dot{\Phi}(t) = \pm \sqrt{2c^2 \Big( \rho_{max}-V(\Phi(t)) \Big)} ,
\end{equation}
en hiermee kunnen we het gemiddelde $<f(t)>$ schrijven als
\begin{equation}
<f(t)> =  \pm \frac{2}{T} \int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  f(t) \Big( 2c^2
\Big( \rho_{max}-V(\Phi(t)) \Big) \Big)^{-1/2}  d\Phi.
\end{equation}
Dit is een handige uitdrukking. Door nu de algemene uitdrukkingen voor de energiedichtheid en
druk ten gevolge van het inflatonveld in te vullen, wordt gevonden dat de teller en noemer van
vergelijking (\ref{nplus1}) geschreven kunnen worden als
\begin{eqnarray}
< \Big( \rho_\Phi(t) + p_\Phi(t) \Big) > &=& \pm \frac{2}{T}
\sqrt{2c^2\rho_{max}}\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}
\Big(1-\frac{V(\Phi(t))}{\rho_{max}} \Big)^{1/2} d\Phi , \nonumber \\
< \rho_\Phi(t) > &=&  \pm \frac{2}{T} \sqrt{\frac{\rho_{max}}{{2c^2}}}
\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \Big(1-\frac{V(\Phi(t))}{\rho_{max}} \Big)^{-1/2} d\Phi .
\end{eqnarray}
De toestandsparameter $n(t)$ is dan
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{2c^2\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \Big( 1- \frac{V(\Phi)}{\rho_{max}}
\Big)^{1/2}d\Phi}{\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{V(\Phi)}{\rho_{max}} \Big)^{-1/2}d\Phi} .
\label{nplus1uitkomst}
\end{equation}
Het enige wat nu nog gedaan moet worden, is invullen wat de vorm $V(\Phi(t))$ is van de
potentiaalput waarin het inflatonveld oscilleert, en de waarden $\Phi_0$ en $\Phi_{1/2}$ die
het inflatonveld heeft op het laagste en het hoogste punt van de put.

\medskip
\noindent
We kiezen nu een specifieke put en rekenen de toestandsparameter uit. Als dat gedaan is,
is het oplossen van de verhittingsvergelijkingen nog maar een kleine stap. In navolging van het
uitgewerkte voorbeeld van het inflatiemodel, zullen we het geval beschouwen van een massief
inflatonveld. Zoals we al gezien hadden, geldt dan voor de potenti\"ele energiedichtheid
\begin{equation}
V(\Phi(t)) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t) ,
\label{put}
\end{equation}
waar $m$ de massa is van de inflatondeeltjes. Deze functie definieert de put als een parabool, met
het laagste punt bij $\Phi = 0$. Het is dan makkelijk in te zien dat onderaan deze put, de waarde
van het inflatonveld gelijk is aan nul,
\begin{equation}
\Phi_{1/2} = 0.
\end{equation}
Om de waarde van $\Phi_0$ te bepalen, dienen we te bedenken dat als het inflaton net op het
punt staat met de oscillatie te beginnen, het nog geen kinetische energiedichtheid heeft,
$\dot{\Phi} = 0$, en als gevolg hiervan is de totale energiedichtheid gelijk aan louter de
potenti\"ele energiedichtheid. Er geldt
\begin{equation}
\rho_\Phi = V(\Phi) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2_0 .
\end{equation}
We hadden aangenomen dat de totale energiedichtheid constant was gedurende een enkele oscillatie,
$\rho_\Phi = \rho_{max}$, en zo volgt dat de waarde van het inflatonveld op het hoogste punt
van de put gegeven wordt door
\begin{equation}
\Phi_0 = \pm \sqrt{\frac{2 \rho_{max}}{m^2} \left( \frac{\hbar}{c}\right)^2}.
\end{equation}
We kunnen nu de integralen in de teller en de noemer van
vergelijking (\ref{nplus1uitkomst}) evalueren. Wanneer
we de potentiaalput gegeven door vergelijking (\ref{put}) invullen, wordt de noemer
\begin{eqnarray}
\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{1}{\rho_{max}}\frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar}
\right)^2 \Phi^2 \Big)^{-1/2}d\Phi .
\label{eq:viezeint}
\end{eqnarray}
Om onze notatie iets te vergemakkelijken, zullen we een variabele $x$ introduceren,
waarvoor geldt
\begin{equation}
x \equiv \frac{m}{\sqrt{2 \rho_{max}}} \left( \frac{c}{\hbar} \right) \Phi .
\end{equation}
De integraal in vergelijking (\ref{eq:viezeint}) ziet er dan al heel wat vriendelijker uit.
We vinden
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{-1/2}dx .
\end{equation}
Deze kunnen we direct oplossen door gebruik te maken van een standaardintegraal, en er wordt gevonden dat
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0}
\Big( 1-x^2 \Big)^{-1/2}dx = -\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}
\left( \frac{\hbar}{c} \right) \arcsin (1) .
\end{equation}
Hierbij hebben we gebruik gemaakt van de integraal $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin (x)$,
waar de functie $y = \arcsin (x)$ de oplossing is van de vergelijking $\sin y = x$, en het
feit dat de $\arcsin$ van nul gelijk is aan nul.

\medskip
\noindent
De integraal van de teller van vergelijking (\ref{nplus1uitkomst}) wordt
\begin{eqnarray}
\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{1}{\rho_{max}}\frac{m^2}{2}
\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2 \Big)^{1/2}d\Phi .
\end{eqnarray}
Ook nu kunnen we de notatie iets vergemakkelijken door de variabele $x$ te
introduceren, waardoor de integraal geschreven worden als
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0}
\Big( 1-x^2 \Big)^{1/2}dx .
\end{equation}
Bovenstaande vergelijking
kunnen we oplossen door gebruik te maken van $\int (1-x^2)^{1/2}dx
= \frac{1}{2}\{\arcsin(x)+x\sqrt{1-x^2}\}$. Er wordt dan gevonden dat
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{1/2}dx
= -\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \frac{1}{2} \arcsin(1) .
\end{equation}
Nu de teller en noemer gevonden zijn, volgt de waarde van de toestandsparameter $n$ direct als
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{-2\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right)
\frac{1}{2} \arcsin(1)}{-\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \arcsin (1)}
= 1 \quad \quad \rightarrow \quad \quad n(t) =0.
\end{equation}
Na deze wiskundige verhandeling keren we terug naar de fysica. We hebben gevonden dat
de inflatonen zich, tijdens de verhittingsfase, gedragen als een drukloos gas. Dit is
precies wat we in het vorige hoofdstuk hadden bestempeld als koude materie,
waarvoor geldt $n = 0$! Merk verder
op dat de gevonden waarde van $n$ niet afhangt van de amplitude van de oscillatie. Dit betekent
fysisch dat we deze $n$ mogen blijven gebruiken voor elke oscillatie, ondanks het feit dat elke
volgende oscillatie een kleinere amplitude kent.

\medskip
\noindent
Met de wetenschap dat $n = 0$, vereenvoudigen de verhittingsvergelijkingen tot de vorm
\begin{eqnarray}
\dot{\rho}_\Phi(t) &=& -\Big(3H(t)+\Gamma \Big)\rho_\Phi(t) , \nonumber \\
\dot{\rho}_\gamma(t) &=& -4H(t) \rho_\gamma(t)+\Gamma \rho_\Phi(t) , \nonumber \\
H^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \rho_\Phi(t)+\rho_\gamma(t) \Big) .
\label{drie0}
\end{eqnarray}
De strategie voor het oplossing van deze vergelijkingen is als volgt: we
doen een aanname voor de vorm van de Hubble constante $H(t)$, en vullen deze vervolgens in
in de eerste verhittingsvergelijking.
Dit geeft dan een differentiaalvergelijking voor $\rho_\Phi$ die op dat moment ontkoppeld is
van de andere twee vergelijkingen en daarom onafhankelijk opgelost kan worden. Als deze opgelost is,
kunnen we de oplossing $\Phi(t)$ en onze aanname voor $H(t)$ gebruiken in de derde
Verhittingsvergelijking.
Dit geeft dan een algebraische vergelijking voor de energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$, zodat
$\rho_\gamma(t)$ direct volgt. Alledrie de functies zijn dan gevonden, maar aangezien ze pas een
oplossing vormen wanneer ze aan alledrie de differentiaalvergelijkingen voldoen, zullen we de
functies nog in de tweede verhittingsvergelijking moeten invullen om te controleren of
alles consistent is. Zo ja, dan is onze oplossing correct; zo niet, dan is onze aanvankelijke aanname
voor de Hubble constante niet de juiste geweest, en zullen we een nieuwe poging moeten doen.

\medskip
\noindent
Wat zou een goede aanname voor $H(t)$ zijn? Fysisch kunnen we ons de volgende voorstelling maken:
aan het begin van de verhittingsfase is de enige significante vorm van energiedichtheid die van het
inflatonveld, waarvan we gezien hebben dat deze zich gedraagt als koude materie. Hierbij hoort, volgens
onze berekeningen, een Hubble constante gelijk aan $H(t) = \frac{2}{3t}$. Daarna wordt het inflatonveld
omgezet in fotonen, zodat na verloop van tijd de energiedichtheid ten gevolge van straling gaat
domineren over die ten gevolge van inflatonen. Deze dichtheid kent een Hubble constante gelijk aan
$H(t)= \frac{1}{2t}$. Al met al ligt het dan ook voor de hand om een functie $H(t)$ te kiezen die
voor kleine $t$ gelijk is aan $H(t) = \frac{2}{3t}$, en voor groeiende $t$ steeds meer gaat
lijken op $H(t) = \frac{1}{2t}$. Er zijn in principe oneindig veel functies te vinden die aan deze
eis voldoen, waarvan de volgende een aantal voorbeeld is,
\begin{equation}
H(t) = \frac{1}{t} \Big( \frac{1}{2}+\frac{1}{6} e^{-\alpha t}\Big) .
\end{equation}
In principe zouden we dergelijke functies kunnen proberen in te vullen, en dan (hopelijk) uitvinden
of de correcte functie erbij zit. Dit blijkt in ieder geval voor deze functie niet het geval te
zijn. Een oplossing van de inflatievergelijkingen is dan ook nog niet gevonden, en we weten dan ook
nog steeds niet wat het tijdsverloop is  van de energiedichtheden $\rho_\Phi$, $\rho_\gamma$ en van
de schaalfactor $a(t)$. Maar goed beschouwd zijn we eigenlijk niet zo ge\"{\i}nteresseerd in die
gedetailleerde tijdsevolutie. Eigenlijk willen we alleen maar weten of ons model de juiste
hoeveelheid fotonen kan opleveren, opdat het Standaard Model van de kosmologie de evolutie van het
heelal kan overnemen. Om deze vraag naar tevredenheid te beantwoorden hoeven we de verhittingsvergelijkingen
(\ref{drie0}) alleen maar {\sl bij benadering} op te lossen. Dit is een stuk
makkelijker dan het vinden van een complete oplossing.

\medskip
\noindent
De strategie is als volgt: we zullen het probleem opsplitsen in twee delen: eerst bekijken we de
tijdsevolutie aan het {\sl begin} van de verhittingsfase, oftewel in het tijdsdomein waarin het
inflatonveld de energiedichtheid domineert, en hiervoor benaderde oplossingen
opschrijven. Daarna zullen we de tijdsevolutie beschouwen aan het {\sl eind} van de verhittingsfase,
oftewel het tijdsdomein waarin de fotonen de energiedichtheid domineren, en daarvoor
benaderde oplossingen opschrijven. En passant vinden we daarbij een waarde voor het tijdstip
$t_{\rm omslag}$ waarin de energiedichtheid ten gevolge van fotonen
het overneemt van de energiedichtheid
ten gevolge van inflatonen. De gevonden oplossingen zullen een aantal vrije constanten bevatten, en deze
zullen we waardes toekennen door te eisen dat de oplossingen uit de twee verschillende tijdsdomeinen
in elkaar overgaan rond het moment $t_{\rm omslag}$. Op deze manier worden functies
$\rho_{\Phi}$, $\rho_{\gamma}$ en $a(t)$ gevonden, die bij benadering de
verhittingsvergelijkingen oplossen.

\medskip
\noindent
We beschouwen eerst het tijdsdomein waarin de energiedichtheid ten gevolge van de inflatonen veel groter
is dan die ten gevolge van fotonen. Hiervoor geldt
\begin{equation}
\rho_\Phi \gg \rho_{\gamma}.
\end{equation}
In dit regime wordt de Hubble constante gegeven door $H(t) = \frac{2}{3t}$, en kunnen we
de derde verhittingsvergelijking schrijven als
\begin{equation}
\frac{4}{9t^2} = \frac{8 \pi G}{3 c^2}\rho_\Phi .
\end{equation}
Hieruit volgt direct een uitdrukking voor de energiedichtheid van het inflatonveld,
\begin{equation}
\rho_\Phi(t) = \frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2} .
\label{oplossingrho}
\end{equation}
Dit substitueren we in de eerste verhittingsvergelijking, om te controleren of deze
dan ook is opgelost. We vinden
\begin{equation}
-\frac{8}{9t^2} \frac{3c^2}{8 \pi G} = -\Big( \frac{2}{t} + \Gamma \Big)
\frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2} ,
\end{equation}
en dit kan alleen waar zijn als geldt dat
\begin{equation}
\Gamma \ll \frac{2}{t} .
\label{alleenwaar}
\end{equation}
Dit vertelt ons dat we onze oplossing (\ref{oplossingrho}) alleen mogen gebruiken voor tijdstippen
kleiner dan $t \approx \Gamma^{-1}$. Dit is wat we verwachten: immers, als
het inflatonveld snel zou vervallen naar fotonen (oftewel $\Gamma$ groot), dan breekt al snel het
moment aan (oftewel $t = \Gamma^{-1}$) waarop de energiedichtheid $\rho_\Phi$ niet meer groter
is dan $\rho_\gamma$. \newline
De gevonden uitdrukking voor $\rho_\Phi$ kan nu worden ingevuld in de tweede verhittingsvergelijking,
en dit levert een differentiaalvergelijking op voor de energiedichtheid $\rho_\gamma$ ten gevolge
van fotonen. Er geldt
\begin{equation}
\dot{\rho}_{\gamma}(t)= -\frac{8}{3t}\rho_\gamma+\Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2} .
\end{equation}
Deze vergelijking is niet moeilijk om op te lossen, en de oplossing wordt gegeven door
\begin{equation}
\rho_\gamma(t) = \frac{1}{t^2} \Big( \frac{\rho_{\gamma<}}{t^{2/3}}+\frac{12t}{45}
\frac{3c^2}{8 \pi G} \Gamma t \Big) .
\label{oplossingrho}
\end{equation}
Hierin is $\rho_{\gamma<}$ een constante, die vrij mag worden ingevuld. We zullen deze nu een
waarde toekennen met behulp van een fysisch argument: we hadden al gezien dat tijdens de
inflatieperiode alle energiedichtheid ten gevolge van normale materie en straling naar nul is
gegaan, als gevolg van de enorme expansie van het volume waarin deze energievormen opgesloten waren.
We kunnen daarom eisen dat tijdens de verhittingsfase (dit wil zeggen: aan het eind van
inflatie) de energiedichtheid $\rho_{\gamma}$ gelijk dient te zijn aan nul. Inflatie hield op op
het moment $t_{\rm eind}$, gegeven in \ref{teind}; wanneer dit wordt ingevuld in
vergelijking (\ref{oplossingrho})
en we eisen dat de uitkomst nul is, vinden we voor de constante $\rho_{\gamma<}$
\begin{equation}
\rho_{\gamma<} = -\frac{12}{45} \Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G}
\Bigg( \frac{3 \hbar}{mc^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \Phi_0 \Bigg)^{5/3} .
\end{equation}
Hiermee is de complete oplossing bekend! Aan
het begin van de verhittingsfase worden $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma(t)$ gegeven door
\begin{eqnarray}
H(t) &=& \frac{2}{3t} , \nonumber \\
\rho_\Phi(t) &=& \frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2} , \nonumber \\
\rho_\gamma(t) &=& \frac{1}{t^2} \Bigg( - \frac{12}{45} \Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G}
\Big( \frac{3 \hbar}{mc^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \Phi_0 \Big)^{5/3} \frac{1}{t^{2/3}}
+\frac{12t}{45} \frac{3c^2}{8 \pi G} \Gamma t \Bigg) .
\label{oplossingvroeg3}
\end{eqnarray}
Deze oplossing geldt alleen voor tijden $t \ll \Gamma^{-1}$.

\medskip
\noindent
Als tweede stap in onze analyse
ullen we de verhittingsvergelijkingen oplossen voor tijden waarin de fotonendichtheid
veel groter is geworden dan de dichtheid van inflatonen. Dan geldt
\begin{equation}
\rho_\gamma \gg \rho_\Phi .
\label{gammagroterphi}
\end{equation}
In dit regime geldt dat de Hubble constante gegeven wordt door $H(t) = \frac{1}{2t}$, en wordt
de derde verhittingsvergelijking
\begin{equation}
\frac{1}{4t^2}=\frac{8 \pi G}{3c^2} \rho_\gamma .
\end{equation}
hieruit volgt direct een uitdrukking voor de energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$,
\begin{equation}
\rho_\gamma(t) = \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2} .
\end{equation}
Vervolgens gebruiken we
de uitdrukking voor de Hubble constante om de eerste verhittingsvergelijking te
schrijven als
\begin{equation}
\dot{\rho}_\Phi(t) = -\Big( \frac{3}{2t}+\Gamma \Big) \rho_\Phi(t) .
\end{equation}
De oplossing voor deze differentiaalvergelijking is makkelijk te vinden, en is gelijk aan
\begin{equation}
\rho_\Phi(t) = \frac{\rho_{\Phi>}}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t} .
\end{equation}
Hierin is $\rho_{\Phi>}$ een constante, die vrij is in te vullen. We zullen er een waarde aan
toekennen door middel van een fysisch argument. Het argument is dat van {\sl continuiteit}: we
zullen eisen dat onze gevonden oplossingen voor de energiedichtheden $\rho_\Phi$ in de twee
tijdsdomeinen, netjes op elkaar aansluiten rond het moment $t_<$ dat het heelal
niet meer door inflatie gedomineerd is.
Dit komt er op neer dat we eisen dat voldaan is aan
\begin{equation}
\frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t_<^2} =  \frac{\rho_{\Phi>}}{t_<^{3/2}} e^{-\Gamma t_<}.
\label{continuiteit}
\end{equation}
Merk op dat we hier een beetje smokkelen. Immers, aan de linkerkant staat de uitdrukking voor
$\rho_\Phi$ die gevonden is voor het tijdsdomein waarin geldt $\rho_\gamma \ll \rho_\Phi$, terwijl
de rechterkant de uitdrukking is voor $\rho_\Phi$die  gevonden is voor het tijdsdomein waarin
geldt $\rho_\gamma \gg \rho_\Phi$. Nu hadden we al gezien dat de linkerkant gebruikt mag worden
mits $t < t_<$, en we zullen nog aantonen dat de rechterkant gebruikt mag worden mits $t > t_>$,
waar $t_>$ een nog nader te bepalen waarde heeft. Het is dan ook duidelijk dat bovenstaande eis
alleen gesteld mag worden wanneer $t_<$ en $t_>$ niet te ver uit elkaar liggen. Het is zeker niet
gegarandeerd dat dit het geval zal zijn, en we zullen dat op het eind dus expliciet moeten checken.
Als dit het geval is, kunnen we deze twee tijdstippen als een enkel tijdstip beschouwen, en zullen
deze de naam $t_{\rm omslag}$ geven. Voor nu nemen we aan dat dit het geval is, en dan
levert vergelijking (\ref{continuiteit}) de volgende relatie voor de constante $\rho_{\Phi>}$,
\begin{equation}
\rho_{\Phi>} = \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9} e^{\Gamma t_{\rm omslag}} \frac{1}{\sqrt{t_{\rm omslag}}} .
\label{laatste}
\end{equation}
De gevonden uitdrukkingen mogen toegepast worden wanneer aan
vergelijking (\ref{gammagroterphi}) voldaan is. Dan geldt
\begin{equation}
\frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2} \gg \frac{\rho_{\Phi>}}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t} .
\label{2101}
\end{equation}
Dit levert ons een tijdstip $t_>$ op, waarna de gevonden uitdrukkingen mogen worden gebruikt. Helaas
is het niet mogelijk om $t_>$ in een formule uit te drukken, maar gegeven waarden voor alle constanten
in vergelijking (\ref{2101})
kan er wel een {\sl numerieke} waarde aan $t_>$toegekend worden; zoals al aangegeven
is de hoop dat deze niet te ver uit de buurt van $t_<$ ligt.

\medskip
\noindent
Hiermee is de totale oplossing bekend! We concluderen dat aan het eind van de verhittingsfase
de functies $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma(t)$ gegeven worden door
\begin{eqnarray}
H(t) &=& \frac{1}{2t} , \nonumber \\
\rho_\Phi(t) &=& \Big( \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9} e^{\Gamma t_<} \frac{1}{\sqrt{t_<}}
\Big) \frac{1}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t} , \nonumber \\
\rho_\gamma(t) &=& \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2} . \\
\label{oplossinglaat3}
\end{eqnarray}
Hiermee is onze analyse afgerond! We hebben nu twee verzamelingen
oplossingen gevonden voor de functies
$H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma$, waarvan er een geldig is bij aanvang(inflatongedomineerde
deel) van de verhittingsfase, en er een geldig is in het fotongedomineerde deel. We hebben
daarbij zorg gedragen dat het eerste deel netjes aansluit op de waarden van $\rho_\Phi$ en
$\rho_\gamma$ die gelden aan het eind van de inflatieperiode, en dat het tweede deel netjes aansluit
op het eerste deel. Verder hebben we uitgezocht wanneer het omslagpunt plaatsvindt, en gevonden dat
de eerste verzameling oplossingen gebruikt mag worden zolang $t<t_<$, en de tweede
verzameling oplossingen gebruikt
mag worden wanneer $t>t_>$. We zullen onze uitkomsten kwantificeren, om te zien hoelang
de verhitting ongeveer heeft geduurd, en om te controleren of $t_<$ en $t_>$ inderdaad netjes
op elkaar aansluiten.

\medskip
\noindent
Hiertoe zetten we ons voorbeeld voort, en nemen we wederom aan
dat de massa $m$ van het inflaton en de constante $\Phi_0$ gegeven worden door
\begin{equation}
m \approx 10^{13} \cdot \frac{GeV}{c^2} \approx 10^{-14} {\rm kg},
~~~~{\rm en}~~~~ \quad \quad \quad \quad \Phi_0
\approx 10^{23} \cdot \frac{\sqrt{{\rm m} \cdot {\rm kg} }}{\rm s} .
\end{equation}
Verder kiezen we de vervalsconstante $\Gamma$ als
\begin{equation}
\Gamma \approx 10^{32} \cdot {\rm s}^{-1} .
\end{equation}
Waar komt deze waarde vandaan? Goed beschouwd is het een aanname. De constante $\Gamma$
hebben we ge\"{\i}ntroduceerd als een maat voor de snelheid waarmee inflatonen vervallen (via een
of andere keten van deeltjes) naar fotonen. Aangezien er weinig bekend is over de manier waarop
inflatonen gekoppeld zijn aan andere deeltjes, is het voor een deel speculatie met welke snelheid
het verval plaatsvindt. Er is echter een vuistregel in de quantumveldentheorie, die zegt dat hoe
zwaarder een deeltje is, hoe eerder het zal vervallen naar andere deeltjes. We kiezen
$\Gamma$ evenredig met $m$ en stellen
\begin{equation}
\Gamma \approx \frac{m c^2}{\hbar} .
\end{equation}
(beide kanten hebben nu de eenheid $1/s$). Met deze aanname kunnen we de waarden
van de tijdstippen $t_<$ en $t_>$ uitrekenen. De eerste waarde wordt gevonden door
vergelijking (\ref{alleenwaar}) op te lossen, en de tweede waarde door
vergelijking (\ref{2101}) op te lossen. We vinden dan
\begin{equation}
t_< \approx 10^{-32} ~{\rm s}, ~~~~{\rm en}~~~~
\quad \quad \quad \quad t_> \approx 10^{-32} ~{\rm s} .
\end{equation}
Deze waarden zijn (voor zover onze benaderingen in staat zijn een verschil te tonen)
hetzelfde, en noemen we het omslagpunt $t_{\rm omslag}$. Na dit tijdstip heeft
het inflatonveld zoveel energie overgedragen aan fotonen, dat het heelal stralingsgedomineerd is
geworden. De constante $\rho_{\Phi>}$ ligt hiermee ook vast. Vergelijking (\ref{laatste}) levert
\begin{equation}
\rho_{\Phi>} \approx 10^{42} \cdot \frac{\rm kg}{{\rm m} \sqrt{\rm s}} .
\end{equation}
Hiermee zijn alle constanten bepaald, en ligt de evolutie van de verhittingsfase geheel vast.
Het gedrag in de tijd van de functies $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$, en $\rho_\gamma(t)$ is
nu bekend. Voor alle tijdstippen tussen het eind van inflatie, $t_{\rm eind}$, en het omslagpunt
$t_{\rm omslag}$ gebruiken we hiervoor vergelijkingen (\ref{oplossingvroeg3})
en voor de tijdstippen na het omslagpunt gebruiken we \ref{oplossinglaat3}).
Nadat het heelal door straling gedomineerd wordt, kan het Standaard Model van de kosmologie
de evolutie overnemen. Het omslagpunt
$t_{\rm omslag}$ is daarmee ook het tijdstip geworden waarop de verhittingsfase ten einde is geraakt:
verhitting duurt in ons model niet langer dan $10^{-32}$ seconde.

\vfill
\eject