\documentclass[11pt]{report}
\usepackage{geometry}                % See geometry.pdf to learn the layout options. There are lots.
\geometry{letterpaper}                   % ... or a4paper or a5paper or ... 
%\geometry{landscape}                % Activate for for rotated page geometry
%\usepackage[parfill]{parskip}    % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epstopdf}
\DeclareGraphicsRule{.tif}{png}{.png}{`convert #1 `dirname #1`/`basename #1 .tif`.png}
\usepackage{mathrsfs}

\title{Relativiteitscursus, hoofdstuk 4}
\author{Gideon Koekoek}
\date{}                                           % Activate to display a given date or no date

\begin{document}
\maketitle
%\section{}
%\subsection{}

\chapter{Kosmologische inflatie}

Het Standaard Model van de kosmologie geeft ons een globaal beeld van de evolutie van het heelal, maar kent enkele subtiele, maar ernstige tekortkomingen: er zijn een aantal zaken die nadere verklaring behoeven. In deze sectie zullen we deze nader beschouwen, en vervolgens een oplossing aandragen die al deze tekortkomingen in een klap oplost: kosmologische inflatie. De details van de inflatie hangen af van het model dat gekozen wordt; in dit hoofdstuk zullen we een inflatiemodel in detail beschrijven om uit te werken hoe lang inflatie geduurd heeft. Inflatie dient slechts een korte tijd geduurd te hebben, om aansluiting te vinden bij het Oerknalmodel uit het vorige Hoofdstuk, en we zullen dan ook een mechanisme introduceren om dit te doen: verhitting. Tenslotte zullen we dit mechanisme in detail uitwerken. \newline

\section{Tekortkomingen van het Standaard Model}

Ten eerste is er het \emph{horizon probleem}. Om dit probleem goed te beschrijven, moet het concept van de \emph{horizon} worden behandeld. De horizon van een waarnemer is de grootste afstand een invloed, elke invloed, gereisd kan hebben om deze waarnemer te bereiken; het is dus een bovenlimiet voor de grootte van de ruimte waarmee de waarnemer nog in causaal contact kan staan. We hadden al gezien dat geen enkele invloed sneller kan gaan dan het licht, en zo volgt dat de horizon van een waarnemer ook de grootte is van het zichtbare heelal van deze waarnemer. \newline
Thermisch evenwicht tussen verschillende gebieden van het heelal kan alleen zijn bewerkstelligd door middel van de fotonen van de kosmologische achtergrondstraling. Echter, deze fotonen zijn, zoals we al hadden gezien, ontkoppeld van de materie ongeveer $10^5$ jaar na de Oerknal: na dit moment is het niet meer mogelijk geweest om verschillende gebieden van het heelal in thermisch evenwicht met elkaar te brengen. Tijdens deze ontkoppeling was de horizon van een waarnemer vele malen kleiner dan nu, en we zouden daarom verwachten dat gebieden waarin tegenwoordig fotonen met dezelfde temperatuur worden gevonden, veel kleiner is dan het nu zichtbare heelal. Het tegenovergestelde blijkt waar te zijn: experimentele data laat zien dat ons \emph{hele} zichtbare heelal nagenoeg dezelfde temperatuur heeft (we hadden dit feit eerder al gebruikt om het Kosmologisch Principe te rechtvaardigen). De paradox die hieruit volgt noemen we het horizon probleem. \newline
\newline
Ten tweede is er het \emph{vlakheidsprobleem}. Metingen wijzen uit dat het heelal tegenwoordig een metriek heeft die extreem vlak is: de vlakke Robertson-Walker metriek uit het vorige Hoofdstuk. We hadden echter al berekend dat de uitdijing van het heelal voorspelt dat de kromming van het heelal steeds kleiner dient te worden: $\Omega \rightarrow 0$ als $t $ groter wordt. Dit impliceert dat de metriek in het vroege heelal \emph{nog veel meer} geleken heeft op de perfect vlakke Robertson-Walker metriek, teneinde de huidige vlakheid te verklaren. Dit is het vlakheidsprobleem: via welk mechanisme is de vroegste waarde van de vlakheid zo dicht bij de perfecte Robertson-Walker vlakheid komen te liggen? Een eventuele uitvlucht van deze vraag is simpelweg \emph{aan te nemen} dat het heelal altijd al precies vlak is geweest. Dit leidt echter tot de vraag \emph{waarom} het heelal begonnen is met precies de kritische dichtheid. Het Standaard Model van de kosmologie geeft geen antwoord op deze vragen. \newline
\newline
Tenslotte is er het \emph{probleem van de missende deeltjes}. Veel van de moderne theorieen van deeltjesfysica voorspellen het bestaan van exotische, nog niet gemeten deeltjes; voorbeelden zijn supersymmetrische deeltjes en de magnetische monopolen. Deze deeltjes zijn typisch heel zwaar, en zijn daarom moeilijk (danwel praktisch onmogelijk) te creeeren in aardse deeltjesversnellers. Echter, in het heel vroege heelal zijn temperaturen hoog genoeg geweest om de natuurlijke creatie van zulke deeltjes aannemelijk te maken. Geen van deze deeltjes is ooit geobserveerd\footnote{Op zijn minst een enkele keer heeft een onderzoeksgroep geclaimed een magnetische monopool gemeten te hebben, maar het is daarna geen enkele andere onderzoeksgroep ooit gelukt dit resultaat te reproduceren. Veel deeltjesfysici zijn daarom erg sceptisch over het resultaat, en negeren deze claim.}. De vraag is dan ook: als deze deeltjes inderdaad geproduceerd zijn in het erg vroege heelal, waarom zijn ze dan nooit meer teruggevonden?\newline
\newline
Al deze problemen kunnen in een enkele klap worden opgelost door het Standaard Model van de kosmologie uit te breiden met een nieuw concept: \emph{kosmologische inflatie}. Dit is de aanname dat het heelal, vlak na de Oerknal, een periode heeft gekend van extreme snelle uitdijing. Mathematisch zullen we dit als volgt definieren: ten tijde van inflatie geldt\footnote{Merk op dat een heelal met kosmologische constante precies aan deze definitie voldoet, en dus dat we onze huidige uitdijing als inflatie zouden kunnen bestempelen. We zullen echter de naam inflatie reserveren voor versnelde expansie in het \emph{vroege} heelal.}
\begin{equation}
\dot{a}(t) > 0, \quad \quad \quad \quad \ddot{a}(t) > 0.
\label{definflatie}
\end{equation}
Door inflatie te introduceren, kunnen we de drie tekortkomingen van het Standaard Model oplossen. \newline
Zo wordt het horizonprobleem opgelost door het feit dat tijdens de inflationaire periode, de schaalfactor $a(t)$ extreem groot wordt. Dit betekent dat een stuk van het heelal waarin thermisch equilibrium al was opgetreden voor de start van de inflatieperiode, opgeblazen wordt tot veel grotere proporties dan de horizon van een waarnemer in dit stuk. Het gevolg is dan ook dat, nadat de inflatieperiode is afgelopen, het zichbare heelal voor deze waarnemer geheel in thermisch equilibrium is; precies zoals we vandaag de dag meten! \newline
Het vlakheidsprobleem wordt opgelost door het feit dat elke ruimte, wanneer opgeblazen tot voldoende grote proporties, vlak lijkt voor een lokale waarnemer. (Dit is volkomen vergelijkbaar met het aardoppervlak, dat zo groot is vergeleken met ons lokale waarnemers, dat het ons overkomt als plat.) \newline
Tenslotte is ook het probleem van de missende deeltjes op een triviale manier opgelost door de introductie van een inflatieperiode. Immers, als het heelal tot enorme proporties is opgeblazen, zullen alle exotische deeltjes die gecreeerd zijn voor de aanvang van de inflatieperiode, worden uitgesmeerd over een zeer groot volume. Dit maakt de kans er een tegen te komen in aardse detectoren bijzonder klein. Uiteraard verklaart inflatie alleen waarom de \emph{aanvankelijke} exotische deeltjes niet gevonden worden, en doet zij geen uitspraak over de deeltjes die eventueel \emph{na} de inflatieperiode gecreeerd zijn. Toch verwachten we niet dat er reden is te verwachten dat zulke latere deeltjes gecreeerd worden. De reden hiervoor is dat, zoals al genoemd, zulke exotische deeltjes typisch heel hoge massa hebben, en het dus heel moeilijk is zulke deeltjes te creeren in een heelal waarin de energiedichtheid afneemt ten gevolge van de expansie. \newline 
\newline

\section{De dynamica van kosmologische inflatie}

We zullen ons nu gaan bezighouden met de vraag hoe kosmologische inflatie gerealiseerd kan worden: op welke manier kunnen de Friedmann vergelijkingen toegepast worden om inflatie, \ref{definflatie}, te bewerkstelligen? Een manier hadden we al gezien in de discussie van de kosmologische constante, waar we hadden geconcludeerd dat een energievorm met constante dichtheid $\rho_c$ en toestandsvergelijking $\rho = -p$ een heelal oplevert dat exponentieel uitdijt. Dit is echter niet de enige mogelijkheid om aan vergelijking X te voldoen. Als we de tweede Friedmannvergelijking beschouwen, zien we dat inflatie optreedt wanneer de rechterkant van deze vergelijking groter is dan nul; in termen van de toestandsvergelijking, betekent dit dat inflatie gevonden wordt voor alle materie of energie die de eigenschap $n < -\frac{1}{3}$ heeft. \newline
Zulke energie wordt in de klassieke natuurkunde niet gevonden. Echter, in de quantum mechanica zijn zulke energievormen wel degelijk te realiseren, door energie te beschrijven in termen van \emph{velden} in plaats van deeltjes. We zullen dan ook nu verder gaan met het definieren van een veld, en dit zodanig te construeren dat het een energiedichtheid en druk kent die voldoen aan een toestandsvergelijking waarin $n < -\frac{1}{3}$. Het is dan vervolgens aan experimentele natuurkunde om uit te maken of dit veld gemeten kan worden. \newline
Het model dat het meest gebruikt wordt, is dat van een scalarveld $\Phi(t)$ dat alleen afhankelijk is van de tijd en niet van de ruimte. Immers, het Kosmologisch Principe suggereert dat alle energie en materie homogeen en isotroop verdeeld dient te zijn, en de keuze voor een vector- of tensorveld is niet in overeenstemming met de eis van isotropie vanwege de rotatie-afhankelijkheid van zulke velden; verder zou een plaatsafhankelijkheid niet in overeenstemming zijn met de eis van homogeniteit.  Een scalarveld kent een Lagrangiaan-dichtheid gegeven door
\begin{equation}
\mathscr{L} = -\frac{1}{2}g^{\mu \nu} \Big(\partial_\mu \Phi(t) \Big) \Big(\partial_\nu \Phi(t) \Big)-V\Big(\Phi(t) \Big)
\end{equation}
 waar in het huidige geval, alle ruimtelijke afgeleiden geen bijdragen leveren. Bij elke Lagrangiaan-dichtheid hoort een actie $S$, gegeven door
 \begin{equation}
 S = \int d^3xdt \sqrt{-g} \mathscr{L}
 \end{equation}
waarin, zoals eerder beargumenteerd, $g$ de determinant is van de metriek; in het huidige geval gebruiken we de vlakke Robertson-Walker metriek, eq.X, en is de determinant daarom gegeven door
\begin{equation}
g = -a^6(t).
\end{equation}
Via de Euler-Lagrange vergelijkingen kunnen we nu de bewegingsvergelijking voor het scalarveld $\Phi(t)$ afleiden. Dit is een wat lange berekening, maar relatief eenvoudig aangezien het veld louter van de tijd afhangt, en het resultaat is dan ook snel gevonden. Het scalarveld $\Phi(t)$ evolueert in de tijd volgens de bewegingsvergelijking
\begin{equation}
\ddot{\Phi}(t)+3 \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \dot{\Phi}(t)+c^2 \partial_\Phi V\Big( \Phi(t) \Big) = 0 
\label{EOMinflaton}
\end{equation}
Merk op dat de details van de evolutie van het scalarveld afhangen van de potentiele energiedichtheid $V \big( \Phi(t) \big)$; de verschillende soorten modellen van kosmologische inflatie worden dan ook gekenmerkt door de keuze van deze grootheid. We zullen hier nog niet in detail op in gaan; in alles wat volgt zullen we geen aannames maken voor de vorm van $V \big( \Phi(t) \big)$, en dientengevolge blijven al onze volgende conclusies zo algemeen mogelijk. \newline
Elke Lagrangiaandichtheid leidt tot een energietensor op de volgende manier
\begin{equation}
T_{\mu \nu} = \Big( \partial_\mu \Phi \Big) \Big( \partial_\nu \Phi \Big) + g_{\mu \nu} \mathscr{L}
\end{equation}
Deze uitdrukking kunnen we gebruiken om de druk en dichtheid ten gevolge van het scalarveld berekenen. Hiertoe vullen we onze huidige Lagrangiaandichtheid en metriek in, en vergelijken we de resulterende energietensor met die van de Friedmann vloeistof, eq.X. De uitdrukkingen voor de dichtheid en druk kunnen dan direct worden afgelezen, en gevonden wordt dat deze gegeven zijn door
\begin{eqnarray}
\rho(t) &=& \frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)+V\big( \Phi(t) \big) \\
p(t) &=& \frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)-V\big( \Phi(t) \big) 
\end{eqnarray}
Merk op dat de eerste term gezien kan worden als de kinetische energiedichtheid van het scalarveld, en de tweede term als de potentiele energiedichtheid; de uitdrukking voor de dichtheid $\rho$ van de \emph{totale} energie klopt dan ook precies met wat we zouden verwachten\footnote{De uitdrukkingen voor de dichtheid en druk hadden ook gevonden kunnen worden door te \emph{gokken} dat $\rho$ deze vorm zou hebben, en daarna, zoals voorgedaan was in het vorige Hoofdstuk, de Friedmann vergelijkingen te gebruiken om de bijbehorende druk te vinden.}. \newline
\newline
We beschouwen nu een heelal dat, in zijn vroegste epochs, gevuld is met de gebruikelijke soorten energie: koude materie, straling, een kosmologische constante, en voegen nu  eveneens een inflaton veld toe. Al deze invloeden bepalen, via de Friedmann vergelijkingen, de mate waarin de schaalfactor evolueert in de tijd. Als de invloed van het inflaton veld het grootst is, zal het heelal een periode ingaan van exponentionele uitdijing. Het gevolg is dan, dat de andere invloeden vrijwel meteen verwaarloosd kunnen worden. Immers, de energiedichtheid en druk van een gebruikelijke vorm van energie en materie, is evenredig met de inverse van de schaalfactor tot een bepaalde macht (zie onze resultaten uit het vorige Hoofdstuk), en zullen daarom asymptotisch (en, voor typische inflatiemodellen, heel snel) naar nul gaan. Alle termen in de Friedmannvergelijkingen die evenredig zijn met druk en dichtheid kunnen we daarom negeren bij de beschrijving van het heelal in een inflationaire periode. Al met al is nu gevonden dat we het heelal in een inflatieperiode kunnen beschrijven door de Friedmann vergelijking met daarin louter de invloed van het inflaton veld gesubstitueerd, en, uiteraard, de bewegingsvergelijking voor dat inflaton veld, \ref{EOMinflaton}. De resulterende set bewegingsvergelijkingen noemen we de \emph{inflatie vergelijkingen} 
\begin{eqnarray}
\ddot{\Phi}(t)+3H(t) \Phi(t)+c^2\partial_\Phi V\big( \Phi(t) \big) = 0 \\
\label{eersteinflatievergelijking}
H^2(t) = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)+V \big( \Phi(t) \big)  \Big)
\label{tweedeinflatievergelijking}
\end{eqnarray}
Het doen van inflatiekosmologie kunnen we nu samenvatten als volgt: beargumenteer een vorm voor de potentiele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$, substitueer deze in de inflatie vergelijkingen, en los de resulterende set bewegingsvergelijkingen op om de expliciete vorm voor de schaalfactor $a(t)$ en het inflaton veld $\Phi(t)$ te vinden.  \newline\
Merk op dat het niet gegarandeerd is dat een gevonden oplossing $a(t), \Phi(t)$ inderdaad inflatie ($\dot{a}(t)>0, \ddot{a}(t) >0$) beschrijft, voor elke willekeurige vorm voor de potentiele energiedichtheid $V(\Phi(t))$. In de volgende sectie zullen we daarom criteria afleiden die, mits voldaan, inflatie zullen garanderen.

\section{De Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen}

Nu deze uitdrukkingen gevonden zijn, kunnen we ons buigen over de vraag op welke manier een scalarveld gebruikt kan worden om inflatie te realiseren. Dit is geen triviale vraag: we hadden al gezien dat inflatie volgt wanneer dichtheid en druk leiden tot een toestandsvergelijking met $n< -\frac{1}{3}$, maar beide grootheden hangen op een niet-triviale manier af van de waarde van het scalarveld $\Phi(t)$, welke zelf weer gedicteerd wordt door de bewegingsvergelijking \label{EOMinflatie}. Het is om deze reden dat men op dit moment vaak de \emph{aanname van langzame evolutie}\footnote{In het Engels: de \emph{Slow Roll Condition}.} maakt: aangenomen wordt dat het scalarveld heel langzaam evolueert in de tijd, zodanig dat we mogen aannemen dat de eerste termen in de uitdrukkingen voor de dichtheid en druk veel kleiner zijn dan de tweede termen (fysisch gezien betekent dit dat de kinetische energie van het veld veel kleiner is dan de potentiele energie). 
\begin{equation}
\frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t) << V\big( \Phi(t) \big)
\end{equation}
Er geldt dan dus
\begin{eqnarray}
\rho(t) &\approx& +V\big( \Phi(t) \big) \\
p(t) &\approx& -V\big( \Phi(t) \big)
\end{eqnarray}
Merk op dat, onder deze aanname, de toestandsvergelijking de waarde $n =  -1$ heeft gekregen, en dit voor alle keuzes voor de potentiele energie $V\big( \Phi(t) \big)$. In het vorige hoofdstuk hadden we al gezien dat deze waarde van $n$ leidt tot exponentiele expansie van het heelal, en zo is gevonden dat, onder de aanname van langzame evolutie, exponentiele inflatie gevonden wordt \emph{ongeacht de details van het model}. Het scalarveld zullen we in het vervolg dan ook aanduiden met de naam \emph{inflaton veld}; de deeltjes die we aan dit veld kunnen toekennen heten \emph{inflatonen}. \newline
We zullen verder aannemen dat $\ddot{\Phi}(t)$ veel kleiner is dan $3H\dot{\Phi}(t)$, zodat we de eerste term in \ref{eersteinflatievergelijking} kunnen verwaarlozen; fysisch betekent deze aanname dat we ervanuitgaan dat $\dot{\Phi}(t)$ maar heel langzaam van waarde verandert. Dit is een nodige voorwaarde, want het zegt effectief dat de kinetische energiedichtheid van het inflaton lang klein blijft, en daarmee voorkomt dat inflatie te snel ten einde komt. \newline
Onder deze aannames zien de Inflatie Vergelijkingen er eenvoudiger uit:
\begin{eqnarray}
3H(t)\dot{\Phi}(t)  + c^2\partial_\Phi V \big( \Phi(t) \big) &=& 0 \\
 H^2(t) - \frac{8 \pi G}{3c^2} V\left( \Phi(t) \right) &=& 0
\end{eqnarray}
Deze zullen we de \emph{Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen} (VIV) noemen. We zullen deze gaan oplossen dadelijk. Eerst zullen we twee belangrijke parameters afleiden die ons zeggen wanneer we deze aannames mogen gebruiken. Samengevat zeggen gelden de VIV alleen zolang aan
\begin{equation}
(i). \quad \frac{\frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)}{V\big(\Phi(t) \big)} << 1, \quad \quad \quad (ii). \quad \frac{\ddot{\Phi}(t)}{3H(t) \dot{\Phi}(t)} << 1
\end{equation}
voldaan is. Beide eisen kunnen worden herschreven met behulp van de twee VIV zelf, en zo in een vorm worden gegoten waarin alleen de potentiele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$ voorkomt. Dit maakt het makkelijk om voor een gegeven inflatiemodel snel te zien of de vereenvoudigde inflatievergelijkingen gebruikt mogen worden. \newline
De eerste eis kan worden herschreven als volgt
\begin{eqnarray}
\frac{\frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)}{V\big((\Phi(t) \big)} &=& \frac{1}{18H^2(t)} \frac{\big( \partial_\Phi V (\Phi(t) )\big)^2}{V(\Phi(t))} \nonumber \\
&=& \frac{1}{6} \frac{c^4}{8 \pi G} \left( \frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2 \quad << 1,
\end{eqnarray}
waar in de eerste stap de eerste VIV is gebruikt, en in de tweede stap de tweede. We definieren nu de inflatieparameter $\epsilon$ als volgt
\begin{equation}
\epsilon \equiv \frac{1}{6} \frac{c^4}{8 \pi G} \left( \frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2
\end{equation}
en zoals nu gebleken is, moet deze veel kleiner zijn dan $1$ om de eerste van de twee VIV te mogen gebruiken. De fysische interpretatie van de parameter $\epsilon$ is snel af te lezen: $\epsilon$ is een maat voor de steilheid van de functie $V(\Phi(t))$, en de eis dat deze parameter heel klein is, zegt dus dat we aannemen dat $V(\Phi(t))$ heel vlak is. De parameter heeft ook een heel andere betekenis, die we kunnen vinden door op te merken dat de VIV kunnen worden gebruikt om aan te tonen dat 
\begin{equation}
-\frac{\dot{H}(t)}{H^2(t)} = \frac{1}{3}\epsilon
\label{epscondition}
\end{equation}
Als $\epsilon << 1$ geldt dat de linkerkant van deze vergelijking veel kleiner is dan $1$. Dit is niks anders dan zeggen dat er inflatie aan de gang is, en dit kunnen we zien als volgt. De definitie van de Hubble constante, $H(t) \equiv \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$ zegt dat deze vergelijking geschreven kan worden als
\begin{equation}
1- \frac{\ddot{a(t)}a(t)}{\dot{a}^2(t)} = \frac{1}{3}\epsilon << 1 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \frac{\ddot{a}(t)a(t)}{\dot{a}^2(t)} >> 0.
\end{equation}
en de ongelijkheid garandeert dat $\ddot{a}(t) >> 0 $: versnelde uitdijing van het heelal. De conclusie is dan ook dat de eis $\epsilon << 1$ niet alleen betekent dat de Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen gebruikt mogen worden, maar ook \emph{dat inflatie gegarandeerd is}. De laatste opmerking verklaart de naam \emph{inflatieparameter}. \newline
De tweede eis (ii) kan eveneens worden herschreven
\begin{eqnarray}
\frac{\ddot{\Phi}(t)}{3H(t) \dot{\Phi}(t)} &=& -\frac{1}{9H^2(t)} \left( c^2 \partial^2_\Phi V(\Phi(t)) + 3 \dot{H}(t) \right) \nonumber \\
&=& -\frac{c^4}{24 \pi G} \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} + \frac{\epsilon}{9} \quad << 1,
\end{eqnarray}
waarin in de eerste stap de tijdsafgeleide van de eerste VIV is gebruikt, en in de tweede stap de tweede VIV is gebruikt samen met ref{epscondition}. Als we nu de eis op parameter $\epsilon$ gebruiken, $\epsilon << 1$, zien we dat de tweede term genegeerd kan worden; we definieren dan een parameter $\eta$ als volgt:
\begin{equation}
\eta \equiv -\frac{c^4}{24 \pi G} \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))}\end{equation}
en er is dan nu gebleken dat deze veel kleiner moet zijn dan $1$ om de tweede van de VIV te mogen gebruiken. De fysische interpretatie van de parameter $\eta$ is snel in te zien: $\eta$ is een maat voor de snelheid waarmee $V(\Phi(t))$ van steilheid verandert, en de eis dat deze parameter klein is zegt dat we aannemen dat $V(\Phi(t))$ lang vlak \emph{blijft}. \newline
Dit alles maakt dat we kunnen concluderen dat we de VIV kunnen gebruiken om inflatie te beschrijven voor elke keuze voor de potentiele energiedichtheid $V(\Phi(t))$, mits het maar een functie is die erg vlak is ($\epsilon << 1$) en langere tijd vlak blijft ($\eta <<1$). Deze eis \emph{garandeert} bovendien dat exponentiele inflatie het gevolg is.

\section{Een voorbeeld van een inflatiemodel}

We zullen nu de Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen oplossen voor een zeker geval. We zullen het geval beschouwen van een \emph{massief} inflatonveld, oftewel een quantumveld dat opgebouwd is uit deeltjes met massa $m$. Uit de veldentheorie is bekend\footnote{Please to put here Klein Gordon equation: it shows that this Lagrangian gives a KG equation that would also have been found if the energie equation would have been quantized } dat een tijdsafhankelijk scalarveld met een massa $m$ de volgende Lagrangiaandichtheid kent:
\begin{equation}
\mathscr{L} = -\frac{1}{2}\dot{\Phi}^2(t)-\frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t)
\end{equation}
waarin $\hbar$ de constante van Planck is. We kunnen hier aflezen dat de potentiele energiedichtheid $V(\Phi(t))$ van dit veld gegeven wordt door
\begin{equation}
V(\Phi(t)) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t)
\end{equation}
en de VIV nemen dan ook de volgende vorm aan:
\begin{eqnarray}
3H(t)\dot{\Phi}(t)+m^2 \left( \frac{c^4}{\hbar^2} \right)\Phi(t) &=& 0 \\
\label{VIV1model}
H^2(t) - \frac{8 \pi G}{6} \frac{m^2}{\hbar^2}\Phi(t) &=& 0
\label{VIV2model}
\end{eqnarray}
Dit zijn twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen: de oplossing van de een beinvloedt direct die van de ander, en vice versa. Het is vaak een hele uitdaging om zulke systemen van gekoppelde differentiaalvergelijkingen op te lossen, maar in dit geval blijkt het niet zo moeilijk te zijn. De truuk is om de afhankelijkheid van een vergelijking te gebruiken om die van de ander te elimineren. In dit geval kan dat als volgt: wanneer we de wortel nemen van de tweede VIV, vinden we een uitdrukking voor de Hubble constante $H(t)$,
\begin{equation}
H(t) = \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \frac{m}{\hbar} \Phi(t)
\end{equation}
(het $\pm$-teken is het gevolg van het nemen van een wortel; we zullen dadelijk uitmaken welk van de twee tekens gekozen dient te worden om inflatie correct te beschrijven), en deze constante kunnen we gebruiken om de eerste van de VIV onafhankelijk te maken van $H(t)$. Ingevuld in \ref{VIV1model} krijgen we namelijk nu een differentiaalvergelijking die alleen nog maar van $\Phi(t)$ afhangt:
\begin{equation}
\pm 3 \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi(t) \dot{\Phi}(t)+m^2 \frac{c^4}{\hbar^2}\Phi(t) = 0
\end{equation}
We kunnen vervolgens veilig $m \Phi(t)$ wegdelen aan beide kanten, en vinden dan:
\begin{equation}
\dot{\Phi}(t) \pm \frac{mc^4}{3\hbar} \sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}  = 0.
\end{equation}
De overgebleven differentiaalvergelijking is makkelijk op te lossen: we zijn op zoek naar een functie die, wanneer gedifferentieerd, een constante oplevert: een lineaire functie! De oplossing is dan ook
\begin{equation}
\Phi(t) = \Phi_0 \mp \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t
\end{equation}
Hierin is $\Phi_0$ een constante; het is duidelijk dat dit de waarde is van het inflatonveld op het begin van zijn tijdsevolutie (dus als $t=0$ ). \newline
We hebben nu een van de twee gezochte functies gevonden. De volgende stap is om een uitdrukking te vinden voor de schaalfactor $a(t)$. Dit kunnen we doen door de tweede VIV te gebruiken, en hierin ons gevonden antwoord voor het inflatonveld te substitueren. De VIV ziet er dan als volgt uit:
\begin{eqnarray}
H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} &=& \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \frac{m}{\hbar} \left( \Phi_0 \mp \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t   \right) \nonumber \\
&=& \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar} \Phi_0-\frac{m^2 c^4}{3 \hbar^2}t
\label{eq232}
\end{eqnarray}
We zijn nu op het punt aangekomen dat we een uitspraak kunnen doen over welk van de twee tekens te kiezen: het onderste of het bovenste teken van de $\pm$ of $\mp$. Willen we een \emph{uitdijjend} heelal beschrijven, dan zal per definitie moeten gelden dat $\dot{a}(t)>0$. Aan \ref{eq232} is te zien dat dit zeker niet het geval kan zijn als het onderste teken gekozen wordt, omdat dan voor alle tijdstippen volgt dat $H(t)<0$. We zullen daarom vanaf nu het bovenste teken kiezen. Merk op dat met deze keuze het nog steeds niet \emph{gegarandeerd} is dat $\dot{a}(t)>0$: de rechterkant van de vergelijking X kan nog altijd negatief zijn voor bepaalde tijden $t$. We zullen hier later op terugkomen; voor nu is het alleen van belang op te merken dat de gemaakte keuze in ieder geval de \emph{mogelijkheid} biedt om $\dot{a}(t) >0$ te vinden. \newline
We zullen nu proberen de differentiaalvergelijking \ref{eq232} op te lossen. Met de gemaakte keuze voor het teken, is de vergelijking te schrijven als:
\begin{equation}
\dot{a}(t) = \left(\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar} \Phi_0-\frac{m^2c^4}{3\hbar^2}t\right)a(t)
\label{EOMmodel}
\end{equation}
Het is bij deze iets moeilijker om direct in te zien hoe de oplossing gekozen moet worden. Toch kunnen we dit doen door stap voor stap te kijken hoe de oplossing er ongeveer uit zou moeten zien. Ten eerste is te zien dat de oplossing zodanig moet zijn, dat de afgeleide ervan ongeveer de functie zelf weer oplevert. Een e-macht lijkt voor de hand te liggen, maar is niet genoeg: de afgeleide moet namelijk ook nog een lineaire functie in $t$ opleveren! De exponent van de e-macht zou daarom een \emph{kwadraat} van een lineaire functie moeten zijn: via de kettingregel van differentieren geeft dit dan precies een lineaire functie terug. We gokken daarom ook de volgende oplossing:
\begin{equation}
a(t) = e^{-(\kappa+\lambda t)^2}
\end{equation}
en laten hierin de constanten $\kappa$ en $\lambda$ nog even vrij; we gaan nu op zoek naar waarden voor deze constanten zodanig dat de gegokte oplossing de VIV inderdaad oplost. Vul hiertoe deze gok in in \ref{EOMmodel}, en er wordt gevonden:
\begin{equation}
-2\kappa \lambda -2 \lambda^2 t =   \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar} \Phi_0-\frac{m^2c^4}{3\hbar^2}t
\end{equation}
We kunnen nu direct aflezen voor welke waarden van $\kappa$ en $\lambda$ deze vergelijking klopt: blijkbaar moeten we kiezen:
\begin{equation}
\kappa = \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2}\Phi_0 , \quad \quad \quad \lambda = \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}
\end{equation}
Hiermee is gevonden dat onze gegokte functie voor $a(t)$ inderdaad een oplossing is van de VIV \ref{EOMmodel}, mits wij de constanten $\kappa$ en $\lambda$ maar kiezen als bovenstaand. Hiermee hebben we dus de oplossing voor $a(t)$ gevonden, en tezamen met de gevonden uitdrukking voor het inflatonveld $\Phi(t)$ is het gehele probleem opgelost. De oplossing schrijven we hier nogmaals op:
\begin{eqnarray}
\Phi(t) &=& \Phi_0 - \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t \\
\label{inflatieoplossing1}
a(t) &=& e^{-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0 +  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2}
\label{inflatieoplossing2}
\end{eqnarray}
\newline
Tot zover de wiskunde; we zullen nu overgaan tot het fysisch interpreteren van deze functies. \newline
Wat de oplossing voor het inflatonveld betreft: we hebben nu gevonden dat deze daalt in de tijd. Maar daalt hij langzaam genoeg? We hadden immers gezien dat versnelde uitdijing volgt wanneer de functie $V(\Phi(t))$, hier $\Phi^2(t)$, een langzaam dalende functie in de tijd is. Is dat hier het geval? Verder zegt de oplossing voor de schaalfactor iets eigenaardigs: in de exponent van de e-macht zien we \emph{minus} een kwadraat staan, en dit betekent dat de schaalfactor \emph{krimpt} in de tijd! Dit zou een inkrimpend heelal betekenen, en zeker geen inflatie. Bovendien hadden we in de vorige sectie gezien dat de VIV altijd een exponentieel uitdijend heelal zouden moeten opleveren (dit wil zeggen: de exponent zou lineair moeten zijn, waar we hier een kwadratische exponent hebben gevonden). \newline
De reden dat we op deze vreemde resultaten uitkomen, is omdat we nog niet de twee voorwaarden voor het gebruik van de VIV hebben toegepast: $\epsilon << 1$ en $\eta << 1$. We mogen daarom niet verwachten dat de resultaten van het gebruik van de VIV hier gevonden zouden worden. We zullen daarom nu de twee voorwaarden voor het gebruik van de VIVs expliciet gebruiken om onze gevonden oplossing te herinterpreteren. \newline
Zoals we gezien hadden in de vorige sectie, is inflatie alleen gegarandeerd als de inflatieparameter $\epsilon$ veel kleiner is dan 1. We zullen daarom de definitie van de inflatieparameter invullen:
\begin{eqnarray}
\epsilon &\equiv& \frac{1}{6} \frac{3c^4}{8 \pi G} \left( \frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2 \nonumber \\
&=& \frac{c^4}{12 \pi G} \frac{1}{\Phi^2(t)} << 1
\end{eqnarray}
Als aan deze conditie is voldaan, is inflatie gegarandeerd. Wat de parameter $\eta$ betreft, deze blijkt in dit geval aan dezelfde conditie te moeten voldoen:
\begin{eqnarray}
\eta &\equiv& -\frac{c^4}{24 \pi G} \left( \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right) \nonumber \\
&=& -\frac{c^4}{12 \pi G} \frac{1}{\Phi^2(t)} \nonumber \\
&=& -\epsilon
\end{eqnarray}
Dit betekent dat als we kunnen aantonen dat een van de twee parameters, zeg: $\epsilon$, veel kleiner is dan $1$, de ander dat ook is. We zullen nu uitzoeken wanneer dit het geval is. Hiertoe vullen we de gevonden uitdrukking \ref{inflatieoplossing1} voor het inflatonveld in en nemen we de wortel van beide kanten. We vinden dan dat we de conditie kunnen schrijven als
\begin{equation}
t << \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0-\frac{\hbar}{mc^2}
\end{equation}
Dit levert een tijdslimiet op: alleen zolang er niet meer tijd verstreken is dan deze $t$, zal inflatie blijven aanhouden. Maar het zegt meer: als we aannemen dat inflatie nog niet tot dit tijdstip geduurd heeft, dan geldt eveneens dat
\begin{equation}
t << \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0
\label{eindconditie}
\end{equation}
Dit tijdstip noemen we $t_{eind}$: vanaf ongeveer dit tijdstip zal inflatie ophouden.
\begin{equation}
t_{eind} \equiv \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0
\label{teind}
\end{equation}
En dit kunnen we gebruiken om de oplossing voor de schaalfactor te herinterpreteren. Immers, de exponent van \ref{inflatieoplossing2} uitgeschreven levert op
\begin{equation}
-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0 +  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2 = -\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t-\frac{m^2c^4}{6\hbar^2}t^2
\end{equation}
De eerste term hiervan is een constante, en levert daarom slechts een extra factor op in de uitdrukking voor de schaalfactor. De twee andere termen zijn te vereenvoudigen met behulp van onze inflatievoorwaarde \ref{eindconditie}: deze zegt dat de laatste term veel kleiner is dan de middelste, en daarom verwaarloosd kan worden zolang $t << t_{eind}$. Het gevolg is dat de exponent vereenvoudigt tot:
\begin{equation}
-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0 +  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2 \approx -\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t
\end{equation}
Wanneer teruggesubstitueerd in de uitdrukking voor de schaalfactor, vinden we
\begin{equation}
a(t) = e^{-\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi_0^2} \cdot e^{+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t}
\label{schaalfactor}
\end{equation}
wat nu we degelijk een stijgende functie in de tijd is: inflatie! Zo zien we dat de VIV, inderdaad, precies het gedrag opleveren dat we in de vorige sectie al voorspeld hadden. \newline \newline
Om dit voorbeeld af te sluiten, zullen we de gevonden resultaten gebruiken om getallen toe te kennen aan ons model van het massieve inflatonveld. Hiertoe nemen we enkele waarden voor de grootheden $m$ en $\Phi_0$, zoals deze in de literatuur gebruikelijk zijn\footnote{Er zijn meerdere theoretische en experimentele redenen om aan te nemen dat deze waarden nodig zijn om ons huidige Heelal uit de inflatieperiode te doen komen, maar de afleiding hiervan is geavanceerd en wordt daarom in dit college overgeslagen.}:
\begin{equation}
m \approx 10^{13} \frac{GeV}{c^2} \approx 10^{-14} kg, \quad \quad \quad \quad \Phi_0 \approx 10^{23} \frac{\sqrt{m\cdot kg}}{s}
\end{equation}
Deze waarden ingevuld in de gevonden uitdrukking voor de tijdsduur $t_{eind}$, levert op dat inflatie ongeveer $t \approx 10^{-35}$ heeft geduurd. Dit is een onvoorstelbaar korte tijd, maar de expansie van het Heelal is desondanks enorm geweest. Dit kunnen we uitrekenen door de schaalfactor op het begin van inflatie (gegeven door \ref{schaalfactor}, met $t = 0$) te vergelijken met de waarde van de schaalfactor op het eind van inflatie (gegeven door \ref{inflatieoplossing2}; met de eindtijd $t_{eind}$ ingevuld is deze $a(eind) = e^0$). Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
\frac{a(eind)}{a(begin)} = e^{\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0} 
\end{equation}
Door van beide kanten de logaritme te nemen, en de waarden van $m$ en $\Phi_0$ in te vullen, wordt gevonden hoeveel e-machten groter het Heelal is geworden tijdens de inflatieperiode van ons model. Er wordt dan gevonden dat het Heelal een orde van tientallen e-machten groter is gegroeid. Dit is een gigantische expansie, in een enorm korte tijd: inflatie!

\section{Het afbreken van de inflatieperiode}

Het is niet wenselijk dat inflatie voor altijd doorgaat. Dit zou namelijk een heelal opleveren dat extreem leeg en ijl is, omdat alle materie en energie zou worden uitgesmeerd over een enorm groot (en altijd doorgroeiend) volume. Baryogenese, nucleosynthese, en recombinatie zouden nooit plaatsvinden, laat staan de vorming van sterren, planeten, en leven. Het feit dat wij bestaan is een duidelijk signaal dat kosmologische inflatie slechts een eindige hoeveelheid tijd heeft plaatsgevonden. Bovendien zou de expansiesnelheid onderhand een vrijwel oneindig grote waarde hebben aangenomen, en dat is duidelijk niet in overeenstemming met onze metingen. Het is dan ook zaak om een mechanisme te vinden waarmee de inflatieperiode werd gestopt. Ook moet dit mechanisme er zorg voor dragen dat, op het eind van de inflatieperiode, het heelal zich opnieuw gevuld heeft met fotonen zodat het stralingsgedomineerd is geworden, en zo aansluiting vindt bij het Standaard Model van de Kosmologie uit het vorige hoofdstuk. \newline
Deze twee voorwaarden kunnen beide in de inflatiemodellen worden opgenomen door gebruik te maken van de quantummechanische eigenschappen van het inflatonveld. De quantumvelden theorie leert ons dat elk veld een mate kent van interactie met andere quantumvelden, en dat deze interactie bepaalt hoe snel de quanta (deeltjes) van het ene veld over kunnen gaan in die van het andere veld. Het zou dan ook mogelijk moeten zijn om de dynamica van het inflaton veld $\Phi(t)$ zodanig uit te breiden, dat het in rekening neemt dat het inflaton veld vervalt naar nieuwe deeltjes die, via een of andere keten van vervalsprodukten, fotonen opleveren. Tijdens een inflatieperiode zal deze uitbreiding weinig uitmaken op de evolutie van het heelal: de gecreeerde fotonen vullen de Friedmann vergelijkingen weliswaar aan met een extra energiedichtheid en druk ten gevolge van straling, maar deze schalen met $a^{-4}$ en gaan daarom meteen naar nul tijdens een periode van extreme uitdijing. Fysisch betekent dit dat er weliswaar fotonen worden gecreeerd, maar dat deze worden uitgesmeerd over een extreem groot volume, en daarom een verwaarloosbare energiedichtheid hebben. Echter, als we een manier kunnen bedenken om de extreme expansie te stoppen, krijgt de omzetting van inflatonen naar fotonen een kans om groot genoeg te worden om de evolutie van het heelal te gaan domineren. Wanneer alle inflatonen zijn vervallen naar (uiteindelijk) fotonen, zal het heelal vanaf dat moment stralingsgedomineerd zijn. Het Standaard Model van de kosmologie uit het vorige hoofdstuk kan dan de evolutie overnemen. \newline
\newline
Het is niet eenvoudig om de quantumvelden theorie te gebruiken om het verval van inflatonen naar andere deeltjes te beschrijven; dit heeft er voornamelijk mee te maken dat er zeer weinig bekend is over het gedrag van quantumvelden in andere tijdruimten dan Minkowksi. Het is echter wel mogelijk een kwalitatieve beschrijving te geven, en dit zullen we dan ook nu gaan doen voor het meest conventionele model voor de overgang van inflatonen naar fotonen. \newline
In woorden zegt dit model het volgende: in de potentiele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$ van het inflaton veld bevindt zich ergens een diepe en steile dip. Wanneer het inflatonveld bij deze dip is aangekomen, zal het zijn potentiele energiedichtheid omzetten in kinetische energiedichtheid (op dezelfde manier als een knikker zijn potentiele energie omzet in kinetische energie wanneer die in een put rolt); er geldt dan niet meer dat de inflatieparameter $\epsilon$ veel kleiner is dan $1$ en inflatie houdt dan op. Omdat het heelal dan stopt met zijn extreem snelle uitdijing, zullen fotonen die vanaf dat moment worden gecreeerd uit het verval van het inflatonveld, niet meer worden uitgesmeerd over een enorm groot volume. De stralings energiedichtheid ten gevolge van fotonen heeft dan de kans om te groeien, en op den duur de dichtheid ten gevolge van het inflatonveld hebben over te nemen. Op dat moment is het heelal stralingsgedomineerd geworden, en kan het Standaard Model van de Kosmologie de beschrijving van de evolutie overnemen. Dit model staat bekend onder de naam \emph{Verhittingsfase}\footnote{Engels: \emph{Reheating Phase}. De pre-fix \emph{re-} is wat misleidend: het suggereert dat het Heelal al eens eerder verhit is geweest. Of dit het geval is, kan waarschijnlijk alleen worden beantwoord door een theorie van quantumzwaartekracht te kennen.} \newline
\newline
De dynamica van de verhittingsfase kan niet meer beschreven worden door de Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen, omdat tijdens deze fase niet meer geldt dat $\epsilon << 1$ en $\eta << 1$. We zullen dus terug moeten gaan naar de oorspronkelijke inflatievergelijkingen, \ref{eersteinflatievergelijking}, \ref{tweedeinflatievergelijking}. Deze voldoen echter ook nog niet helemaal, omdat ze geen rekening houden met de afname van het inflatonveld naar fotonen, of met het feit dat er een groeiende energiedichtheid is ten gevolge van straling. We kunnen dit alles echter met de hand inbouwen. Ten eerste zullen we aan de eerste inflatonvergelijking, \ref{eersteinflatievergelijking} een extra term moeten toevoegen, die de extra afname van inflaton veldsterkte beschrijft ten gevolge van het verval naar andere deeltjes. We zullen aannemen dat de afname van de veldsterkte goed beschreven wordt door een term evenredig met de tijdsafgeleide van de veldsterkte, zoals ook de wrijvingskracht op een knikker in een put wordt beschreven als evenredig met de snelheid van de knikker. Deze analogie is uiteraard geen \emph{bewijs} van de stelling dat het verval naar andere deeltjes beschreven wordt door een term evenredig aan $\dot{\Phi}(t)$; meer geavanceerde quantummechanische berekeningen wijzen echter uit dat het verval inderdaad door een term van deze vorm beschreven kan worden. We zullen daarom aan de eerste inflatievergelijking een term $\Gamma \dot{\Phi}(t)$ toevoegen, waarin $\Gamma$ een maat is voor de vervalssterkte van het inflaton veld:
\begin{equation}
\ddot{\Phi}(t)+\left( 3H(t)+\Gamma \right) \dot{\Phi}(t)+\partial_\Phi V(\Phi(t)) = 0.
\label{een}
\end{equation}
Ten tweede zal ook de tweede inflatievergelijking \ref{tweedeinflatievergelijking} aangepast moeten worden, omdat het nog geen rekening houdt met het feit dat, naarmate het inflatonveld meer en meer vervalt, er een groeiende energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$ zal zijn ten gevolge van straling; we zullen daarom met de hand deze dichtheid toevoegen.
\begin{equation}
H^2(t) = \frac{8 \pi G}{3c^2} \bigg( \rho_\Phi(t) + \rho_\gamma(t) \bigg).
\label{twee}
\end{equation}
Ook aan de tweede Friedmann vergelijking kennen we een druk en dichtheid ten gevolge van straling toe:
\begin{equation}
\left( \frac{\ddot{a}}{a}\right) = -\frac{4 \pi G}{3c^2} \bigg( \rho_\gamma(t)+3p_\gamma(t) + \rho_\Phi +3p_\Phi(t)  \bigg)
\label{drie}
\end{equation}
Dit kunnen we iets vereenvoudigen: we hadden immers al gezien dat de druk ten gevolge van straling gelijk is aan $\rho_\gamma/3$. Verder zullen de druk ten gevolge van het inflatonveld als volgt schrijven:
\begin{equation}
p_\Phi = n(t) \rho_\Phi.
\label{schrijfwijze}
\end{equation}
Tijdens de inflatie zelf was $n = -1$, maar tijdens de verhittingsfase weten we nog niet wat $n$ is. We weten zelfs niet of het een constante zal zijn, en om deze reden staat er nu nog een tijdsafhankelijkheid. De tweede Friedmann vergelijking ziet er nu als volgt uit:
\begin{equation}
\left( \frac{\ddot{a}}{a}\right) = -\frac{4 \pi G}{3c^2} \bigg( 2\rho_\gamma(t) + (3n(t)+1)\rho_\Phi(t)  \bigg)
\end{equation}
In principe zijn we nu klaar: vergelijkingen \ref{een}, \ref{twee}, \ref{drie} vertellen ons hoe het inflatonveld zijn energie omzet in fotonen, hoe het inflatonveld afneemt, en hoe de schaalfactor evolueert tijdens dit proces. In principe hoeven we nu alleen een vervalsmaat $\Gamma$, de vorm $V(\Phi(t))$ van de potentiaalput,  en een toestandsparameter $n(t)$ in te vullen, en deze vergelijkingen op te lossen; hiermee ligt de hele evolutie van het Verhittingsproces vast. 
\newline
Het is echter gebruikelijk om deze vergelijkingen te herschrijven in een vorm waarin het inflatonveld $\Phi(t)$ niet meer expliciet voorkomt, en in plaats daarvan de energiedichtheid $\rho_\Phi$ gebruikt wordt (dit is namelijk een inzichtelijker grootheid dan het veld). Deze herschrijving is niet zo moeilijk. Om de eerste van deze vergelijkingen te vinden, dient de tijdsafgeleide van $\rho_\Phi(t) = \frac{1}{2c^2} \dot{\Phi}^2(t)+V(\Phi(t))$ te worden genomen
\begin{equation}
\dot{\rho}_\Phi(t) = \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}(t) \ddot{\Phi}(t)+\dot{\Phi}(t) \partial_\Phi V(\Phi(t)),
\end{equation}
en te worden ingevuld in vergelijking \ref{een}; samen met het feit dat $\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}(t) = \rho_\Phi(t)+p_\Phi(t)$ en de schrijfwijze ref{schrijfwijze}, geeft dit precies vergelijking \ref{verhitting1}. Een tweede vergelijking kan worden gevonden door de eerste Friedmann vergelijking te differentieren naar de tijd, en dan de tweede Friedmann vergelijking te gebruiken om $\ddot{a}/a$ te elimineren. Het resultaat is
\begin{eqnarray}
\dot{\rho}_\Phi(t) &=& -\Big(3H(t)+\Gamma \Big)\Big(n(t)+1\Big)\rho_\Phi(t) \\
\label{verhitting1}
\dot{\rho}_\gamma(t) &=& -4H(t) \rho_\gamma(t)+\Gamma \Big(n(t)+1\Big)\rho_\Phi(t) \\
\label{verhitting2}
H^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \rho_\Phi(t)+\rho_\gamma(t) \Big)
\label{verhitting}
\end{eqnarray}
Deze set vergelijkingen heten de \emph{Verhittingsvergelijkingen}. In de volgende sectie zullen we deze vergelijkingen oplossen voor een speciale keuze van de functies $\Gamma$, $V(\Phi(t))$ en $n(t)$. \newline

\section{Een voorbeeld van de Verhittingsfase}

De Verhittingsvergelijkingen vormen een set van drie gekoppelde differentiaalvergelijkingen, en zijn in de regel moeilijk op te lossen. We zullen daarom een kunstgreep toepassen: we zullen aannemen dat het inflatonveld per oscillatie in de potentiaalput maar weinig energie overdraagt naar fotonen, en tegelijkertijd dat het Heelal maar weinig van grootte verandert tijdens een enkele oscillatie. Met andere woorden, we nemen aan dat de tijdschaal waarop de oscillaties plaatsvinden veel kleiner is dan de tijdschalen van het verval van het inflatonveld en de uitdijing van het Heelal. De eerste aanname legt een eis op de grootte van de functie $\Gamma$, de tweede aanname is waarschijnlijk goed te motiveren aangezien het Heelal zich tijdens de Verhittingsfase niet meer in een exponentieel uitdijende fase bevindt. Onder deze aannames, kunnen we de energiedichtheid van het inflatonveld per oscillatie als een constante nemen:
\begin{eqnarray}
\rho_\Phi &=& \frac{1}{2c^2}\dot{\Phi}^2(t)+V(\Phi(t)) \nonumber \\
&=& \rho_{max} = const.
\end{eqnarray}
Laat het nogmaals benadrukt zijn dat deze vergelijking alleen geldt \emph{per oscillatie}: elke volgende oscillatie zal $\rho_{max}$ een kleinere waarde hebben dan de oscillatie daarvoor. \newline
Onder deze aanname kunnen we de Verhittingsvergelijkingen vereenvoudigen: het zal namelijk blijken dat we nu de toestandsparameter $n(t)$ een waarde zullen kunnen toekennen wanneer we de functie $V(\Phi(t))$ toegewezen hebben, en dat deze waarde dan \emph{constant} zal blijken te zijn. Merk hiertoe op dat de toestandsparameter en de druk en dichtheid aan elkaar gerelateerd zijn via:
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{\rho_\Phi(t)+p_\Phi(t)}{\rho_\Phi(t)}
\label{nplus1}
\end{equation}
De aanname van de snelle oscillatie van het inflatonveld maakt dat we de teller en noemer kunnen vervangen door constante waardes, te weten hun \emph{gemiddelden} over een enkele oscillatie. Zo'n gemiddelde $<f(t)>$ definieren we als de integraal van alle waarden die een functie $f(t)$ aanneemt tijdens de oscillatie, gedeeld door de periodetijd $T$ van de oscillatie:
\begin{equation}
<f(t)> \quad \equiv \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt 
\end{equation}
Omdat we alle tijdsafhankelijkheid nu weg-integreren, zal de uitdrukking voor de toestandsparamater $n(t)$ een \emph{constante} opleveren; dit zal het oplossen van de Verhittingsvergelijkingen een stuk makkelijker maken! \newline
Alvorens dit te doen, zullen we eerst de tijdsgemiddelden van \ref{nplus1} moeten uitrekenen. Dit lijkt een probleem op te leveren: om deze integralen uit te rekenen, hebben we de functies $\rho_\Phi(t)$ en $p_\Phi(t)$ nodig, en die probeerden we nu juist uit te rekenen door de Verhittingsvergelijkingen op te lossen. Dit lijkt een impasse, maar is het niet: we kunnen de integralen over de tijd namelijk herschrijven naar integralen over het inflatonveld, en hiervan weten we wel degelijk iets: het inflatonveld oscilleert heen en weer tussen twee uiterste waarden 
\begin{equation}
\Phi_0 \equiv \Phi(t=0), \quad \quad \quad \Phi_{1/2} \equiv \Phi(t=\frac{T}{2}).
\end{equation}
waarbij de eerste de waarde is die het inflatonveld heeft wanneer het op het punt staat te beginnen met de oscillatie: het is de waarde van het inflatonveld wanneer het bovenaan de put is. De tweede is de waarde die het inflatonveld heeft wanneer het halverwege de oscillatie is: het is de waarde van het inflatonveld wanneer het op de bodem van de put is, en op het punt staat weer omhoog te klimmen. \newline
Het zal blijken dat we hieraan genoeg hebben om de integralen uit te rekenen. De gemiddelden kunnen als volgt worden herschreven
\begin{equation}
<f(t)> \quad \equiv \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{2}{T} \int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \frac{f(t)}{\dot{\Phi}(t)}d\Phi
\end{equation}
Via onze aanname dat de energiedichtheid van het veld als constante kan worden gezien tijdens een enkele oscillatie, volgt dat 
\begin{equation}
\rho_\Phi = \frac{1}{2c^2} \dot{\Phi}^2(t) + V(\Phi(t)) = \rho_{max} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \dot{\Phi}(t) = \pm \sqrt{2c^2 \Big( \rho_{max}-V(\Phi(t)) \Big)}
\end{equation}
en hiermee kunnen we het gemiddelde $<f(t)>$ schrijven als
\begin{equation}
<f(t)> =  \pm \frac{2}{T} \int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  f(t) \Big( 2c^2 \Big( \rho_{max}-V(\Phi(t)) \Big) \Big)^{-1/2}  d\Phi.
\end{equation}
Dit is een handige uitdrukking. Door nu de algemene uitdrukkingen voor de energiedichtheid en druk ten gevolge van het inflatonveld in te vullen, wordt gevonden dat de teller en noemer van \ref{nplus1} geschreven kunnen worden als
\begin{eqnarray}
< \Big( \rho_\Phi(t) + p_\Phi(t) \Big) > &=& \pm \frac{2}{T} \sqrt{2c^2\rho_{max}}\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big(1-\frac{V(\Phi(t))}{\rho_{max}} \Big)^{1/2} d\Phi \\
< \rho_\Phi(t) > &=&  \pm \frac{2}{T} \sqrt{\frac{\rho_{max}}{{2c^2}}} \int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \Big(1-\frac{V(\Phi(t))}{\rho_{max}} \Big)^{-1/2} d\Phi
\end{eqnarray}
De toestandsparameter $n(t)$ is dan nu gevonden:
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{2c^2\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \Big( 1- \frac{V(\Phi)}{\rho_{max}} \Big)^{1/2}d\Phi}{\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{V(\Phi)}{\rho_{max}} \Big)^{-1/2}d\Phi}
\label{nplus1uitkomst}
\end{equation}
Het enige wat nu gedaan hoeft te worden, is invullen wat de vorm $V(\Phi(t))$ is van de potentiaalput waarin het inflatonveld oscilleert, en de waarden $\Phi_0$ en $\Phi_{1/2}$ die het inflatonveld heeft op het laagste punt van de put en het hoogste punt van de put. \newline
\newline
We zullen nu een specifieke put nemen, en de toestandsparameter uitrekenen. Als dat gedaan is, is het oplossen van de Verhittingsvergelijkingen nog maar een kleine stap. In navolging van het uitgewerkte voorbeeld van het inflatiemodel, zullen we het geval beschouwen van een massief inflatonveld. Zoals we al gezien hadden, hoort hier de volgende potentiele energiedichtheid bij:
\begin{equation}
V(\Phi(t)) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t)
\label{put}
\end{equation}
waar $m$ de massa is van de inflatondeeltjes. Deze functie definieert de put als een parabool, met het laagste punt bij $\Phi = 0$. Het is dan makkelijk in te zien dat onderaan deze put, de waarde van het inflatonveld gelijk is aan nul:
\begin{equation}
\Phi_{1/2} = 0.
\end{equation}
Om de waarde van $\Phi_0$ te bepalen, hoeven we alleen te bedenken dat als het inflaton net op het punt staat met de oscillatie te beginnen, het nog geen kinetische energiedichtheid heeft: $\dot{\Phi} = 0$, en als gevolg hiervan is de totale energiedichtheid gelijk aan louter de potentiele energiedichtheid:
\begin{equation}
\rho_\Phi = V(\Phi) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2_0
\end{equation}
We hadden aangenomen dat de totale energiedichtheid constant was gedurende een enkele oscillatie, $\rho_\Phi = \rho_{max}$, en zo volgt dat de waarde van het inflatonveld op het hoogste punt van de put gegeven wordt door:
\begin{equation}
\Phi_0 = \pm \sqrt{\frac{2 \rho_{max}}{m^2} \left( \frac{\hbar}{c}\right)^2}.
\end{equation}
We kunnen nu de integralen in de teller en de noemer van \ref{nplus1uitkomst} evalueren. Wanneer we de potentiaalput \ref{put} invullen, wordt de noemer:
\begin{eqnarray}
\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{1}{\rho_{max}}\frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2 \Big)^{-1/2}d\Phi 
\end{eqnarray}
Om onze notatie iets te vergemakkelijken, zullen we een variabele $x$ introduceren:
\begin{equation}
x \equiv \frac{m}{\sqrt{2 \rho_{max}}} \left( \frac{c}{\hbar} \right) \Phi
\end{equation}
De integraal ziet er dan al heel wat vriendelijker uit:
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{-1/2}dx
\end{equation}
Deze kunnen we direct oplossen door gebruik te maken van een standaardintegraal, en er wordt gevonden
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{-1/2}dx = -\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \arcsin (1)
\end{equation}
Hierbij hebben we gebruik gemaakt van de integraal $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin (x)$, waar de functie $y = \arcsin (x)$ de oplossing is van de vergelijking $\sin y = x$, en het feit dat de $\arcsin$ van nul gelijk is aan nul. \newline
De integraal van de teller van \ref{nplus1uitkomst} wordt:
\begin{eqnarray}
\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{1}{\rho_{max}}\frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2 \Big)^{1/2}d\Phi
\end{eqnarray}
Ook nu kunnen we de notatie iets vergemakkelijken door de variabele $x$ te introduceren, waardoor de integraal er weer heel wat vriendelijker uitziet:
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{1/2}dx
\end{equation}
Deze kunnen we nu oplossen door gebruik te maken van $\int (1-x^2)^{1/2}dx= \frac{1}{2}\{\arcsin(x)+x\sqrt{1-x^2}\}$. Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{1/2}dx = -\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \frac{1}{2} \arcsin(1)
\end{equation}
Nu de teller en noemer gevonden zijn, volgt de waarde van de toestandsparameter $n$ direct:
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{-2\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \frac{1}{2} \arcsin(1)}{-\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \arcsin (1)} = 1 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad n(t) =0.
\end{equation}
Na deze lange wiskundige verhandeling kunnen we terug naar de fysica. We hebben nu gevonden dat de inflatondeeltjes zich, tijdens de verhittingsfase, gedragen als een drukloos gas. Dit is precies wat we in het vorige hoofdstuk hadden bestempeld als koude materie: $n = 0$! Merk verder op dat de gevonden waarde van $n$ niet afhangt van de amplitude van de oscillatie; dit betekent fysisch dat we deze $n$ mogen blijven gebruiken voor elke oscillatie, ondanks het feit dat elke volgende oscillatie een kleinere amplitude kent. \newline
\newline
Met deze kennis, $n = 0$, vereenvoudigen de Verhittingsvergelijkingen tot de volgende vorm:
\begin{eqnarray}
\dot{\rho}_\Phi(t) &=& -\Big(3H(t)+\Gamma \Big)\rho_\Phi(t) \\
\label{een0}
\dot{\rho}_\gamma(t) &=& -4H(t) \rho_\gamma(t)+\Gamma \rho_\Phi(t) \\
\label{twee0}
H^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \rho_\Phi(t)+\rho_\gamma(t) \Big)
\label{drie0}
\end{eqnarray}
Deze zullen we nu moeten oplossen. Een strategie is als volgt: we zullen een vorm voor de Hubble constante $H(t)$ gokken, en invullen in de eerste van deze Verhittingsvergelijkingen. Dit geeft dan een differentiaalvergelijking voor $\rho_\Phi$ die op dat moment ontkoppeld is van de andere twee vergelijkingen en daarom onafhankelijk opgelost kan worden. Als deze opgelost is, kunnen we de oplossing $\Phi(t)$ en onze aanname voor $H(t)$ gebruiken in de derde Verhittingsvergelijking; dit geeft dan een algebraische vergelijking voor de energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$, zodat $\rho_\gamma(t)$ direct volgt. Alledrie de functies zijn dan gevonden, maar aangezien ze pas een oplossing vormen wanneer ze aan alledrie de differentiaalvergelijkingen voldoen, zullen we de functies nog in de tweede Verhittingsvergelijking moeten stoppen om te controleren of ook deze dan klopt. Zo ja, dan is onze oplossing helemaal correct; zo niet, dan is onze aanvankelijke gok voor de Hubble constante niet de juiste geweest, en zullen we een nieuwe poging moeten doen. \newline
Wat zou een goede aanname voor $H(t)$ zijn? Fysisch kunnen we ons de volgende voorstelling maken: op het begin van de verhittingsfase is de enige significante vorm van energiedichtheid die van het inflatonveld, waarvan we gezien hebben dat deze zich gedraagt als koude materie: hierbij hoort, volgens onze berekeningen, een Hubble constante gelijk aan $H(t) = \frac{2}{3t}$. Daarna wordt het inflatonveld omgezet in fotonen, zodat na verloop van tijd de energiedichtheid ten gevolge van straling gaat domineren over die ten gevolge van inflatonen; deze dichtheid kent een Hubble constante gelijk aan $H(t)= \frac{1}{2t}$. Al met al ligt het dan ook voor de hand om een functie $H(t)$ te gokken die voor kleine $t$ gelijk is aan $H(t) = \frac{2}{3t}$, en voor groeiende $t$ steeds meer gaat lijken op $H(t) = \frac{1}{2t}$. Er zijn in principe vele, vele functies te vinden die aan deze eis voldoen, waarvan de volgende een aantal voorbeelden zijn:
\begin{eqnarray}
H(t) &=& \frac{1}{t} \Big( \frac{1}{2}+\frac{1}{6} e^{-\alpha t}\Big) \nonumber \\
H(t) &=& \cdots
\end{eqnarray}
In principe zouden we nu elk van deze functies kunnen proberen in te vullen, en dan (hopelijk) uitvinden of de correcte functie erbij zit. Dit blijkt, in ieder geval voor deze paar functies, niet het geval te zijn. Een oplossing van de inflatievergelijkingen is dan ook nog niet gevonden, en we weten dan ook nog steeds niet wat het tijdsverloop is  van de energiedichtheden $\rho_\Phi$, $\rho_\gamma$ en van de schaalfactor $a(t)$. Maar goed beschouwd zijn we eigenlijk niet zo geinteresseerd in die gedetailleerde tijdsevolutie; eigenlijk zijn we alleen maar geinteresseerd of ons model de juiste hoeveelheid fotonen kan opleveren, opdat het Standaard Model van de Kosmologie de evolutie van het Heelal kan overnemen. Om deze vraag naar tevredenheid te beantwoorden hoeven we de Verhittingsvergelijkingen \ref{een0}, \ref{twee0}, \ref{drie0} alleen maar \emph{bij benadering} op te lossen. Dit is een stuk makkelijker dan de complete oplossing vinden, en dit zullen we dan ook nu gaan doen. \newline
\newline
De strategie is als volgt. We zullen het probleem opsplitsen in twee stukken: eerst bekijken we de tijdsevolutie op het \emph{begin} van de verhittingsfase, oftewel in het tijdsdomein waarin het inflatonveld nog de meest dominante energiedichtheid heeft, en hiervoor benaderde oplossingen opschrijven. Daarna zullen we de tijdsevolutie beschouwen op het \emph{eind} van de Verhittingsfase, oftewel het tijdsdomein waarin de fotonen de meest dominante energiedichtheid hebben, en daarvoor benaderde oplossingen opschrijven; en passant vinden we daarbij een waarde voor het tijdstip $t_{omslag}$ waarin de energiedichtheid ten gevolge van fotonen het overneemt van de energiedichtheid ten gevolge van fotonen. De gevonden oplossingen zullen een aantal vrije constanten bevatten; deze zullen we waardes toekennen door te eisen dat de oplossingen uit de twee verschillende tijdsdomeinen in elkaar overgaan rond het moment $t_{omslag}$. Op deze manier worden functies $\rho_{\Phi}$, $\rho_{\gamma}$ en $a(t)$ gevonden, die bij benadering de Verhittingsvergelijkingen oplossen. \newline
\newline
We beginnen bij het tijdsdomein waarin de energiedichtheid ten gevolge van de inflatonen veel groter is dan die ten gevolge van fotonen, oftewel we nemen aan
\begin{equation}
\rho_\Phi >> \rho_{\gamma}.
\end{equation}
In dit regime, geldt dat de Hubble constante gegeven wordt door $H(t) = \frac{2}{3t}$, en zo volgt dat de derde Verhittingsvergelijking de volgende vorm aanneemt:
\begin{equation}
\frac{4}{9t^2} = \frac{8 \pi G}{3 c^2}\rho_\Phi
\end{equation}
en hieruit volgt direct een uitdrukking voor de energiedichtheid ten gevolge van het inflatonveld
\begin{equation}
\rho_\Phi(t) = \frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2}
\label{oplossingrho}
\end{equation}
Dit kunnen we nu substitueren in de eerste Verhittingsvergelijking, om te controleren of deze dan ook is opgelost. Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
-\frac{8}{9t^2} \frac{3c^2}{8 \pi G} = -\Big( \frac{2}{t} + \Gamma \Big) \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2}
\end{equation}
Dit kan alleen waar zijn, wanneer geldt dat
\begin{equation}
\Gamma << \frac{2}{t}
\label{alleenwaar}
\end{equation}
Dit vertelt ons dat we onze oplossing \ref{oplossingrho} alleen mogen gebruiken voor tijdstippen kleiner dan $t \propto \Gamma^{-1}$; dit komt overeen met wat we zouden verwachten: immers, als het inflatonveld snel zou vervallen naar fotonen (oftewel: $\Gamma$ groot), dan breekt al snel het moment aan (oftewel: $t = \Gamma^{-1}$) waarop de energiedichtheid $\rho_\Phi$ niet meer groter is dan $\rho_\gamma$. \newline
De gevonden uitdrukking voor $\rho_\Phi$ kan nu worden ingevuld in de tweede Verhittingsvergelijking, en dit levert een differentiaalvergelijking op voor de energiedichtheid $\rho_\gamma$ ten gevolge van fotonen:
\begin{equation}
\dot{\rho}_{\gamma}(t)= -\frac{8}{3t}\rho_\gamma+\Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2}
\end{equation}
Deze is niet moeilijk om op te lossen, en de oplossing wordt gegeven door
\begin{equation}
\rho_\gamma(t) = \frac{1}{t^2} \Big( \frac{\rho_{\gamma<}}{t^{2/3}}+\frac{12t}{45} \frac{3c^2}{8 \pi G} \Gamma t \Big)
\label{oplossingrho}
\end{equation}
Hierin is $\rho_{\gamma<}$ een constante, die vrij mag worden ingevuld. We zullen deze nu een waarde toekennen met behulp van een fysisch argument: we hadden al gezien dat tijdens de inflatieperiode alle energiedichtheid ten geolge van normale materie en straling naar nul is gegaan, als gevolg van de enorme expansie van het volume waarin deze energievormen opgesloten waren. We kunnen daarom eisen dat op het begin van de Verhittingsfase (dit wil zeggen: op het eind van inflatie) de energiedichtheid $\rho_{\gamma}$ gelijk dient te zijn aan nul. Inflatie hield op op het moment $t_{eind}$, gegeven in \ref{teind}; wanneer dit wordt ingevuld in \ref{oplossingrho} en geeist wordt dat de uitkomst nul is, wordt de constante $\rho_{\gamma<}$ gevonden:
\begin{equation}
\rho_{\gamma<} = -\frac{12}{45} \Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G} \Bigg( \frac{3 \hbar}{mc^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \Phi_0 \Bigg)^{5/3}
\end{equation}
Hiermee is de complete oplossing bekend! Alles bij elkaar genomen kunnen we nu concluderen: op het begin van de verhittingsfase worden $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma(t)$ gegeven door
\begin{eqnarray}
H(t) &=& \frac{2}{3t} \\
\label{oplossingvroeg1}
\rho_\Phi(t) &=& \frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2} \\
\label{oplossingvroeg2}
\rho_\gamma(t) &=& \frac{1}{t^2} \Bigg( - \frac{12}{45} \Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G} \Big( \frac{3 \hbar}{mc^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \Phi_0 \Big)^{5/3} \frac{1}{t^{2/3}}+\frac{12t}{45} \frac{3c^2}{8 \pi G} \Gamma t \Bigg)
\label{oplossingvroeg3}
\end{eqnarray}
Deze oplossing geldt alleen in het tijdsdomein $t << \Gamma^{-1}$. \newline
\newline
We zullen nu de Verhittingsvergelijkingen oplossen in het tijdsdomein waarin de fotonendichtheid veel groter is geworden dan de dichtheid ten gevolge van inflatonen, oftewel we nemen aan
\begin{equation}
\rho_\gamma >> \rho_\Phi
\label{gammagroterphi}
\end{equation}
In dit regime geldt dat de Hubble constante gegeven wordt door $H(t) = \frac{1}{2t}$, en zo neemt de derde Verhittingsvergelijking de volgende vorm aan:
\begin{equation}
\frac{1}{4t^2}=\frac{8 \pi G}{3c^2} \rho_\gamma
\end{equation}
waaruit direct een uitdrukking volgt voor de energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$
\begin{equation}
\rho_\gamma(t) = \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2}
\end{equation}
Verder maakt de uitdrukking voor de Hubble constante dat de eerste Verhittingsvergelijking de volgende vorm aanneemt
\begin{equation}
\dot{\rho}_\Phi(t) = -\Big( \frac{3}{2t}+\Gamma \Big) \rho_\Phi(t)
\end{equation}
De oplossing voor deze differentiaalvergelijking is makkelijk te vinden, en is
\begin{equation}
\rho_\Phi(t) = \frac{\rho_{\Phi>}}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t}
\end{equation}
Hierin is $\rho_{\Phi>}$ een constante, die vrij is in te vullen. We zullen er een waarde aan toekennen door middel van een fysisch argument. Het argument is dat van \emph{continuiteit}: we zullen eisen dat onze gevonden oplossingen voor de energiedichtheden $\rho_\Phi$ in de twee tijdsdomeinen, netjes op elkaar aansluiten rond het moment $t_<$ dat het Heelal ophoudt met inflatongedomineerd te zijn. Dit komt er op neer dat we eisen dat aan de volgende vergelijking is voldaan
\begin{equation}
\frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t_<^2} =  \frac{\rho_{\Phi>}}{t_<^{3/2}} e^{-\Gamma t_<}.
\label{continuiteit}
\end{equation}
Merk op dat we hier een beetje smokkelen. Immers, aan de linkerkant staat de uitdrukking voor $\rho_\Phi$ die gevonden is voor het tijdsdomein waarin geldt $\rho_\gamma << \rho_\Phi$, terwijl de rechterkant de uitdrukking is voor $\rho_\Phi$die  gevonden is voor het tijdsdomein waarin geldt $\rho_\gamma >> \rho_\Phi$. Nu hadden we al gezien dat de linkerkant gebruikt mag worden mits $t < t_<$, en we zullen nog aantonen dat de rechterkant gebruikt mag worden mits $t > t_>$, waar $t_>$ een nog nader te bepalen waarde heeft. Het is dan ook duidelijk dat bovenstaande eis alleen gesteld mag worden wanneer $t_<$ en $t_>$ niet te ver uit elkaar liggen. Het is zeker niet gegarandeerd dat dit het geval zal zijn, en we zullen dat op het eind dus expliciet moeten checken; als dit het geval is, kunnen we deze twee tijdstippen als een enkel tijdstip beschouwen, en zullen deze de naam $t_{omslag}$ geven. Voor nu nemen we aan dat dit wel degelijk het geval is, en dan levert \ref{continuiteit} de volgende uitdrukking op voor de constante $\rho_{\Phi>}$:
\begin{equation}
\rho_{\Phi>} = \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9} e^{\Gamma t_{omslag}} \frac{1}{\sqrt{t_{omslag}}}
\label{laatste}
\end{equation}
Tenslotte zullen we onderzoeken vanaf welk moment de gevonden uitdrukken toegepast mogen worden. Welnu, dit is wanneer aan \ref{gammagroterphi} voldaan is, oftewel wanneer er geldt
\begin{equation}
\frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2} >> \frac{\rho_{\Phi>}}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t}
\label{2101}
\end{equation}
Dit levert ons een tijdstip $t_>$ op waarna de gevonden uitdrukkingen mogen worden gebruikt. Helaas is het niet mogelijk om $t_>$ in een formule uit te drukken, maar gegeven waarden voor alle constanten in \ref{2101} kan er wel een \emph{numerieke} waarde aan $t_>$toegekend worden; zoals al aangegeven is de hoop dat deze niet te ver uit de buurt van $t_<$ ligt. \newline
Hiermee is de totale oplossing bekend! We kunnen nu concluderen dat op het eind van de Verhittingsfase de functies $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma(t)$ gegeven worden door
\begin{eqnarray}
H(t) &=& \frac{1}{2t} \\
\label{oplossinglaat1}
\rho_\Phi(t) &=& \Big( \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9} e^{\Gamma t_<} \frac{1}{\sqrt{t_<}} \Big) \frac{1}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t} \\
\label{oplossinglaat2}
\rho_\gamma(t) &=& \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2} \\
\label{oplossinglaat3}
\end{eqnarray}
Hiermee is onze analyse afgerond! We hebben nu twee sets oplossingen gevonden voor de functies $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma$, waarvan er een geldig is in het eerste (inflatongedomineerde) deel van de Verhittingsfase, en er een geldig is in het tweede (fotongedomineerde) deel. We hebben er daarbij zorg voor gedragen dat het eerste deel netjes aansluit op de waarden van $\rho_\Phi$ en $\rho_\gamma$ die gelden op het eind van de inflatieperiode, en dat het tweede deel netjes aansluit op het eerste deel. Verder hebben we uitgezocht wanneer het omslagpunt plaatsvindt, en gevonden dat de eerste set oplossingen gebruikt mag worden zolang $t<t_<$, en de tweede set oplossingen gebruikt mag worden wanneer $t>t_>$. We zullen nu getallen toekennen aan onze uitkomsten, om te zien hoelang de Verhitting ongeveer heeft geduurd, en om te checken of $t_<$ en $t_>$ inderdaad netjes dicht op elkaar aansluiten. \newline
\newline
We zullen ons voorbeeld voorzetten, en wederom aannemen dat de massa $m$ van het inflaton en de constante $\Phi_0$ de volgende waarden hebben:
\begin{equation}
m \approx 10^{13} \cdot \frac{GeV}{c^2} \approx 10^{-14} kg, \quad \quad \quad \quad \Phi_0 \approx 10^{23} \cdot \frac{\sqrt{m\cdot kg}}{s}
\end{equation}
Verder zullen we een waarde moeten hebben voor de vervalsconstante $\Gamma$. Deze zullen we nemen als
\begin{equation}
\Gamma \approx 10^{32} \cdot 1/s
\end{equation}
Waar komt deze waarde vandaan? Goed beschouwd is het een gok, een aanname. De constante $\Gamma$ hebben we geintroduceerd als een maat voor de snelheid waarmee inflatonen vervallen (via een of andere keten van deeltjes) naar fotonen, maar aangezien er weinig bekend is over de manier waarop inflatonen gekoppeld zijn aan andere deeltjes, is het voor een deel speculatie met welke snelheid het verval plaatsvindt. Er is echter een vuistregel in de quantumveldentheorie, welke zegt dat hoe zwaarder een deeltje is, hoe eerder het zal vervallen naar andere deeltjes. Een goede eerste gok zou dan ook zijn dat $\Gamma$ evenredig is met $m$. Beide kanten van deze vergelijking hebben nog niet dezelfde eenheden, maar dat kan worden opgelapt door strategisch de natuurconstanten $c$ en $\hbar$ toe te voegen. Op deze manier wordt gevonden:
\begin{equation}
\Gamma \propto \frac{m c^2}{\hbar}
\end{equation}
(beide kanten hebben nu de eenheid $1/s$). Deze simpele redenering geeft een antwoord dat aardig klopt met de uitkomsten bekend van berekeningen uit de quantumveldentheorie; daar blijkt echter dat er nog een aantal numerieke constanten meespelen, die de uiteindelijke waarde een paar ordes van grootte kleiner maken (afhankelijk van de soort interactie tussen het inflatonveld en zijn vervalsprodukten). Wanneer we nu de waarde van de massa van het inflaton invullen, en enigszins arbitrair wat ordes van grootte afsnoepen, dan blijkt de waarde $\Gamma \approx 10^{32}$ een redelijke aanname te zijn. \newline
Nu alle constanten waarden toegekend hebben gekregen, kunnen we uitrekenen wat de waarde is van de tijdstippen $t_<$ en $t_>$. De eerste waarde wordt gevonden door \ref{alleenwaar} op te lossen, en de tweede waarde door \ref{2101} op te lossen. Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
t_< \approx 10^{-32} \cdot s, \quad \quad \quad \quad t_> \approx 10^{-32} \cdot s,
\end{equation}
oftewel, de twee waarden zijn (voor zover onze benaderingen in staat zijn een verschil te tonen) hetzelfde: deze overeenkomstige waarde noemen we het omslagpunt $t_{omslag}$: na dit tijdstip heeft het inflatonveld zoveel energie overgedragen naar fotonen, dat het Heelal stralingsgedomineerd is geworden. De constante $\rho_{\Phi>}$ ligt hiermee ook vast, via \ref{laatste};
\begin{equation}
\rho_{\Phi>} \approx 10^{42} \cdot \frac{kg}{m \sqrt{s}}
\end{equation}
Hiermee zijn alle constanten bepaald, en ligt de evolutie van de Verhittingsfase geheel vast: het gedrag in de tijd van de functies $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$, en $\rho_\gamma(t)$ kunnen we nu plotten. Voor alle tijdstippen tussen het eind van inflatie, $t_{eind}$, en het omslagpunt $t_{omslag}$ gebruiken we hiervoor vergelijkingen \ref{oplossingvroeg1}, \ref{oplossingvroeg2}, \ref{oplossingvroeg3} en voor de tijdstippen na het omslagpunt gebruiken we \ref{oplossinglaat1}, \ref{oplossinglaat2}, \ref{oplossinglaat3}. Op dat moment is het Heelal stralingsgedomineerd geworden, en kan het Standaardmodel van de Kosmologie de evolutie overnemen. Het omslagpunt $t_{omslag}$ is daarmee ook het punt geworden waarop de Verhittingsfase ten einde is geraakt: Verhitting duurt in ons model niet langer dan $10^{-32}$ seconde.\newline


\end{document}