Het quantum universum

door

Prof.dr Johannes F.J. van den Brand Drs. Gideon Koekoek

Afdeling Natuurkunde en Sterrenkunde Faculteit der Exacte Wetenschappen

Vrije Universiteit Amsterdam en

Nationaal instituut voor subatomaire fysica

2

Contents

1 Inleiding 6

2 Klassieke mechanica 9 2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Galileo Galileï en het relativiteitsprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 De wetten van Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Dopplereffect en gravitationele roodverschuiving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Satellieten en equivalentieprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6 Zwarte gaten en afbuiging van licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7 Gravitatie en getijdenkrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8 Newtoniaanse mechanica en het formalisme van Lagrange . . . . . . . . . . . . . 21 2.9 Het principe van Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Quantumfysische verschijnselen in het universum 25 3.1 Stervorming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Energiehuishouding in sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Nucleosynthese in sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Standaard zonnemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5 Witte dwergen, supernovae en neutronensterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6 Neutrino astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.7 Neutrino oscillaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.8 Kosmische straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Wiskunde I - Differentiaaltopologie 52 4.1 Puntgebeurtenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 Differentieerbare variëteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Ruimtetijd van de ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4 Coördinatentransformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5 Geometrische objecten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.1 Puntgebeurtenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.2 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.3 Scalairveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5.4 Vectorveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.5 Lineaire functionaal, 1-vorm of covectorveld . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5.6 Algemene tensorvelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6 Metrische tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 De speciale relativiteitstheorie 75 5.1 Historische introductie en Einstein’s postulaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Het minkowskilijnelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.4 Lorentzcontractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5 De lorentztransformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.6 Invariantie van de lichtsnelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.7 Verlies van universele definitie van tijd en gelijktijdigheid . . . . . . . . . . . . . . 87 5.8 Ruimtetijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.9 Ruimtetijddiagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.10 Relativistisch Dopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.11 Relativistische mechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.12 De extra traagheid van druk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.13 De energie-impuls tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6 Wiskunde II - Curvelineaire coördinaten 102 6.1 Vectoren en 1-vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2 Tensorcalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.3 Christoffelsymbolen en de metriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3.1 Berekenen van de christoffelsymbolen uit de metriek . . . . . . . . . . . . 110

7 De algemene relativiteitstheorie 112 7.1 Pseudo-riemannse variëteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.2 Tensoren en covariante afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.3 Geodeten en kromming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.4 Kromming en de riemanntensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.5 Newtoniaanse beschrijving van getijdenkrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.6 De einsteinvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.7 Zwakke gravitatievelden en de newtoniaanse limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.8 De zwakke-veld limiet van de einsteinvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.9 De kosmologische constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.10 Alternatieve relativistische theorieën voor gravitatie . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.10.1 Scalaire gravitatietheorieën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.10.2 Brans - Dicke theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.10.3 Torsietheorieën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8 Kosmologie 136

9 Inflatie 137

10 Gravitatiestraling 138

11 Detectie van gravitatiestraling 139

A Appendix - Meetkunde 140 A.1 Niet-euclidische meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 A.2 Riemannse meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

B Appendix - Lineaire algebra 148

B.1 Vectorrekening over de reële ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 B.1.1 Scalaren en vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 B.1.2 Product van een scalar en een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 B.1.3 Som en verschil van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 B.1.4 Lineaire afhankelijkheid; ontbinden van vectoren, kentallen . . . . . . . . 149 B.1.5 Inwendig of scalair product van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 B.1.6 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

B.2 Lineaire ruimten en lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.2.1 Lineaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.2.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.2.3 Lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.2.4 Inwendig product, norm en orthogonaliteit van vectoren . . . . . . . . . . 153 B.2.5 Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

B.3 Matrixrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.3.2 Determinant van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.3.3 Product van een matrix met een kolomvector . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.3.4 Matrix als transformatie-operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.3.5 Som van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 B.3.6 Product van scalar met matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 B.3.7 Product van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 B.3.8 Diagonale matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 B.3.9 Geadjugeerde en inverse matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 B.3.10 De getransponeerde van een matrix; symmetrische en alternerende matrices 159 B.3.11 Orthogonale matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

C Appendix - Fundamentele constanten 161

D Appendix - Coördinatensystemen 162 D.1 Cartesiaanse coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 D.2 Sferische coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 D.3 Cilindirische coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Voorwoord

In dit college wordt een inleiding tot de algemene relativiteitstheorie behandeld, waarbij de nadruk ligt op het begrijpen van de fundamentele aannamen die worden gedaan in het formuleren van de theorie. We zullen een smal pad volgen dat leidt tot de einsteinvergelijkingen en gaandeweg zal het duidelijk worden dat de theorie een prachtige beschrijving biedt van gravitatie in termen van de kromming van ruimtetijd. Het bestaansrecht van de theorie is gebaseerd op de succesvolle beschrijving van natuurverschijnselen. De algemene relativiteitstheorie geeft een wetenschappelijke basis aan fenomenen als ruimtetijd, gravitatie, zwarte gaten, kosmologie en de oerknal. Op dit moment staan gravitatie en kosmologie aan de frontlinie van het wetenschappelijk onderzoek. Satellieten als COBE en WMAP, en binnenkort PLANCK, meten de isotropie en homogeniteit van de kosmische achtergrondstraling, een overblijfsel van de oerknal. De laser interferometers LIGO, GEO600 en Virgo zijn krachtige detectoren die speuren naar gravitatiestraling. Chandra bestudeert het universum in X-rays, terwijl Hubble visuele afbeeldingen levert. Gravity Probe B tracht precisie testen van de algemene relativiteitstheorie uit te voeren.

Wiskunde speelt een prominente rol in het opzetten van natuurkundige theorieën, en de relativiteitstheorie vormt hierop geen uitzondering. In de behandeling van de diverse onderwerpen zullen we liberaal gebruik maken verschillende wiskundige technieken. De student dient zich te realiseren dat in alle gevallen de nadruk ligt op het begrip van het natuurkundig fenomeen. Overigens is de wiskundige complexiteit van de relativiteitstheorie, in verhouding tot andere theorieën (zoals bijvoorbeeld elektrodynamica en quantummechanica), redelijk beperkt.

Het college ‘het quantum universum’ wordt in 2009 voor het eerst gegeven in het kader van het HOVO (Hoger Onderwijs Voor Ouderen) programma aan de Vrije Universiteit, Amsterdam. Van de studenten wordt voorkennis vereist op het niveau van H.B.S.-B, VWO of Gymnasium. Om tegemoet te komen aan het niveau van de studenten worden diverse onderwerpen, zoals lineaire algebra, nogmaals beknopt behandeld tijdens het college. Verder is de benadering redelijk ‘schools’. Er wordt huiswerk opgegeven en behandeld (en dit telt mee voor het uiteindelijke cijfer). Hierbij dient benadrukt te worden dat een goed begrip van de stof enkel zal volgen uit zelfwerkzaamheid van de student. De opgaven zijn een belangrijk instrument in dit verband, want hierin kan de opgedane kennis worden toegepast, terwijl de opgaven soms ook voor verdieping van de materie zorg dragen. Merk op dat er in dit kader ook een website is ingericht, die bereikt kan worden via \underline{http://www.nikhef.nl/∼jo/gw/}.

Het dictaat is als volgt gestructureerd. Na een inleiding in hoofdstuk 1, wordt gravitatie besproken in termen van de klassieke natuurkunde in hoofdstuk 2. Quantummechanische objecten als neutronensterren worden behandeld in hoofdstuk 3. In hoofdstuk 4 wordt een deel van de wiskunde geïntroduceerd. Hiervan geven we een toepassing in hoofdstuk 5, waar we de speciale relativiteitstheorie behandelen. Vervolgens verdiepen we ons wiskundig inzicht in hoofdstuk 6, waarna we de algemene relativiteitstheorie behandelen in hoofdstuk 7. Nu de theoretische basis is gelegd, gaan we diverse toepassingen bespreken, zoals kosmologie in hoofdstuk 8, inflatie in hoofdstuk 9, en gravitatiestraling in hoofdstuk 10. We eindigen met een bespreking van diverse experimenten, zoals de LIGO en Virgo interferometers en het satellietproject LISA. De diverse appendices dienen als achtergrond materiaal.

Het zal opvallen dat verschillende onderwerpen ontbreken die in een regulier college wel aan de orde komen. Zo worden de klassieke testen van de algemene relativiteitstheorie niet of nauwelijks besproken. De reden hiervoor is dat het volgens de auteurs onvoldoende bijdraagt tot een verdieping van het inzicht, maar enkel leidt tot een verbreding van de kennis. De onderwerpen zijn zo gekozen dat een smal pad wordt uitgestippeld naar doorgronding van de stof, teneinde zo snel mogelijk te komen tot de discussie van de filosofische implicaties en de focus van het moderne wetenschappelijk onderzoek. Dit verklaart ook waarom er relatief veel aandacht wordt besteed aan een didactische inleiding tot de relativiteitstheorie. Overigens is het zo dat het niveau van behandeling van de stof in sommige gevallen overeenkomt met (of zelfs uitstijgt boven) die van een derde-jaars natuurkundestudent.

In de samenstelling van dit dictaat is geput uit diverse bronnen, zoals ‘A first course in general relativity’, Bernard Schutz; ‘Gravity from the ground up’, Bernard Schutz; ‘Geometrical methods of mathematical physics’, Bernard Schutz; ‘Gravitation’, Charles Misner, Kip Thorne, John Archibald Wheeler; ‘A short course in general relativity’, J. Foster, J.D. Nightingale; ‘General relativity, an introduction for physicists’, M.P. Hobson, G. Efstathiou, A.N. Lasenby; ‘Tensor calculus’, David Kay; ‘Introduction to general relativity’, John Dirk Walecka; ‘An introduction to general relativity, spacetime and geometry’, Sean Carroll; ‘The road to reality, a complete guide to the laws of the universe’, Roger Penrose; ‘Introduction to tensor calculus and continuum mechanics’, J.H. Heinbockel; ‘Gravity, an introduction to Einstein’s general relativity’, James B. Hartle; ‘Gravitation and cosmology, principles and applications of the general theory of relativity’, Steven Weinberg; ‘Introduction to tensor calculus, relativity and cosmology’, D.F. Lawden; ‘General relativity’, N.M.J. Woodhouse; ‘Kosmologie, van oerknal via niets tot straling en stof’, A. Achterberg; ‘Algemene relativiteitstheorie’, G.G.A. Bauerle; ‘General relativity’, Robert M. Wald; ‘Theory and experiment in gravitational physics’, Clifford M. Will; ‘Problem book in relativity and gravitation’, Alan Lightman, William Press, Richard Price, Saul Teukolsky; ‘Recent developments in general relativity’, B. Casciaro, D. Fortunato, M. Francaviglia, A. Masiello; ‘Fundamentals of Quantum Mechanics’, V.A. Fock; In sommige gevallen is gebruik gemaakt van relevante review artikelen uit de vakliteratuur. De bronnen worden dan ter plaatse vermeld.

Tenslotte willen de auteurs bij voorbaat aan een ieder dank betuigen die gaat bijdragen aan de verbetering van het voorliggende dictaat. Door vrijelijk uw suggesties door te geven aan de docenten zullen wij deze gebruiken ter verbetering van het lesmateriaal.

1 Inleiding

Gravitatie is universeel en werkt aantrekkend tussen objecten die massa hebben. Het beinvloedt alle lichamen op dezelfde wijze (dit werd ontdekt door Galileo Galileï en wordt tot uitdrukking gebracht in het equivalentieprincipe) en kan niet afgeschermd worden, zoals dat wel mogelijk is voor bijvoorbeeld elektrische velden met een kooi van Faraday. Gravitatie beschrijft de banen van projectielen op aarde, en van planeten rond de zon. Gravitatie beheerst de evolutie van het universum en voorspelt exotische objecten als neutronensterren en zwarte gaten.

De natuurkunde bestudeert materiële systemen zoals planeten, sterren en quasars en de arena waarin het fysisch gebeuren plaatsvindt is de ruimte en tijd. Ruimte en tijd zijn fundamentele begrippen in de fysica. In de geschiedenis van de natuurkunde zijn ruwweg vier concepties met betrekking tot ruimte en tijd te onderscheiden.

Ruimte en tijd volgens Aristoteles Dit beeld komt overeen met het idee dat de ‘gemiddelde mens’ heeft van ruimte en tijd. De ruimte is drie-dimensionaal en euclidisch (𝔼^{3}) en de tijd is één-dimensionaal en euclidisch (𝔼^{1}). De bewering dat een object in rust is heeft in dit beeld van ruimte en tijd objectieve betekenis. Ruimtetijd is het cartesische product 𝔼^{1}×𝔼^{3}. Een punt in ruimtetijd heeft coördinaten (t, x, y, z) en het stelt dus een gebeurtenis op een scherp bepaalde tijd t en met de precies bepaalde plaats (x, y, z) voor. Een dergelijke gebeurtenis noemen we een puntgebeurtenis. Ruimtetijd is dus de verzameling van alle mogelijke puntgebeurtenissen. Voor twee puntgebeurtenissen (t_{1}, r⃗_{1}) en (t_{2}, r⃗_{2}) kunnen we spreken van de afstand |r⃗_{1} − r⃗_{2}| en over het tijdverschil t_{1} − t_{2} van beide puntgebeurtenissen. Afstand en tijdverschil hebben absolute betekenis.

Ruimtetijd volgens Galileï Dit is het beeld van ruimte en tijd zoals dit in de klassieke mechanica van Newton voorkomt. Belangrijk hierin is het relativiteitsprincipe van Galileï^{1}. Dit principe wordt als volgt geformuleerd: er bestaan inertiaalsystemen; inertiaalsystemen bewegen met constante snelheid v⃗ ten opzichte van elkaar en verschillende inertiaalsystemen zijn equivalent met betrekking tot de wetten van de klassieke mechanica. We herinneren nog even aan de definitie van een inertiaalsysteem. Een inertiaalsysteem is een referentiesysteem waarin ieder vrij deeltje eenparig en rechtlijnig beweegt. Het begrip rust verliest hier zijn absolute betekenis. Immers als een deeltje in rust is in één inertiaalsysteem, is het niet in rust ten opzichte van een inertiaalsysteem dat beweegt ten opzichte van het eerste inertiaalsysteem. De afstand tussen twee puntgebeurtenissen heeft geen absolute betekenis meer. Immers als we twee puntgebeurtenissen p en q beschouwen op dezelfde plaats ten opzichte van de aarde met een tijdverschil van 1 s, dan is de afstand tussen beide 0 m. De afstand van beide puntgebeurtenissen ten opzichte van het inertiaalsysteem dat rust ten opzichte van de zon is 30 km, omdat de aarde met een snelheid van 30 km/s om de zon beweegt. Tijdverschillen hebben nog wel absolute betekenis.

Ruimtetijd volgens Einstein - Minkowski Dit is het ruimtetijd beeld van de speciale relativiteitstheorie (Einstein 1905). Het is ontstaan uit de confrontatie van de klassieke mechanica van Newton en de elektrodynamica van Maxwell. Speciale relativiteitstheorie steunt op het volgende tweetal postulaten:

• Relativiteitsprincipe van Einstein: er bestaan inertiaalsystemen en deze zijn equivalent met betrekking tot alle fysische verschijnselen.

1Galileo Galileï heeft een belangrijke invloed op de ontwikkeling van wetenschap gehad: hij was van mening dat wetenschap gebaseerd diende te zijn op zorgvulding experimenteel onderzoek. Ook beschreef hij waarnemingen wiskundig. Hij formuleerde het equivalentieprincipe, liet zien dat de versnelling van de zwaartekracht uniform is (g = 9.8 m/s^{2}), toonde dat horizontale en verticale bewegingen afzonderlijk beschreven kunnen worden, en gaf ons het principe van relativiteit. Galileï was hiermee de eerste relativist.

• Er bestaat een eindige maximale signaalsnelheid en deze is gelijk aan de voortplantingssnelheid van licht in vacuüm.

In het bijzonder kan licht licht niet inhalen. In de speciale relativiteitstheorie is het geboden om ruimte en tijd niet meer apart te beschouwen. In de woorden van H. Minkowski: "M.H.! Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentellphysikalischen Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz is eine radikale. Vond Stunde an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union der beide soll Selbständigkeit bewahren". We zullen zien dat in de speciale relativiteitstheorie naast afstanden ook tijdverschillen hun absolute betekenis verliezen. In plaats van beide komt de minkowskimetriek, die wèl een invariante betekenis heeft. Het mathematische model voor ruimtetijd is de minkowskiruimte, dit is een vier-dimensionale vlakke ruimte met een indefiniete metriek met signatuur −2.

Ruimtetijd volgens Einstein Dit is het ruimtetijd beeld van de algemene relativiteitstheorie. Einstein formuleerde haar in 1915. Deze theorie is ontstaan uit de confrontatie van de speciale relativiteitstheorie en de theorie van de gravitationele wisselwerking. Ruimtetijd is in de algemene relativiteitstheorie een riemannse ruimte met signatuur −2. In het speciale geval dat gravitatie te verwaarlozen is, krijgt men de minkowskiruimte terug. Een drastisch verschil tussen de ruimtetijd in de speciale en de algemene relativiteitstheorie is dat in de laatste de structuur van ruimtetijd (in het bijzonder de metriek) wordt bepaald door de materie. Het begrip materie wordt hier gebruikt in een zeer ruime betekenis en het omvat naast deeltjes ook het elektromagnetische veld, etc.

In het volgende zullen we aspecten van de algemene relativiteitstheorie bespreken. Hierbij spelen drie essentiële ideeën een rol. Het eerste is dat, zoals gezegd, ruimtetijd beschreven kan worden als een gekromde, vier-dimensionale wiskundige structuur die we een pseudo-riemannse variëteit noemen, dat is een differentieerbare variëteit met een metriek met signatuur −2. Het komt erop neer dat tijd en ruimte samen een gekromde vier-dimensionale niet-euclidische geometrie vormen. Het tweede idee is dat er op elk ruimtetijd punt, dus op elke puntgebeurtenis, een lokaal inertiaal referentiesysteem bestaat dat correspondeert met lokaal vlakke coördinaten die gedragen worden door waarnemers die in vrije val zijn. Voor deze waarnemers is de natuurkunde beschreven door de algemene relativiteitstheorie niet te onderscheiden van die beschreven door de speciale relativiteitstheorie. Dit is het beroemde sterke equivalentieprincipe van Einstein en dit maakt de algemene relativiteitstheorie tot een extensie van de speciale relativiteitstheorie voor gekromde ruimtetijd. Het derde idee is dat massa (en ook energie en impulsflux) kromming van ruimtetijd veroorzaakt op een wijze die beschreven wordt door de tensorveld vergelijkingen van Einstein.

We zullen de onderliggende ideeën in de volgende hoofdstukken bespreken. Klassieke mechanica wordt besproken in hoofdstuk 2, waar we zullen zien dat zowel de afbuiging van licht rond de zon alsook het bestaan van zwarte gaten mogelijk zijn binnen de klassieke natuurkunde. Ook wordt hier het formalisme van Lagrange besproken met het bijbehorende principe van extreme actie. We besluiten met een discussie van het principe van Mach. Vervolgens geven we in hoofdstuk 3 een overzicht van astrofysische objecten en fenomenen die een quantummechanische beschrijving behoeven. In hoofdstuk 4 definiëren we ruimtetijd op een mathematische wijze. Als belangrijkste object van ruimtetijd vinden we de metriek. Als we de metriek kennen, dan kunnen we een goede beschrijving geven van ruimtetijd. Als voorbeeld behandelen de metriek van de lege ruimtetijd, de minkowskimetriek, en leiden we hieruit de postulaten van de speciale relativiteitstheorie (SRT) af in hoofdstuk 5. Conventioneel wordt de SRT gemotiveerd door uit te gaan van Einstein’s twee postulaten, en wordt op basis daarvan de wiskunde ontwikkeld, en dan met name de vorm van de metriek. Wij bewandelen hier een omgekeerde route: hier zal eerst de metriek worden gepostuleerd, en wordt op basis daarvan getoond dat Einstein’s postulaten volgen. De reden van deze ‘omgekeerde’ aanpak is de volgende: in de algemene relativiteitstheorie (ART) (de latere hoofdstukken) is het vrijwel altijd zo dat eerst de metriek bekend is, voordat de rest volgt. SRT is ook om deze reden speciaal te noemen: het is een van de weinige voorbeelden in de relativiteit dat de metriek af te leiden is uit gedachtenexperimenten; vrijwel in alle andere gevallen zijn zulke gedachtenexperimenten niet uit te voeren, en is de metriek niet een gevolg, maar een startpunt. Het is om deze reden dat in dit hoofdstuk ook deze route bewandeld zal worden. Als de manier van redeneren dan begrepen is, is de overstap naar de ART in aansluitende hoofdstukken, snel gemaakt.

De wiskundige beschrijving van systemen in gekromde coördinaten, maar voor vlakke euclidische ruimten, wordt gegeven in hoofdstuk 6. In hoofdstuk 7 beginnen we met de behandeling van de ART. We behandelen de beweging van objecten in de ART, terwijl ook de einsteinvergelijkingen worden besproken in hoofdstuk. Vervolgens geven we enkele voorbeelden van metrieken die van belang zijn in de algemene relativiteitsheorie: Friedmann, Schwarzschild, en Kerr metrieken. In hoofdstuk 8 starten we met de Friedmann metriek en geven we een uiteenzetting van de huidige inzichten met betrekking tot kosmologie. De oerknal en dan met name inflate wordt behandeld in hoofdstuk 9. We beschrijven de voorspelling van gravitatiestraling in hoofdstuk 10 en besluiten met een schets van de belangrijkste experimenten die het bestaan van gravitatiestraling proberen aan te tonen in hoofdstuk 11.

In appendix A zullen we de differentiaalmeetkunde in historisch perspectief plaatsen. Diverse eigenschappen van gekromde ruimten waren reeds ontdekt door wiskundigen als C.F. Gauss, J. Bolyai, N.I. Lobachevski en B. Riemann. We bespreken aspecten van meetkunde in euclidische en niet-euclidische ruimten. Lineaire algebra en eigenschappen van vectorruimten worden besproken in appendix B

2 Klassieke mechanica

2.1 Inleiding

In de mechanica willen we de banen van deeltjes (of meer algemeen objecten, dat wil zeggen verzamelingen van deeljes) beschrijven. Om een dergelijke beschrijving mogelijk te maken kiezen we een willekeurig coördinatenstelsel in de drie-dimensionale (3D) ruimte. Dit stelsel bevat een oorsprong en drie veelal onderling loodrecht gekozen richtingen die we vervolgens de x, y en z-richting noemen en aangeven met respectievelijk de vectoren i⃗, j⃗ en k⃗. Verder brengen we een afstandsverdeling aan op de x, y en z-as. Tijd wordt gemeten met een universeel lopende klok en een willekeurig tijdstip wordt gekozen als t = 0. Vervolgens worden tijden van gebeurtenissen relatief gemeten ten opzichte van t = 0.

We beschrijven de positie waarop een object zich bevindt in de 3D ruimte met de plaatsvector (of positievector)

r⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗.  (1)

Deze plaatsvector wijst van de oorsprong van het coördinatenstelsel naar de positie van het deeltje. De instantane snelheidsvector v⃗ is de mate van verandering van de plaatsvector. De grootte van deze vector noemen we de snelheid en deze vector wijst in de bewegingsrichting. Er geldt

v⃗ = lim_{Δt→0} \frac{Δr⃗}{Δt} = \frac{dr⃗}{dt}.  (2)

Gerelateerd aan de snelheid is de impuls. Er geldt p⃗ = mv⃗. De totale impuls van een systeem, ∑_{i} p⃗_{i}, is een behouden grootheid.

De instantane versnelling a⃗ is ook een vector en is de mate van verandering van de snelheidsvector. Er geldt

a⃗ = lim_{Δt→0} \frac{Δv⃗}{Δt} = \frac{dv⃗}{dt} = \frac{d^{2}r⃗}{dt^{2}}.  (3)

2.2 Galileo Galileï en het relativiteitsprincipe

Stel u voor dat u een blok ijs op een glazen plaat gooit: het glijdt en komt uiteindelijk tot stilstand. Maak de plaat nat en het blok zal een grotere weg afleggen, alvorens tot stilstand te komen. Neem een blok droogijs (dat is bevroren koostofdioxide) dat glijdt over een luchtkussen van koolstofdioxidedamp en neem waar dat dit blok veel verder zal glijden zonder noemenswaardige vermindering van snelheid. Voor de komst van Galileo Galileï (1564 - 1642) dacht men dat er altijd een kracht nodig is om een object met constante snelheid te laten bewegen. Galileï zag in dat de snelheidsvermindering veroorzaakt wordt door wrijvingskrachten. Als men de wrijving vermindert, dan vermindert ook de snelheidsafname. Galileï redeneerde dat als men alle krachten van een object kan verwijderen, inclusief wrijvingskrachten, de snelheid van een lichaam nooit zal veranderen. Deze eigenschap noemde hij inertia.

Uit het bovenstaande volgt dat we geen verschil kunnen maken tussen een object in rust of een object dat met constante snelheid beweegt. Of een object in rust blijft of met constante snelheid beweegt hangt af van het coördinatenstelsel (referentiesysteem) waarin het object wordt beschouwd. Stel u voor dat u een reiziger bent in een trein die met constante snelheid langs een rechte lijn beweegt en u plaatst een biljartbal op het tafeltje voor u (nodeloos te zeggen dat we aannemen dat deze tafel perfect horizontaal is ...). Relatief ten opzichte van de trein is de bal in rust, zolang de trein met constante snelheid ten opzichte van het perron beweegt. Relatief ten opzichte van het perron beweegt de bal met dezelfde snelheid als de trein. Vervolgens begint de machinist met afremmen omdat het volgende station in aantocht is. De trein versnelt ten opzichte van het perron (het is een negatieve versnelling, een vertraging) en u zult zien dat de bal op uw tafeltje naar voren begint te rollen. De bal versnelt ten opzichte van de trein ondanks het feit dat er geen kracht op werkt! Een referentiesysteem dat versnelt ten opzichte van een inertiaal referentiesysteem is geen inertiaal referentiesysteem. Als er geen krachten werken op een object (in ons geval de biljartbal), dan is elk referentiesysteem ten opzichte waarvan de versnelling van het object gelijk is aan nul een inertiaal referentiesysteem. Zowel de trein, zolang die met constante snelheid beweegt, als het perron zijn, in goede benadering, inertiaalsystemen^{2}.

Toen Galileo Galileï leefde was er om voor de hand liggende redenen, grote belangstelling voor de banen van kanonskogels. Galileï bestudeerde dergelijke banen en ontdekte dat

• de mate waarin een voorwerp valt (versnelling) niet afhangt van de massa van het object, en dat

• de mate waarin een voorwerp valt, de versnelling van een voorwerp tijdens de val, constant is, dus onafhankelijk van de tijd. We noemen deze constante de gravitatieversnelling en deze bedraagt g = 9, 8 m/s^{2}.

Een grote en een kleine kanonskogel vallen derhalve op dezelfde manier en zelfs ook een kanonskogel en een veertje mits men er voor zorgt dat luchtweerstand geen rol speelt. Gewicht heeft er niets mee te maken^{3} en we kunnen dit bewijzen door experimenten uit te voeren^{4} ^{5}. Dit is de eerste stap richting het equivalentieprincipe dat stelt dat gravitatie niet onderscheidbaar is van uniforme versnelling.

Wij beschouwen een vrij-vallend voorwerp in één dimensie: de vertikale (y) richting. De waarde y neemt toe met afnemende afstand tot het middelpunt van de aarde. Als we een voorwerp laten vallen dan is de versnelling constant en geldt a = g = 9, 8 m/s^{2}. Omdat a = \frac{dv}{dt} vinden we nu de snelheid door integratie. Er geldt v = ∫_{0}^{t} adt = v_{0} + gt, waarbij v_{0} de initiële snelheid op t = 0 is. Verder neemt de snelheid lineair in de tijd toe. De afgelegde weg vinden we door nogmaals te integreren. Er geldt d(t) = ∫_{o}^{t} vdt = ∫_{0}^{t}(v_{0} + gt)dt = d_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}gt^{2}, waarbij d_{0} de afstand is die het voorwerp reeds afgelegd had vóór tijdstip t = 0. We zien dat de afgelegde weg kwadratisch toeneemt in de tijd.

Vervolgens beschouwen we de beweging van een voorwerp in twee dimensies. Hiertoe analyseren we de beweging van een kanonskogel die afgevuurd wordt op tijdstip t = 0 met een beginsnelheid u onder een hoek θ met de x-as. De situatie is geschetst in Fig. 1. Voor de initiële snelheid geldt u_{x} = u cos θ en u_{y} = u sin θ. De snelheid in de vertical richting wordt gegeven door

v_{y} = u_{y} − gt → y = u_{y}t − \frac{1}{2}gt^{2}.  (4)

2Het referentiesysteem dat verbonden is met het oppervlak van de aarde is niet helemaal een inertiaal referentiesysteem, omdat er een kleine versnelling is van het aardoppervlak ten gevolge van de rotatie van de aarde, alsook een versnelling ten gevolge van de beweging rond de zon. Deze versnellingen zijn kleiner dan 0, 01 m/s^{2} en kunnen vaak worden verwaarloosd.

3Dit kan ook begrepen worden uit een gedachtenexperiment van toegeschreven aan Galileï. Stel dat zware voorwerpen sneller vallen dan lichte voorwerpen. We binden vervolgens een lichte kogel vast aan een zware en gooien het stel naar beneden van de toren van Pisa. Nu zal de lichte kogel de zware afremmen en de combinatie valt langszamer dan de zware kogel alleen zou vallen. De combinatie is echter zwaarder dan enkel de zware kogel en zou dus sneller moeten vallen. Ergo, contradictio in terminis.

4Simon Stevin heeft reeds in 1586 zijn experiment gepubliceerd waarin hij twee loden ballen, een tien keer zwaarder dan de ander, van de klokkentoren van de oude kerk in Delft heeft laten vallen over een afstand van ongeveer 10 m. Hierbij werd geen verschil waargenomen in tegenstelling tot de bewering van aanhangers van Aristoteles. Zijn publicatie was drie jaar vóór Galileï’s eerste behandeling van gravitatie en 18 jaar eerder dan Galileï’s theoretisch werk over vallende lichamen.

5Een dergelijk experiment is door astronaut David Scott uitgevoerd op de maan met een hamer en veer tijdens de Apollo 15 missie.

Figuur 1: Baan van een kanonskogel die afgevuurd wordt op tijdstip t = 0 met een beginsnelheid u onder een hoek θ met de x-as. De rechterfiguur laat zien dat de verticale beweging onafhankelijk van de horizontale beweging beschouwd kan worden.

De kanonskogel raakt de grond als y = 0 en oplossen van bovenstaande vergelijking levert een vluchttijd T = \frac{2u_{y}}{g}.

In de horizontale richting werkt er geen versnelling en wordt de x-positie gegeven door

x = u_{x}t.  (5)

We kunnen vergelijking (4) en (5) samennemen en hieruit t elimineren. We vinden dan de baan van de kogel,

y = \frac{u_{y}}{u_{x}} x − \frac{g}{2u_{x}^{2}} x^{2},  (6)

en zien dat de kogel een parabolische baan heeft.

Het idee dat we de beweging in horizontale en verticale richting mogen ontkoppelen en zelfstandig behandelen is van Galileï. Het is een eerste versie van het relativiteitsprincipe. Toen Nicolas Copernicus (1473 - 1543) stelde dat de aarde en andere planeten rond de zon bewegen, was het moeilijk te begrijpen waarom we deze beweging niet voelen? Waarom vliegen we niet van de aarde af, of blijft de atmosfeer achter als de aarde met grote snelheid rond de zon raast. Galileï gebruikte de onafhankelijkheid van verschillende bewegingen om dit te verklaren. Net zoals voorwerpen die binnen een trein verticaal vallen en het niet uitmaakt of de trein stilstaat of met constante snelheid beweegt, zo merken wij ook niet dat de aarde met grote snelheid door het universum vliegt. Tegenwoordig stellen we dat alle natuurwetten hetzelfde zijn voor een waarnemer die met uniforme snelheid in een rechte lijn beweegt als die voor een waarnemer in rust. We noemen dit het relativiteitsprincipe.

2.3 De wetten van Newton

In moderne bewoording kunnen de wetten van Newton als volgt geformuleerd worden:

• Eerste wet: een voorwerp blijft in rust als er geen externe kracht op werkt. Een voorwerp in beweging heeft een constante snelheid als er geen externe kracht op werkt.

• Tweede wet: de versnelling van een voorwerp is in de richting van de netto externe kracht die erop werkt. De versnelling is evenredig met de externe kracht overeenkomstig F⃗ = ma⃗, met m de massa van het voorwerp. Merk op dat het verband tussen kracht en impuls gegeven wordt door F⃗ = \frac{dp⃗}{dt}. De netto kracht is de vectorsom van alle krachten die op het voorwerp werken, F⃗_{netto} = ∑ F⃗ = ma⃗.

• Derde wet: krachten komen altijd voor in paren met gelijke grootte en tegengestelde richting. Als een voorwerp A een kracht F⃗_{A,B} uitoefent op voorwerp B, dan wordt er een gelijke maar tegengesteld gerichte kracht F⃗_{B,A} door voorwerp B op A uitgeoefent. Er geldt F⃗_{B,A} = −F⃗_{A,B}.

De eerste wet is duidelijk in overeenstemming met de ideëen van Galileo Galileï. Het leidt tot het relativiteitsprincipe en het feit dat beweging in verschillende richtingen onafhankelijk behandeld kunnen worden. Ook de tweede wet is geïnspireerd door Galileï en om dit duidelijk te maken dienen we de begrippen massa en gewicht nader te beschouwen. Als we een voorwerp willen versnellen, dan dienen we er een kracht op uit te oefenen. De versnelling heeft dan de waarde a = \frac{F}{m}. De massa m kan gezien worden als de weerstand, inertia, tegen versnelling. Hoe groter de massa, hoe moeilijker het is om het voorwerp in beweging te brengen. Het gewicht van een voorwerp is de gravitatiekracht die erop werkt. Als we de tweede wet van Newton combineren met Galileï’s ontdekking dat voorwerpen met verschillende massa’s op dezelfde manier vernellen onder gravitatie, dan betekent dit dat het gewicht van een voorwerp evenredig moet zijn met haar massa.

Dit is als volgt in te zien: stel we tillen een zwaar voorwerp op en houden het vast. Wat we voelen als gewicht is in werkelijkheid de sensatie van het uitoefenen van een naar boven gerichte kracht om het voorwerp hoog te houden tegen de werking van de zwaartekracht in. Uit de eerste wet volgt dat de totale kracht op het voorwerp nul is en dat onze opwaartse kracht precies de zwaartekracht op het voorwerp opheft. Het gewicht van het voorwerp is dus gelijk aan de zwaartekracht die erop werkt. Als we het voorwerp loslaten, dan is de zwaartekracht erop nog steeds gelijk, terwijl onze opwaartse kracht verdwenen is: het voorwerp versnelt naar beneden, het valt. Volgens Galileï is de versnelling echter niet afhankelijk van het gewicht. De enige manier waarop we de kracht F (het gewicht) kunnen veranderen zonder de versnelling a te veranderen, is door het gewicht F evenredig te maken met m, dus F⃗_{gewicht} = mg⃗. In dat geval

geldt namelijk a⃗ = \frac{F⃗_{gewicht}}{m} = \frac{mg⃗}{m} = g⃗ en voorwerpen vallen onafhankelijk van hun gewicht of massa, de versnelling is gelijk voor alle voorwerpen en bedraagt 9,8 m/s^{2}. We noemen de massa m die als evenredigheidsconstante optreedt in de uitdrukking voor gewicht F⃗ = mg⃗ = m_{zware}g⃗ ook wel de zware massa, terwijl de massa die optreedt in de tweede wet F⃗ = ma⃗ = m_{trage}a⃗ de trage massa. Galileï’s equivalentieprincipe stelt dat zware massa en trage massa gelijk zijn en we schrijven m_{zware} = m_{trage} = m. We kunnen Galileï’s equivalentieprincipe nu als volgt formuleren: de massa van een lichaam is evenredig met haar gewicht.

Newton liet zien dat dezelfde gravitatie die ervoor zorgt dat appels naar de aarde vallen, er ook voor zorgt dat de maan bij de aarde blijft en dat de aarde rond de zon beweegt. De relatief eenvoudige wiskundige uitdrukking F⃗ = ma⃗ was consistent met alle bekende meetgegevens van planeetbanen. De grootte van de kracht tussen twee objecten met massa M_{1} en M_{2} gescheiden door een afstand r bedraagt

F_{grav} = \frac{GM_{1}M_{2}}{r^{2}} ,  (7)

met G een evenredigheidsconstante die Newton’s gravitatieconstante genoemd wordt met als waarde G = 6, 6720 × 10^{−11} m^{3}s^{−2}kg^{−1}. De kracht is altijd attractief en in Newton’s theorie is de werking instantaan.

2.4 Dopplereffect en gravitationele roodverschuiving

Stel dat Galileï samen met twee kanonskogels van de toren van Pisa was gevallen. Op weg naar beneden zouden de twee kogels eenvoudig in zijn nabijheid zijn gebleven. Ten opzichte van hem zouden de kogels zich gedragen alsof er helemaal geen krachten op werken. Als hij nu één van de kogels een zetje zou geven in een willekeurige richting, dan zou deze kogel ten opzichte van hem met uniforme snelheid langs een lijn in die richting bewegen. Zowel Galileï als de kogel versnellen ten opzichte van de aarde, maar als we over hun relatieve beweging spreken, dan kan deze gemeenschappelijke versnelling afgetrokken worden en houden we alleen een relatieve beweging over. Dit gebeurt enkel omdat voor gravitatie de versnelling van elk object in een gravitatieveld gelijk is. We kunnen het equivalentieprincipe nu ook als volgt formuleren: in een gravitatieveld gedragen alle voorwerpen zich zodanig dat ze volkomen vrij lijken te zijn van gravitatiekrachten als ze bekeken worden door vrij-vallende waarnemers. Voor een vrij-vallende waarnemer zijn de natuurwetten hetzelfde als die in de ruimte, ver van alle massieve objecten en hun gravitatievelden.

Bovenstaande formulering van het equivalentieprincipe maakt geen gebruik van begrippen als massa en versnelling en is bijzonder nuttig in het beschrijven van het effect van gravitatie op licht^{6}. We kunnen het effect van gravitatie op licht nu vinden door te eisen dat het zich dient te gedragen alsof er geen gravitatie is als het wordt beschouwd door een vrij-vallende waarnemer. Dit betekent in het bijzonder dat het voor die waarnemer een rechte lijn dient te volgen zonder verandering in frequentie.

Figuur 2: Lichtgolven lopen van links naar rechts. Een detector meet het aantal golffronten dat passeert. De frequentie is het aantal golffronten dat per tijdseenheid gemeten wordt en hangt af van de snelheid van de detector.

In het algemeen wordt de frequentie van licht beïnvloed door de beweging van een waarnemer. Dit wordt de Dopplerverschuiving^{7} genoemd. We beschouwen licht als een golfverschijnsel met golflengte λ en frequentie f. Hiervoor geldt de relatie λ = \frac{c}{f} = cT met c de lichtsnelheid en T de periode. De bovenste afbeelding in Fig. 2 toont de situatie voor een stilstaande detector. Alle golffronten in het interval ct zijn de detector gepasseerd (vetgedrukte fronten). Als dit N golffronten zijn, dan is de frequentie f = \frac{N}{t}. In het onderste plaatje zijn slechts N′ golffronten gedurende tijd t de detector gepasseerd (vetgedrukte fronten), omdat de detector naar rechts beweegt. De verhouding \frac{N′}{N} is hetzelfde als de verhouding van de lengten, \frac{(c−v)}{ct} = 1 − \frac{v}{c}. Hieruit volgt dat de meebewegende detector een lagere frequentie meet,

6We weten dat licht een bijzondere plaats inneemt in Einstein’s relativiteitstheorie: de snelheid van licht is een universele constante in elk referentiesysteem, terwijl licht een inertiale massa heeft die gelijk is aan nul. We kunnen daarom niet eenvoudig de wet F⃗ = ma⃗ gebruiken om de beweging van licht te beschrijven.

7In het geval van geluidsgolven zorgt het Dopplereffect voor een verschuiving naar hogere frequentie van de toon

f′ = \frac{N′}{t} = (1 − \frac{v}{c})\frac{N}{t} = (1 − \frac{v}{c})f.  (8)

Als de frequentie verandert, dan verandert de kleur van het licht. Als de lichtbron van ons af beweegt spreken van een roodverschuiving, terwijl we over een blauwverschuiving spreken als de bron naar ons toe beweegt.

We zijn nu in staat om de gravitationele effecten op licht af te leiden door te eisen dat licht zich dient te gedragen alsof er geen gravitatie is wanneer het wordt waargenomen door een vrijvallende waarnemer^{8}. Hiertoe beschouwen we het Pound-Rebka-Snider experiment dat begin

Figuur 3: Schematische weergave van het Pound-Rebka-Snider experiment voor de meting van de gravitationele roodverschuiving van fotonen door de aarde.

jaren 60 van de vorige eeuw is uitgevoerd op het Jefferson Physical Laboratory van Harvard. Het experiment is weergegeven in Fig. 3. In de figuur schijnt men een lichtbundel met frequentie f_{bron} vanaf de aarde naar boven. Een waarnemer staat op een toren met hoogte h direct boven de bron en meet de frequentie van dit licht. Hij noemt deze frequentie f_{top}. We gebruiken het equivalentieprincipe om de relatie tussen f_{bron} en f_{top} te bepalen^{9} en dat betekent het introduceren van nog een andere waarnemer die vrij-vallend is. Deze waarnemer valt van de top van de toren naar beneden op het moment dat het licht de bron verlaat. Een dergelijke vrij-vallende waarnemer ziet het licht alsof er geen gravitatie werkzaam is. Het licht beweegt voor hem in een rechte lijn en zonder frequentieverschuiving: op het moment dat hij begint met vallen, meet hij dezelfde frequentie als de waarnemer bij de bron. Volgens het equivalentieprincipe meet hij dezelfde frequentie even later als het licht de top bereikt. Het duurt een tijd t = \frac{h}{c} voordat het licht de top bereikt, en dan heeft deze waarnemer een instantane snelheid v = gt = \frac{gh}{c}. Ten opzichte van hem beweegt de waarnemer boven dan met snelheid −v van hem af, hetgeen een Dopplerverschuiving met zich mee brengt. Het equivalentieprincipe en vergelijking (8) geeft ons nu direct

van de sirene van een naderende ziekenwagen, terwijl de toon naar lagere frequenties verschuift als de ziekenwagen van ons af beweegt.

8Evenzo voelen wij de beweging van de aarde rond de zon niet, omdat de aarde in vrije val is en er dus niets te voelen valt.

f_{top} = f_{bron}(1 − \frac{gh}{c^{2}}).  (9)

Voor de 22,6 m hoge toren van het Pound-Rebka-Snider experiment is het effect klein, 2, 46 × 10^{−15}, maar het werd desalnietemin gemeten met een precisie van 1 %. Het effect is beduidend groter voor de satellieten van het Global Positioning System (GPS) die op ongeveer 20.200 km hoogte vliegen. Teneinde de navigatie nauwkeurigheid van ongeveer 15 m te bereiken dienen de GPS satellieten hun tijdsignalen te coördineren met een precisie van ongeveer 50 ns (= \frac{15 m}{3×10^{8} m/s}). Deze precisie is ongeveer 1000 groter dan de gravitationele roodverschuiving (ongeveer 40 μs). Zonder correcties op basis van de algemene relativiteitstheorie zouden GPS systemen een afwijking van kilometers per dag vertonen.

Het is belangrijk te begrijpen dat de roodverschuiving een eigenschap is van zowel het licht als de waarnemers. Dus licht op welke hoogte van de aarde dan ook heeft geen unieke frequentie. Als de frequentie gemeten wordt door waarnemers die stilstaan ten opzichte van de grond, dan meten we een roodverschuiving. Als de frequentie gemeten wordt door vrijvallende waarnemers, dan is er geen verschuiving.

De gravitationele roodverschuiving^{10} heeft directe consequenties voor het begrip tijd. Stel dat we twee klokken vervaardigen die gebaseerd zijn op het tellen van golffronten van een lichtbron. Elk golffront dat de detector passeert en geregistreerd wordt zien we als een tik van de klok. De gravitationele roodverschuiving heeft dan als consequentie dat voor een waarnemer in de toren zijn klok sneller tikt dan de klok die op aarde staat. Als hij na een dag met zijn klok naar beneden gaat en de klokken vergelijkt, ziet hij dat zijn klok met ongeveer 1 ns voorloopt, hetgeen tegenwoordig eenvoudig te meten is. Overigens geldt deze conclusie voor al zijn klokken, biologisch of fysisch.

2.5 Satellieten en equivalentieprincipe

In het volgende zullen we enkele consequenties van de wetten van Newton bestuderen. We gebruiken het equivalentieprincipe om te verklaren hoe satellieten in hun baan blijven. De positie en snelheidsvectoren van een deeltje dat een cirkelbaan beschrijft zijn gegeven in Fig.

9Relatie (9) kan ook gevonden worden door twee experimentatoren in een ruimteschip te beschouwen, dat reist met constante versnelling g. De afstand tussen de twee waarnemers is h in de richting van de versnelling.

Laten we aannemen dat het ruimteschip in rust is ten opzichte van een bepaald inertiaalsysteem op het moment dat de waarnemer beneden (bron) een foton uitzendt. Het duurt tijd t = h/c voordat dit foton bij de bovenste (top) waarnemer aankomt. Op dat moment heeft deze waarnemer een snelheid v = gt = gh/c en neemt hij het foton waar met een Dopplerverschuiving, precies volgens vergelijking (9). Het equivalentieprincipe eist dat, indien deze roodverschuiving wordt waargenomen in een experiment dat wordt uitgevoerd onder condities van uniforme versnelling in afwezigheid van een gravitatieveld, dezelfde roodverschuiving waargenomen dient te worden in een experiment onder condities van een uniform gravitatieveld, maar zonder versnelling.

10Waarnemen van een gravitationele roodverschuiving heeft ook als directe consequentie dat ruimtetijd gekromd dient te zijn.

Figuur 4: Als we een voorwerp met snelheid v horizontaal lanceren, dan zal het bij voldoende snelheid een cirkelbaan rond de aarde beschrijven.

4. De hoek Δθ tussen v⃗(t) en v⃗(t + Δt) is hetzelfde als tussen r⃗(t) en r⃗(t + Δt), omdat de plaats- en snelheidsvectoren over gelijke hoeken moeten roteren om onderling loodrecht te blijven. Een gelijkbenige driehoek wordt gevormd door de twee snelheidsvectoren en Δv⃗. Een tweede gelijkbenige driehoek wordt gevormd door de twee plaatsvectoren en Δr⃗. Om de richting van de versnellingsvector te vinden, beschouwen we de driehoek gevormd door de twee snelheidsvectoren en Δv⃗. De som van de hoeken van elke driehoek is 180^{∘} en de basishoeken van elke gelijkbenige driehoek zijn gelijk. In de limiet dat Δt naar nul gaat, gaat Δθ ook naar nul, en in deze limiet gaan beide basishoeken naar 90^{∘}. Dit betekent dat Δv⃗ loodrecht op de snelheid staat. Als we Δv⃗ tekenen vanaf de positie van het deeltje dan wijst het in de centripetale richting, dus naar het middelpunt van de aarde.

De twee driehoeken zijn congruent en dus geldt \frac{|Δv⃗|}{v} = \frac{|Δr⃗|}{r} (lengten van corresponderende zijden zijn evenredig). Delen door Δt en herschikken levert

\frac{|Δv⃗|}{Δt} = \frac{v}{r} \frac{|Δr⃗|}{Δt}.  (10)

In de limiet dat Δt nul nadert, gaat de term \frac{|Δv⃗|}{Δt} over in de versnelling a, de grootte van de instantane versnelling, terwijl de term \frac{|Δr⃗|}{Δt} de snelheid v benadert, de grootte van de instantane snelheid. Met deze substituties vinden we voor de centripetale versnelling, a_{c}

a_{c} = \frac{v^{2}}{r} .  (11)

Een deeltje dat met veranderende snelheid in een cirkel beweegt heeft ook een versnellingscomponent a_{t} tangentiaal aan de cirkel gegeven door a_{t} = \frac{dv}{dt}.

In het volgende beschouwen we een satelliet die met constante snelheid in een cirkelbaan rond het centrum van de aarde over het oppervlak beweegt. De versnelling is nu gelijk aan g = 9, 81 m/s^{2} en we vinden voor de snelheid a = \frac{v^{2}}{r} = g = 9, 81 m/s^{2} met r = 6370 km de waarde v = \sqrt{rg} =

\sqrt{(6370 km)(9, 81 m/s^{2})} = 7, 91 km/s. De omlooptijd bedraagt T = \frac{2πr}{v} = \frac{2π(6370 km)}{7,91 km/s} = 5060 s = 84,3 min.

Op grotere hoogte is de omlooptijd langer en bedraagt bijvoorbeeld 91 minuten op 300 km hoogte waar de Space Shuttle opereert. Astronauten in de Space Shuttle zijn gewichtsloos. Dit komt niet omdat op 300 km van het aardoppervlak het gravitatieveld van de aarde verwaarloosbaar is (dat is eenvoudig uit te rekenen met vergelijking (7)). Het is een perfecte demonstratie van het equivalentieprincipe: de Space Shuttle is in vrije val rond de aarde en dat veroorzaakt dat voorwerpen in de Space Shuttle zich gedragen alsof gravitatie afwezig is.

We willen het bovenstaande verder uitdiepen met het volgende voorbeeld. Stel we stappen in een stilstaande lift. De sensatie van gewicht komt doordat de vloer van de lift een kracht op ons uitoefent tegengesteld gericht aan de gravitatiekracht van de aarde. Als we de liftkabel doorknippen, dan valt de kracht van de vloer wel. We raken in vrije val, en dan verdwijnt de sensatie van gewicht volledig. De vloer van de lift, niet de gravitatiekracht, is verantwoordelijk voor ons gewicht. We kunnen dit argument omkeren: als we de lift naar boven versnellen, zullen we ons zwaarder gaan voelen. Als we in een geblindeerde lift zitten en we voelen ons gewichtloos, dan kunnen we niet onderscheiden of we in vrije val zijn op aarde of in de ruimte ver weg van graviterende objecten bevinden. Evenzo, als we wèl gewicht ervaren, weten we niet of dat komt doordat we in een stilstaande lift op aarde staan, of dat we in de verre ruimte naar boven worden versneld. Als gravitatie overal uniform zou zijn, kunnen we het niet onderscheiden van versnelling. Dit is de betekenis van het woord equivalentie in het equivalentieprincipe.

2.6 Zwarte gaten en afbuiging van licht

We hebben reeds in vergelijking (7) gezien dat de gravitatiekracht uitgeoefend door deeltje 1 op deeltje 2 gegeven wordt door

F⃗_{1,2} = −\frac{Gm_{1}m_{2}}{r_{1,2}^{2}} r̂_{1,2},  (12)

waarbij r̂_{1,2} = \frac{r⃗_{1,2}}{|r⃗_{1,2}|} een eenheidsvector is die wijst van deeltje 1 naar deeltje 2. We hebben bovenstaande uitdrukking gegeven als vectorrelatie; het minteken brengt de richting in rekening.

We beschouwen de situatie met m_{1} = m de massa van een deeltje en m_{2} = M de massa van een massief object, bijvoorbeeld de aarde. We stellen ons voor dat het deeltje in een cirkelbaan rond de aarde beweegt. Er geldt a = F/m en dit betekent dat \frac{GM}{r^{2}} de versnelling van het deeltje is. Deze versnelling is centripetaal en we vinden dan

a = \frac{v^{2}}{r} = \frac{GM}{r^{2}} → v = v_{cirkelbaan} = \sqrt{\frac{GM}{r}}  (13)

voor de snelheid van een deeltje dat gravitationeel gebonden is in een cirkelvormige baan met straal r rond een massief object met massa M.

Als we een deeltje van de aarde naar het oneindige brengen, dient er arbeid verricht te worden. Deze arbeid is gelijk (maar met een minteken) aan de potentiële energie V van het deeltje (als we immers het deeltje vanuit het oneindige op de aarde laten vallen verkrijgt het kinetische energie en kan het weer arbeid verrichten). De hoeveelheid potentiële energie wordt gegeven door

V (r) = − ∫_{0}^{∞} F⃗ · ds⃗ = − ∫_{0}^{∞} F r̂ · ds⃗ = − ∫_{r_{0}}^{r=∞} F_{r}dr = − ∫_{r_{0}}^{r=∞} (−\frac{GmM}{r^{2}} ) dr = −\frac{GmM}{R} .

(14)

Omdat enkel veranderingen in potentiële energie relevant zijn, kunnen we altijd een constante V_{0} erbij optellen. We kiezen deze constante zo, dat de potentiële energie gelijk is aan nul, V = 0, als het deeltje oneindig ver van de aarde staat. In dit geval geldt dan V_{0} = 0. We merken op dat vergelijkingen (12) en (14) toestaan om de gravitationele potentiaal in te voeren. Er geldt

F⃗_{grav} = −m∇Φ(x⃗) en ook \frac{d^{2}x⃗}{dt^{2}} = −∇Φ(x⃗),  (15)

waarbij F⃗_{grav} de kracht is op een deeltje met massa m en op positie x⃗ ten gevolge van de gravitationele potentiaal Φ geproduceerd door een ander deeltje (met bijvoorbeeld massa M).

Voor een enkel deeltje met massa M gaf vergelijking (14) Φ(x⃗) = −GM/x, en voor een continue massadichtheid ρ(x⃗) geldt

Φ(x⃗) = − ∫ \frac{Gρ(x′)}{|x⃗ − x′|}d^{3}x′.  (16)

Het newtoniaanse gravitatieveld g⃗ wordt dan gedefinieerd door

g⃗(x⃗) ≡ −∇Φ(x⃗),  (17)

waardoor we vinden

∇ · g⃗(x⃗) = −4πGρ(x⃗) → ∇^{2}Φ(x⃗) = 4πGρ(x⃗).  (18)

Hierin bedoelen we met ∇^{2} de laplace operator ∂^{2}/∂x^{2} + ∂^{2}/∂y^{2} + ∂^{2}/∂z^{2}. We noemen dit de poissonvergelijking van newtoniaanse gravitatie.

Een object, bijvoorbeeld een satelliet met massa m, dat in een willekeurige baan met straal r rond de aarde (met massa M) draait heeft zowel kinetische energie K^{11} als potentiële energie V. De som van beide, de totale energie E = K + V, is een behouden grootheid en dient constant te zijn. Er geldt

E = \frac{1}{2}mv^{2} − \frac{GmM}{r} .  (19)

Het object kan van de aarde ontsnappen als het oneindig ver weg kan zijn en dan toch nog een bepaalde kinetische energie heeft. Als het net ontsnapt, dan is de eindsnelheid gelijk aan nul. In dat geval geldt, wanneer de satelliet zich op een afstand R van de aarde bevindt,

\frac{1}{2}mv_{ontsnapping}^{2} = \frac{GmM}{R} → v_{ontsnapping} = (\frac{2GM}{R} )^{\frac{1}{2}} .  (20)

Als we uitdrukking (13) met (20) vergelijking zien we dat v_{ontsnapping} = \sqrt{2}v_{cirkelbaan}.

De Deense sterrenkundige Olaf Roemer (1644 - 1710) gaf als eerste een goede schatting van de lichtsnelheid (hij vond 11 minuten per astronomische eenheid (AU)^{12}, terwijl de juiste waarde 8 minuten en 19 seconden is). Dit resultaat vond hij in 1675 door de eclipse van Jupiter’s eerste satelliet te bestuderen voor verschillende posities van Jupiter relatief ten opzichte van de aarde.

De Britse natuurkundige John Mitchell (1724 - 1793) en de Franse wiskundige en natuurkundige Pierre Laplace (1749 - 1827) combineerden de eindige lichtsnelheid met het feit dat uit de wetten van Newton volgt dat geen object van een lichaam kan ontsnappen als haar snelheid minder is dan (2GM/R)^{\frac{1}{2}} . Hieruit volgt dat ook licht niet kan ontsnappen van een lichaam waarvan de ontsnappingssnelheid groter is dan c. Dus als het mogelijk is om een lichaam met vaste massa M kleiner te maken dan straal R_{g}, met

R_{g} = \frac{2GM}{c^{2}} ,  (21)

dan lijkt dit lichaam zwart voor de buitenwereld. Merk op dat deze limiet voor de straal, R_{g}, enkel afhangt van M en de natuurconstanten c en G. We noemen dit de gravitatiestraal van een lichaam met massa M. Het is precies de waarde die we in de algemene relativiteitstheorie vinden voor de straal van een zwart gat. Overigens verschilt het klassieke zwarte gat in belangrijke mate van een relativistisch zwart gat. In het klassieke geval komt het erop neer dat fotonen met de lichtsnelheid vertrekken, om vervolgens steeds meer snelheid te verliezen. Uiteindelijk wordt hun snelheid gelijk aan nul, draaien ze om en vallen vervolgens weer naar beneden.

11We kunnen de formule voor de kinetische energie K vinden door de arbeid te beschouwen die verricht moet worden om een deeltje gedurende tijd dt te versnellen. Er geldt F⃗ · dx⃗ = F⃗ · v⃗dt = \frac{dp⃗}{dt} · v⃗dt = v⃗ · dp⃗ = v⃗ · d(mv⃗).

Ook geldt d(v⃗ · v⃗) = (dv⃗) · v⃗ + v⃗ · (dv⃗) = 2(v⃗ · dv⃗). Aannemende dat de massa constant is vinden we hiermee v⃗ · d(mv⃗) = \frac{1}{2} md(v⃗ · v⃗) = \frac{1}{2} mdv^{2} = d ( \frac{1}{2} mv^{2}). Integreren hiervan levert de relatie K = \frac{1}{2} mv^{2}.

12De astronomische eenheid was vroeger gedefinieerd als de straal van de cirkelbaan van de aarde (in 1900)

rond de zon: 1 AU = 1, 496 × 10^{11} m.

Cavendisch was de eerste die in 1784 een formule afleidde voor de afbuiging van licht ten gevolge van de gravitatie van de zon. We zullen deze afbuiging afleiden uit het equivalentieprincipe. Beschouw licht dat de zon passeert. We weten dat licht een rechte lijn dient te volgen in het referentiesysteem van een vrij-vallende waarnemer. Omdat lokaal vrij-vallende waarnemers allemaal in de zon vallen, dient het licht continu zijn baan te buigen, zodat de baan recht lijkt voor al deze vrij-vallende locale waarnemers. We zullen de grootte van de afbuiging afschatten met behulp van de klassieke mechanica van Newton.

Figuur 5: Licht zal gravitationeel worden afgebogen als het een massief object zoals de zon passeert.

We beschouwen een enkele vrij-vallende waarnemer die initieel in rust is ten opzichte van de zon op het punt waar het licht het dichtst bij de zon is tijdens de passage. De afstand noemen we d. De versnelling van de waarnemer naar de zon bedraagt g = GM/d^{2}. Het licht reist met snelheid c en het belangrijkste deel van de afbuiging treedt op gedurende een tijd d/c. Gedurende deze tijd bereikt de waarnemer een snelheid v = gd/c = GM/cd loodrecht op de richting van het licht. Vanwege het equivalentieprincipe dient het licht een dergelijke transversale snelheid te krijgen. De hoekafbuiging is klein en er geldt tan α = α = \frac{v}{c} = \frac{GM}{c^{2}d} in radialen. De totale afbuiging dient het dubbele te zijn, omdat dezelfde afbuiging voor de inkomende lichtstraal ook geldt voor de uitgaande lichtstraal (zie Fig. 5). We vinden

Newtoniaanse afbuigingshoek = 2α = \frac{2GM}{c^{2}d} .  (22)

Een exacte klassieke berekening geeft precies bovenstaand resultaat. Een berekening met de algemene relativiteitstheorie geeft echter een factor 2 grotere afbuiging. Een afbuiging van deze grootte werd in 1919 waargenomen door Britse astronomen onder leiding van Sir Arthur Eddington (1882 - 1944) en Frank W. Dyson (1868 - 1939). Deze bevestiging van de algemene relativiteitstheorie leidde tot de grote internationale doorbraak van Einstein.

2.7 Gravitatie en getijdenkrachten

Getijdenkrachten zijn krachten die niet verdwijnen als we een systeem in vrije val beschouwen en zijn afkomstig van de niet-uniformiteit van de gravitatieversnelling. Getijdenkrachten spelen een belangrijke rol in het universum: van eb en vloed op aarde tot instabiliteiten in sterrenstelsels. We schetsen de effecten van getijdenkrachten in Fig. 6. De figuur links toont dat wanneer twee objecten met enkel een verticale separatie vanuit rust vallen, hun separatie in de tijd toeneemt. De figuur rechts laat zien dat wanneer twee objecten met enkel een horizontale onderlinge afstand Figuur 6: Getijdenkrachten zijn eenvoudig te herkennen als we de beweging van vrij-vallende objecten beschouwen.

vanuit rust vallen, hun onderlinge afstand afneemt. Vanuit het gezichtspunt van een vrij-vallende waarnemer lijken de twee objecten naar elkaar toe te versnellen, alsof er een kracht op werkt. Dit leidt tot de conclusie dat het equivalentieprincipe slechts lokaal geldig is, niet globaal.

Een ander bekend voorbeeld van getijdenkrachten zijn de getijden op aarde ten gevolge van de gravitatiekrachten van maan en zon. Hier bespreken we de getijden van het aarde - maan systeem, geschetst in Fig. 7. Het centrum van de aarde is in vrije val. De overige delen van

Figuur 7: Getijden veroorzaakt door de maan op aarde zijn afkomstig van de residuele versnelling van gravitatie. Hierbij is de aarde in vrije val met de gemiddelde versnelling van de gravitatie van de maan op aarde. In de rechter figuur is de centrale versnelling afgetrokken van de verschillende versnellingsvectoren.

de aarde ondervinden relatief kleine verschilkrachten die leiden tot het ontstaan van getijden. De getijden hebben een karakteristiek gedrag onder rotaties: plaatsen met gelijke getijden zijn gescheiden door een rotatie over 180^{∘}.

De werking van getijdenkrachten leidt tot een aantal belangrijke effecten, zoals het feit dat de rotatie van de maan om zijn as gesynchroniseerd is met zijn rotatie rond de aarde^{13}. Ook raken aarde en maan steeds verder verwijderd van elkaar ten gevolge van de getijdenkrachten (dit kan worden begrepen als een consequentie van het behoud van impulsmoment). Een ander voorbeeld van de werking van getijdenkrachten is te vinden in het Mercurius - zon systeem. Mercurius is dicht bij de zon er ervaart getijdenkrachten die ongeveer drie keer groter zijn dan in het aarde - maan systeem. De omlooptijd van Mercurius rond de zon bedraagt 88 dagen, terwijl de rotatie rond zijn as 58,6 dagen bedraagt, precies \frac{2}{3} van de omlooptijd. Dit is weer een gevolg van getijdenkrachten.

13De getijdenkrachten van de maan op de aarde proberen ook de rotatie van de aarde te synchroniseren met de omlooptijd van de maan. De aarde is echter veel massiever dan de maan. Ongeveer 1 miljard jaar geleden duurde een dag maar ongeveer 18 uur.

2.8 Newtoniaanse mechanica en het formalisme van Lagrange

De bewegingswetten van Newton zijn algemeen bekend. De bekendste is waarschijnlijk dat deeltjes zich in een rechte lijn en met constante snelheid voortbewegen zolang er geen krachten op werken. Dit wordt mathematisch uitgedrukt als

m\frac{d^{2}x⃗}{dt^{2}} = 0,  (23)

waar x⃗ = x⃗(t) de positie van het deeltje is, en m zijn massa. Indien er een kracht F⃗ op het deeltje werkt, komt deze aan de rechterzijde van deze vergelijking te staan. Deze formule is de basis van de Newtoniaanse mechanica en levert een stappenplan voor het oplossen van mechanische vraagstukken: vul de kracht in die op een deeltje werkt, los de resulterende vergelijking op, en de positie van het deeltje als functie van de tijd is dan bekend.

De tweede wet kan niet worden afgeleid; het is een experimenteel gegeven. Als wij deze willen uitbreiden naar een versie die geldt in de speciale relativiteitstheorie, is er net zo min een concrete afleiding beschikbaar. Wel kan er een uitbreiding geloofwaardig worden gemaakt door gebruik te maken van de minkowksimetriek en het relativiteitsprincipe. Het is dan vervolgens aan experiment om aan te tonen of de gevonden uitbreiding van Newtons tweede wet geldt of niet. Dit blijkt het geval te zijn en we geven deze afleiding in sectie 5.11. Hier geven we een soortgelijke afleiding voor de tweede wet van Newton. We zullen in sectie 5.11 zien dat de relativistische uitbreiding nog maar een kleine stap is. Het formalisme dat we hiervoor zullen gebruiken is dat van Lagrange.

Lagrange (1736-1813) ontwikkelde een nieuwe manier van mechanica doen, gebaseerd op een functie die nu zijn naam draagt: de Lagrangiaan L. Deze functie is gedefinieerd als het verschil tussen de kinetische energie K van een deeltje, en zijn potentiële energie V

L(x(t), v(t)) = K(x(t), v(t)) − V (x(t), v(t)),  (24)

en deze functie geïntegreerd over de tijdsduur van een fysisch proces noemt met de actie S,

S = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L(x(t), v(t))dt,  (25)

waarin t_{1} het tijdstip van begin van het proces is, en t_{2} het tijdstip van het eind van het proces. Zoals al gesuggereerd door onze notatie, heeft de Lagrangiaan van een deeltje in het algemeen geen constante waarde. Dit komt doordat de kinetische energie en de potentiële energie in het algemeen geen constante waarden hebben, omdat zij functies zijn van de positie en snelheid van het deeltje. Beschouw als voorbeeld een deeltje in het zwaartekrachtsveld van de aarde: de potentiële energie is laag wanneer dit deeltje dicht bij de aarde is, maar hoog wanneer het ver weg is; de kinetische energie neemt echter toe wannneer het deeltje onder invloed van die zwaartekracht steeds sneller naar de aarde valt. Dit voorbeeld laat zien dat de waarde van de Lagrangiaan van een deeltje in het algemeen afhankelijk is van de positie en snelheid van het deeltje. Deze zijn op hun beurt weer functies van de tijd, dus uiteindelijk is de Lagrangiaan een geheel tijdsafhankelijke functie. De actie S daarentegen is wel een constante, omdat we de Lagrangiaan integreren over de tijd (elke functie geïntegreerd over zijn variabele levert immers een constante op). De waarde van deze constante hangt daarmee, uiteraard, geheel af van het pad x(t) dat het deeltje volgt tussen de twee tijdstippen t_{1} en t_{2}. Welk pad dit is, is precies de vraag die wij beantwoord willen zien wanneer we mechanica doen. Als antwoord postuleert het formalisme van Lagrange dat een deeltje altijd het pad volgt dat de waarde van de actie minimaal of maximaal maakt. Dit noemt men het principe van extreme actie, en levert een geheel nieuw voorschrift om mechanica te doen: schrijf de Lagrangiaan op van bewegend deeltje, integreer deze over de tijd, en zoek het pad dat deze integraal minimaal of maximaal maakt.

Deze manier van mechanica doen is soms te prefereren boven de meer gebruikelijke wetten van Newton^{14}. Hij is echter niet minder fundamenteel: het is zowel mogelijk het principe van extreme actie af te leiden door uit te gaan van de tweede wet van Newton, als omgekeerd. Het principe van extreme actie en de tweede wet van Newton zijn daarom geheel equivalent.

Als voorbeeld van een toepassing van het formalisme van Lagrange, zal de wet van Newton worden afgeleid door uit te gaan van het principe van extreme actie. We beschouwen een deeltje met massa m, dat beweegt onder invloed van een kracht F en daarom een potentiële energie V heeft gerelateerd aan de kracht via F⃗ ≡ −∇V; de kinetische energie K van een deeltje wordt, zoals altijd, gegeven door^{15} K = \frac{1}{2}mv^{i}v_{i} (waar v^{i} ≡ \frac{dx^{i}(t)}{dt} ). De Lagrangiaan van dit deeltje wordt dan gegeven door

L = \frac{1}{2}mv^{i}(t)v_{i}(t) − V (x(t)),  (26)

en de actie S is dan

S = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \{\frac{1}{2}mv^{i}(t)v_{i}(t) − V (x(t))\} dt.  (27)

Volgens het principe van extreme actie zal het deeltje een pad volgen dat de actie een extreme waarde geeft. Dit leidt tot het volgende wiskundige vraagstuk: gegeven een integraal over t met integrand L(x⃗(t), v⃗(t)), hoe kan men dan bepalen welke functie x⃗(t) de uitkomst van deze integraal minimaal of maximaal maakt? Het antwoord wordt gegeven door de vergelijkingen van Euler-Lagrange: de componenten x^{i}(t) het pad x⃗(t) dat de integraal een extreme waarde geeft, voldoet aan

\frac{∂L}{∂x^{i}} = \frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂v^{i}} ) .  (28)

Het bewijs van deze stelling is niet moeilijk, en gaat als volgt. Laten we aannemen dat x(t) de x-component van het pad x⃗(t) is dat de integraal een extreme waarde geeft. Per definitie van een extreme waarde zal elke kleine afwijking van dit pad, δx ≪ x, de actie S een extra bijdrage geven, δS, die gelijk dient te zijn aan nul. We willen dus op zoek naar het pad x(t) waarvoor geldt

S + δS = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} {L(x(t) + δx(t), v(t) + δv(t))} dt,  (29)

waarin

δS = 0.  (30)

14Enkele redenen zijn dat in het formalisme van Lagrange de belangrijkste functie een scalair is, waar in de tweede wet van Newton vectoren voorkomen. Ook is het zo dat bepaalde symmetrie-eigenschappen van fysische systemen zich vaak duidelijk openbaren in het Lagrange-formalisme. Het is om deze redenen dat in onder andere de quantumveldentheorie vrijwel uitsluitend met Lagrangianen gewerkt wordt.

15De notatie v^{i}v_{i} betekent in bovenstaand geval v^{i}v_{i} ≡ ∑_{i=1}^{3} (v_{i})^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} = |v⃗|^{2} = v^{2}. Het betreft de zogenaamde Einstein sommatieconventie die we later veelvuldig zullen gebruiken.

Aangezien δx klein is, kunnen we de Lagrangiaan benaderen door^{16}

L(x(t) + δx(t), v(t) + δv(t)) ≈ L(x(t), v(t)) + \frac{∂L}{∂x}δx + \frac{∂L}{∂v}δv.  (31)

Wanneer we dit invullen in vergelijking (29) vinden we de actie S terug plus een extra term, die we kunnen identificeren als δS,

δS ≡ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \{\frac{∂L}{∂x}δx + \frac{∂L}{∂v}δv\} dt.  (32)

Deze uitdrukking hoort gelijk te zijn aan nul. Nadat we een partiële integratie^{17} doen op de tweede term van de integrand, wordt gevonden

δS = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \{\frac{∂L}{∂x} − \frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂v})\} δx(t)dt + \frac{∂L}{∂v}δx(t)|_{t_{1}}^{t_{2}}.  (33)

De afwijking δx(t) mag in principe elke mogelijke functie zijn, mits maar geldt dat zij nul is op het begin en eind van het proces. Er geldt dan ook δx(t_{1}) = 0 en δx(t_{2}) = 0, en hiermee volgt dat de laatste term in vergelijking (33) gelijk is aan nul. De overgebleven integraal zal in het algemeen gelijk kunnen zijn aan nul voor specifieke functies δx(t); echter, de eis is dat deze integraal nul is voor elke mogelijke afwijking δx(t) van het pad x(t), en dit kan alleen wanneer alles tussen de gekrulde haken gelijk is aan nul. Deze eis levert dan precies vergelijking (28), voor de x-component (waarvoor geldt i = 1) van het gezochte pad. Voor de twee andere plaatscoördinaten van dit pad, y(t), z(t) kan deze afleiding ook gebruikt worden en geldt dezelfde uitkomst. Wanneer de vergelijkingen van Euler-Lagrange toegepast wordt op de huidige Lagrangiaan, vinden we

−\frac{∂V}{∂x^{i}} = m\frac{dv^{i}}{dt} .  (34)

De linkerkant van deze vergelijkingen herkennen we als de kracht F^{i} in de i-richting, terwijl de rechterkant precies gelijk is aan m\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}} . We kunnen deze drie uitkomsten samen nemen in een enkele vectorvergelijking,

m\frac{d^{2}x⃗(t)}{dt^{2}} = F⃗ ,  (35)

wat precies de wet van Newton is. Zoals aangekondigd volgt deze inderdaad uit het principe van extreme actie.

Het Lagrangiaanse formalisme kan ook gebruikt worden om de impuls van een deeltje te bepalen. De impuls volgt uit de Lagrangiaan als

p_{i} = \frac{∂L}{∂v^{i}} ,  (36)

wat voor de huidige Lagrangiaan de gebruikelijke uitdrukking voor de impuls van een deeltje oplevert

p⃗ = mv⃗.  (37)

16Dit is gebaseerd op een eerste-orde Taylorreeks van L rond de waarden x(t) en v(t).

17Stel dat f en g functies zijn van x, dus f = f(x) en g = g(x). Dan geldt voor de afgeleide van het product \frac{d}{dx} (fg) = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx} → \frac{df}{dx} g = \frac{d}{dx} (fg) − f \frac{dg}{dx}. Integreren over dx levert ∫ gdf = fg − ∫ fdg. In vergelijking (32)

gebruiken we f = \frac{∂L}{∂v} en dg = δvdt = d (δx).

2.9 Het principe van Mach

Newton besprak in zijn ‘The Mathematical Principles of Natural Philosophy’ (1687) een experiment waarbij een met water gevulde emmer aan een touw hangt. We draaien de emmer rond zijn as en op deze wijze wordt het touw strak opgewonden. Nu laten we de emmer los, en deze begint snel rond zijn as te draaien, niet alleen ten opzichte van de waarnemer, maar ook ten opzichte van het water erin.

Alhoewel op dit moment de relatieve beweging maximaal is, blijft het oppervlak van het water vlak, hetgeen aangeeft dat het water geen neiging heeft of weg te bewegen van de rotatieas. Uiteindelijk als het touw ontwonden is, neemt het water een concave vorm aan terwijl het de beweging aanneemt van de emmer die ten opzichte van de waarnemer roteert. Deze concave vorm toont dat het water roteert, ondanks het feit dat het water in rust is ten opzichte van de wanden van de emmer. Met andere woorden het is niet de relatieve beweging van water en emmer die de concave vorm van het water veroorzaakt, in tegenstelling tot het idee dat bewegingen enkel relatief kunnen zijn, en dat absolute beweging niet bestaat. Is het mogelijk dat de concave vorm van het water de rotatie toont relatief ten opzichte van iets anders, laten we zeggen de absolute ruimte?!

Volgens Ernst Mach zegt Newton’s experiment met de roterende emmer water ons eenvoudig dat de relatieve beweging van het water ten opzichte van de wanden van de emmer geen merkbare centrifugale krachten produceert, maar dat dergelijke krachten geproduceerd worden door de relatieve rotaties ten opzichte van de massa van de aarde en de andere hemellichamen.

Op basis van het bovenstaande kunnen we ons afvragen of een object in een leeg heelal inertia heeft. Het principe van Mach stelt dat lokale fysische wetten bepaald worden door de structuur van het universum op grote schaal. Albert Einstein leek het principe Mach te interpreteren als ‘... traagheid wordt veroorzaakt door een soort interactie tussen lichamen...’^{18}. Einstein meende in het Lense - Thirring effect bewijs te vinden voor het principe van Mach. In een brief naar Ernst Mach schrijft hij: ‘Het ... blijkt dat inertia haar oorsprong vindt in een soort interactie tussen lichamen, zoals uw beschouwingen van Newton’s emmer experiment aangeven... Als men een zware schil materie roteert, relatief ten opzichte van de vaste sterren rond een as die door het centrum gaat, ontstaat er een corioliskracht in het binnenste van de schil; dat het vlak van een Foucault slinger heen en weer wordt gesleept (met een praktisch ontmeetbaar kleine hoeksnelheid)’. We zullen dit Lense - Thirring effect later in detail bespreken.

18A. Einstein in een brief naar Ernst Mach, Zürich, 25 Juni 1923.

3 Quantumfysische verschijnselen in het universum

3.1 Stervorming

Sterren condenseren uit gaswolken die voornamelijk uit waterstof bestaan. Als een gaswolk voldoende dichtheid heeft of koud genoeg is, dan kunnen delen ervan condenseren en sterren vormen. Het gebied dat condenseert dient een minimum afmeting te hebben, zodat er voldoende massa en gravitatie is om de gasdruk in de wolk te overwinnen. Deze minimum lengte heet de Jeans lengte^{19} en bedraagt

λ_{Jeans} = (\frac{πkT}{Gρm})^{\frac{1}{2}} ,  (38)

met T en m respectievelijk de temperatuur en massa van het molecuul en ρ de dichtheid van de condenserende gaswolk. Elk deel van de gaswolk groter dan de Jeans lengte heeft voldoende zelf-gravitatie en kan condenseren. De massa van een dergelijk gebied is \frac{4}{3}πρλ_{Jeans}^{3} en wordt de Jeans massa genoemd,

M_{J} = \frac{4}{3}πρλ_{Jeans}^{3} = \frac{4π^{\frac{5}{2}}}{3} (\frac{kT}{Gm})^{\frac{3}{2}} ρ^{− \frac{1}{2}} .  (39)

Het is belangrijk om in te zien dat M_{J} afneemt als ρ toeneemt. Als dus een instabiel gebied initieel ter grootte λ_{Jeans} condenseert, neemt de dichtheid toe. Dit verlaagt de Jeans massa en dat maakt kleinere delen van het gebied instabiel voor condensatie. Indien de dichtheid in de gaswolk niet homogeen is, dan is het waarschijnlijk dat de samentrekkende gaswolk fragmenteert in kleinere gebieden. Sterrenkundigen noemen een dergelijk gebied een protoster.

De gravitationele potentiële energie die verloren gaat door de contractie van de gaswolk gaat over in warmte^{20}. Hierdoor neemt de temperatuur van het gas toe tijdens de contractie. Gedurende contractie van de protoster wordt de dichtheid uiteindelijk voldoende hoog om straling gevangen te houden en begint de protoster zich te gedragen als een zwart lichaam. Op dat moment neemt de temperatuur scherp toe en begint de protoster te schijnen in het zichtbare licht. De energie van contractie is voldoende om de protoster enkele miljoenen jaren te laten schijnen.

3.2 Energiehuishouding in sterren

De verhitting tijdens contractie van de protoster is voldoen om kernfusie te initiëren. Het mechanisme van energieproductie in de zon is fusie van waterstofatomen tot helium en fusie is de energiebron van sterren. De constructie van een fusiereactor op aarde is ingewikkeld, het grootste probleem is de zogenaamde ‘confinement’ (opsluiting) van het plasma. Een plasma met een temperatuur van ongeveer 10^{8} K dient in een eindig volume opgesloten te worden. Vaste wanden zijn niet mogelijk en we dienen toevlucht te nemen tot magnetische opsluiting of opsluiting met behulp van lasers. Het volume van het magnetisch veld dient relatief klein te zijn, enkele kubieke meters, want anders wordt het vermogen, maar worden ook de constructiekosten, onoverkomelijk. In de zon zijn deze problemen opgelost, alhoewel niet al te efficiënt. De buitentemperatuur is ongeveer 6000 K, terwijl de temperatuur in het centrum van de zon ongeveer 1, 6 × 10^{7} K is. Kernfusie verloopt relatief traag, maar de totale energieproductie is groot, omdat het volume zo groot is.

19Naar de Britse astrofysicus Sir James Jeans (1877 - 1946). We kunnen de grootte R van een sferisch gebied dat instabiel is voor stervorming bij benadering vinden door de gemiddelde kinetische energie \frac{3}{2} kT van een molecuul met massa m gelijk te stellen aan de absolute waarde van de gravitationele potentiële energie \frac{GmM}{R}. Vervolgens vervangen we de massa M van dit gebied door haar dichtheid ρ via de substitutie M = \frac{4}{3} πρR^{3}. Dit levert dan de benadering \frac{3}{2} kT = \frac{GmM}{R} → \frac{3}{2} kT = \frac{4}{3} πGmρR^{2} → R = ( \frac{9kT}{8πGρm} )^{\frac{1}{2}} . Een exacte berekening die de geluidssnelheid in de gaswolk in rekening brengt, levert vergelijking (38).

20Ook onze zon is uit een dergelijke protoster ontstaan. De zon heeft een massa M_{⊙} = 2×10^{30} kg en bestaat uit ongeveer 10^{57} waterstofatomen met elk een massa van m = 1, 67 × 10^{−27} kg. De huidige luminositeit van de zon bedraagt L_{⊙} = 3, 8×10^{26} W. We hebben gezien dat de ontsnappingssnelheid van de zon gelijk is aan v_{ontsnapping} = \sqrt{\frac{2GM_{⊙}}{R_{⊙}}}. De kinetische energie van een atoom als het de zon bereikt is dus \frac{1}{2} mv_{ontsnapping}^{2} = \frac{GM_{⊙}m}{R_{⊙}} = 3 × 10^{−16} J. Hieruit volgt dat de gravitationele potentiële energie voldoende is om de protoster enkele miljoenen jaren te laten schijnen.

Gravitatie reguleert het fusieproces in sterren: als om een of andere reden de reacties sneller verlopen, dan heeft dat een temperatuurstijging tot gevolg. Dit leidt direct tot expansie van het centrale deel van de ster, waardoor de reactiesnelheid vermindert en de energieproductie afneemt. Evenzo als het tegenovergestelde gebeurt en de temperatuur en dus ook de gasdruk neemt af, dan krimpt de kern van de ster en neemt de reactiesnelheid weer toe. Op deze wijze kan een ster miljarden jaren een stabiele energieproductie leveren. Hetzelfde proces maakt ook dat als de massa van de ster groot is, de centrale druk en temperatuur relatief hoog is, waardoor de energieproductie groot is. Dit heeft ook tot gevolg dat zware sterren een relatief korte levensduur hebben.

Vóór de ontdekking van kernreacties kon de energieproductie in de zon niet verklaard worden: er was geen bron bekend die een dergelijke hoeveelheid energie gedurende langere tijd kon produceren. Geologische studies tonen aan dat de zon ongeveer dezelfde temperatuur heeft gehad voor een periode van minstens 10^{9} jaar. Eddington was een van de eersten die erop wezen, dat met de fusie van vier waterstofatomen tot een ^{4}He-atoom, er ongeveer 7 MeV/nucleon aan energie vrijkomt. Dit proces levert miljoenen keren meer energie op dan een chemische reactie. Er blijft echter een probleem: klassiek kan fusie niet optreden in sterren, omdat de thermische energie van de protonen onvoldoende is om de Coulombafstoting te overwinnen. Het quantummechanisch tunneleffect maakt dergelijke reacties ook bij lagere temperatuur mogelijk. Men kan nu specifieke reacties, verantwoordelijk voor stellaire energieproductie, vaststellen. De eerste sequentie die werd voorgesteld was de zogenaamde koolstof of CNO cyclus weegegeven in Fig. 8, waarin 12C en 4p getransformeerd worden in een α-deeltje en ^{12}C. De CNO-cyclus verloopt als volgt,

12C p → ^{13}N γ,
13N → ^{13}C e^{+}ν,
13C p → ^{14}N γ,
14N p → ^{15}O γ,
15O → ^{15}N e^{+}ν,
15N p → ^{12}C ^{4}He.

(40)

In deze sequentie fungeert het koolstof als een katalysator. Het ondergaat veranderingen, maar het wordt niet verbruikt. De totale reactie kan dus geschreven worden als

4p →^{4} He.  (41)

De totale energie Q die in deze reactie vrijkomt, kan eenvoudig gevonden worden uit de bekende massa’s (via E = mc^{2}). Er geldt

Q(4p →^{4} He) = 26, 7 MeV.  (42)

Van deze energie wordt ongeveer 25 MeV gebruikt om de ster te verhitten, de rest wordt afgevoerd door de neutrino’s. De CNO-cyclus is dominant in hete sterren. In koude sterren zoals de zon, is de pp-cyclus belangrijker. De essentiële stappen in de pp-cyclus zijn

\begin{matrix}pp → de^{+}ν \\ of \\ ppe^{−} → dν \end{matrix} \} dp →^{3} Heγ  (43)

en

3He ^{3}He →^{4} He 2p,  (44)

of

3He ^{4}He →^{7} Be γ.  (45)

In vergelijking (44) is de reactie 4p →^{4} He + 2e^{+} + 2ν reeds gerealiseerd. In vergelijking (45) wordt ^{7}Be gevormd en dit leidt tot ^{4}He via twee sequenties,

7Be e^{−} →^{7} Li ν; ^{7}Li p → 2 ^{4}He,  (46)

of

7Be p →^{8} B γ; ^{8}B →^{8} Be^{∗} e^{+}ν; ^{8}Be^{∗} → 2 ^{4}He.  (47)

De pp-cyclus heeft dezelfde energieopbrengst als de CNO-cyclus. Om de reactiesnelheden te

Figuur 8: CNO en pp-cyclus voor het fusieproces van een ster. De pp-cyclus is dominant in de zon (de CNO-cyclus verzorgt slechts 1,6 % van de energie productie in de zon). De CNO-cyclus is belangrijk in massieve waterstof-brandende sterren met een hoge centrale temperatuur, zoals Sirius A.

kunnen berekenen, zijn er twee verschillende soorten input nodig. Ten eerste, de temperatuurverdeling van het inwendige van de zon dient bekend te zijn. Het originele werk gaat terug tot Eddington en verbeterde versies lijken betrouwbaar te zijn (astronomen zijn van mening dat de temperatuur in het inwendige van de zon ongeveer 16 miljoen K is). Ten tweede dienen de werkzame doorsneden^{21} voor de genoemde reacties bekend te zijn voor temperaturen in de orde van 16 miljoen K. Deze temperatuur correspondeert met kinetische energieën van slechts enkele keV, en de bijbehorende werkzame doorsneden zijn uitermate klein. De vergelijkingen tonen dat er twee typen reacties een rol spelen: hadronische en zwakke reacties (alle reacties met neutrino’s zijn zwak). De gemiddelde levensduur van het verval ^{8}B →^{8} Be^{∗} e^{+}ν is gemeten. De twee zwakke reacties in vergelijking (43) verlopen echter zo traag, dat ze niet in het laboratorium gemeten kunnen worden: ze worden berekend door gebruik te maken van de Hamiltoniaan voor de zwakke wisselwerking. Teneinde de werkzame doorsneden voor de hadronische reacties te vinden, worden de waarden die bij hogere energieën gemeten zijn, geëxtrapoleerd naar enkele keVs. Experimentatoren (zoals W.A. Fowler van Caltech) en diverse theoreten zijn van mening dat hun schattingen stabiel zijn en dat zowel de structuur van sterren als de kernfysische aspecten van de productie van zonne-energie goed begrepen zijn.

3.3 Nucleosynthese in sterren

Verschillende lichte elementen zijn gevormd tijdens de Big Bang. Deze zogenaamde primordiale productie is niet mogelijk voor zware elementen, omdat neutron- of protonvangst van ^{4}He niet tot stabiele kernen leidt en vanwege het trage verloop van andere reacties. Neutronvangst bijvoorbeeld, leidt tot ^{5}He, hetgeen instabiel is en weer direct vervalt naar ^{4}He. Ook de vangst van α-deeltjes via ^{4}He^{4}He →^{8} Be, vormt enkel het instabiele ^{8}Be, dat weer onmiddellijk opbreekt in twee alfa deeltjes. Als de temperatuur van het universum gedaald is tot ongeveer 3 × 10^{8} K, ongeveer een half uur na haar geboorte, stopt nucleosynthese, omdat Coulomb repulsie verdere kernreacties verhindert. De abondanties van de diverse elementen gevormd in de Big Bang zijn nu ingevroren, zodat de abondanties van de lichte elementen d, ^{3}He, ^{4}He en ^{7}Li, zoals die tegenwoordig worden waargenomen, nog steeds de toestand van een half uur oud universum reflecteren.

Lichte kernen kunnen ook in sterren geproduceerd worden. In het geval van ^{4}He verklaart dit productieproces echter slechts ongeveer 10 % van de waargenomen abondantie van dit element. Deuterium kan al helemaal niet in significante hoeveelheden in sterren geproduceerd worden, omdat het bij dergelijke hoge dichtheden direct in zware elementen geconverteerd wordt. Deze conversie beperkt de huidige baryondichtheid in het universum tot minder dan ongeveer 5×10^{−31} g/cm^{3}. De productie van lithium in sterren wordt positief beïnvloed door neutrino interacties met ^{4}He. Deze reacties produceren ^{3}H, ^{3}He, protonen en neutronen. Een van de successen van het standaard model is haar vermogen om de abondanties van de lichte elementen te voorspellen, zelfs al verschillen die een factor miljard van elkaar. Echter, de gemeten abondanties van zware elementen kan niet verklaard worden door Big Bang nucleosynthese. Klaarblijkelijk werden de zware elementen in een later stadium geproduceerd, nadat stervorming reeds plaatsgevonden had. Nucleosynthese, de verklaring van de abondantie van de elementen, is dus onlosmakelijk verbonden met sterstructuur en sterevolutie.

Druk en temperatuur in een ster zijn immens. In de zon bijvoorbeeld, is de druk in het centrum 2×10^{10} bar en de temperatuur 16×10^{6} K. Atomen zijn onder deze omstandigheden bijna volledig geïoniseerd, waardoor er een plasma van vrije elektronen en naakte atoomkernen ontstaat. De interne druk wordt in stand gehouden door kernreacties die voor de stralingsenergie van de ster zorgen. Zolang deze reacties plaatsvinden, zullen gravitationele en interne druk elkaar in balans houden en is de ster in een evenwichtstoestand. Wat gebeurt er echter als de brandstof opgebruikt is? Wat gebeurt er met onze zon als alle waterstof opgebruikt is en de pp-cyclus stopt? De ster zal dan onder gravitatie samentrekken, waardoor de centrale druk en temperatuur zullen toenemen. Bij hogere temperatuur zullen nieuwe kernreacties plaatsvinden en een nieuwe evenwichtstoestand wordt bereikt. Onder die omstandigheden zullen nieuwe elementen worden gevormd. Er zijn dus verschillende stadia van kernfusie en contractie. In alle stadia zullen zware elementen gegenereerd worden. Fig. 9 geeft de resultaten van de berekening van de samenstelling

21De werkzame doorsnede is een maat voor de waarschijnlijkheid dat een bepaalde wisselwerking tussen deeltjes plaatsvindt (bijvoorbeeld verstrooiing of een kernreactie). Deze waarschijnlijkheid is vaak sterk afhankelijk van de energie van de deeltjes of de samenstelling van een target dat wordt beschoten. De werkzame doorsnede wordt aangeduid met σ en heeft de dimensie van oppervlakte.

Figuur 9: Resultaten van de berekening van de samenstelling van een ster met een massa van 15 zonnemassa’s. De abondanties van de diverse elementen worden gegeven als functie van massa (in zonnemassa’s).

van een ster met een massa van 15 zonnemassa’s. Deze ster bevindt zich aan het eind van de diverse stadia van verbranding. Een dergelijke ster zal dan de supernova-fase ondergaan, waarna zij zich tot een neutronenster zal ontwikkelen. Ook voor de berekening van de supernova-fase bestaan er nauwkeurige modellen. Figuur 10 toont de resultaten van een dergelijke berekening.

Figuur 10: Resultaat van een supernova model. De entropie wordt gegeven als functie van de tijd, voor de eerste 0,5 seconde van het proces.

De volgende belangrijke stap, na de formatie van ^{4}He, is de productie van ^{12}C. Het ^{8}Be, gevormd in de reactie ^{4}He^{4}He →^{8} Be, is instabiel. Echter, indien de ^{4}He dichtheid hoog genoeg is, kunnen Figuur 11: Residu van koolstofverbranding in een exploderende ster. De cirkels stellen zonnestelsel abondanties voor, terwijl de berekende waarden door kruisen gerepresenteerd worden. De lijnen verbinden stabiele isotopen van een gegeven element. De aangenomen piektemperatuur is 2 × 10^{9} K en de dichtheid is 10^{5} g/cm^{3}.

meetbare hoeveelheden ^{8}Be aanwezig zijn in de evenwichtsreactie

4He ^{4}He ⟺^{8} Be^{∗}.  (48)

Vangst van een alfa deeltje kan dan plaatsvinden,

4He ^{8}Be^{∗} →^{12} C,  (49)

waardoor koolstof gevormd wordt. Deze vangst-reactie wordt versterkt, omdat de formatie van 12C voornamelijk verloopt via een resonantie met een aangeslagen toestand, ^{12}C^{∗}.

De vorming van ^{16}O vindt plaats via

4He ^{12}C →^{16} O γ.  (50)

Bovenstaande sequentie kan herhaald worden voor zwaardere elementen, terwijl proton- en neutronvangst de elementen kunnen vormen die tussen de alfa-achtige nucleïden liggen. Fusiereacties, zoals koolstofverbranding, zijn van vitaal belang om rekenschap te kunnen geven van de abondantie van elementen in het gebied 20 ≤ A ≤ 32. De reacties,

12C ^{12}C → ^{20}Ne α
→ ^{23}Na p
→ ^{23}Mg n

vereisen een temperatuur hoger dan ongeveer 10^{9} K. Dergelijke temperaturen komen slechts voor in enkele zeer massieve sterren en men denkt dat koolstofverbranding voornamelijk plaatsvindt in massieve, zogenaamde exploderende sterren. Men neemt aan dat de temperatuur in exploderende sterren ongeveer 2 × 10^{9} K is. Figuur 11 laat zien dat de abondantie van de geproduceerde elementen goed overeenkomt met de resultaten van stermodellen. Op dezelfde manier kan zuurstofverbranding,

16O ^{16}O → ^{28}Si α
→ ^{31}P p
→ ^{31}S n

(52)

rekenschap geven van de abondantie van elementen met 32 ≤ A ≤ 42, maar vereist een temperatuur van ongeveer 3, 6 × 10^{9} K. Verbranding van silicium draagt bij tot de verklaring van de formatie van veel elementen tot Ni.

Een nieuw aspect komt aan de orde als de formatie van ijzer bereikt wordt. De bindingsenergie per nucleon heeft een maximum in de buurt van de Fe-groep. Voor atoomgetallen groter dan dat van ijzer, neemt de bindingsenergie per nucleon af. Om die reden kan de Fe-groep niet dienst doen als brandstof en de verbranding stopt als ijzer gevormd is. Dit verklaart ook waarom de elementen in de buurt van Fe meer abondant zijn dan andere. Elementen zwaarder dan ijzer zijn waarschijnlijk gevormd door neutron- en protonvangst reacties. Deze processen vinden plaats zolang de ster brandt of wanneer explosies protonen en neutronen produceren. Op het moment dat de kernreacties die de energie van de ster leveren stoppen, stopt ook de productie van zware elementen.

3.4 Standaard zonnemodel

Het standaard zonnemodel (standard solar model - SSM) is een van de meest complete en succesvolle theorieën van de moderne sterrenkunde. We zullen de basisgedachten achter dit model en de consequenties ervan kort bespreken. Het SSM is gebaseerd op vier aannamen:

• De zon is sferisch symmetrisch.

• De zon is in hydrostatisch evenwicht.

• Energie wordt overgebracht door straling en convectie alsook door neutrino’s.

• Fusie van waterstof in helium is de energiebron.

De centripetale versnelling op de equator van de zon is 5 × 10^{−3} m/s^{2} en dat is verwaarloosbaar ten opzichte van haar gravitatie van 274 m/s^{2}. Sferische symmetrie is dus een goede aanname en we mogen toestandvariabelen, zoals temperatuur en druk, schrijven als functie van de afstand tot het centrum van de zon, bijvoorbeeld T (r) en P (r). Indien de lokale compositie (voornamelijk waterstof en helium) bekend is, dan geven deze twee grootheden ook de dichtheid. Als we aannemen dat de gasdruk^{22} dominant is over de stralingsdruk dan kunnen we deze laatste verwaarlozen. Er geldt P_{gas} = \frac{ρkT}{μ} en P_{straling} = \frac{4σT^{4}}{3c}, met ρ de dichtheid, μ de deeltjesmassa (3, 345 × 10^{−27} kg voor waterstofmoleculen), σ de Stefan-Boltzmann constante en c de lichtsnelheid. Diep in de zon bedraagt de dichtheid ρ ∼ 10^{4} kg/m^{3} en temperatuur T ∼ 10^{7} K en onder deze condities vinden we P_{gas} ∼ 1, 4 × 10^{15} en P_{straling} ∼ 2, 5 × 10^{12} N/m^{2}. We zien dat de stralingsdruk inderdaad verwaarloosbaar is^{23}.

22We vinden de uitdrukking voor de gasdruk uit de ideale gaswet, P V = NkT, met P de gasdruk, V het volume, N het aantal moleculen, k de constante van Boltzmann en T de temperatuur. Omdat de deeltjesdichtheid, \frac{N}{V} = \frac{ρ}{μ}, met ρ de massadichtheid, μ het moleculaire massa (μ = 2m_{p} voor waterstofmoleculen, H_{2}) en m_{p} de massa van het proton, kunnen we de gasdruk ook schrijven als P = \frac{ρkT}{μ}.

Figuur 12: In de zon is er evenwicht tussen gravitatie en de gasdruk ten gevolge van de energie opgewekt door kernfusie. Rechts: op een schil met oppervlak A en dikte h is er hydrostatisch evenwicht tussen de krachten.

We stellen ons voor dat de zon is opgebouwd uit sferische schillen. Op de bodem van een volume element werkt een kracht ter grootte F_{bodem} = P (r)A, terwijl op de top een kracht werkt ter grootte F_{top} = −(P + ΔP)A. Het minteken geeft aan dat de kracht naar het centrum van de zon wijst. Verder werkt er nog de gravitatie op de massa van het volume element. Het gewicht is gelijk aan F_{gravitatie} = −Δmg, met Δm de massa van het element en g de lokale gravitatie versnelling. We vinden F_{gravitatie} = −ρAhg. De lokale gravitatie wordt gegeven door g = \frac{GM_{I}}{r^{2}} , waarbij M_{I} de totale massa binnen de bol is die begrensd wordt door de sferische schil. Deze krachten zijn in hydrostatisch evenwicht, P (r)A − (P + ΔP)A − ρAh\frac{GM_{I}}{r^{2}} = 0, en er geldt voor een dunne sferische schil (met ΔP → dP en Δr = h → dr)

P − (P + dP) − \frac{GM_{I}ρdr}{r^{2}} = 0 → \frac{dP}{dr} = −\frac{GM_{I}ρ}{r^{2}} = −\frac{GM_{I}P μ}{kT r^{2}}.  (53)

Als randvoorwaarde hebben we dat de druk nul moet zijn aan de rand van de ster, waar ρ ∼ 0. De massa binnen de bol bedraagt M_{I} en de sferische schil levert een bijdrage

dM_{I} = 4πr^{2}ρdr = \frac{4πr^{2}P μ}{kT}dr → \frac{dM_{I}}{dr} = \frac{4πr^{2}P μ}{kT}.  (54)

Hier geldt de randvoorwaarde dat M_{I} = 0 als r = 0. Verder geldt dat M_{I} = M_{⊙} als r = R_{⊙}, de straal van de ster.

In de evenwichttoestand is de energie binnen het volume element, tussen r en r + dr constant. De stralingsflux door het buiten oppervlak is dan gelijk aan de som van de flux door het binnen oppervlak en het vermogen dat binnen de sferische schil wordt gegenereerd. Dit geeft

L + dL = L + 4πr^{2}ϵρdr → \frac{dL}{dr} = 4πr^{2}ϵρ = \frac{4πr^{2}P μϵ}{kT},  (55)

met L de luminositeit ofwel de flux van uitgestraalde energie per tijdseenheid, en ϵ de functie van intrinsieke energie generatie (in W/kg). Bij een hogere temperature zal er meer energie in de ster worden gegenereerd. Als randvoorwaarden gebruiken we L = 0 als r = 0, terwijl voor r = R_{⊙} we de luminositeit L = L_{⊙} van de zon dienen te vinden.

23Voor massieve sterren met hogere temperatuur kan stralingsdruk wel een belangrijke rol spelen.

Tenslotte stellen we een vergelijking op voor de temperatuurverdeling van de zon. Hiertoe beschouwen we de intensiteit (J/(m^{2}s)) door een sferische schil. Straling passeert deze schil, terwijl er ook straling door kernfusie in de schil kan worden gegenereerd. Als de gemiddelde intensiteit van de straling binnen de schil gelijk is aan I, dan is de energie die geabsorbeerd wordt per tijdseenheid voor straling die de schil passeert gelijk aan −Iκρdr, met κ de opaciteit gedefinieerd als κ = \frac{ζ}{ρ}, met ζ de lineaire absorptie coëfficiënt. De geabsorbeerde intensiteit bedraagt dI = −ζIdr = −κρIdr. De intensiteit van de straling die de schil passeert is gerelateerd aan de lokale luminositeit volgens I = \frac{L}{4πr^{2}} . Vanwege de relatie tussen energie (E) en impuls (p voor straling geldt E = pc, kunnen we de impulsverandering per tijdseenheid van de straling tussen binnen en buiten oppervlak schrijven als

dp = −\frac{Iκρ}{c}dr = −\frac{Lκρ}{4πr^{2}c}dr.  (56)

De impulsverandering in een sectie met eenheidsoppervlak vertegenwoordigt een krachtverschil per eenheid van oppervlakte, of stralingsdruk tussen en binnen en buiten oppervlak van het element. Er geldt

\frac{dP_{straling}}{dr} = −\frac{Lκρ}{4πr^{2}c}.  (57)

Omdat de stralingsdruk gegeven wordt door P_{straling} = \frac{4σT^{4}}{3c}, kunnen we dit differentiëren naar r en in bovenstaande vergelijking invullen. We vinden dan

\frac{dP_{straling}}{dr} = \frac{16σT^{3}}{3c} \frac{dT}{dr} → \frac{dT}{dr} = −\frac{3Lκρ}{64πσT^{3}r^{2}} .  (58)

Voor de temperatuur nemen we als randvoorwaarde T = T_{oppervlak} als r = R_{⊙}. Dat is de conventionele temperatuur van een ster, die men kan waarnemen; het is de temperatuur van de fotosfeer, de zichtbare buitenkant van de ster.

Figuur 13: Resultaten van het standaard model voor de zon. Boven: temperatuur en dichtheidsverdeling; onder: massafracties van diverse elementen.

Bovenstaande differentiaalvergelijkigen kunnen iteratief worden opgelost en Fig. 13 geeft de berekende temperatuur en dichtheidsverdeling in de zon. We zien dat in het centrum van de zon een temperatuur van 16 miljoen graden wordt bereikt.

We kunnen een gevoel krijgen voor het verband tussen massa (M), grootte (R) en de druk (P_{C}) in het binnenste van de ster. Hiervoor gebruiken we vergelijking (53) om bij grove benadering de druk in de ster (in één stap met dr → R en M_{I} → M) te schrijven als \frac{dP}{dr} = −\frac{GM_{I}ρ}{r^{2}} → P_{C} ≈ \frac{GMρ_{C}}{R}. We benaderen de massa met M ≈ \frac{4}{3}πR^{3}ρ_{C}. Combineren levert P_{C} ≈ \frac{GM^{2}}{4πR^{4}} . Op dezelfde wijze vinden we dat de centrale temperature schaalt als T_{C} ∼ \frac{M}{R}.

Als we sterren met globaal dezelfde massa M beschouwen, dan geldt M ∼ ρ_{C}R^{3} = constant. Omdat dus geldt dat R ∼ ρ_{C}^{− \frac{1}{3}} , vinden we de toestandsvergelijking voor de centrale druk

P_{C} ∼ ρC^{\frac{4}{3}}.  (59)

Dit is de toestandsvergelijking voor een ster waarbij de druk precies in balans is met de gravitatie. Toestandsvergelijking van de vorm P ∼ ρ^{γ} worden polytropische toestandsvergelijkingen genoemd. Als de polytropische index γ groter is dan 4/3 dan neemt de druk sneller toe bij compressie en stoot de ster terug, de ster is stabiel. Toestandsvergelijkingen met γ < 4/3 zijn niet stabiel.

3.5 Witte dwergen, supernovae en neutronensterren

In het voorgaande hebben we diverse verbrandingsprocessen die zich in sterren afspelen beschreven. In deze fusiereacties worden elementen geproduceerd en tegelijkertijd wordt meer en meer kernbrandstof opgebruikt. Wat gebeurt er wanneer er geen brandstof meer is? Volgens de gangbare theorieën kan een ster op vier manieren aan zijn einde komen: het kan een zwart gat, een witte dwerg, of een neutronenster worden, of het kan volledig fragmenteren. Haar uiteindelijke lot wordt bepaald door de beginmassa van de ster. Als deze massa minder is dan ongeveer vier zonnemassa’s, dan zal de ster een witte dwerg worden. Als deze massa echter groter is dan ongeveer vier zonnemassa’s, kan een supernova ontstaan die resulteert in een neutronenster, een zwart gat of in volledige fragmentatie. Zwarte gaten trekken zich oneindig lang samen en benaderen, maar zullen dit nooit bereiken, een straal van ongeveer 3 km en een dichtheid van meer dan 10^{16} g/cm^{3}. Neutronensterren hebben een straal van ongeveer 10 km en een centrale dichtheid die groter is dan die van kernmaterie, ongeveer 10^{14} g/cm^{3}. In het volgende bespreken we de formatie en eigenschappen van neutronensterren.

Stel dat het fusieproces ten einde loopt en de ster begint te contraheren onder zijn eigen gravitatie. Volgens het Pauli principe dient een systeem dat N_{e} elektronen bevat spinparen te vormen met impulsen die minstens Δp_{minimum} verschillen. Dit betekent dat in drie dimensies de grootste impuls in elke richting minstens de waarde Ne^{\frac{1}{3}} Δp_{minimum} dient te hebben. Merk op dat in deze bespreking we ons niet druk maken over factoren 2 of π, etc. De minimum impuls kunnen we vinden uit Heisenberg’s onzekerheidsrelatie en is geassocieerd met de maximale onzekerheid in de plaats van het deeltje, hetgeen de grootte (2R) van de ster is. We vinden hiermee voor de minimum impuls in de x-richting Δp_{minimum x} = \frac{h}{2R}, met h de constante van Planck. We kunnen

nu het effect van het Pauli principe in rekening brengen door te vermenigvuldigen met Ne^{\frac{1}{3}} en vinden de minimum waarde die de grootste impuls in de x-richting dient te hebben. De drie richtingen combineren om een kinetische energie te leveren van

< K >_{gemiddeld}= 3\frac{(Ne^{\frac{1}{3}} Δp_{minimum x})^{2}}{2m_{e}} = Ne^{\frac{2}{3}} \frac{3h^{2}}{8m_{e}R^{2}}  (60)

waarbij we de klassieke relatie tussen kinetische energie en impuls gebruikt hebben (K = \frac{p^{2}}{2m}). Deze random kinetische energie leidt direct tot de gasdruk via relatie P V = NkT waarbij we de thermische energie kT vervangen door kT = \frac{2}{3} < K >_{gemiddeld}. We vinden dan

P_{Fermi} = \frac{2}{3} \frac{N}{V} < K >_{gemiddeld}= \frac{h^{2}Ne^{\frac{5}{3}}}{4m_{e}V R^{2}} .  (61)

Vervolgens gebruiken we de benadering die een relatie geeft tussen druk, massa en grootte van een ster P = \frac{3GM^{2}}{4πR^{4}} en stellen dit gelijk aan de Fermi gasdruk P_{Fermi}. Verder geldt dat M = N_{e}μ ≈ 2m_{p}N_{e} en V = \frac{4}{3}πR^{3}. We vinden

R = Ne^{\frac{2}{3}} \frac{h^{2}}{8Gm_{p}m_{e}M} ,  (62)

en als we hiervoor de massa van de zon gebruiken (M = M_{⊙}) vinden we een straal R = 10^{7} m. Dat is een straal in de orde van de straal van de aarde. Een exacte berekening geeft als uitkomst dat een witte dwerg met een massa van 1 zonnemassa een straal heeft die ongeveer 90 % is van de straal van de aarde.

We kunnen voor een witte dwerg de toestandsvergelijking afleiden door op te merken dat R ∼ V ^{\frac{1}{3}} en we zien dat de Fermi gasdruk enkel afhangt van de verhouding N_{e}/V, het aantal elektronen per volume eenheid. Deze elektronendichtheid is evenredig met de massadichtheid ρ = μN_{e}/V en we vinden hiermee de Fermi toestandsvergelijking

P_{Fermi} = βρ^{\frac{5}{3}} ,  (63)

waarbij de constante β afhangt van h, m_{e} en m_{p}. De polytropische index γ = \frac{5}{3} en dat betekent dat een niet-relativistisch ontaard Fermigas stabiel is onder kleine verstoringen.

Een ster die gedragen wordt door elektron ontaarding wordt een witte dwerg genoemd. Ook de protonen in het plasma van de ster zijn onderhevig aan de onzekerheidsrelatie en het Pauli principe. Derhalve vormen de protonen ook een ontaard gas en leveren ze een bijdrage tot de gasdruk van de ster. Omdat de kinetische energie gegeven wordt door \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{p^{2}}{2m} leveren protonen bij dezelfde waarde van impuls een beduidend kleinere bijdrage tot de kinetische energie en daarmee de gasdruk (het schaalt omgekeerd evenredig met de massa). Witte dwergen worden waargenomen door sterrenkundigen en komen relatief veel voor: typisch 1 op de 10 sterren is een witte dwerg.

Als een ster massief is, dan worden de elektronen in een klein volume gedwongen door de gravitatiekracht. Hierdoor wordt hun typische snelheid groot, in de orde van de lichtsnelheid. Om te begrijpen wat er dan fysisch gebeurt, dienen we een relativistisch ontaard elektronengas te beschouwen. We nemen hierbij aan dat de elektronen een gas vormen van ultra-relativistische vrije fermionen, die zich in een volume V bevinden. Alle beschikbare toestanden zijn bezet tot de Fermi energie E_{F}. Dit ontaarde elektronengas levert de druk die in evenwicht is met de gravitationele aantrekking. Voor ultra-relativistische deeltjes wordt het verband tussen energie en impuls gegeven door E = |p⃗|c. Analoog aan vergelijking (61) wordt de druk voor een ontaard relativistisch elektrongas gegeven door

P = \frac{hcNe^{\frac{4}{3}}}{3RV} .  (64)

Als we dit weer gelijkstellen aan \frac{3GM^{2}}{4πR^{4}} en het volume vervangen door \frac{4}{3}πR^{3} krijgen we

\frac{hcNe^{\frac{4}{3}}}{4πR^{4}} = \frac{3GM^{2}}{4πR^{4}} .  (65)

In bovenstaande vergelijking gebeurt er iets verrassends, want de straal van de ster valt uit de vergelijking. Wat we overhouden is een uitdrukking voor de massa. Klaarblijkelijk heeft een relativistische witte dwerg een unieke massa. Deze massa noemen we de Chandrasekhar massa^{24} en deze wordt gegeven door

M_{Ch} = (\frac{hc}{3G})^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{μ})^{2} = (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} \frac{m_{Pl}^{3}}{m_{p}^{2}} ) ≈ 1, 4M_{⊙}.  (66)

In de laatste stap hebben we μ = m_{p} genomen, terwijl m_{Pl} de zogenaamde Planck massa is,

die wordt gegeven door m_{Pl} = (\frac{hc}{G})^{\frac{1}{2}} = 5, 5 × 10^{−8} kg. Uit vergelijking (64) kunnen we de

Figuur 14: Relatie tussen straal en massa voor een witte dwerg voor een (niet-)relativistisch elektrongas. In de limiet van een ultra-relativistisch elektrongas wordt de Chandrasekhar limiet bereikt.

toestandsvergelijking van een ultra-relativistische witte dwerg vinden. Omdat R ∼ V ^{\frac{1}{3}} zien we dat

P = βρ^{\frac{4}{3}}  (67)

Zoals we besproken hebben in vergelijking (59) is een index γ = \frac{4}{3} slechts marginaal stabiel voor gravitationele ineenstorting. Elke kleine correctie op de eigenschappen van een ultrarelativistische witte dwerg kan instabiliteit tot gevolg hebben.

Men neemt aan dat neutronensterren zich ontwikkelen uit de gravitationele samenstorting van sterren die massiever zijn dan ongeveer acht zonnemassa’s. Tegen het einde van de diverse stadia van kernverbranding heeft de temperatuur een waarde van ongeveer 8 × 10^{9} K bereikt in een centrale, voornamelijk uit ijzer bestaande, kern ter grootte van ongeveer 1,5 zonnemassa. Het element ^{56}Fe heeft de meest stabiele kern bij lage temperatuur en druk. Bij de druk, dichtheid en temperatuur van de centrale kern zullen de atomen volledig geïoniseerd zijn, waarbij de vrije elektronen een ontaard gas vormen. Het gedrag van deze elektronen bepaalt de verdere evolutie van de ster.

24Subrahmanyan Chandrasekhar (1910 - 1995) heeft deze limiet afgeleid, die bepaalt of een instortende ster een witte dwerg wordt of een exotischer object: neutronenster, quarkster of zwart gat.

De ultra-relativistische witte dwerg is niet stabiel voor gravitationele ineenstorting. De sterkern verliest elektronen vanwege elektronvangst^{25} door het ijzer, waarbij neutrino’s worden uitgezonden. Als elektronen niet langer weerstand kunnen bieden aan de massa van de kern, stort de ster in. De gravitationele energie die hierbij vrijkomt wordt in warmte en kinetische energie omgezet. Kernen gaan hierbij over tot een gas van nucleonen en de dichtheid van de kern van de ster neemt toe tot waarden die ongeveer twee keer zo groot zijn als die van kernmaterie. Op dit punt aangenomen, stopt de compressie omdat het nucleongas nu de druk levert die nodig is om verdere ineenstorting te voorkomen. In het geval van niet al te grote massieve sterren, stuitert de kern wat op en neer als de compressie stopt, waardoor uitgaande drukgolven ontstaan die resulteren in een schokgolf. Deze schokgolf zal de mantel van de ster doen scheuren waardoor er een explosie volgt. Op deze wijze wordt een type II supernova geboren. De energie van de ineengestorte kern, ongeveer 3 × 10^{46} J, wordt in een tijdspanne van ongeveer 10 s uitgezonden in de vorm van neutrino’s, waarbij er een neutronenster resteert. De neutrino’s van SN1987a zijn op aarde waargenomen door het Superkamiokande en IMB experiment, waarbij de energieen tijdverdeling van deze neutrino’s gemeten is.

Neutrino emissie is een efficiënt koelproces voor de resterende neutronenster. De ster koelt al fors binnen een paar seconden en heeft na een paar dagen een interne temperatuur van ongeveer 10^{10} K bereikt. Deze interne temperatuur blijft zeker boven de 10^{9} K gedurende de eerste duizend jaar, met neutrino emissie als het belangrijkste koelproces. Daarna wordt foton-emissie het dominante koelproces en bereikt de neutronenster een temperatuur van ongeveer 10^{8} K. Fig. 15

Figuur 15: Doorsnede van een typische neutronenster. De hadronische kern kan quarkmaterie of een pion-condensaat bevatten. toont een doorsnede van een typische neutronenster. Hierbij zijn de volgende vragen relevant: Hoe heeft de ster deze eindtoestand bereikt? Waarom stort de ster niet volledig in? Veel vakgebieden zijn betrokken bij een formulering van antwoorden op deze vragen: relativiteitstheorie, quantummechanica, kern- en deeltjesfysica en vastestof fysica. In het volgende bespreken we een aantal subatomaire fysica aspecten.

25Elektronvangst is de reactie p + e^{−} → n + ν_{e}. Hierdoor worden protonen omgezet in neutronen, terwijl de ster neutrino’s uitzendt.

We beschouwen als eerste de dichtheid en samenstelling van de ster. Voor een gegeven massa van de neutronenster, kunnen we de straal en dichtheidsverdeling uitrekenen^{26}. Voor een ster met een straal van 10 km is de centrale dichtheid ongeveer 10^{14} − 10^{15} g/cm^{3}. De dichtheid neemt toe van nul, aan de top van de ‘atmosfeer’, tot een waarde die groter is dan die van kernmaterie in het centrum. Uit de dichtheid kunnen we de samenstelling op een gegeven diepte afleiden. De buitenste laag bestaat voornamelijk uit ^{56}Fe, het eindresultaat van het proces van kernverbranding. De dichtheid neemt toe als we in de richting van het centrum van de ster gaan en de Fermi energie wordt dusdanig groot, dat elektronvangst kan optreden, net zoals dat het geval was bij het ontstaan van een neutronenster in de pre-supernova fase. Bij deze hogere temperatuur worden meer neutronen-rijke isotopen gevormd. Elektronvangst blijft toenemen en bij een dichtheid van ongeveer 4 × 10^{11} g/cm^{3} zullen kernen met 82 neutronen, zoals ^{118}Kr, het meest stabiel zijn. Merk op dat gewoon krypton op aarde een atoomgetal A = 84 heeft. De meest stabiele nucleïden bij dergelijke hoge drukken zijn dus zeer neutronen-rijk. Onder normale toestanden zouden dergelijke kernen direct vervallen door elektron-emissie. Echter bij drukken die heersen in een neutronenster, zijn alle beschikbare toestanden reeds door elektronen bezet en verbiedt het Pauli principe een dergelijk beta-verval.

Het buitenste neutron van ^{118}Kr is nauwelijks gebonden. Als de dichtheid groter wordt dan 4 × 10^{11} g/cm^{3}, beginnen de neutronen uit de kernen te lekken en ontstaat er een ontaarde vloeistof. Als de druk verder toeneemt, zullen de kernen in deze zogenaamde ‘neutron drip line’ meer en meer neutronen-rijk worden en in grootte groeien. Bij een dichtheid van ongeveer 2.5 × 10^{14} g/cm^{3}, beginnen de kernen elkaar te raken en gaan ze in elkaar over om een continue vloeistof van neutronen, protonen en elektronen te vormen. Neutronen zijn hierbij in de meerderheid en de fractie protonen wordt geraamd op ongeveer 4 % van alle materie. De neutronen kunnen niet vervallen in protonen, omdat de energie van het vrijkomende elektron kleiner zou zijn dan de Fermi energie van het elektrongas. Het verval is derhalve verboden door het Pauli principe.

Als de energie nog groter wordt, is het energetisch mogelijk om via elektronvangst meer massieve elementaire deeltjes te vormen, zoals bijvoorbeeld

e^{−}n → ν Σ^{−},  (68)

waarbij dergelijke deeltjes weer stabiel zijn vanwege het Pauli principe. Fig. 16 toont resultaten van een berekening^{27} van de samenstelling van een neutronenster als functie van de dichtheid.

Als we onze aandacht nog een keer richten op de druk in een neutronenster, dan hebben we reeds gezien dat het ontaarde elektronengas bij relatief lage drukken, de tegendruk levert die ineenstorting van de ster voorkomt. Bij hogere drukken wordt volledige ineenstorting voorkomen door een combinatie van twee effecten, de afstotende kracht in de nucleon-nucleon interactie en de energie ontaardheid van de neutronen. Fig. 16 toont dat neutronen domineren bij de hoogste drukken. Ze vormen een ontaard Fermigas en we kunnen de argumenten die geleid hebben tot vergelijking (62) herhalen voor het niet-relativistische geval. We vervangen in vergelijking (62) m_{e} door m_{n} en stellen μ = m_{p} (dus vermenigvuldigen met een factor 2). Dit betekent dat de straal van een neutronenster ongeveer 600 keer kleiner is dan die van een witte dwerg, of wel ongeveer 17 km. We vinden dan weer dat de druk toeneemt met afnemend volume totdat Figuur 16: Aantal materiedeeltjes als functie van de dichtheid. Het ‘neutron drip regime’, waarbij neutronen uit kernen lekken, begint bij 4 × 10^{11} g/cm^{3}. Bij een dichtheid van ongeveer 2, 5 × 10^{14} g/cm^{3} beginnen de kernen op te lossen. Bij hogere dichtheden kunnen muonen en vreemde deeltjes ontstaan.

26G. Baym en C. Pethick, Ann. Rev. Nucl. Sci. 25, 27 (1975); S. Tsuruta, Comm. Astrophys. 11, 151 (1986).

27M.A. Ruderman, Sci. Amer. 224, 24 (februari 1971).

het, samen met de harde-pit repulsie van de NN-kracht, in evenwicht is met de gravitationele aantrekking.

Het bestaan van neutronensterren is reeds in de jaren dertig van de vorige eeuw voorspeld. Hun ontdekking kwam onverwacht in 1967 toen een nieuwe klasse hemellichamen werd waargenomen. Deze objecten zijn puntvormig, staan buiten ons zonnestelsel en zenden periodieke radiogolven uit. Ze werden pulsars genoemd en op dit moment zijn er meer dan 1000 bekend. Hun periode varieert van ongeveer 1,5 ms tot 4 s. In 1968 suggereerde Gold^{28} dat een pulsar een neutronenster is. De periode van de pulsar wordt geassocieerd met de rotatiefrequentie van de neutronenster. De frequentie neemt geleidelijk af vanwege het verlies aan rotatie energie. Dit energieverlies is aanzienlijk, zo is het verlies van rotatie energie van de Krabpulsar ongeveer even groot als de totale energie uitgezonden door deze nevel. De neutronenster is dus de energiebron van de enorme Krabnevel.

Men heeft pulsars niet alleen waargenomen als radiosterren, maar ook is periodieke emissie van licht gemeten. De perioden, de vertragingssnelheden, en de plotselinge veranderingen van de perioden zijn zorgvuldig bestudeerd. Hiermee zijn diverse eigenschappen van neutronensterren vastgesteld en weten we meer van het gedrag van kernmaterie bij dichtheden groter dan 10^{15} g/cm^{3}.

28T. Gold, Nature 218, 731 (1968).

3.6 Neutrino astronomie

Er is één deeltje dat kan ontsnappen uit het inwendige van een dichte ster: het neutrino. Neutrino astronomie, alhoewel uitermate ingewikkeld, maakt het mogelijk om in het inwendige van sterren, bijvoorbeeld de zon, te kijken. De eigenschappen die het neutrino uniek maken, kunnen als volgt worden samengevat:

1. De absorptie van neutrino’s en antineutrino’s in materie is klein. De werkzame doorsnede voor absorptie kan geschreven worden als

σ (cm^{2}) = 2, 3 × 10^{−44} \frac{p_{e}}{m_{e}c^{2}} \frac{E_{e}}{m_{e}c^{2}} ,  (69)

met p_{e} en E_{e} de impuls en energie van het elektron in de eindtoestand in de reactie νN → eN′. We vinden dat de gemiddelde vrije weglengte van een 1 MeV neutrino in water ongeveer 10^{19} m is. Dit is vele malen groter dan de lineaire afmetingen van sterren, die in het algemeen kleiner zijn dan 10^{11} m.

2. Men kan neutrino’s en antineutrino’s onderscheiden door verschillen in wisselwerkingen met water. De luminositeit van neutrino’s op aarde wordt gedomineerd door de zon, omdat die zo dichtbij staat. We geloven echter dat de primaire galactische bronnen van neutrino’s supernovae en hun restanten zijn. In het koelproces van supernovae worden neutrino en antineutrino paren van alle flavors^{29} uitgezonden via reacties met neutrale stromen^{30}, zoals e^{+}e^{−} → ν\overline{ν}. Verder worden elektron neutrino’s en antineutrino’s gegenereerd door kernreacties met geladen stromen, zoals e^{−}p → nν_{e}.

Figuur 17 toont dat de neutrino’s van SN1987a zijn waargenomen. In het volgende zullen we de zonneneutrino’s nader beschouwen. We hebben in sectie 3.2 gezien dat vier reacties van de pp-cyclus neutrino’s produceren. Fig. 18 geeft de voorspelling van het SSM voor deze neutrino’s. Bahcall en Davis hebben erop gewezen dat het mogelijk zou moeten zijn het bestaan van de pp fusiereacties in de zon te bewijzen, door zonneneutrino’s te detecteren met behulp van de reactie

ν_{e} ^{37}Cl → e^{−} ^{37}Ar.  (70)

Elektron neutrino’s, maar niet de antineutrino’s, met een energie van meer dan 0,814 MeV kunnen worden ingevangen door ^{37}Cl. Dit resulteert in ^{37}Ar en een elektron. Hoewel de werkzame doorsnede voor dit proces klein is, is het zeer wel mogelijk om een dergelijk experiment uit te voeren. De redenen hiervoor zijn als volgt samen te vatten:

1. De neutrinoflux van de zon is zeer groot, in de orde van 10^{15} neutrino’s/m^{2}-s, op het aardoppervlak. Uit Fig. 18 volgt dan een flux van energetische neutrino’s van ongeveer 6 × 10^{10} neutrino’s/m^{2}-s.

2. Men kan de detectoren zeer groot maken. Op dit moment worden detectoren ontworpen ter grootte van 1 kubieke kilometer. Icecube is het vervolg van het Amanda experiment op Antartica, terwijl KM3Net het vervolg wordt van het Antares experiment in de Middellandse zee. De beide detectoren zijn weergegeven in figuur 19.

3. Het ^{37}Ar kan in uiterst kleine hoeveelheden worden waargenomen, omdat het radioactief is. Het vervalt door elektronvangst,

e^{−} ^{37}Ar → ν_{e} ^{37}Cl,  (71)

29In de natuur komen er drie soorten neutrino’s voor: elektron neutrino ν_{e}, muon neutrino ν_{μ} en tau neutrino ν_{τ}.

30In de zwakke wisselwerking worden Z bosonen of W bosonen uitgewisseld. Omdat het Z boson ongeladen is, spreekt men van neutrale stromen. De W bosonen zijn geladen.

Figuur 17: Tijd- en energieverdeling van neutrino’s waargenomen met het Kamiokande en het IMB experiment.

met een halfwaardetijd van 35 dagen. Het elektron wordt gewoonlijk gevangen uit de Kschil en laat daar een gat achter. De energie die vrijkomt als een ander elektron van hoger gelegen schillen het gat opvult, wordt uitgezonden als een X-foton of het wordt gebruikt om een elektron uit een hoger gelegen schil te emitteren (men noemt het dan een Auger elektron). Het Auger elektron heeft een goed-gedefinieerde energie van 2,8 keV en kan relatief eenvoudig worden waargenomen.

4. Argon is een edelgas. We kunnen het daarom relatief eenvoudig scheiden van het chloor om het vervolgens in een klein volume te concentreren.

Het experiment van Davis et al. maakte gebruik van een tank met 390.000 liter C_{2}Cl_{4} (tetrachloorethyleen, een schoonmaakvloeistof). De tank werd 1,5 km ondergronds geplaatst in de Homestake goudmijn in Lead, Zuid Dakota. De 1,5 km rots boven het experiment diende als afscherming om de kosmische straling te reduceren. De abondantie van de cruciale isotoop ^{37}Cl is 25 %. Een neutrino interactie met dit chlooratoom produceert ^{37}Ar. Het radioactieve argon werd over een periode van 2 maanden verzameld en dan verwijderd door helium door de tank te stromen. Het argon werd van het helium gescheiden door absorptie op een gekoelde koolstofval. Vervolgens werd het in een volume van 0,5 cm^{3} geteld met een proportionele teller. Het resultaat wordt uitgedrukt in zogenaamde solar neutrino units, uitgesproken als ‘snew’, waarbij 1 SNU = 10^{−36} gebeurtenissen/s chloor atoom. De verwachting was dat Davis et al. ongeveer 8 SNU zouden moeten meten. Het experiment bepaalde 2, 4 ± 0, 3 SNU. Dit resultaat werd bevestigd door een experiment in de Kamiokande mijn, waarbij een fractie van 0, 46 ± 0.21 werd gemeten van de voorspelling door het standaard zonnemodel.

Lange tijd heeft men gezocht naar verklaringen voor de puzzle van de zonneneutrino’s. De oplossing is onlangs gevonden en heeft te maken met de transformatie van elektron neutrino’s Figuur 18: Energieverdeling van het SSM voor reacties van de pp-cyclus waarbij zogenaamde zonneneutrino’s worden geproduceerd.

naar muon (en tau) neutrino’s in het inwendige van de zon. Als de neutrinomassa niet gelijk is aan nul, dan kan een dergelijke transformatie plaatsvinden. In het inwendige van de zon wordt een dergelijke conversie geholpen door de aanwezigheid van elektronen. Door de geladen-stromen interactie krijgen de neutrino’s effectief een verandering in hun massa en deze verandering maakt de transformatie in muon neutrino’s mogelijk. Dergelijke veranderingen staan bekend als neutrino oscillaties en zijn onlangs ontdekt. De neutrale-stroom interactie draagt niet tot een dergelijke versterking bij, omdat de resulterende werkzame doorsnede van lage-energie neutrino’s niet van de neutrinosoort afhangt.

3.7 Neutrino oscillaties

We beperken de discussie tot twee flavors, het elektron neutrino ν_{e} en het muon neutrino ν_{μ}. De flavor eigentoestanden, ν_{e} en ν_{μ}, zijn echter geen massa eigentoestanden, ν_{1} en ν_{2}, maar zijn hieraan gerelateerd door een zogenaamde menghoek θ,

( \begin{matrix}ν_{e} \\ ν_{μ} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ − sin θ & cos θ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}ν_{1} \\ ν_{2} \end{matrix} ) .  (72)

We nemen aan dat we een bundel ν_{e}’s geproduceerd hebben met een precieze impuls, waarbij alle deeltjes in de x-richting bewegen en de bron zich op x = 0 bevindt. We vragen ons af wat de waarschijnlijkheid is om een ν_{e} te detecteren op positie x ≠ 0?

Neem aan dat we op tijdstip t = 0 een zuivere ν_{e} toestand hebben. Omdat ν_{1} en ν_{2} massa eigentoestanden zijn, en omdat de bundel bestaat uit eigentoestanden van impuls, vertelt de relatie

E_{i}^{2} = p^{2}c^{2} + m_{i}^{2}c^{4} voor i = 1, 2  (73)

ons, dat dit ook eigentoestanden van energie zijn. De tijdevolutie wordt daarom gegeven door 3 QUANTUMFYSISCHE VERSCHIJNSELEN IN HET UNIVERSUM 45 Figuur 19: Boven: schematische voorstelling van het Icecube experiment op Antartica. Beneden: weergave van het Antares experiment in de Middellandse zee. de uitdrukkingen

ν_{1}(t) = ν_{1}e^{−iE_{1}t/ℏ},
ν_{2}(t) = ν_{2}e^{−iE_{2}t/ℏ}.

Vervolgens gebruiken we de gegeven relatie tussen ν_{e} en ν_{i} en vinden dat de golffunctie op t = 0 geschreven kan worden als

ψ(0) = ν_{e} = cos θ · ν_{1} + sin θ · ν_{2}.  (75)

We gebruiken de tijdafhankelijkheid van de ν_{i} en kunnen de volledige oplossing van de Schrödingervergelijking met als begintoestand ψ(0) = ν_{e} schrijven als

ψ(t) = cos θ · ν_{1}(t) + sin θ · ν_{2}(t) = cos θ · e^{−iE_{1}t} · ν_{1} + sin θ · e^{−iE_{2}t} · ν_{2}.  (76)

De waarschijnlijkheid om een ν_{e} te detecteren is het kwadraat van de projectie van ψ(t) op de flavoreigentoestand ν_{e}. We maken gebruik van de orthonormaliteitsrelaties voor de massa eigentoestanden,

ν_{i}^{†} · ν_{j} = δ_{ij}  (77)

en berekenen de projectie als

ν_{e}^{†} · ψ(t) = (cos θ · ν_{1}^{†} + sin θ · ν_{2}^{†}) · (cos θ · e^{−iE_{1}t} · ν_{1} + sin θ · e^{−iE_{2}t} · ν_{2})
= cos^{2} θ · e^{−iE_{1}t} + sin^{2} θ · e^{−iE_{2}t}.

(78)

Als we het kwadraat nemen van bovenstaande uidrukking vinden we

P (ν_{e}) = | cos^{2} θ · e^{−iE_{1}t} + sin^{2} θ · e^{−iE_{2}t}|^{2}
= cos^{4} θ + sin^{4} θ + 2 cos^{2} θ sin^{2} θ cos [(E_{1} − E_{2})t].  (79)

We zien dat de periode van oscillatie gegeven wordt door

T = \frac{2π}{E_{1} − E_{2}} .  (80)

Als we aannemen dat de neutrino’s ultra-relativistisch zijn, dus E ≈ pc ≫ mc^{2}, dan geldt

E_{i} = \sqrt{p^{2}c^{2} + m_{i}^{2}c^{4}} ≈ pc + \frac{m_{i}^{2}c^{3}}{2p} + …  (81)

Als we dit invullen vinden we

T = \frac{2π}{E_{1} − E_{2}} ≈ \frac{4πp}{m_{1}^{2}c^{3} − m_{2}^{2}c^{3}} ≈ \frac{4πE}{(m_{1}c^{2})^{2} − (m_{2}c^{2})^{2}} .  (82)

Omdat de neutrino’s ultra-relativistisch bewegen, bewegen ze zich met praktisch de lichtsnelheid. De afgelegde weg bedraagt dus x = c · t. We zien dat de flavor oscillatie in de tijd, zich vertaalt in een oscillatie van de neutrino flavor als functie van de afstand tot de bron. De afstand die correspondeert met een oscillatieperiode wordt de oscillatielengte, L_{osc}, genoemd. We vinden hiermee de relatie

L_{osc} = c · T = \frac{4πℏcE}{(m_{1}c^{2})^{2} − (m_{2}c^{2})^{2}} = \frac{4πEℏc}{Δm^{2}c^{4}} ,  (83)

met Δm^{2} = |m_{1}^{2} − m_{2}^{2}|. Als we de juiste conversiefactoren gebruiken vinden we

L_{osc} = \frac{4π · (1, 6 × 10^{−13} J/MeV) · (3 × 10^{8} m/s) · (1, 054 × 10^{−45} Js) · E}{(1, 6 × 10^{−19} J/eV)^{2} · Δm^{2}}
= 2, 483m · eV^{2} · MeV^{−1} · \frac{E}{Δm^{2}}
≈ 2, 5 km \frac{E (GeV)}{Δm^{2} (eV)^{2}} .

Figuur 20: Gebieden in de neutrino parameterruimte opgespannen door Δm^{2} en menghoek θ die worden uitgesloten of die waarvoor er een voorkeur voor de waarden van deze parameters bestaat.

Er zijn diverse experimenten uitgevoerd om neutrino oscillaties te observeren. Hierbij werden neutrino’s van zowel de zon, als kernreactoren alsook de neutrino’s geproduceerd in atmosferische showers van kosmische straling gebruikt. Fig. 20 toont de gebieden in de neutrino parameterruimte opgespannen door Δm^{2} en menghoek θ die worden uitgesloten of die waarvoor er een voorkeur bestaat. De huidige consensus is dat neutrino oscillaties zijn waargenomen met een significantie van ongeveer 5 σ.

3.8 Kosmische straling

Op dit moment worden we gebombardeerd door energetische deeltjes uit de kosmos. Gemiddeld is de flux ongeveer 150 geladen deeltjes per vierkante meter en per seconde (voor een groot deel muonen met een energie van ongeveer 2 GeV). Kosmische straling werd ontdekt door de Limburgse geestelijke Theodore Wulf in het begin van de twintigste eeuw. Theodore Wulf fabriceerde uiterst nauwkeurige elektrometers. Hij nam echter waar dat hoe goed hij een elektrometer ook isoleerde, na verloop van tijd de aangebrachte lading geneutraliseerd werd. De gangbare theorie, geformuleerd door Ernest Rutherford, was dat dit veroorzaakt werd door de straling van radioactieve elementen in de aardbodem. Theodore Wulf trachtte deze bijdrage te elimineren, door zijn elektrometers te plaatsen op het hoogste gebouw ter wereld, op dat moment de 324 m hoge Eiffeltoren in Parijs. Metingen toonden aan dat het ontladen van de elektrometers met dezelfde snelheid doorging. Hierop nam Victor Hess in 1912 enkele elektrometers, vervaardigd door Theodore Wulf, mee in ballonvluchten. Het was duidelijk dat voor hoogten groter dan 1 km de ontlading toenam en zelfs verdubbelde bij 4 km. Dit was het moment van de ontdekking van kosmische straling. Sinds die tijd is de samenstelling, het energiespectrum en de ruimtelijke en tijdverdeling van deze straling uitvoerig bestudeerd. Kosmische straling vormt een belangrijke component van ons sterrenstelsel: haar energiedichtheid, ongeveer 1 eV/cm^{3}, is van dezelfde orde van grootte als de energiedichtheid van het galactisch magnetisch veld en de thermische beweging van het gas.

Figuur 21: Een invallend hoog-energetisch proton raakt de top van de aardatmosfeer en produceert een zogenaamde ‘cascade shower’.

Kosmische straling is bestudeerd op verschillende hoogten, met ballonnen, raketten en satellieten in de atmosfeer, maar ook in mijnen diep ondergronds. De straling die op de aardatmosfeer invalt bestaat uit kernen, elektronen, positronen, fotonen en neutrino’s. Het is gebruikelijk om enkel de geladen deeltjes kosmische straling te noemen. Zo wordt X-ray en γ-ray astronomie bedreven. Het lot van een kosmisch proton, dat met een hoge energie op de aardatmosfeer invalt, wordt geschetst in figuur 21. Het proton gaat een interactie aan met een stikstof- of zuurstofkern en dat heeft een reeks van gebeurtenissen tot gevolg. In eerste instantie wordt een groot aantal hadronen geproduceerd, waarbij pionen domineren. Er kunnen echter ook antinucleonen, kaonen en hyperonen geproduceerd worden. Deze hadronen zullen op hun beurt weer wisselwerken met de stikstof- en zuurstofkernen in de atmosfeer, terwijl de onstabiele deeltjes ook via de zwakke wisselwerking kunnen vervallen. Merk op dat hierbij de verhouding van elektron tot muon (anti)neutrino’s 1:2 is. De vervalsproducten bestaan bijvoorbeeld uit elektronen, muonen, neutrino’s en fotonen. De fotonen kunnen aanleiding geven tot paarproductie van deeltjes. De muonen zijn instabiel, maar kunnen veelal vanwege tijddilatatie toch het aardoppervlak bereiken. Samenvattend, kan een hoog-energetisch proton een ‘cascade shower’ initiëren, waarbij een groot aantal deeltjes, verspreid over een oppervlak van vele vierkante kilometers, het aardoppervlak kan bereiken. In tegenstelling tot een proton, zal een hoog-energisch foton meestal slechts een klein aantal muonen produceren. In het volgende zullen we ons concentreren op de primaire kosmische straling en de compositie van de ‘shower’ niet verder bespreken.

Figuur 22: Samenstelling van de nucleaire component van de primaire kosmische straling. De stippellijn toont de universele referentieverdeling.

De samenstelling van de nucleaire component van de primaire kosmische straling wordt getoond in figuur 22. De figuur toont ook de zogenaamde universele distributie van elementen zoals waargenomen in de zonneatmosfeer en in meteorieten. De data tonen een aantal opvallende feiten:

1. De elementen Li, Be en B zijn ongeveer 10^{5} keer meer abondant in kosmische straling dan universeel waargenomen.

2. De verhouding ^{3}He/^{4}He is ongeveer 300 keer groter in kosmische straling.

3. Zeer zware kernen komen vaker in kosmische straling voor.

4. Er zijn geen antihadronen aangetroffen in de primaire kosmische straling.

5. Elektronen zijn ongeveer 1 % keer zo abondant als kernen in hetzelfde energie interval; positronen vormen ongeveer 10 % van de elektron component.

De eerste twee feiten kunnen worden verklaard door aan te nemen dat de kosmische straling enkele g/cm^{2} moeten passeren tussen de bron en de top van de aardatmosfeer. In een dergelijke hoeveelheid materie produceren kernreacties de geobserveerde verdeling. Omdat de interstellaire dichtheid ongeveer 10^{−25} g/cm^{3} is, zijn de kosmische stralen ongeveer 10^{6} − 10^{7} jaar onderweg geweest. Het energiespectrum, dat is het aantal primaire deeltjes als functie van de energie, is gemeten over een enorm gebied. Voor de nucleaire component wordt dit getoond in Fig. 23, waarbij de meetgegevens zich uitstrekken over 14 decaden in energie en 32 decaden in intensiteit. De energie van het meest energetische deeltje is 4 × 10^{21} eV of ongeveer 60 J.

Het is duidelijk dat het energiespectrum geen thermische verdeling heeft: het is niet exponentieel, maar valt minder steil af. Een redelijke fit aan de meetgegevens, afgezien van de laagste energieën, geeft

I(E) ∼ E^{−2,7},  (85)

met I(E) de intensiteit van de nucleaire component met energie E. Er is een ‘knie’ bij ongeveer 10^{15} eV, die men niet goed kan zien in Fig. 23, maar die zichtbaar gemaakt kan worden door het spectrum te normeren op de fit. Het resultaat wordt getoond in Fig. 24. Men denkt dat de ‘knie’ veroorzaakt wordt door propagatie effecten of door een nieuw mechanisme van versnellen van geladen kosmische deeltjes. Boven ongeveer 10^{18} eV, waar het spectrum enigszins vlak wordt, neemt men aan dat de bijbehorende deeltjes van buiten ons sterrenstelsel afkomstig zijn (extragalactische straling), omdat het galactisch magneetveld onvoldoende is om dergelijke deeltjes op te sluiten. Het spectrum van elektronen lijkt voor energieën boven de 1 GeV op dat van figuur 23, maar is steiler boven de 100 GeV vanwege elektromagnetische interacties gedurende de vlucht van deze deeltjes. Hierdoor biedt het elektronspectrum een mogelijkheid om propagatiemodellen nauwkeurig te testen.

Er zijn nog twee factoren van belang in de discussie van de energiespectra van kosmische straling. De eerste is de isotropie van de straling, de tweede de constantheid in de tijd. Metingen geven aan dat de flux van kosmische straling isotroop is voor energieën kleiner dan 10^{15} eV. Er zijn aanwijzingen dat de flux uit het centrum van ons melkwegstelsel ongeveer 1 % groter is dan gemiddeld. De tijdafhankelijkheid van de intensiteit over langere perioden is bestudeerd door te kijken naar de abondantie van nucleïden in maangesteente en meteorieten. Hieruit kan men afleiden dat de intensiteit van kosmische straling constant is geweest over een periode van 1 miljard jaar.

De hierboven beschreven experimentele aanwijzingen impliceren dat de bron van kosmische straling de volgende eigenschappen dient te beziten: hij dient deeltjes met energieën tot bijna 10^{22} eV te produceren met een spectrum zoals gegeven door vergelijking (85). De totale energie geproduceerd in ons melkwegstelsel dient ongeveer 10^{42} J/jaar te zijn; de straling dient isostroop en constant te zijn over minstens 10^{9} jaar. Het primaire spectrum dient zware elementen te bevatten tot ongeveer Z = 100, maar met minder dan 1 % antihadronen.

Figuur 23: Energiespectrum van de nucleaire component van de primaire kosmische straling.

Er is nog geen model geformuleerd dat in staat is alle meetgegevens uniek en bevredigend te beschrijven. De drie belangrijkste openstaande vragen zijn (1) Waar komen de kosmische stralen vandaan? (2) Hoe worden de kosmische deeltjes geproduceerd? (3) Hoe worden ze versneld? In het volgende zullen we enkele opmerkingen hierover maken.

1. We kunnen de eerste vraag nauwkeuriger formuleren door een schematische tekening te maken van een doorsnede door ons melkwegstelsel. Dit is weergegeven in figuur 25. Kosmische straling kan geproduceerd worden in de binnenste stralingsdiscus, in de galactische halo, of ze kunnen ons melkwegstelsel van buitenaf binnenvliegen. De meeste natuurkundigen zijn van mening dat kosmische straling met een energie < 10^{18} eV van ons melkwegstelsel afkomstig is.

2. Men neemt aan dat supernovae en neutronensterren kosmische straling kunnen produceren. In ons melkwegstelsel komt een supernova gemiddeld eens in de 40 jaar voor, waarbij een supernova tussen de 10^{43} en 10^{45,5} J aan energie produceert. Een recente extragalactische supernova werd in 1987 waargenomen, SN1987 genoemd, en deze supernova wordt uitvoe-Figuur 24: Energiespectrum van hoog-energetische kosmische straling gemeten door verschillende groepen. Er is een ‘knie’ zichtbaar bij 10^{6} GeV, terwijl er een ‘enkel’ te zien is bij 10^{10} GeV.

Figuur 25: Schematische weergave van een doorsnede door ons melkwegstelsel.

rig bestudeerd. Studies van supernovae tonen aan dat deze de voor kosmische straling benodigde energie van 10^{42} J/jaar kunnen leveren. Het is echter moeilijk gebleken om met versnellingsmodellen gebaseerd op supernovaschokgolven rekenschap te geven van deeltjes met energieën groter dan 10^{15} eV. Recente waarneming van kosmische straling van het binaire systeem Cygnus X-3 en Hercules X-1 suggereren dat voor energieën boven de ‘knie’, de meeste kosmische straling afkomstig is van pulsars of binaire systemen die bestaan uit een neutronenster en een grote ster.

3. Het is mogelijk dat bronnen kosmische straling uitzenden met een energiespectrum, zoals gegeven door vergelijking (85). Daarentegen, is het ook mogelijk dat de natuur dezelfde techniek gebruikt als we nu in versnellers toepassen: versnellen in stappen. Een mechanisme voor deeltjesversnelling in de interstellaire ruimte, botsing van deeltjes met een bewegend magnetisch veld, werd voorgesteld door Fermi^{31}. Echter, in het algemeen is men de mening toegedaan dat de primaire bronnen van kosmische straling gevormd worden door supernovae explosies en hun restanten.

31E. Fermi, Phys. Rev. 75, 12 (1949).

4 Wiskunde I - Differentiaaltopologie

In een ruimte zijn een punt, scalair een vector voorbeelden van topologische objecten. Als de scalair of vector kan variëren van punt tot punt, spreken we over een scalairveld, respectievelijk een vectorveld. In. Fig. 26 geven we een voorbeeld van een scalairveld en een vectorveld op de aarde. Een tensor is een object dat de begrippen getal, vector, 1-vorm en matrix generali-

Figuur 26: Links: voorbeeld van een scalairveld, het verschil tussen de temperatuurverdeling gemeten op aarde in 2008 ten opzichte van het gemiddelde van de jaren 1951 - 1980; rechts: windverdeling aan het oppervlak van de aarde als voorbeeld van een vectorveld.

seert. Tensoren kunnen gezien worden als zelfstandige geometrische grootheden, die los staan van eventuele referentiesystemen. Het is onze doelstelling om alle fundamentele wetten van de natuur uit te drukken in dergelijke topologische of geometrische objecten. Dat is de essentie van het relativiteitsprincipe: de fundamentele wetten van de natuurkunde zijn onafhankelijk van de keuze van het referentiesysteem. Door gebruik te maken van tensoren verkrijgen we een dergelijke referentiesysteem onafhankelijke beschrijving.

In de relativiteitstheorie beschouwen we tensorvelden in ruimtetijd. Allereerst bespreken we hoe ruimtetijd in kaart gebracht kan worden. We zullen aannemelijk maken dat ruimtetijd een differentieerbare variëteit is. Vervolgens bespreken we de verschillende topologische objecten die in ruimtetijd betekenis hebben: scalair veld, vector, 1-vorm, tensoren. We zullen zien dat het mogelijk is om het begrip inproduct te definiëren in ruimtetijd en voeren de zogenaamde metrische tensor in.

4.1 Puntgebeurtenis

We voeren in deze paragraaf een centraal begrip van de algemene relativiteitstheorie in, namelijk het begrip puntgebeurtenis^{32}. Dit is een zogeheten primitief begrip, dit wil zeggen een begrip dat wordt gedefinieerd in termen van andere begrippen. Wat dit betreft is het vergelijkbaar met het begrip ‘punt’ uit de euclidische meetkunde. Primitieve begrippen worden niet gedefinieerd, omdat in hun definities weer andere begrippen optreden, die weer gedefinieerd zouden moeten worden, enz. Aan deze oneindige regressie wordt een einde gemaakt in de axiomatische methode. De daarin optredende axioma’s zijn te beschouwen als impliciete definities van de in de theorie voorkomende primitieve begrippen. We volgen derhalve een axiomatische opbouw van de algemene relativiteitstheorie. Hier introduceren we het begrip puntgebeurtenis met voorbeelden.

32In het Engels spreken van een event.

In de materiële werkelijkheid om ons heen vinden allerlei gebeurtenissen plaats: de zon gaat op, twee auto’s botsen op elkaar, ... Dat zijn allemaal gebeurtenissen en karakteristiek voor gebeurtenissen is dat ze zich in een zeker gebied van de ruimte afspelen en dat ze in een zeker tijdinterval gebeuren. Gebeurtenissen zijn vaak zeer complex en we ontleden ze dan ook verder. Een gebeurtenis kan worden beschouwd als te zijn opgebouwd uit zeer vele gebeurtenissen, die op een kleiner gebied en een kleiner tijdinterval betrekking hebben. Het geïdealiseerde limietgeveal van een gebeurtenis, die op een oneindig klein gebied plaats heeft en oneindig kort duurt noemen we een puntgebeurtenis. Een puntgebeurtenis is een gebeurtenis met een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip. Een voorbeeld van een puntgebeurtenis is de explosie van een oneindig klein rotje met een oneindig kort durende knal. Een ander voorbeeld is de botsing van twee massapunten, immers als de twee massapunten elkaar raken is er sprake van een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip.

Het begrip puntgebeurtenis houdt een extrapolatie van onze ervaring in, omdat er een eindige ondergrens is voor het scheidend vermogen voor afstanden en tijdsduren. Ieder fysisch proces is te beschouwen als een collectie van puntgebeurtenissen. De verzameling van alle mogelijke puntgebeurtenissen noemen we ruimtetijd. Ruimtetijd is niet slechts een verzameling, ruimtetijd heeft meer mathematische structuur. Het fundamentele begrip in de differentiaalmeetkunde is dat van een differentieerbare ruimte (differentieerbare variëteit). We zullen trachten dit plausibel te maken en daarna postuleren dat ruimtetijd een differentieerbare variëteit is.

4.2 Differentieerbare variëteit

Het oppervlak van de aarde vormt een twee-dimensionaal gekromd oppervlak. Dit oppervlak kan worden ingebed in de drie-dimensionale euclidische wereld. Een belangwekkende vraag is

Figuur 27: Het aardoppervlak kan in kaart worden gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende kaarten (n ≥ 2 kaarten).

nu: kan men over dergelijke twee-dimensionale oppervlakken spreken zonder het hulpmiddel van de drie-dimensionale euclidische ruimte? In de algemene relativiteitstheorie is ruimtetijd een gekromde vier-dimensionale ruimte; deze willen we graag beschrijven zonder haar in te bedden in een hoger dimensionale euclidische ruimte. Het antwoord is bevestigend, zoals blijkt uit het volgende voorbeeld: in de geografie beschrijft men het aardoppervlak, een oppervlak dat ongelijk is aan de twee-dimensionale ruimte 𝔼^{2}, met behulp van een atlas, bestaande uit twee-dimensionale kaarten, waarbij de drie-dimensionale ruimte niet nodig is. Een kaart beschrijft een stukje van het aardoppervlak met behulp van een stukje ℝ^{2}.

Het gehele aardoppervlak (zie Fig. 27) kan in kaart worden gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende kaarten. Teneinde ook de polen correct te kunnen afbeelden zijn er minstens 2 kaarten nodig. Voor het realiseren van een kaart zijn verschillende afbeeldingen f, g, ... mogelijk. Hier passen we cilinderprojectie toe (de polen worden hierbij niet correct afgebeeld. Mercatorprojectie is een cilinderprojectie, waarna een breedtegraad-afhankelijke schaalcorrectie wordt toegepast, hetgeen leidt tot hoekgelijkheidMerk op dat wanneer we een klein gebied rond een bepaald punt steeds verder uitvergroten, we de topologische structuur van de euclidische ruimte meer en meer benaderen.

Figuur 28: De omgeving U en V in S overlappen (het gearceerde gebied). De bijbehorende n−kaarten naar ℝ^{n}, (U, f) en (V, g), geven twee verschillende afbeeldingen (en dus twee coördinatenstelsels) in het overlapgebied. De relatie tussen deze coördinaten karakteriseert de differentieerbaarheidsklasse van de variëteit.

Wiskundig gebruiken we de volgende definities. Stel dat S een verzameling is. Een n-kaart van een punt P van S is een paar (U, κ), waarbij U ⊂ S een deelverzameling is die P bevat, en κ een bijectieve afbeelding κ : U ⟼ O ⊂ ℝ^{n} met O een open deelverzameling van ℝ^{n}. Een kaart (U, κ) voegt aan ieder punt P ∈ U ⊂ S coördinaten (x^{1}, x^{2}, ..., x^{n}) toe gedefinieerd door (x^{1}, x^{2}, ..., x^{n}) ≡ κ(P) ∈ ℝ^{n}. We noteren ook wel korter (x^{i}) ≡ (x^{1}, x^{2}, ..., x^{n}), waarbij stilzwijgend i = 1, 2, ..., n. De associatie van punten met de waarden van hun parameters kan men zien als een afbeelding van punten van een variëteit naar punten van de euclidische ruimte met de juiste dimensie. Een variëteit lijkt lokaal op een euclidische ruimte: hij is ‘glad’ en heeft een bepaald aantal dimensies.

Via de afbeelding κ krijgt de oorspronkelijke deelverzameling U van S eveneens sommige van de structuren die de open deelverzameling O ⊂ ℝ^{n} heeft. Een kaart geeft een coördinatisering van U; een kaart wordt ook wel een coördinatenstelsel van U genoemd. De coördinatenlijnen in O worden met κ^{−1} teruggebracht naar U. Een kaart moet een bijectieve, bicontinue afbeelding zijn van het aardoppervlak naar ℝ^{2}. Een bijectieve afbeelding κ heet bicontinu als κ en κ^{−1} continu zijn. Een bicontinue bijectie heet een homeomorfisme. We tonen alles nog eens in Fig. 29.

Figuur 29: Een vergroting van Fig. 28 toont hoe het overlappende gebied een afbeelding maakt van ℝ^{n} naar ℝ^{n}, die gegeven wordt door f^{−1} gevolgd door g (dit wordt g ∘ f^{−1} genoemd).

Een n-atlas op S is een collectie kaarten {(U_{α}, κ_{α})} zo dat {U_{α}} een overdekking van S is, dit wil zeggen S = ∪_{α}U_{α}. Door een atlas wordt ieder punt van S minstens één keer in kaart gebracht. Door de atlas op verzameling S wordt het mogelijk analyse te bedrijven en kan men bijvoorbeeld over differentieerbaarheid gaan praten.

Figuur 30: Een kaart geeft een afbeelding van het aardoppervlak naar de 2D euclidische ruimte. Op de kaart lijkt de afstand tussen Montreal en Parijs op die tussen Bogota en Lagos.

Samenvattend kunnen we het volgende zeggen. Het begin is een structuurloze verzameling S. Deze wordt verdeeld in elkaar gedeeltelijk overlappende deelverzamelingen, en deze deelverzamelingen worden stuk voor stuk in kaart gebracht, met andere woorden deze deelverzamelingen worden gecoördinatiseerd. Als S helemaal is overdekt door zulke gebiedjes, en als de overgangen tussen de verschillende coördinatenstelsels voldoende vaak differentieerbaar zijn, dan heet S een differentieerbare variëteit. Het hebben van een kaart is een goede eerste stap in de beschrijving van het aardoppervlak. Echter voor het berekenen van afstanden is er meer informatie nodig, want we dienen te weten hoe afstanden op de kaart overeenkomen met afstanden op het aardoppervlak. Deze informatie wordt gegeven door de metriek. De differentieerbare variëteit die ruimtetijd beschrijft heeft deze extra structuur. De metrische tensor volgt uit de Einsteinvergelijkingen en wordt bepaald door de energie-, massa- en impulsverdelingen, samengevat door de energie-impuls tensor.

4.3 Ruimtetijd van de ART

We zullen nu plausibel proberen te maken dat ruimtetijd een differentieerbare variëteit is. Daartoe wordt een geïdealiseerde waarnemer ingevoerd, dat is een waarnemer met verwaarloosbare afmetingen ten opzichte van de beschouwde schaal. Hierbij moet men denken aan een massapunt met daarop een glad lopende klok. Deze klok hoeft voorlopig helemaal niet eenparig (uniform) te lopen, als hij maar niet stilstaat. Bij iedere puntgebeurtenis op de plaats van deze waarnemer (dus op de plaats van het massapunt) hoort nu een eenduidig bepaald tijdstip, namelijk de tijd t die de klok aanwijst als de puntgebeurtenis P = P(t) plaatsvindt. Voor een zeker tijdinterval I is er dus een bijectie

γ : t ∈ I ⊂ ℝ ⟼ γ(t) = P(t) ∈ S.  (86)

Dit is een kromme in S, de wereldlijn van de waarnemer. Er zijn talloze voorbeelden van wereldlijnen te geven. Eén zo’n voorbeeld is de wereldlijn van een punttrein, dat is een trein met verwaarloosbare afmetingen ten opzichte van de beschouwde schaal (zie Fig. 31). Hierin is x de afstand van de punttrein tot het station O en t is de verlopen tijd sinds het vertrek uit O. Lichtsignalen zijn van groot belang voor het beschrijven van de structuur van ruimtetijd.

Figuur 31: Wereldlijn van een punttrein. De vertikale delen van de wereldlijn komen overeen met gebeurtenissen waarbij de trein stilstaat.

Bij lichtsignalen moet men denken aan golfpakketjes van radarsignalen, lichtpulsen of γ-quanta, waarvan de ruimtelijke afmetingen en de tijdsduur weer verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de beschouwde schaal. Het is gebruikelijk doch niet geheel juist dergelijke golfpakketjes collectief met de term foton aan te duiden. Het belang van fotonen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd is te wijten aan de empirisch vastgestelde universaliteit van de voorplanting van elektromagnetische golven in vacuüm, dat wil zeggen de voortplantingssnelheid in vacuüm is onafhankelijk van de bewegingstoestand van de bron en van de golflengte, de intensiteit en de polarisatie van de elektromagnetische golven.

Beschouw nu een radarstation P, dat een puntgebeurtenis e waarneemt. Het radarstation is klein genoeg om dit met een wereldlijn in S te beschrijven. Bij de puntgebeurtenis e kan men denken aan een vliegtuig waaraan op een zeker tijdstip en op een zekere plaats het radarsignaal wordt gereflecteerd. De tijd t_{V} van vertrek van het radarsignaal en de tijd t_{O} van ontvangst van het gereflecteerde radarsignaal worden door het radarstation P geregistreerd. In de newtonse mechanica wordt een puntgebeurtenis vastgelegd door vier coördinaten, (t, x, y, z) ∈ ℝ^{4}. Daarom introduceren we een tweede radarstation P′, dat een andere wereldlijn beschrijft en tijden t′_{V} en t′_{O} registreert voor dezelfde puntgebeurtenis e met de klok op P′. Men veronderstelt nu dat er een deelverzameling U van S bestaat, zodanig dat voor iedere puntgebeurtenis uit U de vier reële getallen (t_{V} , t_{O}, t′_{V} , t′_{O}) een coördinatenstelsel vormen. De kaart (U, κ) met U ⊂ S en κ(e) = (t_{V} , t_{O}, t′_{V} , t′_{O}) heet een radarcoördinatenstelsel. Er is hier ondersteld dat een radarstation door slechts één uitgaande en één terugkomende radarpuls met e verbonden is. Als het heelal gesloten is zou puntgebeurtenis e door meer dan twee radarsignalen met een radarstation verbonden kunnen zijn. We beperken daarom in bovenstaande constructie alle wereldlijnen tot een deelverzameling V van S, zodat e en P, respectievelijk e en P′ door slechts twee radarpulsen worden verbonden. Dit wordt schematisch weergegeven in Fig. 32. Door nu

Figuur 32: Twee waarnemers brengen een gebeurtenis in kaart door er radarpulsen aan te reflecteren. Radarcoördinaten van een puntgebeurtenis e worden gevormd door tijden van vertrek en ontvangst van deze radarpulsen.

ruimtetijd S lapjesgewijs helemaal in kaart te brengen op bovenstaande wijze komt men tot de uitspraak: ruimtetijd is een vierdimensionale differentieerbare variëteit.

Er zijn naast genoemde manier nog andere manieren om ruimtetijd van coördinaten te voorzien. We noemen er twee.

1. Breng in ruimtetijd een voldoend dichte zwerm willekeurig bewegende deeltjes aan (massapunten), en voorzie ieder van deze deeltjes van een klok die weer niet noodzakelijkerwijs eenparig hoeft te lopen, als hij maar niet stilstaat. Kenmerk verder ieder deeltje door drie reële getallen (x, y, z) om ze van elkaar te onderscheiden. Aan een puntgebeurtenis worden nu vier reële getallen toegevoegd, namelijk het drietal plaatscoördinaten (x, y, z) van het massapunt P waar de puntgebeurtenis e plaatsvindt en het tijdstip t dat de klok van P aanwijst op het moment dat de puntgebeurtenis e wordt waargenomen. We krijgen zo een kaart e ⟼ (t, x, y, z). Het coördinatenstelsel wordt zo geconstrueerd dat voor naburige puntgebeurtenissen bijbehorende (t, x, y, z) weinig verschillen.

2. Neem vier waarnemers met ieder een lopende klok, die willekeurig bewegen. Laat deze waarnemers de aankomsttijden t^{μ} (μ = 0, 1, 2, 3) van een lichtsignaal registreren dat door een puntgebeurtenis e is uitgezonden. Men krijgt voor de puntgebeurtenis e dan vier coördinaten (t^{μ}).

De belangrijkste begrippen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd zijn dus puntgebeurtenis, massapunt, foton en klok.

4.4 Coördinatentransformaties

Als we kijken naar Fig. 29, zien we dat om een punt P van de variëteit te labelen, we een systeem van n coördinaten gebruiken, maar waarbij de keuze van de coördinaten arbitrair is. Het idee hierachter is dat niet de ‘labels’, maar de punten zelf, en de topologische en geometrische relaties ertussen van belang zijn. We mogen punten herlabelen door coördinatentransformaties uit te voeren, x^{α} → x^{α′}, uitgedrukt door n vergelijkingen

x^{α′} = x^{α′}(x^{0}, x^{1}, ..., x^{n−1}) met α = 0, 1, 2, ..., n − 1,  (87)

waarbij we de nieuwe coördinaten geven als functie van de oude coördinaten. Merk op dat we het accent aan de index hangen om de nieuwe coördinaten aan te geven. We kunnen een coördinatentransformatie dus passief beschouwen als het toekennen van nieuwe (geaccentueerde) coördinaten (x^{0′}, x^{1′}, ..., x^{(n−1)′}) aan een punt van de variëteit, waarvan de oude coördinaten gegeven worden door (x^{0}, x^{1}, ..., x^{n−1}).

We zullen aannemen dat de functies gegeven in vergelijking (87) eenwaardig, continu en differentieerbaar zijn over het valide bereik van hun argumenten. Door elke vergelijking in (87) te differentiëren naar de oude coördinaten x^{β}, krijgen we de n × n partiële afgeleiden ∂x^{α′}/∂x^{β}. Deze kunnen we samennemen in de n × n transformatiematrix Λ_{β}^{α′}

Λ_{β}^{α′} = \frac{∂x^{α′}}{∂x^{β}} = ( \begin{matrix}\frac{∂x^{0′}}{∂x^{0}} & \frac{∂x^{0′}}{∂x^{1}} & ... & \frac{∂x^{0′}}{∂x^{n−1}} \\ \frac{∂x^{1′}}{∂x^{0}} & \frac{∂x^{1′}}{∂x^{1}} & ... & \frac{∂x^{1′}}{∂x^{n−1}} \\ ... & ... & ... & ... \\ \frac{∂x^{(n−1)′}}{∂x^{0}} & \frac{∂x^{(n−1)′}}{∂x^{1}} & ... & \frac{∂x^{(n−1)′}}{∂x^{n−1}} \end{matrix} ) ,  (88)

zodat rijen worden gelabeld met een index in de teller van de partiële afgeleide en kolommen door een index in de noemer. De elementen van de transformatiematrix zijn functies van de coördinaten, en daarom zijn de numerieke waarden van de matrixelementen in het algemeen verschillend als ze worden uitgerekend op verschillende punten P van de variëteit. De determinant van de transformatiematrix wordt de jacobiaan van de transformatie genoemd en wordt aangeduid met

J = det (\frac{∂x^{α′}}{∂x^{β}} ) .  (89)

Het is duidelijk dat de numerieke waarde van J van punt tot punt in de variëteit verandert.

Stel dat J ≠ 0 voor een bepaald bereik van de coördinaten x^{β}, dan betekent dit dat we (in principe) vergelijkingen (87) kunnen oplossen naar de oude coördinaten x^{β}. We krijgen op deze wijze de inverse transformatievergelijkingen

x^{α} = x^{α}(x^{0′}, x^{1′}, ..., x^{(n−1)′}) met α = 0, 1, ..., n − 1.  (90)

Op dezelfde manier als hierboven kunnen we de inverse transformatiematrix Λ_{β′}^{α} = ∂x^{α}/∂x^{β′} en de Jacobiaan van de inverse transformatie J′ = det(∂x^{α}/∂x^{β′}) bepalen.

Als we de kettingregel gebruiken, dan kunnen we eenvoudig laten zien dat de inverse transformatiematrix de inverse is van de transformatiematrix, omdat

∑_{β=0}^{n−1} Λ_{β}^{α′}Λ_{γ′}^{β} = ∑_{β=0}^{n−1} \frac{∂x^{α′}}{∂x^{β}} \frac{∂x^{β}}{∂x^{γ′}} = \frac{∂x^{α′}}{∂x^{γ′}} = δ_{γ}^{α} = \{ \begin{matrix}1 & if α = γ, \\ 0 & if α ≠ γ, \end{matrix} \}  (91)

waar we de Kronecker delta δ_{γ}^{α} gebruiken, alsmede het feit dat

\frac{∂x^{α′}}{∂x^{γ′}} = \frac{∂x^{α}}{∂x^{γ}} = 0 als α ≠ γ,  (92)

omdat de coördinaten in zowel het geaccentueerde als in het niet-geaccentueerde systeem onafhankelijk zijn. Omdat de twee transformatiematrices elkaars inverse zijn, volgt J′ = 1/J.

We beschouwen twee naburige punten P en Q in de variëteit, met respectievelijk coördinaten x^{α} en x^{α} + dx^{α}. In het nieuwe systeem wordt de infinitesimale coördinatenafstand tussen P en Q gegeven door de totale differentiaal

dx^{α′} = \frac{∂x^{α′}}{∂x^{0}} dx^{0} + \frac{∂x^{α′}}{∂x^{1}} dx^{1} + ... + \frac{∂x^{α′}}{∂x^{n−1}} dx^{n−1},  (93)

waar we bedoelen dat de partiële afgeleiden aan de rechterzijde van de vergelijking worden uitgerekend op punt P. We kunnen dit economischer schrijven als

dx^{α′} = ∑_{β=0}^{n−1} \frac{∂x^{α′}}{∂x^{β}} dx^{β} = \frac{∂x^{α′}}{∂x^{β}} dx^{β},  (94)

waar we in de laatste stap de sommatieconventie van Einstein hebben ingevoerd. Dit betekent dat als er in de uitdrukking dezelfde index boven als beneden voorkomt, we automatisch sommeren over alle waarden die die index kan aannemen.

4.5 Geometrische objecten

In het bovenstaande hebben we gepostuleerd dat ruimtetijd een differentieerbare variëteit is. We bespreken nu de verschillende topologische objecten die in ruimtetijd betekenis hebben: scalair veld, vector, 1-vorm, tensoren. Merk op dat de metrische tensor en het concept inproduct pas later aan de orde komen.

4.5.1 Puntgebeurtenis

Het begrip puntgebeurtenis hebben we reeds eerder besproken. Ruimtetijd is de verzameling van alle mogelijke puntgebeurtenissen.

4.5.2 Curve

Het is gebruikelijk om bij een curve te denken aan een reeks verbonden punten in ruimtetijd. Dit noemen we een pad en we reserveren het woord curve voor een geparametriseerd pad. We definiëren een curve als een afbeelding van een interval van de reële lijn naar een pad in ruimtetijd. Dit betekent dat een curve een pad is, waarbij met elke puntgebeurtenis een reëel getal geassocieerd is. Dit getal noemen we de parameter. Een curve P(λ) is te identificeren als een verzameling puntgebeurtenissen die gerelateerd zijn via een parameter λ. Elke puntgebeurtenis heeft coördinaten die uitgedrukt kunnen worden als een functie van λ. Er geldt

Curve : {x^{0} = f(λ), x^{1} = g(λ), x^{2} = h(λ), x^{3} = k(λ), a ≤ λ ≤ b}.  (95)

Als we de parameter vervangen (maar niet de puntgebeurtenissen) door λ′ = λ′(λ), vinden we

{x^{0} = f′(λ′), x^{1} = g′(λ′), x^{2} = h′(λ′), x^{3} = k′(λ′), a′ ≤ λ′ ≤ b′},  (96)

waarbij f′, g′, h′ en k′ nieuwe functies zijn en waar geldt a′ = λ′(a) en b′ = λ′(b). Wiskundig noemen we dit een nieuwe curve, terwijl de afbeelding (het pad dat in ruimtetijd gevolgd wordt) hetzelfde blijft. Een oneindig aantal krommen kunnen dus hetzelfde pad hebben.

Voor de parameter wordt typisch de tijd op de klok van een meereizende waarnemer gebruikt. Als een metriek ontbreekt kunnen we echter niet spreken over lengte langs een curve.

4.5.3 Scalairveld

We beschouwen enkel differentieerbare variëteiten en dat zijn ruimten die continu en differentieerbaar zijn. Dit betekent dat we op elk punt van de variëteit een scalairveld Φ kunnen definiëren en dat deze functie overal kan worden gedifferentieerd. Stel we hebben een gladde functie Φ

Figuur 33: Grafische voorstelling van een differentieerbare variëteit S. Binnen een lokaal gebied kan een kaart met gladde (reële getallen) coördinaten (x, y) de punten in de variëteit labelen. Om de hele variëteit te bestrijken dienen we verschillende kaarten samen te ‘lijmen’.

gedefinieerd op S, denk bijvoorbeeld aan de temperatuur op het aardoppervlak. In moderne wiskundige taal is Φ dan een gladde afbeelding van S naar de ruimte van reële getallen ℝ, omdat Φ aan ieder punt van S een reëel getal toekent, dit wil zeggen Φ maakt een afbeelding van S naar de reële getallen. Een dergelijke functie wordt vaak een scalairveld op S genoemd. Binnen een bepaald lokaal gebied heeft Φ een coördinatenvergelijking Φ = f(x, y) op de bijbehorende kaart. De gladheid van het scalairveld Φ komt dan tot uitdrukking in de differentieerbaarheid van de functie f(x, y). Het zal de lezer opgevallen zijn dat onderscheid wordt gemaakt tussen Φ en f. De reden is dat Φ gedefinieerd is op het oppervlak, maar uitgedrukt kan worden in verschillende coördinatensystemen. De wiskundige uitdrukking voor f(x, y) kan verschillen voor verschillende kaarten, terwijl de grootheid Φ op elk specifiek punt van het oppervlak bestreken door deze kaarten niet verandert. Voor een andere kaart in Fig. 33 geldt bijvoorbeeld Φ = F (X, Y). Als de kaarten overlappen geldt f(x, y) = F (X, Y). De specifieke uitdrukking voor F, in termen van X en Y, zal in het algemeen verschillen van de uitdrukking voor f in termen van x en y. In het algemeen is X een gecompliceerde functie van x en y in het overlap gebied, en dat geldt ook voor Y. Met deze functies dienen we rekening te houden als we van f naar F gaan. Dergelijke functies, die de coördinaten van één systeem beschrijven in termen van die van het andere systeem,

X = X(x, y) en Y = Y (x, y),  (97)

en hun inverse

x = x(X, Y) en y = y(X, Y),  (98)

noemen we overgangsfuncties.

Teneinde het bovenstaande concreet te maken, stelt U zich de volgende situatie voor. Een waarnemer die we voorzien van het label O besluit om de temperatuur van een bepaald gebiedje van het aardoppervlak in kaart te brengen. Hiertoe maakt hij een kaart van het gebied en gebruikt hij coördinaten x en y. Een bepaald punt P van het aardoppervlak komt overeen met een bepaald punt (x, y) op zijn kaart. Een tweede waarnemer (die we labelen met O′) komt op hetzelfde idee. Hij maakt ook een kaart, echter met volledig andere coördinaten (x′, y′). Na verloop van tijd besluiten beide waarnemers om hun analyse te vergelijken en leggen ze de kaarten naast elkaar. Het blijkt mogelijk om een wiskundige transformatie^{33} te vinden tussen punten (x, y) op de kaart van waarnemer O en (x′, y′) van O′. De transformatie correspondeert met de volgende set lineaire vergelijkingen,

\begin{aligned}x′ & = & 5x − 2y \\ y′ & = & 3x + 2y \end{aligned} → ( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}5 & −2 \\ 3 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) → x′ = Ax.  (99)

Deze vergelijkingen definiëren een lineaire transformatie^{34} (of lineaire afbeelding) van een punt (x, y) naar een corresponderend beeld (x′, y′). In matrixvorm mogen we dit schrijven als x′ = Ax, en indien de afbeelding bijectief (een-op-een afbeelding) is, geldt detA ≠ 0. Er is altijd sprake van een alias-alibi aspect bij dergelijke transformaties: als (x′, y′) wordt beschouwd als het definiëren van nieuwe coördinaten (een nieuwe naam) voor (x, y), dan hebben we te maken met het alias aspect; als (x′, y′) beschouwd wordt als een nieuwe positie (plaats) voor (x, y), dan komt het alibi aspect te voorschijn. In tensorrekening zijn we in het algemeen meer geïnteresseerd in het alias aspect. We noemen de twee coördinatenstelsels gerelateerd door x′ = Ax respectievelijk het systeem O′ en O. Stel dat het punt P van de variëteit in het systeem O gegeven wordt door de coördinaten (x, y) = (0, −1). Met vergelijking (99) vinden voor het punt (x, y) = (0, −1) het beeldpunt (x′, y′) = (2, −2) in systeem O′. Het origineel in O en het beeldpunt in O′ hebben verschillende coördinaten, maar stellen hetzelfde punt P in de variëteit voor.

Stel dat waarnemer O de temperatuur T in zijn coördinatenstelsel kan beschrijven met uitdrukking T : T (x, y) = 30 + 8x − y (dit is een scalairveld T dat verschillende waarden kan aannemen op verschillende punten). Op punt (x, y) = (0, −1) wordt de temperatuur dan gegeven door T = 30+8×0−(−1) = 31^{∘}C. Om de corresponderende uitdrukking voor de andere waarnemer, die in coördinatenstelsel O′, te vinden, dienen we eerst de inverse transformatie gegeven door vergelijking (99) af te leiden. Hiertoe inverteren we de bijbehorende matrix en vinden

A = ( \begin{matrix}5 & −2 \\ 3 & +2 \end{matrix} ) → A^{−1} = \frac{1}{16} ( \begin{matrix}2 & 2 \\ −3 & 5 \end{matrix} ) .  (100)

Er geldt dan x = \frac{1}{16} (2x′+2y′) en y = \frac{1}{16}(−3x′+5y′) en we krijgen een andere uitdrukking voor de temperatuur. We vinden T : T (x′, y′) = 30+ \frac{8}{16}(2x′+2y′)− \frac{1}{16}(−3x′+5y′) = 30+ \frac{19}{16}x′+ \frac{11}{16}y′. Als we nu weer naar de temperatuur op hetzelfde punt (beeldpunt (x′, y′) = (2, −2)) kijken, vinden we weer T (x′, y′) = T (2, −2) = 30 + \frac{19×2}{16} + \frac{11×(−2)}{16} = 30 + 2, 375 − 1, 375 = 31^{∘}C, zoals het hoort, want de temperatuur is een scalairveld dat zich niets aantrekt van het coördinatenstelsel dat we kiezen. Beide waarnemers zijn het eens: in de variëteit (het stukje aardoppervlak waar de kaarten overlappen in dit geval) is de temperatuur op punt P gelijk aan 31^{∘}C.

33Voor tensorrekening is basiskennis van transformatietheorie onontbeerlijk. Dit voorbeeld is een eerste kennismaking.

34De transformaties die een rol spelen in de ART zijn over het algemeen niet lineair.

4.5.4 Vectorveld

Het begrip vector is ontstaan in de fysica en wel door begrippen als snelheid en versnelling. Deze objecten hebben een grootte en een richting en ze kunnen worden opgeteld en met een reëel getal vermenigvuldigd. Veel verwarring komt voort uit het feit dat de naam ‘vector’ refereert naar twee verschillende concepten: enerzijds een zuiver numeriek object (een rij of kolom getallen) en anderzijds een object met geometrische of topologische eigenschappen. In deze laatste betekenis is de vector onafhankelijk van het referentiesysteem en heeft daarom geen unieke decompositie in numerieke elementen. We benadrukken het om een vector (of meer algemeen een tensor) te zien als een ‘geometrisch object’, iets dat men zich kan voorstellen zonder te moeten refereren naar een specifiek referentiesysteem. Fig. 34 geeft een voorstelling van een vectorveld, bijvoorbeeld

Figuur 34: Grafische voorstelling van een vectorveld als een ‘verdeling van pijltjes over de variëteit’ getekend op S. De vectoren zijn gebonden aan hun plaats.

de horizontale windsnelheid op het oppervlak van de aarde.

Een topologische vector is een object V⃗ dat leeft in een bepaalde ruimte, in ons voorbeeld van het aardoppervlak is dat een niet-euclidische twee-dimensionale ruimte met constante positieve kromming^{35}. De vector heeft een bepaalde betekenis in die ruimte en stelt in ons voorbeeld de horizontale windsnelheid op het oppervlak van de aarde voor. We kunnen vectoren tekenen als pijltjes, zonder te refereren naar een bepaalde basis, en dat hebben we gedaan in Fig. 34.

Er is geen unieke manier om een topologische vector te expanderen in termen van componenten. Zonder verdere informatie is een statement als

V⃗ = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) ,  (101)

zonder enige betekenis, omdat we niet weten welke basis we dienen te gebruiken. Wat we dienen te doen is iets te schrijven als

V⃗ ⟶_{O} ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) ,  (102)

35Andere voorbeelden zijn de Hilbertruimte met complexe golffuncties van de quantummechanica, of de Minkowskiruimte van de speciale relativiteitstheorie.

waarmee we met het pijltje ⟶_{O} bedoelen dat de vector V⃗ componenten a en b heeft, die gegeven

zijn in het referentiesysteem van waarnemer O (bijvoorbeeld het (x, y) systeem). De vector V⃗ is een pijl met als componenten een verzameling van coördinatenstelsel afhankelijke getallen. We kunnen ook schrijven

V⃗ = ae⃗_{x(O)} + be⃗_{y(O)},  (103)

waarbij e⃗_{x(O)} en e⃗_{y(O)} de basisvectoren in het referentiesysteem van waarnemer O zijn. We hadden net zo goed een andere waarnemer kunnen kiezen, bijvoorbeeld O′, en dan geldt

V⃗ ⟶_{O′} ( \begin{matrix}p \\ q \end{matrix} ) ,  (104)

waarbij

V⃗ = pe_{X(O′)} + qe_{Y (O′)},  (105)

met e_{X(O′)} en e_{Y (O′)} de basisvectoren in het referentiesysteem van waarnemer O′ (bijvoorbeeld het (X, Y) systeem). Merk op dat vergelijkingen (102) - (105) alle geldige beschrijvingen zijn van dezelfde topologische vector V⃗.

Het verleidelijk om te denken dat het symbool e⃗_{x} de x-component van de e⃗-vector voorstelt. We bedoelen echter met e⃗_{x} een volledige vector, waarbij het subscript x onderdeel is van de naam van de vector en aangeeft welke van de basisvectoren we bedoelen (namelijk de basisvector in de x-richting). De vector e⃗_{x} heeft zelf componenten, waarvan de x-component geschreven kan worden als (e⃗_{x})_{x}. De volledige basis^{36} geven we in dit geval aan met {e⃗_{x}, e⃗_{y}}.

Elke complete set vectoren kan gebruikt worden als basis. In Fig. 33 zijn de referentiesystemen van drie waarnemers weergegeven. Een topologische vector wordt voorgesteld door de pijl (zie Fig. 34) en hoort niet bij een of ander referentiesysteem. Het is een topologisch object met zelfstandig bestaansrecht. De waarnemers bekijken het echter vanuit hun eigen gezichtspunt (referentiesysteem). Cruciaal is te begrijpen dat de vector niet verandert als we van het ene naar het andere referentiesysteem gaan. Er geldt

( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} )_{O} = ( \begin{matrix}p \\ q \end{matrix} )_{O′} .  (106)

4 WISKUNDE I - DIFFERENTIAALTOPOLOGIE 66

Natuurlijk zijn de componenten a en b niet gelijk aan p en q en dienen we een voorschrift te vinden hoe we deze kunnen berekenen als we van basis veranderen. We gaan als volgt te werk: kies eerst een puntgebeurtenis P. Op deze puntgebeurtenis kiezen we dan een complete set onafhankelijke vectoren (hierbij is elke redelijke keuze geoorloofd). We noemen deze vectoren e⃗_{i} en gebruiken deze als basis om andere vectoren op punt P in te expanderen: u⃗ = ∑ u^{α}e⃗_{α} en v⃗ = ∑ v^{α}e⃗_{α}. Fig. 35 toont deze basis een tangentenruimte T_{P} definieert op punt P. Alle vectoren worden lokaal op dit punt worden beschreven^{37}. De richtingsafgeleiden ∂_{α} ≡ ∂e⃗_{α} langs deze basisvectoren spannen de tangentenruimte (de raakruimte in punt P op. In Fig. 35 hebben we als coördinaten χ(P) en ψ(P) gebruikt. De basisvectoren worden gegeven door de richtingsafgeleiden langs de coördinaatlijnen en zijn ∂/∂χ en ∂/∂ψ. We kunnen een vector dus zien als een richtingsafgeleide. We zien dat deze vectoren niet in de variëteit liggen, maar een eigen vectorruimte opspannen. Alhoewel Fig. 35 een inzichtelijke voorstelling geeft, dienen we ons te realiseren, dat een abstracte variëteit beschouwd dient te worden als een zelfstandige entiteit: er is geen hogere-dimensionele Figuur 35: De basisvectoren die door een coördinatensysteem worden geïnduceerd, vormen een tangentenruimte op elke gebeurtenis van de variëteit.

36Er worden vaak andere symbolen gebruikt voor de basisvectoren, zoals i, j en k. Ook is het mogelijk om e⃗ te zien als een object met hogere rang, bijvoorbeeld een vector van vectoren. Dat is niet fout, maar in ons geval ook niet nuttig.

37We stappen dus af van het begrip vrije vector. In de algemene relativiteitstheorie kunnen we een vector niet eenvoudig vrij verplaatsen!

ruimte waarin de variëteit en zijn tangentenruimten zijn ingebed. We geven een toelichting aan de hand van een voorbeeld dat de gang van zaken in de vertrouwde drie-dimensionale euclidische ruimte beschrijft.

\underline{Voorbeeld:} coördinatensysteem in euclidische ruimte

We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische coördinaten (x, y, z) en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren {i⃗, j⃗, k⃗}. We gebruiken dit systeem als algemene referentie om andere, niet cartesische coördinaten in te beschrijven. We hebben een tweede coördinatensysteem (u, v, w) dat niet cartesisch is, bijvoorbeeld de sferische coördinaten (r, θ, ϕ). Er geldt

x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w),  (107)

en we kunnen dit inverteren om u, v, w te schrijven in termen van x, y, z. We kunnen bovenstaande vergelijking schrijven als

r⃗ = x(u, v, w)i⃗ + y(u, v, w)j⃗ + z(u, v, w)k⃗,  (108)

Indien we w gelijk zetten aan de constante w_{0}, terwijl u, v mogen variëren, krijgen we

r⃗ = x(u, v, w_{0})i⃗ + y(u, v, w_{0})j⃗ + z(u, v, w_{0})k⃗.  (109)

hetgeen een parametrische vergelijking is voor het coördinatenoppervlak w = w_{0}, waarbij de coördinaten u, v de rol van parameters spelen. We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere oppervlakken op identieke wijze verkrijgen. Als we in bovenstaande vergelijking v = v_{0} en w = w_{0} stellen, maar u laten variëren, krijgen we

r⃗ = x(u, v_{0}, w_{0})i⃗ + y(u, v_{0}, w_{0})j⃗ + z(u, v_{0}, w_{0})k⃗,  (110)

krijgen we een parametrische vergelijking voor de coördinatencurve gegeven door de snijlijn van vlakken v = v_{0} en w = w_{0}, waarbij u de rol van parameter langs de curve speelt. We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere curven op identieke wijze verkrijgen. Door elk punt P met coördinaten (u_{0}, v_{0}, w_{0}) gaan drie coördinaatvlakken gegeven door u = u_{0}, v = v_{0} en w = w_{0}. De vlakken snijden elkaar in coördinaatcurven. Voor sferische coördinaten hebben we

x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.  (111)

Figuur 36: De coördinaatoppervlakken (bol, kegel en halfruimte) en coördinaatcurven voor sferische coördinaten.

waarbij de coördinaten het volgende bereik hebben: r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π en 0 ≤ ϕ < 2π. Fig. 36 toont dat het coördinaatvlak r = r_{0} een bol is met straal r_{0}, het coördinaatvlak θ = θ_{0} is een oneindige kegel met de apex in de oorsprong en de as verticaal, en het coördinaatvlak ϕ = ϕ_{0} is een half-oneindig vlak met de z-as als rand.

De oppervlakken θ = θ_{0} en ϕ = ϕ_{0} snijden elkaar en dat resulteert in de coördinaatcurve die een deellijn is die vanaf O vertrekt door P gaat; de oppervlakken ϕ = ϕ_{0} en r = r_{0} snijden elkaar in de curve die een halve cirkel is met eindpunten op de z-as en die door P gaat; en de oppervlakken r = r_{0} en θ = θ_{0} snijden elkaar in de horizontale cirkel door P met het middelpunt op de z-as.

Als we vergelijking (110) differentiëren naar de parameter u, krijgen we een tangentenvector aan de coördinaatcurve. Omdat we tijdens differentiëren v en w constant houden (want op deze wijze was de curve gedefinieerd), hebben we in feite de partiële afgeleide naar u genomen van vergelijking (107). Als we op dezelfde manier vergelijking (107) partieel afleiden naar v en w, krijgen we de tangentenvectoren van de andere twee coördinaatcurven. De drie partiële afgeleiden

e⃗_{u} ≡ \frac{∂r⃗}{∂u} , e⃗_{v} ≡ \frac{∂r⃗}{∂v} , e⃗_{w} ≡ \frac{∂r⃗}{∂w} ,  (112)

berekend op punt (u_{0}, v_{0}, w_{0}) geven tangentenvectoren aan de drie coördinaatcurven die door P gaan. Op deze wijze verkrijgen we de natuurlijke basis {e⃗_{u}, e⃗_{v}, e⃗_{w}} op punt P. In het algemeen is deze basis niet orthogonaal en zijn de vectoren geen eenheidsvectoren.

Gegeven een vectorveld λ⃗, kunnen we in elk punt P de vector λ⃗ refereren aan basis {e⃗_{u}, e⃗_{v}, e⃗_{w}},

λ⃗ = λ^{u}e⃗_{u} + λ^{v}e⃗_{v} + λ^{w}e⃗_{w}.  (113)

We gebruiken u^{i} (i = 1, 2, 3) in plaats van (u, v, w) voor de coördinaten, en {e⃗_{i}} (i = 1, 2, 3) in plaats van {e⃗_{u}, e⃗_{v}, e⃗_{w}} voor de natuurlijke basis. Voor een vector λ⃗ duiden we de componenten in de basis {e⃗_{i}} aan met λ^{i} (i = 1, 2, 3). We kunnen vergelijking (113) nu uitdrukken als

λ⃗ = λ^{1}e⃗_{1} + λ^{2}e⃗_{2} + λ^{3}e⃗_{3} = ∑_{i=1}^{3} λ^{i}e⃗_{i}.  (114)

We spreken nu af dat een index uit het midden van het alfabet (i, j, k, ...) altijd loopt over de waarden 1,2 en 3. Verder sommeren we automatisch als dezelfde index voorkomt als superscript en subscript (dit heet de sommatieconventie van Einstein). We kunnen vergelijking (114) nu schrijven als λ⃗ = λ^{i}e⃗_{i}. Merk op dat de twee indices die op deze wijze gebruikt worden dummie indices genoemd worden en vervangen mogen worden door andere letters (die nog niet in gebruik zijn).

In het volgende bestuderen we viervectoren in ruimtetijd. Een typische vector is de verplaatsingsvector Δx⃗ ⟶_{O} (Δt, Δx, Δy, Δz). Een andere notatie is Δx⃗ ⟶_{O} {Δx^{α}}. Als we willen weten wat de componenten van deze vector zijn in een ander coördinatenstelsel, bijvoorbeeld het systeem O′, dan schrijven we Δx⃗ ⟶_{O′} {Δx^{α′}}. We gebruiken het accent boven de index om de nieuwe coördinaten aan te geven. De vector Δx⃗ is hetzelfde en daarvoor hebben we geen nieuwe notatie nodig als we van referentiesysteem veranderen. We kunnen de nieuwe componenten Δx^{α′} vinden met behulp van de transformatiematrix van het ene naar het andere systeem (zie vergelijking (88)) en we schrijven

Δx^{α′} = ∑_{β=0}^{3} Λ_{β}^{α′}Δx^{β} = Λ_{β}^{α′}Δx^{β}  (115)

voor willekeurige α′. De verzameling Λ_{β}^{α′} bestaat uit 16 getallen die de transformatiematrix vertegenwoordigen. De notatie maakt weer gebruik van Einstein’s sommatieconventie en vergelijking (115) stelt eigenlijk vier verschillende vergelijkingen voor (α′ = 0, 1, 2, 3).

Een algemene vector (wij zijn geïnteresseerd in viervectoren) is gedefinieerd als een verzameling getallen (de componenten van de vector ten opzichte van een bepaalde basis, O) als V⃗ ⟶_{O}

(V^{0}, V^{1}, V^{2}, V^{3}) = {V^{α}} en door de regel dat zijn componenten in een systeem O′ gegeven worden door

V^{α′} = Λ_{β}^{α′}V^{β}.  (116)

Dus de componenten van een vector (vergelijking (116)) transformeren op dezelfde manier als de coördinaten (vergelijking (115)).

De componenten V^{α} van een vector V⃗ ten opzichte van de natuurlijke basis {e⃗_{α}} worden de contravariante componenten genoemd. Een object waarvan de componenten contravariant trans-

formeren, een vector, noemen we een ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) tensor. Stel dat we twee systemen met curvelineaire

coördinaten hebben in ruimtetijd, aangegeven met O en O′. We vragen ons af hoe de contravariante componenten van een vector veranderen als we van het ene naar het andere systeem gaan. We noemen {e⃗_{α}} de basis in het systeem van waarnemer O en {e_{α′}} de basis in het systeem van waarnemer O′. Er geldt

V⃗ = V^{α}e⃗_{α} = V^{α′}e_{α′}.  (117)

We kunnen bovenstaande relatie gebruiken om de transformatiewet voor de basisvectoren te vinden, dit wil zeggen de relatie tussen \left\{{ \atop e_{α}}\right\} en \{e_{α′}\}. Met vergelijking (116) kunnen we vergelijking (117) schrijven als

Λ_{β}^{α′}V^{β}e_{α′} = V^{α}e⃗_{α} → V^{β}Λ_{β}^{α′}e_{α′} = V^{α}e⃗_{α} → V^{α}Λ_{α}^{β′}e_{β′} = V^{α}e⃗_{α} → V^{α}(Λ_{α}^{β′}e_{β′}−e⃗_{α}) = 0. (118)

In de eerste stap maken we gebruik van het feit dat Λ_{α}^{β′} en V^{β} gewoon getallen zijn, en dat hun volgorde in een eindige som niet uitmaakt. In de tweede stap gebruiken we het feit dat β en α′ dummie indices zijn: we veranderen β in α en α′ in β′. De laatste vergelijking moet waar zijn voor elke verzameling {V^{α}} omdat V⃗ een willekeurige vector is. We vinden

e⃗_{α} = Λ_{α}^{β′}e_{β′}  (119)

en dit is de transformatiewet voor basisvectoren. Het is geen transformatie van componenten, maar geeft de basis \left\{{ \atop e_{α}}\right\} van O als een lineaire som van de basis \{e_{α′}\} van O′. Als we dit vergelijken met relatie (116) dan zien we dat het transformatiegedrag verschilt. Omdat de componenten met de inverse transformatiematrix van die van de basisvectoren transformeert, noemen we de componenten van een vector contravariant.

We kunnen de inverse transformaties vinden door ons te realiseren dat de systemen O en O′ op gelijke voet staan. We kunnen derhalve de indices met en zonder accenten verwisselen en vinden voor de inverse transformatie van basis en componenten

e_{β′} = Λ_{β′}^{α}e⃗_{α}, en V^{α} = Λ_{β′}^{α}V^{β′}.  (120)

Dit volgt ook uit het feit dat eerst heen en vervolgens terug transformeren niets mag veranderen. Dit leidt tot de identiteit

Λ_{β′}^{ν}Λ_{α}^{β′} = δ_{α}^{ν}.  (121)

Merk op dat we bovenstaand verband al hadden gevonden in vergelijking (91).

We eindigen de discussie over vectoren met een voorbeeld in ℝ^{2}. Stel dat V^{i} met i = 1, 2 de contravariante componenten zijn van een vector, en dat V^{i} = (x^{2}, x^{1}) in het coördinatenstelsel x = {x_{i}}. We willen nu de componenten van deze vector, V^{i′}, berekenen in het systeem x′ = {x^{i′}} met transformatie

\begin{aligned}x^{1′} & = & (x^{2})^{2} ≠ 0 \\ x^{2′} & = & x^{1}x^{2}. \end{aligned}  (122)

Volgens de definitie van covariantie, vergelijking (116), geldt

V^{i′} = V^{r}Λ_{r}^{i′} = V^{1} \frac{∂x^{i′}}{∂x^{1}} + V^{2} \frac{∂x^{i′}}{∂x^{2}} ,  (123)

waarbij we vergelijking (88) gebruikt hebben om Λ_{r}^{i′} uit te werken. We zien dat we de transformatiematrix nodig hebben voor geval i = 1 en i = 2. We vinden

( \begin{matrix}\frac{∂x^{1′}}{∂x^{1}} & \frac{∂x^{1′}}{∂x^{2}} \\ \frac{∂x^{2′}}{∂x^{1}} & \frac{∂x^{2′}}{∂x^{2}} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 2x^{2} \\ x^{2} & x^{1} \end{matrix} ) .  (124)

Dit geeft

V^{1′} = V^{1}(0) + V^{2}(2x^{2}) = 2x^{1}x^{2} V^{2′} = V^{1}(x^{2})V^{2}(x^{1}) = (x^{2})^{2} + (x^{1})^{2}  (125)

en in termen van de geaccentueerde coördinaten wordt dit

V^{1′} = 2x^{2′} V^{2′} = x^{1′} + \frac{(x^{2′})^{2}}{x^{1′}} .  (126)

4.5.5 Lineaire functionaal, 1-vorm of covectorveld

Een tensor van het type ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) wordt een covector, een covariante vector, een lineaire function-

aal^{38} of een 1-vorm genoemd. De lineaire functionaal^{39} p̃ heeft een vector als argument en beeldt af op de reële getallen: p̃(V⃗) is een reëel getal^{40}. De functionalen voldoen aan de axioma’s voor een vectorruimte. Deze ruimte wordt de duale vectorruimte genoemd om het onderscheiden van de ruimte van alle vectoren V⃗. De componenten van p̃ worden p_{α} genoemd en er geldt

38Terwijl een functie een getal als argument neemt en een getal als resultaat oplevert, neemt een functionaal een functie als argument en levert een getal als resultaat. Een voorbeeld is de totale massa die hoort bij een dichtheidsverdeling, waarbij m = ∫ ρ(x, y, z)dxdydz.

39Net zoals we vectoren aangeven door een pijltje (V⃗) boven het symbool te plaatsen, geven een lineaire functionaal aan door er een tilde (p̃) boven te plaatsen.

40Je kunt de 1-vorm zien als een apparaat met een sleuf. Als in deze sleuf een vector geplaatst wordt, dan rolt er een getal uit het apparaat.

p_{α} ≡ p̃(e⃗_{α}).  (127)

Elke component met één enkel subscript is per conventie de component van een 1-vorm; een superscript geeft een component van een vector aan. In termen van componenten wordt p̃(V⃗) gegeven door

p̃(V⃗) = p̃(V^{α}e⃗_{α}) = V^{α}p̃(e⃗_{α}) = V^{α}p_{α}.  (128)

Merk op dat we in bovenstaande afleiding gebruik maken van de lineairiteit van de functionaal. Voor ruimtetijd (n = 4) is het getal p̃(V⃗) gelijk aan V^{0}p_{0} + V^{1}p_{1} + V^{2}p_{2} + V^{3}p_{3} en de bewerking wordt contractie van V⃗ en p̃ genoemd.

De componenten van p̃ op een andere basis {e_{α′}} zijn

p_{α′} ≡ p̃(e_{α′}) = p̃(Λ_{α′}^{β}e⃗_{β}) = Λ_{α′}^{β}p̃(e⃗_{β}) = Λ_{α′}^{β}p_{β}.  (129)

Als we dit vergelijken met uitdrukking (120) dan zien we dat de componenten van 1-vormen op precies dezelfde wijze transformeren als basisvectoren en tegengesteld aan de componenten van vectoren. Met tegengesteld bedoelen we met de inverse transformatie (zie weer vergelijking (120)). Dit gebruik van de inverse garadeert dat V^{α}p_{α} systeem onafhankelijk is voor ieder vector V⃗ en 1-vorm p̃. De inverse transformatie geeft aanleiding tot het woord duaal in duale vectorruimte. De eigenschap van transformeren met basisvectoren geeft aanleiding tot de co in covariante vector. Omdat componenten van gewone vectoren tegengesteld transformeren aan de basisvectoren, worden ze contravariant genoemd.

Omdat de 1-vormen een vectorruimte opbouwen, kunnen we een verzameling van onafhankelijke 1-vormen als basis kiezen. We hebben de basis {e⃗_{α}} reeds gebruikt om de componenten van de 1-vorm te definiëren. We kunnen nu de geassocieerde 1-vorm basis ω̃^{α}, α = 0, ..., 3 definiëren die we duaal aan {e⃗_{α}} noemen. Dat wil zeggen dat we de verzameling {ω̃} zó kiezen, dat

p̃ = p_{α}ω̃^{α}.  (130)

We vinden op deze manier specieke 1-vormen als basis. Merk op dat we de notatie weer zodanig kiezen, dat we gebruik kunnen maken van de sommatieconventie. Als we vergelijking (130) gebruiken, vinden we

p̃(V⃗) = p_{α}ω̃^{α}(V⃗) = p_{α}ω̃^{α}(V^{β}e⃗_{β}) = p_{α}V^{β}ω̃^{α}(e⃗_{β}).  (131)

Het bovenstaande dient gelijk te zijn aan p_{α}V^{α} en daaruit volgt

ω̃^{α}(e⃗_{β}) = δ_{β}^{α}.  (132)

Bovenstaande relatie definieert de 1-vorm basis: de vector basis induceert een unieke en bruikbare 1-vorm basis^{41}. We illustreren dit aan de hand van een voorbeeld uit de 3D euclidische ruimte.

\underline{Voorbeeld:} duale basis in euclidische ruimte We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische coördinaten (x, y, z) en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren {i⃗, j⃗, k⃗}. We gebruiken dit systeem weer als algemene referentie om een ander, niet cartesisch systeem, (u, v, w), te beschrijven. We kunnen de gradiënt van een scalaire functie beschouwen als een 1-vorm. Teneinde dat duidelijk te maken gaan we weer even terug naar onze beschrijving in de drie-dimensionale euclidische ruimte. Vergelijking (112) geeft de natuurlijke basis {e⃗_{u}, e⃗_{v}, e⃗_{w}} op punt P, waarbij we de coördinaten (u, v, w) gebruiken om punten te labelen. Er is een andere manier om het coördinatensysteem (u, v, w) te gebruiken om een basis te construeren op punt P. Allereerst inverteren we vergelijkingen (107) om u, v en w te krijgen in termen van x, y en z,

41Dit is niet de enig mogelijke basis voor 1-vormen. Men kan eenvoudig laten zien dat andere basis 1-vormen voldoen aan ω̃′ = U_{β}^{α′}ω̃^{β}.

u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z).  (133)

Dit stelt ons in staat om elke coördinaat als een scalair veld te beschouwen en de bijbehorende gradiënten te berekenen.

\begin{aligned}∇u & = & \frac{∂u}{∂x} i⃗ + \frac{∂u}{∂y} j⃗ + \frac{∂u}{∂z} k⃗, \\ ∇v & = & \frac{∂v}{∂x} i⃗ + \frac{∂v}{∂y} j⃗ + \frac{∂v}{∂z} k⃗, \\ ∇w & = & \frac{∂w}{∂x} i⃗ + \frac{∂w}{∂y} j⃗ + \frac{∂w}{∂z} k⃗. \end{aligned}  (134)

Op elk punt P staan deze gradiëntvectoren loodrecht op de corresponderende coördinaatoppervlakken door P, die overeenkomen met de oppervlakken u = u_{0}, v = v_{0} en w = w_{0}. We hebben daarom met {∇u, ∇v, ∇w} een alternatieve basis op P. Deze basis is de duale van de basis van tangentenvectoren. Teneinde deze basis te onderscheiden van de natuurlijke basis, gebruiken we de indices als superscipten^{42}.

e^{u} ≡ ∇u, e^{v} ≡ ∇v, e^{w} ≡ ∇w.  (135)

Laten we nu een concreet voorbeeld beschouwen. Er geldt

x = u + v, y = u − v, z = 2uv + w,  (136)

waarbij −∞ < u < ∞, −∞ < v < ∞, −∞ < w < ∞. Inverteren van deze vergelijkingen geeft

u = \frac{1}{2} (x + y), v = \frac{1}{2} (x − y), w = z − \frac{1}{2} (x^{2} − y^{2}),  (137)

waaraan we kunnen zien dat de coördinaatvlakken u = u_{0} een familie vlakken vormen, net zoals v = v_{0}, terwijl de coördinaatvlakken w = w_{0} een familie hyperbolische paraboloïden vormen.

De positievector r⃗ wordt gegeven door

r⃗ = (u + v)i⃗ + (u − v)j⃗ + (2uv + w)k⃗,  (138)

waarmee we voor de vectoren van de natuurlijke basis

\begin{aligned}e⃗_{u} & = & ∂r⃗/∂u = i⃗ + j⃗ + 2vk⃗, \\ e⃗_{v} & = & ∂r⃗/∂v = i⃗ − j⃗ + 2uk⃗, \\ e⃗_{w} & = & ∂r⃗/∂w = k⃗ \end{aligned}  (139)

vinden. Enkel de laatste vector is een eenheidsvector. Geen van de inproducten e⃗_{u} · e⃗_{v} = 4uv, e⃗_{v} · e⃗_{w} = 2u en e⃗_{w} · e⃗_{u} = 2v is in het algemeen gelijk aan nul. Het systeem is dus niet orthogonaal.

We vinden voor de vectoren van de duale basis

\begin{aligned}e^{u} & = & ∇u = \frac{1}{2} i⃗ + \frac{1}{2} j⃗, \\ e^{v} & = & ∇v = \frac{1}{2} i⃗ − \frac{1}{2} j⃗, \\ e^{w} & = & ∇w = −xi⃗ + yj⃗ + k⃗ = −(u + v)i⃗ + (u − v)j⃗ + k⃗. \end{aligned}  (140)

We zien dat in het algemeen e^{u} niet parallel is met e⃗_{u}, e^{v} niet met e⃗_{v}, en e^{w} niet met e⃗_{w}.

Gegeven een vectorveld λ⃗ kunnen we op elk punt P de vector λ⃗ beschrijven ten opzichte van de natuurlijke basis {e⃗_{u}, e⃗_{v}, e⃗_{w}} of de duale basis {e^{u}, e^{v}, e^{w}}. We schrijven

λ⃗ = λ^{i}e⃗_{i} = λ_{i}e^{i}.  (141)

Bij vectoren denken we meestal aan een pijl als we een beeld nodig hebben. Het kan handig zijn om ook een voorstelling van een 1-vorm te hebben. Dit beeld moet het feit uitdrukken dat een 1-vorm een afbeelding is van een vector naar een reëel getal. In de drie-dimensionale ruimte kan men zich een 1-vorm p̃ op punt P voorstellen als een aantal parallelle vlakken. De contractie met een vector V⃗ is dan het aantal vlakken dat door de vector ‘doorboort’ wordt. Hoe dichter de oppervlakken bij elkaar staan, hoe groter p̃(V⃗).

42Door de indices als superscripten te plaatsen kunnen we weer gebruik maken van de elegante en compacte indexnotatie.

Figuur 37: Links: de waarde p̃(V⃗) is gelijk aan 2,5. Rechts: een topologische kaart demonstreert de gradiënt 1-vorm (lokale contouren van constante hoogte). De verandering van hoogte voor een reis (pijl) is het aantal contouren dat door de pijl doorboort wordt. Deze is het grootst voor reis (2).

Het dualisme is overigens compleet, omdat we vectoren ook kunnen beschouwen als functies die 1-vormen afbeelden op de reële getallen. Gegeven vector V⃗ krijgen we een reëel getal als we de vector voorzien van een 1-vorm,

V⃗ (p̃) ≡ p̃(V⃗) ≡ p_{α}V^{α}.  (142)

Vectoren hebben dus geen speciale positie als objecten die als input dienen voor tensoren. We kunnen een vector ook als tensor zien: een lineaire functie van een 1-vorm naar een reëel getal. Vectoren en 1-vormen hebben hiermee een gelijke en symmetrische status.

Voordat we de beschrijving van 1-vormen afsluiten zullen we nog een speciale 1-vorm bespreken, de gradiënt. Beschouw een scalairveld ϕ(x⃗). De wereldlijn van een waarnemer meet een waarde voor ϕ voor elke gebeurtenis die hij meemaakt en deze waarde verandert voortdurend. We parametriseren de wereldlijn met de eigentijd τ van de waarnemer en dit staat ons toe om de coördinaten van gebeurtenissen op de wereldlijn uit te drukken als functies van τ. Er geldt [t = t(τ), x = x(τ), y = y(τ), z = z(τ)]. De viersnelheid heeft componenten U⃗ → (\frac{dt}{dτ} , \frac{dx}{dτ}, \frac{dy}{dτ} , \frac{dz}{dτ} ) en omdat ϕ een functie is van t, x, y en z, is ϕ op de wereldlijn impliciet een functie van τ, ϕ(τ) = ϕ[t(τ), x(τ), y(τ), z(τ)]. De mate van verandering van ϕ op de wereldlijn, dat is de afgeleide, bedraagt

\frac{dϕ}{dτ} = \frac{∂ϕ}{∂t} \frac{dt}{dτ} + \frac{∂ϕ}{∂x} \frac{dx}{dτ} + \frac{∂ϕ}{∂y} \frac{dy}{dτ} + \frac{∂ϕ}{∂z} \frac{dz}{dτ} = \frac{∂ϕ}{∂t}U^{t} + \frac{∂ϕ}{∂x}U^{x} + \frac{∂ϕ}{∂y}U^{y} + \frac{∂ϕ}{∂z}U^{z} = d̃ϕ(U⃗). (143)

Het is duidelijk dat we in bovenstaande vergelijking erin geslaagd zijn om met de vector U⃗ het getal dϕ/dτ te produceren, dat de mate van verandering van ϕ is langs de wereldlijn waaraan U⃗ een tangent vector is. Dit getal dϕ/dτ is duidelijk een lineaire functie van U⃗ en hiermee hebben we dus een 1-vorm gedefinieerd. Vergelijken met uitdrukking (128) toont dat deze 1-vorm de componenten \frac{∂ϕ}{∂t}, \frac{∂ϕ}{∂x}, \frac{∂ϕ}{∂y}, \frac{∂ϕ}{∂z} heeft. Deze 1-vorm wordt de gradiënt van ϕ genoemd en aangeduid met d̃ϕ. Er geldt

d̃ϕ ⟶_{O} (\frac{∂ϕ}{∂t}, \frac{∂ϕ}{∂x}, \frac{∂ϕ}{∂y}, \frac{∂ϕ}{∂z}) of ook d̃ϕ = ∇ϕ met ∇_{α}ϕ = \frac{∂ϕ}{∂x^{α}} .  (144)

Merk op dat ondanks de notatie, d̃ϕ niet klein hoeft te zijn. We dus verder dat de gradiënt een 1-vorm is, terwijl we in de vectoranalyse geleerd hebben dat het een vectorgrootheid is. De reden hiervoor is dat er een metriek nodig is om 1-vormen aan vectoren te relateren. Op dit moment hebben we deze extra mathematische structuur nog niet aan onze variëteit opgelegd.

We kunnen vergelijking (144) nog controleren op haar consistentie door te bestuderen hoe de componenten transformeren. Voor een 1-vorm moet gelden (d̃ϕ)_{α′} = Λ_{α′}^{β}(d̃ϕ)_{β}. We weten hoe partiële afgeleiden transformeren, namelijk

\frac{∂ϕ}{∂x^{α′}} = \frac{∂ϕ}{∂x^{β}} \frac{∂x^{β}}{∂x^{α′}} ,  (145)

hetgeen betekent dat (d̃ϕ)_{α′} = Λ_{α′}^{β}(d̃ϕ)_{β}, want gegeven dat x^{β} = Λ_{α′}^{β}x^{α′} geldt

\frac{∂ϕ}{∂x^{β}} \frac{∂x^{β}}{∂x^{α′}} = Λ_{α′}^{β} \frac{∂ϕ}{∂x^{β}} .  (146)

De componenten van de gradiënt transformeren met de inverse van de componenten van vectoren. De gradiënt is dus een 1-vorm.

Van nu af aan zullen we partiële afgeleiden aanduiden met de komma-notatie. Er geldt de definitie

\frac{∂ϕ}{∂x} ≡ ϕ_{,x} of algemeen \frac{∂ϕ}{∂x^{α}} ≡ ϕ_{,α}.  (147)

Merk op dat de index α aan de linkerkant als een boven-index optreedt en aan de rechterkant als een beneden-index.

4.5.6 Algemene tensorvelden

De ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensoren zijn tensoren die twee vectorargumenten hebben. Een voorbeeld is de metrische tensor, maar een eenvoudiger voorbeeld is het product van twee 1-vormen. We gebruiken hierbij de volgende regel: als p̃ en q̃ beide 1-vormen zijn, dan is p̃ ⊗ q̃ de ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensor

die, als hij de vectoren A⃗ en B⃗ als argumenten krijgt, het getal p̃(A⃗) ⊗ q̃(B⃗) produceert. Het is dus het product van de getallen geproduceert door de ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) tensoren. Het symbool ⊗ wordt

het tensorproduct genoemd en geeft de formele notatie hoe we een ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensor moeten samenstellen uit 1-vormen. Overigens is ⊗ niet commutatief: p̃⊗ q̃ ≠ q̃⊗ p̃ zijn verschillende tensoren. De eerste geeft de waarde p̃(A⃗)q̃(B⃗) en de tweede q̃(A⃗) · p̃(B⃗).

De meest algemene ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensor geen eenvoudig tensorproduct van twee 1-vormen, maar kan wel altijd voorgesteld worden als een som van dergelijke tensoren. Hiertoe beschouwen we de componenten van een willekeurige ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensor f. Er geldt f_{αβ} ≡ f(e⃗_{α}, e⃗_{β}), waarbij elke index vier waarden kan aannemen voor ruimtetijd. In totaal heeft f dus 16 componenten. De waarde van f voor willekeurige vectoren is

f(A⃗, B⃗) = f(A^{α}e⃗_{α}, B^{β}e⃗_{β}) = A^{α}B^{β}f(e⃗_{α}, e⃗_{β}) = A^{α}B^{β}f_{αβ}.  (148)

De vraag is of we een basis kunnen vormen voor deze tensoren^{43}. Kunnen we een verzameling bestaande uit 16 verschillende ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensoren ω̃^{αβ} definiëren, zodat geldt f = f_{αβ}ω̃^{αβ}? Als dat zo is, dan dient te gelden

f_{μν} = f(e⃗_{μ}, e⃗_{ν}) = f_{αβ} ω̃^{αβ}(e⃗_{μ}, e⃗_{ν})  (149)

en dat betekent, dat moet gelden

ω̃^{αβ}(e⃗_{μ}, e⃗_{ν}) = δ_{μ}^{α}δ_{ν}^{β}.  (150)

43Vergelijk dit eens met wat we gedaan hebben in vergelijking (130).

Volgens vergelijking (132) is δ_{μ}^{α} de waarde van ω̃^{α} voor e⃗_{μ} en hetzelfde verhaal voor δ_{ν}^{β}. Daarom is ω̃^{αβ} een tensor, waarvan de waarde het product is van de waarden van de twee basis 1-vormen. We concluderen derhalve

ω̃^{αβ} = ω̃^{α} ⊗ ω̃^{β}.  (151)

De tensoren ω̃^{α} ⊗ ω̃^{β} vormen een basis voor alle ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensoren, en we mogen schrijven

f = f_{αβ} ω̃^{α} ⊗ ω̃^{β}.  (152)

Op deze wijze is een algemene ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensor een som over eenvoudige tensorproduct tensoren.

Een tensor van het type ( \begin{matrix}M \\ N \end{matrix} ) is een afbeelding (functie) van M 1-vormen en N vectoren naar

reële getallen, die lineair is in elk van zijn M + N argumenten^{44}. Merk op dat deze definitie van een tensor niet spreekt over de componenten van de 1-vormen en vectoren. De tensor dient hetzelfde reële getal als uitkomst te geven, onafhankelijk van het gebruikte coördinatensysteem.

Net als een 1-vorm en vector heeft ook een tensor componenten. De definitie is als volgt: de componenten in een referentiesysteem O van een tensor van het type ( \begin{matrix}M \\ N \end{matrix} ) zijn de waarden van de functie als men voor de argumenten de basis 1-vormen {e^{α}} en basisvectoren {e⃗_{α}} van het systeem O gebruikt. De componenten van een tensor zijn dus afhankelijk van het referentiesysteem van de waarnemer, omdat de basis immers per systeem verschilt. De tensor zelf kan gezien worden als een topologisch object dat zelfstandig bestaat in ruimtetijd en onafhankelijk gezien kan worden van coördinatenstelsels.

4.6 Metrische tensor

Tot nu toe hebben we enkel variëteiten beschouwd die een relatief eenvoudige vorm hebben. De variëteit is continu en differentieerbaar, waardoor we 1-vormen, vectoren en andere tensoren kunnen definiëren. Verder betreft het een amorfe verzameling punten (of puntgebeurtenissen). Er is nog geen meetkunde gedefinieerd. Zo kunnen we twee vectoren (of 1-vormen) niet afbeelden op een reëel getal. Er is dan ook nog geen concept van inproduct.

Als volgende stap kiezen we nu een ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensor die dienst gaat doen als de metriek van de variëteit. Een dergelijke variëteit noemen we een riemannse variëteit. De metrische tensor maakt het mogelijk om de (kwadratische) lengte van een vector te berekenen, of het scalaire product (inproduct) van twee vectoren te bepalen. Ook levert de metriek een één op één correspondentie tussen vectoren en 1-vormen. We definiëren

g(A⃗, B⃗) ≡ A⃗ · B⃗,  (153)

en hieruit volgt direct dat de metrische tensor symmetrisch is, g(A⃗, B⃗) = g(B⃗, A⃗). We beschouwen g( , ) als een functie met twee argumenten en die lineair is in deze argumenten, bijvoorbeeld

g(αA⃗ + βB⃗, C⃗) = αg(A⃗, C⃗) + βg(B⃗, C⃗).  (154)

Merk op dat deze definitie van metriek geen gebruik maakt van de componenten van de vectoren. De metriek kan weer gezien worden als een topologisch object in ruimtetijd. In een specifieke basis {e⃗_{α}} heeft de metrische tensor componenten die gegeven zijn door

g(e⃗_{α}, e⃗_{β}) = e⃗_{α} · e⃗_{β} = g_{αβ}.  (155)

44Men kan een dergelijke tensor opvatten als een apparaat met M gaten waar men 1-vormen en N gaten waar men vectoren in kan stoppen. Nadat men die M 1-vormen en N vectoren erin gestopt heeft, rolt er een reëel getal uit het apparaat. De uitkomst is lineair in elk van de vectoren en 1-vormen die als input gebruikt zijn.

De fundamentele rol van de metriek is om te zorgen voor een afbeelding tussen vectoren en 1-vormen. Om te begrijpen hoe dit werkt, beschouwen we g en een enkele vector V⃗. Omdat g twee vector argumenten nodig heeft, kunnen we de uitdrukking g(V⃗ , ), waar nog een argument ontbreekt, beschouwen als een functie van vectoren. Als men aan g(V⃗ , ) nog een vector toekent, dan krijgen we een reëel getal. Een dergelijke lineaire functie van vectoren die een reëel getal produceert, noemen we een 1-vorm. We noemen het Ṽ. Er geldt

g(V⃗ , ) ≡ Ṽ ( ),  (156)

waar we tussen de haakjes het vector argument moeten aanleveren. Dan geldt dat Ṽ de 1-vorm is, die voor de vector A⃗ de waarde V⃗ · A⃗ heeft. Er geldt

Ṽ (A⃗) ≡ g(V⃗ , A⃗) = V⃗ · A⃗.  (157)

Omdat g symmetrisch is, kunnen we ook schrijven g( , V⃗) ≡ Ṽ ( ). De componenten van Ṽ vinden we als volgt,

V_{α} ≡ Ṽ (e⃗_{α}) = V⃗ · e⃗_{α} = e⃗_{α} · V⃗ = e⃗_{α} · (V^{β}e⃗_{β}) = (e⃗_{α} · e⃗_{β})V^{β} = g_{αβ}V^{β}.  (158)

Hiermee hebben we de relatie tussen vectoren en 1-vormen gevonden,

V_{α} = g_{αβ}V^{β}.  (159)

We onderscheiden de componenten V^{α} van de vector V⃗ van de componenten V_{α} van de 1-vorm Ṽ enkel door de positie van de index α. De inverse van de metriek bestaat ook en wordt aangeduid met g^{αβ}. Hiermee vinden we

V^{α} = g^{αβ}V_{β}.  (160)

Een vector is een ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) tensor en een 1-vorm is een ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) tensor. We gebruiken de metrische

tensor als afbeelding tussen beide. Op dezelfde manier kunnen we een ( \begin{matrix}M \\ N \end{matrix} ) tensor afbeelden

op een ( \begin{matrix}N − 1 \\ M + 1 \end{matrix} ) tensor, of door gebruik te maken van de inverse metriek op een ( \begin{matrix}N + 1 \\ M − 1 \end{matrix} ) tensor. Het is gebruikelijk om voor deze geassocieerde tensoren hetzelfde symbool te gebruiken, maar we dienen ons ervan bewust te zijn dat we te maken hebben met verschillende tensoren. Stel T _{γ}^{αβ} zijn de componenten van een ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) tensor. Dan zijn

T _{βγ}^{α} ≡ g_{βμ}T _{γ}^{αμ}  (161)

de componenten van een ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) tensor, omdat we het tweede 1-vorm argument veranderd hebben in een vector. We noemen dergelijke manipulaties het naar boven brengen en naar beneden halen van indices en gebruiken hierbij de metriek als afbeelding.

We kunnen dit ook doen met de metriek zelf en vinden

g_{β}^{α} ≡ g^{αμ}g_{μβ} = δ_{β}^{α}.  (162)

De laatste stap volgt uit het feit dat g^{αβ} en g_{αβ} elkaars inverse afbeelding zijn.

Een differentieerbare variëteit is een riemannse variëteit als de kwadratische booglengte langs een curve voldoet aan

ds^{2} = g_{ij}dx^{i}dx^{j},  (163)

waarbij de componenten van de metrische tensor, g_{ij} = g_{ij}(x^{1}, x^{2}, ..., x^{n}), continue functies zijn van de coördinaten en verschillen van constanten. In het speciale geval dat g_{ij} = δ_{ij}, reduceert de riemannse ruimte tot de euclidische ruimte 𝔼^{n}. De ruimte is vlak als het mogelijk is om een coördinatentransformatie te vinden, waarvoor ds^{2} = ϵ_{i}(dx^{i})^{2}, waarbij iedere ϵ_{i} gelijk is aan +1 of −1. Een ruimte die niet vlak is, wordt gekromd genoemd.

De ruimtetijd van Minkowski is een van de belangrijkste differentieerbare variëteiten, het is de ruimtetijd die beschreven wordt door de speciale relativiteitstheorie. Eenvoudige behandelingen van SRT introduceren de bijbehorende minkowskimetriek zelfs niet expliciet, maar geven ons wel alle ingrediënten die we nodig hebben om deze af te leiden. In het bijzonder weten we dat er voorkeurstelsel zijn voor de coördinaten, de zogenaamde Lorentzframes, en dat als twee gebeurtenissen gescheiden zijn door coördinaatafstanden (Δt, Δx, Δy, Δz) in een dergelijk frame, dan is het getal

Δs^{2} = −c^{2}(Δt)^{2} + (Δx)^{2} + (Δy)^{2} + (Δz)^{2}  (164)

onafhankelijk van het Lorentzframe. Als we onze coördinaten herdefiniëren door x^{0} = ct, x^{1} = x, x^{2} = y, x^{3} = z en griekse letters gebruiken als ruimtetijd indices, dan vinden we

Δs^{2} = −(Δx^{0})^{2} + (Δx^{1})^{2} + (Δx^{2})^{2} + (Δx^{3})^{2} = η_{αβ}Δx^{α}Δx^{β},  (165)

waarbij η_{αβ} = diag(−1, 1, 1, 1). We zien dat V⃗ · W⃗ = η_{αβ}V^{α}W^{β} en η_{αβ} is in feite de metrische tensor en het Lorentzframe vormt de geassocieerde orthonormale basis. We zien direct de associatie tussen de componenten van een vector en zijn geassocieerde 1-vorm. In een Lorentzframe geldt

U_{0} = η_{0α}U^{α} = −U^{0}, en U_{x} = U^{x}, U_{y} = U^{y}, U_{z} = U^{z}.  (166)

Een variëteit met metriek g wordt enkel een minkowski ruimtetijd genoemd als er één enkel coördinatenstelsel bestaat dat de gehele variëteit bedekt en waarin g de componenten η_{αβ} heeft.

5 De speciale relativiteitstheorie

5.1 Historische introductie en Einstein’s postulaten

De relativiteitstheorie is geboren in het prille begin van de twintigste eeuw. De negentiende eeuw was net ten eind gekomen, en de natuurkunde bevond zich in een unieke positie: voor het eerst in de geschiedenis leken alle fundamentele vraagstukken opgelost te zijn. Al in de 17e eeuw had Sir Isaac Newton (1643-1727) een theoretisch model opgesteld waarmee beweging en krachten in detail konden worden berekend en voorspeld, samengevat in drie wetten die nu zijn naam dragen. Tezamen met Newton’s universele wet van de zwaartekracht konden deze drie wetten zelfs de banen van de planeten om de zon perfect^{45} beschrijven. Ook konden deze wetten, wanneer toegepast op de aanname dat materie bestaat uit vele miniscule deeltjes in constante botsing, de wetten van de warmteleer reproduceren; hiermee was het vakgebied van de thermodynamica vrijwel geheel^{46} verklaard, wat een triomf is van de newtoniaanse bewegingsleer.

Verder was er nog de theorie van de elektrische en magnetische velden, onderzocht door Faraday, Oersted, Coulomb en Savart, en uiteindelijk halverwege de 19e eeuw tot een wiskundig geheel samengesmeed door James Clerk Maxwell (1831-1879); de vier wetten van deze theorie dragen nu zijn naam. Ook deze theorie, de elektrodynamica geheten, was uitermate succesvol. Het beschrijft, onder andere, de interactie tussen elektriciteit en magnetisme en laat zien dat zij eigenlijk een aspect zijn van een en dezelfde kracht. Ook laten de wetten van Maxwell zien dat elektrische en magnetische velden verstoord kunnen worden, en dat deze verstoring zich voortplant met een snelheid van 299.800 kilometer per seconde, een waarde nu universeel aangegeven door de letter c.^{47} Dit is precies de snelheid waarvan men al lang eerder gemeten had dat het licht zich ermee voortplant, en de conclusie werd dan ook al snel getrokken dat licht niks anders is dan een verstoring in het elektromagnetische veld. Al snel konden alle regels uit de lenzen- en spiegelleer afgeleid worden uit de elektrodynamica, en hiermee werd het gehele vakgebied van de optica een solide fundament gegeven.

Het was dan ook geen wonder dat de natuurkundigen aan het eind van de negentiende eeuw in een euforische staat verkeerden. Er waren weliswaar nog bepaalde berekeningen in detail uit te voeren, maar niets leek erop te wijzen dat er meer zou bestaan dan de elektromagnetische kracht en de zwaartekracht, en dat alle relaties tussen krachten en bewegingen beschreven konden worden door de leer van Newton. Alle andere krachten en verschijnselen (licht, warmte, ..) waren al aangetoond een direct gevolg te zijn van de wetten van Newton of de wetten van Maxwell (of een combinatie van beide), en er waren simpelweg weinig aanwijzingen om te vermoeden dat de natuur zich aan meer wetten hield dan deze.

Er waren in het begin van de twintigste eeuw dan ook maar weinig natuurkundigen die zich realiseerden dat er wel degelijk een fundamenteel probleem verscholen zat in deze twee grote theorieën. Het probleem zat hem niet in de theorieën afzonderlijk, maar in hun combinatie. De wetten van Maxwell laten zien, zoals we besproken hebben, dat er golven bestaan die zich voortplanten door de ruimte en dat zij dit doen met precies de snelheid van het licht. De elektrodynamica zegt bovendien dat deze snelheid dezelfde is voor alle waarnemers, ook als deze zich ten opzichte van elkaar met constante snelheid bewegen. Dat is op zichzelf wel wonderlijk, maar hoeft nog geen probleem te zijn (zolang het maar niet door experiment tegengesproken wordt). Het probleem openbaart zich pas wanneer nu tegelijkertijd de wetten van Newton worden beschouwd: deze zeggen namelijk dat alle snelheden (ook die van het licht) wel degelijk behoren te verschillen tussen waarnemers die zelf een snelheid hebben ten opzichte van elkaar: dit zit onmiskenbaar ingebouwd in de wetten van Newton. Het was dan ook duidelijk dat de wetten van Newton en de wetten van Maxwell elkaar op enkele punten tegenspreken, en dat een van deze sets aangepast zou moeten worden. Het bleken de wetten van Newton te zijn. Het is deze noodzaak tot aanpassing die de jonge Albert Einstein in 1905 leidde tot de theorie die wij nu de speciale relativiteitstheorie (SRT) noemen.

45Later zullen we zien dat er wel degelijk een afwijking bekend was van de planeetbanen zoals beschreven door newtoniaanse wetten, te weten de perihelium verschuiving van Mercurius. Het verklaren van deze afwijking was een van de eerste experimentele verificaties van Einstein’s theorie van de zwaartekracht: de algemene relativiteitstheorie. We komen hier in latere hoofdstukken op terug.

46Ook hier geldt een kleine opmerking: er waren enkele onduidelijkheiden (zoals de Gibbs correctie factor) die later verklaard zijn door de quantummechanica.

47De keuze voor de letter c komt van het Griekse woord voor snelheid, celeritas.

Als startpunt van de SRT nam Einstein twee postulaten, twee principes waar geen bewijs van bekend is, maar waarvan hij vermoedde dat de natuur die altijd in acht nam. Beide zijn gebaseerd op vermoedens gevoedt door de elektrodynamica, en beide zullen nu in zeker detail besproken worden.

De wetten van Maxwell laten zien dat een elektromagnetische verstoring zich voortplant met de snelheid van het licht ongeacht met welke snelheid een waarnemer zelf beweegt. Dit is een wonderlijk resultaat: als waarnemer A een foton voorbij ziet vliegen met de snelheid van het licht, c, en een waarnemer B beweegt zich met een zekere snelheid v ten opzichte van A in dezelfde richting als het foton, dan zegt het ‘gezond verstand’ dat waarnemer B het foton met een snelheid c − v ziet bewegen. De wetten van Maxwell zeggen echter dat ook waarnemer B het foton met c ziet bewegen, en dat hetzelfde geldt voor alle waarnemers C, D, ... die zich met een constante snelheid bewegen ten opzichte van waarnemer A. Nogmaals: de verklaring voor dit gegeven is niet bekend, maar Einstein nam het als een gegeven, een feit van de natuur. Hij breidde het zelfs uit: waar de elektrodynamica suggereert dat dit een eigenschap is van louter en alleen het licht, nam Einstein aan dat alles wat zich met deze snelheid beweegt aan deze eigenschap voldoet. Dit vormt dan het eerste postulaat van de SRT:

Postulaat 1: de lichtsnelheid heeft dezelfde waarde voor alle waarnemers die zich ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid.

Dit gegeven staat bekend als het principe van de invariantie van de lichtsnelheid. De fysische (en zelfs filosofische!) implicaties van dit postulaat zijn enorm, omdat het direct tot gevolg heeft dat de duur van tijd en de grootte van afstanden niet hetzelfde kunnen zijn voor al deze waarnemers.

Het tweede postulaat komt voort uit een andere eigenschap van de elektrodynamica. Zoals verteld gaat de elektrodynamica over de relatie tussen elektrische velden en magnetische velden, waar een elektrisch veld een maat is voor de invloed van een stilstaand geladen deeltje op alle andere geladen deeltjes in zijn omgeving; een magnetisch veld is een maat voor de invloed van een bewegend geladen deeltje op alle andere geladen deeltjes in zijn omgeving. Op het eerste gezicht lijken deze definities in elkaar over te gaan. Immers, een stilstaand deeltje kan ook gezien worden als een bewegend deeltje wanneer de waarnemer van een stilstaand geladen deeltje besluit met constante snelheid te gaan bewegen; dientengevolge zal het elektrisch veld van het deeltje gedeeltelijk overgaan in een magnetisch veld. In zoverre lijkt het verschil tussen de twee velden slechts een keuze. Echter, er is een heel fysisch verschil tussen de twee velden, en dat is dat een ervan voldoet aan twee van de vier wetten van Maxwell, waar het andere veld voldoet aan de twee andere wetten van Maxwell, met fysisch heel verschillende eigenschappen. Bovendien is het gevolg van een elektrisch veld op een tweede geladen deeltje een kracht die parallel is aan het elektrische veld, waar het gevolg van een magnetisch veld een kracht is die loodrecht staat op het magnetische veld. Als het verschil tussen elektrische en magnetische velden slechts een keuze is van de snelheid van de waarnemer, hoe kan het dan zijn dat een fysisch meetbaar verschijnsel als kracht op een geladen deeltje zo verschillend is? Blijkbaar is er wel degelijk een heel fundamenteel verschil tussen elektrische en magnetische velden.

Ondanks dit schijnbare verschil, is er de volgende wonderlijke eigenschap van de elektrodynamica: als twee waarnemers, die relatief ten opzichte van elkaar bewegen met constante snelheid, de wetten van Maxwell toepassen op een en hetzelfde systeem van geladen deeltjes, dan zullen zij tot dezelfde fysische resultaten komen, ongeacht alle schijnbaar fundamentele verschillen tussen elektrische en magnetische velden. De waarnemers verschillen dan wel van mening over welke richting de krachten op wijzen, of de deeltjes al dan niet bewegen, en elektrische velden voor de ene waarnemer zijn magnetische voor de ander, maar het totaal van al deze effecten geeft uiteindelijk precies dezelfde fysische voorspellingen. Hiermee wordt bedoeld dat als de twee waarnemers hun voorspellingen corrigeren voor het feit dat zij met onderlinge snelheid bewegen ten opzichte van elkaar, deze altijd precies overeenkomen: de wetten van Maxwell kunnen dus worden toegepast door beide waarnemers zonder op onderlinge tegenstrijdigheden te stuiten. Blijkbaar maakt de natuur, in ieder geval wat elektromagnetische velden betreft, geen onderscheid tussen waarnemers met onderlinge verschillende constante snelheden. Einstein nam dit aan als een gegeven, en nam aan dat dit geldt voor alle natuurkundige verschijnselen (niet alleen de elektromagnetische). Dit vormt het tweede postulaat van de SRT:

Postulaat 2: de natuur maakt geen onderscheid tussen waarnemers die zich ten opzichte van elkaar bewegen met constante snelheid.

Praktisch betekent dit postulaat dat het onmogelijk is om via experimenten te bepalen of een waarnemer in absolute beweging is ten opzichte van een fysisch systeem of niet: het verschil tussen verschillende waarnemers is fundamenteel niet meetbaar. Hierdoor is elke waarnemer even ‘correct’ als elke andere waarnemer die zich met constante snelheid beweegt ten opzichte van de eerste. In het bijzonder betekent dit dat er geen waarnemersstelsel is ten opzichte waarvan fysische grootheden gemeten moeten worden: elk ander stelsel voldoet namelijk even goed. De gemeten waarden van de grootheden verschillen in het algemeen^{48} per waarnemer, maar de wetten waaraan deze grootheden voldoen dienen allemaal precies hetzelfde te zijn. Daarom moet bij elke meting van een grootheid aangegeven worden ten opzichte van welke waarnemer het gemeten is. Dit wil zeggen: uitkomsten van metingen hebben nooit absolute betekenis, maar slechts louter relatief. Dit postulaat staat daarom bekend als het relativiteitsprincipe. Dit levert een wiskundig voorschrift: teneinde een theorie te formuleren die voldoet aan het relativiteitsprincipe, moeten de wiskundige wetten van deze theorie geschreven worden in een vorm die geen onderscheid maakt tussen waarnemers met verschillende constante snelheden. Dit zullen we dan ook expliciet doen in het vervolg.

5.2 Het minkowskilijnelement

Nu de twee postulaten van de SRT zijn gemotiveerd, kunnen we deze gaan gebruiken om de relatie tussen tijd en ruimte te onderzoeken, en de wetten van beweging af te leiden. Startpunt is het lijnelement

ds^{2} = g_{μν}dx^{μ}dx^{ν}.  (167)

De metriek speelt zoals altijd de hoofdrol. In het geval van de SRT (en wanneer geschreven in cartesische coördinaten) wordt de metriek gegeven door

η_{μν} = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .  (168)

48Er zijn uitzonderingen op deze regel: er bestaan ook grootheden die hetzelfde zijn voor alle waarnemers. Een ervan is al genoemd: de lichtsnelheid c.

Deze metriek draagt de naam minkowskimetriek, en wordt conventioneel aangeduid door de griekse letter η, oftewel g_{μν} = η_{μν}. De inverse van de minkowskimetriek is eenvoudig te vinden, en blijkt precies dezelfde vorm te hebben als de metriek zelf,

η^{μν} = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .  (169)

Als we het lijnelement uitschrijven vinden we:

ds^{2} = −c^{2}dt^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}.  (170)

Dit kunnen we meteen gebruiken om een fysische interpretatie toe te kennen aan het lijnelement. Ten eerste kan worden opgemerkt dat de laatste drie termen precies de stelling van Pythagoras vormen^{49}. Dit betekent dat als een waarnemer de afstand tussen twee punten in ruimtetijd meet, en dat op hetzelfde tijdstip doet, voor deze waarnemer geldt dat ds^{2} niets anders is dan de afstand tussen deze twee punten. Verder kan worden opgemerkt dat als een waarnemer het tijdsverschil meet tussen twee gebeurtenissen en dat doet zonder ondertussen van positie te veranderen ten opzichte van de gebeurtenissen (dit wil zeggen: deze waarnemer is in rust ten opzichte van de gebeurtenissen!), de laatste drie termen van het lijnelement gelijk zijn aan nul; voor deze waarnemer geldt dus dat het lijnelement de interpretatie heeft van minus de verstreken tijd tussen twee gebeurtenissen. Het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenis.

5.3 Tijddilatatie

We zullen nu de eerste paar directe gevolgen van het minkowskilijnelement beschouwen. Zoals al eerder aangestipt, suggereert het eerste postulaat dat verschillende waarnemers van mening zullen verschillen over de afstand en het tijdverschil tussen twee gebeurtenissen. Allereerst zal het effect van tijddilatatie worden beschouwd. Startpunt is het lijnelement

c^{2}dτ^{2} = c^{2}dt^{2} − dx^{2} − dy^{2} − dz^{2}.  (171)

Hierin is dτ op te vatten als de tijd die verstrijkt op de klok van een waarnemer (W1) voor wie de twee gebeurtenissen plaatsvinden op dezelfde positie, en is dt de tijd die verstrijkt tussen die gebeurtenissen zoals gemeten door een andere waarnemer (W2). Wanneer nu de rechterkant van deze vergelijking gedeeld wordt door c^{2}dt^{2}, kan de relatie tussen verstreken tijd van de eerste waarnemer (dτ) en die van de tweede waarnemer (W2) (dt) geschreven worden als

dτ = ±\sqrt{1 − (\frac{v}{c} )^{2}}dt.  (172)

Het plusmin-teken van deze uitdrukking is het wiskundige gevolg van het nemen van een wortel; fysisch zijn we echter alleen geïnteresseerd in het plusteken, aangezien een minteken zou impliceren dat de twee waarnemers tegengesteld lopende tijden ervaren. We zullen daarom vanaf nu altijd het plusteken gebruiken. Verder is geschreven v ≡ \frac{dx}{dt}, oftewel het is de afstand tussen de twee gebeurtenissen zoals gemeten door de tweede waarnemer, gedeeld door de tijdsduur zoals gezien door de tweede waarnemer (W2). Dit is de snelheid v waarmee deze waarnemer zich beweegt ten opzichte van de twee gebeurtenissen (en hiermee ook ten opzichte van de eerste waarnemer, die immers stil staat ten opzichte van de gebeurtenissen). Uit de gevonden vergelijking blijkt dat de twee waarnemers hun tijden verschillend registeren: de hoeveelheid tijd die voor de ene waarnemer verstrijkt tussen twee gebeurtenissen is niet dezelfde als die voor de ander.

49Merk op dat met de definitie dT ≡ ict, we het lijnelement kunnen schrijven als ds^{2} = dT^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}.

De factor (1 − (\frac{v}{c} )^{2})^{−1/2} is een maat daarvoor. Deze factor wordt de lorentzfactor genoemd, en zal nog vaker voorkomen in de SRT; hij wordt conventioneel aangeduid met de letter γ, waarbij

γ ≡ \frac{1}{\sqrt{1 − (\frac{v}{c} )^{2}}} .  (173)

Merk alvast op dat deze factor oneindig groot wordt als de twee waarnemers een onderlinge snelheid hebben gelijk aan c; verder kan al worden opgemerkt dat als de twee waarnemers een onderlinge snelheid hebben groter dan c, de factor imaginair wordt en daardoor nooit fysisch relevant kan zijn. Dit is een eerste hint dat de lichtsnelheid niet alleen invariant is, maar ook de maximale snelheid is die fysisch mogelijk is. Voor het effect van tijddilatatie is het alleen nodig op te merken dat de lorentzfactor altijd groter is dan 1. Hieruit volgt dat dτ kleiner is dan dt, oftewel: de tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen is voor de waarnemer die stilstaat ten opzichte van de twee gebeurtenissen, kleiner dan voor de waarnemer die zich met snelheid v beweegt ten opzichte van de gebeurtenissen (dτ < dt). Wat betekent dit nu fysisch? Op eerste gezicht lijkt dit te betekenen dat de tijd sneller verloopt voor de eerste waarnemer dan voor de tweede: immers, de eerste waarnemer heeft minder tijd nodig om van een gebeurtenis naar de andere te gaan. De conclusie is echter net andersom, zoals een voorbeeld laat zien. Laat de eerste gebeurtenis het moment zijn waarop de twee waarnemers nog gelijk lopende klokken hebben, en waarop beide waarnemers kijken naar de slinger van de klok van waarnemer W1, die net op het punt staat een slinger te maken. Na een zekere tijd T heeft de slinger de andere kant bereikt, gezien vanuit de waarnemer die de klok bij zich heeft: dτ = T. De stilstaande waarnemer W2 kijkt ondertussen naar dezelfde klok (die zich ten opzichte van hem voortbeweegt met snelheid v), en voor deze waarnemer doet de slinger er een tijd dt = γdτ over: langer. Dit wil dus zeggen, dat de stilstaande waarnemer observeert dat de voorbijvliegende klok langer nodig heeft dan T om een enkele slinger te maken. De conclusie van de stilstaande waarnemer zou dan ook zijn dat de voorbijkomende klok te langzaam loopt. Dit is wat er bedoeld wordt met tijddilatatie: voor een stilstaande waarnemer lijkt een voorbij komende klok langzamer te lopen dan voor de waarnemer die met de klok meebeweegt. Dit wordt vaak aangeduid met de slogan ‘bewegende klokken lopen langzaam’; echter, de lading zou wellicht beter gedekt door de uitspraak ‘voor een stilstaande waarnemer lijkt de bewegende klok langzamer te lopen’.

Een vraag komt dan al snel op: loopt een bewegende klok nu ‘echt’ langzamer dan de stilstaande klok? Want goed beschouwd hebben we hier alleen maar laten zien dat de bewegende klok langzamer lijkt te lopen wanneer bekeken door een stilstaande waarnemer. Het antwoord is dat er geen verschil is tussen langzamer lijken te lopen, en daadwerkelijk langzamer lopen: fysica gaat immers alleen over gemeten effecten, wat wil zeggen dat wij over alle effecten die zich niet via een meting openbaren, geen zinnige (dat wil zeggen testbare) uitspraak kunnen doen. Elke gemeten waarneming is net zo ‘waar’ als elke andere gemeten waarneming. Het heeft dan ook geen zin ons af te vragen of de slinger van een klok nu ‘echt’ langzamer slingert wanneer het beweegt, of dat het alleen maar zo ‘lijkt’ in onze waarneming: alleen onze meting geldt.

Wat de relativiteitstheorie ons nu geleerd heeft, is dat de gemeten tijdsduur van een proces afhankelijk is van de snelheid van de waarnemer, en de vraag hoe snel een proces nu ‘echt’ gaat, is onzinnig geworden. Dit is, zoals ook al genoemd in de discussie over het relativiteitsprincipe, de kern van het woord ‘relativiteit’: er is geen absoluut antwoord meer op de vraag wat de ‘werkelijke’ waarde is van bepaalde grootheid; elke waarde is waarnemer-afhankelijk geworden, en elke gemeten waarde is even ‘waar’.

Enkele laatste opmerkingen over tijddilatatie. Het moge duidelijk zijn dat dit verschijnsel niets te maken heeft met de mechaniek van de klokken. Het is een puur geometrisch verschijnsel, direct voortkomend uit de minkowskimetriek. Het verschijnsel beperkt zich dan ook niet tot klokken, en geldt voor elk fysisch meetbaar tijdsverschil: de slinger van een klok, de duur van een harteklop, het verval van een atoomkern, de levensduur van een mens, het vallen van een steen, etc, alle verschijnselen lijken langzamer te gaan voor een waarnemer, wanneer deze verschijnselen zich bewegen ten opzichte van deze waarnemer.

5.4 Lorentzcontractie

Een tweede direct gevolg van het minkowskilijnelement is de lorentzcontractie: afstanden tussen gebeurtenissen zijn korter voor een waarnemer die beweegt ten opzichte van de gebeurtenissen. Startpunt is wederom het lijnelement en we kiezen de x-as als richting van relatieve beweging. Er geldt

−c^{2}dt^{2} + dx^{2} = −c^{2}dt^{′2} + dx^{′2}.  (174)

Om lorentzcontractie aan te tonen beschouwen we de volgende twee gebeurtenissen: de voorkant van een lat passeert een waarnemer, en de achterkant van de lat passeert deze waarnemer. Voor deze waarnemer vinden de twee gebeurtenissen plaats op dezelfde positie, dus geldt dx′ = 0. De tijd die de lat erover doet om de waarnemer te passeren, dt′, kan gebruikt worden door deze waarnemer als een maat voor de lengte van de lat. Als de lat passeert met een snelheid v, concludeert deze waarnemer dat de lat een lengte heeft van L′ = vdt′. De rechterkant van deze vergelijking kan dan ook worden geschreven als

−c^{2}dt^{2} + dx^{2} = −\frac{c^{2}L^{′2}}{v^{2}} .  (175)

De linkerkant van deze vergelijking heeft betrekking op een andere waarnemer die met de lat meebeweegt. Voor deze waarnemer vinden de twee gebeurtenissen (het de eerste waarnemer passeren van voor en achterkant van de lat) plaats op een onderlinge afstand van L, de lengte van de lat zoals gemeten door deze tweede waarnemer. De tijdsduur tussen de twee momenten, dt is echter anders voor deze waarnemer, omdat er een tijddilatatie optreedt^{50}. Er geldt dt′ = γ^{−1}dt. Als we dan vervolgens weer gebruiken dat de tijd dt′ een maat is voor de lengte L′ van de lat zoals gemeten door de eerste waarnemer, dan kan vergelijking (175) geschreven worden als

−c^{2}γ^{2} \frac{L^{′2}}{v^{2}} + L^{2} = −\frac{c^{2}L^{′2}}{v^{2}} .  (176)

Dit is nu een relatie tussen de lengte van de lat zoals gemeten door de waarnemer die de lat stil ziet staan, en zoals gemeten door de waarnemer die de lat ziet passeren met een snelheid v. Vereenvoudigd is deze relatie

L = γL′.  (177)

Wanneer herinnerd wordt dat γ altijd groter is dan 1, zien we nu dat de lengte van een lat korter lijkt voor iemand die de lat ziet bewegen, dan iemand die de lat in rust ziet. Dit is de lorentzcontractie: afstanden lijken korter wanneer waargenomen door een bewegende waarnemer. Merk op dat dit niet alleen geldt voor latten, maar natuurlijk voor alle fysisch meetbare afstandsverschillen. Net als tijddilatatie, is lorentzcontractie een puur geometrisch effect, een direct gevolg van het minkowskilijnelement. Bovendien geldt ook hier weer dat er geen absoluut antwoord is op de vraag hoe lang een lat nu ‘echt’ is: afstand is een snelheids-afhankelijke grootheid geworden, en kan dientengevolge alleen bepaald worden ten opzichte van een gegeven waarnemer: het relativiteitsprincipe!

50De correcte plaatsing van de lorentzfactor γ kan soms verwarrend zijn: welke waarnemer meet nu een langere tijdsduur? De vuistregel is altijd, dat de waarnemer die in rust is ten opzichte van de twee gebeurtenissen, de kortste tijdsduur meet tussen de twee gebeurtenissen. Dit betekent hier dat \frac{dt′}{dt} < 1, wat aangeeft hoe de factor γ geplaatst dient te worden.

5.5 De lorentztransformaties

Uit het relativiteitsprincipe volgde al dat het lijnelement invariant dient te zijn onder transformaties van coördinaten. Dit betekent dat er een beperkte set waarnemers is die onderling het minkowksilijnelement mogen gebruiken. We vragen ons af welke transformaties tussen waarnemers het minkowskilijnelement niet van vorm doen veranderen.

Wiskundig gezien is dan ook de vraag welke functies x′ = x′(t, x, y, z), y′ = y′(t, x, y, z), z′ = z′(t, x, y, z) de volgende vergelijking oplossen,

c^{2}dt^{2} − dx^{2} − dy^{2} − dz^{2} = c^{2}dt^{′2} − dx^{′2} − dy^{′2} − dz^{′2}.  (178)

Er zijn meerdere transformaties te bedenken die hieraan voldoen. De makkelijkste die we bedenken kunnen is dat we gewoon bij elke coordinaat een constante optellen,

t′ = t + a_{t},  x′ = x + a_{x},  y′ = y + a_{y},  z′ = z + a_{z}.  (179)

Ingevuld in vergelijking (178) laat direct zien dat dit een oplossing is. Fysisch betekent deze oplossing niets anders dan dat de twee waarnemers een (vaste) afstand van elkaar staan (a_{x}, a_{y}, a_{z}), en dat de klok van een van de waarnemers een (vaste) hoeveelheid tijd voor of achter loopt op die van de ander (a_{t}). Zulke transformaties noemt men translaties.

Een tweede set transformaties die het lijnelement gegeven in vergelijking (178) invariant laten, kan gevonden worden door veranderingen in de tijd en één van de plaats-coördinaten (bijvoorbeeld z) niet te beschouwen. In dat geval moet voldaan worden aan

dx^{2} + dy^{2} = dx^{′2} + dy^{′2},  (180)

oftewel de som van twee kwadraten dient niet te veranderen. Deze vergelijking is eenvoudig op te lossen door te schrijven

x′ = A_{x}x + A_{y}y  y′ = B_{x}x + B_{y}y,  (181)

waar A_{x}, A_{y}, B_{x}, B_{y} constanten zijn. Ingevuld in vergelijking (180) laat dan zien dat voor deze constanten dient te gelden

A_{x}^{2} + B_{x}^{2} = 1,  A_{y}^{2} + B_{y}^{2} = 1 A_{x}A_{y} = −B_{x}B_{y}.  (182)

Aan de eerste twee eisen kan direct voldaan worden: als een som van twee kwadraten een constante moet opleveren, dan ligt het voor de hand om sinussen en cosinussen te proberen, aangezien voor deze functies geldt cos^{2} α + sin^{2} α = 1 voor elke hoek α. Men kan dus kiezen A_{x} = cos α, B_{x} = sin α en A_{x} = cos β, B_{x} = sin β om aan de eerste twee vergelijkingen te voldoen; aan de derde vergelijking is dan ook voldaan wanneer gekozen wordt β = −α. Op deze manier is de transformatie compleet, en vinden we

x′ = (cos α)x + (sin α)y,  y′ = (sin α)x − (cos α)y.  (183)

Deze transformatie correspondeert met een draaiing om de z-as over een hoek α. Bijvoorbeeld, als die hoek \frac{π}{2} is (een draaiing van 90^{∘}), dan is x′ = y, en y′ = x: de twee waarnemers staan stil ten opzichte van elkaar, maar zijn onderling 90^{∘} gedraaid. Transformaties als deze heten rotaties. In het voorgaande hebben we alleen een draaiing over de z-as beschouwd, maar de uitbreiding naar draaiingen over de andere assen zijn net zo eenvoudig te vinden.

Een derde soort transformatie kan gevonden worden door nu niet de tijd en een plaatscoördinaat constant te houden, maar in plaats daarvan twee ruimtelijke coördinaten (bijvoorbeeld y en z). In dat geval dient de transformatie te voldoen aan

−c^{2}dt^{′2} + dx^{′2} = −c^{2}dt^{2} + dx^{2}.  (184)

Door nu te schrijven

ct′ = A_{t}ct + A_{x}x,  x′ = B_{t}ct + B_{x}x,  (185)

(waar A_{t}, A_{x}, B_{t}, B_{x} constanten zijn) en in te vullen in vergelijking (184), wordt gevonden dat de constanten moeten voldoen aan

A_{t}^{2} − B_{t}^{2} = 1,  −A_{x}^{2} + B_{x}^{2} = 1 A_{t}A_{x} = B_{t}B_{x}.  (186)

Deze keer zullen sinussen en cosinussen niet voldoen, omdat hier nu het verschil van twee kwadraten een constante moet zijn om aan de eerste twee vergelijkingen te voldoen. Dit is precies wat de hyperbolische functies cosh en sinh definieert: voor deze geldt namelijk dat cosh^{2} η − sinh^{2} η = 1, voor elke waarde van η. Het ligt dan ook voor de hand te kiezen A_{t} = (cosh η)ct, B_{t} = (sinh η)x en A_{x} = (sinh ρ)ct, B_{x}(cosh ρ)x zodat aan de eerste twee vergelijkingen is voldaan. Aan de derde vergelijking kan vervolgens voldaan worden door ρ = η te kiezen. Hiermee is dan de transformatie compleet, en vinden we

ct′ = (cosh η)ct + (sinh η)x,  x′ = (sinh η)ct + (cosh η)x.  (187)

Wiskundig is dit een draaiing in ruimtetijd, maar dan over een ‘hyperbolische hoek’ η in plaats van een normale. Maar wat betekent dit fysisch? Met name: wat is de betekenis van de hyperbolische hoek η? Dit kan worden gevonden door de tijddilatatie te beschouwen: we hadden al gezien dat de tijden van twee waarnemers die met snelheid v ten opzichte van elkaar bewegen, gerelateerd zijn via vergelijking (172). Als we de differentiaalvorm nemen van vergelijking (187) en kiezen dt′ = dτ, dan kunnen we de eerste uitdrukking in vergelijking (187) schrijven als

dτ = (cosh η)dt + (sinh η)\frac{1}{c}dx  (188)

Kwadrateren, delen door dt^{2} en vergelijken met de tijddilatatie formule geeft dan

cosh^{2} η + (\frac{v}{c} )^{2} sinh^{2} η + 2 (\frac{v}{c} ) cosh η sinh η = 1 − (\frac{v}{c} )^{2} .  (189)

Dit is een kwadratische vergelijking voor de variabele \frac{v}{c}, en geeft een relatie tussen de snelheid v en de hyperbolische hoek η. Zo is al meteen te zien dat η niets anders is dan een ingewikkelde manier om de snelheid tussen twee waarnemers te beschrijven^{51}. Wat de precieze relatie is tussen v en η vraagt nog een beetje meer rekenwerk. Allereerst moet vergelijking (189) herschreven worden tot

(\frac{v}{c} )^{2} (1 + sinh^{2} η) + 2 (\frac{v}{c} ) (cosh η sinh η) + (cosh^{2} η − 1) = 0

⇒  (\frac{v}{c} )^{2} (cosh^{2} η) + 2 (\frac{v}{c} ) (cosh η sinh η) + (sinh^{2} η) = 0.  (190)

waar in de laatste stap de relatie cosh^{2} η − sinh^{2} η = 1 is gebruikt. Deze vergelijking kan worden opgelost voor \frac{v}{c} met behulp van de abc-formule. Het resultaat is het directe verband tussen \frac{v}{c} en η,

(\frac{v}{c} ) = −\frac{sinh η}{cosh η} ≡ − tanh η  ⇒  η = −arctanh (\frac{v}{c} )  (191)

51Deze alternatieve maat voor de snelheid wordt in sommige takken van de fysica meer gebruikt dan de snelheid v; hij heeft als naam de rapidity. De reden voor deze voorkeur is dat de snelheid v tussen waarnemers nooit groter kan zijn dan de lichtsnelheid, terwijl de rapidity wel degelijk ∞ groot kan worden. Dit heeft soms rekenkundige voordelen.

Dit kan nu worden gebruikt om de transformatievergelijking (191) uit te drukken in de snelheid v, wat vaak een inzichtelijker grootheid is dan de hyperbolische hoek η. Hiervoor kunnen de volgende rekenregels worden gebruikt^{52},

cosh (−arctanh (\frac{v}{c} )) = \sqrt{\frac{1}{1 − (\frac{v}{c} )^{2}}} = γ

sinh (−arctanh (\frac{v}{c} )) = − (\frac{v}{c} ) \sqrt{\frac{1}{1 − (\frac{v}{c} )^{2}}} = − (\frac{v}{c} ) γ.  (192)

Merk op dat de lorentzfactor γ hier op natuurlijke wijze zijn intrede doet. Hiermee is dan gevonden dat de transformaties tussen de twee waarnemers gegeven worden door

\begin{matrix}cdt′ & = & γ (cdt − (\frac{v}{c} ) dx) \\ dx′ & = & γ(dx − vdt) \\ dy′ & = & dy \\ dz′ & = & dz, \end{matrix} \} → ( \begin{matrix}x^{0′} \\ x^{1′} \\ x^{2′} \\ x^{3′} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}γ & −βγ & 0 & 0 \\ −βγ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x^{0} \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) → x^{μ′} = Λ_{ν}^{μ′}x^{ν}

(193)

(waar de relaties tussen de y en z afstanden ook weer zijn toegevoegd). Hierbij is β = v/c de snelheid als fractie van de lichtsnelheid. Verder gebruiken we x^{μ} met x^{0} = ct, x^{1} = x, x^{2} = y en x^{3} = z, alsook de transformatiematrix Λ_{μ}^{ν′}.

De inverse transformaties kunnen we vinden door v door −v te vervangen. We vinden

\begin{matrix}cdt & = & γ(cdt′ + βdx′) \\ dx & = & γ(dx′ + vdt′) \\ dy & = & dy′ \\ dz & = & dz′, \end{matrix} \} → ( \begin{matrix}x^{0} \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}γ & βγ & 0 & 0 \\ βγ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x^{0′} \\ x^{1′} \\ x^{2′} \\ x^{3′} \end{matrix} ) → x^{μ} = Λ_{ν′}^{μ}x^{ν′}.

(194)

We zien dan dat vergelijking (193) geschreven kan worden als x^{μ′} = Λ_{ν}^{μ′}x^{ν}, terwijl voor de inverse relaties (194) geldt x^{μ} = Λ_{ν′}^{μ}x^{ν′}. Deze vergelijkingen heten de lorentztransformaties, en spelen een hoofdrol in de SRT. Fysisch stellen zij het verschil voor tussen afstanden en tijdsduren zoals gemeten door waarnemers die zich ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid v in x-richting. Zulke vergelijkingen zijn eenvoudig af te leiden voor waarnemers die zich met snelheid v in andere richtingen bewegen. Tezamen met de translaties in alle richtingen en de rotaties om de drie ruimte-assen, vormen de lorentztransformaties de volledige set transformaties die het lijnelement niet veranderen, oftewel: onder deze transformaties is het relativiteitprincipe veilig gesteld. De conclusie is dan ook de volgende: zolang waarnemers maar louter getransleerd en/of geroteerd zijn ten opzichte van elkaar, of alleen met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen, kunnen zij allen het minkowskilijnelement blijven gebruiken, en gelden dus alle wetten afgeleid in dit hoofstuk voor de coördinaatsystemen voor al zulke waarnemers. Zulke stelsels noemen we inertiaalstelsels. Dit is wat de speciale relativititeitstheorie het predikaat ‘speciaal’ geeft: alle wetten afgeleid gelden voor een beperkte set waarnemers. In latere hoofdstukken zullen we onze bevindingen uitbreiden naar alle waarnemers, leidend tot de theorie van de algemene relativiteit. Voor nu zullen we in de rest van dit hoofdstuk altijd louter inertiaalstelsels beschouwen: vanaf nu zal er met ‘waarnemer’ een waarnemer bedoeld worden die zich in een inertiaalstelsel bevindt.

De lorentztransformaties geven ons alle mogelijke relaties tussen de tijdsduren en afstanden zoals gemeten door verschillende waarnemers die zich bewegen met snelheid v ten opzichte van elkaar. Twee specifieke voorbeelden van zulke relaties hadden we al eerder gezien, toen nog direct afgeleid uit het minkowskilijnelement: de tijddilatatie en de lorentzcontractie. Deze liggen dan ook automatisch opgesloten in de lorentztransformaties. Voor tijddilatatie hoeven we alleen maar te kijken naar het speciale geval dat een van de waarnemers een tijdsduur meet tussen twee gebeurtenissen die ten opzichte van hem op een en dezelfde positie plaatsvinden, zodat dx = 0; voor deze waarnemer schrijven we dt = dτ; er volgt dan direct uit vergelijking (194) dat een andere waarnemer een tijdsduur meet tussen deze twee gebeurtenissen gelijk aan dt′ = γdτ. Dit is precies de tijddilatatieformule in vergelijking (172). Verder, om de lorentzcontractie af te leiden uit de lorentztransformaties hoeft alleen naar het speciale geval gekeken te worden dat de twee gebeurtenissen de metingen zijn van voor- en achterkant van een lat door een waarnemer die deze metingen doet op een en hetzelfde tijdstip (immers: als dat niet het geval is, zal de lat ‘voorbij’ vliegen in de tijd die deze waarnemer wacht tussen meting van voor- en achterkant, en stelt de afstand tussen gemeten positie van voor- en achterkant dus niet meer de lengte van de lat voor). Voor deze waarnemer geldt dan ook dt = 0, en zal de lengte van de lat gegeven zijn door dx = L; volgens vergelijking (194) meet de waarnemer in rust ten opzichte van de lat een lengte van dx′ = L = γL. Dit is precies de lorentzcontractie formule, vergelijking (177).

52Deze rekenregels zijn eenvoudig te bewijzen met behulp van de definities: cosh x ≡ \frac{1}{2} (e^{x} + e^{−x}), sinh x ≡ \frac{1}{2} (e^{x} − e^{−x}), arctanh x = \frac{1}{2} ln( \frac{1+x}{1−x})

De tijddilatatie en lorentzcontractie zijn slechts speciale gevallen van de lorentztransformaties, een set algemene relaties tussen tijdsduren en afstanden zoals gemeten door waarnemers die bewegen ten opzichte van elkaar met een snelheid v.

5.6 Invariantie van de lichtsnelheid

We zijn nu op het punt aangekomen dat we ons kunnen buigen over de vraag hoe snelheden veranderen tussen waarnemers die zich bewegen ten opzichte van elkaar. Snelheid is niets anders dan een verandering van positie gedeeld door de verstreken tijd benodigd om de afstand tussen de begin en eindposities te overbruggen. Maar zoals al gezien, zijn afgelegde afstanden en verstreken tijden niet meer absoluut: zij verschillen van waarnemer tot waarnemer. Het is dan ook te verwachten dat het concept gemeten snelheid op een nieuwe manier zal transformeren tussen verschillende waarnemers. Hiervoor beschouwen we twee waarnemers, 1 en 2, die ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid v. Beiden kijken naar een bewegend deeltje, en meten daar de snelheid van, waarbij u_{1} de snelheid is zoals gemeten door waarnemer 1, en u_{2} de snelheid zoals gemeten door waarnemer 2. De vraag is nu hoe deze twee gemeten snelheden zich tot elkaar verhouden.

Per definitie is de snelheid zoals gemeten door waarnemer 2 gegeven door

u_{2} ≡ \frac{dx_{2}}{dt_{2}} .  (195)

De transformatie tussen tijd- en positieverschillen wordt gegeven door de lorentztransformatie, vergelijking (194); teller en noemer kunnen dan ook direct worden ingevuld, en worden uitgedrukt in de gemeten afstand en verstreken tijd dx_{1} en dt_{1} zoals gemeten door waarnemer 1. Dit levert

u_{2} = \frac{γ}{γ} \frac{dx_{1} + vdt_{1}}{dt_{1} + (\frac{v}{c^{2}} ) dx_{1}} = \frac{\frac{dx_{1}}{dt_{1}} + v}{1 + (\frac{v}{c^{2}} ) \frac{dx_{1}}{dt_{1}}} = \frac{u_{1} + v}{1 + (\frac{v}{c^{2}} ) u_{1}} ,  (196)

waarin is gebruikt dat dx_{1} gedeeld door dt_{1} precies de snelheid u_{1} is zoals gemeten door waarnemer 1.

Dit is de zogenaamde regel van Einstein voor het samenstellen van snelheden: gegeven de snelheid u_{1} van een object zoals gemeten door waarnemer 1, geeft deze formule ons de snelheid u_{2} van dit object zoals gemeten door waarnemer 2 die zich zelf met snelheid v beweegt ten opzichte van waarnemer 1. Voor kleine snelheden gaat de relatie over in de normale optelling van snelheden in de klassieke mechanica: u_{2} = u_{1} + v.

Een aantal interessantie eigenschappen kan nu worden opgemerkt. Zo kan eenvoudig worden aangetoond dat als een waarnemer een deeltje ziet bewegen met een snelheid lager dan de lichtsnelheid (oftewel u_{1} < c), elke andere waarnemer dit deeltje ook ziet bewegen met een snelheid lager dan de lichtsnelheid (u_{2} < c). Ook kan worden aangetoond dat als een waarnemer het deeltje ziet bewegen met een snelheid hoger dan de lichtsnelheid, elke andere waarnemer dit deeltje ook ziet bewegen met een snelheid hoger dan de lichtsnelheid. Dit laatste is overigens alleen wiskundig waar: het zal later worden aangetoond dat niets sneller kan gaan dan het licht^{53}.

Ht belangrijkste gevolg van Einstein’s snelheidsregel is dat alle waarnemers dezelfde snelheid voor een lichtsignaal zullen meten, ongeacht de onderlinge snelheden tussen deze waarnemers: voor elke waarnemer zal een foton zich voortplanten met snelheid c. Neem als bewegend object een foton, dat voor waarnemer 1 met een snelheid van u_{1} = c beweegt. Einstein’s snelheidsregel zegt dan vervolgens dat ook waarnemer 2 dit foton met snelheid u_{2} = c ziet bewegen,

u_{2} = \frac{u_{1} + v}{1 + (\frac{v}{c^{2}} ) u_{1}} |_{u_{1}=c} = \frac{c + v}{1 + (\frac{v}{c} )} = c.  (197)

Dit betekent dat licht zich altijd (dit wil zeggen voor elke waarnemer in elk inertiaalsysteem) met de lichtsnelheid voortbeweegt! Stel dat waarnemer 1 een lichtstraal afvuurt. De fotonen snellen met de lichtsnelheid weg ten opzichte van waarnemer 1 Waarnemer 2 besluit om met hoge snelheid het licht achterna te gaan. Hiertoe beweegt hij bijvoorbeeld met 99 % van de snelheid ten opzichte van waarnemer 1. Als hij nu een meting uitvoert van de snelheid van de lichtbundel uitgezonden door waarnemer 1, meet hij toch weer dezelfde snelheid c. Ten opzichte van het licht heeft hij geen enkele vordering gemaakt! De snelheid v tussen de twee waarnemers blijkt geheel irrelevant (hij werd weggedeeld in de laatste stap). Blijkbaar maakt het niet uit hoe snel de twee waarnemers zich bewegen ten opzichte van elkaar: als een van hen een foton ziet dat met de lichtsnelheid gaat, dan ziet elke andere waarnemer dit ook. De conclusie is dan ook: licht gaat voor elke waarnemer met de lichtsnelheid. Men zegt ook wel: de lichtsnelheid is invariant. Op deze manier hebben we Einstein’s oorspronkelijke eerste postulaat teruggevonden, louter en alleen door uit te gaan van de minkowskimetriek en het relativiteitsprincipe.

Tijddilatatie kan ook direct worden afgeleid uit de constantheid van de lichtsnelheid voor verschillende waarnemers. Om dit duidelijk te maken beschouwen we een eenvoudige klok gebaseerd op reflecterend licht. De klok is weergegeven in Fig. 38. Elke kloktik correspondeert met de heen- en terugreis van een foton tussen de spiegels. Voor een stilstaande klok duurt een kloktik Δt\frac{2L}{c} s. Als de klok beweegt met snelheid v, dan moet het licht een langere weg afleggen om de heen- en terugreis te maken. De geometrie laat toe om de kloktik van de bewegende klok te bepalen. Er geldt Δt′ = \frac{2D}{c} en de diagonale afstand D kan met behulp van de stelling van

Pythagoras bepaald worden als D = \sqrt{L^{2} + \frac{1}{4}v^{2}(Δt′)^{2}}. Invullen en oplossen van Δt′ levert Δt′ = \frac{2L}{c} _{\frac{1}{\sqrt{1− \frac{v^{2}}{c^{2}}}}} = γΔt. We vinden hiermee weer de formule voor tijddilatatie.

Een goed voorbeeld van tijddilatatie zijn muonen die gecreëerd worden in de buitenste laag van de aardatmosfeer en richting de aarde bewegen. Vanwege tijddilatatie is hun levensduur beduidend langer dan de levensduur zoals die op aarde (in het rustsysteem van de muonen) gemeten wordt: 2.2 μs. Dit laat toe dat dergelijke kosmische muonen een grotere weg afleggen en het oppervlak van de aarde bereiken kunnen. Voor een waarnemer die meereist met een muon nadert de aarde Figuur 38: Een klok gebaseerd op een foton dat reflecteert tussen twee spiegels. Links: de klok is in rust en een kloktik komt overeen met de vluchttijd van het foton. Rechts: een waarnemer die een bewegende klok ziet, meet dat deze klok langzamer loopt.

53Dit geldt in de conventionele leer van de natuurkunde. Er zijn wel degelijk exotische theorieën waarin deeltjes bestaan die sneller gaan dan het licht (de zogenaamde tachyonen); echter, theorieën met tachyonen hebben doorgaans de eigenschap instabiele materie te voorspellen. Zulke deeltjes zullen daarom niet worden beschouwd.

met een snelheid in de buurt van de lichtsnelheid, maar kan de afgelegde weg desondanks niet meer dan cΔt = (3 × 10^{8} m/s)(2.2 × 10^{−6}) = 660 m afleggen. Toch bereiken deze muonen het aardoppervlak, terwijl de afstand van de buitenste laag van de atmosfeer tot het oppervlak ongeveer 20 km is. De verklaring is dat deze lengte van 20 km voor de meereizende waarnemer lorentz-gecontraheerd is tot minder dan 660 m.

We kunnen onze lichtklok ook gebruiken om lorentzcontractie te begrijpen. We tonen de geometrie in Fig. 39. Twee waarnemers A en B hebben een relatieve snelheid v ten opzichte van

Figuur 39: Een klok gebaseerd op een foton dat reflecteert tussen twee spiegels. Panel (a): uiteinde 1 van de staaf passeert waarnemer A; panel (b): uiteinde 2 passeert A; panel (c): de situatie zoals gezien door waarnemer B.

elkaar. Waarnemer B houdt een staaf vast in de richting van v. We beschouwen eerst de situatie vanuit waarnemer A. Panel (a) toont de situatie waarbij uiteinde 1 van de staaf waarnemer A passeert. Op dat moment stuurt A een lichtflits in de richting van de spiegel. In panel (b) wordt de situatie getoond waarbij uiteinde 2 van de staaf waarnemer A passeert. De afstand tussen waarnemer A en de spiegel is dusdanig dat precies op dit tijdstip de lichtflits weer bij A aankomt. Voor A is er inmiddels een tijd Δt′ verstreken. Waarnemer A die de lengte van een ten opzichte van hem bewegende staaf meet, concludeert hij dus dat de lengte van de staaf L′ gegeven wordt door L′ = 2vΔt′. Panel (c) schetst de situatie voor de met de staaf meebewegende waarnemer B. Door te kijken naar dezelfde lichtklok meet B de lengte van de staaf als L = 2vΔt, waarbij Δt de tijdspanne verstreken op zijn klok is. Vervolgens gebruikt hij de tijddilatatie formule, Δt = γΔt′ (merk op dat waarnemer B de tijd van een voor hem bewegende klok gebruikt!) en vindt L′ = L\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{L}{γ}.

5.7 Verlies van universele definitie van tijd en gelijktijdigheid

Als twee gebeurtenissen plaatsvinden op verschillende plaatsen, maar een waarnemer meet dat ze gelijktijdig gebeuren, dan kan het zo zijn dat een andere waarnemer (die beweegt ten opzichte van de eerste) meet dat ze voor hem niet gelijktijdig gebeuren. We noemen dit het verlies van gelijktijdigheid. Voor Newton en Galileo hadden voor en na een invariante betekenis: iedereen zou het erover eens zijn dat gebeurtenis A plaatsvond vóór gebeurtenis B. Dit lijkt alleen maar logisch omdat A wel eens de reden kan zijn dat B gebeurt, en het zou weleens tegenstrijdig kunnen zijn als iemand anders bepaalt dat B vóór A heeft plaatsgevonden. In de SRT is het enkel vereist dat de begrippen vóór en na nodig zijn als de gebeurtenissen elkaar kunnen beïnvloeden. Dus als A de gebeurtenis B kan veroorzaken, dan moet iedereen het erover eens zijn dat A eerder was. Echter A kan enkel B veroorzaken als licht (of een langzamer signaal) kan reizen van A naar B: geen enkele invloed kan sneller reizen dan het licht. Derhalve, als B te ver verwijderd is om licht van A te ontvangen tegen de tijd dat B plaatsvindt, dan is er geen logische reden dat verschillende waarnemers het erover eens moeten zijn welke van de gebeurtenissen het eerst plaatsvond.

Gebeurtenissen die op dezelfde tijd maar op verschillende posities plaatsvinden, zoals gezien door een waarnemer, zijn precies van dit soort: geen van beide kan de ander veroorzaken. Daarom geeft de SRT ze geen unieke volgorde: voor de ene waarnemer gebeuren ze gelijktijdig, voor een ander gebeurt A eerst, en voor een derde kan B eerst gebeuren. Echter alle drie de waarnemers zullen het erover eens zijn dat licht niet van de ene naar de andere gebeurtenis kan reizen, en er dus geen causaal verband tussen beide gebeurtenissen kan zijn.

Als echter licht kan reizen van A naar B, dan zullen alle waarnemers het hierover eens zijn en gebeurt B later dan A (maar wel met verschillende tijddilatatie effecten). Dus SRT behoudt het begrip van vóór en na, van toekomst en verleden, maar het past deze relatie niet toe op alle mogelijke paren gebeurtenissen.

Dit betekent dat het niet mogelijk is om Newton’s idea van een drie-dimensionale absolute ruimte te handhaven, met tijd als enkel een parameter. In Newton’s wereld zal iedereen het erover eens zijn hoe ruimte eruit ziet op een gegeven tijdstip. In Einstein’s wereld is er enkel ruimtetijd, het vier-dimensionale continuüm van alle gebeurtenissen die op elk mogelijk tijdstip kunnen plaatsvinden. Gebeurtenissen zijn de punten in ruimtetijd. Een waarnemer zal een bepaalde verzameling gebeurtenissen groeperen in de drie-dimensionale ruimte op een bepaald tijdstip. Echter een andere waarnemer kan evenwel besluiten dat een andere verzameling gebeurtenissen ruimte vertegenwoordigt op een bepaald tijdstip.

Twee gebeurtenissen die geen causaal verband met elkaar kunnen hebben, worden ruimtelijk gescheiden in ruimtetijd genoemd. Twee gebeurtenissen die verbonden kunnen worden door iets dat reist met met een snelheid lager dan de lichtsnelheid worden tijdachtig gescheiden genoemd. Gebeurtenissen die verbonden kunnen worden door één enkel foton worden lichtachtig gescheiden genoemd. Relativiteitstheorie mengt de begrippen ruimte en tijd. Als we het gezichtspunt van de waarnemer veranderen dan is er een transformatie van hoe we ruimte van tijd onderscheiden (zie vergelijkingen (194), hoe we tijdverschillen behandelen en hoe we afstanden meten. Dit alles wordt door de lorentztransformaties uitgedrukt.

5.8 Ruimtetijd

Hier stellen we ons wederom de vraag: wat is ruimtetijd? Waarom is het onjuist om over ruimte en tijd als aparte grootheden te spreken in plaats van over ruimtetijd als geheel? In de natuurkunde van Aristoteles werd ruimte voorgesteld als een Euclidische drie-dimensionale ruimte 𝔼^{3}. De punten van de ruimte behouden hun identiteit van het ene moment op het andere. Stel een deeltje bevindt zich in rust op een bepaald ruimtelijk punt. We nemen dan aan dat wanneer we dit ruimtelijk punt nu beschouwen en ook op een later tijdstip, we te maken hebben met hetzelfde ruimtelijk punt. Ons beeld van realiteit correspondeert dan met het scherm in een bioscoop, waar een bepaald punt op het scherm zijn identiteit behoudt wat er ook op dat scherm geprojecteerd wordt. Evenzo wordt tijd voorgesteld as een Euclidische ruimte, maar dat is de triviale 𝔼^{1} één-dimensionale ruimte^{54}. De Euclidische ruimte geeft een definitie van het begrip afstand tussen punten. Verder is er een begrip van gelijktijdigheid. Het is dus absoluut zinvol om te spreken van gebeurtenissen die gelijktijdig hier en elders plaatsvinden. Om in de beeldspraak van de bioscoop te blijven: als we een bepaald frame van de film beschouwen dan worden alle gelijktijdige gebeurtenissen op verschillende plaatsen op het scherm geprojecteerd. De ruimtetijd van Aristoteles is het product

A = 𝔼^{1} × 𝔼^{3}.  (198)

Het is eenvoudig de ruimte opgespannen door de paren (t, x⃗), met t een element van 𝔼^{1}, een tijd, en x⃗ een element van 𝔼^{3}, een punt in de ruimte. Deze ruimtetijd wordt weergegeven in Fig. 40 (linker figuur). Laten we nu eens kijken wat Galileo’s relativiteitsprincipe voor een gevolg heeft

Figuur 40: Links: de ruimtetijd van Aristoteles A = 𝔼^{1} × 𝔼^{3} bestaat uit paren (t, x⃗). Rechts: de ruimtetijd van Galileo, G, is een fiberruimte. Er is geen puntsgewijze connectie tussen verschillende 𝔼^{3} fibers: er bestaat geen absolute ruimte! Er is echter wel een unieke tijd voor elke ruimtetijd gebeurtenis: absolute tijd bestaat.

op ons begrip van ruimtetijd. Galileo vertelt ons dat de dynamische wetten hetzelfde zijn in elk inertiaalsysteem. Er is niets in de natuurkunde dat gebruikt kan worden om een systeem van rust te onderscheiden van een systeem dat met uniforme snelheid beweegt. Dit betekent dat er geen dynamische betekenis is in het stellen dat een bepaald ruimtelijk punt op dit moment hetzelfde is als het ruimtelijk punt een moment later. Het is zinloos te stellen dat het ruimtelijk punt waar mijn koffiekop zich nu bevindt, hetzelfde ruimtelijk punt is een minuut later. Gedurende deze minuut is de aarde om zijn as geroteerd en in dat systeem is mijn koffiekop op een ander ruimtelijk punt. Echter de aarde draait ook om de zon en dat levert weer een ander punt op. Kortom, de analogie van een projectiescherm is onjuist! We hebben niet één enkele Euclidische ruimte 𝔼^{3} als de arena waarin de acties van de fysische wereld zich in de tijd afspelen. We hebben verschillende 𝔼^{3}s voor elk tijdstip en er is geen natuurlijke identificatie tussen deze verschillende 𝔼^{3}s. Wiskundig gezien is Galileo’s ruimtetijd G geen productruimte 𝔼^{1} × 𝔼^{3}, maar iets dat wiskundigen een fiberbundel noemen met als basis 𝔼^{1} en fiber 𝔼^{3}. De situatie is geschetst in Fig. 40 (rechter figuur). Een fiberbundel heeft geen puntgewijze connectie tussen één fiber en de volgende. Desalnietemin vormen de fibers samen een geheel. Aan elk ruimtetijd element van G wordt een tijd toegekend, en deze laatste is een element van de ‘klokruimte’ 𝔼^{1}.

54Tijd wordt door Aristoteles niet voorgesteld als een kopie van de reëele lijn ℝ, want ℝ bevat het voorkeurselement 0. Er is echter geen sprake van een voorkeur voor een oorsprong in de beschrijving van dynamische objecten.

Het bestaan van een lichtsnelheid die voor elke waarnemer hetzelfde is, heeft het verdwijnen van de absolute tijd tot gevolg. In Fig. 41 nemen we een gebeurtenis P in ruimtetijd en beschouwen we alle lichtstralen die door P gaan voor elke richting (zie Fig. 41a). We kunnen ruimtetijd voorstellen door horizontaal de x en y richting uit te zetten, terwijl we de tijdcoördinaat (ct) verticaal kiezen. De lichtstralen vormen een kegel in ruimtetijd, de zogenaamde lichtkegel. Als we de lichtsnelheid als fundamenteel nemen, dan betekent dit dat we de lichtkegel als fundamenteel nemen. De lichtkegel definieert een structuur in de tangentenruimte T_{P} die hoort bij P. De

Figuur 41: De lichtkegel specificeert de fundamentele snelheid van het licht. In (a) worden de banen van de uitgezonden fotonen ruimtelijk geschetst als een bol die expandeert vanuit punt P. In (b) zien we dat in ruimtetijd de fotonen een kegel uitsnijden. In (c) zien we dat de kegel ruimtetijd opsplitst in een verleden en een toekomst. De wereldlijn van een massief deeltje in P heeft een vector die naar de toekomst wijst en tijdachtig is. Deze vector ligt dus binnen de toekomst lichtkegel van P.

lichtkegel wordt gevormd door gebeurtenissen waarvoor geldt

s^{2} = c^{2}Δt^{2} − Δr^{2} = 0.  (199)

Gebeurtenissen die van P gescheiden zijn door een tijdachtig interval, vallen binnen de lichtkegel en er geldt s^{2} > 0 → c^{2}Δt^{2} > Δr^{2}. Dergelijke gebeurtenissen kunnen causaal verbonden zijn. Dat is niet mogelijk voor zogenaamde ruimtelijk gescheiden gebeurtenissen die buiten de lichtkegel vallen. Hiervoor geldt s^{2} < 0 → c^{2}Δt^{2} < Δr^{2}.

Merk op dat de lichtkegel uit twee delen bestaat: een verleden kegel en een toekomst kegel. We kunnen ons de verleden kegel voorstellen als de geschiedenis van een lichtflits die implodeert op P. De toekomst kegel zien we als een lichtflits die explodeert vanuit punt P. Fotonen liggen op de rand van de kegel, terwijl de wereldlijnen van massieve deeltjes die door P gaan, binnen de kegel dienen te liggen. De structuur van ruimtetijd in de SRT is zodanig dat voor elke gebeurtenis van ruimtetijd een lichtkegel bestaat die voor deze gebeurtenis de causale structuur bepaalt. We zullen dit uitdiepen in de volgende sectie.

5.9 Ruimtetijddiagrammen

We gebruiken ruimtetijddiagrammen om gebeurtenissen in de vierdimensionale ruimtetijd te beschrijven. In een ruimtetijd diagram (ook wel minkowskidiagram genoemd) tonen we een ruimtelijk dimensie op de x-as en de tijd op de y-as. Een ruimtetijd diagram stelt typisch het coördinatenstelsel van een waarnemer voor. Deze waarnemer is dan zelf in rust in dit systeem en zijn wereldlijn correspondeert met de tijd-as. Typisch wordt verticaal niet t, maar ct uitgezet, zodat de wereldlijn van een foton een rechte lijn wordt met een helling van 45^{∘}.

We beginnen met het verhelderen van het verschil tussen de ruimtetijd van Galileo en die van de SRT. In de linker figuur stelt de schuine lijn de tijd-as voor van een waarnemer die ten opzichte

Figuur 42: Links: in de klassieke mechanica heeft een gebeurtenis A plaats op hetzelfde tijdstip. Rechts: in de SRT kennen verschillende waarnemers verschillende tijden toe aan gebeurtenis A.

van het coördinatensysteem beweegt met snelheid v. Op tijdstip x = x′ = t = t′ = 0 vallen beide coördinatensystemen samen. De as van de bewegende waarnemer staat niet loodrecht op de x-as en de tijdschaal is uitgerekt. Beide waarnemers observeren gebeurtenis A en kennen er dezelfde tijd aan toe, omdat de klassieke mechanica een absolute tijd t = t′ voor gebeurtenissen kent. De plaats is verschillend omdat de bewegende waarnemer naar gebeurtenis A toe beweegt. Deze grafische representatie noemen we een galileotransformatie.

Einstein ontdekte dat deze beschijving onjuist is. Het coördinatensysteem van een bewegende waarnemer dient getekend te worden zoals gedaan is in de rechter afbeelding in Fig. 42. Dit volgt direct uit de lorentztransformaties, zie vergelijking (194). Voor de hoek α geldt tan α = \frac{v}{c}. Er bestaat geen absolute tijd meer en beide waarnemers kennen verschillende tijden toe aan gebeurtenis A.

Ook het verdwijnen van gelijktijdigheid kunnen we direct zijn in een ruimtetijd diagram, zie Fig.

43. Hiertoe beschouwen we twee waarnemers die relatief ten opzichte van elkaar bewegen met snelheid v. Het coördinatensysteem van de bewegende waarnemer is aangegeven met x′ en ct′ in het systeem van de stilstaande waarnemer. De oriëntatie van deze assen kan gevonden worden uit de lorentztransformaties. We beschouwen twee ruimteachtig gescheiden gebeurtenissen A en B. Deze gebeurtenissen kunnen geen causaal verband met elkaar hebben, omdat ze niet door fotonen (dat zijn lijnen onder ±45^{∘}) of langzamere signalen verbonden kunnen worden. De gebeurtenissen gebeuren gelijktijdig in het systeem van de stilstaande waarnemer. In het systeem van de bewegende waarnemer gebeurt B op tijdstip C en gebeurtenis A op tijdstip D.

Figuur 43: Ruimtetijddiagram voor een stilstaande waarnemer heeft assen x en ct, terwijl het diagram voor een waarnemer die met snelheid v ten opzichte van de eeste beweegt, de assen x′ en ct′ heeft. Voor de stilstaande waarnemer vinden gebeurtenissen A en B gelijktijdig plaats. Dat is niet zo voor de bewegende waarnemer.

In zijn systeem gebeurt B eerder dan A. Er is echter ook een systeem te vinden waarin A eerder gebeurt dan B. Dat is een waarnemer die met snelheid −v beweegt ten opzichte van stilstaande waarnemer. We zien dat tijd haar absolute betekenis heeft verloren. Welke deelverzameling gebeurtenissen van ruimtetijd de gelijktijdige gebeurtenissen vormt, hangt af van de beweging van de waarnemer.

5.10 Relativistisch Dopplereffect

De verandering van het begrip tijd in de SRT leidt tot een eenvoudige modificatie van de formule voor de roodverschuiving van een foton, zie vergelijking (8) en ook Fig. 2. In sectie 2.4 telden we het aantal golffronten dat een bewegende detector passeert, en vergeleken dat met het aantal dat een detector in rust registreerde. Het aantal golffronten dat per tijdseenheid passeert is de frequentie van de golf. We dienen nu in rekening te brengen dat de klok van een bewegende detector iets langzamer loopt dan die van een detector in rust. Dit betekent dat als de detector in rust N golffronten telt in tijd t, dan telt de bewegende detector N′ = N(1− \frac{v}{c}) golffronten (zie Fig. 2) in een tijd t′ = t/γ (Einstein’s tijddilatatie). Als we het aantal golffronten delen door de tijd, dan meet de stilstaande detector een frequentie f = N/t, terwijl de bewegende detector een frequentie f′ = N′/t′ meet. Dit levert

f′ = (1 − \frac{v}{c})γf = \frac{1 − \frac{v}{c}}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}} f.  (200)

Bovenstaande relatie geldt als de bewegende waarnemer zich verwijdert van de lichtbron, zoals gezien door een waarnemer in rust. Dit produceert een verlaging van de frequentie, een roodverschuiving. In het geval de waarnemer de bron nadert, spreken we over een blauwverschuiving. Omdat de noemer altijd kleiner is dan 1, zijn de waarden van de rood- of blauwverschuiving groter dan die op basis van de niet-relativistische Doppler formule. Merk op dat er zelfs een verschuiving is als de bewegende waarnemer loodrecht beweegt op de richting naar de lichtbron. In dat geval is de niet-relativistische Doppler verschuiving gelijk aan nul, omdat de loodrechte beweging geen golffronten toevoegt of aftrekt van het aantal dat geteld wordt door een stilstaande detector. Echter is er nog steeds de tijddilatatie en die reduceert de hoeveelheid tijd dat een bewegende detector kan meten. Dit produceert een blauwverschuiving in de SRT, terwijl er geen effect is in de klassieke Doppler formule. Dit wordt het transversale Dopplereffect genoemd.

5.11 Relativistische mechanica

De lagrangiaanse methode beschreven in sectie 2.8 leent zich uitstekend voor de uitbreiding van de mechanica van Newton naar een versie die overeenkomt met het relativiteitsprincipe. Allereerst zullen we een vrij deeltje beschouwen, oftewel een deeltje met massa m dat beweegt zonder beïnvloed te worden door een kracht. De lagrangiaan voor een dergelijk deeltje bestaat dan alleen uit een kinetische term,

L = K.  (201)

In de klassieke mechanica wordt de kinetische energie gegeven door K = \frac{1}{2}mv^{2}. Deze uitdrukking kunnen we echter niet overnemen in de relativiteitstheorie. Immers, het relativiteitsprincipe eist dat de natuurwetten zodanig geformuleerd dienen te worden, dat zij niet van vorm veranderen wanneer naar een ander inertiaalstelsel wordt getransformeerd. Dit betekent dat de gezochte lagrangiaan invariant moet zijn onder transformaties tussen inertiaalstelsels, en daar voldoet bovenstaande uitdrukking zeker niet aan. Echter, met enige aanpassing is een vorm te vinden die erg lijkt op de oude uitdrukking, maar die wel degelijk invariant is. Hiervoor schrijven we eerst de oude uitdrukking uit als

L = K = \frac{1}{2}m\frac{dx^{i}}{dt} \frac{dx_{i}}{dt} ,  (202)

waar Einstein’s sommatieconventie gebruikt is: dx^{i}dx_{i} = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}. Wat de invariantie van deze uitdrukking in de weg staat zijn twee dingen: allereerst zijn de dx-en inertiaalstelselafhankelijk; ten tweede zijn de dt’s dat eveneens. We hadden immers al gezien dat waarnemers in verschillende inertiaalsystemen, verschillende afstanden en tijdsduren meten. Deze uitdrukking kan daarom nooit voldoen aan het relativiteitsprincipe. Echter, wanneer we dx^{i}dx_{i} vervangen door η_{μν}dx^{μ}dx^{ν} staat in de teller nu precies het lijnelement ds^{2}, waarvan bekend is dat dit invariant is. Op dezelfde manier ligt een uitbreiding van de twee dt’s ook voor de hand: vervang dtdt door dτ^{2}, zodat ook dit nu invariant is geworden. Een natuurlijke suggestie voor een relativistische lagrangiaan van een vrij deeltje is dan

L = \frac{1}{2}mη_{μν} \frac{dx^{μ}}{dτ} \frac{dx^{ν}}{dτ} .  (203)

Deze overwegingen zijn natuurlijk geen bewijs voor de geldigheid van deze uitdrukking: het is een gok. Er zijn ook andere Lagrangianen denkbaar die voldoen aan het relativiteitsprincipe. Echter, deze uitdrukking is de meest eenvoudige, en bovendien zal blijken dat de bewegingswettem die hieruit volgen, reduceren tot de oude vertrouwde bewegingswetten van Newton wanneer ze toegepast worden in situaties waarbij snelheden veel lager zijn dan de lichtsnelheid. Uiteindelijk zal het echter aan het experiment zijn om aan te tonen of de gevonden wetmatigheden correct zijn. Tot nu toe wijzen alle experimenten uit dat dit inderdaad het geval is.

De actie S behorend bij deze lagrangiaan wordt verkregen door de lagrangiaan te integreren over de tijd. Ook hier moet het relativiteitsprincipe in acht worden genomen: de uitdrukking moet worden geïntegreerd over de eigentijd dτ (in tegenstelling tot over de waarnemer-afhankelijke tijd t) om zo de invariantie van de actie te waarborgen. De actie wordt dan dus

S = ∫_{τ_{1}}^{τ_{2}} \{\frac{1}{2}mη_{μν} \frac{dx^{μ}}{dτ} \frac{dx^{ν}}{dτ} \} dτ.  (204)

Om de bewegingswet voor het deeltje af te leiden, dient het principe van extreme actie weer te worden toegepast: er moet gezocht worden naar het pad x^{μ}(τ) dat de waarde van deze integraal minimaal of maximaal maakt. De Euler-Lagrange vergelijkingen voor deze situatie hebben de vorm^{55}

\frac{∂L}{∂x^{α}} = \frac{d}{dτ} (\frac{∂L}{∂ (\frac{dx^{α}}{dτ} )}) .  (205)

Merk op dat dit vier vergelijkingen zijn: voor elk van de vier coordinaten van het pad x^{μ}(t) is er een vergelijking die moet worden opgelost. Wanneer de relativistische lagrangiaan wordt ingevuld en beide zijden van de Euler-Lagrange vergelijkingen worden uitgerekend, wordt gevonden dat een vrij relativistisch deeltje een pad x^{μ}(τ) volgt waarvan de componenten voldoen aan de vergelijkingen

m\frac{d^{2}x^{μ}}{dτ^{2}} = 0.  (206)

Dit lijkt sprekend op de tweede wet van Newton voor een vrij deeltje, met twee subtiele verschillen.

Ten eerste doet de wet van Newton uitspraken over de drie plaatscoördinaten van het deeltje, waar deze nieuwe uitdrukking ook uitspraak doet over de tijd. Deze laatste stelt dat

m\frac{dt^{2}}{dτ^{2}} = 0,  (207)

waaruit volgt dat \frac{dt}{dτ} gelijk is aan een constante. Dat is niet verrassend: we hadden immers al gezien dat de tijd τ zoals gemeten door een waarnemer die het deeltje stil ziet staan, een andere is dan de tijd t gemeten door een waarnemer die het deeltje ziet bewegen. Dit was precies het tijddilatatie effect zoals besproken in sectie 5.3, en de waarde van deze constante laat zich dan ook aflezen van vergelijking (172): het is precies de lorentzfactor γ.

Figuur 44: Ruimtetijddiagram in een specifiek lorentzframe dat de 3D ruimte toont op t = 0 de viersnelheid U⃗ van een deeltje dat deze 3D ruimte passeert (op t = 0), en twee 3D vectoren die in deze 3D ruimte liggen: het ruimtelijke deel van de viersnelheid U⃗ en de gewone snelheid v⃗ van het deeltje.

Het tweede verschil met de wet van Newton is het feit dat er hier afgeleiden worden genomen naar de eigentijd τ, waar in Newton’s theorie afgeleiden werden genomen naar de tijd t. Dit maakt van deze nieuwe afgeleide een soort ‘gemengd-object’: de gemeten afstanden x worden genomen zoals gemeten door een willekeurige waarnemer ten opzichte van wie het deeltje beweegt, waar de tijd gemeten wordt door de waarnemer die stilstaat ten opzichte van het bewegende deeltje. Dit object wordt de viersnelheid U^{μ}(t) genoemd. Er geldt U⃗ = dx⃗/dτ en voor de componenten geldt U^{α} = dx^{α}/dτ. Dit betekent voor de gewone snelheid dat v^{j} ≡ \frac{dx^{j}}{dt} = \frac{dx^{j}/dτ}{dt/dτ} = \frac{U^{j}}{U^{0}} . Deze relatie in combinatie met de normering van U⃗, U⃗^{2} = g_{αβ}U^{α}U^{β} = −(U^{0})^{2} +δ_{ij}U^{i}U^{j} = −1, betekent dat de componenten van de viersnelheid van de vorm U^{0} = γ, U^{i} = γv^{i}, met γ = 1/(1−δ_{ij}v^{i}v^{j})^{\frac{1}{2}} zijn. We vatten een en ander nog een samen in Fig. 44. Het is nuttig om v^{j} te zien als de componenten van een 3D vector v⃗, de gewone snelheid, die leeft in de 3D euclidische ruimte t = constant van het gekozen lorentzstelsel. Deze 3D uimte is niet goed gedefinieerd totdat er een lorentzstelsel gekozen is, en daarom hangt het bestaan van v⃗ af van de specifieke keuze. Op het moment dat een lorentzframe gekozen is, kunnen we v⃗ zien als een coördinaten-onafhankelijk object.

55Dit is een generalisatie van vergelijking (28). Het bewijs van deze stelling gaat analoog aan dat van vergelijking

Teneinde weer contact te maken met de klassieke mechanica, schrijven we de viersnelheid om naar een meer natuurlijk object (te weten: afstand en tijd gemeten door een en dezelfde waarnemer). Dit kunnen we doen door te beseffen dat de verlopen tijd gemeten door het deeltje, en die door een andere waarnemer, met elkaar gerelateerd zijn via de formule van tijddilatatie: dτ = γ^{−1}dt. Op deze manier is de gevonden wet uit te drukken als

mγ^{2} \frac{dx^{2}}{dt^{2}} = 0.  (208)

De wet van Newton kan nu gezien worden als een speciaal geval van deze nieuwe wet. Als we aannemen dat het deeltje veel langzamer beweegt dan het licht ten opzichte van de waarnemer in wiens tijdsduur en afstand we nu alles hebben uitgedrukt (oftewel we nemen aan dat v ≪ c), dan kan vergelijking (208) benaderd worden door

mγ^{2} \frac{dx^{2}}{dt^{2}} ≡ \frac{m}{1 − (\frac{v}{c} )^{2}} \frac{dx^{2}}{dt^{2}} ≈ m (1 + (\frac{v}{c} )^{2}) \frac{dx^{2}}{dt^{2}} ≈ m\frac{dx^{2}}{dt^{2}} = 0,  (209)

waar gebruik is gemaakt van de wiskundige regel (1+x)^{m} ≈ 1+mx, welke geldt als x ≪ 1. Dit is precies de wet van Newton! Zo is nu aangetoond dat de wet van Newton slechts een speciaal geval is van een meer algemene bewegingswet, vergelijking (206)! Dit geeft ons vertrouwen dat onze keuze voor de lagrangiaan waarschijnlijk de juiste was: hij voldoet aan het relativiteitsprincipe, en geeft ons bovendien onze oude vertrouwde bewegingswetten terug.

Met in het achterhoofd kunnen we nu verder gaan met het afleiden van wetten betreffende de energie en impuls. Zoals besproken in sectie 2.8, volgt een impuls uit een gegeven lagrangiaan via vergelijking (36). Toegepast op de relativistische lagrangiaan levert dit voor de impuls van het vrije deeltje

p_{α} = \frac{∂L}{∂ \frac{dx^{α}}{dτ}} = m\frac{dx^{ν}}{dτ} η_{αν},  (210)

en na beide kanten te contraheren met de inverse η^{μα} van de minkowksimetriek wordt dit

p^{μ} = m\frac{dx^{μ}}{dτ} = mU^{μ}.  (211)

Wederom lijkt dit erg op de impuls zoals bekend uit de mechanica van Newton: een massa vermenigvuldigd met een snelheid. Echter, de snelheid is hier nu weer de viersnelheid, en deze nieuwe impuls wordt dan ook de vierimpuls genoemd. Vergeleken met de uitdrukking voor de newtoniaanse variant, vergelijking (37), gaan weer twee verschillen op: ten eerste is er een nulcomponent aanwezig, en ten tweede is het weer een ‘gemengd-object’: afgelegde afstand gemeten door een willekeurige waarnemer, en tijdsduur gemeten door een waarnemer die stilstaat ten opzichte van het deeltje. Het tweede verschil kunnen we weer een plaats geven door de relatie tussen eigentijd en tijd te gebruiken. Dit levert

p^{α} = mγ \frac{dx^{α}}{dt} ,  (212)

en via dezelfde benaderingsmethode als gebruikt in vergelijking (209) volgt direct dat de icomponent (i = 1, 2, 3) hiervan reduceert tot de impuls zoals bekend uit de mechanica van Newton, wanneer het deeltje veel langzamer beweegt dan het licht. De i = 1, 2, 3 componenten van dit object worden daarom opgevat als de relativistische uitdrukkingen van de impuls. Wat de nul-component betreft, deze moet nog een interpretatie krijgen. Deze component is

p^{0} = mcγ.  (213)

Via een dimensie-analyse is meteen te zien dat het de dimensie van een energie heeft, en dit wekt de suggestie dat het gaat om de energie van het vrije deeltje. De vraag dringt zich dan al snel op: op welke manier is deze uitdrukking gerelateerd aan de newtoniaanse uitdrukking voor de energie van een vrij deeltje, K = \frac{1}{2}mv^{2}? Ook hier biedt de benadering van lage snelheden uitkomst. Er geldt

cp^{0} = mc^{2} \frac{1}{\sqrt{1 − (\frac{v}{c} )^{2}}} ≈ mc^{2} (1 + \frac{1}{2} (\frac{v}{c} )^{2}) = mc^{2} + K,  (214)

waar de uitdrukking voor de newtoniaanse energie K van een vrij deeltje is ingevuld. Hier is nu gevolgd dat, in de benadering van lage snelheden, de nul-component van de relativistische impuls reduceert tot de newtoniaanse energie plus een extra term. Afgezien van deze constante term, is de nul-component bij lage snelheden inderdaad gelijk aan de energie van het deeltje zoals voorspeld door de newtoniaanse mechanica. Het ligt dan ook voor de hand om aan te nemen dat we p^{0} ook bij hoge snelheden mogen opvatten als de energie van het deeltje. Wat de constante term betreft kan de vraag worden gesteld hoe fysisch interessant deze is. Immers, in de natuurkunde kennen alleen energieverschillen een meetbare betekenis^{56}, en dus zal elke extra constante term toegevoegd aan de energie van een systeem uit de berekening vallen wanneer een energieverschil opgeschreven wordt. Toch heeft de constante term m hier wel degelijk een fysische betekenis: het is namelijk niet zomaar een willekeurige constante, het is een constante die een eigenschap van het deeltje bevat (de massa)! Deze energie is ook aanwezig wanneer het deeltje geen bewegingsenergie heeft voor een gegeven waarnemer, K = 0; we spreken dan ook over rust-energie, en deze is gelijk aan

E = mc^{2}.  (215)

Dit is wellicht de bekendste formule uit de natuurkunde. Hij zegt dat elke massa een energie met zich meedraagt gelijk aan deze massa maal c^{2}, en dat dit energie is die zich niet laat wegtransformeren door naar een ander inertiaalstelsel te gaan. Het is daarom een fundamentele hoeveelheid energie voor een gegeven massa m: voor alle waarnemers geldt dat een massa op zijn minst deze hoeveelheid energie met zich meedraagt.

Resumerend is nu gevolgd dat onze keuze voor de lagrangiaan ons een uitdrukking geeft voor de impuls, waarvan de i-componenten netjes reduceren tot de impuls zoals die in de newtoniaanse mechanica bekend was; de nul-component van de vierimpuls blijkt overeen te komen met de energie van het deeltje. We schrijven dan ook

p^{μ} = ( \frac{E}{c} ; p_{x} ; p_{y} ; p_{z} ) ,  (216)

56Denk bijvoorbeeld aan de relatie tussen een kracht F in de x-richting en de potentiële energie V: F = − \frac{dV}{dx}, oftewel een meetbare grootheid is uitgedrukt als een verschil in energie.

waarin geldt

E = γmc^{2},  p^{i} = γmv^{i}.  (217)

De naam is niet de enige overeenkomst tussen de vierimpuls en viersnelheid: beide transformeren op dezelfde manier tussen inertiaalsystemen. Met name de lorentztransformaties werken op deze objecten op dezelfde manier; dit betekent dat twee waarnemers die zich in de x-richting met snelheid v bewegen ten opzichte van elkaar, verschillende energie (E en E′) en impuls (p_{x} en p′_{x}) meten van een en hetzelfde deeltje, en dat deze zich tot elkaar verhouden als

\begin{matrix}\frac{E′}{c} & = & γ (\frac{E}{c} − (\frac{v}{c} ) p_{x}) \\ p′_{x} & = & γ (p_{x} − v \frac{E}{c^{2}} ) \\ p′_{y} & = & p_{y} \\ p′_{z} & = & p_{z} \end{matrix} \} → ( \begin{matrix}p^{0′} \\ p^{1′} \\ p^{2′} \\ p^{3′} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}γ & −βγ & 0 & 0 \\ −βγ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}p^{0} \\ p^{1} \\ p^{2} \\ p^{3} \end{matrix} ) → p^{μ′} = Λ_{ν}^{μ′}p^{ν}

(218)

Bovendien kunnen we de contractie p_{μ}p^{μ} van de vierimpuls met zichzelf nemen, omdat we al gezien hadden dat de contractie van een viervector met zichzelf altijd een invariant oplevert. Het is dan eenvoudig om aan te tonen dat deze invariant gelijk is, op een factor −c^{2} na, aan de massa van het deeltje in het kwadraat. Er geldt

η_{μν}p^{μ}p^{ν} = − (\frac{E}{c} )^{2} + p^{2}
= −m^{2}c^{2}γ^{2} + m^{2}v^{2}γ^{2}
= −m^{2}c^{2}γ^{2} (1 − (\frac{v}{c} )^{2}) = −m^{2}c^{2}.  (219)

Dit leidt dan tot de volgende uitdrukking voor de relatie tussen de energie en de impuls,

E^{2} = p^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}.  (220)

Deze is bijna geheel^{57} equivalent aan de eerder gevonden uitdrukking voor de relativistische energie, vergelijking (214), maar is in de praktijk soms te prefereren omdat deze ons in staat stelt de energie van een deeltje uit te rekenen zonder de snelheid v van het deeltje te hoeven kennen. Met name in de deeltjesfysica, waar men vaak de impulsen van de deeltjes beter kan meten dan louter hun snelheid, wordt deze formule veel gebruikt.

Het belang van energieën en impulsen in de relativiteitstheorie is dezelfde als die in de Newtoniaanse mechanica. Daar is het een experimenteel gegeven dat energie en impuls behouden grootheden zijn; dit levert enorme voordelen op tijdens het berekenen van mechanische processen. Het blijkt experimenteel dat dit nog steeds geldt voor onze nieuwe uitdrukkingen voor de energie en impuls: elk experiment toont aan dat deze twee grootheden niet veranderen tijdens fysische processen. Dit maakt het uitermate handig om met energie en impuls te werken wanneer een relativistisch probleem wordt beschouwd. Het is hier nu van belang om het verschil tussen ‘behouden’ en ‘invariant’ te onderstrepen: een grootheid is behouden wanneer geldt dat zijn waarde voor en na een proces dezelfde is; een grootheid is invariant als geldt dat zijn waarde voor alle waarnemers in verschillende inertiaalstelsels dezelfde is. Enkele voorbeelden: de lichtsnelheid c is een invariant en is behouden; de massa van een deeltje is invariant maar in het algemeen niet behouden; de energie van een deeltje is behouden maar niet invariant; snelheden zijn in het algemeen zowel niet behouden als invariant.

57Er is een subtiel maar belangrijk verschil: deze uitdrukking geeft niet de energie van een deeltje, maar het kwadraat van de energie; er moet dus nog een wortel worden genomen! Nu heeft een kwadratische vergelijking altijd twee oplossingen: een met een plusteken, en een met een minteken. De laatste oplossing duidt op deeltjes met een negatieve energie, iets wat vergelijking (214) nog niet deed! Het correct interpreteren van deze nieuwe oplossingen leidde Paul Dirac tot het voorspellen van het bestaan van antimaterie.

Nog enkele woorden over snelheden. Zoals al besproken, volgt uit de minkowskimetriek de snelheidsregel van Einstein, waaruit we hebben laten volgen dat het onmogelijk is een deeltje sneller te zien gaan dan het licht als het voor een enkele waarnemer niet sneller gaat dan het licht. De vraag of er een waarnemer bestaat voor wie het deeltje sneller gaat dan het licht is nog niet aan de orde gekomen. Met de uitdrukking voor de relativistische energie kan die vraag nu definitief worden beantwoord, en wel als volgt. De uitdrukking gegeven in vergelijking (214) voor de relativistische energie vertelt ons dat er in een deeltje dat zich ten opzichte van ons met snelheid v beweegt, een energie E verscholen is. Omgekeerd kan de relatie ook gelezen worden als de hoeveelheid energie benodigd om een deeltje vanuit stilstand tot deze snelheid te versnellen. Als wij nu een deeltje naar de lichtsnelheid willen versnellen, dan geldt v = c en wordt de noemer van vergelijking (214) gelijk aan nul: de benodigde energie E wordt oneindig groot. Dit is een andere manier van zeggen dat het onmogelijk is een deeltje de lichtsnelheid te geven! Hiermee is dan ook aangetoond dat deeltjes voor deze waarnemer niet sneller kunnen gaan dan de lichtsnelheid; via Einstein’s snelheidsregel volgt dan direct dat geen enkele andere waarnemer het deeltje sneller dan het licht kan zien bewegen.

Er is een uitzondering op deze regel. Om tot de energie E van ∞ te komen, hebben we opgemerkt dat een deeltje met snelheid v = c de noemer in vergelijking (214) gelijkmaakt aan nul, en delen door nul geeft oneindig. Dit is inderdaad waar, mits de teller niet gelijk is aan nul. Als de teller van een breuk ook gelijk is aan nul, levert delen door nul niet altijd meer oneindig op. De waarde van de uitkomst is dan onbepaald: afhankelijk van de context kan er iets eindigs uitkomen. Hier staat in de teller van de breuk de massa van het deeltje, dus al met al ziet het ernaar uit dat er wel degelijk deeltjes zouden kunnen bestaan die met precies de lichtsnelheid bewegen mits de massa van zulke deeltjes maar gelijk is aan nul^{58}. Zulke deeltjes kennen we: fotonen^{59} gaan met de lichtsnelheid, en deze hebben inderdaad een massa gelijk aan nul. Dit volgt uit alle metingen, maar het is interessant om te zien dat dit resultaat ook volgt uit puur theoretische overwegingen. De impuls van een foton heeft de waarde E = |p⃗|c. Zoals elke keer weer blijkt dit een direct gevolg te zijn van de minkowskimetriek en het relativiteitsprincipe!

De vraag dient zich dan aan wat de waarde is van de energie van een foton: wat is hier de uitkomst van nul gedeeld door nul? De uitdrukking voor de relativistische energie doet geen uitspraak. Dit betekent niet dat er geen antwoord bestaat voor de energie van een massaloos deeltje, maar alleen dat deze waarde niet door vergelijking (214) of door de relativiteitstheorie bepaald kan worden, en dat een andere formule nodig is. In het geval van een foton is de formule bekend uit de quantummechanica,

E = hf  (221)

waar f de frequentie (kleur) van het licht is, en h de constante van Planck. De ontdekking van deze formule door Max Planck in 1900, was de start van de studie van de quantummechanica. Samen met de ontdekking van de speciale relativiteitstheorie leidde de ontwikkeling van de quantummechanica tot een gehele herschrijving van de grondslagen van de natuurkunde.

5.12 De extra traagheid van druk

We hebben gezien hoe SRT geïsoleerde lichamen beïnvloedt als ze sneller bewegen: klokken (lopen trager), afstanden (worden korter), versnelde deeltjes (hun energie neemt toe), etc. De SRT heeft echter ook gevolgen voor een verzameling deeltjes, een gas. Met name speelt de gasdruk een belangrijke rol in de traagheid van het gas. We zullen ontdekken dat hoe hoger de gasdruk, hoe moeilijker het is om het gas te versnellen (de traagheid neemt toe). Dit heeft belangrijke gevolgen voor de ART. Als we neutronensterren bestuderen zullen we ontdekken dat dit effect ervoor zorgt dat het neutronengas een groter gewicht heeft. Dit zal ertoe leiden dat de ster een grotere gasdruk krijgt, hetgeen ervoor zorgt dat het gewicht toeneemt, etc. Deze druk-terugkoppeling leidt er uiteindelijk toe dat het onmogelijk wordt voor de ster om zichzelf in stand te houden: de traagheid van de gasdruk leidt de samenstorting tot een zwart gat in.

58Een omgekeerde conclusie kan ook worden getrokken uit vergelijking (214): als een deeltje een massa gelijk aan nul zou hebben maar niet zou bewegen met de lichtsnelheid, zou alleen de teller nul zijn, en daarmee de hele uitdrukking voor de energie. Deeltjes zonder energie bestaan niet (alles heeft energie), en dus volgt nu ook dat als een deeltje geen massa heeft, het noodzakelijkerwijs met de lichtsnelheid moet bewegen.

59Er zijn nog meer massaloze deeltjes die met de lichtsnelheid bewegen: gluonen en gravitonen. Voor het gemak spreken we alleen over de fotonen, maar impliciet bedoelen we hier alle massaloze deeltjes mee.

De traagheid van de gasdruk is terug te leiden op de lorentzcontractie. We bekijken het effect enkel voor kleine snelheden, waar SRT correcties relatief klein zijn. We beschouwen een doos met volume V die gevuld is met een uniform gas met massadichtheid ρ en gasdruk P. Stel dat we een kleine kracht uitoefenen op de doos, waardoor we haar versnellen tot een snelheid v, die klein is ten opzichte van c. De vraag is nu: hoeveel energie hebben we moeten leveren om het gas een snelheid v te geven? Ter vereenvoudiging spreken we enkel over het gas en niet over de doos (astronomische objecten als sterren zitten niet in een doos ...).

Als het gas een snelheid v heeft, dan heeft het kinetische energie. Men zou dus kunnen verwachten dat de totale energie die we hebben moeten toevoegen aan de doos om het gas te versnellen gelijk is aan deze kinetische energie: \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}ρV v^{2}. Dit is echter niet het hele verhaal, omdat de lorentzcontractie de lengte van doos kleiner heeft gemaakt en daarmee het volume veranderd heeft. De doos kleiner maken, terwijl er een gas of vloeistof met druk P in zit, betekent het verrichten van arbeid. Deze arbeid is gelijk aan F⃗ ·ds⃗ = −P ΔV, met ΔV de volumeverandering. Het minteken is nodig omdat de volumeverandering (ΔV)negatief is, terwijl de verrichte arbeid positief is. Deze extra energie vertegenwoordigt de extra traagheid van het gas: het is moeilijker om het gas te versnellen, omdat niet alleen arbeid verricht dient te worden om de bestaande energie te versnellen, maar ook om het gas te comprimeren, zoals de lorentzcontractie vereist.

De lengteverandering door de lorentzcontractie is gelijk aan

ΔL = L\sqrt{1 − \frac{v}{c}^{2}} − L ≈ −\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} L.  (222)

De extra energie die nodig is, is gelijk aan \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} P V. Deze energie verdwijnt niet, maar gaat naar de interne energie van het gas (op welke wijze hangt af van het type gasmolecuul). Een deel van de energie wordt gebruikt om het gas te verwarmen (de random kinetische energie van de moleculen). De totale energie die nodig is om het gas te versnellen kunnen we schrijven als

E = \frac{1}{2}mv^{2} − P ΔV = \frac{1}{2}ρV v^{2} + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} P V = \frac{1}{2} (ρ + \frac{P}{c^{2}} ) v^{2}V.  (223)

We zien dat de energie die nodig is om het gas te versnellen evenredig is met de som ρ + \frac{P}{c^{2}} . Dus voor een bepaalde uitgeoefende kracht zal de doos minder versnellen dan we zouden verwachten op basis van enkel haar massa, omdat een deel van de energie gaat naar de interne energie van het gas. We zien dus dat de traagheid groter is dan enkel haar rustmassa. We noemen de grootheid ρ + \frac{P}{c^{2}} de traagheid van de massadichtheid van het gas.

5.13 De energie-impuls tensor

Vergelijking (223) geeft de energie die nodig is om een gas te versnellen. De energie is echter afhankelijk van het referentiestelsel, want het is de 0-component van de vierimpuls gegeven door vergelijking (216). Alhoewel deze vierimpuls een volledige beschrijving geeft van de energie en impuls van een individueel deeltje, zullen we in het vervolg vaak uitgebreide systemen bespreken die zijn samengesteld uit grote aantallen deeltjes. In plaats van het toekennen van vierimpulsen aan ieder individueel deeltje, kiezen we ervoor om het hele systeem als een vloeistof te beschrijven - een continuum dat gekarakteriseerd wordt door macroscopische grootheden als druk, dichtheid, entropie en viscositeit. In het algemeen heeft deze vloeistof een bepaalde viersnelheidveld.

Een enkele impuls viervectorveld is onvoldoende om de energie en impuls van de vloeistof te beschrijven. We definiëren een energie-impuls tensor (ook wel de stress tensor genoemd) met

componenten T^{μν}. Deze symmetrische ( \begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix} ) tensor vertelt ons alles wat we moeten weten van

de energie-achtige eigenschappen van een systeem: energiedichtheid, druk, spanning, etc. Een algemene definitie van T^{μν} is de flux van vierimpuls p^{μ} door een oppervlak met constante x^{ν}. Beschouw bijvoorbeeld een oneindig klein vloeistofelement in zijn rustsysteem. Dan is T^{00} de flux van p^{0} (energie) in de x^{0} (tijd) richting: het is de energiedichtheid ρ in het rustsysteem. Op dezelfde manier zien we dat in dit frame T^{0i} = T^{i0} de impulsdichtheid is. De ruimtelijke componenten T^{ij} zijn de impulsflux, ofwel de stress, en vertegenwoordigen de krachten tussen aangrenzende volume elementen. Een diagonale term als T^{11} geeft de x−component van de kracht die per eenheid oppervlakte door het element wordt uitgeoefend in de x−richting. We interpreteren dit als de x−component van de druk (P_{x}). De druk heeft drie dergelijke componenten, P_{i} = T^{ii}, in het rustsysteem van de vloeistof.

We zullen het bovenstaande concreter maken door ‘stof’ (engels: dust) als voorbeeld te nemen. Kosmologen hebben de neiging om materie als synoniem voor stof te gebruiken. We definiëren stof in de vlakke ruimtetijd als een verzameling deeltjes die in rust zijn ten opzichte van elkaar. Het viervector snelheidsveld U^{μ}(x) is de constante viersnelheid van de individuele deeltjes. De componenten zijn hetzelfde op elk punt. We definiëren de flux viervector als

N^{μ} = nU^{μ},  (224)

met n de deeltjesdichtheid gemeten in het rustsysteem. Dan is N^{0} de deeltjesdichtheid gemeten in een ander systeem, terwijl N^{i} de deeltjesflux is in de x^{i}-richting. Verder nemen we aan dat elk deeltje massa m heeft. In het rustsysteem wordt de energiedichtheid van de stof gegeven door

ρ = nm.  (225)

Per definitie specificeert de energiedichtheid de stof volledig. Echter ρc^{2} meet de energiedichtheid in het rustsysteem. Hoe zit het met de andere systemen? Merk op dat zowel n als m de 0−componenten zijn van viervectoren in hun rustsysteem, namelijk N^{μ} = (n, 0, 0, 0) en p^{μ} = mU^{μ} = (mc, 0, 0, 0). We zien dus dat ρc^{2} de μ = 0, ν = 0 component is van de tensor p ⊗ N gemeten in het rustsysteem. Dit leidt tot de volgende definitie van de energie-impuls tensor voor stof,

T_{stof}^{μν} = p^{μ}N^{ν} = mnU^{μ}U^{ν} = ρU^{μ}U^{ν},  (226)

met ρc^{2} de energiedichtheid in het rustsysteem. We zien dat de druk van het stof in elke richting gelijk is aan nul. Dat klopt ook wel, omdat wij stof gedefinieerd hebben als een verzameling deeltjes zonder random bewegingen.

Stof in onvoldoende voor een algemene beschrijving van belangrijke fenomenen in de ART. Hiervoor is het concept van een ‘perfecte vloeistof’ nodig. Een perfecte vloeistof kan volledig worden gespecificeerd door twee grootheden: de energiedichtheid ρ in het rustsysteem, en een isotrope druk P in het rustsysteem. De parameter P geeft de druk in elke richting. Een consequentie van de isotropie is dat T^{μν} diagonaal is in het rustsysteem. Verder moeten de diagonale componenten allemaal gelijk zijn: T^{11} = T^{22} = T^{33}. Er zijn dus slechts twee onafhankelijke parameters en dat is de energiedichtheid ρ = T^{00} en de druk P = T^{ii}. De energie-impuls tensor van een perfecte vloeistof heeft daarmee de volgende vorm in het rustsysteem,

T^{μν} = ( \begin{matrix}ρc^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \end{matrix} ) .  (227)

We willen uiteraard een formule die geldig is in elk systeem, een tensorvergelijking. Voor stof hadden we T^{μν} = ρU^{μ}U^{ν}, dus we gokken op (ρ + P/c^{2})U^{μ}U^{ν}. Dit geeft

( \begin{matrix}ρc^{2} + P & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  (228)

en we zien dat niet correct is. We dienen er de volgende bijdrage bij op te tellen,

( \begin{matrix}−P & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \end{matrix} ) ,  (229)

hetgeen we kunnen schrijven als P g^{μν}, met g^{μν} = η^{μν} in de SRT. Hiermee vinden we voor de algemene vorm van de energie-impuls tensor voor een perfecte vloeistof

T^{μν} = (ρ + P/c^{2})U^{μ}U^{ν} + P g^{μν}.  (230)

Gegeven dat vergelijking (227) de vorm van T^{μν} in het rustsysteem is, en dat vergelijking (230) een tensorvergelijking is die in het rustsysteem reduceert tot vergelijking (227), weten we dat we met vergelijking (230) de correcte uitdrukking voor elk coördinatenstelsel hebben gevonden.

Het concept van een perfecte vloeistof is algemeen genoeg om een grote verscheidenheid van vormen van materie te beschrijven. We specificeren de toestandsvergelijking om de evolutie van een dergelijke vloeistof te bepalen. De toestandsvergelijking relateert de druk aan de energiedichtheid, P = P (ρ). Stof is een speciaal geval waarvoor P = 0, terwijl een isotroop gas bestaande uit fotonen P = \frac{1}{3}ρ heeft. Een meer exotisch voorbeeld is de energie van het vacuum, waarvoor de energie-impuls tensor evenredig is met de metriek, T^{μν} = −ρ_{vacuum}g^{μν}. Het idee van een energiedichtheid van het vacuum is zinloos in de SRT, omdat daar de absolute schaal van de energie niet relevant is, enkel energieverschillen tussen toestanden. In de ART koppelt alle energie echter met gravitatie (en veroorzaakt kromming van ruimtetijd), en wordt de mogelijkheid van het bestaan van vacuumenergie een belangrijke beschouwing.

Behalve dat T^{μν} symmetrisch is, heeft hij de belangrijke eigenschap dat hij behouden is. Energieen impulsbehoud wordt uitgedrukt door het feit dat de divergentie gelijk is aan nul,

∂_{μ}T^{μν} = 0.  (231)

Bovenstaande uitdrukking is een verzameling van vier vergelijkingen, een voor elke waarde van ν. De uitdrukking met ν = 0 correspondeert met energiebehoud, terwijl ∂_{μ}T^{μk} = 0 met k = 1, 2, 3 behoud van de k−de component van de impuls uitdrukt. Laten we dit eens toepassen op de perfecte vloeistof. We vinden dan

∂_{μ}T^{μν} = ∂_{μ}(ρ + P/c^{2})U^{μ}U^{ν} + (ρ + P/c^{2})(U^{ν}∂_{μ}U^{μ} + U^{μ}∂_{μ}U^{ν}) + ∂^{ν}P.  (232)

Om te analyseren wat deze uitdrukking betekent, is het nuttig om afzonderlijk te beschouwen wat er gebeurt als we een en ander projecteren langs en loodrecht op het viersnelheidsveld U^{μ}. Allereerst merken we op dat de nomalisatie U_{ν}U^{ν} = −1 de volgende identiteit levert,

U_{ν}∂_{μ}U^{ν} = \frac{1}{2}∂_{μ}(U_{ν}U^{ν}) = 0.  (233)

Projecteren komt neer op contraheren met U_{ν} en we vinden

U_{ν}∂_{μ}T^{μν} = −∂_{μ}(ρU^{μ}) − P ∂_{μ}U^{μ}.  (234)

Als we dit gelijkstellen aan nul vinden we de relativistische vergelijking voor energiebehoud van een perfecte vloeistof. Het ziet een vertrouwder uit in de niet-relativistische limiet, waar geldt

U^{μ} = (1, v^{i}), |v^{i}| ≪ 1, P ≪ ρ.  (235)

De laatste vergelijking is aannemelijk, omdat druk enkel van de random bewegingen van de individuele deeltjes komt, en in deze limiet zijn deze bewegingen (net als de beweging van de bulk met U^{μ}) klein. We vinden dus in niet-relativistische taal

∂_{t}ρ + ∇ · (ρv⃗) = 0,  (236)

hetgeen de continuïteitsvergelijking is voor de energiedichtheid.

Tenslotte gaan we naar het deel van vergelijking (232) dat loodrecht staat op de viersnelheid. Om een vector loodrecht op U^{μ} te projecteren, moeten we die vermenigvuldigen met de projectie tensor

P _{ν}^{σ} = δ_{ν}^{σ} + U^{σ}U_{ν}.  (237)

We kunnen controleren dat bovenstaande projectie tensor zijn werk doet door een vector V_{∥}^{ν} parallel aan U^{μ} en een andere vector W_{⊥}^{μ} loodrecht op U^{μ} te nemen. We vinden dan

\begin{aligned}P _{ν}^{σ}V_{∥}^{ν} & = & 0, \\ P _{ν}^{σ}W_{⊥}^{ν} & = & W_{⊥}^{σ}. \end{aligned}  (238)

Toepassen op ∂_{μ}T^{μν} levert

P _{ν}^{σ}∂_{μ}T^{μν} = (ρ + P/c^{2})U^{μ}∂_{μ}U^{σ} + ∂^{σ}P + U^{σ}U^{μ}∂_{μ}P.  (239)

We interpreteren deze vergelijking in de niet-relativistische limiet. Als we de ruimtelijke componenten gelijkstellen aan nul, vinden we

ρ [∂_{t}v⃗ + (v⃗ · ∇)v⃗] + ∇P + v⃗(∂_{t}P + v⃗ · ∇P) = 0.  (240)

Merk op dat de laatste paar termen afgeleiden hebben van P keer de driesnelheid v⃗, waarvan we aannemen dat die klein is. Deze termen zijn verwaarloosbaar ten opzichte van de ∇P term. We houden dan over

ρ [∂_{t}v⃗ + (v⃗ · ∇)v⃗] = −∇P,  (241)

en dit is de vergelijking van Euler uit de vloeistofmechanica.

6 Wiskunde II - Curvelineaire coördinaten

Het wiskundige apparaat dat we dienen te ontwikkelen voor de beschrijving van de algemene relativiteitstheorie is formidabel. Voordat we gekromde ruimtetijd gaan bestuderen, bekijken we eerst curvelineaire coördinaten in de euclidische ruimte. Hierdoor kunnen we een fors deel van de wiskundige machinerie te ontwikkelen in een vertrouwde situatie. Daarna is de stap naar gekromde ruimten relatief eenvoudig.

In cartesische co ordinaten geven we een punt P in de vlakke 2D euclidische ruimte aan met coördinaten x en y. We kunnen ook een ander coördinatenstelsel gebruiken dat we waarbij we P aangeven met ξ en η. Dan geldt volgens vergelijking (88) voor de afstand tussen twee nabij gelegen punten,

\begin{aligned}ξ = ξ(x, y), Δξ & = & \frac{∂ξ}{∂x}Δx + \frac{∂ξ}{∂y} Δy, \\ η = η(x, y), Δη & = & \frac{∂η}{∂x}Δx + \frac{∂η}{∂y} Δy. \end{aligned}  (242)

Wiskundig is het belangrijk dat de afbeelding één op één is en dat vereist dat de Jacobiaan van de coördinatentransformatie ongelijk is aan nul^{60}. Dus

det ( \begin{matrix}∂ξ/∂x & ∂ξ/∂y \\ ∂η/∂x & ∂η/∂y \end{matrix} ) ≠ 0.  (243)

We beginnen met een beschouwing over poolcoördinaten.

\underline{Voorbeeld:} poolcoördinaten in het euclidische vlak. In het euclidische 2D-vlak kunnen we de cartesische coördinaten x en y of de poolcoödinaten {r, θ} gebruiken. Er geldt r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} en θ = arctan \frac{y}{x}, en de inverse relaties x = r cos θ en y = r sin θ. Kleine veranderingen Δx en Δy produceren veranderingen Δr en Δθ volgens

Δr =  \frac{x}{r} Δx + \frac{y}{r} Δy = cos θΔx + sin θΔy,
Δθ = − \frac{y}{r^{2}} Δx + \frac{x}{r^{2}} Δy = − \frac{1}{r} sin θΔx + \frac{1}{r} cos θΔy,

(244)

in eerste orde benadering.

6.1 Vectoren en 1-vormen

De traditionele manier waarop een vector gedefinieerd wordt, is door te stellen dat hij onder willekeurige coördinatentransformaties op dezelfde manier transformeert als de verplaatsing. Hiermee bedoelen we dat een vector Δr⃗ voorgesteld kan worden als een verplaatsing (Δx, Δy), of in poolcoördinaten als (Δr, Δθ), of in het algemeen door (Δξ, Δη). Voor kleine (Δx, Δy) geldt dan

( \begin{matrix}Δξ \\ Δη \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{∂ξ}{∂x} & \frac{∂ξ}{∂y} \\ \frac{∂η}{∂x} & \frac{∂η}{∂y} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}Δx \\ Δy \end{matrix} ) .  (245)

We stellen nu dat een willekeurige vector V⃗ op precies dezelfde manier dient te transformeren. Dus geldt

V^{α′} = Λ_{β}^{α′}V^{β} met Λ_{β}^{α′} = ( \begin{matrix}\frac{∂ξ}{∂x} & \frac{∂ξ}{∂y} \\ \frac{∂η}{∂x} & \frac{∂η}{∂y} \end{matrix} ) ,  (246)

waarbij de index β refereert aan het systeem (x, y) en index α′ aan het systeem (ξ, η).

60Stel dat voor twee lineaire vergelijkingen geldt a_{1}x + a_{2}y = 0 en b_{1}x + b_{2}y = 0. Als we x en y elimineren vinden we de uitdrukking a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} = 0. In dat geval is het systeem singulier. In de limiet van gelijke punten Δx = Δy = 0 dient te gelden dat Δξ = Δη = 0.

Er is een moderne en meer natuurlijke manier om vectoren en 1-vormen te introduceren. Hiertoe beschouwen we een scalair veld ϕ. Gegeven de coördinaten (ξ, η) is het altijd mogelijk om de afgeleiden ∂ϕ/∂ξ en ∂ϕ/∂η te vormen. We definiëren de 1-vorm d̃ϕ als het geometrisch object met componenten

d̃ϕ → (∂ϕ/∂ξ, ∂ϕ/∂η)  (247)

in het coördinatenstelsel (ξ, η). Dit is algemene definitie van een oneindig aantal 1-vormen, elk voor een ander scalair veld. De transformatie van de componenten volgt uit de kettingregel,

\frac{∂ϕ}{∂ξ} = \frac{∂x}{∂ξ} \frac{∂ϕ}{∂x} + \frac{∂y}{∂ξ} \frac{∂ϕ}{∂y},  (248)

en evenzo voor \frac{∂ϕ}{∂η}. We vinden hiermee

( \begin{matrix}∂ϕ/∂ξ \\ ∂ϕ/∂η \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{∂x}{∂ξ} & \frac{∂y}{∂ξ} \\ \frac{∂x}{∂η} & \frac{∂y}{∂η} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}∂ϕ/∂x \\ ∂ϕ/∂y \end{matrix} ) met Λ_{β′}^{α} = ( \begin{matrix}\frac{∂x}{∂ξ} & \frac{∂y}{∂ξ} \\ \frac{∂x}{∂η} & \frac{∂y}{∂η} \end{matrix} ) .  (249)

We zien dat componenten van 1-vormen transformeren met Λ_{β′}^{α} en dat is tegenovergesteld aan het transformatiegedrag van vectorcomponenten, zoals gegeven in vergelijking (246).^{61}

We beschouwen nu de afgeleide van een scalair veld ϕ langs een curve dϕ/ds (zie ook sectie 4.5.2). Deze hangt af van de parameter s en als we die veranderen, dan verandert ook de afgeleide. We kunnen dit schrijven als

\frac{dϕ}{ds} =< d̃ϕ, V⃗ >,  (251)

met V⃗ de vector met componenten (dξ/ds, dη/ds). Deze vector hangt enkel van de curve af, terwijl d̃ϕ enkel van ϕ afhangt. Daarom is V⃗ karakteristiek voor de curve en wordt de tangent vector genoemd. We kunnen een vector dus opvatten als een object dat dϕ/ds produceert als ϕ gegeven is. Dit leidt tot de moderne opvatting dat een tangent vector aan een curve d/ds genoemd moet worden^{62}. Elke curve (met parameter s) heeft een tangent vector V⃗ gedefinieerd als een lineaire functie die een 1-vorm als argument neemt en afbeeldt naar het reële getal dϕ/ds.

( \begin{matrix}\frac{∂ξ}{∂x} & \frac{∂ξ}{∂y} \\ \frac{∂η}{∂x} & \frac{∂η}{∂y} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\frac{∂x}{∂ξ} & \frac{∂x}{∂η} \\ \frac{∂y}{∂ξ} & \frac{∂y}{∂η} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{∂ξ}{∂x} \frac{∂x}{∂ξ} + \frac{∂ξ}{∂y} \frac{∂y}{∂ξ} & \frac{∂ξ}{∂x} \frac{∂x}{∂η} + \frac{∂ξ}{∂y} \frac{∂y}{∂η} \\ \frac{∂η}{∂x} \frac{∂x}{∂ξ} + \frac{∂η}{∂y} \frac{∂y}{∂ξ} & \frac{∂η}{∂x} \frac{∂x}{∂η} + \frac{∂η}{∂y} \frac{∂y}{∂η} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{∂ξ}{∂ξ} & \frac{∂ξ}{∂η} \\ \frac{∂η}{∂ξ} & \frac{∂η}{∂η} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) . (250)
∇V⃗ ϕ = V^{α} \frac{∂ϕ}{∂x^{α}} .  (252)
∇V⃗ = V^{α} \frac{∂}{∂x^{α}} en V⃗ = V^{α}e⃗_{α},  (254)
V⃗ = ∇V⃗ = ∂V⃗ = \frac{dP}{ds} = \frac{d}{ds}  (255)

61Het is van belang expliciet te controleren dat Λ_{β}^{α′} en Λ_{α′}^{β} elkaars inverse zijn. Dus Λ_{β}^{α′}Λ_{α′}^{γ} is Merk op dat een en ander volgt uit de definitie van partiële afgeleide en dat ξ en η onafhankelijke variabelen zijn en dus geldt \frac{∂ξ}{∂η} = 0.

62Wellicht dat een andere kijk op deze zaak verhelderend is: we gaan weer uit van vergelijking (251) en omdat ϕ = ϕ(ξ, η) verwacht je voor de afgeleide van ϕ langs de raakvector V⃗ van de curve Het symbool ∇V⃗ betekent de waarde van de richtingsafgeleide van een scalairveld in de richting gegeven door vector V⃗. Dus geldt

∇V⃗ = V^{α} \frac{∂}{∂x^{α}} = \frac{dx^{α}}{ds} \frac{∂}{∂x^{α}} = ( \frac{d}{ds} )_{langs de curve} .  (253)

Merk op dat we nu de volgende situatie hebben, en zien dat beide uitdrukkingen dezelfde expansiecoëfficiënten V^{α} hebben. De eerste vergelijking is voor een richtingsafgeleide en de tweede beschrijft een vector. Er is dus een isomorfisme tussen vectoren en richtingsafgeleiden.

We mogen derhalve schrijven

6 WISKUNDE II - CURVELINEAIRE COÖRDINATEN 106

Onder een coördinatentransformatie gebeurt er niets met s (de definitie van deze parameter had niets met coördinaten te maken), maar veranderen de componenten van V⃗ volgens de kettingregel als

( \frac{dξ}{ds} ; \frac{dη}{ds} ) = ( \begin{matrix}\frac{∂ξ}{∂x} & \frac{∂ξ}{∂y} \\ \frac{∂η}{∂x} & \frac{∂η}{∂y} \end{matrix} ) ( \frac{dx}{ds} ; \frac{dy}{ds} ) .  (257)

Dit is dezelfde transformatiewet die we eerder voor vectoren hebben gevonden; vergelijk dit met uitdrukking (246) en op basis van deze correspondentie mogen we V⃗ een vector noemen. Met deze informatie kunnen we onze beschouwing in poolcoördinaten voorzetten.

\underline{Voorbeeld:} basis 1-vormen en vectoren in poolcoördinaten.

Voor de basiscoördinaten geldt e_{α′} = Λ_{α′}^{β}e⃗_{β} en dit levert

e⃗_{r} = Λ_{r}^{x}e⃗_{x} + Λ_{r}^{y}e⃗_{y} = \frac{∂x}{∂r} e⃗_{x} + \frac{∂y}{∂r} e⃗_{y} = cos θe⃗_{x} + sin θe⃗_{y},  (258)

en op dezelfde wijze

e⃗_{θ} = \frac{∂x}{∂θ} e⃗_{x} + \frac{∂y}{∂θ} e⃗_{y} = −r sin θe⃗_{x} + r cos θe⃗_{y}.  (259)

Merk op dat we gebruiken dat Λ_{r}^{x} = \frac{∂x}{∂r}. Op dezelfde wijze kunnen we de andere kant op transformeren met Λ_{x}^{r} = \frac{∂r}{∂x}. De transformatiematrices zijn eenvoudig: we hoeven enkel te kijken naar welke index boven of beneden is en we weten welke afgeleide we dienen te gebruiken.

De basis 1-vormen vinden we op analoge wijze. Er geldt d̃p^{α′} = Λ_{β}^{α′} d̃p^{β} en dus

d̃θ = \frac{∂θ}{∂x} d̃x + \frac{∂θ}{∂y} d̃y = − \frac{1}{r} sin θd̃x + \frac{1}{r} cos θd̃y,  (260)

en ook

d̃r = cos θd̃x + sin θd̃y.  (261)

Figuur 45: Links: basisvectoren voor poolcoördinaten; rechts: basis 1-vormen.

In Fig. 45 trachten we de basisvectoren en 1-vormen grafisch weer te geven. We tekenen de 1-vormen door oppervlakken te tekenen met constante r of θ voor respectievelijk d̃r en d̃θ. Merk op dat de bases veranderen van punt tot punt! Ook de lengten van de bases zijn niet constant. We vinden bijvoorbeeld |e⃗_{θ}|^{2} = e⃗_{θ} · e⃗_{θ} = r^{2} sin^{2} θ + r^{2} cos^{2} θ = r^{2}, zodat de lengte van e⃗_{θ} toeneemt met haar afstand tot de oorsprong. We hebben dus ook geen eenheidsbasis meer. Er geldt |e⃗_{r}| = 1, |d̃r| = 1, |e⃗_{θ}| = 1, |d̃θ| = r^{−1}.

De inproducten kunnen worden uitgerekend, omdat we de metriek in cartesische coördinaten (x, y) kennen: e⃗_{x}·e⃗_{x} = e⃗_{y} · e⃗_{y} = 1 en e⃗_{x} · e⃗_{y} = 0. In tensornotatie is dat g(e⃗_{α}, e⃗_{β}) = δ_{αβ} voor cartesische coördinaten. De metriek g in

en voor de basisvectoren

e⃗_{α} = \frac{∂P}{∂x^{α}} = \frac{∂}{∂x^{α}} .  (256)

Voor een wiskundige is de tangentruimte de ruimte opgespannen door de richtingsafgeleiden op punt P. Deze richtingsafgeleiden hebben dus hun eigen ruimte. poolcoördinaten heeft de componenten g_{α′β′} = g(e_{α′}, e_{β′}) = e_{α′} · e_{β′} en dit levert g_{rr} = 1, g_{θθ} = r^{2} en g_{rθ} = 0. We kunnen de componenten van g ook schrijven als

(g_{αβ})_{pool} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{matrix} ) en ook dl⃗· dl⃗ = ds^{2} = |dre⃗_{r} + dθe⃗_{θ}|^{2} = dr^{2} + r^{2}dθ^{2}.  (262)

De laatste formule in bovenstaande uitdrukking^{63} geeft de lengte van een willekeurige en oneindig kleine verplaatsing dl⃗, hetgeen een handige manier is om de componenten van de metrische tensor en tegelijkertijd de coördinaten van het lijnelement dl⃗ te tonen. De metriek heeft een inverse

(g_{αβ})_{pool} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & r^{−2} \end{matrix} ) ,  (263)

waarmee geldt dat g^{rr} = 1, g^{rθ} = 0 en g^{θθ} = 1/r^{2}. We kunnen dit gebruiken om een afbeelding te maken tussen vectoren en 1-vormen. Stel bijvoorbeeld dat ϕ een scalairveld is en d̃ϕ haar gradiënt, dan heeft de vector d⃗ϕ de componenten

(d⃗ϕ)^{α} = g^{αβ}ϕ_{,β} en dus \{ \begin{matrix}(d⃗ϕ)^{r} & = & g^{rβ}ϕ_{,β} = g^{rr}ϕ_{,r} + g^{rθ}ϕ_{,θ} = \frac{∂ϕ}{∂r} \\ (d⃗ϕ)^{θ} & = & g^{θβ}ϕ_{,β} = g^{θr}ϕ_{,r} + g^{θθ}ϕ_{,θ} = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂ϕ}{∂θ} \end{matrix}  (264)

Dus terwijl (ϕ_{,r}, ϕ_{,θ}) componenten van een 1-vorm zijn, heeft de vector gradiënt componenten (ϕ_{,r}, ϕ_{,θ}/r^{2}). Ondanks dat we in de euclidische ruimte zijn, zien we dat vectoren in het algemeen componenten hebben die verschillen van die van de geassocieerde 1-vormen. Cartesische coördinaten zijn de enige coördinaten waarvoor de componenten hetzelfde zijn (want g_{αβ} = diag(1, 1)).

6.2 Tensorcalculus

Stel we hebben een vector V⃗ waarvan de componenten V^{α} gegeven zijn ten opzichte van een willekeurig coördinatenstelsel {e⃗_{α}}. We willen nu de afgeleide van deze vector bepalen. Er geldt

V⃗ = V^{α}e⃗_{α} → \frac{∂V⃗}{∂x^{β}} = \frac{∂V^{α}}{∂x^{β}} e⃗_{α} + V^{α} \frac{∂e⃗_{α}}{∂x^{β}} ,  (265)

waarbij β gelijk is aan 0 of 1, etc. De laatste term wordt veroorzaakt doordat de basisvectoren niet overal constant hoeven te zijn. Omdat ∂e⃗_{α}/∂x^{β} zelf een vector is, kunnen we deze schrijven als een lineaire combinatie van basisvectoren. Hiertoe introduceren we het symbool Γ_{αβ}^{μ} om de coëfficiënten aan te duiden. Er geldt

\frac{∂e⃗_{α}}{∂x^{β}} = Γ_{αβ}^{μ}e⃗_{μ}.  (266)

De interpretatie van Γ_{αβ}^{μ} is dat het de μ-de component van \frac{∂e⃗_{α}}{∂x^{β}} voorstelt. Dit object heet een christoffelsymbool en heeft drie indices: de eerste (α) geeft de basisvector aan die wordt gedifferentieerd; de tweede (β) geeft de coördinaat aan waarnaar wordt gedifferentieerd; en de derde (μ) geeft de component van de resulterende afgeleide vector aan. Alle indices dienen te refereren naar hetzelfde coördinatenstelsel.

Met bovenstaande definitie van de christoffelsymbolen kunnen we vergelijking (265) schrijven als

\frac{∂V⃗}{∂x^{β}} = \frac{∂V^{α}}{∂x^{β}} e⃗_{α} + V^{α}Γ_{αβ}^{μ}e⃗_{μ}.  (267)

De laatste term bevat twee sommaties (over α en μ) en als we de bijbehorende dummie indices herlabelen, vinden we

\frac{∂V⃗}{∂x^{β}} = \frac{∂V^{α}}{∂x^{β}} e⃗_{α} + V^{μ}Γ_{μβ}^{α}e⃗_{α} → \frac{∂V⃗}{∂x^{β}} = (\frac{∂V^{α}}{∂x^{β}} + V^{μ}Γ_{μβ}^{α}) e⃗_{α}.  (268)

63Verwar dr en dθ niet met de basis 1-vormen d̃r en d̃θ. Het zijn de componenten van dl⃗ in poolcoördinaten en de ‘d’ betekent ‘oneindig kleine Δ’.

We zien dat het vectorveld ∂V⃗ /∂x^{β} de componenten \frac{∂V^{α}}{∂x^{β}} + V^{μ}Γ_{μβ}^{α} heeft. Merk op dat we voor partiële afgeleiden reeds de komma-notatie gebruiken, \frac{∂V^{α}}{∂x^{β}} = V _{,β}^{α}. We definiëren een nieuwe notatie

V _{;β}^{α} ≡ V _{,β}^{α} + V^{μ}Γ_{μβ}^{α} → \frac{∂V⃗}{∂x^{β}} = V _{;β}^{α}e⃗_{α}.  (269)

Nu is \frac{∂V⃗}{∂x^{β}} een vectorveld als we de index β opvatten als één vast getal. Deze index kan echter

meer waarden aannemen en we kunnen \frac{∂V⃗}{∂x^{β}} dan ook beschouwen als zijnde geassocieerd met een

( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) tensorveld dat de vector e⃗_{β} afbeeldt op de vector \frac{∂V⃗}{∂x^{β}}. Dit tensorveld wordt de covariante

afgeleide van V⃗ genoemd^{64} en aangeduid met ∇V⃗. Haar componenten zijn

(∇V⃗)_{β}^{α} = (∇_{β}V⃗)^{α} = V _{;β}^{α}.  (270)

Op een cartesische basis zijn de componenten gelijk aan V _{,β}^{α} omdat dan de vectorvelden van de basis constant zijn. Op een gekromde basis moeten we rekening houden met de afgeleiden van de basisvectoren en krijgen we V _{;β}^{α} als componenten van ∇V⃗ in het coördinatensysteem waaraan de

christoffelsymbolen refereren. Er bestaat één enkele ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) tensor die we ∇V⃗ noemen. In carte-

sische coördinaten zijn de componenten gelijk aan \frac{∂V^{α}}{∂x^{β}}. In algemene coördinaten \{x^{μ′}\} worden de componenten V _{;β′}^{α′} genoemd. We kunnen deze componenten op de volgende manieren vinden:

(i) reken ze direct uit met behulp van vergelijking (269) hetgeen kennis vereist van de christoffelsymbolen voor dit coördinatenstelsel; of (ii) verkrijg ze via de gebruikelijke tensortransformatie vanuit een cartesisch systeem naar {x^{μ′}}. We demonstreren de eerste methode aan de hand van een voorbeeld.

\underline{Voorbeeld:} tensorcalculus in poolcoördinaten.

In poolcoördinaten is het vectorveld e⃗_{x} constant: hetzelfde op elk punt. In poolcoördinaten heeft dit veld de componenten e⃗_{x} → (Λ_{x}^{r}, Λ_{x}^{θ}) = (cos θ, −r^{−1} sin θ). Deze componenten zijn duidelijk niet constant, terwijl e⃗_{x} dat wel is. Dit komt omdat de componenten refereren naar een niet constante basis. Als we deze componenten zouden differentiëren naar, zeg, θ, dan vinden we zeker niet ∂e⃗_{x}/∂θ, want dat dient gelijk te zijn aan nul. We zien dus dat enkel het nemen van de afgeleide van de componenten van een vector niet de afgeleide van de vector oplevert. We dienen ook de niet-constante basisvectoren te differentiëren, in overeenstemming met vergelijking (265). Omdat de cartesische basisvectoren e⃗_{x} en e⃗_{y} constante velden zijn (en hun afgeleiden dus verdwijnen) vinden we

\frac{∂}{∂r} e⃗_{r} = \frac{∂}{∂r} (cos θe⃗_{x} + sin θe⃗_{y}) = 0,
\frac{∂}{∂θ} e⃗_{r} = \frac{∂}{∂θ} (cos θe⃗_{x} + sin θe⃗_{y}) = − sin θe⃗_{x} + cos θe⃗_{y} = \frac{1}{r} e⃗_{θ}. (271)

Evenzo vinden we

\frac{∂}{∂r} e⃗_{θ} = \frac{∂}{∂r} (−r sin θe⃗_{x} + r cos θe⃗_{y}) = − sin θe⃗_{x} + cos θe⃗_{y} = \frac{1}{r} e⃗_{θ},
\frac{∂}{∂θ} e⃗_{θ} = −r cos θe⃗_{x} − r sin θe⃗_{y} = −re⃗_{r}. (272)

64Ter verheldering bekijken we de covariante afgeleide ∇ weer als een geometrisch object, dit wil zeggen als een apparaat met drie sleuven. Op elk punt P van ruimtetijd bevindt zich een dergelijk apparaat. De interpretatie is dat ∇(σ̃, V⃗ (P), u⃗) ≡< σ̃, ∇u⃗V⃗ >. We stoppen een willekeurige 1-vorm σ̃ die in de tangentruimte bestaat op punt P in de eerste sleuf. In de tweede sleuf stoppen we een vectorveld V⃗ (P) dat in de omgeving van P gedefinieerd is. Tenslotte stoppen we in de derde sleuf een vector u⃗ die zich in de tangentruimte van punt P bevindt. Uit de machine rolt nu een getal dat het inproduct is van de covariante afgeleide ∇u⃗V⃗ van het vectorveld V⃗ in de richting u⃗ met de 1-vorm σ̃. Je kunt ∇u⃗V⃗ zien als de mate van verandering van V⃗ langs de vector u⃗. Een alternatieve manier om ernaar te kijken is om de eerste sleuf leeg te laten. We krijgen dan een nieuw vectorveld ∇(..., V⃗ (P), u⃗) ≡ ∇u⃗V⃗ uit het oude vectorveld V⃗. We noemen dat de covariante afgeleide van het vectorveld V⃗ langs de vector u⃗. Tenslotte is er een derde manier om de zaak te bekijken: we laten zowel de eerste als de derde

sleuf leeg. We krijgen nu een ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) tensorveld ∇(..., V⃗ (P), ...) ≡ ∇V⃗ uit het originele vectorveld V⃗. Dit noemen

we de covariante afgeleide of de gradiënt van het vectorveld V⃗.

We kunnen nu de afgeleide ∂e⃗_{x}/∂θ uitrekenen en vinden

\frac{∂}{∂θ} e⃗_{x} = \frac{∂}{∂θ} (cos θ)e⃗_{r} + cos θ \frac{∂}{∂θ} (e⃗_{r}) − \frac{∂}{∂θ} ( \frac{1}{r} sin θ) e⃗_{θ} − \frac{1}{r} sin θ \frac{∂}{∂θ} e⃗_{θ}
= − sin θe⃗_{r} + cos θ ( \frac{1}{r} e⃗_{θ}) − \frac{1}{r} cos θe⃗_{θ} − \frac{1}{r} sin θ(−re⃗_{r}). (273)

Vereenvoudigen levert ∂e⃗_{x}/∂θ = 0 zoals we verwachten. We kunnen ook de christoffelsymbolen berekenen en vinden

(1) \frac{∂e⃗_{r}}{∂r} = 0  → Γ_{rr}^{μ} = 0 voor alle μ,
(2) \frac{∂e⃗_{r}}{∂θ} = \frac{1}{r} e⃗_{θ}  → Γ_{rθ}^{r} = 0, Γ_{rθ}^{θ} = \frac{1}{r} ,
(3) \frac{∂e⃗_{θ}}{∂r} = \frac{1}{r} e⃗_{θ}  → Γ_{θr}^{r} = 0, Γ_{θr}^{θ} = \frac{1}{r} ,
(4) \frac{∂e⃗_{θ}}{∂θ} = −re⃗_{r} → Γ_{θθ}^{r} = −r, Γ_{θθ}^{θ} = 0.

(274)

We zien dat alle indices naar hetzelfde coördinatenstelsel refereren.

De covariante afgeleide verschilt enkel van de partiële afgeleide als de basisvectoren niet constant zijn. Een scalairveld ϕ hangt echter niet van de basisvectoren af en dus is haar covariante afgeleide gelijk aan haar partiële afgeleide en dat is de gradiënt,

∇_{α}ϕ = ∂ϕ/∂x^{α}; ∇ϕ = d̃ϕ.  (275)

Vervolgens beschouwen we de divergentie en Laplace operatoren. In cartesische coördinaten is de divergentie van een vector V^{α} gelijk aan V _{,α}^{α}. Dit is een getal (scalairveld) dat we krijgen door contractie van de indices van V _{β}^{α}. Deze contractie (dit getal dus) hangt niet van het coördinatenstelsel af en we kunnen de divergentie van V⃗ dan ook uitrekenen in andere coördinaten {x^{μ′}} door weer de componenten van ∇V⃗ te contraheren over haar twee indices. Het resultaat is een getal met de waarde V _{;α′}^{α′}. Het is belangrijk om in te zien dat dit hetzelfde getal is als V _{,α}^{α} in cartesische coördinaten. Dus

V _{,α}^{α} = V _{;α′}^{α′},  (276)

waarbij de normale indices refereren naar cartesische coördinaten, terwijl die met accenten refereren naar een willekeurig systeem.

Wellicht is de lezer vertrouwder met de Laplace operator en dat is de divergentie van de gradiënt. Vergelijking (276) geeft de divergentie van een vector, terwijl de gradiënt een 1-vorm is. We dienen deze 1-vorm dus eerst om te schrijven in een vector. We zullen dit weer uitwerken aan de hand van een voorbeeld.

\underline{Voorbeeld:} divergentie en Laplace operator in poolcoördinaten. In poolcoördinaten hebben we voor de divergentie

V _{;α}^{α} = \frac{∂V^{r}}{∂r} + \frac{∂V^{θ}}{∂θ} + \frac{1}{r} V^{r} = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (rV^{r}) + \frac{∂}{∂θ} V^{θ},  (277)

waarbij we vergelijking (269) en de verschillende christoffelsymbolen in poolcoördinaten (vergelijking (274)) gebruikt hebben. Teneinde de Laplace operator te vinden, starten we met een scalairveld ϕ en bepalen we de vector gradiënt. Dat is reeds gebeurd in vergelijking (264). We vullen deze vector in in vergelijking (277) en vinden

∇ · ∇ϕ ≡ ∇^{2}ϕ = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r \frac{∂ϕ}{∂r} ) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}ϕ}{∂θ^{2}} .  (278)

Dit is de Laplace operator is euclidische poolcoördinaten en deze is identiek aan

∇^{2}ϕ = \frac{∂^{2}ϕ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ϕ}{∂y^{2}} .  (279)

Ter afronding bekijken we de afgeleiden van 1-vormen en hogere-orde tensorvelden. Om de afgeleide van een 1-vorm te vinden gebruiken we de eigenschap dat een 1-vorm en vector samen een scalair geven. Dus als p̃ een 1-vorm is en V⃗ een vector, dan is voor gegeven β, ∇_{β}p̃ ook een 1-vorm, ∇_{β}V⃗ een vector, en < p̃, V⃗ >≡ ϕ een scalair. In een willekeurig coördinatenstelsel wordt deze scalair geschreven als ϕ = p_{α}V^{α}. Daarom geldt voor ∇_{β}ϕ volgens de productregel voor afgeleiden

∇_{β}ϕ = ϕ_{,β} = \frac{∂p_{α}}{∂x^{β}} V^{α} + p_{α} \frac{∂V^{α}}{∂x^{β}} .  (280)

We kunnen vergelijking (269) gebruiken om ∂V^{α}/∂x^{β} te vervangen door V _{;β}^{α} hetgeen de componenten zijn van ∇_{β}V⃗ en vinden

∇_{β}ϕ = \frac{∂p_{α}}{∂x^{β}} V^{α} + p_{α}V _{;β}^{α} − p_{α}V^{μ}Γ_{μβ}^{α} = (\frac{∂p_{α}}{∂x^{β}} − p_{μ}Γ_{αβ}^{μ}) V^{α} + p_{α}V _{;β}^{α},  (281)

waarbij we in de laatste stap termen verwisseld hebben en dummie indices andere namen gegeven. Van iedere term in bovenstaande vergelijking weten we dat het een tensorcomponent is voor willekeurige V⃗, behalve van die tussen haakjes. Omdat vermenigvuldigen en optellen van tensorcomponenten altijd nieuwe tensoren oplevert, moet het zo zijn dat de term tussen haakjes ook een tensor is. Dit is de covariante afgeleide van p̃. Er geldt dus

(∇_{β}p̃)_{α} ≡ (∇p̃)_{αβ} ≡ p_{α;β} = p_{α,β} − p_{μ}Γ_{αβ}^{μ}.  (282)

Verder geldt

∇_{β}(p_{α}V^{α}) = p_{α;β}V^{α} + p_{α}V _{;β}^{α}.  (283)

We zien dat covariant differentiëren aan dezelfde soort productregel voldoet als vergelijking (280). Dit kan ook niet anders, want in cartesische coördinaten staat ∇ voor partiëel differentiëren van componenten.

We kunnen nu de volgende uitdrukkingen vergelijken.

\begin{aligned}V _{;β}^{α} & = & V _{,β}^{α} + V^{μ}Γ_{μβ}^{α}, \\ p_{α;β} & = & p_{α,β} − p_{μ}Γ_{αβ}^{μ}, \end{aligned}  (284)

en zien enkele overeenkomsten en enkele verschillen. We herinneren ons dat de laatste index van het christoffelsymbool de differentiatie index is. Dit betekent dat enkel de andere indices met de metriek naar boven of beneden kunnen worden gehaald. Wat er dan nog overblijft is het tekenverschil. Hierbij helpt het om zich te herinneren dat Γ_{μβ}^{α} te maken had met afgeleiden van basisvectoren. Het lijkt daarom redelijk te veronderstellen dat −Γ_{αβ}^{μ} te maken heeft met afgeleiden van basis 1-vormen. De tekenverandering duidt erop dat de basis 1-vormen tegenovergesteld veranderen aan de basisvectoren, hetgeen redelijk is als we beseffen dat de contractie < ω̃^{α}, e⃗_{β} >= δ_{β}^{α} een constante is met afgeleide nul.

Dezelfde procedure leidt ook tot

\begin{aligned}∇_{β}T_{μν} & = & T_{μν,β} − T_{αν}Γ_{μβ}^{α} − T_{μα}Γ_{νβ}^{α}; \\ ∇_{β}A^{μν} & = & A_{,β}^{μν} + A^{αν}Γ_{αβ}^{μ} + A^{μα}Γ_{αβ}^{ν}; \\ ∇_{β}B_{ν}^{μ} & = & B_{ν,β}^{μ} + B_{ν}^{α}Γ_{αβ}^{μ} − B_{α}^{μ}Γ_{νβ}^{α}. \end{aligned}  (285)

We zien dat deze uitdrukkingen een bepaalde systematiek hebben. Zo is er een Γ term voor elke index; een boven index wordt als een vector behandeld en een beneden index als een 1-vorm.

6.3 Christoffelsymbolen en de metriek

Het formalisme dat we in de vorige sectie besproken hebben, heeft geen eigenschappen van de metrische tensor gebruikt in het opstellen van de covariante afgeleiden. De metriek kan vectoren veranderen in 1-vormen en omgekeerd, en we verwachten daarom dat deze een rol speelt in het verband tussen hun afgeleiden. In het geval van cartesische coördinaten zijn de componenten van de 1-vorm en de eraan gerelateerde vector gelijk, en omdat ∇ dan enkel het nemen van afgeleiden van componenten is, moeten de componenten van de covariante afgeleide van de 1-vorm en vector gelijk zijn aan elkaar. Dit betekent dat als V⃗ een willekeurige vector is en Ṽ = g(V⃗ , ) de eraan gerelateerde 1-vorm, dan geldt in cartesische coördinaten

∇_{β}Ṽ = g(∇_{β}V⃗ , ...).  (286)

Bovenstaande relatie is een tensorvergelijking en moet dus gelden in alle coördinaten. We concluderen dat

V_{α;β} = g_{αμ}V _{;β}^{μ},  (287)

hetgeen de componenten representatie is van vergelijking (286).

Als de hierboven gevolgde argumentatie niet bevredigend is, dan kunnen we er met vergelijkingen nog eens door heen lopen. De indices α, β, γ, ... geven cartesische coördinaten aan, terwijl de indices met accenten α′, β′, γ′, ... willekeurige coördinaten aangeven. We beginnen met het statement V_{α′} = g_{α′μ′}V^{μ′}, dat geldig is in elk coördinatenstelsel. Echter in cartesische coördinaten geldt g_{μν} = δ_{μν} en V_{α} = V^{α}. Nu is het ook zo dat in cartesische coördinaten de christoffelsymbolen allemaal gelijk zijn aan nul. Dus hebben we V_{α;β} = V_{α,β} en V _{;β}^{α} = V _{,β}^{α}. We kunnen daarom concluderen dat V_{α;β} = V _{;β}^{α}, enkel in cartesische coördinaten. Om dit om te zetten in een vergelijking die geldig is in alle coördinatenstelsels, merken we op dat in cartesische coördinaten geldt dat V _{;β}^{α} = g_{αμ}V _{;β}^{μ}, zodat, ook weer in cartesische coördinaten, geldt dat V_{α;β} = g_{αμ}V _{;β}^{μ}. Deze vergelijking is een tensorvergelijking, zodat geldigheid ervan in één coördinatenstelsel de geldigheid in alle stelsels impliceert. We vinden dan weer vergelijking (287),

V_{α′;β′} = g_{α′μ′}V _{;β′}^{μ′}.  (288)

Bovenstaand resultaat heeft verreikende consequenties. Als we de β′ covariante afgeleide nemen van V_{α′} = g_{α′μ′}V^{μ′}, vinden we

V_{α′;β′} = g_{α′μ′;β′}V^{μ′} + g_{α′μ′}V _{;β′}^{μ′}.  (289)

Als we uitdrukking (289) vergelijking met uitdrukking (288) dan vinden we dat moet gelden

g_{α′μ′;β′} = 0  (290)

in alle coördinatenstelsels. Dat is een directe consequentie van vergelijking (286). In cartesische coördinaten is g_{αμ;β} ≡ g_{αμ,β} = δ_{αμ,β} = 0 een triviale identiteit. Echter in andere coördinaten is dat niet zo voor de hand liggend. Dit laten we zien aan de hand van poolcoördinaten.

\underline{Voorbeeld:} afgeleiden van de metrische tensor. We starten met vergelijking (285), en schrijven

g_{αβ;μ} = g_{αβ,μ} − Γ_{αμ}^{ν}g_{νβ} − Γ_{βμ}^{ν}g_{αν},  (291)

waarbij de indices algemene coördinaten voorstellen. We werken nu een aantal termen uit in poolcoördinaten. Bijvoorbeeld stel dat α = r, β = r en μ = r, dan vinden we

g_{rr;r} = g_{rr,r} − Γ_{rr}^{ν}g_{νr} − Γ_{rr}^{ν}g_{rν}.  (292)

Omdat g_{rr,r} = 0 en Γ_{rr}^{ν} = 0 voor alle ν, is dit triviaal gelijk aan nul. Niet zo triviaal is α = θ, β = θ en μ = r. Dan vinden we

g_{θθ;r} = g_{θθ,r} − Γ_{θr}^{ν}g_{νθ} − Γ_{θr}^{ν}g_{θν}.  (293)

Met g_{θθ} = r^{2}, Γ_{θr}^{θ} = \frac{1}{r} en Γ_{θr}^{r} = 0 wordt dit

g_{θθ;r} = (r^{2})_{,r} − \frac{1}{r} (r^{2}) − \frac{1}{r} (r^{2}) = 0,  (294)

en we zien dat het werkt. Het is belangrijk in te zien dat dit direct volgt uit het feit dat g_{αβ,μ} = 0 in cartesische coördinaten en dat g_{αβ;μ} de componenten zijn van dezelfde tensor ∇g in willekeurige coördinaten.

Wat we hierboven gedaan hebben is het introduceren van covariante differentiatie in willekeurige coördinaten door ons begrip van parallelheid in de euclidische ruimte te gebruiken. We hebben laten zien dat de metriek van de euclidische ruimte covariant constant is, vergelijking (290). Als we gekromde ruimten gaan behandelen, dienen we voorzichtig te zijn met het begrip parallelheid, maar vergelijking (290) zal blijken nog steeds te gelden, en dus ook alle consequenties ervan die we nu gaan bespreken.

6.3.1 Berekenen van de christoffelsymbolen uit de metriek

Vergelijking (291) leidt tot een uiterst belangrijk resultaat: we kunnen deze vergelijking gebruiken om g_{αβ,μ} te bepalen in termen van Γ_{αβ}^{μ}. Het omgekeerde blijkt ook waar te zijn: Γ_{αβ}^{μ} uitdrukken in termen van g_{αβ,μ}. Dat geeft een eenvoudige manier om de christoffelsymbolen uit te rekenen. We moeten eerst echter de relatie Γ_{αβ}^{μ} ≡ Γ_{βα}^{μ} bewijzen, die geldt in elk coördinatenstelsel. Om deze symmetrie te bewijzen beschouwen we een willekeurig scalairveld ϕ. De eerste afgeleide ∇ϕ is een 1-vorm met componenten ϕ_{,β}. De tweede covariante afgeleide ∇∇ϕ heeft componenten

ϕ_{,β;α} en is een ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensor. In cartesische coördinaten zijn de componenten

ϕ_{,β,α} ≡ \frac{∂}{∂x^{α}} \frac{∂}{∂x^{β}} ϕ  (295)

en we zien dat deze symmetrisch zijn in α en β, omdat partiële afgeleiden commuteren. Echter als een tensor symmetrisch is in één basis, dan is hij symmetrisch in alle bases. Dus geldt

ϕ_{,β;α} = ϕ_{,α;β}  (296)

in elke basis. Gebruikmaken van de definitie gegeven in vergelijking (282) levert

ϕ_{,β,α} − ϕ_{,μ}Γ_{βα}^{μ} = ϕ_{,α,β} − ϕ_{,μ}Γ_{αβ}^{μ}  (297)

in elk coördinatensysteem. Maar er geldt ϕ_{,α,β} = ϕ_{,β,α} en dit levert

Γ_{αβ}^{μ}ϕ_{,μ} = Γ_{βα}^{μ}ϕ_{,μ}  (298)

voor willekeurige ϕ. Hiermee is bewezen dat in elk coördinatenstelsel

Γ_{αβ}^{μ} ≡ Γ_{βα}^{μ}.  (299)

We gebruiken bovenstaande symmetrie om vergelijking (291) te inverteren. Dat is tevens een mooi voorbeeld van geavanceerde index-manipulatie. Hiertoe schrijven we vergelijking (291) in drie permutaties van de indices,

\begin{aligned}g_{αβ,μ} & = & Γ_{αμ}^{ν}g_{νβ} + Γ_{βμ}^{ν}g_{αν}, \\ g_{αμ,β} & = & Γ_{αβ}^{ν}g_{νμ} + Γ_{μβ}^{ν}g_{αν}, \\ −g_{βμ,α} & = & −Γ_{βα}^{ν}g_{νμ} − Γ_{μα}^{ν}g_{βν}. \end{aligned}  (300)

We tellen deze op, groeperen termen, gebruiken de symmetrie van g, g_{βν} = g_{νβ} en vinden

g_{αβ,μ} + g_{αμ,β} − g_{βμ,α} = (Γ_{αμ}^{ν} − Γ_{μα}^{ν})g_{νβ} + (Γ_{αβ}^{ν} − Γ_{βα}^{ν})g_{νμ} + (Γ_{βμ}^{ν} + Γ_{μβ}^{ν})g_{αν}.  (301)

In deze vergelijking vallen de eerste twee termen rechts weg vanwege de symmetrie van Γ en vinden we

g_{αβ,μ} + g_{αμ,β} − g_{βμ,α} = 2g_{αν}Γ_{βμ}^{ν}.  (302)

Delen door 2, vermenigvuldigen met g^{αγ} (en sommeren over α), en gebruik maken van g^{αγ}g_{αν} ≡ δ_{ν}^{γ} levert

Γ_{βμ}^{γ} = \frac{1}{2}g^{αγ}(g_{αβ,μ} + g_{αμ,β} − g_{βμ,α}).  (303)

Dit is de uitdrukking voor de christoffelsymbolen in termen van de partiële afgeleiden van de componenten van g. We geven weer een korte demonstratie voor poolcoördinaten.

\underline{Voorbeeld:} christoffelsymbolen en metriek In poolcoördinaten geldt bijvoorbeeld

Γ_{rθ}^{θ} = \frac{1}{2} g^{αθ}(g_{αr,θ} + g_{αθ,r} − g_{rθ,α}).  (304)

Omdat g^{rθ} = 0 en g^{θθ} = r^{−2} vinden we

Γ_{rθ}^{θ} = \frac{1}{2r^{2}} (g_{θr,θ} + g_{θθ,r} − g_{rθ,θ}) = \frac{1}{2r^{2}} g_{θθ,r} = \frac{1}{2r^{2}} (r^{2})_{,r} = \frac{1}{r} .  (305)

Dit is hetzelfde resultaat voor Γ_{rθ}^{θ} dat we al eerder hebben afgeleid. Deze methode van berekenen is ook geldig in gekromde ruimten.

7 De algemene relativiteitstheorie

Ruimtetijd is een variëteit die continu en differentieerbaar is. Dat betekent dat we bijvoorbeeld een scalairveld kunnen definiëren, waarvan dan op elk punt de afgeleiden bepaald kunnen worden. Het betekent ook dat we 1-vormen en vectoren kunnen definiëren en op een bepaald punt P van de variëteit zijn de elementen van de verzameling {ϕ_{,α}} de componenten van de 1-vorm. Elke verzameling van de vorm {aϕ_{,α} + bψ_{,α}}, met a en b functies, is ook een 1-vorm. Elke curve (met parameter λ) heeft een raakvector V⃗ en dat is een lineaire functie die een 1-vorm d̃ϕ als argument neemt en de afgeleide van ϕ langs de curve produceert,

< d̃ϕ, V⃗ >= V⃗ (d̃ϕ) = \frac{dϕ}{dλ}.  (306)

Elke lineaire combinatie van vectoren is ook weer een vector. Gebruikmakend van de op deze manier gedefinieerde vectoren en 1-vormen, kunnen we een hele verzameling tensoren van het type ( \begin{matrix}M \\ N \end{matrix} ) opbouwen. Omdat we nog geen ( \begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix} ) tensor gekozen hebben om dienst te doen als metriek, is er nog geen correspondentie tussen 1-vormen en vectoren. We zeggen dat de verzameling van alle tensoren deel uitmaakt van de differentiaalstructuur van de variëteit.

Voordat we verder gaan, vatten we de regels van tensoralgebra nog eens samen.

1. Een tensorveld definieert een tensor op elk punt P van de variëteit.

2. Vectoren en 1-vormen zijn lineaire operatoren op elkaar en produceren reële getallen. Lineair betekent dat < p̃, aV⃗ + bW⃗ >= a < p̃, V⃗ > +b < p̃, W⃗ >, en < ap̃ + bq̃, V⃗ >= a < p̃, V⃗ > +b < q̃, V⃗ > +b < q̃, V⃗ >, met a en b willekeurige scalaire velden.

3. Tensoren zijn op dezelfde manier lineaire operatoren op 1-vormen en vectoren, en produceren reële getallen.

4. Als twee tensoren van hetzelfde type dezelfde componenten hebben op een gegeven basis, dan hebben ze dezelfde componenten op alle bases en zeggen we dat ze identiek zijn. In het bijzonder, als de componenten van een tensor voor een bepaalde basis nul zijn, dan is de tensor gelijk aan nul.

5. Er is een aantal toegestane operaties met componenten van tensorvelden. Dergelijke operaties produceren nieuwe tensoren.

(a) Vermenigvuldigen met een scalairveld produceert een tensor van hetzelfde type.

(b) Optellen van de componenten van twee tensoren van hetzelfde type geeft de componenten van een nieuwe tensor van hetzelfde type. Enkel tensoren van hetzelfde type kunnen gelijk zijn aan elkaar.

(c) Vermenigvuldigen van componenten van twee tensoren van willekeurig type geeft componenten van een nieuwe tensor die de som is van de typen, het tensorproduct van de twee tensoren.

(d) De covariante afgeleide van de componenten van een tensor van type ( \begin{matrix}N \\ M \end{matrix} ) geeft de

componenten van een tensor van het type ( \begin{matrix}N \\ M + 1 \end{matrix} ) .

(e) Contractie van een paar indices van de componenten van een tensor van het type ( \begin{matrix}N \\ M \end{matrix} ) produceert componenten van een tensor van het type ( \begin{matrix}N − 1 \\ M − 1 \end{matrix} ) . Contractie is enkel gedefinieerd tussen boven en beneden indices.

6. Als een vergelijking gevormd wordt door het combineren van componenten van tensoren, terwijl we enkel gebruik maken van toegestane tensorbewerkingen, en als deze vergelijking geldig is in één basis, dan is hij geldig in alle bases.

7.1 Pseudo-riemannse variëteit

Een differentieerbare variëteit is een primitieve amorfe verzameling van punten (puntgebeurtenissen voor het geval van ruimtetijd). Lokaal zijn de punten gerangschikt als punten in een euclidische ruimte, maar we hebben geen afstandsconcept gespecificeerd. Het is absoluut cruciaal dat we een metriek g toevoegen, die de informatie bevat over hoe snel klokken lopen en wat de afstanden zijn tussen punten.

Op het aardoppervlak zouden we een metriek bepalen door kleine vectoren \overrightarrow{ΔP} op het aardoppervlak te tekenen. Vervolgens zeggen we dat de lengte van de vector gegeven wordt door het inproduct

\overrightarrow{ΔP} · \overrightarrow{ΔP} ≡ \overrightarrow{ΔP}^{2} = (lengte van \overrightarrow{ΔP})^{2},  (307)

en gebruiken we een meetlat om dit te bepalen. We hebben nu een definitie van het inproduct van een vector voor een kleine vector met zichzelf. We gebruiken lineariteit om naar macroscopische vectoren te gaan. Vervolgens kunnen we een definitie krijgen voor het inproduct van twee verschillende vectoren door gebruik te maken van

A⃗ · B⃗ = \frac{1}{4} [(A⃗ + B⃗)^{2} − (A⃗ − B⃗)^{2}] .  (308)

Kortom, als je een afstandsconcept hebt (een meetlat op het oppervlak van de aarde), dan kun je een inproduct vinden, en hieruit volgt de metriek (want dat is niets anders dan g(A⃗, B⃗) ≡ A⃗ · B⃗) = g(B⃗, A⃗). De metrische tensor is symmetrisch). Een differentieerbare variëteit met als extra structuur een metriek, noemen we een riemannse variëteit.

Figuur 46: Links: op elk punt P van het oppervlak van de aarde bevindt zich een raakruimte (in dit geval een raakvlak); rechts: het raakvlak is een goede afbeelding in de nabijheid van punt P.

We willen nu een metriek toekennen aan ruimtetijd. Hiertoe introduceren we een lokaal lorentzframe (LLF). Dat doen we door op punt P in vrije val te gaan. Het equivalentieprincipe zegt dan dat de effecten van gravitatie verdwijnen en dat we lokaal de metriek van de speciale relativiteitstheorie vinden. Dat is de minkowskimetriek. We kunnen op elk punt P van de variëteit een coördinatenstelsel kiezen, waarin de minkowskimetriek geldt. Terwijl dit in de SRT ook een globaal coördinatenstelsel kan zijn, is dat enkel lokaal mogelijk in de algemene relativiteitstheorie. Hiermee hebben we op elk punt P een definitie van lengte gevonden: met g_{μν} = η_{μν} → ds^{2} = η_{μν}dx^{μ}dx^{ν}. In essentie bedrijven we nu SRT op punt P en hebben we een maat om lengten van staven en eigentijden van ideale klokken te bepalen. In een LLF wordt de metriek gegeven door η_{μν} = diag(−1, +1, +1, +1). Voor een riemannse variëteit dienen alle diagonale elementen positief te zijn. De signatuur (de som van de elementen op de diagonaal) van de metriek van ruimtetijd is +2, en we spreken van een pseudo-riemannse variëteit.

Stel we brengen een coördinatenstelsel op het aardoppervlak aan met longitude en lattitude. Als we naar het oppervlak van de aarde kijken, dan zien we dat hoe dichter je in de buurt van een punt P blijft, hoe cartesischer dit referentiesysteem er lokaal uit ziet. Afwijkingen van cartesische coördinaten treden op in tweede orde in de afstand x tot het punt P. Wiskundig betekent dit dat geldt

g_{jk} = δ_{jk} + O (\frac{|x⃗|^{2}}{R^{2}} ) ,  (309)

met R de straal van de aarde. Een eenvoudige manier om dit te zien is door het raakvlak op punt P te construeren. Fig. 46 toont dat als x⃗ de positievector is van een punt ten opzichte van P, dan komt dat overeen met cos |x⃗| op het raakvlak. Een reeksontwikkeling levert cos x = 1 − \frac{x^{2}}{2} + .... Dit heeft tot consequentie dat als men enkel naar eerste-orde afgeleiden kijkt, men geen enkele invloed van de kromming van de aarde ziet. Enkel als je tweede-orde afgeleiden neemt, begin je de kromming waar te nemen.

Hetzelfde geldt voor ruimtetijd. In een gekromde ruimtetijd kunnen we geen globaal lorentzframe vinden waarvoor g_{αβ} = η_{αβ}. Het is echter wel mogelijk om coördinaten te kiezen, zodat in de nabijheid van P deze gelijkheid bijna geldig is. Dat wordt mogelijk gemaakt door het equivalentieprincipe. Dit is de precieze definitie van een lokaal lorentzframe en voor een dergelijk coördinatenstelstel geldt

g_{αβ}(P) = η_{αβ} voor alle α, β;
\frac{∂}{∂x^{γ}} g_{αβ}(P) = 0 voor alle α, β, γ;
\frac{∂^{2}}{∂x^{γ}∂x^{μ}} g_{αβ}(P) ≠ 0.

(310)

Het bestaan van lokale lorentzframes drukt uit dat elke gekromde ruimtetijd op elk punt een vlakke raakruimte heeft. Alle tensormanipulaties doe we uitvoeren spelen zich in deze raakruimte af. Bovenstaande uitdrukkingen vormen de wiskundige formulering van het feit dat het equivalentieprincipe ons toestaat om op punt P een LLF te kiezen.

De metriek maakt het mogelijk om de lengte van een kromme te definiëren. Als dx⃗ een kleine vectorverplaatsing op een curve is, dan is de gekwadrateerde lengte gelijk aan ds^{2} = g_{μν}dx^{α}dx^{β} (we noemen dit het lijnelement). Een maat voor de lengte wordt gevonden door hiervan de absolute waarde te nemen en dan de wortel te trekken. Dat geeft dl ≡ |g_{αβ}dx^{α}dx^{β}|^{\frac{1}{2}} . Integratie geeft dan de totale lengte en we vinden

l = ∫_{langs de curve}|g_{αβ}dx^{α}dx^{β}|^{\frac{1}{2}} = ∫_{λ_{0}}^{λ_{1}}|g_{αβ} \frac{dx^{α}}{dλ} \frac{dx^{β}}{λ} |^{\frac{1}{2}} dλ,  (311)

waarbij λ de parameter van de curve is. De curve heeft als eindpunten λ_{0} en λ_{1}. De raakvector V⃗ van de curve heeft componenten V^{α} = dx^{α}/dλ en hiermee vinden we

l = ∫_{λ_{0}}^{λ_{1}}|V⃗ · V⃗ |^{\frac{1}{2}} dλ  (312)

voor de lengte van een willekeurige curve.

Ook het berekenen van volumes is belangrijk als we integraties uitvoeren in ruimtetijd. Met volume bedoelen we hier een vier-dimensionaal volume. Stel we bevinden ons in een LLF en hebben er een volume element dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}, met coördinaten {x^{α}} in de lokale lorentzmetriek η_{αβ}. Transformatietheorie zegt dan dat

dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3} = \frac{∂(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})}{∂(x^{0′}, x^{1′}, x^{2′}, x^{3′})}dx^{0′}dx^{1′}dx^{2′}dx^{3′},  (313)

waarbij de factor ∂( )/∂( ) de jacobiaan van de transformatie van {x^{α′}} naar {x^{α}} is. Dit hadden we reeds besproken in hoofdstuk 4.4 en er geldt

\frac{∂(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})}{∂(x^{0′}, x^{1′}, x^{2′}, x^{3′})} = det ( \begin{matrix}\frac{∂x^{0}}{∂x^{0′}} & \frac{∂x^{0}}{∂x^{1′}} & ... \\ \frac{∂x^{1}}{∂x^{0′}} & \frac{∂x^{1}}{∂x^{1′}} & ... \\ ... & ... & ... \end{matrix} ) = det (Λ_{β′}^{α}) .  (314)

De berekening van deze determinant is nogal omslachtig en het kan eenvoudiger door te beseffen dat in termen van matrices de transformatie van de componenten van de metriek gegeven wordt door de vergelijking (g) = (Λ)(η)(Λ)^{T}, waarbij met ‘T ’ transponeren bedoeld wordt. Dan voldoen de determinanten aan det(g) = det(Λ)det(η)det(Λ^{T}). Voor elke matrix geldt det(Λ) = det(Λ^{T}) en verder hebben we det(η) = −1. Hiermee vinden we dan det(g) = − [det(Λ)]^{2}. We gebruiken de notatie

g ≡ det(g_{α′β′}) → det(Λ_{β′}^{α}) = (−g)^{\frac{1}{2}}  (315)

en vinden

dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3} = det [−(g_{α′β′})]^{\frac{1}{2}} dx^{0′}dx^{1′}dx^{2′}dx^{3′} = (−g)^{\frac{1}{2}} dx^{0′}dx^{1′}dx^{2′}dx^{3′}.  (316)

Het is belangrijk om goed de redenatie te begrijpen die we gevolgd hebben om tot bovenstaand resultaat te komen. We zijn gestart in een speciaal coördinatenstelsel, het LLF, en hierin geldt de minkowskimetriek. Vervolgens hebben we het resultaat gegeneraliseerd naar algemene coördinatenstelsels.

7.2 Tensoren en covariante afgeleide

Stel we hebben een tensorveld T(_, _, _) met rang 3. Dit veld is een functie van lokatie en definieert een tensor op elk punt P. We kunnen deze tensor expanderen in de basis {e⃗_{α}} en dat geeft de (boven-) componenten T^{αβγ}. In het algemeen hebben we 64 termen voor ruimtetijd. We kunnen de tensor T echter ook expanderen in de duale basis {e ^{α}} en er geldt

T(_, _, _) ≡ T^{αβγ} e⃗_{α} ⊗ e⃗_{β} ⊗ e⃗_{γ} = T_{αβ}^{γ} e ^{α} ⊗ e ^{β} ⊗ e⃗_{γ}.  (317)

Als je de waarden van de componenten wilt berekenen dan wordt het volgende theorema gebruikt,

T^{αβγ} = T(e ^{α}, e ^{β}, e ^{γ}) en T_{μν}^{γ} = T(e⃗_{μ}, e⃗_{ν}, e ^{γ}).  (318)

Als je de componenten van de tensor T in een of andere rangschikking van boven- en benedenindices hebt, en je wilt de componenten weten in een andere rangschikking van indices, dan wordt de metriek gebruikt. Er geldt

T_{μν}^{γ} = T^{αβγ}g_{αμ}g_{βν} en bijvoorbeeld ook T^{αβγ} = g^{αρ}T_{ρ}^{βγ}  (319)

Vervolgens willen we contractie bespreken. Dat is nogal ingewikkeld om te behandelen in onze abstracte notatie. Gegeven een tensor R, kunnen we deze altijd schrijven in termen van een basis van vectoren als

R(_, _, _, _) = A⃗ ⊗ B⃗ ⊗ C⃗ ⊗ D⃗ + ...  (320)

We bespreken contractie enkel voor een tensorproduct van vectoren en gebruiken lineariteit om een wiskundige beschrijving voor algemene tensoren te vinden. Voor contractie ℂ_{13} van de eerste met de derde index geldt

ℂ_{13} [A⃗ ⊗ B⃗ ⊗ C⃗ ⊗ D⃗(_, _, _, _)] ≡ (A⃗ · C⃗)B⃗ ⊗ D⃗(_, _).  (321)

We kunnen bovenstaande abstracte definitie in termen van componenten schrijven en vinden

A⃗ · C⃗ = A^{μ}C^{ν}e⃗_{μ} · e⃗_{ν} = A^{μ}C^{ν}g_{μν} = A^{μ}C_{μ} → ℂ_{13}R = R_{μ}^{μβ δ}B⃗ × D⃗.  (322)

Op dezelfde manier als hierboven, zien we dat we uit twee vectoren A⃗ en B⃗ een tensor A⃗ × B⃗ kunnen construeren door er het tensorproduct van te nemen, terwijl we een scalar A⃗ · B⃗ kunnen maken door het inproduct te nemen. De contractie van het tensorproduct A⃗ ⊗ B⃗ levert weer een scalar op, ℂ [A⃗ ⊗ B⃗] = A⃗ · B⃗.

Vanaf nu gaan we een vergelijking als R_{μ}^{μβ δ} vanuit een ander gezichtspunt bekijken. We hebben het steeds gezien als de componenten van een tensor. Vanaf nu is onze interpretatie dat de indices μ, β, μ en δ labels zijn van de sleuven van de abstracte tensor R. Dus met R^{αβγδ} bedoelen we de abstracte tensor R(_, _, _, _) met eerste sleuf α, tweede sleuf β, enz.

Het bovenstaande rondt onze discussie over tensoralgebra af. In het volgende gaan we tensoranalyse bespreken. Dit doen we aan de hand van een tensorveld T(_, _) met rang 2, maar wat we concluderen is geldig voor elk tensorveld. Het veld T is een functie van lokatie in de variëteit, T(P). We differentiëren T nu langs de curve P(λ). Op punt P wordt de raakvector A⃗ aan de curve gegeven door A⃗ = \frac{dP}{dλ} = \frac{d}{dλ}. De afgeleide van T langs de curve (dus in de richting van vector A⃗) wordt gegeven door

∇A⃗T = lim_{Δλ→0} \frac{[T(P(λ + Δλ))]^{∥} − T(P(λ))}{Δλ}.  (323)

Merk op dat de twee tensoren, T(P(λ + Δλ)) en T(P(λ)), in twee verschillende raakruimten leven. Ze zijn bijna hetzelfde, omdat Δλ klein is, maar desalniettemin zijn het verschillende raakruimten. We hebben een manier nodig om de tensor T(P(λ + Δλ)) naar punt P te transporteren, waar we de afgeleide willen bepalen, zodat we de tensoren kunnen aftrekken. Wat we nodig hebben wordt parallel transporteren van T(P(λ + Δλ)) genoemd.

In een gekromde variëteit zien we de effecten van kromming niet als we eerste-orde afgeleiden nemen^{65}. Het parallel transporteren betekent dan hetzelfde als wat het betekent in een vlakke ruimte: de componenten veranderen niet door het transporteren. We hebben dus met vergelijking (323) een uitdrukking voor de afgeleide gevonden. De orgininele tensor T(_, _) heeft twee sleuven, en dat is ook zo voor de afgeleide ∇A⃗T(_, _), want volgens vergelijking (323) is de

Γ_{μν}^{α} = \frac{1}{2} g^{αβ}(g_{βμ;ν} + g_{βν,μ} − g_{μν,β}).  (324)

65We kunnen altijd een lokaal lorentzframe construeren, dat voldoende vlak is voor wat wij willen. In dat systeem zijn de basisvectoren constant en hun afgeleiden nul in punt P. Dit is een definitie voor de covariante afgeleide. Deze definitie leidt er onmiddellijk toe dat de christoffelsymbolen gelijk zijn aan nul en dat in het LLF geldt V _{;β}^{α} = V _{,β}^{α} op punt P. Dit is natuurlijk waar voor elke tensor en ook voor de metriek, g_{αβ;γ} = g_{αβ,γ} = 0 op punt P. Omdat de vergelijking g_{αβ;γ} = 0 een tensorvergelijking is, is hij geldig in elke basis. Gegeven dat Γ_{αβ}^{μ} = Γ_{βα}^{μ}, vinden we weer dat voor elke metriek dient te gelden Dus terwijl Γ_{μν}^{α} = 0 op P in het LLF, geldt dat niet voor de afgeleiden ervan, want die bevatten g_{αβ,γμ}. Dus de christoffelsymbolen zijn dan wel nul op punt P als we een LLF kiezen, maar verschillen in het algemeen van nul in de omgeving van dit punt. Het verschil tussen een gekromde en een vlakke variëteit manifesteert zich dus in de afgeleiden van de christoffelsymbolen.

afgeleide niets anders dan het verschil van twee tensoren T op verschillende punten, en dan gedeeld door de afstand Δλ.

Als volgende stap kunnen we nu het concept gradiënt invoeren. We merken op dat de afgeleide ∇A⃗T(_, _) lineair is in de vector A⃗. Dat betekent dat er een rang-3 tensor ∇T(_, _, A⃗) bestaat, zodanig, dat geldt

∇A⃗T(_, _) ≡ ∇T(_, _, A⃗).  (325)

Dit is de definitie van de gradiënt van T. Het laatste slot wordt per conventie gebruikt als het differentiatieslot. De gradiënt van T is een lineaire functie van vectoren en heeft één sleuf meer dan T zelf, en heeft verder de eigenschap dat als je A⃗ in de laatste sleuf stopt, je de afgeleide van T krijgt in de richting van A⃗. We definiëren de componenten van de gradiënt als

∇T ≡ T _{;μ}^{αβ} e⃗_{α} ⊗ e⃗_{β} ⊗ e^{μ}.  (326)

Het is een conventie om de differentiatie index beneden te plaatsen. Merk verder op dat je deze differentiatie index naar boven of beneden kunt halen net als elke andere index. Verder correspondeert alles dat na de puntkomma komt met een gradiënt. De componenten van de gradiënt zijn in dit geval T _{;μ}^{αβ}.

Hoe berekenen we de componenten van een gradiënt? Het gereedschap hiervoor zijn de zogenaamde connectie coëfficiënten^{66}. Die coëfficiënten worden zo genoemd, omdat bij het nemen van de afgeleide we het tensorveld in twee verschillende raakruimten moeten vergelijken. De connectie coëfficiënten geven ons informatie over hoe de basisvectoren veranderen tussen beide naburige raakruimten. Omdat we een basis hebben in punt P, kunnen we ons afvragen wat de afgeleide is van e⃗_{α} in de richting van e⃗_{μ}. Er geldt

∇e⃗_{μ}e⃗_{α} ≡ Γ_{αμ}^{ρ}e⃗_{ρ}.  (327)

Deze afgeleide is zelf ook een vector en we kunnen deze dus expanderen in onze basis op punt P waar we de afgeleide willen weten. De expansiecoëfficiënten zijn Γ_{αμ}^{ρ}e⃗_{ρ}. Evenzo geldt

∇e⃗_{μ}e^{ρ} = −Γ_{σμ}^{ρ}e⃗_{σ}.  (328)

Merk op dat we nu een minteken krijgen! De connectie coëfficiënten vertellen je hoe de basisvectoren van plaats tot plaats veranderen. Dus als je de componenten van een gradiënt wilt weten, bijvoorbeeld T _{;γ}^{αβ}, dan moet je correcties maken voor het feit dat de basisvectoren veranderen. De tensor T^{αβ} is zelf misschien constant en enkel de basisvectoren hangen van positie af. Het blijkt dat (zie ook vergelijking (285))

T _{β;γ}^{α} = T _{β,γ}^{α} + Γ_{μγ}^{α}T _{β}^{μ} − Γ_{βγ}^{μ}T _{μ}^{α}, waarbij T _{β,γ}^{α} = ∂e⃗_{γ}T _{β}^{α} = \frac{∂}{∂x^{γ}} T _{β}^{α}.  (329)

Als we de metriek g kennen, dan kunnen we de christoffelsymbolen uitrekenen, en daarmee alle covariante afgeleiden. Hiermee vinden we tenslotte weer de vergelijkingen

\begin{aligned}V _{;β}^{α} & = & V _{,β}^{α} + Γ_{μβ}^{α}V^{μ}, \\ P_{α;β} & = & P_{α,β} − Γ_{αβ}^{μ}P_{μ}, \\ T _{;γ}^{αβ} & = & T _{,γ}^{αβ} + Γ_{μγ}^{α}T^{μβ} + Γ_{μγ}^{β}T^{αμ}. \end{aligned}  (330)

7.3 Geodeten en kromming

Als we sferische coördinaten aanbrengen op een bol, en we volgen twee lijnen, die loodrecht op de evenaar staan, in richting van de noordpool, dan zien we dat de initieel parallelle lijnen een Figuur 47: Parallel transporteren van een vector V⃗ rond een driehoekig traject PQRP uitgezet op een bol. Door V⃗ te transporteren over de lus P QRP verkrijgt de eindvector een rotatie ten opzichte van de beginvector. De rotatiehoek is afhankelijk van de grootte van de lus, de gekozen weg, en de kromming van de variëteit.

snijpunt hebben op het gekromde oppervlak. Het vijfde postulaat van Euclides geldt dus niet in een gekromde ruimte: parallelle lijnen kunnen wel degelijk een snijpunt hebben.

Een andere illustratie van hoe kromming zich manifesteert, en die misschien nog doeltreffender is, wordt gegeven in Fig. 47. We beginnen in punt P met een raakvector die in de horizontale richting wijst. We nemen een kleine stap in de richting van Q en na elke step projecteren we de raakvector weer op het lokale raakvlak. Dit is onze manier van parallel transporteren. Nadat we het gesloten traject PQRP hebben volbracht, zien we dat de eindvector niet meer parallel is aan de initiële vector. Dit gebeurt niet in een vlakke ruimte is een effect van de kromming van de bol. De consequentie is dat we op een gekromde variëteit geen globale parallelle vectorvelden kunnen definiëren. Het resultaat van parallel transporteren hangt af van de gekozen weg en van de grootte van de lus.

Teneinde een wiskundige beschrijving te vinden, vatten we het interval PQ in Fig. 47 op als een curve, en stellen we dat λ de parameter is van deze curve. Het vectorveld V⃗ is gedefinieerd op elk punt van de curve. De vector U⃗ = dx⃗/dλ is de raakvector aan de curve. In een lokaal coördinatensysteem op punt P moeten de componenten van V⃗ constant zijn langs de curve, er geldt

\frac{dV^{α}}{dλ} = U^{β}V _{,β}^{β} = U^{β}V _{;β}^{α} = 0 op punt P.  (331)

De eerste gelijkheid is de definitie van de afgeleide van een functie (in dit geval V^{α}) langs de curve, de tweede gelijkheid komt van het feit dat Γ_{μν}^{α} = 0 op punt P in deze coördinaten. De derde gelijkheid is echter een frame-onafhankelijke uitdrukking en die is geldig in elke basis. We nemen dit als de coördinatenstelsel onafhankelijke definitie van het parallelle transport van V⃗ langs U⃗. Een vector V⃗ wordt dus parallel getransporteerd langs een curve met parameter λ als geldt

66Deze staan ook bekend als de christoffelsymbolen.

U^{β}V _{;β}^{α} = 0 ↔ \frac{d}{dλ}V⃗ = ∇U⃗ V⃗ = 0.  (332)

De laatste stap maakt gebruik van de notatie voor de richtingsafgeleide langs U⃗.

De belangrijkste curven in een gekromde ruimte zijn de geodeten. Geodeten zijn lijnen die (zo recht als mogelijk is) zijn getrokken, met als voorwaarde dat de raakvectoren U⃗ van deze lijnen parallel getransporteerd worden. Voor een geodeet geldt dus

∇U⃗ U⃗ = 0.  (333)

Merk op dat in een LLF deze lijnen inderdaad recht zijn. Voor de componenten geldt

U^{β}U_{;β}^{α} = U^{β}U_{,β}^{α} + Γ_{μβ}^{α}U^{μ}U^{β} = 0.  (334)

Als λ de parameter van de curve is, dan geldt U^{α} = dx^{α}/dλ en U^{β}∂/∂x^{β} = d/dλ. Hiermee vinden we

\frac{d}{dλ} (\frac{dx^{α}}{dλ} ) + Γ_{μβ}^{α} \frac{dx^{μ}}{dλ} \frac{dx^{β}}{dλ} = 0.  (335)

Omdat de christoffelsymbolen bekende functies van de coördinaten {x^{α}} zijn, is dit een verzameling niet-lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking voor x^{α}(λ). Deze heeft een unieke oplossing als de initiële condities voor λ = λ_{0} worden gegeven: x_{0}^{α} = x^{α}(λ_{0}) en U_{0}^{α} = (dx^{α}/dλ)_{λ_{0}}. Dus door het geven van een beginpositie (x_{0}^{α}) en een beginsnelheid (U_{0}^{α}), verkrijgen we een unieke geodeet.

Door de parameter λ te veranderen, veranderen we wiskundig de curve (maar niet het pad). Als λ een parameter van de geodeet is, en we definiëren een nieuwe parameter ϕ = aλ + b, met a en b constanten, die dus niet van de positie op de curve afhangen, dan geldt voor ϕ ook

\frac{d^{2}x^{α}}{dϕ^{2}} + Γ_{μβ}^{α} \frac{dx^{μ}}{dϕ} \frac{dx^{β}}{dϕ} = 0.  (336)

Enkel lineaire transformaties van λ geven nieuwe parameters die voldoen aan de geodetenvergelijking. We noemen de parameter λ en ϕ affine parameters. Tenslotte merken we op dat een geodeet ook een curve is met een extreme lengte (minimale lengte tussen twee punten). We kunnen de vergelijking voor een geodeet dus ook vinden met de Euler-Langrange vergelijkingen. Ook kunnen we aantonen dat de ds langs de curve een affine parameter is.

7.4 Kromming en de riemanntensor

In Fig. 48 tonen we twee vectorenvelden A⃗ en B⃗. De vectoren zijn zo klein, dat de kromming van de variëteit geen rol speelt in het gebied waar dit diagram getekend is. We kunnen daarmee aannemen dat de vectoren op het oppervlak liggen in plaats van in de raakruimte. Teneinde de commutator [A⃗, B⃗] uit te kunnen rekenen, gebruiken we een lokaal orthonormaal coördinatensysteem. Omdat we een vector kunnen opvatten als een richtingsafgeleide, stelt A^{α}∂B^{β}/∂x^{α} de grootte voor waarmee de vector B⃗ verandert als die langs A⃗ verplaatst wordt (dat is de korte gestreepte lijn rechtsboven in Fig 48). Evenzo is B^{α}∂A^{β}/∂x^{α} de verandering van A⃗ als die langs B⃗ verplaatst wordt (dat is die andere korte gestreepte lijn). Voor de componenten van de commutator in een coördinatenstelsel geldt

[A⃗, B⃗] = [A^{α} \frac{∂}{∂x^{α}} , B^{β} \frac{∂}{∂x^{β}} ] = (A^{α} \frac{∂B^{β}}{∂x^{α}} − B^{α} \frac{∂A^{β}}{∂x^{α}} ) \frac{∂}{∂x^{β}} .  (337)

Figuur 48: De commutator [A⃗, B⃗] van twee vectorvelden. We nemen aan dat de vectoren klein zijn, zodat de kromming het toelaat dat ze in de variëteit liggen.

Volgens bovenstaande vergelijking is de commutator [A⃗, B⃗] het verschil van de twee gestreepte lijnen in Fig. 48. Het is het vijfde lijnsegment dat nodig is om de vierhoek te sluiten (dat is de geometrische betekenis van de commutator). Vergelijking (337) is een operatorvergelijking, waarbij de uiteindelijke afgeleide opereert op een scalairveld (net als in de quantummechanica). We vinden hiermee meteen de componenten van de commutator in een willekeurig coördinatenstelsel: A^{α}B_{,α}^{β} − B^{α}A_{,α}^{β}. De commutator is nuttig om onderscheid te kunnen maken tussen een coördinatenbasis en een niet-coördinatenbasis (ook wel niet-holonomische basis genoemd)^{67}.

In de discussie die leidde tot vergelijking (310), zagen we dat de effecten van kromming merkbaar worden als we tweede-orde afgeleiden (of gradiënten) nemen van de metriek. De krommingstensor van Riemann is een maat voor het falen van dubbele gradiënten om te sluiten. Neem een vectorveld A⃗ en neem er de dubbele gradiënten van. Dan vinden we

A_{α;μν} − A_{α;νμ} = [∇_{μ}, ∇_{ν}]A_{α} ≡ R_{αμν}^{β}A_{β}.  (338)

Deze vergelijking kan gezien worden als de definitie van de riemanntensor. We kunnen deze vergelijking uitwerken door te beginnen met de definitie van de covariante afgeleide,

A_{α;μν} = \frac{∂}{∂x^{ν}} (A_{α;μ}) − Γ_{αν}^{β}(A_{β;μ}) − Γ_{μν}^{β}(A_{α;β}) en A_{α;μ} = A_{α,μ} − Γ_{αμ}^{β}A_{β}.  (339)

We dienen nu een en ander te differentiëren, indices te manipuleren, etc. Uiteindelijk vinden we

A_{α;μν} − A_{α;νμ} = (\frac{∂Γ_{αν}^{β}}{∂x^{μ}} − \frac{∂Γ_{αμ}^{β}}{∂x^{ν}} + Γ_{αν}^{γ}Γ_{γμ}^{β} − Γ_{αμ}^{γ}Γ_{γν}^{β}) V_{β} = R_{αμν}^{β}V_{β}.  (340)

De riemanntensor vertelt ons hoe een vectorveld verandert langs een gesloten pad. We kunnen vergelijking (324) gebruiken om de riemanntensor in een LLF te schrijven als

R_{βμν}^{α} = \frac{1}{2}g^{ασ} (g_{σν,βμ} − g_{σμ,βν} + g_{βμ,σν} − g_{βν,σμ}) .  (341)

67In een coördinatenbasis worden de basisvectoren gegeven door de partiële afgeleiden, e⃗_{α} = ∂/∂x^{α}, en omdat partiële afgeleiden commuteren, moet gelden [e⃗_{α}, e⃗_{β}] = 0. In een niet-coördinatenbasis geldt [e⃗_{μ}, e⃗_{ν}] = C_{μν}^{α}e⃗_{α}, met C_{μν}^{α} de zogenaamde commutatie coëfficiënten. Een coördinatenbasis is handig voor het doen van berekeningen, terwijl een niet-coördinatenbasis nuttig kan zijn voor de interpretatie van gegevens.

We zien dat de metrische tensor g de informatie over de intrinsieke kromming bevat^{68}. Deze kromming wordt manifest als we tweede-orde afgeleiden van de metriek nemen. Met R_{αβμν} ≡ g_{αλ}R_{βμν}^{λ} en bovenstaande relatie, kunnen we een aantal belangrijke eigenschappen van de riemanntensor bewijzen. De riemanntensor is

• antisymmetrisch in de laatste twee indices. Er geldt

R(_, _, A⃗, B⃗) = −R(_, _, B⃗, A⃗) of R_{μναβ} = −R_{μνβα}.  (342)

• Antisymmetrisch in de eerste twee indices. Er geldt

R(A⃗, B⃗, _, _) = −R(B⃗, A⃗, _, _) of R_{μναβ} = −R_{νμαβ}.  (343)

• De tensor is symmetrisch.

R(A⃗, B⃗, C⃗, D⃗ = R(C⃗, D⃗, A⃗, B⃗) of R_{μναβ} = R_{αβνμ}.  (344)

• Er gelden de zogenaamde Biancchi identiteiten,

R_{αβγδ;ϵ} + R_{αβδϵ;γ} + R_{αβϵγ;δ} = 0,  (345)

waarbij we steeds de laatste drie indices permuteren.

Bovenstaande symmetriën reduceren de 4 × 4 × 4 × 4 = 256 componenten van de riemanntensor tot 20.

De krommingstensor van Ricci (riccitensor) is gedefinieerd als de contractie van riemanntensor. Er geldt

R_{αβ} ≡ R_{αμβ}^{μ}.  (346)

Bijvoorbeeld in het geval van het aardoppervlak bevat deze tensor ook de informatie over de kromming, maar dan als de riemanntensor geïntegreert over de hoeken. Verder kan men laten zien dat de riccitensor symmetrisch is. Tenslotte hebben we nog de scalaire kromming, de riccikromming, gedefinieerd door

R = R_{α}^{α}.  (347)

We hebben nu de tensoren gedefinieerd, die we nodig hebben voor de beschrijving van fenomenen met de algemene relativiteitstheorie. Er is een formidabel wiskundig apparaat opgetuigd en we gaan dat nu eerst gebruiken om de veldvergelijkingen (de zogenaamde einsteinvergelijkingen) van de ART te poneren. We maken een en ander aannemelijk door een analogie met de newtoniaanse beschrijving.

7.5 Newtoniaanse beschrijving van getijdenkrachten

We proberen een maat te vinden voor de kromming van ruimtetijd. Hiertoe laten we een testdeeltje vrij vallen. Wij besluiten als waarnemer^{69} om met dit deeltje mee te vallen (LLF) en zien dat het deeltje langs een rechte lijn in ruimtetijd beweegt (enkel in de tijdrichting). Er is niets in de beweging van een enkel deeltje dat kromming verraadt. Met name in het vrij vallende coördinatenstelsel blijft het deeltje in rust. Eén deeltje is onvoldoende om de effecten van kromming te ontdekken.

68Behalve intrinsieke kromming kan een variëteit ook een extrinsieke kromming hebben. Neem bijvoorbeeld een blad papier dat geen intrinsieke kromming heeft, en rol het op tot een cilinder. Deze cilinder heeft extrensieke kromming en die beschrijft de inbedding van het vlakke blad papier in de 3D ruimte. De ART zegt niets over de hogere ruimten waarin ruimtetijd kan zijn ingebed. De ART geeft een beschrijving van kromming binnen de variëteit zelf en dat is de intrinsieke kromming van ruimtetijd.

69We gaan er voor het gemak vanuit dat wij als waarnemer niet van invloed zijn op het proces. Het belangrijkste is dat we aannemen dat we geen kracht uitoefenen en geen kromming veroorzaken.

Vervolgens laten we twee deeltjes vallen. We gaan de getijdenkracht op aarde bekijken vanuit het perspectief van waarnemers die vrijvallen (LLF) samen met de deeltjes. Dergelijke waarnemers vallen in een rechte lijn naar het centrum van de aarde. Fig. 49 geeft de situatie voor twee vrij vallende deeltjes P en Q, en we zien dat beide deeltjes paden volgen die leiden naar het centrum van de aarde. Vanuit het perspectief van een waarnemer die in vrije val is met deze deeltjes, zien

Figuur 49: Links: twee vrij vallende deeltjes bewegen op initieel parallel paden naar het centrum van de aarde. Daar ligt het snijpunt van beide lijnen; rechts: lijnen op het aardoppervlak die initieel parallel zijn bij de evenaar, snijden elkaar bij de noordpool.

we dat de deeltjes naar elkaar toe bewegen. Dit wordt veroorzaakt door de differentiële gravitatieversnelling op de deeltjes en we noemen dit getijdenkrachten. Volgens Newton kruisen de paden ten gevolge van gravitatie, terwijl dit volgens Einstein gebeurt omdat ruimtetijd gekromd is. Wat Newton gravitatie noemt, wordt door Einstein kromming van ruimtetijd genoemd. Gravitatie is een eigenschap van de kromming van ruimtetijd.

We willen nu een wiskundige beschrijving geven van dit proces, die in overeenstemming is met de wetten van Newton (zie ook hoofdstuk 2.6). Hiertoe beschouwen we Fig. 50. De newtoniaanse bewegingsvergelijkingen voor deeltjes P en Q zijn

(\frac{d^{2}x_{j}}{dt^{2}} )_{(P)} = − (\frac{∂Φ}{∂x^{j}} )_{(P)} en (\frac{d^{2}x_{j}}{dt^{2}} )_{(Q)} = − (\frac{∂Φ}{∂x^{j}} )_{(Q)} ,  (348)

met Φ de gravitationele potentiaal. We definiëren ξ⃗ als de afstand tussen beide deeltjes. Voor parallelle banen zou gelden \frac{dξ⃗}{dt} = 0. Met ξ⃗ = (x_{j})_{(P)} − (x_{j})_{(Q)} vinden we via een Taylorexpansie

\frac{d^{2}ξ_{j}}{dt^{2}} = − (\frac{∂^{2}Φ}{∂x^{j}∂x^{k}} ) ξ_{k} = −E_{jk}ξ_{k} → E_{jk} = (\frac{∂^{2}Φ}{∂x^{j}∂x^{k}} ) ,  (349)

met E de gravitationele getijdentensor. Merk op dat de metriek voor de 3D euclidische ruimte gegeven wordt door δ_{jk} = diag(1, 1, 1) en dat er dus geen verschil is tussen boven- en benedenindices. Vergelijking (349) wordt de vergelijking van newtoniaanse geodetische deviatie genoemd.

Volgens Newton bewegen de deeltjes naar elkaar toe en schrijven we

\frac{dξ⃗^{2}}{dt^{2}} = −E(_, ξ⃗)  (350)

Figuur 50: De banen van twee vrijvallende deeltjes in een gravitatieveld Φ. De drievector ξ⃗ meet de afstand tussen de twee deeltjes en is een functie van de tijd.

in abstracte notatie. Het is interessant dat de veldvergelijking van newtoniaanse gravitatie, vergelijking (18),

∇^{2}Φ = 4πGρ,  (351)

kan worden uitgedrukt in termen van tweede afgeleiden van Φ, die de getijden versnellingen in vergelijking (349) beschrijven. Er is een analoge connectie in de ART.

7.6 De einsteinvergelijkingen

We komen nu tot de kern van de ART, de veldvergelijkingen. We zullen proberen de veldvergelijkingen plausibel te maken op een manier die al het voorgaande nog eens samenvat. We beginnen met een beschouwing in Fig. 51 (linker diagram) van de beweging van een deeltje langs een wereldlijn. De wereldlijn is geparametriseerd met de eigentijd τ op een klok die het deeltje met zich mee draagt. We kunnen de positie van het deeltje op een punt van de wereldlijn dus aangeven met P(τ). De snelheid U⃗ is de raakvector aan de curve en wordt gegeven door

U⃗ = \frac{dP}{dτ} = \frac{d}{dτ} .  (352)

Voor de snelheid geldt in het LLF op punt P

U⃗^{2} = \frac{\overrightarrow{dP} · \overrightarrow{dP}}{dτ^{2}} = \frac{−dτ^{2}}{dτ^{2}} = −1,  (353)

waarbij we de definitie van de metriek hebben gebruikt^{70}. Omdat deze vergelijking een getal (scalar) oplevert, is dit geldig in elk coördinatenstelsel. We zien dus dat de snelheid lengte 1 heeft en in de tijdrichting wijst. Merk op dat deze definities geen gebruik maken van een coördinatenstelsel. In het geval dat een coördinatenstelsel aangebracht wordt, geldt voor de componenten van de snelheid

U^{α} = \frac{dx^{α}}{dτ} .  (354)

70In het LLF komt \overrightarrow{dP} overeen met (Δτ,0), waarbij Δτ de eigentijd is, gemeten met een ideale klok. Er geldt dan dat \overrightarrow{dP} · \overrightarrow{dP} = −(Δτ)^{2}.

Figuur 51: Links: de wereldlijn van een deeltje is een curve die geparametriseerd kan worden met de eigentijd τ van het deeltje. De snelheid U⃗ is de raakvector aan de curve. Rechts: we brengen een coördinatenstelsel {x^{α}} aan. De snelheid U⃗ heeft nu componenten U^{α} = dx^{α}/dτ.

De componenten zijn dus de afgeleiden van de coördinaten zelf.

Als het deeltje vrij beweegt en er geen andere krachten op werken dan die ten gevolge van de kromming van ruimtetijd, dan moet het in een rechte lijn bewegen. Hiermee bedoelen we zo recht als mogelijk is onder invloed van kromming. Het deeltje dient zijn eigen snelheid parallel te transporteren. Er geldt

∇U⃗ U⃗ = 0,  (355)

en dat is, zoals we reeds in vergelijking (333) gezien hebben, de abstracte uitdrukking voor een geodeet. Wat dit betekent is dat wanneer je naar een lokaal lorentzframe gaat, de componenten van de viersnelheid constant blijven (en daarom is de richtingsafgeleide gelijk aan nul) als het deeltje slechts een kleine afstand aflegt. We willen nu bekijken hoe de geodetenvergelijking eruit komt te zien als we een willekeurig coördinatenstelsel aanbrengen. Dit is geschetst in het rechterpaneel van Fig. 51. In dit coördinatenstelsel worden de componenten van U⃗ gegeven door U^{α} = dx^{α}/dτ, en kunnen we de geodetenvergelijking schrijven als

U_{;μ}^{α}U^{μ} = 0 → (U_{,μ}^{α} + Γ_{μν}^{α}U^{ν}) U^{μ} = 0.  (356)

Merk op dat U_{;μ}^{α} de gradiënt is, waarvan we dan het inproduct nemen met de snelheid U^{μ} om de afgeleide van de snelheid in de richting van de snelheid te vinden. Deze afgeleide stellen we vervolgens gelijk aan nul. In de tweede stap maken we gebruik van de uitdrukking in componenten van de covariante afgeleide. We vermenigvuldigen nu de termen en vinden

\underbrace{\underbrace{U_{,μ}^{α}}_{\frac{∂U^{α}}{∂x^{μ}}} \underbrace{U^{μ}}_{\frac{dx^{μ}}{dτ}}}_{\frac{dU^{α}}{dτ} = \frac{d}{dτ} (\frac{dx^{α}}{dτ})} +Γ_{μν}^{α} \underbrace{U^{ν}}_{\frac{dx^{ν}}{dτ}} \underbrace{U^{μ}}_{\frac{dx^{μ}}{dτ}} = 0 → \frac{d^{2}x^{α}}{dτ^{2}} + Γ_{μν}^{α} \frac{dx^{μ}}{dτ} \frac{dx^{ν}}{dτ} .  (357)

Het is belangrijk in te zien dat we zijn uitgegaan van de abstracte tensorvergelijking (355) voor een geodeet. Na het aanbrengen van een willekeurig coördinatenstelsel hebben we deze vergelijking in componenten geschreven en het resultaat is vergelijking (357). Deze laatste geeft vier gewone tweede-orde differentiaalvergelijkingen voor de coördinaten x^{0}(τ), x^{1}(τ), x^{2}(τ) en x^{3}(τ). Deze vergelijkingen zijn gekoppeld via de connectiecoëfficiënten. Omdat het tweede-orde differentiaalvergelijkingen zijn, hebben we twee randvoorwaarden nodig, bijvoorbeeld op tijdstip τ = 0 zowel x^{α}(τ = 0) als \frac{dx^{α}}{dτ} (τ = 0) = U^{α}(0). Daarna ligt de wereldlijn van het vrije deeltje (geodeet) vast.

Figuur 52: De wereldlijnen van twee deeltjes zijn initieel parallel. Door kromming van ruimtetijd bewegen de deeltjes naar elkaar toe. De afstand tussen de deeltjes wordt gegeven door de ruimtelijke vector ξ⃗.

We gaan nu weer naar de geodetische afstand tussen twee deeltjes P en Q kijken; zie Fig. 52. Dit vormt de aanloop tot de einsteinvergelijkingen. Stel dat we twee deeltjes hebben die op een bepaald tijdstip (dat we voor het gemak als τ = 0 kiezen) in rust zijn ten opzichte van elkaar. We definiëren de separatievector ξ⃗, die van ene naar het andere deeltje wijst. Verder heeft deeltje P een snelheid U⃗. De eis dat de deeltjes aanvankelijk in rust zijn ten opzichte van elkaar, komt neer op ∇U⃗ ξ⃗ = 0 op punt P op tijdstip τ = 0. Verder willen we ξ⃗ zo definiëren, dat in het LLF van deeltje P de vector ξ⃗ zuiver ruimtelijk is (dat is een keuze die we mogen maken). Hiermee is ξ⃗ loodrecht op de snelheid U⃗. Hij wijst dus in een richting die loodrecht op de tijdrichting staat. Er geldt dan U⃗ · ξ⃗ = 0 op punt P. Samengevat, eisen we op tijdstip τ = 0

\begin{matrix}∇U⃗ ξ⃗ & = & 0 \\ U⃗ · ξ⃗ & = & 0 \end{matrix} \} op punt P voor τ = 0.  (358)

De tweede afgeleide ∇U⃗∇U⃗ ξ⃗ is echter niet gelijk aan nul, want we weten dat de effecten van kromming merkbaar worden als we tweede-orde afgeleiden van de metriek nemen. Dit betekent dat de geodeten van de deeltjes naar elkaar toe worden gedrukt of van elkaar verwijderd raken (algelang de metriek), naarmate de tijd vordert. Er geldt

∇U⃗∇U⃗ ξ⃗ = −R(_, U⃗, ξ⃗, U⃗),  (359)

met R de krommingstensor. Deze vergelijking beschrijft hoe twee aanvankelijk parallelle geodeten in de loop der tijd van elkaar beginnen af te wijken ten gevolge van de kromming. De uitdrukking volgt uit vergelijkingen (330) en (338). De tweede afgeleide ∇U⃗∇U⃗ ξ⃗ beschrijft de relatieve versnelling van de deeltjes.

In het LLF van deeltje P op tijdstip τ = 0 geldt U^{0} = 1 en U^{i} = 0. Hiermee verwachten we

(∇U⃗∇U⃗ ξ⃗)^{j} = \frac{∂^{2}ξ⃗}{∂t^{2}} = −R_{αβγ}^{j}U^{α}ξ^{β}U^{γ} = −R_{0k0}^{j}ξ^{k},  (360)

want de snelheid U⃗ heeft enkel een tijdcomponent in het LLF van deeltje P, terwijl de separatievector x⃗i enkel ruimteachtige componenten heeft k = 1, 2, 3. In het LLF heeft de vergelijking voor geodetische afwijking de vorm

\frac{∂^{2}ξ^{j}}{∂t^{2}} = −R_{0k0}^{j}ξ^{k},  (361)

terwijl we in de newtoniaanse mechanica gevonden hebben (zie vergelijking (349)) dat

\frac{∂^{2}ξ^{j}}{∂t^{2}} = −E_{jk}ξ^{k}.  (362)

In een LLF is het ruimtelijke deel van de metriek cartesisch (δ_{ij} = diag(1, 1, 1)) en maakt de plaats van de indices niets uit. Vergelijken geeft dan

R_{j0k0} = E_{jk} = \frac{∂^{2}Φ}{∂x^{j}x^{k}} .  (363)

We kunnen een deel van de krommingstensor identificeren met afgeleiden van de newtoniaanse gravitatie potentiaal. Volgens Newton geldt

∇^{2}Φ = 4πGρ → Φ_{, jk}δ^{jk} = E_{jk}δ^{jk} = E_{j}^{j},  (364)

en we vinden voor het spoor van de gravitationele getijdentensor E_{j}^{j} = 4πGρ. Analoog zou je misschien verwachten dat in de algemene relativiteitstheorie zou gelden dat

R_{0j0}^{j} = 4πGρ ?  (365)

als een eerste gok.

Er is echter een fundamenteel probleem met vergelijking (365). Het dient een uitdrukking te zijn, die niet van het coördinatenstelsel afhangt. Wat we echter gedaan hebben, is het opstellen van de vergelijking in een speciaal stelsel: het LLF. Wat we derhalve dienen te doen, is proberen een relatie tussen tensoren te vinden. Hiertoe merken we op dat in het LLF geldt dat R_{0000} = 0 en R_{000}^{0} = 0 ten gevolge van antisymmetrie. Er geldt dus R_{0j0}^{j} = 4πGρ → R_{0μ0}^{μ} = 4πGρ. We bevinden ons nog steeds in het LLF (overigens geldt hier R_{00} = 4πGρ met R_{00} de Ricci tensor, maar dat terzijde).

Er is nog een probleem met vergelijking (365): links van het gelijkteken hebben we twee indices en rechts ervan geen enkele. Je zou dus misschien kunnen denken dat geldt

R_{αβ} = 4πGT_{αβ} ?  (366)

Hierbij is T_{αβ} de energie-impuls tensor, waarvan T_{00} = ρ (en dat is overigens vaak de dominerende term in het LLF). Einstein maakte deze gok al in 1912, maar hij is fout! Deze vergelijkingen hebben ingebouwde inconsistenties. Het is belangrijk om te begrijpen wat er mis is, en dat komt neer op het volgende. Beschouw de riemanntensor

R_{αβγ}^{δ} ≈ g_{αβ,γδ} + niet lineaire termen.  (367)

Als we de eerste en derde index contraheren, krijgen we

R_{αβ} ≈ g_{γα,γδ} + niet lineaire termen.  (368)

We zien hiermee dat de voorgestelde vergelijkingen (366) een verzameling vormen van 10 partiële differentiaalvergelijkingen voor de 10 componenten van de metriek g_{αβ} (merk op dat de metriek symmetrisch is in α en β). Ook de Ricci tensor is symmetrisch. Dat lijkt allemaal prima, maar we hebben de vrijheid om zelf het coördinatenstelsel te kiezen waarin we de vergelijkingen gaan opschrijven. We hebben de vrijheid om x^{0}(P), x^{1}(P), x^{2}(P) en x^{3}(P) te kiezen. We kunnen dat gebruiken om 4 van de 10 componenten van g_{αβ}, zoals gezien als functie van de coördinaten, gelijk te zetten aan wat we willen, bijvoorbeeld g_{00} = −1, g_{01} = g_{02} = g_{03} = 0. Echter, onze vergelijkingen (366) staan dit niet toe: 10 partiële differentiaalvergelijkingen voor 10 onbekenden. Wat we nodig hebben, zijn 6 vergelijkingen voor 10 onbekenden.

Voordat we onze speurtocht naar de einsteinvergelijkingen voortzetten, maken we eerst twee opmerkingen. De eerste opmerking heeft te maken met de Biancchi indentiteiten. Dankzij deze indentiteiten R_{αβγδ;ϵ} + ... = 0 blijkt dat als we de einsteintensor definiëren,

G_{αβ} ≡ R_{αβ} − \frac{1}{2}Rg_{αβ},  (369)

met R_{αβ} de riccitensor en R de scalaire kromming, dan zorgen de Biancchi indentiteiten ervoor dat de divergentie van de einsteintensor gelijk is aan nul,

G_{;β}^{αβ} = 0.  (370)

De tweede opmerking heeft te maken met de ons bekende behoudswetten voor energie en impuls. In een LLF geldt

T _{,β}^{αβ} = 0 \{ \begin{matrix}\frac{∂T^{00}}{∂t} + \frac{∂T^{0j}}{∂x^{j}} & = & 0, \\ \frac{∂T^{j0}}{∂t} + \frac{∂T^{jk}}{∂x^{k}} & = & 0. \end{matrix}  (371)

Merk op dat \frac{∂T^{0j}}{∂x^{j}} de ruimtelijke divergentie is en energiebehoud zegt ∂ρ/∂t+divJ⃗ = 0, met J⃗ de massa-energieflux. Evenzo is \frac{∂T^{j0}}{∂t} de impulsdichtheid en \frac{∂T^{jk}}{∂x^{k}} de impulsflux. Omdat we enkel de eerste afgeleide nemen, is wat geldt in een vlakke ruimte in het LLF, ook geldig voor gekromde ruimtetijd. Hiermee vinden we de tensorvergelijking

T _{;β}^{αβ} = 0.  (372)

Het lijkt redelijk om aan te nemen dat de natuur gekozen heeft voor

G^{αβ} = \frac{8πG}{c^{4}}T^{αβ}.  (373)

Dit zijn de einsteinvergelijkingen. De evenredigheidsfactor (8πG/c^{4}) vinden we door de newtoniaanse limiet te nemen. Voordat je de einsteinvergelijkingen oplegt, weet je al dat

G_{;β}^{αβ} = 0 = \frac{8πG}{c^{4}}T _{;β}^{αβ}.  (374)

Dit zijn 4 vergelijkingen en het zijn de afgeleiden van de einsteinvergelijkingen. Aan deze 4 identiteiten (de divergentie van G^{αβ} en T^{αβ} zijn nul) wordt al voldaan. Dit legt 4 beperkingen op aan de einsteinvergelijkingen (ook wel de veldvergelijkingen genoemd) en de veldvergelijkingen geven slechts 6 nieuwe stukken informatie. Dat is precies wat we nodig hebben.

7.7 Zwakke gravitatievelden en de newtoniaanse limiet

Het is duidelijk dat de ART beschrijving van gravitatie in termen van kromming van ruimtetijd reduceert tot de SRT voor lokale lorentzframes. Het is echter belangrijk om expliciet te controleren dat de beschrijving reduceert tot de newtoniaanse beschrijving als we de correcte randvoorwaarden bezien.

Zonder gravitatie heeft ruimtetijd de minkowskimetriek. Derhalve zullen zwakke gravitatievelden overeenkomen met een geringe kromming van ruimtetijd. We nemen aan dat er coördinaten bestaan, waarin de metriek de volgende vorm heeft,

g_{μν} = η_{μν} + h_{μν} met |h_{μν}| ≪ 1.  (375)

Verder nemen we aan dat in dat coördinatenstelsel de metriek stationair is, waardoor geldt ∂_{0}g_{μν} = 0. De wereldlijn van een vrijvallend deeltje wordt gegeven door de geodetische vergelijking

\frac{d^{2}x^{μ}}{dτ^{2}} + Γ_{νσ}^{μ} \frac{dx^{ν}}{dτ} \frac{dx^{σ}}{dτ} = 0.  (376)

We nemen aan dat het deeltje langzaam beweegt (niet-relativistisch), zodat voor de componenten van de driesnelheid geldt dx^{i}/dt ≪ c (i = 1, 2, 3), met t gedefinieerd via x^{0} = ct. Hiermee eisen we voor i = 1, 2, 3

\frac{dx^{i}}{dτ} ≪ \frac{dx^{0}}{dτ} .  (377)

We mogen de driesnelheid verwaarlozen en vinden

\frac{d^{2}x^{μ}}{dτ^{2}} + Γ_{00}^{μ}c^{2} (\frac{dt}{dτ} )^{2} .  (378)

We gebruiken vergelijking (303) en vinden

Γ_{00}^{μ} = \frac{1}{2}g^{κμ}(∂_{0}g_{0κ} + ∂_{0}g_{0κ} − ∂_{κ}g_{00}) = −\frac{1}{2}g^{κμ}∂_{κ}g_{00} = −\frac{1}{2}η^{κμ}∂_{κ}h_{00},  (379)

waarbij we vergelijking (375) hebben gebruikt. De laatste gelijkheid is geldig tot op eerste orde in h_{μν}. Omdat we hebben aangenomen dat de metriek stationair is geldt

Γ_{00}^{0} = 0 en Γ_{00}^{i} = \frac{1}{2}δ^{ij}∂_{j}h_{00} met i = 1, 2, 3.  (380)

Invullen in vergelijking (378) levert

\frac{d^{2}t}{dτ^{2}} = 0 en \frac{d^{2}x⃗}{dτ^{2}} = −\frac{1}{2}c^{2} (\frac{dt}{dτ} )^{2} ∇h_{00}.  (381)

De eerste vergelijking stelt dat dt/dτ = constant, en hiermee kunnen we de twee uitdrukkingen combineren. Dat geeft de volgende bewegingsvergelijking voor het deeltje,

\frac{d^{2}x⃗}{dt^{2}} = −\frac{1}{2}c^{2}∇h_{00}.  (382)

Als we deze uitdrukking vergelijken met de newtoniaanse uitdrukking voor de beweging van een deeltje in een gravitatieveld, formule (15), dan zien we dat beide identiek zijn, als we de identificatie maken dat h_{00} = 2Φ/c^{2}. We vinden dat voor een langzaam bewegend deeltje de ART overgaat in de newtoniaanse beschrijving, als we de metriek gegeven wordt door

g_{00} = 1 + h_{00} = (1 + \frac{2Φ}{c^{2}}) .  (383)

We kunnen een schatting maken van deze correctie op de minkowskimetriek, want \frac{Φ}{c^{2}} = −\frac{GM}{c^{2}r} en we vinden −10^{−9} aan het aardoppervlak, −10^{−6} aan het oppervlak van de zon, en −10^{−4} aan het oppervlak van een witte dwerg. We zien dat de zwakke-veld limiet een uitstekende benadering is.

Vergelijking (383) toont dat ruimtetijdkromming ervoor zorgt dat de tijdcoördinaat t in het algemeen niet de eigentijd meet. Hiertoe nemen we een klok die in rust is op een bepaald punt in ons coördinatensysteem (dan geldt dx^{i}/dt = 0). Het eigentijd interval dτ tussen twee tikken van deze klok wordt gegeven door c^{2}dτ^{2} = g_{μν}dx^{μ}dx^{ν} = g_{00}c^{2}dt^{2}, waarmee we vinden

dτ = (1 + \frac{2Φ}{c^{2}})^{\frac{1}{2}} dt.  (384)

Dit geeft het interval in eigentijd dτ dat correspondeert met een interval dt in coördinatentijd voor een stationaire waarnemer in de buurt van een massief object, in een gebied met gravitatie potentiaal Φ, Omdat Φ negatief is, is dit eigentijd interval korter dan het corresponderende interval voor een stationaire waarnemer op grote afstand van het object, waar Φ → 0 en dus dτ = dt. Merk op dat we dit reeds hebben afgeleid uit het equivalentieprincipe; zie vergelijking (9) met Φ = gh.

Figuur 53: Banen van een bal en een kogel door de ruimte. Gezien vanuit een laboratorium hebben de banen een verschillende kromming.

Het ruimtetijdinterval wordt gegeven door

ds^{2} = − (1 + \frac{2Φ}{c^{2}}) (cdt)^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}.  (385)

Deze vergelijking beschrijft een geometrie van ruimtetijd waarin deeltjes op geodeten bewegen die precies dezelfde banen volgen als die van deeltjes in een vlakke ruimtetijd waarin de newtoniaanse gravitatiekracht actief is. We hebben hiermee in gekromde ruimtetijd beeld gevonden voor Newton’s gravitatie. De kromming is enkel in de tijdrichting. Kromming in de tijd is niets anders dan de gravitationele roodverschuiving: tijd schrijdt voort met verschillende snelheid op verschillende plaatsen, derhalve is tijd gekromd. Deze gravitationele roodverschuiving bepaalt volledig de banen van deeltjes in een gravitatieveld. De gehele newtoniaanse gravitatie is enkel tijdkromming.

Wellicht gaat het bovenstaande tegen ons gevoel in. Immers niets lijkt zo vanzelfsprekend als het idee dat gravitatie een manifestatie is van kromming van de ruimte. Kijk bijvoorbeeld naar de banen van twee objecten in de ruimte, zoals getoond in Fig. 53. Een van de objecten is een bal die met een relatief lage snelheid van 5 m/s beweegt en een hoogte bereikt van 5 m. Het andere object is de kogel uit een geweer. Deze kogel beweegt met hoge snelheid (500 m/s). Als we de figuur bekijken, dan lijkt de baan van de bal sterker gekromd dan die van de kogel.

Het punt is echter dat we niet naar een kromming van de ruimte dienen te kijken, maar naar de kromming van ruimtetijd. Hiertoe tekenen we de banen nogmaals in Fig. 54, maar nu in minkowski ruimtetijd. We zien dat nu de banen van de ballen een gelijke kromming hebben in ruimtetijd. In werkelijkheid heeft echter geen van de banen een kromming! Ze zien er gekromd uit omdat we vergeten zijn dat de ruimtetijd waarin ze getekend zijn, zelf gekromd is. De kromming van ruimtetijd is precies zodanig, dat de banen zelf volledig recht zijn: het zijn immers geodeten.

Figuur 54: Banen van een bal en een kogel door ruimtetijd. Gezien vanuit een laboratorium hebben de banen dezelfde kromming. We vergelijken de baanlengte ten opzichte van de booglengte van de cirkel: (straal) = (horizontale afstand)^{2} / 8(hoogte).

7.8 De zwakke-veld limiet van de einsteinvergelijkingen

De einsteinvergelijkingen (373) stellen dat de einsteintensor evenredig is aan de energie-impuls tensor, G_{μν} = constanteT_{μν}. We willen de evenredigheidsfactor bepalen, door de zwakke-veld limiet te nemen. Hiertoe hoeven we enkel de 00-component te beschouwen. We vinden dan

R_{00} − \frac{1}{2}Rg_{00} = constante(T_{00}).  (386)

In de zwakke-veld limiet is ruimtetijd slechts weinig gekromd en bestaan er coördinaten waarvoor g_{μν} = η_{μν} + h_{μν} met |h_{μν}| ≪ 1, terwijl de metriek stationair is. Er geldt dus g_{00} ≈ 1. Verder kunnen we de definitie (340) van de krommingstensor gebruiken om R_{00} te vinden. Er geldt

R_{00} = ∂_{0}Γ_{0μ}^{μ} − ∂_{μ}Γ_{00}^{μ} + Γ_{0μ}^{ν}Γ_{ν0}^{μ} − Γ_{00}^{ν}Γ_{νμ}^{μ}.  (387)

In ons coördinatenstelsel zijn de Γ_{νσ}^{μ} klein, zodat we de laatste twee terming in eerste-orde in h_{μν} kunnen verwaarlozen. Ook is de metriek stationair in ons coördinatenstelsel, en vinden we

R_{00} ≈ −∂_{i}Γ_{00}^{i}.  (388)

In onze discussie van de newtoniaanse limiet, hebben we in vergelijking (380) gevonden dat Γ_{00}^{i} ≈ \frac{1}{2}δ^{ij}∂_{j}h_{00} in eerste-orde in h_{μν}. Dus geldt

R_{00} ≈ −\frac{1}{2}δ^{ij}∂_{i}∂_{j}h_{00}.  (389)

We kunnen nu onze benaderingen voor g_{00} en R_{00} substitueren in vergelijking (386) en vinden in de zwakke-veld limiet

\frac{1}{2}δ^{ij}∂_{i}∂_{j}h_{00} ≈ constante (T_{00} − \frac{1}{2}T).  (390)

We hebben hierbij gebruikt dat R = constante T met T ≡ T_{μ}^{μ}, door vergelijking (373) met gemengde componenten te schrijven, R_{ν}^{μ} − \frac{1}{2}δ_{ν}^{μ}R = constante T_{ν}^{μ}, en deze te contraheren door μ = ν te stellen (merk op dat δ_{μ}^{μ} = 4).

Om voortgang te kunnen maken, moeten we nu iets aannemen over de soort materie die het zwakke gravitationele veld produceert. We nemen hiervoor een perfecte vloeistof. Voor de meeste klassieke materieverdelingen geldt P/c^{2} ≪ ρ en we kunnen de energie-impuls tensor voor stof nemen. Er geldt

T_{μν} = ρU_{μ}U_{ν},  (391)

en hiermee vinden we T = ρc^{2}. Verder nemen we aan dat de deeltjes die de vloeistof vormen, snelheden U⃗ hebben die in ons coördinatenstelsel klein zijn ten opzichte van c. We doen de aanname γ_{U} ≈ 1 en dus U_{0} ≈ c. Vergelijking (390) reduceert dan tot

\frac{1}{2}δ^{ij}∂_{i}∂_{j}h_{00} ≈ \frac{1}{2}constante ρc^{2}.  (392)

We merken op dat δ^{ij}∂_{i}∂_{j}∇^{2}. Verder hebben we met vergelijking (383) h_{00} = 2Φ/c^{2}, met Φ de gravitatiepotentiaal. Als we de evenredigheidsconstante nu kiezen als constante = 8πG/c^{4}, dan vinden we de poissonvergelijking voor newtoniaanse gravitatie (zie ook vergelijking (18))

∇^{2}Φ ≈ 4πGρ.  (393)

Deze identificatie verifieert onze aanname dat de evenredigheidsfactor tussen de einsteintensor en de energie-impuls tensor gelijk is aan 8πG/c^{4}.

7.9 De kosmologische constante

De einsteinvergelijkingen (373) zijn niet uniek. Einstein ontdekte al snel dat hij het niet mogelijk bleek om een statisch model van het universum te construeren op basis van de veldvergelijkingen. Deze vergelijkingen geven altijd oplossingen die corresponderen met een expanderend of contraherend heelal. Toen Einstein dit werk in 1916 uitvoerde was enkel onze melkweg bekend, en dat lijkt op een uniforme verdeling van vaste sterren. Door het invoeren van de kosmologische constante Λ was Einstein in staat om statische modellen van het universum te creëren (maar die blijken allemaal instabiel te zijn). Later werd ingezien dat de melkweg slechts één van de vele sterrenstelsels is, terwijl in 1929 Edwin Hubble de uitdijing van het universum ontdekte. Hij bepaalde de afstanden en roodverschuivingen van nabij gelegen sterrenstelsels en zag dat het universum expandeert; zie Fig. 55. De kosmologische constante bleek niet nodig te zijn. Sterker nog, als Einstein meer vertrouwen had gehad in zijn vergelijkingen, had hij deze expansie van het universum kunnen voorspellen. Tegenwoordig hebben we een andere kijk op deze zaak, maar daarover later meer.

Wat Einstein deed was het volgende. We weten dat ∇_{μ}G_{μν} = 0 en ook ∇_{μ}T_{μν} = 0. Verder hebben we in vergelijkingen (290) en (310) gezien dat ook ∇_{μ}g^{μν} = 0. We mogen elke constante veelvoud van g_{μν} optellen bij G_{μν} en krijgen dan nog steeds een consistente verzameling veldvergelijkingen. Het is gebruikelijk om de evenredigheidsconstante aan te duiden met Λ, en we vinden dan

R_{μν} − \frac{1}{2}g_{μν}R + Λg_{μν} = \frac{8πG}{c^{4}}T_{μν},  (394)

waarbij Λ een nieuwe universele natuurconstante is, die we de kosmologische constante noemen. Wat we hiermee opgeven is dat de ‘gemodificeerde einsteintensor’ ‘G′_{μν} = G_{μν} + Λg_{μν} niet meer gelijk is aan nul als ruimtetijd vlak is! Verder is G_{μν} niet meer een rechtstreekse maat voor kromming.

Figuur 55: Links: de snelheid van een sterrenstelsel is te bepalen uit het dopplereffect. De afstand wordt bepaald uit de helderheid van standaardkaarsen; rechts: het blijkt dat sterrenstelsels sneller van ons af bewegen naarmate ze verder weg staan. De hubbleconstante is H_{0} = 72 km/s/Mpc. Sterrenstelsels bewegen door de ruimte, maar met ‘drijven’ als het ware met de ruimte mee.

Door vergelijking (394) weer met gemengde indices te schrijven en te contraheren vinden we R = \frac{8πG}{c^{4}}T + 4Λ. Invullen in vergelijking (394) levert

R_{μν} = \frac{8πG}{c^{4}} (T_{μν} − \frac{1}{2}T g_{μν}) + Λg_{μν}.  (395)

We volgen nu dezelfde procedure als in hoofdstuk 7.8 en vinden de veldvergelijkingen in de zwakke-veld limiet voor newtoniaanse gravitatie,

∇^{2}Φ = 4πGρ − Λc^{2}.  (396)

Voor een sferische massa M vinden we het gravitatieveld

g⃗ = ∇Φ = −\frac{3GM}{2r^{2}} r̂ + c^{2}Λrr̂,  (397)

en we zien dat de kosmologische term correspondeert met een gravitationele afstoting, waarvan de sterkte evenredig met r toeneemt.

Tegenwoordig hebben we een andere kijk op de kosmologische constante. Merk op dat de energieimpuls tensor van een perfecte vloeistof gegeven wordt door

T^{μν} = (ρ + \frac{P}{c^{2}} ) U^{μ}U^{ν} − P g^{μν}.  (398)

We stellen ons voor dat er een bepaalde ‘substantie’ is met een vreemde toestandsvergelijking P − ρc^{2}. Een dergelijke substantie is iets wat we nog niet zijn tegengekomen, omdat het een negatieve druk heeft! De energie-impuls tensor voor deze substantie is

T_{μν} = −P g_{μν} = ρc^{2}g_{μν}.  (399)

Hierbij dienen we het volgende op te merken. Allereerst hangt de energie-impuls tensor voor deze vreemde substantie enkel van de metrische tensor af: het is derhalve een eigenschap van het vacuum zelf en we noemen ρ de energiedichtheid van het vacuum. Ten tweede, de vorm van T_{μν} is hetzelfde als die van de constante kosmologische term in vergelijking (394). We kunnen de kosmologische constante dus zien als een universele constante die de energiedichtheid van het vacuum bepaalt,

ρ_{vacuum}c^{2} = \frac{Λc^{4}}{8πG}.  (400)

Als we de energie-impuls tensor van het vacuum aanduiden met T_{μν}^{vacuum} = ρ_{vacuum}c^{2}g_{μν}, kunnen we de gemodificeerde veldvergelijkingen schrijven als

R_{μν} − \frac{1}{2}Rg_{μν} = \frac{8πG}{c^{4}} (T_{μν} + T_{μν}^{vacuum}) ,  (401)

met T_{μν} de energie-impuls tensor van de aanwezige materie of straling.

Als Λ ≠ 0, dan dient hij op zijn minst zó klein te zijn dat ρ_{vacuum} verwaarloosbare gravitationele effecten heeft (|ρ_{vacuum}| < ρ_{materie} voor gevallen waarbij de newtoniaanse gravitatietheorie een goede beschrijving van de meetgegevens geeft. De systemen met kleinste dichtheid waarop de wetten van Newton worden toegepast, zijn kleine clusters van sterrenstelsels. Hiermee kunnen we de volgende limiet plaatsen

|ρ_{vacuum}c^{2}| = |\frac{Λc^{4}}{8πG}| ≤ ρ_{cluster} ∼ 10^{−29} g/cm^{−3}  (402)

op de waarde van de kosmologische parameter. Het is evident dat Λ zó klein is, dat hij volledig onbelangrijk is op de schaal van een ster.

Figuur 56: De historie van de expansie van het universum. In het verleden was het effect van de massadichtheid belangrijker dan dat van de kosmologische constante en vertraagde de expansie van het universum. Echter als het volume van het universum toeneemt, dan neemt de dichtheid af. Het effect van de vacuumenergie is constant. Als het volume groot genoeg wordt, dan zal het universum voor altijd expanderen.

Hoe kunnen we de energiedichtheid van het vacuum berekenen? De eenvoudigste berekeningen sommeren de quantummechanische nulpuntsenergie van alle in de natuur bekende velden op.

Het antwoord dat gevonden wordt is ongeveer 120 ordes van grootte hoger dan de bovengrens op Λ die we net bepaald hebben. Dit is niet begrepen en er dient een fysisch mechanisme te bestaan dat de kosmologische constante klein maakt. Recente meetgegevens duiden erop dat de kosmologische constante niet precies gelijk is aan nul. De sterkste aanwijzing komt van metingen aan verre Type Ia supernovae, die zeggen dat de expansie van het universum op dit moment toeneemt. Dit wordt getoond in Fig. 56. Zonder kosmologische constante verwachten we dat door de aantrekkende kracht van alle materie in het universum, de expansie zou vertragen en misschien zelfs aanleiding zou geven voor een contractie van het universum. Als de kosmologische constante echter van nul verschilt, kan de negatieve druk van het vacuum veroorzaken dat het universum versnelt uitdijt.

7.10 Alternatieve relativistische theorieën voor gravitatie

De einsteinvergelijkingen zijn niet uniek, zoals we gezien hebben in de vorige sectie. Het is ook mogelijk om radicaal nieuwe gravitatietheorieën te construeren. We bespreken in het volgende een aantal.

7.10.1 Scalaire gravitatietheorieën

In de newtoniaanse beschrijving van gravitie wordt het gravitatieveld voorgesteld door de scalar Φ. Dit veld voldoet aan de poissonvergelijking ∇^{2}Φ = 4πGρ. Omdat materie relativistisch wordt beschreven door de energie-impuls tensor T_{μν}, is de enige scalar met de dimensie massadichtheid die we kunnen maken T_{μ}^{μ}. Verder zijn plaats en tijd onderdeel van de viervector x^{μ} en nemen we ook de afgeleide naar de tijd mee (via □^{2} ≡ ∇^{μ}∇_{μ} = −∂_{ct} + ∇^{2}). Een consistente scalaire relativistische theorie van gravitatie wordt gegeven door de veldvergelijking

□^{2}Φ = −\frac{4πG}{c^{2}}T_{μ}^{μ}.  (403)

Deze theorie is echter onjuist gebleken (en voorspelde onder andere niet waargenomen effecten op de baan van mercurius). Verder is er geen koppeling tussen gravitatie en elektromagnetisme, waardoor we geen gravitationele roodverschuiving hebben als afbuiging van licht door materie.

7.10.2 Brans - Dicke theorie

Een gravitatietheorie gebaseerd op een vectorveld kan worden uitgesloten, omdat een dergelijke theorie voorspelt dat massieve deeltjes elkaar zullen afstoten in plaats van aantrekken. Het is wel mogelijk om relativistische theorieën te formuleren met combinaties van scalaire, vector en tensorvelden. De meest belangrijke van dit soort theorieën is die van Robert Dicke en Carl Brans uit 1961. Brans en Dicke gingen in de formulering van hun theorie ook uit van het equivalentieprincipe en verkregen op die wijze ook een beschrijving van gravitatie in termen van kromming van ruimtetijd. In plaats van de gravitatieconstante G te behandelen als een natuurconstante, introduceerden ze een scalairveld ϕ dat de sterkte van G bepaalt. Dit wil zeggen dat het scalaire veld ϕ de sterkte van de koppeling van materie aan gravitatie bepaalt. De gekoppelde vergelijkingen voor het scalaire veld en het gravitatieveld kunnen geschreven worden als

\begin{aligned}□^{2}ϕ & = & −4πλ (T^{M})_{μ}^{μ} , \\ R_{μν} − \frac{1}{2}g_{μν}R & = & \frac{8π}{c^{4}ϕ} (T_{μν}^{M} + T_{μν}^{ϕ}) . \end{aligned}  (404)

We zien dat de effecten van materie worden voorgesteld door de energie-impuls tensor T_{μν}^{M} en een koppelingsconstante λ die het scalaire veld bepaalt. Het scalaire veld bepaalt de waarde van G en de veldvergelijkingen relateren de kromming aan de energie-impuls tensoren van het scalaire veld T_{μν}^{ϕ} en de materie T_{μν}^{M}. Historisch wordt de koppelingsconstante geschreven als λ = 2/(3 + 2ω). In de limiet ω → ∞ vinden we λ → 0, en wordt ϕ niet beïnvloed door de massaverdeling. We kunnen ϕ dan gelijkstellen aan ϕ = 1/G. In de limiet ω → 0 gaat T_{μν}^{ϕ} → 0 en reduceert de Brans-Dicke theorie tot die van Einstein.

De Brans-Dicke theorie is belangrijk, omdat hij laat zien dat men alternatieve theorieën kan ontwikkelen die consistent zijn met het equivalentieprincipe. Een van de voorspellingen van de Brans-Dicke theorie is dat de effectieve gravitatieconstante G een functie van de tijd kan zijn en bepaald wordt door het scalaire veld ϕ. Een verandering in G zou de banen van planeten beïnvloeden en een redelijke convervatieve conclusie van meetgegevens zegt dat ω ≥ 500. Daarmee lijkt Einstein’s theorie de correcte theorie voor gravitatie, althans voor lage energieën.

7.10.3 Torsietheorieën

In onze discussie van gekromde ruimtetijd hebben we aangenomen dat de variëteit geen torsie heeft. Dit is geen noodzakelijke eis, en we kunnen de discussie van ruimtetijd generaliseren met een torsietensor,

T _{νσ}^{μ} = Γ_{νσ}^{μ} − Γ_{σν}^{μ},  (405)

die niet gelijk is aan nul. Typisch wordt torsie veroorzaakt door de quantummechanische spin van deeltjes. Dergelijke theorieën zijn wiskundig gecompliceerd. Gravitatietheorieën met ruimtetijd torsie worden vaak Einstein-Cartan theorieën genoemd en zijn uitvoerig onderzocht.

8 KOSMOLOGIE 138

8 Kosmologie

Friedmann et al.

9 INFLATIE 139

9 Inflatie^{Guth et al.}

10 GRAVITATIESTRALING 140

10 Gravitatiestraling

Friedmann et al.

11 DETECTIE VAN GRAVITATIESTRALING 141

11 Detectie van gravitatiestraling

Friedmann et al.

A Appendix - Meetkunde

Het begrip differentieerbare variëteit komt voort uit het werk van Gauss en Riemann. In de ‘Elementen’ van Euclides wordt de meetkunde opgebouwd uitgaande van postulaten en axioma’s. Eén van deze postulaten, het vijfde, lijkt minder vanzelfsprekend dan de overige, en men heeft in de loop der eeuwen gepoogd dit postulaat te bewijzen met behulp van de andere postulaten. Het vijfde postulaat stelt het volgende: laat l_{1} en l_{2} rechten zijn die de rechte l snijden met hoeken β en α, dan impliceert α + β < 180^{∘} dat l_{1} en l_{2} elkaar snijden, aan die kant van de rechte l waar ook de hoeken β en α liggen. Er is een aantal equivalente formuleringen van het vijfde postulaat. Twee ervan luiden als volgt:

• Door een punt P buiten een rechte l is precies één rechte te trekken die l niet snijdt (parallellenpostulaat).

• De som van de hoeken van een driehoek is 180^{∘}.

De pogingen om het parallellenpostulaat te bewijzen uit de overige faalden alle en gaandeweg kwam met tot het inzicht dat meetkunde waarbij het parallellenpostulaat niet geldig is tot de logische mogelijkheden behoort. Een dergelijke meetkunde heet een niet-euclidische meetkunde.

A.1 Niet-euclidische meetkunde

Uit brieven blijkt dat C.F. Gauss (1777 - 1855) al in 1824 een vergaand inzicht in de nieteuclidische meetkunde had. Hij maakte dit echter niet publiek omdat hij hiervan teveel opschudding verwachtte. De niet-euclidische meetkunde werd ook onafhankelijk door J. Bolyai (1802 - 1860) en N.I. Lobachevski (1793 - 1856) geformuleerd.

Figuur 57: De raakvector in een punt van een kromme. Voor Δλ → 0 naders \frac{Δr⃗}{Δλ} tot de raakvector.

Fig. 57 toont dat een kromme is voor te stellen door de vergelijking r⃗ = r⃗(λ), met λ de parameter van de kromme. Voor de componenten (x, y, z) van de vector r⃗ geldt x = x(λ), y = y(λ) en z = z(λ). Een raakvector aan de kromme wordt gegeven door

\frac{dr⃗}{dλ} = lim_{Δλ→0} \frac{r⃗(λ + Δλ) − r⃗(λ)}{Δλ}.  (406)

De booglengte langs de kromme tussen de punten r⃗(λ_{1}) en r⃗(λ_{2}) wordt gegeven door

s ≡ ∫_{r⃗(λ_{1})}^{r⃗(λ_{2})} |dr⃗| = ∫_{λ_{2}}^{λ_{1}} |\frac{dr⃗}{dλ}| dλ = ∫_{λ_{1}}^{λ_{2}} \sqrt{\frac{dr⃗}{dλ} · \frac{dr⃗}{dλ}}dλ.  (407)

De booglengte s tot een vast punt op de kromme is ook te gebruiken als parameter in plaats van λ, immer s = s(λ). Men schrijft r⃗ = r⃗(s), en de raakvector is dan

t⃗ ≡ \frac{dr⃗}{ds}.  (408)

Merk op dat dit een eenheidsvector is, t⃗· t⃗ = \frac{dr⃗}{ds} · \frac{dr⃗}{ds} = 1, omdat (ds)^{2} = dr⃗ · dr⃗. Uit t⃗· t⃗ = 1 volgt door differentiatie naar s, dat t⃗· ṫ = 0, zodat ṫ = \frac{dt⃗}{ds} loodrecht op t⃗, dus op de raaklijn staat. De hoofdnormaal n⃗ is per definitie de eenheidsvector in de richting van ṫ, dus

ṫ = κn⃗  met κ = κ(s).  (409)

Uit het bovenstaande volgt t⃗ · n⃗ = 0 en uit vergelijking (409) met n^{2} = 1, dat κ = |ṫ|, waarbij κ

de kromming van de curve is. Tenslotte wordt de binormaal b⃗ gedefinieerd door

b⃗ = t⃗ × n⃗.  (410)

Fig. 58 toont dat in ieder punt r⃗(s) van de kromme er nu een drietal vectoren t⃗, n⃗, b⃗ bestaat.

Figuur 58: Meebewegend orthonormaal coördinatenstelsel {t⃗, n⃗, b⃗} van een kromme. De triade bestaat uit de tangentvector t⃗, de normaalvector n⃗ en de binormaalvector b⃗.

Dit stelsel heet de meebewegende triade. Ze vormen een orthonormaal stelsel.

Uit vergelijking (410) volgt b⃗·t⃗ = 0. Differentiatie naar s geeft, met vergelijkingen (409) en (410)

0 = ḃ · t⃗ + b⃗ · ṫ = ḃ · t⃗ + κb⃗ · n⃗ = ḃ · t⃗.  (411)

Uit b⃗ · b⃗ = 1 volgt ḃ · b⃗ = 0 en we zien dat ḃ parallel is aan vector n⃗. Men definieert τ = τ(s) met ḃ = −τn⃗, waarbij τ de torsie van de kromme wordt genoemd. Tenslotte volgt uit n⃗ = b⃗ × t⃗ dat

ṅ = ḃ × t⃗ + b⃗ × ṫ = −τn⃗ × t⃗ + κb⃗ × n⃗ = τb⃗ − κt⃗.  (412)

Samenvattend geldt

\begin{aligned}ṫ & = & & κn⃗ \\ ṅ & = & −κt⃗ & & +τb⃗ \\ ḃ & = & & −τn⃗ \end{aligned}  (413)

en dit zijn de formules van Frenet (1847) en Serret (1850). Een gevolg hiervan is dat bij gegeven kromming en torsie door integratie van deze eerste-orde differentiaalvergelijkingen de kromme op een verplaatsing na (integratieconstanten) vastligt.

Figuur 59: Kromme door punt P in het oppervlak Σ. Beschouw alle krommen door P. De verzameling van alle raakvectoren in P van al deze krommen vormt de tangentenvectorruimte T_{P}.

Vervolgens beschouwen we gebogen oppervlakken in E^{3}. In de tijd voor Gauss werd een gebogen oppervlak voorgesteld door z = f(x, y) of w(x, y, z) = 0. In het bijzonder kan men krommen in een dergelijk oppervlak beschouwen en voor deze krommen kan men uiteraard de bovenstaande begrippen invoeren. Fig. 59 toont dat γ een kromme in het oppervlak Σ is met P een punt op γ. Dan heeft γ een raakvector \frac{dr⃗}{dλ} in het punt P. Beschouw nu alle mogelijke krommen in Σ door P, dan vormt de verzameling van alle bijbehorende raakvectoren \frac{dr⃗}{dλ} een twee-dimensionale vectorruimte T_{P}, de raakvectorruimte, tangentenvectorruimte of raakvlak genoemd. De normaal n⃗ in P op het oppervlak Σ is de eenheidsvector in P loodrecht op T_{P}. Het volgende resultaat was reeds vóór Gauss bekend.

Figuur 60: Door P gaat een vlak X dat normaalvector n⃗ bevat. Het vlak X snijdt gebogen oppervlak Σ langs curve γ. De eenheidsvector t⃗ is tangentiaal aan γ en geeft de richting van deze snede. De vector t⃗ ligt in het tangentenvlak T_{P}.

\underline{Stelling van Euler (1760):} Zij P een punt van het oppervlak Σ en zij n⃗ de normaal in P op Σ (zie Fig. 60). Zij X een vlak door n⃗ en zij γ de doorsnijding van X en Σ (dit is een kromme) en laat κ de kromming van γ in P zijn. Dan bestaat er een vlak X_{1} (respectievelijk X_{2}) door n⃗ waarvoor κ_{γ} maximaal (respectievelijk minimaal) is en men noemt deze kromming dan κ_{1} (respectievelijk κ_{2}). Als het vlak X een hoek θ maakt met X_{1}, dan geldt

κ_{γ} = κ_{1} cos^{2} θ + κ_{2} sin^{2} θ.  (414)

De krommingen κ_{1} en κ_{2} heten de hoofdkrommingen. Fig. 61 geeft een beeld van de kromming van ruimte met negatieve kromming (dit lijkt op een zadeloppervlak). De theorie van de gebogen

Figuur 61: Schets van een gebogen oppervlak waarbij de vlakken met hoofdkrommingen zijn aangegeven, evenals het tangentenvlak.

oppervlakken werd aanzienlijk verder ontwikkeld door C.F. Gauss in zijn artikel ‘Disquisitiones generales circa superficies curvas’ uit 1827. Gauss beschreef hierin een oppervlak met behulp van de parametervoorstelling x = x(u, v), y = y(u, v) en z = z(u, v) of samengevat r⃗ = r⃗(u, v) en zoals Fig. 62 toont ontstaan hiermee op het oppervlak krommen u = constant en v = constant. We benadrukken dat een punt op het oppervlak Σ wordt vastgelegd door twee reële parameters u en v, namelijk r⃗ = r⃗(u, v). Een kromme r⃗ = r⃗(λ) in het oppervlak Σ is dus ook te geven door

Figuur 62: Coördinaten van Gauss voor de beschrijving van een gebogen oppervlak.

een parametervoorstelling u = u(λ) en v = v(λ). De afstand ds tussen twee infinitesimaal van elkaar verwijderde punten r⃗(u, v) en r⃗(u + du, v + dv) wordt gegeven door (ds)^{2} = dr⃗ · dr⃗ met

dr⃗ = r⃗(u + du, v + dv) − r⃗(u, v) = \frac{∂r⃗}{∂u}du + \frac{∂r⃗}{∂v} dv = r⃗_{u}du + r⃗_{v}dv.  (415)

We vinden hiermee voor de afstand

(ds)^{2} = (r⃗_{u}du + r⃗_{v}dv) · (r⃗_{u}du + r⃗_{v}dv) = r⃗_{u} · r⃗_{u}(du)^{2} + 2r⃗_{u} · r⃗_{v}dudv + r⃗_{v} · r⃗_{v}(dv)^{2}.  (416)

Met de traditionele afkortingen E ≡ r⃗_{u} · r⃗_{u}, F ≡ r⃗_{u} · r⃗_{v} en G ≡ r⃗_{v} · r⃗_{v} vinden we

(ds)^{2} = E(du)^{2} + 2F dudv + G(dv)^{2},  (417)

met E, F en G functies van u en v. Deze kwadratische vorm voor (ds)^{2} heet de eerste fundamentaalvorm of de metriek. Als het oppervlak Σ een plat vlak is dan geldt bijvoorbeeld

(ds)^{2} = (dx)^{2} + (dy)^{2} = (dr)^{2} + r^{2}(dϕ)^{2},  (418)

naar gelang men voor (u, v) cartesische coördinaten of poolcoördinaten kiest. Tegenwoordig noteert men voor (u, v) ook wel (x^{1}, x^{2}), dus

(ds)^{2} = ∑_{i,j=1}^{2} g_{ij}dx^{i}dx^{j},  g_{ij} = g_{i,j}(x^{1}, x^{2}),  (419)

met

g_{11}(x^{1}, x^{2}) ≡ E(x^{1}, x^{2}) = e⃗_{1} · e⃗_{1}, g_{12} = g_{21} ≡ F = e⃗_{1} · e⃗_{2}, en g_{22} ≡ G = e⃗_{2} · e⃗_{2},  (420)

waarbij e⃗_{1} ≡ \frac{∂r⃗}{∂x^{1}} = r⃗_{u} de raakvector aan de coördinaatlijn x^{2} = constant en e⃗_{2} ≡ \frac{∂r⃗}{∂x^{2}} = r⃗_{v} de raakvector aan de coördinaatlijn x^{1} = constant is. Dus g_{ij} = e⃗_{i} · e⃗_{j} = g_{ji}. De vectoren e⃗_{1} en e⃗_{2} vormen een basis van de twee-dimensionale raakvectorruimte in r⃗ = r⃗(u, v) aan Σ. Iedere raakvector in dit punt is een lineaire combinatie van e⃗_{1} en e⃗_{2},

a⃗ = ∑_{i=1}^{2} a^{i}e⃗_{i} en ook b⃗ = ∑_{i=1}^{2} b^{i}e⃗_{i}.  (421)

Voor het inproduct in de raakvectorruimte geldt

a⃗ · b⃗ = ∑_{i=1}^{2} a^{i}e⃗_{i} · ∑_{j=1}^{2} b^{j}e⃗_{j} = a^{1}b^{1}e⃗_{1} · e⃗_{1} + a^{1}b^{2}e⃗_{1} · e⃗_{2} + a^{2}b^{1}e⃗_{2} · e⃗_{1} + a^{2}b^{2}e⃗_{2} · e⃗_{2} = ∑_{i,j=1}^{2} g_{ij}a^{i}b^{j}. (422)

Zij γ een kromme in het oppervlak Σ en laat A en B twee punten op γ zijn, dan definieert men de booglengte s_{γ} langs γ tussen A en B als s_{γ} = ∫_{A}^{B} ds. Als de kromme γ wordt voorgesteld door u = u(λ) en v = v(λ), dan volgt in verband met ds = \frac{ds}{dλ}dλ dat

s_{λ} = ∫_{λ_{A}}^{λ_{B}} \sqrt{E (\frac{du}{dλ})^{2} + 2F (\frac{du}{dλ} \frac{dv}{dλ}) + G (\frac{dv}{dλ})^{2}}dλ = ∫_{λ_{A}}^{λ_{B}} \sqrt{∑_{i,j=1}^{2} g_{ij}(x^{1}, x^{2})\frac{dx^{i}}{dλ} \frac{dx^{j}}{dλ}} dλ.

(423)

Laat A en B twee punten van het oppervlak Σ zijn, dan is de geodeet door A en B die kromme γ in Σ waarvoor de booglengte s_{γ} tussen A en B minimaal (of extremaal) is. In het euclidische vlak is een rechte een geodeet en omgekeerd. Op de bol is een grote cirkel (dit is een cirkel waarvan het vlak door het middelpunt van de bol gaat) een geodeet en omgekeerd. Merk op dat de intrinsieke meetkunde van het oppervlak, dat is de meetkunde van twee-dimensionale wezens die in het oppervlak leven en die geen weet hebben van de drie-dimensionale ruimte, geheel bepaald wordt door de metriek (ds)^{2}. De hoofdkrommingen κ_{1} en κ_{2} van een punt P in Σ zijn intrinsieke eigenschappen van het oppervlak. Dit is eenvoudig in te zien aan de hand van het volgende voorbeeld. Voor een plat vlak (bijvoorbeeld een vel papier) geldt κ_{1} = κ_{2} = 0 en (ds)^{2} = (dx)^{2} + (dy)^{2}. Als het vel papier tot een cylinder wordt gevouwen, dan gebeurt er niets met de metriek, maar κ_{2} wordt ongelijk aan nul. Het opmerkelijke is nu, dat er een combinatie van κ_{1} en κ_{2} bestaat die ongewijzigd blijft bij het vouwen van het papier. Dit is de gausskromming.

\underline{Theorema egregium van Gauss:} De gausskromming κ ≡ κ_{1}κ_{2} is een intrinsieke grootheid, dit wil zeggen geheel bepaald door de metriek, namelijk

κ = −\frac{1}{4W^{4}} | \begin{matrix}E & E_{u} & E_{v} \\ F & F_{u} & F_{v} \\ G & G_{u} & G_{v} \end{matrix} | − \frac{1}{2W} \{\frac{∂}{∂v} (\frac{E_{v} − F_{u}}{W} ) − \frac{∂}{∂u} (\frac{F_{v} − G_{u}}{W} )\} ,  (424)

met W ≡ \sqrt{EG − F^{2}}.

Merk op dat κ slechts afhangt van de metriek via E, F en G en eerste en tweede orde afgeleiden hiervan, waardoor κ inderdaad een intrinsieke grootheid is. De hoofdkrommingen hangen bovendien nog af van de wijze waarop het oppervlak is ingebed in de drie-dimensionale ruimte. De gausskromming is een functie van u en v, κ = κ(u, v). Oppervlakken van constante kromming zijn oppervlakken waarvoor κ(u, v) = constant. Hiervan bestaan drie typen, namelijk

1. het sferische vlak (eenheidsbol) met metriek

(ds)^{2} = (du)^{2} + sin^{2} u(dv)^{2} met κ = +1;  (425)

2. het euclidische vlak (in poolcoördinaten) met metriek

(ds)^{2} = (du)^{2} + u^{2}(dv)^{2} met κ = 0;  (426)

3. het hyperbolische vlak met metriek

(ds)^{2} = (du)^{2} + sinh^{2} u(dv)^{2} met κ = −1.  (427)

Het laatste geval is de niet-euclidische meetkunde van Gauss-Lobachevski-Bolyai.

In het volgende beschouwen we een infinitesimaal parallellogram in Σ (zie Fig. 63). De zijden

Figuur 63: Een infinitesimaal parallellogram in een gebogen oppervlak.

r⃗_{u}du en r⃗_{v}dv resulteren in een oppervlakte dσ = |r⃗_{×}r⃗_{v}| dudv. Merk op dat |a⃗ × b⃗|^{2} = a^{2}b^{2}−(a⃗·b⃗)^{2} omdat sin^{2} χ + cos^{2} χ = 1. Dus volgt

dσ = \sqrt{EG − F^{2}}dudv.  (428)

Figuur 64: Een geodetendriehoek.

De stelling uit de euclidische meetkunde die zegt dat de som van de hoeken van een driehoek π is kan nu worden gegeneraliseerd. Een driehoek in het oppervlak Σ is een drietal punten A, B en C in Σ verbonden door de geodeten tussen puntenparen (zie Fig. 64). Laat t⃗_{1} en t⃗_{2} eenheidsraakvectoren in A zijn aan de twee geodeten (de zijden AB en AC van de geodetendriehoek) door A, dan is de hoek α gedefinieerd met behulp van

cos α = t⃗_{1} · t⃗_{2} = ∑_{i,j=1}^{2} g_{ij}t_{1}^{i}t_{2}^{j}.  (429)

Voor B en C analoog. Dan geldt

α + β + γ − π = ∫ κdσ,  (430)

waarbij de integraal over het oppervlak van de geodetendriehoek wordt uitgevoerd en κ de gausskromming is. In het bijzondere geval van een oppervlak met constante kromming geldt α + β + γ − π = κΔ, waarin Δ het oppervlak van de driehoek is; voor κ = 0 wordt inderdaad het resultaat uit de euclidische meetkunde teruggevonden.

A.2 Riemannse meetkunde

De tweede belangrijke stap in de ontwikkeling van de differentiaalmeetkunde werd gezet door B. Riemann (1826 - 1866) in een colloqium, gehouden op 10 juni 1854, voor de filosofische faculteit van de universiteit van Göttingen, waarvan de titel luidde ‘Ueber die hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen’. Hierin gaf hij aan hoe een twee-dimensionaal gekromd oppervlak kan worden gegeneraliseerd tot ‘eind n fach ausgedehnte Mänigfaltigkeit’ en bovendien introduceerde hij een afstandsbegrip voor de n-dimensionale ruimte (riemannse meetkunde). De ‘n fach ausgedehnte Mänigfaltigkeit’ is wat tegenwoordig een n-dimensionale differentieerbare variëteit wordt genoemd.

De generalisatie is als volgt: Gauss beschreef de punten van een twee-dimensionaal oppervlak met behulp van een tweetal reële coördinaten (u, v) ≡ (x^{1}, x^{2}). Riemann beschreef de punten van een n-dimensionale differentieerbare variëteit met behulp van reële coördinaten (x^{1}, x^{2}, ..., x^{n}). Bij Gauss is de afstand tussen twee infinitesimaal verwijderde punten

(ds)^{2} = ∑_{i,j=1}^{2} g_{ij}(x^{1}, x^{2})dx^{i}dx^{j}  (431)

en bij Riemann wordt dit gegeneraliseerd tot

(ds)^{2} = ∑_{i,j=1}^{n} g_{ij}(x^{1}, ..., x^{n})dx^{i}dx^{j}.  (432)

De afstand tussen twee punten op een kromme γ ≡ x^{i} = x^{i}(λ) (i = 1, 2, ..., n) in een ndimensionale ruimte wordt hiermee gegeneraliseerd tot (zie vergelijking (423)

s_{λ} = ∫_{λ_{A}}^{λ_{B}} \sqrt{∑_{i,j=1}^{n} g_{ij}(x^{1}, ..., x^{n})\frac{dx^{i}}{dλ} \frac{dx^{j}}{dλ}} dλ.  (433)

Een kromme heet weer een geodeet als s_{γ} extremaal is. In het bijzondere geval van een euclidische ruimte geldt g_{ij} = δ_{ij}, zodat vergelijking (433) overgaat in

s_{λ} = ∫_{λ_{A}}^{λ_{B}} \sqrt{∑_{i=1}^{n} (\frac{dx^{i}}{dλ} )^{2}}dλ.  (434)

Als γ een rechte lijn is^{71}, krijgt men

s_{λ}^{2} = ∑_{i=1}^{n} (\frac{dx^{i}}{dλ} )^{2} \{∫_{λ_{A}}^{λ_{B}} dλ\}^{2} = ∑_{i=1}^{n} (\frac{dx^{i}}{dλ} )^{2} (λ_{B} − λ_{A})^{2} = ∑_{i=1}^{n} (B^{i} − A^{i})^{2} .  (435)

Dit is de stelling van Pythagoras voor een n-dimensionale ruimte.

Een verdere belangrijke bijdrage van Riemann is zijn generalisatie van de kromming van Gauss tot een n-dimensionale ruimte: de krommingstensor van Riemann. De krommingstensor speelt een uitermate belangrijke rol in Einstein’s gravitatietheorie.

71In dat geval geldt x^{i} = a^{i}λ + b^{i} en wordt bijvoorbeeld λ_{A} = \frac{x_{A}^{i}−b^{i}}{a^{i}}. Dan geldt \frac{dx^{i}}{dλ} = a^{i} waardoor de afgeleide niet meer van λ afhangt en buiten de integraal gehaald kan worden. Verder schrijven we x_{A}^{i} = A^{i}.

B Appendix - Lineaire algebra

B.1 Vectorrekening over de reële ruimte

B.1.1 Scalaren en vectoren

We onderscheiden

• scalaren (of scalaire grootheden): door een getal bepaalde grootheden, zoals massa en temperatuur.

• vectoren: door een richting èn een getal bepaalde grootheden, zoals snelheid en kracht. Dit getal heet de grootte of de absolute waarde van de vector.

Notaties a, b, p, x, etc. zijn scalaren A, B, A⃗, B⃗, x, y, \underline{x}, \underline{y} zijn vectoren |A| = A is de absolute waarde van A. a heet een eenheidsvector als |a| = 1. A ∥ B betekent: A en B hebben dezelfde richting. Er geldt dan ook B ∥ A. A en −A zijn vectoren met gelijke grootte en tegengestelde richtingen.

Opmerkingen

• Vectoren kunnen door pijlen gerepresenteerd worden. Alle evenwijdige, gelijkgerichte, even lange pijlen stellen éénzelfde ‘vrije’ vector voor.

• De nulvector 0 is een vector met onbepaalde richting en met grootte 0.

• Uit A ∥ B en A = B volgt A = B en omgekeerd.

B.1.2 Product van een scalar en een vector

Voor het product van een scalar en een vector geldt de volgende definitie:

als c > 0, dan (cA) ∥ A en |cA| = cA;

als c < 0, dan (cA) ∥ −A en |cA| = −cA;

als c = 0, dan cA = 0; met als gevolg dat wanneer a de eenheidsvector is in de richting van A dan is A = Aa.

B.1.3 Som en verschil van vectoren

Elke twee vectoren A en B hebben een som, A+B. Als het beginpunt van de pijl die B representeert samenvalt met het eindpunt van de pijl die A voorstelt, dan wordt A + B gerepresenteerd door de pijl vanaf het beginpunt van de A-pijl naar het eindpunt van de B-pijl. Dit wordt weergegeven in Fig. 65.

Voor optellen van vectoren gelden de axioma’s

1. ∀_{A,B}[A + B = B + A] commutatieve eigenschap

2. ∀_{A,B,C}[(A + B) + C = A + (B + C)] associatieve eigenschap

3. ∃_{0}∀_{A}[A + 0 = A] 0 heet het neutrale element

4. ∀_{A}∃_{−A}[A + (−A) = 0] inversiteits eigenschap

Voor vermenigvuldigen van vectoren met scalaren gelden de axioma’s 1. ∀_{p,q,A}[(p + q)A = pA + qA] eerste distributieve eigenschap

2. ∀_{p,A,B}[p(A + B) = pA + pB] tweede distributieve eigenschap

3. ∀_{p,q,A}[p(qA) = (pq)A] associatieve eigenschap

4. ∀_{A}[1A = A] neutraliteitseigenschap van het getal 1.

Figuur 65: Representatie van het optellen van twee vectoren A en B. Het resultaat is de vector A+B.

Verder geldt de definitie A − B = A + (−B) en A − B heet het verschil van A en B.

B.1.4 Lineaire afhankelijkheid; ontbinden van vectoren, kentallen

De som pA + qB heet een lineaire combinatie van A en B, terwijl pA + qB + rC een lineaire combinatie heet van A, B en C.

Definitie: een stelsel vectoren heet lineair onafhankelijk als geen van die vectoren gelijk is aan een lineaire combinatie van andere vectoren uit dat stelsel.

Stelling: A, B en C zijn lineair onafhankelijk dan en slechts dan als uit pA + qB + rC = 0 volgt dat p = q = r = 0.

Als A + B = C, dan heten A en B de componenten van C in de richtingen van A en B.

Als i, j en k de eenheidsvectoren zijn in de richtingen van de positieve x-, y- en z-as van een cartesiaans coördinatenstelsel, dan is

A = A_{1}i + A_{2}j + A_{3}k.  (436)

Elke vector A is dus gelijk aan een lineaire combinatie van de onderling lineair onafhankelijke vectoren i, j en k. De getallen A_{1}, A_{2} en A_{3} noemen we de kentallen van A ten opzichte van de basis {i, j, k}.

Blijkbaar geldt

1. A + B = (A_{1} + B_{1})i + (A_{2} + B_{2})j + (A_{3} + B_{3})k,

2. cA = cA_{1}i + cA_{2}j + cA_{3}k,

3. A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}}.

Figuur 66: De vector A kan ontbonden worden in een lineaire combinatie van de onderling lineair onafhankelijke vectoren i, j en k die een basis vormen.

B.1.5 Inwendig of scalair product van vectoren Definitie

A · B ≡ A · B · cos ∠(A; B)  (437)

Het inwendig product van vectoren is dus een scalar. Eigenschappen

1. ∀_{A,B}[A · B = B · A] commutatieve eigenschap 2. ∀_{A,B,C}[A · (B + C) = A · B + A · C] distributieve eigenschap

Uit de definitie volgt

A · A = A^{2} en A · B = 0 als A ⊥ B.  (438)

Dus ook i · i = j · j = k · k = 1 en i · j = j · k = k · i = 0 en dus

A · B = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} = ∑_{i=1}^{3} A_{i}B_{i}.  (439)

Merk op dat als A · B = 0, dan is A = 0 of B = 0 of A ⊥ B. B.1.6 Voorbeelden

1. Als A = 2i − 3j + k, dan is A = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{14}.

2. Gegeven: A = 2i − 3j + k en B = 5i + j − 7k.

Te bewijzen: A ⊥ B.

Bewijs:

\begin{aligned}A · B & = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ & = 2 · 5 + (−3) · 1 + 1 · (−7) \\ & = 10 − 3 − 7 = 0, \end{aligned}  (440)

dus A ⊥ B.

3. Gegeven: A = 3i − 4j + 5k en B = i + 2j − k. Te berekenen: cos ∠(A; B). Oplossing:

A · B = AB · cos ∠(A; B)
= \sqrt{3^{2} + (−4)^{2} + 5^{2}} · \sqrt{1^{2} + 2^{2} + (−1)^{2}} · cos ∠(A; B)
= \sqrt{50} · \sqrt{6} · cos ∠(A; B).

(441)

Verder geldt

A · B = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} = 3 − 8 − 5 = −10.  (442)

Dus 10\sqrt{3} · cos ∠(A; B) = −10, ofwel cos ∠(A; B) = −\frac{1}{3} \sqrt{3}.

4. Als A = 2i − 3j + k en B = 5i + j − 7k, dan is

A × B = | \begin{matrix}i & j & k \\ 2 & −3 & 1 \\ 5 & 1 & −7 \end{matrix} | = i | \begin{matrix}−3 & 1 \\ 1 & −7 \end{matrix} | − j | \begin{matrix}2 & 1 \\ 5 & −7 \end{matrix} | + k | \begin{matrix}2 & −3 \\ 5 & 1 \end{matrix} |
= (−3 · −7 − 1 · 1)i − (2 · −7 − 1 · 5)j + (2 · 1 − −3 · 5)k
= 20i + 19j + 17k.

(443)

B.2 Lineaire ruimten en lineaire afbeeldingen

B.2.1 Lineaire ruimten Elke verzameling, waarbinnen de elementen ‘opgeteld’ en ‘met een scalar vermenigvuldigd’ kunnen worden, wordt een lineaire ruimte ofwel een vectorruimte genoemd en de elementen ervan heten vectoren. Definitie: Een verzameling L heet een lineaire ruimte over een getallenlichaam K als geldt

• ∀_{a,b∈L}∃!_{c∈L}[a + b = c]

• ∀_{p∈K,a∈L}∃!_{b∈L}[pa = b], terwijl de volgende acht axioma’s gelden

1. ∀_{a,b∈L}[a + b = b + a]

2. ∀_{a,b,c∈L}[(a + b) + c = a + (b + c)]

3. ∃_{0∈L}∀_{a∈L}[a + 0 = a]

4. ∀_{a∈L}∃_{−a∈L}[a + (−a) = 0]

5. ∀_{p,q∈K,a∈L}[(p + q)a = pa + qa]

6. ∀_{a,b∈L,p∈K}[p(a + b) = pa + pb

7. ∀_{p,q∈K,a∈L}[p(qa) = (pq)a]

8. ∀_{a∈L}[1a = a] We hebben in hoofdstuk B.1 reeds gezien dat vectoren aan bovenstaande axioma’s voldoen. Hier bekijken we een en ander op meer abstractie wijze en het getallenlichaam K kan K ∈ ℝ, respectievelijk K ∈ ℂ, zijn. Men spreekt dan van een reële, respectievelijk complexe, vectorruimte L. In paragraaf B.1 hebben we ons beperkt tot een discussie van reële vectorruimten. Ook in deze paragraaf beschouwen we enkel reële vectorruimten. Later zullen we de discussie uitbreiden tot complexe vectorruimten. B.2.2 Eigenschappen Als L een lineaire ruimte is gelden de volgende Stellingen

1. ∃!_{0∈L}∀_{a∈L}[a + 0 = a]

2. ∀_{a∈L}∃!_{−a∈L}[a + (−a) = 0] Definitie a − b ≡ a + (−b) Stellingen

1. ∀_{a,b,c∈L}[a + b = c ⇔ a = c − b]

2. ∀_{a∈L}[0a = 0]

3. ∀_{a∈L}[(−1)a = −a]

4. ∀_{p∈ℝ}[p0 = 0] B.2.3 Lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie

Definitie: Een deelverzameling S van een lineaire ruimte L heet een onafhankelijke stelsel vectoren als S ≠ {0}, terwijl geen enkel element van S gelijk is aan een lineaire combinatie van andere elementen van S.

Stelling 1: Als 0 ∈ S, dan is S een afhankelijk stelsel.

Stelling 2: S = {a_{1}, .., a_{n}} is dan en slechts dan een onafhankelijk stelsel als uit ∑_{i=1}^{n} c_{i}a_{i} = 0 volgt dat c_{i} = 0 voor alle i = 1, .., n.

Definitie: B heet een basis van de lineaire ruimte L als

1. B ⊂ L,

2. B een onafhankelijk stelsel is,

3. elk element van L gelijk is aan een lineaire combinatie van elementen van B.

Als B = {e_{1}, ..e_{n}} dan geldt

∀_{a∈L}∃_{a_{1},..,a_{n}∈ℝ} [a = ∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i}] .  (444)

Deze getallen a_{1} tot en met a_{n} heten de kentallen van a ten opzichte van de basis B. We noemen (i, j, k) ‘de’ basis van R_{3} van de drietallige getalgrepen.

Stelling 3: Als de lineaire ruimte L een basis heeft die uit n elementen bestaat, dan bestaat elke basis van L uit n elementen.

Definitie: De dimensie van L is het aantal elementen van de basis van L.

B.2.4 Inwendig product, norm en orthogonaliteit van vectoren

Definitie: Een inwendig product binnen een vectorruimte L is een afbeelding van L × L naar ℝ, waarvoor, als (a, b) ∈ ℝ het aan a ∈ L en b ∈ L toegevoegde getal is, geldt

1. ∀_{a,b∈L}[(a, b) = (b, a)]

2. ∀_{a,b,c∈L}[(a, b + c) = (a, b) + (a, c)]

3. ∀_{a,b∈L,p∈ℝ}[(pa, b) = p(a, b)]

4. ∀_{a∈L}[(a, a) ≥ 0]; (a, 0) = 0

Het getal A · B = AB cos ∠(A; B) zullen we ‘het’ inwendig product in V_{3} noemen. Met ‘het’ inwendig product in ℝ_{n} duiden we aan

(a, b) = (a_{1}, .., a_{n}) ( \begin{matrix}b_{1} \\ . \\ . \\ . \\ b_{n} \end{matrix} ) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}.  (445)

Dit inwendig product noteren we dus door de eerste vector als rijvector en de tweede als kolomvector te schrijven.

Definitie: De norm |a| van de vector a is het getal \sqrt{(a, a)}.

Definitie: De vectoren a en b zijn onderling orthogonaal dan en slechts dan als (a, b) = 0.

B.2.5 Lineaire afbeeldingen

Een afbeelding van de verzameling A naar de verzameling B is een relatie waarvan A de originelenverzameling is en B de beeldverzameling omvat, terwijl elk origineel één beeld heeft (een functie is dus een afbeelding).

Definitie: Een afbeelding F van de lineaire ruimte L_{1} naar de lineaire ruimte L_{2} heet een lineaire afbeelding als

1. ∀_{a,b∈L_{1}}[F(a + b) = F(a) + F(b)] en

2. ∀_{a∈L_{1},p∈ℝ}[F(pa) = pF(a)] .

Merk op dat als B = {e_{1}, .., e_{n}} een basis is van L dan is de afbeelding van L naar ℝ_{n}, waarvoor geldt dat het beeld van a = ∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i} de ‘kentalvector’ (a_{1}, .., a_{n}) is, een lineaire afbeelding.

B.3 Matrixrekening

B.3.1 Matrices

Het stelsel van k lineaire vergelijkingen met n onbekenden x_{1} tot en met x_{n},

\begin{matrix}a_{11}x_{1} + & a_{12}x_{2} + & ... + & a_{1n}x_{n} = & b_{1} \\ a_{21}x_{1} + & a_{22}x_{2} + & ... + & a_{2n}x_{n} = & b_{2} \\ . & & & . & . \\ . & & & . & . \\ . & & & . & . \\ a_{k1}x_{1} + & a_{k2}x_{2} + & ... + & a_{kn}x_{n} = & b_{k} \end{matrix}  (446)

is volkomen gekarakteriseerd door de getalverzamelingen

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ . & & & . \\ . & & & . \\ . & & & . \\ a_{k1} & a_{k2} & ... & a_{kn} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ . \\ . \\ . \\ x_{n} \end{matrix} ) en ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ . \\ . \\ . \\ b_{k} \end{matrix} ) .  (447)

Het eerste van deze getallenschema’s heet een matrix van de orde k × n; deze matrix bevat namelijk k rijen en n kolommen. De andere twee getalgroepen zijn blijkbaar kolomvectoren, die ook opgevat kunnen worden als matrices van de orde n × 1, respectievelijk k × 1.

Definitie: Een matrix is een in rijen en kolommen gesorteerde getalverzameling.

De getallen van die verzameling heten de elementen van de matrix. Ze worden bij voorkeur met twee indices genoteerd, waarvan de eerste het rangnummer van de rij en de tweede dat van de kolom aangeeft. Als het aantal rijen k en het aantal kolommen n is dan heet k × n de orde van de matrix. Als k = n dan heet de matrix een vierkante matrix van de orde n ofwel een n × n matrix.

De matrix met elementen a_{ij}, (i = 1, .., k; j = 1, .., n) wordt dan wel kortweg aangeduid met

A = (a_{ij}), (k × n).  (448)

Opmerkingen:

1. Elke rij van een matrix is op zichzelf beschouwd een rijvector en elke kolom van de matrix een kolomvector.

2. A = B betekent dat A en B van dezelfde orde, k × n, zijn en dat a_{ij} = b_{ij} voor elke i = 1, .., k en elke j = 1, .., k.

B.3.2 Determinant van een matrix

De determinant van de matrix A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) is het getal

|A| = det A = | \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} | = ad − bc.  (449)

De ondermatrix A_{ij} van de matrix A is de matrix die ontstaat als uit A de i^{de} rij en de j^{de} kolom weggelaten worden.

Voorbeeld: Als A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 9 & 2 \end{matrix} ), dan is A_{21} = ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 9 & 2 \end{matrix} ).

De determinant van de vierkante matrix A, (n × n) is het getal

det A = |A| = ∑_{j=1}^{n} (−1)^{i+j} a_{ij}|A_{ij}|, (i = 1, …, n),  (450)

en ook

det A = |A| = ∑_{i=1}^{n} (−1)^{i+j} a_{ij}|A_{ij}|, (j = 1, …, n).  (451)

Dit zijn de formules voor het ontwikkelen van det A volgens de i^{de} rij, respectievelijk volgens de j^{de} kolom.

Voorbeeld: We ontwikkelen volgens de eerste rij.

| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ −1 & 0 & 5 \\ 2 & −3 & 1 \end{matrix} | = 1 · | \begin{matrix}0 & 5 \\ −3 & 1 \end{matrix} | − 2 · | \begin{matrix}−1 & 5 \\ 2 & 1 \end{matrix} | + 3 · | \begin{matrix}−1 & 0 \\ 2 & −3 \end{matrix} | = 15 + 22 + 9 = 46. (452)

B.3.3 Product van een matrix met een kolomvector

Definitie: Het product van een k × n-matrix A met een n-dimensionale kolomvector x is gelijk aan de k-dimensionale kolomvector b waarvan het i^{e}-element, (i = 1, .., k), gelijk is aan het inwendig product van de i^{e}-rijvector van de matrix A met de kolomvector x.

Dus als A = (a_{ij}), (k × n) en x = (x_{i}), (n × 1), dan is b = (b_{i}), (k × 1), waarbij b_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}, (i = 1, .., k).

Het hele vergelijkingenstelsel van de paragraaf B.3.1 kan dus genoteerd worden als Ax = b.

B.3.4 Matrix als transformatie-operator

Als A = (a_{ij}), (k × n), dan definieert Ax = y een afbeelding van x naar ℝ_{k},

A : x(∈ ℝ_{n}) → Ax(= y ∈ ℝ_{k}).  (453)

Deze afbeelding is blijkbaar een lineaire afbeelding, want

1. ∀_{x,y∈ℝ_{n}}[A(x + y) = Ax + Ay] en

2. ∀_{x∈ℝ_{n},p∈ℂ}[A(px) = pAx].

Stellingen:

1. Als A = (a_{ij}), (k × n), terwijl {e_{1}, .., e_{n}} de basis van ℝ_{n} is, dan is Ae_{i} de i^{e}-kolomvector van A, (i = 1, .., n).

2. Als T een lineaire afbeelding is van ℝ_{n} naar ℝ_{k}, dan bestaat er een matrix A, (k × n), zodanig , dat voor elke x ∈ ℝ_{n} geldt, dat het beeld van x onder de transformatie T (dus T x) gelijk is aan het product Ax.

Deze matrix A is de matrix waarvan de i^{e}-kolomvector, (i = 1, .., n), het T -beeld van de i^{e} basisvector e_{i} van ℝ_{n} (dus T e_{i}) is. Deze A heet de transformatiematrix van de afbeelding T.

B.3.5 Som van matrices

Als A = (a_{ij}), (k × n) en B = (b_{ij}), (k × n), dan is de afbeelding C die aan x ∈ ℝ_{n} als beeld toevoegt Cx = Ax + Bx een lineaire afbeelding. De transformatiematrix van deze afbeelding is

C = (c_{ij}), (k × n), met c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, (i = 1, .., k; j = 1, .., n).  (454)

Deze matrix C noemen we de som van matrices A en B. Merk op dat enkel matrices van gelijke orde een som hebben. De vermenigvuldiging met een kolomvector is distributief ten opzichte van matrixoptelling. Bovendien is matrixoptelling commutatief en associatief.

Voorbeeld: Als A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} ) en B = ( \begin{matrix}2 & 3 & 0 \\ −1 & 2 & 5 \end{matrix} ), dan

A + B = ( \begin{matrix}1 + 2 & 2 + 3 & 3 + 0 \\ 0 + (−1) & 1 + 2 & 4 + 5 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 & 5 & 3 \\ −1 & 3 & 9 \end{matrix} )  (455)

en

A − B = ( \begin{matrix}1 − 2 & 2 − 3 & 3 − 0 \\ 0 − (−1) & 1 − 2 & 4 − 5 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & −1 & 3 \\ 1 & −1 & −1 \end{matrix} ) .  (456)

B.3.6 Product van scalar met matrix

Als A = (a_{ij}), (k × n), dan is A + A = (a_{ij} + a_{ij}) = (2a_{ij}). Deze matrix van orde k × n noemen we 2A. Analoog kan het product van een matrix met een willekeurige scalar gedefinieerd worden als

pA = (pa_{ij}).  (457)

Zowel ten opzichte van optellen van matrices als van scalaren is deze vermenigvuldiging distributief, (p + q)A = pA + qA en p(A + B) = pA + pB. Bovendien geldt de associatieve eigenschap (pq)A = p(qA), terwijl kennelijk 1A = A.

Samenvattend concluderen we dat de verzameling van matrices van een bepaalde orde een lineaire ruimte is.

B.3.7 Product van matrices

Definitie: Het product AB = C van de matrix A = (a_{ij}), (k × m) met de matrix B = (b_{ij}), (m × n), is de matrix C = (c_{ij}), (k × n), waarvan

c_{ij} = ∑_{h=1}^{m} a_{ih}b_{hj}, (i = 1, .., k; j = 1, .., n).  (458)

Het element c_{ij} van C is dus gelijk aan het inwendig product van de i^{e} rijvector van A met de j^{e} kolomvector van B.

Voorbeeld: Als A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix} ) en B = ( \begin{matrix}3 & −4 \\ 1 & 5 \\ −2 & 2 \end{matrix} ), dan

AB = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}3 & −4 \\ 1 & 5 \\ −2 & 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1(3) + 2(1) + 1(−2) & 1(−4) + 2(5) + 1(2) \\ 4(3) + 0(1) + 2(−2) & 4(−4) + 0(5) + 2(2) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 & 8 \\ 8 & −12 \end{matrix} ) .

(459)

Opmerkingen 1. De vermenigvuldiging van een matrix met een kolomvector is een bijzonder geval van deze

matrixvermenigvuldiging: een kolomvector is immers een matrix van de orde m × 1.

2. Het product AB bestaat slechts dan als het aantal kolommen van A gelijk is aan het aantal rijen van B.

Matrix vermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, AB ≠ BA. Het verschil tussen deze twee volgordes noemen we de commutator,

[A, B] ≡ AB − BA.  (460)

Tenslotte merken we op dat matrixvermenigvuldiging wel associatief is ((AB)C = A(BC) = ABC) en distributief ((A + B)C = AC + BC en A(B + C) = AB + AC).

B.3.8 Diagonale matrices

Onder de hoofddiagonaal van een vierkante matrix A = (a_{ij}) van de n-de orde verstaan we de getallenrij (a_{11}, a_{22}, .., a_{nn}). Een diagonale matrix is een vierkante matrix A = (a_{ij}), waarvoor geldt, dat a_{ij} = 0 als i ≠ j, terwijl er minstens één i is waarvoor a_{ii} ≠ 0. Alleen in de hoofddiagonaal staan dus elementen die ongelijk nul zijn.

Als P een diagonale matrix is waarvan alle diagonaalelementen gelijk aan p zijn en B een zodanige matrix is, dat PB, respectievelijk BP bestaat, dan is volgens de definitie van matrixvermenigvuldiging en vermenigvuldigen met een scalar

PB = pB, respectievelijk BP = pB.  (461)

Een diagonale matrix, waarvan alle diagonaaltermen onderling gelijk zijn heet daarom een scalaire matrix. Een scalaire matrix, waarvan alle diagonaaltermen gelijk zijn aan 1 wordt aangeduid met de letter I. Zo een eenheidsmatrix I is neutraal element ten opzichte van matrixvermenigvuldiging.

B.3.9 Geadjugeerde en inverse matrices

Definitie: De geadjugeerde matrix adj A = (α_{ij}), (n × n), van de matrix A = (a_{ij}), (n × n), is de matrix, waarvan het algemene element gelijk is aan α_{ij} = (−1)^{i+j} |A_{ji}|.

Definitie: Als AB = I, dan heet B een rechterinverse van A en A een linkerinverse van B.

Voorbeeld: Omdat ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}6 & −2 & −3 \\ −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = I, is iedere matrix in

het product de inverse van de ander.

Stelling 1: Als A een (k × n)-matrix is, AB = I_{k×k} en CA = I_{n×n}, dan B = C, (n × k). Bewijs: B = I_{n×n}B = (CA)B = C(AB) = CI_{k×k} = C.

Stelling 2: Als AB = I en BA = I, dan is A vierkant. Bewijs: Als A = (a_{ij}), (k × n), dan B = (b_{ij}), (n × k), AB = I, (k × k), en BA = I, (n × n). De som van de diagonaalelementen van respectievelijk AB en BA is dan k = ∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ji} en n = ∑_{j=1}^{n} ∑_{i=1}^{k} a_{ij}b_{ji}, dus n = k.

Definitie: Als AB = BA = I dan heten A en B elkaars inverse matrix: A = B^{−1} en B = A^{−1}. Een matrix die een inverse heeft heet regulier, terwijl een matrix die geen inverse heeft singulier heet. Iedere reguliere matrix is vierkant. Als A regulier is dan heeft Ax = b juist één oplossing, namelijk x = A^{−1}b.

Door gebruik te maken van de definities van de determinant, kan men laten zien dat

A(adj A) = (adj A)A = (det A)I,  (462)

dus als det A ≠ 0 en B = \frac{adj A}{det A}, dan AB = BA = I. We vinden dus dat als det A ≠ 0, dan is A regulier en A^{−1} = \frac{adj A}{det A}. Een matrix is dan en slechts dan regulier als zijn determinant ongelijk is aan nul. Een vierkante matrix is dan en slechts dan singulier als zijn determinant gelijk is aan nul.

Voorbeeld: Als A = ( \begin{matrix}1 & −2 & 4 \\ −3 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & −3 \end{matrix} ), dan

|A| = | \begin{matrix}1 & −2 & 4 \\ −3 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & −3 \end{matrix} | = 1 | \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & −3 \end{matrix} | − (−2) | \begin{matrix}−3 & 2 \\ 5 & −3 \end{matrix} | + (4) | \begin{matrix}−3 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix} | = −81,  (463)

terwijl

|A_{11}| = | \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & −3 \end{matrix} | = −11, |A_{12}| = | \begin{matrix}−3 & 2 \\ 5 & −3 \end{matrix} | = −1, |A_{13}| = | \begin{matrix}−3 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix} | = −17, (464)
|A_{21}| = | \begin{matrix}−2 & 4 \\ 4 & −3 \end{matrix} | = −10, |A_{22}| = | \begin{matrix}1 & 4 \\ 5 & −3 \end{matrix} | = −23, |A_{23}| = | \begin{matrix}1 & −2 \\ 5 & 4 \end{matrix} | = 14, (465)
|A_{31}| = | \begin{matrix}−2 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = −8, |A_{32}| = | \begin{matrix}1 & 4 \\ −3 & 2 \end{matrix} | = 14, |A_{33}| = | \begin{matrix}1 & −2 \\ −3 & 1 \end{matrix} | = −5, (466)

zodat

adj A = ( \begin{matrix}−11 & 10 & −8 \\ 1 & −23 & −14 \\ −17 & −14 & −5 \end{matrix} ) , dus A^{−1} = \frac{1}{81} ( \begin{matrix}11 & −10 & 8 \\ −1 & 23 & 14 \\ 17 & 14 & 5 \end{matrix} ) .  (467)

B.3.10 De getransponeerde van een matrix; symmetrische en alternerende matrices Als A = (a_{ij}) een (k × n)-matrix is en B = (b_{ij}) een (n × k)-matrix, terwijl b_{ij} = a_{ji} voor elke i = 1, .., n en elke j = 1, .., k, dan heten A en B elkaars getransponeerde, B = A^{T} en A = B^{T}.

Voorbeeld: De getransponeerde van A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) is A^{T} = ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} ).

1. De getransponeerde van een vierkante matrix wordt dus verkregen door die matrix te ‘spiegelen ten opzichte van de hoofddiagonaal’.

2. De getransponeerde van een kolomvector is een rijvector en omgekeerd. Stellingen:

1. (A^{T})^{T} = A.

2. (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}.

3. (AB)^{T} = B^{T}A^{T}.

4. Als x een kolomvector is dan is x^{T}x = |x|^{2}.

Definities: A heet een symmetrische matrix als A = A^{T}. A heet een alternerende (anti-symmetrische of scheefsymmetrische) matrix als A^{T} = −A.

Voorbeeld: De matrix A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & −5 \\ 3 & −5 & 6 \end{matrix} ) is symmetrisch, terwijl de matrix A = ( \begin{matrix}0 & −2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 \\ −3 & −4 & 0 \end{matrix} ) .

anti-symmetrisch is.

B.3.11 Orthogonale matrices

Definitie: De matrix A heet orthogonaal als AA^{T} = A^{T}A = I, dus als A^{T} = A^{−1}.

Stelling 1: Een orthogonale matrix is een matrix waarvan de rijvectoren zowel als de kolomvectoren een orthonormaal stelsel vormen (dit wil zeggen dat elke twee onderling verschillende rijvectoren, respectievelijk kolomvectoren, onderling orthogonaal zijn, terwijl al die vectoren de norm 1 hebben.

Stelling 2: Als A orthogonaal is, dan geldt voor elke x (van de juiste dimensie) dat |Ax| = |x|. We concluderen dat de norm van een vector invariant is voor een transformatie waarvan de transformatiematrix orthogonaal is. Het omgekeerde van deze stelling geldt ook: als voor een lineaire afbeelding de norm invariant is, dan is de transformatiematrix orthogonaal.

Bewijs: |Ax|^{2} = (Ax)^{T}(Ax) = (x^{T}A^{T})(Ax) = x^{T}(A^{T}A)x = x^{T}Ix = x^{T}x = |x|^{2}.

Voorbeeld: De lineaire transformatie y = Ax = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} ) x is orthogonaal. Het

beeld van x = (a, b, c) is y = (\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{6}} − \frac{c}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{3}} − \frac{2b}{\sqrt{6}}, \frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{6}} + \frac{c}{\sqrt{2}}) en beide vectoren hebben

lengte \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

C Appendix - Fundamentele constanten

c = 2.998 × 10^{8} m/s lichtsnelheid h = 6.626 × 10^{−34} Js constante van Planck e = 1.602 × 10^{−19} C lading van het elektron m_{e} = 9.109 × 10^{−31} kg massa van het elektron m_{p} = 1.672 × 10^{−27} kg massa van het proton ϵ_{0} = 8.854 × 10^{−12} C^{2}/Nm^{2} permittiviteit van het vacuum μ_{0} = 4π × 10^{−7} N/A^{2} permeabiliteit van het vacuum N_{A} = 6.022 × 10^{23} 1/mol constante van Avogadro k = 1.381 × 10^{−23} J/K constante van Boltzmann

D Appendix - Coördinatensystemen

D.1 Cartesiaanse coördinaten

dl = dx x̂ + dy ŷ + dz ẑ lijn-element dτ = dxdydz volume-element ∇t = \frac{∂t}{∂x} x̂ + \frac{∂t}{∂y} ŷ + \frac{∂t}{∂z} ẑ gradiënt ∇ · v = \frac{∂v_{x}}{∂x} + \frac{∂v_{y}}{∂y} + \frac{∂v_{z}}{∂z} divergentie

∇ × v = (\frac{∂v_{z}}{∂y} − \frac{∂v_{y}}{∂z} ) x̂ + (\frac{∂v_{x}}{∂z} − \frac{∂v_{z}}{∂x} ) ŷ + (\frac{∂v_{y}}{∂x} − \frac{∂v_{x}}{∂y} ) ẑ rotatie

Δt = ∇^{2}t = \frac{∂^{2}t}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}t}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}t}{∂z^{2}} Laplace operator

D.2 Sferische coördinaten

dl = dr r̂ + rdθ θ̂ + r sin θdϕ ϕ̂ lijn-element dτ = r^{2} sin θdrdθdϕ volume-element ∇t = \frac{∂t}{∂r} r̂ + \frac{1}{r} \frac{∂t}{∂θ} θ̂ + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂t}{∂ϕ} ϕ̂ gradiënt ∇ · v = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}v_{r}) + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂}{∂θ} (sin θv_{θ}) + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂v_{ϕ}}{∂ϕ} divergentie

∇ × v = \frac{1}{r sin θ} [\frac{∂}{∂θ} (sin θv_{ϕ}) − \frac{∂v_{θ}}{∂ϕ} ] r̂ + \frac{1}{r} [\frac{1}{sin θ} \frac{∂v_{r}}{∂ϕ} − \frac{∂}{∂r} (rv_{ϕ})] θ̂ + \frac{1}{r} [\frac{∂}{∂r} (rv_{θ}) − \frac{∂v_{r}}{∂θ} ] ϕ̂ rotatie

Δt = ∇^{2}t = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂t}{∂r} ) + \frac{1}{r^{2} sin θ} \frac{∂}{∂θ} (sin θ \frac{∂t}{∂θ} ) + \frac{1}{r^{2} sin^{2} θ} \frac{∂^{2}t}{∂ϕ^{2}} Laplace operator

D.3 Cilindirische coördinaten

dl = ds ŝ + sdϕ ϕ̂ + dz ẑ lijn-element dτ = sdsdϕdz volume-element ∇t = \frac{∂t}{∂s}ŝ + \frac{1}{s} \frac{∂t}{∂ϕ} ϕ̂ + \frac{∂t}{∂z} ẑ gradiënt ∇ · v = \frac{1}{s} \frac{∂}{∂s}(sv_{s}) + \frac{1}{s} \frac{∂v_{ϕ}}{∂ϕ} + \frac{∂v_{z}}{∂z} divergentie

∇ × v = [\frac{1}{s} \frac{∂v_{z}}{∂ϕ} − \frac{∂v_{ϕ}}{∂z} ] ŝ + [\frac{∂v_{s}}{∂z} − \frac{∂v_{z}}{∂s} ] ϕ̂ + \frac{1}{s} [\frac{∂}{∂s}(sv_{ϕ}) − \frac{∂v_{s}}{∂ϕ} ] ẑ rotatie

Δt = ∇^{2}t = \frac{1}{s} \frac{∂}{∂s} (s\frac{∂t}{∂s}) + \frac{1}{s^{2}} \frac{∂^{2}t}{∂ϕ^{2}} + \frac{∂^{2}t}{∂z^{2}} Laplace operator

FUNDAMENTELE THEOREMAS ∫_{a}^{b}(∇f) · dl = f(b) − f(a) Gradiënt theorema ∫ (∇ · A)dτ = ∮ A · da Divergentie theorema (stelling van Gauss) ∫ (∇ × A) · da = ∮ A · dl Rotatie theorema (stelling van Stokes)