\section{De Speciale Relativiteitstheorie}

In dit hoofdstuk wordt de speciale relativiteitstheorie behandeld. Dit zal op een manier
gedaan worden die ietwat onconventioneel is: normaalgesproken wordt deze theorie gemotiveerd
door uit te gaan van Einsteins twee postulaten, en wordt op basis daarvan de wiskunde
ontwikkeld, en dan met name de vorm van de metriek. In deze serie colleges wordt een
omgekeerde route bewandeld: hier zal eerst de metriek worden gepostuleerd, en zal op
basis daarvan getoond worden dat Einsteins postulaten volgen. De reden van deze
'omgekeerde' aanpak is de volgende: in de algemene relativiteitstheorie (de latere hoofdstukken)
is het vrijwel altijd zo dat eerst de metriek bekend is, voordat de rest volgt. Speciale
relativiteitstheorie is ook om deze rede speciaal te noemen: het is een van de weinige
keren in de relativiteit dat de metriek \emph{af te leiden} is uit gedachtenexperimenten;
vrijwel in alle andere gevallen zijn zulke gedachtenexperimenten niet uit te voeren,
en is de metriek niet een gevolg, maar een startpunt. Het is om deze reden dat in dit
hoofdstuk ook deze route bewandeld zal worden. Als de manier van redeneren dan
begrepen is, is de overstap naar de Algemene Relativiteitstheorie in aansluitende
hoofdstukken, snel gemaakt.

\subsection{Historische introductie \& de twee postulaten}

De relativiteitstheorie is geboren in het prille begin van de twintigste eeuw. De
negentiende eeuw was net ten eind gekomen, en de natuurkunde bevond zich in een
unieke positie: voor het eerst in de geschiedenis leken alle fundamentele
vraagstukken opgelost te zijn. Al in de 17e eeuw had de machtige Sir Isaac Newton
(1643-1727) een theoretisch model opgesteld waarmee beweging en krachten in detail
konden worden berekend en voorspeld, krachtig samengevat in drie wetten die nu
zijn naam dragen. Tezamen met Newtons universele wet van de zwaartekracht konden
deze drie wetten zelfs de banen van de planeten om de zon perfect\footnote{Later
zullen we zien dat er wel degelijk een afwijking bekend was van de planeetbanen
zoals beschreven door Newtoniaanse wetten, te weten de perihelium verschuiving
van Mercurius. Het verklaren van deze afwijking was een van de eerste
experimentele verificaties van Einsteins theorie van de zwaartekracht: de algemene
relativiteitstheorie. We komen hier in latere hoofdstukken op terug.} beschrijven.
Ook konden deze wetten, wanneer toegepast op de aanname dat materie bestaat uit
vele miniscule deeltjes in constante botsing, de wetten van de warmteleer
reproduceren; hiermee was het vakgebied van de thermodynamica vrijwel
geheel\footnote{Ook hier geldt een kleine opmerking: er waren enkele
onduidelijkheiden (zoals de Gibbs correctie factor) die later verklaard zijn
door de quantummechanica.} verklaard, wat een triomf is van de Newtoniaanse
bewegingsleer.

Verder was er nog de theorie van de elektrische en magnetische velden, onderzocht
door grote natuurkundigen als Faraday, Oersted, Coulomb en Savart, en uiteindelijk
halverwege de 19e eeuw tot een wiskundig geheel samengesmeed door James Clerk Maxwell
(1831-1879); de vier Wetten van deze theorie dragen nu zijn naam. Ook deze theorie,
de elektrodynamica geheten, was uitermate succesvol. Het beschrijft, onder andere,
de interactie tussen elektriciteit en magnetisme en laat zien dat zij eigenlijk een
aspect waren van een en dezelfde kracht. Ook laten de wetten van Maxwell zien dat
elektrische en magnetische velden verstoord kunnen worden, en dat deze verstoring
zich voortplant met een snelheid van ongeveer 299.800 kilometer per seconde, een
waarde nu universeel aangegeven door de letter $c$.\footnote{De keuze voor de
letter $c$ komt van het Griekse woord voor snelheid, \emph{celeritas}.} Dit was
precies de snelheid waarvan men al lang eerder gemeten had dat het licht zich
ermee voortplant, en de conclusie werd dan ook al snel getrokken dat licht niks
anders is dan een verstoring in het electromagnetische veld. Al snel konden alle
regels uit de lenzen- en spiegelleer afgeleid worden uit de elektrodynamica, en
hiermee was het gehele vakgebied van de optica in een klap verklaard.

Het was dan ook geen wonder dat de natuurkundigen op het eind van de negentiende
eeuw in een euforische staat verkeerden. Er waren weliswaar nog bepaalde berekeningen
in detail uit te voeren, maar niets leek erop te wijzen dat er meer zou bestaan
dan de elektromagnetische kracht en de zwaartekracht, en dat alle relaties tussen
krachten en bewegingen beschreven konden worden door de leer van Newton. Alle
andere krachten en verschijnselen (licht, warmte, ..) waren al aangetoond een
direct gevolg te zijn van de wetten van Newton of de wetten van Maxwell (of een
combinatie van beide), en er waren simpelweg weinig aanwijzingen om te vermoeden
dat de natuur zich aan meer wetten hield dan deze.

Er waren in het begin van de twintigste eeuw dan ook maar weinig natuurkundigen
die zich realiseerden dat er wel degelijk een fundamenteel probleem verscholen
zat in deze twee grote theorieen. Het probleem zat hem niet in de theorieen per stuk,
maar in hun \emph{combinatie}. De wetten van Maxwell laten zien, zoals we besproken
hebben, dat er golven bestaan die zich voortplanten door de ruimte en dat zij dit
doen met precies de snelheid van het licht. De elektrodynamica zegt bovendien dat
deze snelheid dezelfde is voor alle waarnemers, ook als deze zich ten opzichte van
elkaar met constante snelheid bewegen. Dat is op zichzelf wel wonderlijk, maar
hoeft nog geen probleem te zijn (zolang het maar niet door experiment
tegengesproken wordt). Het probleem openbaart zich pas wanneer nu tegelijkertijd
de wetten van Newton worden beschouwd: deze zeggen namelijk dat \emph{alle}
snelheden (ook die van het licht) wel degelijk behoren te verschillen tussen
waarnemers die zelf een snelheid hebben ten opzichte van elkaar: dit zit
onmiskenbaar ingebouwd in de wetten van Newton. Het was dan ook duidelijk
dat de wetten van Newton en de wetten van Maxwell elkaar op enkele punten
tegenspreken, en dat een van deze sets aangepast zou moeten worden. Het
bleken de wetten van Newton te zijn. Het is deze noodzaak tot aanpassing
van de wetten van Newton die de jonge Albert Einstein in 1905 leidde tot de
theorie die wij nu de Speciale Relativiteitstheorie noemen. \newline \newline
Als startpunt van de Speciale Relativiteitstheorie nam Einstein twee
\emph{postulaten}, twee principes waar geen bewijs van bekend is, maar
waarvan hij vermoedde dat de natuur die altijd in acht nam. Beide van deze
zijn gebaseerd op vermoedens gevoedt door de elektrodynamica, en beide zullen
nu in zeker detail besproken worden. \newline
Het eerste postulaat is zojuist al even genoemd: de wetten van Maxwell laten
zien dat een elektromagnetische verstoring zich voortplant met de snelheid
van het licht ongeacht met welke snelheid een waarnemer zelf beweegt. Dit is
een wonderlijk resultaat: als waarnemer A een foton voorbij ziet vliegen met
de snelheid van het licht, $c$, en een waarnemer B beweegt zich met een
zekere snelheid $v$ ten opzichte van A in dezelfde richting als het foton,
dan zegt het 'gezond verstand' dat waarnemer B het foton met een snelheid
$c-v$ ziet bewegen. De wetten van Maxwell zeggen echter dat \emph{ook}
waarnemer B het foton met $c$ ziet bewegen, en dat hetzelfde geldt voor
\emph{alle} waarnemers C, D,... die zich met een constante snelheid
bewegen ten opzichte van waarnemer A. Nogmaals: de verklaring voor dit
gegeven is niet bekend, maar Einstein nam het als een \emph{gegeven},
een feit van de natuur. Hij breidde het zelfs ietwat uit: waar de
elektrodynamica suggereert dat dit een eigenschap is van louter en alleen
het licht, nam Einstein aan dat het een eigenschap was van de
licht\emph{snelheid}, en dus dat alles wat zich met deze snelheid beweegt aan
deze eigenschap voldoet. Dit vormt dan het eerste postulaat van de speciale
relativiteitstheorie:

\medskip
\emph{de lichtsnelheid heeft dezelfde waarde voor alle waarnemers die zich
ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid.}

\medskip
Dit gegeven staat bekend als het \emph{Principe van de Invariantie van de
Lichtsnelheid}. De fysische (en zelfs filosofische!) implicaties van dit postulaat
zijn enorm, omdat het direct aantoont dat de duur van tijd en de grootte van
afstanden niet hetzelfde kunnen zijn voor al deze waarnemers. Immers, als de
lichtsnelheid hetzelfde dient te zijn voor alle waarnemers omgeacht hun onderlinge
snelheden, kan dit alleen het geval zijn als zij van mening verschillen over de
hoeveelheid afstand die het licht (of wat er verder ook met snelheid $c$ moge gaan)
aflegt, en in hoeveel tijd zij meten dat het licht dit doet. We zullen hier
uitgebreid op in gaan in Sectie X.

Het tweede postulaat komt voort uit een andere bijzondere eigenschap van de
elektrodynamica. Zoals verteld gaat de elektrodynamica over de relatie tussen
elektrische velden en magnetische velden, waar een elektrisch veld een maat is
voor de invloed van een stilstaand geladen deeltje op alle andere geladen deeltjes
in zijn omgeving; een magnetisch veld is een maat voor de invloed van een
bewegend geladen deeltje op alle andere geladen deeltjes in zijn omgeving. Op het
eerste gezicht lijken deze definities in elkaar over te gaan. Immers, een stilstaand
deeltje kan ook gezien worden als een bewegend deeltje wanneer de waarnemer van een
stilstaand geladen deeltje besluit met constante snelheid te gaan bewegen;
dientengevolge zal het elektrisch veld van het deeltje gedeeltelijk overgaan in
een magnetisch veld. In zoverre lijkt het verschil tussen de twee velden slechts
een keuze, een wat ingewikkelde maat voor de snelheid van de waarnemer ten opzichte
van het geladen deeltje. Echter, er is een heel fysisch verschil tussen de twee velden,
en dat is dat een ervan voldoet aan twee van de vier wetten van Maxwell, waar het
andere veld voldoet aan de twee andere wetten van Maxwell, met fysisch heel verschillende
eigenschappen. Bovendien is het gevolg van een elektrisch veld op een tweede geladen
deeltje een kracht die \emph{parallel} is aan het elektrische veld, waar het gevolg
van een magnetisch veld een kracht is die \emph{loodrecht} staat op het magnetische
veld. Als het verschil tussen elektrische en magnetische velden slechts een keuze
is van de snelheid van de waarnemer, hoe kan het dan zijn dat een fysisch
meetbaar verschijnsel als kracht op een geladen deeltje zo verschillend is? Blijkbaar
is er wel degelijk een heel fundamenteel verschil tussen elektrische en magnetische velden.

Ondanks dit schijnbare verschil, is er de volgende wonderlijke eigenschap van de
elektrodynamica: als twee waarnemers met een onderlinge constante snelheid de wetten
van Maxwell toepassen op een en hetzelfde systeem van geladen deeltjes, dan
zullen zij tot dezelfde fysische resultaten komen, ongeacht alle schijnbaar
fundamentele verschillen tussen elektrische en magnetische velden. De waarnemers
verschillen dan wel van mening over welke richting de krachten op wijzen, of de
deeltjes al dan niet bewegen, en elektrische velden voor de ene waarnemer zijn
magnetische voor de ander, maar het \emph{totaal} van al deze effecten geeft
uiteindelijk precies dezelfde fysische voorspellingen. Hiermee wordt bedoeld
dat als de twee waarnemers hun voorspellingen corrigeren voor het feit dat
zij met onderlinge snelheid bewegen ten opzichte van elkaar, deze altijd
precies overeenkomen: de wetten van Maxwell kunnen dus worden toegepast
door beide waarnemers zonder op onderlinge tegenstrijdigheden te komen. Blijkbaar
maakt de natuur, in ieder geval wat elektromagnetische velden betreft, geen
onderscheid tussen waarnemers met onderlinge verschillende constante snelheden.
Einstein nam dit aan als een \emph{gegeven}, en nam aan dat dit geldt voor
\emph{alle} natuurkundige verschijnselen (niet alleen de elektromagnetische).
Dit vormt het tweede postulaat van de speciale relativiteitstheorie:

\medskip
\emph{de natuur maakt geen onderscheid tussen waarnemers die zich ten opzichte van
elkaar bewegen met constante snelheid.}

\medskip
Praktisch betekent dit postulaat dat het onmogelijk is om via experimenten te
bepalen of een waarnemer beweegt ten opzichte van een fysisch systeem of niet:
het verschil tussen verschillende waarnemers is fundamenteel niet meetbaar.
Hierdoor is elke waarnemer even 'correct' als elke andere waarnemer die zich
met constante snelheid beweegt ten opzichte van de eerste. In het bijzonder
betekent dit dat er geen waarnemersstelsel is ten opzichte waarvan fysische
grootheden gemeten moeten worden: elk ander stelsel voldoet namelijk even goed.
De gemeten waarden van de grootheden verschillen in het algemeen\footnote{Er zijn
uitzonderingen op deze regel: er bestaan ook grootheden die hetzelfde zijn voor
alle waarnemers. Een ervan is al genoemd: de lichtsnelheid $c$. Andere voorbeelden
zullen nog volgen.} per waarnemer, maar de \emph{wetten} waaraan deze grootheden
voldoen dienen voor hen allemaal precies hetzelfde te zijn. Daarom moet bij elke
meting van een grootheid aangegeven worden ten opzichte van welke waarnemer
het gemeten is, dit wil zeggen: uitkomsten van metingen hebben nooit absolute
betekenis, maar slechts louter relatief. Dit postulaat staat daarom bekend
als het \emph{Principe van Relativiteit}. Dit levert een wiskundig voorschrift:
teneinde een theorie te formuleren die voldoet aan het Principe van Relativiteit,
moeten de wiskundige wetten van deze theorie geschreven worden in een vorm die
geen onderscheid maakt tussen waarnemers met verschillende constante snelheden.
Dit zullen we dan ook expliciet doen in het vervolg.


\subsection{Het Minkowski lijnelement}

Nu de twee postulaten van de speciale relativiteitstheorie zijn gemotiveerd, kunnen
we deze gaan gebruiken om de relatie tussen tijd en ruimte te onderzoeken, en de wetten
van beweging af te leiden. Startpunt is, zoals besproken in hoofdstuk 1, het lijn-element
\begin{equation}
ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu.
\end{equation}
De metriek speelt zoals altijd de hoofdrol. In het geval van de speciale
relativiteitstheorie (en wanneer geschreven in Cartesische coordinaten) wordt
de metriek gegeven door
\begin{equation}
\eta_{\mu \nu} =
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation}
Deze metriek draagt de naam \emph{Minkowski metriek}, en wordt conventioneel aangeduid door
de griekse letter $\eta$, oftewel $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}$. De inverse van de
Minkowski-metriek is eenvoudig te vinden, en blijkt precies dezelfde vorm te hebben
als de metriek zelf:
\begin{equation}
\eta^{\mu \nu} =
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation}
Als we het lijnelement uitschrijven vinden we:
\begin{equation}
ds^2 = -c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.
\end{equation}
Dit kunnen we meteen gebruiken om een fysische interpretatie toe te kennen aan het lijnelement.
Ten eerste kan worden opgemerkt dat de laatste drie termen precies de Stelling van Pythagoras
vormen. Dit betekent dat als een waarnemer de afstand tussen twee punten in de ruimtetijd meet,
en dat op hetzelfde tijdstip doet, voor deze waarnemer geldt dat $ds^2$ niks anders is dan
de afstand tussen deze twee punten. Verder kan worden opgemerkt dat als een waarnemer het
tijdsverschil meet tussen twee gebeurteniss en dat doet zonder ondertussen van positie te
veranderen ten opzichte van de gebeurteniss (dit wil zeggen: deze waarnemer is in rust ten
opzichte van de gebeurteniss!), de laatste drie termen van het lijnelement gelijk zijn aan
nul; voor deze waarnemer geldt dus dat het lijnelement de interpretatie heeft van minus
de verstreken tijd tussen twee gebeurteniss. \emph{Het lijnelement is een maat voor de
tijd verstreken tussen twee gebeurteniss voor een waarnemer die in rust is ten opzichte
van deze gebeurtenis}.

\subsection{Tijd-dilatatie \& Lorentz-contractie}

We zullen nu de eerste paar directe gevolgen van het Minkowski lijnelement beschouwen. Zoals
al eerder aangestipt, suggereert het postulaat van de Invariantie van de Lichtsnelheid dat
verschillende waarnemers van mening zullen verschillen over de hoeveelheid afstand en
verstreken tijd tussen twee gebeurteniss. Om alvast op de conclusie vooruit te lopen: het
zal blijken dat tijdsduren tussen twee gebeurteniss toenemen wanneer de gebeurteniss
beschouwd worden door een bewegende waarnemer, en afstanden zullen inkrimpen voor deze
waarnemer. Deze effecten worden aangeduid met, respectievelijk, \emph{tijd-dilatatie}
en \emph{Lorentz-contractie}. We zullen dit alles nu concreet maken, door expliciet
gebruik te maken van het Minkowski lijnelement. \newline
Allereerst zal het effect van tijd-dilatatie worden beschouwd. Startpunt is het lijn-element
\begin{equation}
c^2d\tau^2 = c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.
\end{equation}
Zoals al gezien was, is $d\tau$ op te vatten als de tijd die verstrijkt op de klok van een
waarnemer voor wie twee gebeurtenissen plaatsvinden op dezelfde positie, en is $dt$ de tijd
die verstrijkt tussen die gebeurtenissen zoals gemeten door een andere waarnemer. Wanneer nu
de rechterkant van deze vergelijking gedeeld wordt door $c^2dt^2$, kan de relatie tussen
verstreken tijd van de eerste waarnemer ($d\tau$) en die van de tweede waarnemer ($dt$)
als volgt worden geschreven:
\begin{equation}
d\tau = \pm \sqrt{1-\left(\frac{v}{c} \right)^2} dt.
\end{equation}
Het plusmin-teken van deze uitdrukking is het wiskundige gevolg van het nemen van een wortel;
fysisch zijn we echter alleen geinteresseerd in het plusteken, aangezien een minteken zou
impliceren dat de twee waarnemers tegengesteld lopende tijden ervaren. We zullen daarom vanaf
nu altijd het plusteken gebruiken. Verder is geschreven $v \equiv \frac{dx}{dt}$, oftewel het
is de afstand tussen de twee gebeurtenissen zoals gemeten door de tweede waarnemer, gedeeld
door de tijdsduur zoals gezien door de tweede waarnemer. Suggestief is hiervoor de letter $v$
gebruikt, een snelheid. Dit is, natuurlijk, omdat het ook inderdaad de snelheid betreft
waarmee de waarnemer zich beweegt ten opzichte van de twee gebeurtenissen (en hiermee ook
ten opzichte van de eerste waarnemer, die immers stil staat ten opzichte van de gebeurtenissen).
Uit de gevonden vergelijking blijkt dat de twee waarnemers hun tijden verschillend registeren:
de hoeveelheid tijd die voor de ene waarnemer verstrijkt tussen twee gebeurtenissen is niet
dezelfde als voor de ander. De factor $\left(1- \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{-1/2}$
is een maat daarvoor. Deze factor wordt de \emph{Lorentz factor} genoemd, en zal nog vaker
voorkomen in de speciale relativiteitstheorie; hij wordt conventioneel aangeduid met de
letter $\gamma$, waarbij
\begin{equation}
\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}}.
\end{equation}
Merk alvast op dat deze factor oneindig groot wordt als de twee waarnemers een onderlinge
snelheid hebben gelijk aan $c$; verder kan al worden opgemerkt dat als de twee waarnemers
een onderlinge snelheid hebben groter dan $c$, de factor imaginair wordt en daardoor nooit
fysisch relevant kan zijn. Dit is een eerste hint dat de lichtsnelheid niet alleen invariant
is, maar ook de \emph{maximale} snelheid is die fysisch mogelijk is. Dit blijkt inderdaad het
geval te zijn, maar een concreet bewijs zal pas later in dit hoofdstuk worden gegeven. Voor
het effect van tijd-dilatatie is het alleen nodig op te merken dat de Lorentz factor altijd
kleiner is dan $1$. Hieruit volgt dat $d\tau$ kleiner is dan $dt$, oftewel: de tijd verstreken
tussen twee gebeurtenissen is voor de waarnemer die stilstaat ten opzichte van de twee
gebeurtenissen, kleiner dan voor de waarnemer die zich met snelheid $v$ beweegt ten opzichte
van de gebeurtenissen. Wat betekent dit nu fysisch? Op eerste gezicht lijkt dit te betekenen
dat de tijd sneller verloopt voor de eerste waarnemer dan voor de tweede: immers, de eerste
waarnemer heeft minder tijd nodig om van een gebeurtenis naar het andere te gaan. De conclusie
is echter net andersom, zoals een voorbeeld laat zien. Laat het eerste gebeurtenis het moment
zijn waarop de twee waarnemers nog gelijk lopende klokken hebben, en waarop beide waarnemers
kijken naar de slinger van de klok van waarnemer 1, die net op het punt staat een slinger
te maken. Na een zekere tijd $T$ heeft de slinger de andere kant bereikt, gezien vanuit de
waarnemer die de klok bij zich heeft: $d\tau = T$. De stilstaande waarnemer kijkt ondertussen
naar dezelfde klok (die zich ten opzichte van hem voortbeweegt met snelheid $v$), en voor
deze waarnemer doet de slinger er een tijd $dt = \gamma d\tau$ over: langer. Dit wil dus zeggen,
dat de stilstaande waarnemer observeert dat de voorbijvliegende klok langer nodig heeft
dan $T$ om een enkele slinger te maken. De conclusie van de stilstaande waarnemer zou dan
ook zijn dat de voorbijkomende klok te langzaam loopt. Dit is wat er bedoeld wordt met
tijd-dilatatie: voor een stilstaande waarnemer lijkt een voorbij komende klok langzamer
te lopen dan voor de waarnemer die met de klok meebeweegt. Dit wordt vaak aangeduid met
de slogan 'bewegende klokken lopen langzaam'; echter, de lading zou wellicht beter gedekt
door de uitspraak 'Voor een stilstaande waarnemer lijkt de bewegende klok langzamer te
lopen'.

Een vraag komt dan al snel op: loopt een bewegende klok nu 'echt' langzamer dan de
stilstaande klok? Want goed beschouwd hebben we hier alleen maar laten zien dat de
bewegende klok langzamer \emph{lijkt} te lopen wanneer bekeken door een stilstaande
waarnemer. Het antwoord is dat er geen verschil is tussen langzamer \emph{lijken} te
lopen, en daadwerkelijk langzamer lopen: fysica gaat immers alleen over gemeten effecten,
wat wil zeggen dat wij over alle effecten die zich niet via een meting openbaren,
geen zinnige (dwz: testbare) uitspraak kunnen doen. Elke gemeten waarneming is net zo
'waar' als elke andere gemeten waarneming. Het heeft dan ook geen zin ons af te vragen
 of de slinger van een klok nu 'echt' langzamer slingert wanneer het beweegt, of dat het
 alleen maar zo 'lijkt' in onze waarneming: alleen onze meting geldt.

Zulke waarnemer-afhankelijke metingen zijn al heel lang bekend in de fysica. Denk
bijvoorbeeld aan de geluidssterkte van een speaker: een waarnemer dichtbij de speaker
meet een veel hoger volume dan een waarnemer op een grotere afstand: blijkbaar is de
geluidssterkte van een speaker niet absoluut, maar waarnemer-afhankelijk. De vraag hoe
hard de speaker nu 'echt' staat is dan ook onzinnig. Wat de relativiteitstheorie ons
nu geleerd heeft, is dat eenzelfde afhankelijkheid ook voor tijd geldt (en, zoals we
later zullen zien, ook voor bepaalde andere grootheden): de gemeten tijdsduur van een
proces is afhankelijk van de snelheid van de waarnemer, en de vraag hoe snel een proces
nu 'echt' gaat, is onzinnig geworden. Dit is, zoals ook al genoemd in de discussie over
het Principe van Relativiteit, de kern van het woord 'relativiteit': er is geen absoluut
antwoord meer op de vraag wat de 'werkelijke' waarde is van bepaalde grootheid; elke
waarde is waarnemer-afhankelijk geworden, en elke gemeten waarde is even 'waar'.

Enkele laatste opmerkingen over tijd-dilatatie. Het moge duidelijk zijn dat dit
verschijnsel niets te maken heeft met de mechaniek van de klokken. Het is een puur
geometrisch verschijnsel, direct voortkomend uit de Minkowski-metriek. Het verschijnsel
beperkt zich dan ook niet tot klokken, en geldt voor elk fysisch meetbaar
tijdsverschil: de slinger van een klok, de duur van een harteklop, het verval
van een atoomkern, de levensduur van een mens, het vallen van een steen, etc,
\emph{alle} verschijnselen lijken langzamer te gaan voor een waarnemer, wanneer
deze verschijnselen zich bewegen ten opzichte van deze waarnemer. \newline
Een voorbeeld is het verval van neutronen: voor een stilstaande waarnemer valt een
vers gecreeerd neutron na ongeveer een kwartier\footnote{Het verval van neutronen
is een quantummechanisch proces, en wordt daarom eigenlijk beschreven
door tijds\emph{gemiddelden}; deze complicatie staat los van de tijd-dilatatie,
en wordt daarom in deze discussie even genegeerd.} uiteen in een proton, electron
en een anti-neutrino, maar wanneer het neutron beweegt ten opzichte van de waarnemer
duurt dit significant langer. Dit is nu goed te begrijpen uit de voorgaande discussie,
als de twee gebeurtenissen van de slinger vervangen worden door creatie en verval van het neutron.
Dit geeft een mogelijkheid tot experimentele verificatie van de tijd-dilatatie, en inderdaad blijken
de gemeten verschillen in vervaltijd als functie van de snelheid van het neutron, precies overeen
te komen met de formule voor de tijd-dilatatie.

Een tweede direct gevolg van het Minkowski lijnelement is de Lorentz-contractie: afstanden
tussen gebeurtenissen lijken korter voor een waarnemer die beweegt ten opzichte van de
gebeurtenissen. Startpunt is wederom het lijnelement. Er geldt
\begin{equation}
-dt^2+dx^2 = -dt'^2+dx'^2.
\end{equation}
Om Lorentz-contractie aan te tonen beschouwen we de volgende twee gebeurtenissen: de voorkant
van een lat passeert een waarnemer, en de achterkant van de lat passeert deze waarnemer.
Voor deze waarnemer vinden de twee gebeurtenissen plaats op dezelfde positie, dus geldt $dx' = 0$.
De tijd die de lat erover doet om de waarnemer te passeren, $dt'$, kan gebruikt worden voor deze waarnemer
als een maat voor de lengte van de lat. Als de lat passeert met een snelheid $v$, concludeert deze
waarnemer dat de lat een lengte heeft van $L' = v dt'$. De rechterkant van deze vergelijking kan
dan ook worden geschreven als
%\begin{equation}
%-dt^2+dx^2 = -\frac{L'^2}{v^2}.
%\end{equation}
De linkerkant van deze vergelijking heeft betrekking op een andere waarnemer die met de lat meebeweegt.
Voor deze waarnemer vinden de twee gebeurtenissen (het de eerste waarnemer passeren van voor en
achterkant van de lat) plaats op een onderlinge afstand van $L_*$, de lengte van de lat zoals
gemeten door deze tweede waarnemer. De tijdsduur tussen de twee momenten, $dt$ is ook anders voor
deze waarnemer dan die $dt'$ zoals gemeten door de eerste waarnemer: we hadden immers al gezien dat
er een tijd-dilatatie optreedt, die in dit geval\footnote{De correcte plaatsing van de Lorentz
factor $\gamma$ kan soms verwarrend zijn: welke waarnemer meet nu een langere tijdsduur?
De vuistregel is altijd, dat de waarnemer die in rust is ten opzichte van de twee gebeurtenissen,
de kortste tijdsduur meet tussen de twee gebeurtenissen. Dit betekent hier dat $\frac{dt'}{dt} < 1$,
wat aangeeft hoe de factor $\gamma$ geplaatst dient te worden.} de volgende vorm heeft:
$dt' = \gamma^{-1} dt$. Als we dan vervolgens weer gebruiken dat de tijd $dt'$ een maat is voor
de lengte $L'$ van de lat zoals gemeten door de eerste waarnemer, dan kan de vergelijking geschreven
worden als
\begin{equation}
-\gamma^2 \frac{L'^2}{v^2}+L^2 = -\frac{L'^2}{v^2}.
\end{equation}
Dit is nu een relatie tussen de lengte van de lat zoals gemeten door de waarnemer die de lat stil
ziet staan, en zoals gemeten door de waarnemer die de lat ziet passeren met een snelheid $v$.
Vereenvoudigd is deze relatie
\begin{equation}
L = \gamma L'.
\end{equation}
Wanneer herinnerd wordt dat $\gamma$ altijd groter is dan 1, zien we nu dat de lengte van een
 lat korter lijkt voor iemand die de lat ziet bewegen, dan iemand die de lat in rust ziet. Dit
 is de Lorentz-contractie: afstanden lijken korter wanneer waargenomen door een bewegende
 waarnemer. Merk op dat dit niet alleen geldt voor latten, maar natuurlijk voor \emph{alle}
 fysisch meetbare afstandsverschillen. Net als tijd-dilatatie, is Lorentz-contractie een
 puur geometrisch effect, een direct gevolg van het Minkowski lijnelement. Bovendien geldt
 ook hier weer dat er geen absoluut antwoord is op de vraag hoe lang een lat nu 'echt' is:
 afstand is een snelheids-afhankelijke grootheid geworden, en kan dientengevolge alleen
 bepaald worden \emph{ten opzichte van} een gegeven waarnemer: het Principe van Relativiteit!

\subsection{De Lorentz transformaties}

Uit het Principe van Relativiteit volgde al dat het lijn-element invariant dient te zijn
onder coordinaattransformaties. Dit betekent dat er maar een beperkte set waarnemers is
die onderling het Minkowksi lijnelement mogen gebruiken, omdat de transformaties naar
de stelsels van andere waarnemers het lijnelement een andere vorm doen krijgen. Willen
we de conclusies van dit hoofdstuk blijven gebruiken gebaseerd op het Minkowksi
lijnelement (zoals de tijd-dilatatie en Lorentz-contractie, maar ook de mechanische
wetten die in sectie X afgeleid zullen worden), dan zullen we moeten identificeren
welke transformaties tussen waarnemers het Minkowski lijnelement niet van vorm doen
veranderen. Dat is wat in deze sectie bestudeerd zal worden. \newline
Wiskundig gezien is dan ook de vraag welke functies
$x' = x' (t,x,y,z)$, $y' = y'(t,x,y,z)$, $z' = z'(t,x,y,z)$ de volgende vergelijking
oplossen:
\begin{equation}
c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 = c^2dt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2.
\end{equation}
Er zijn meerdere transformaties te bedenken die hieraan voldoen. De makkelijkste die
we bedenken kunnen is dat we gewoon bij elke coordinaat een constante optellen:
\begin{equation}
t'= t+a_t, \quad \quad \quad x'= x+a_x, \quad \quad \quad y'= y+a_y, \quad \quad \quad z'= z+a_z,
\end{equation}
Ingevuld in Eq.X laat direct zien dat dit een oplossing is. Fysisch betekent deze
oplossing niks anders dan dat de twee waarnemers een (vaste) afstand van elkaar
staan ($a_x,a_y,a_z$), en dat de klok van een van de waarnemers een (vaste) hoeveelheid
voor loopt op die van de ander ($a_t$). Zulke transformaties noemt men \emph{translaties}.\newline
Een tweede oplossing van de vergelijking kan gevonden worden door veranderingen
in de tijd en een van de plaats-coordinaten (zeg: $z$) niet te beschouwen. In dat
geval moet voldaan worden aan
\begin{equation}
dx^2 + dy^2 = dx'^2 + dy'^2,
\end{equation}
oftewel de som van twee kwadraten dient niet te veranderen. Deze vergelijking is
eenvoudig op te lossen door te schrijven
\begin{equation}
x' = A_x x + A_y y \quad \quad y' = B_x x + B_y y,
\end{equation}
waar $A_x, A_y, B_x, B_y$  constanten zijn. Ingevuld in X laat dan zien voor
deze constanten dient te gelden
\begin{equation}
A_x^2+B_x^2 = 1, \quad \quad A_y^2+B_y^2 = 1 \quad \quad A_x A_y = -B_x B_y.
\end{equation}
Aan de eerste twee eisen kan direct voldaan worden: als een som van twee kwadraten
een constante moet opleveren, dan ligt het voor de hand om sinussen en cosinussen te
proberen aangezien voor deze functies geldt $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ voor
elke hoek $\alpha$. Men kan dus kiezen $A_x = \cos \alpha, B_x = \sin \alpha$ en
$A_x = \cos \beta, B_x = \sin \beta$ om aan de eerste twee vergelijkingen te voldoen;
aan de derde vergelijking is dan ook voldaan wanneer gekozen wordt $\beta = -\alpha$.
Op deze manier is de transformatie compleet, en vinden we:
\begin{equation}
x' = (\cos \alpha) x + (\sin \alpha) y, \quad \quad  y' = (\sin \alpha) x - (\cos \alpha) y.
\end{equation}
Het is eenvoudig fysisch aan te tonen wat voor transformatie dit is: het is een
draaing om de $z$-as over een hoek $\alpha$. Bijvoorbeeld: als die hoek $\pi/2$ is
(een draaiing van 90 graden), dan is $x' = y$, en $y' = x$: de twee waarnemers staan
stil ten opzichte van elkaar, maar zijn ondering 90 graden gedraaid. Transformaties
als deze heten \emph{rotaties}. In het voorgaande hebben we alleen een draaiing over
de z-as beschouwd, maar de uitbreiding naar draaiingen over de andere assen zijn
net zo eenvoudig te vinden. \newline
Een derde soort transformatie kan gevonden worden door nu niet de tijd en een
plaatscoordinaat constant te houden, maar in plaats daarvan twee ruimtecoordinaten
(zeg: $y$ en $z$). In dat geval dient de transformatie te voldoen aan
\begin{equation}
-c^2dt'^2 + dx'^2 = -c^2dt^2+dx^2.
\end{equation}
Door nu te schrijven
\begin{equation}
ct' = A_t ct + A_x x \quad \quad x' = B_t ct + B_x x ,
\end{equation}
(waar $A_t$, $A_x$, $B_t$, $B_x$ constanten zijn) en in te vullen in Eq.X, wordt
gevonden dat de constanten moeten voldoen aan:
\begin{equation}
A_t^2-B_t^2 = 1, \quad \quad -A_x^2+B_x^2 = 1 \quad \quad A_t A_x = B_t B_x.
\end{equation}
Deze keer zullen sinussen en cosinussen niet voldoen, omdat hier nu het
\emph{verschil} van twee kwadraten een constante moet zijn om aan de eerste
twee vergelijkingen te voldoen. Dit is precies wat de \emph{hyperbolische functies}
$\cosh$ en $\sinh$ definieert: voor deze geldt namelijk dat $\cosh^2 \eta-\sinh^2 \eta= 1$,
voor elke waarde van $\eta$. Het ligt dan ook voor de hand te kiezen
$A_t = (\cosh \eta)ct, B_t=(\sinh \eta)x$ en $A_x = (\sinh \rho)ct, B_x(\cosh \rho)x$
zodat aan de eerste twee vergelijkingen is voldaan. Aan de derde vergelijking kan
vervolgens voldaan worden door te kiezen $\rho = \eta$. Hiermee is dan de transformatie
compleet, en vinden we
\begin{equation}
ct' = (\cosh \eta) ct + (\sinh \eta) x, \quad \quad  x' = (\sinh \eta) ct + (\cosh \eta) x.
\end{equation}
Wiskundig is dit een soort draaiing over tijd en ruimte, maar dan over een
'hyperbolische hoek' $\eta$ in plaats van een normale. Maar wat betekent dit
fysisch? Met name: wat is de betekenis van de hyperbolische hoek $\eta$? Dit kan
worden gevonden door de tijd-dilatatie te beschouwen: we hadden al gezien dat de tijden
van twee waarnemers die met snelheid $v$ ten opzichte van elkaar bewegen, gerelateerd
zijn via Eq.X. Als we de differentiaalvorm nemen van Eq.X en kiezen $dt'$ = $d\tau$, dan
kunnen we de eerste van Eq.X schrijven als:
\begin{equation}
d\tau = (\cosh \eta) dt + (\sinh \eta)\frac{1}{c} dx
\end{equation}
Gekwadrateerd en vergeleken met de tijd-dilatatie formule volgt dan dat moet gelden
\begin{equation}
\cosh^2 \eta+ \left(\frac{v}{c} \right)^2 \sinh^2 \eta + 2 \left( \frac{v}{c} \right)
\cosh \eta \sinh \eta =  1-\left(\frac{v}{c} \right)^2.
\end{equation}
Dit is een kwadratische vergelijking voor de variabele $\frac{v}{c}$, en geeft een
relatie tussen de snelheid $v$ en de hyperbolische hoek $\eta$. Zo is al meteen te zien
dat $\eta$ niets anders is dan een ingewikkelde manier om de snelheid tussen twee
waarnemers te beschrijven\footnote{Deze alternatieve maat voor de snelheid wordt in
sommige takken van de fysica meer gebruikt dan de snelheid $v$; hij heeft als naam
de \emph{rapidity}. De reden voor deze voorkeur is dat, zoals we snel zullen zien,
de snelheid  $v$ tussen waarnemers nooit groter kan zijn dan de lichtsnelheid, waar
de rapidity wel degelijk $\infty$ groot kan worden. Dit heeft soms rekenkundige voordelen.}.
Wat de precieze relatie is tussen $v$ en $\eta$ vraagt nog een beetje meer rekenwerk.
Allereerst moet Eq.X herschreven worden tot
\begin{eqnarray}
\left( \frac{v}{c} \right)^2(1+\sinh^2 \eta) + 2\left( \frac{v}{c} \right)
(\cosh \eta \sinh \eta)+(\cosh^2 \eta-1) &=& 0 \nonumber \\
\\
\Rightarrow \quad \quad \left( \frac{v}{c} \right)^2(\cosh^2 \eta) + 2\left(
\frac{v}{c} \right)(\cosh \eta \sinh \eta)+(\sinh^2 \eta) &=& 0.
\end{eqnarray}
waar in de laatste stap de relatie $\cosh^2 \eta - \sinh^2 \eta =1 $ weer is gebruikt.
Deze vergelijking kan worden opgelost voor $\frac{v}{c}$ met behulp van de abc-formule.
Het resultaat is het directe verband tussen $\frac{v}{c}$ en $\eta$,
\begin{equation}
\left( \frac{v}{c} \right)= - \frac{\sinh \eta}{ \cosh \eta} \equiv -\tanh \eta
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \eta = -\arctan h \left(\frac{v}{c} \right)
\end{equation}
Dit kan nu worden gebruikt om de transformatie Eq.X uit te drukken in de snelheid $v$,
wat vaak een inzichtelijker grootheid is dan de hyperbolische hoek $\eta$. Hiervoor
kunnen de volgende rekenregels worden gebruikt\footnote{Deze rekenregels zijn eenvoudig
te bewijzen met behulp van de definities: $\cosh x \equiv \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$,
$\sinh x \equiv \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$, $\arctan h x = \frac{1}{2} \ln (\frac{1+x}{1-x})}$,
\begin{eqnarray}
\cosh \left(-\arctan h \left(\frac{v}{c} \right) \right) &=& \sqrt{\frac{1}{1- \left(
\frac{v}{c} \right)^2}} = \gamma \\
\sinh \left(-\arctan h \left(\frac{v}{c}\right) \right) &=& -\left(\frac{v}{c}\right)
\sqrt{\frac{1}{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}} = -\left( \frac{v}{c} \right)\gamma.
\end{eqnarray}
Merk op dat de Lorentz-factor $\gamma$ hier op natuurlijke wijze zijn intrede doet.
Hiermee is dan gevonden dat de transformaties tussen de twee waarnemers gegeven worden door:
\begin{eqnarray}
cdt' &=& \gamma \left( cdt - \left( \frac{v}{c} \right) dx \right)  \\
dx' &=& \gamma (dx - vdt) \\
dy' &=& dy \\
dz'&=& dz,
\end{eqnarray}
(waar de relaties tussen de $y$ en $z$ afstanden ook weer is toegevoegd). Deze
vergelijkingen heten de \emph{Lorentz transformaties}, en spelen een hoofdrol in
de speciale relativiteitstheorie. Fysisch stellen zij het verschil voor tussen
gemeten afstanden en tijdsduren zoals gemeten door waarnemers die zich ten opzichte
van elkaar bewegen met een constante snelheid $v$ in $x$-richting. Zulke vergelijkingen
zijn eenvoudig af te leiden voor waarnemers die zich met snelheid $v$ in andere
richtingen bewegen. Tezamen met de translaties in alle richtingen en de rotaties om
de drie ruimte-assen, vormen de Lorentz-transformaties de volledige set transformaties
die het lijn-element niet veranderen, oftewel: onder deze transformaties is het
Principe van Relativiteit veilig gesteld. De conclusie is dan ook de volgende: zolang
waarnemers maar louter getransleerd en/of geroteerd zijn ten opzichte van elkaar, of
alleen met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen, kunnen zij allen het
Minkowski lijnelement blijven gebruiken, en gelden dus alle wetten afgeleid in dit
hoofstuk voor de coordinaatsystemen voor al zulke waarnemers. Zulke stelsels noemen
we \emph{inertiaalstelsels}. Dit is wat de speciale relativititeitstheorie het
predikaat 'speciaal' geeft: alle wetten afgeleid gelden voor een beperkte set
waarnemers. In latere hoofdstukken zullen we onze bevindingen uitbreiden naar
\emph{alle} waarnemers, leidend tot de theorie van de \emph{algemene} relativiteit.
Voor nu zullen we in de rest van dit hoofdstuk altijd louter inertiaalstelsels
beschouwen: vanaf nu zal er met 'waarnemer' een waarnemer bedoeld worden die zich
in een inertiaalstelsel bevindt. \newline
\newline
De Lorentz-transformaties geven ons alle mogelijke relaties tussen de tijdsduren
en afstanden zoals gemeten door verschillende waarnemers die zich bewegen met
snelheid $v$ ten opzichte van elkaar. Twee specifieke voorbeelden van zulke relaties
hadden we al eerder gezien, toen nog direct afgeleid uit het Minkowski-lijnelement:
de tijd-dilatatie en de Lorentz-contractie. Deze zijn dan ook automatisch opgesloten
in de Lorentz-transformaties. Voor tijds-dilatatie hoeven we alleen maar te kijken
naar het speciale geval dat een van de waarnemers een tijdsduur meet tussen
twee events die ten opzichte van hem op een en dezelfde positie plaatsvinden,
zodat $dx = 0$; voor deze waarnemer schrijven we (net zoals in sectie X) $dt = d\tau$;
er volgt dan direct uit Eq.X dat een andere waarnemer een tijdsduur meet tussen
deze twee gebeurtenissen gelijk aan $dt' = \gamma d\tau$. Dit is precies de
tijds-dilatatieformule Eq.X. Verder, om de Lorentz-contractie af te leiden uit
de Lorentz-transformaties hoeft alleen naar het speciale geval gekeken te worden
dat de twee gebeurtenissen de metingen zijn van voor- en achterkant van een lat
door een waarnemer die deze metingen doet op een en hetzelfde tijdstip (immers:
als dat niet het geval is, zal de lat 'voorbij' vliegen in de tijd die deze waarnemer
wacht tussen meting van voor- en achterkant, en stelt de afstand tussen gemeten
positie van voor- en achterkant dus niet meer de lengte van de lat voor). Voor
deze waarnemer geldt dan ook $dt = 0$, en zal de lengte van de lat gegeven zijn
door $dx = L$; volgens Eq.X meet de waarnemer in rust ten opzichte van de lat een
lengte van (weer de notatie volgend van sectie X) $dx' = L_* = \gamma L$. Dit is
precies de Lorentz-contractie formule, Eq.X. \newline
Inderdaad is zo gevolgd dat de tijd-dilatatie en Lorentz-contractie slechts
speciale gevallen zijn van de Lorentz-transformaties, een set veel algemenere
relaties tussen tijdsduren en afstanden zoals gemeten door waarnemers die bewegen
ten opzichte van elkaar met een snelheid $v$!

\subsection{Invariantie van de lichtsnelheid}
We zijn nu op het punt aangekomen dat we ons kunnen buigen over de vraag hoe snelheden
veranderen tussen waarnemers die zich bewegen ten opzichte van elkaar. Snelheid is
niets anders dan een verandering van positie gedeeld door de verstreken tijd
benodigd om de afstand tussen de twee posities te overbruggen. Maar zoals al gezien,
zijn afgelegde afstanden en verstreken tijden niet meer absoluut: zij verschillen
van waarnemer tot waarnemer. Het is dan ook te verwachten dat het concept gemeten
snelheid op een nieuwe manier zal transformeren tussen verschillende waarnemers.
Dat zal nu bekeken worden. Hiervoor beschouwen we twee waarnemers, 1 en 2, die
ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid $v$. Beide kijken
naar een bewegend deeltje, en meten daar de snelheid van, waarbij $u_1$ de snelheid
is zoals gemeten door Waarnemer 1, en $u_2$ de snelheid zoals gemeten door
Waarnemer 2. De vraag is nu hoe deze twee gemeten snelheden zich tot elkaar
verhouden.

Welnu, per definitie is de snelheid zoals gemeten door Waarnemer 2 gegeven door
\begin{equation}
u_2 \equiv \frac{dx_2}{dt_2}.
\end{equation}
De transformatie tussen positieverschillen wordt gegeven door de Lorentz-transformatie
Eq.X, en die tussen tijdsduren door de Lorentz-transformatie Eq.X; teller en noemer
kunnen dan ook direct worden ingevuld, en worden uitgedrukt in de gemeten afstand en
verstreken tijd $dx_1$ en $dt_1$ zoals gemeten door Waarnemer 1. Dit levert op:
\begin{eqnarray}
u_2 &=& \frac{\gamma}{\gamma} \frac{dx_1-vdt_1}{dt_1-\left( \frac{v}{c^2} \right) dx_1} \nonumber \\
& = & \frac{\frac{dx_1}{dt_1}-v}{1-\left( \frac{v}{c^2} \right) \frac{dx_1}{dt_1}} \nonumber \\
\Rightarrow \quad \quad u_2 &=& \frac{u_1-v}{1-\left(\frac{v}{c^2}\right)u_1},
\end{eqnarray}
waarin is gebruikt dat $dx_1$ gedeeld door $dt_1$ precies de snelheid $u_1$ is zoals
gemeten door Waarnemer 1. \newline
Dit is de zogenaamde \emph{Einstein Snelheidsregel}: gegeven de snelheid $u_1$ van een
object zoals gemeten door Waarnemer 1, geeft deze formule ons de snelheid $u_2$ van
dit object zoals gemeten door Waarnemer 2 die zich zelf met snelheid $v$ beweegt ten
opzichte van Waarnemer 1. \newline
Een aantal interessantie eigenschappen kunnen nu worden opgemerkt. Zo kan eenvoudig
worden aangetoond dat als een waarnemer een deeltje ziet bewegen met een snelheid
lager dan de lichtsnelheid (oftewel: $u_1 < c$), elke andere waarnemer dit deeltje
ook ziet bewegen met een snelheid lager dan de lichtsnelheid ($u_2 < c$). Ook kan
worden aangetoond dat als een waarnemer het deeltje ziet bewegen met een snelheid
hoger dan de lichtsnelheid, elke andere waarnemer dit deeltje ook ziet bewegen met
een snelheid hoger dan de lichtsnelheid. Dit laatste is overigens alleen wiskundig
waar: het zal later worden aangetoond dat niets sneller kan gaan dan het
licht\footnote{Dit geldt in de conventionele leer van de natuurkunde. Er zijn wel
degelijk exotische theorieen waarin deeltjes bestaan die sneller gaan dan het licht
(de zogenaamde \emph{tachyonen}); echter, theorieen met tachyonen hebben doorgaans
de eigenschap instabiele materie te voorspellen. Zulke deeltjes zullen daarom niet
worden beschouwd in deze cursus.}. \newline
Echter, het belangrijkste gevolg van de Einstein Snelheidsregel is dat alle
waarnemers dezelfde snelheid voor een lichtsignaal zullen meten, ongeacht de onderlinge
snelheden tussen deze waarnemers: voor elke waarnemer zal een foton zich voortplanten
met een snelheid 1. Neem als bewegend object een foton, dat voor Waarnemer 1 met een
snelheid van $u_1=c$ beweegt. De Einstein Snelheidsregel zegt dan vervolgens dat
ook Waarnemer 2 dit foton met snelheid $u_2 = c $ ziet bewegen:
\begin{equation}
u_2 = \frac{u_1-v}{1-\left(\frac{v}{c^2}\right)u_1} |_{u_1 = c}
= \frac{c-v}{1-\left(\frac{v}{c}\right)} = c.
\end{equation}
Dit betekent dat licht zich altijd (dwz voor elke waarnemer in elk inertiaalsysteem)
zich met de lichtsnelheid voortbeweegt! De snelheid $v$ tussen de twee waarnemers
blijkt geheel irrelevant (hij werd weggedeeld in de laatste stap). Blijkbaar maakt
het niet uit hoe snel de twee waarnemers zich bewegen ten opzichte van elkaar: als
een van hen een foton ziet dat met de lichtsnelheid gaat, dan ziet elke andere
waarnemer dit ook.
De conclusie is dan ook: \emph{licht gaat voor elke waarnemer met de lichtsnelheid}.
Men zegt ook wel: de lichtsnelheid is \emph{invariant}. \newline
Op deze manier hebben we Einsteins oorspronkelijke postulaat teruggevonden, louter
en alleen door uit te gaan van de Minkowski-metriek en het Principe van Relativiteit.

\subsection{Intermezzo: Newtoniaanse mechanica en het formalisme van Lagrange}

Tot zover hebben we alleen nog maar dynamica behandeld: de relaties tussen tijd,
afstand en snelheid. De volgende stap zal zijn het afleiden van regels voor de
relativistische mechanica: de relatie tussen krachten en beweging zoals deze volgt
uit louter en alleen het Principe van Relativiteit en de Minkowski-metriek.
Alvorens dit te doen volgt er een intermezzo, waarin de niet-relativistische mechanica
ter herinnering wordt geroepen. \newline
De bewegingswetten van Newton zijn algemeen bekend. De bekendste is waarschijnlijk
dat deeltjes zich in een rechte lijn en met constante snelheid voortbewegen zolang
er geen krachten op werken. Dit wordt mathematisch uitgedrukt als
\begin{equation}
m \frac{d^2 \vec{x}}{dt^2} = 0,
\end{equation}
waar $\vec{x} = \vec{x}(t)$ de positie van het deeltje is, en $m$ zijn massa.
Indien er een kracht $\vec{F}$ op het deeltje werkt, komt deze aan de rechterzijde
van deze vergelijking te staan. Deze formule is de basis van de Newtoniaanse
mechanica en levert een stappenplan voor het oplossen van mechanische vraagstukken:
vul de kracht in die op een deeltje werkt, los de resulterende vergelijking op,
en de positie van het deeltje als functie van de tijd is dan bekend. \newline
Deze Wet kan niet worden afgeleid; het is een experimenteel gegeven. Als wij
deze willen uitbreiden naar een versie die geldt in de speciale relativiteitstheorie,
is er net zo min een concrete afleiding beschikbaar. Wel kan er een uitbreiding
geloofwaardig worden gemaakt door, wederom, gebruik te maken van de
Minkowksi-metriek en het Principe van Relativiteit. Het is dan vervolgens aan
experiment om aan te tonen of de gevonden uitbreiding van Newtons Wet geldt of
niet. Dit blijkt het geval te zijn. Voordat we deze afleiding geven, is het
nuttig om een soortgelijke afleiding te geven voor de Wet van Newton; als deze
behandeld is, is de relativistische uitbreiding nog maar een kleine stap. Het
formalisme dat we hiervoor zullen gebruiken is dat van \emph{Lagrange}. \newline
Lagrange (1736-1813) ontwikkelde een nieuwe manier van mechanica doen,
gebaseerd op een functie die nu zijn naam draagt: de \emph{Lagrangiaan} $L$.
Deze functie is gedefinieerd als het verschil tussen de kinetische energie $K$
van een deeltje, en zijn potentiele energie $V$
\begin{equation}
L(x(t), v(t))=K(x(t),v(t))-V(x(t),v(t)),
\end{equation}
en deze functie geintegreerd over de tijdsduur van een fysisch proces noemt
met de \emph{actie} $S$,
\begin{equation}
S = \int^{t_2}_{t_1} L(x(t),v(t)) dt,
\end{equation}
waarin $t_1$ het tijdstip van begin van het proces is, en $t_2$ het tijdstip
van het eind van het proces. Zoals al gesuggereerd door onze notatie, heeft
de Lagrangiaan van een deeltje in het algemeen geen constante waarde. Dit
komt doordat de kinetische energie en de potentiele energie in het algemeen
geen constante waarden hebben, omdat zij functies zijn van de positie en
snelheid van het deeltje. Beschouw als voorbeeld een deeltje in het
zwaartekrachtsveld van de aarde: de potentiele energie is laag wanneer dit
deeltje dicht bij de aarde is, maar hoog wanneer het ver weg is; de kinetische
energie neemt echter toe wannneer het deeltje onder invloed van die
zwaartekracht steeds sneller naar de aarde valt. Dit voorbeeld laat zien dat
de waarde van de Lagrangiaan van een deeltje in het algemeen afhankelijk is
van de positie en snelheid van het deeltje. Deze zijn op hun beurt weer
functies van de tijd, dus uiteindelijk is de Lagrangiaan een geheel
tijdsafhankelijke functie. De actie $S$ daarentegen is \emph{wel} een constante,
omdat we de Lagrangiaan integreren over de tijd (elke functie geintegreerd over
zijn variabele levert immers een constante op). De waarde van deze constante
hangt daarmee, uiteraard, geheel af van het pad $x(t)$ dat het deeltje volgt
tussen de twee tijdstippen $t_1$ en $t_2$. Welk pad dit is, is precies de vraag
die wij beantwoord willen zien wanneer we mechanica doen. Als antwoord
postuleert het formalisme van Lagrange dat \emph{een deeltje altijd het pad
volgt dat de waarde van de actie minimaal of maximaal maakt}. Dit noemt men
het \emph{Principe van Extreme Actie}, en levert een geheel nieuw voorschrift
om mechanica te doen: schrijf de Lagrangiaan op van bewegend deeltje,
integreer deze over de tijd, en zoek het pad dat deze integraal minimaal
of maximaal maakt. \newline
Deze manier van mechanica doen is soms te prefereren boven de meer
gebruikelijke Wet van Newton\footnote{Enkele redenen zijn dat in het
formalisme van Lagrange de belangrijkste functie een scalair is, waar in
de Wet van Newton vectoren voorkomen. Ook is het zo dat bepaalde
symmetrie-eigenschappen van fysische systemen zich vaak duidelijk openbaren
in het Lagrange-formalisme. Het is om deze redenen dat in o.a. de quantum
velden theorie vrijwel uitsluitend met Lagrangianen gewerkt wordt.}. Hij is
echter niet minder fundamenteel: het is zowel mogelijk het Principe van
Extreme Actie af te leiden door uit te gaan van de Wet van Newton, als omgekeerd.
Het Principe van Extreme Actie en de Wet van Newton zijn daarom geheel equivalent. \newline
Als voorbeeld van een toepassing van het formalisme van Lagrange, zal de
Wet van Newton worden afgeleid door uit te gaan van het Principe van
Extreme Actie. We beschouwen een deeltje met massa $m$, dat beweegt onder
invloed van een kracht $F$ en daarom een potentiele energie $V$ heeft
gerelateerd aan de kracht via $\vec{F} \equiv -\nabla V$; de kinetische
energie $K$ van een deeltje wordt, zoals altijd, gegeven door
$K = \frac{1}{2}m v^i v_i$ (waar $v^i \equiv \frac{dx^i(t)}{dt}$ ). De Lagrangiaan
van dit deeltje wordt dan gegeven door
\begin{equation}
L = \frac{1}{2}m  v^i(t)v_i(t) - V(x(t)),
\end{equation}
en de actie $S$ is dan
\begin{equation}
S = \int^{t_2}_{t_1} \left\{ \frac{1}{2}m v^i(t)v_i(t) - V(x(t)) \right\} dt.
\end{equation}
Volgens het Principe van Extreme Actie zal het deeltje een pad volgen dat
de actie een extreme waarde geeft. Dit leidt tot het volgende wiskundige
vraagstuk: gegeven een integraal over $t$ met integrand $L(\vec{x}(t),\vec{v}(t))$,
hoe kan men dan bepalen welke functie $\vec{x}(t)$ de uitkomst van deze
integraal minimaal of maximaal maakt? Het antwoord wordt gegeven door de
\emph{vergelijkingen van Euler-Lagrange}: de componenten $x^i(t)$ het pad
$\vec{x}(t)$ dat de integraal een extreme waarde geeft, voldoet aan
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial x^i} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}
{\partial v^i} \right).
\end{equation}
Het bewijs van deze stelling is niet moeilijk, en gaat als volgt. Laten we
aannemen dat $x(t)$ de $x$-component van het pad $\vec{x}(t)$ is dat de
integraal een extreme waarde geeft. Per definitie van een extreme waarde zal
elke kleine afwijking van dit pad, $\delta x << x$, de actie $S$ een extra
bijdrage geven, $\delta S$, die gelijk dient te zijn aan nul. We willen dus
op zoek naar het pad $x(t)$ waarvoor geldt
\begin{equation}
S + \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left\{ L(x(t)+\delta x(t),v(t)+ \delta v(t) ) \right\} dt,
\end{equation}
waarin
\begin{equation}
\delta S = 0.
\end{equation}
Aangezien $\delta x$ klein is, kunnen we de Lagrangiaan benaderen door een
eerste orde Taylorreeks om $\delta x(t) = 0$ en $\delta v(t) = 0$,
\begin{equation}
L(x(t)+\delta x(t),v(t)+\delta v(t)) \approx L(x(t),v(t))+ \frac{\partial L}
{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial v}\delta v.
\end{equation}
Wanneer we dit invullen in eq.X vinden we de actie $S$ terug plus een extra term,
die we kunnen identificeren als $\delta S$:
\begin{equation}
\delta S \equiv \int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{\partial L}{\partial x}\delta x
+ \frac{\partial L}{\partial v}\delta v \right\}dt.
\end{equation}
Deze uitdrukking hoort gelijk te zijn aan nul. Nadat we een partiele integratie
doen op de tweede term van de integrand, wordt gevonden:
\begin{equation}
\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}
\left( \frac{\partial L}{\partial v} \right) \right\} \delta x(t)dt
+ \frac{\partial L}{\partial v} \delta x(t)|_{t_1}^{t_2}.
\end{equation}
De afwijking $\delta x(t)$ mag in principe elke mogelijke functie zijn, mits
maar geldt dat zij nul is op het begin en eind van het proces. Er geldt dan
ook $\delta x(t_1) = 0$ en $\delta x(t_2) = 0$, en hiermee volgt dat de
laatste term in Eq.X gelijk is aan nul. De overgebleven integraal zal in het
algemeen gelijk kunnen zijn aan nul voor specifieke functies $\delta x(t)$;
echter, de eis is dat deze integraal nul is voor \emph{elke} mogelijke afwijking
$\delta x(t)$ van het pad $x(t)$, en dit kan alleen wanneer alles tussen de
gekrulde haken gelijk is aan nul. Deze eis levert dan precies Eq.X, voor de
$x$-component van het gezochte pad. Voor de twee andere plaatscoordinaten
van dit pad, $y(t), z(t)$ kan deze afleiding ook gebruikt worden en geldt
dezelfde uitkomst. \newline
Wanneer de vergelijkingen van Euler-Lagrange toegepast wordt op de huidige
Lagrangiaan, vinden we
\begin{equation}
-\frac{\partial V}{ \partial x^i} = m \frac{dv^i}{dt}.
\end{equation}
Linkerkant van deze vergelijkingen herkennen we als de kracht $F^i$ in de i-richting,
terwijl de rechterkant precies gelijk is aan $m \frac{d^2 x^i}{dt^2}$. We kunnen
deze drie uitkomsten samen nemen in een enkele vectorvergelijking,
\begin{equation}
m \frac{d^2 \vec{x}(t)}{dt^2} = \vec{F},
\end{equation}
wat precies de wet van Newton is. Zoals aangekondigd volgt deze inderdaad uit het
Principe van Extreme Actie. \newline
Het Lagrangiaanse formalisme kan ook gebruikt worden om de impuls van een deeltje
te bepalen. De impuls volgt uit de Lagrangiaan als
\begin{equation}
p_i = \frac{\partial L}{\partial v^i},
\end{equation}
wat voor de huidige Lagrangiaan de gebruikelijke uitdrukking voor de impuls
van een deeltje oplevert
\begin{equation}
\vec{p} = m\vec{v}.
\end{equation}

\subsection{Relativistische mechanica}

Na deze inleiding in de mechanica, kan teruggekeerd worden naar de speciale
relativiteitstheorie, en gepoogd worden de mechanica van Newton uit te breiden
naar een versie die overeenkomt met het Principe van Relativiteit. Zoals beloofd
leent de Lagrangiaanse methode zich hier uitstekend voor. Allereerst zullen we
een vrij deeltje beschouwen, oftewel een deeltje met massa $m$ dat beweegt zonder
beinvloed te worden door een kracht. De Lagrangiaan voor zo'n deeltje bestaat
dan alleen uit een kinetische term,
\begin{equation}
L = K.
\end{equation}
In de pre-relativistische mechanica wordt de kinetische energie gegeven door
$K = \frac{1}{2}m\vec{v}^2$. Deze uitdrukking kunnen we echter niet overnemen
naar de Relativiteitstheorie. Immers, het Principe van Relativiteit eist dat de
natuurwetten zodanig geformuleerd moeten zijn dat zij niet van vorm veranderen
wanneer naar een ander inertiaalstelsel wordt getransformeerd. Dit betekent
dat de gezochte Lagrangiaan invariant moet zijn onder transformaties tussen
inertiaalstelsels, en daar voldoet bovenstaande uitdrukking zeker niet aan.
Echter, met enige aanpassing is het eenvoudig een vorm te vinden die erg lijkt
op de oude uitdrukking, maar wel degelijk invariant is. Hiervoor schrijven we
eerst de oude uitdrukking uit als
\begin{equation}
L = K = \frac{1}{2}m \frac{dx^i}{dt} \frac{dx_i}{dt},
\end{equation}
waar de Einstein sommatieconventie gebruikt is: $dx^i dx_i = dx^2+dy^2+dz^2$.
Wat de invariantie van deze uitdrukking in de weg staat zijn twee dingen: allereerst
zijn de $dx$'s inertiaalstelsel-afhankelijk; ten tweede zijn de $dt$'s dat eveneens.
We hadden immers al gezien dat waarnemers in verschillende inertiaalsystemen,
verschillende afstanden en tijdsduren meten. Deze uitdrukking kan daarom nooit
voldoen aan het Principe van Relativiteit. Echter, wanneer we $dx^i dx^i$ vervangen
door $\eta_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ staat in de teller nu precies het lijnelement
$ds^2$, waarvan bekend is dat dit invariant is. Op dezelfde manier ligt een
uitbreiding van de twee $dt$'s ook voor de hand: vervang $dt dt$ door $d\tau^2$,
zodat ook dit nu invariant is geworden. Een natuurlijke suggestie voor een
relativistische Lagrangiaan voor een vrij deeltje is dan
\begin{equation}
L = \frac{1}{2}m \eta_{\mu \nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}.
\end{equation}
Deze overwegingen zijn natuurlijk geen \emph{bewijs} voor de geldigheid van
deze uitdrukking: het is een gok. Er zijn ook andere Lagrangianen denkbaar
die voldoen aan het Principe van Relativiteit. Echter, deze uitdrukking is
de meest simpele, en bovendien zal blijken dat de bewegingswettem die hieruit
volgen, reduceren tot de oude vertrouwde bewegingswetten van Newton wanneer ze
toegepast worden in situaties waarbij snelheden veel lager zijn dan de lichtsnelheid.
Uiteindelijk zal het echter aan experiment zijn om aan te tonen of de gevonden
wetmatigheden waar zijn. Tot nu toe wijzen alle experimenten uit dat dit
inderdaad het geval is.\newline
De actie $S$ behorend bij deze Lagrangiaan wordt verkregen door de Lagrangiaan
te integreren over de tijd. Ook hier moet het Principe van Relativiteit in acht
worden genomen: de uitdrukking moet worden geintegreerd over de eigentijd
$d\tau$ (in tegenstelling tot over de waarnemer-afhankelijke tijd $t$ ) om zo
de invariantie van de actie te waarborgen. De actie wordt dan dus
\begin{equation}
S = \int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{1}{2}m \eta_{\mu \nu}  \frac{dx^\mu}{d\tau}
\frac{dx^\nu}{d\tau}  \right\} d\tau.
\end{equation}
Om de bewegingswet voor het deeltje af te leiden, dient het Principe van
Extreme Actie weer te worden toegepast: er moet gezocht worden naar het pad
$x^\mu (\tau)$ dat de waarde van deze integraal minimaal of maximaal maakt.
De Euler-Lagrange vergelijkingen voor deze situatie hebben de
vorm\footnote{Dit is een generalisatie van Eq.X. Het bewijs van deze stelling
is niet veel moeilijker dan dat van Eq.X, maar wordt voor het moment overgeslagen.}
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial x^\alpha} = \frac{d}{d\tau} \left( \frac{\partial L}
{ \partial \left( \frac{dx^\alpha}{d\tau}  \right) }  \right).
\end{equation}
Merk op dat dit vier vergelijkingen zijn: voor elk van de vier coordinaten van
het pad $x^\mu(t)$ is er een vergelijking die moet worden opgelost.
Wanneer de relativistische Lagrangiaan wordt ingevuld en beide zijden van de
Euler-Lagrange vergelijkingen worden uitgerekend, wordt gevonden dat een vrij
relativistisch deeltje een pad $x^\mu (\tau)$ volgt waarvan de componenten
voldoen aan de vergelijkingen
\begin{equation}
m\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} = 0.
\end{equation}
Dit lijkt sprekend op de wet van Newton voor een vrij deeltje, met twee
subtiele verschillen. \newline
Ten eerste doet de wet van Newton uitspraken over de drie plaatscoordinaten
van het deeltje, waar deze nieuwe uitdrukking ook uitspraak doet over de tijd.
Deze laatste stelt dat
\begin{equation}
m \frac{dt^2}{d\tau^2}=0,
\end{equation}
waaruit volgt dat $\frac{dt}{d\tau}$ gelijk is aan een constante. Dat is niet
verrassend: we hadden immers al gezien dat de tijd $\tau$ zoals gemeten door
een waarnemer die het deeltje stil ziet staan, een andere is dan de tijd
$t$ gemeten door een waarnemer die het deeltje ziet bewegen. Dit was precies
het tijd-dilatatie effect zoals besproken in X, en de waarde van deze constante
laat zich dan ook aflezen van Eq.X: het is precies de Lorentz-factor $\gamma$.  \newline
Het tweede verschil met de wet van Newton is het feit dat er hier afgeleiden
worden genomen naar de eigentijd $\tau$, waar in Newtons theorie afgeleiden
werden genomen naar de tijd $t$. Dit maakt van deze nieuwe afgeleide een
soort 'bastaard-object': de gemeten afstanden $x$ worden genomen zoals
gemeten door een willekeurige waarnemer ten opzichte van wie het deeltje
beweegt, waar de tijd gemeten wordt door de waarnemer die stilstaat ten opzichte
van het bewegende deeltje. Dit object wordt de \emph{4-snelheid} $u^\mu(t)$
genoemd; de eigenschappen ervan zullen we later bestuderen. De 4-snelheid kunnen
we omschrijven naar een meer natuurlijker object (te weten: afstand en tijd
gemeten door een en dezelfde waarnemer). Dit kunnen we doen door ons te beseffen
dat de verlopen tijd gemeten door het deeltje, en die door een andere waarnemer,
met elkaar gerelateerd zijn via de formule van tijd-dilatatie:
$d\tau = \gamma^{-1} dt$. Op deze manier is de gevonden wet uit te drukken als
\begin{equation}
m \gamma^2 \frac{d\vec{x}^2}{dt^2} = 0.
\end{equation}
De wet van Newton kan nu gezien worden als een speciaal geval van deze nieuwe
wet. Als we aannemen dat het deeltje veel langzamer beweegt dan het licht ten
opzichte van de waarnemer in wiens tijdsduur en afstand we nu alles hebben
uitgedrukt (oftewel we nemen aan dat $v << c$), dan kan Eq.X benaderd worden door
\begin{eqnarray}
m \gamma^2 \frac{d\vec{x}^2}{dt^2} &\equiv&  \frac{m}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}
\frac{d\vec{x}^2}{dt^2} \nonumber \\
&\approx& m\left(1+\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)\frac{d\vec{x}^2}{dt^2} \nonumber \\
&\approx& m \frac{d\vec{x}^2}{dt^2} = 0.
\end{eqnarray}
waar gebruik is gemaakt van de wiskundige regel $(1+x)^m \approx 1+mx$, welke
geldt als $x << 1$. Dit is precies de wet van Newton! Zo is nu aangetoond dat
de wet van Newton slechts een speciaal geval is van een meer algemene
bewegingswet, Eq.X! Dit geeft ons vertrouwen dat onze keuze voor de Lagrangiaan
waarschijnlijk de juiste was: hij voldoet aan het Principe van Relativiteit, en
geeft ons bovendien onze oude vertrouwde bewegingswetten terug. \newline
Met dit vertrouwen in het achterhoofd kunnen we nu verder gaan met het afleiden
van wetten betreffende de energie en impuls. Zoals besproken in de vorige sectie,
volgt een impuls uit een gegeven Lagrangiaan via de regel Eq.X. Toegepast op de
relativistische Lagrangiaan levert dit op voor de impuls van het vrije deeltje
\begin{equation}
p_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \frac{dx^\alpha}{d\tau}}
= m \frac{dx^\nu}{d\tau} \eta_{\alpha \nu},
\end{equation}
en na beide kanten te contraheren met de inverse $\eta^{\mu \alpha}$ van
de Minkowksi-metriek wordt dit
\begin{eqnarray}
p^\mu &=& m \frac{d x^\mu}{d\tau} \nonumber \\
&=& m u^\mu
\end{eqnarray}
Wederom lijkt dit erg op de impuls zoals bekend uit de mechanica van Newton:
een massa vermenigvuldigd met een snelheid. Echter, de snelheid is hier nu de
4-snelheid, en deze nieuwe impuls wordt dan ook de \emph{4-impuls} genoemd.
Vergeleken met de uitdrukking voor de Newtoniaanse variant, Eq. X, gaan weer
twee verschillen op: ten eerste is er een nul-component aanwezig, en ten
tweede is het weer een 'bastaard-object': afgelegde afstand gemeten door een
willekeurige waarnemer, en tijdsduur gemeten door een waarnemer die stilstaat
ten opzichte van het deeltje. Het tweede verschil kunnen we weer een plaats
geven door de relatie tussen eigentijd en tijd te gebruiken. Dit levert
\begin{equation}
p^\alpha = m \gamma \frac{dx^\alpha}{dt},
\end{equation}
en via dezelfde benaderingsmethode als gebruikt in Eq.X volgt direct dat
de i-component hiervan reduceert tot de impuls zoals bekend uit de
mechanica van Newton, wanneer het deeltje maar veel langzamer beweegt
dan het licht. De i-componenten van dit object worden daarom opgevat als
de relativistische uitdrukkingen van de impuls. Wat de nul-component
betreft, deze moet nog een interpretatie krijgen. Deze component is
\begin{equation}
p^0 = m \gamma.
\end{equation}
Via een dimensie-analyse is meteen te zien dat het de dimensie van een
energie heeft, en dit wekt de suggestie dat het gaat om de energie van
het vrije deeltje. De vraag dringt zich dan al snel op: op welke manier
is deze uitdrukking gerelateerd aan de Newtoniaanse uitdrukking voor de
energie van een vrij deeltje, $K = \frac{1}{2}mv^2$?  Ook hier biedt de
benadering van lage snelheden uitkomst. Er geldt:
\begin{eqnarray}
p^0 &=& mc^2 \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \nonumber \\
&\approx& mc^2 \left( 1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2 \right) \nonumber \\
&=& mc^2+K,
\end{eqnarray}
waar de uitdrukking voor de Newtoniaanse energie $K$ van een vrij deeltje
is ingevuld. Hier is nu gevolgd dat, in de benadering van lage snelheden,
de nul-component van de relativistische impuls reduceert tot de Newtoniaanse
energie plus een extra term. Afgezien van deze constante term, is de
nul-component bij lage snelheden inderdaad gelijk aan de energie van het
deeltje zoals voorspeld door de Newtoniaanse mechanica. Het ligt dan ook
voor de hand om aan te nemen dat we $p^0$ ook bij hoge snelheden mogen
opvatten als de energie van het deeltje. Wat de constante term betreft
kan de vraag worden gesteld hoe fysisch interessant deze is. Immers, in
de natuurkunde kennen alleen energie\emph{verschillen} een meetbare
betekenis\footnote{Denk bijvoorbeeld aan de relatie tussen een kracht
$F$ in $x$-richting en de potentiele energie $V$: $F = -\frac{dV}{dx}$,
oftewel een meetbare grootheid is uitgedrukt als een verschil in energie.},
en dus zal elke extra constante term toegevoegd aan de energie van een
systeem uit de berekening vallen wanneer een energieverschil opgeschreven
wordt. Toch heeft de constante term $m$ hier wel degelijk een fysische
betekenis: het is namelijk niet zomaar een willekeurige constante, het
is een constante die een eigenschap van het deeltje bevat (de massa)!
Deze energie is ook aanwezig wanneer het deeltje geen bewegingsenergie
heeft voor een gegeven waarnemer, $K=0$; we spreken dan ook over \emph{rust-energie},
en deze is gelijk aan
\begin{equation}
E = mc^2.
\end{equation}
Dit is wellicht de meest bekende formule uit de natuurkunde. Hij zegt dat
elke massa een energie met zich meedraagt gelijk aan deze massa maal $c^2$,
en dat dit energie is die zich niet laat wegtransformeren door naar een
ander inertiaalstelsel te gaan. Het is daarom een fundamentele hoeveelheid
energie voor een gegeven massa $m$: voor \emph{alle} waarnemers geldt dat
een massa op zijn minst deze hoeveelheid energie met zich meedraagt.\newline
Resumerend is nu gevolgd dat onze keuze voor de Lagrangiaan ons een
uitdrukking geeft voor de impuls, waarvan de i-componenten netjes reduceren
tot de impuls zoals die in de Newtoniaanse mechanica bekend was; de
nul-component van de 4-impuls blijkt overeen te komen met de energie
van het deeltje. We schrijven dan ook
\begin{equation}
p^\mu = \left( \frac{E}{c},\quad p_x, \quad p_y, \quad p_z \right),
\end{equation}
waarin geldt
\begin{equation}
E = \gamma m c^2, \quad \quad p^i = \gamma m v^i.
\end{equation}
De naam is niet de enige overeenkomst tussen de 4-impuls en 4-snelheid: beide
transformeren op dezelfde manier tussen inertiaalsystemen. Met name de Lorentz
transformaties werken op deze objecten op dezelfde manier; dit betekent dat
twee waarnemers die zich in $x$-richting met snelheid $v$ bewegen ten opzichte
van elkaar, verschillende energie ($E$ en $E'$) en impuls ($p_x$ en $p'_x$)
meten van een en hetzelfde deeltje, en dat deze zich tot elkaar verhouden op
de volgende manier:
\begin{eqnarray}
\frac{E'}{c} &=& \gamma\left(\frac{E}{c}-\left(\frac{v}{c}\right) p_x \right), \\
p'_x &=& \gamma \left( p_x-v\frac{E}{c^2} \right), \\
p'_y &=& p_y, \\
p'_z &=& p_z.
\end{eqnarray}
Bovendien kunnen we de contractie van de 4-impuls met zichzelf nemen,
omdat we al gezien hadden dat de contractie van een 4-vector met zichzelf
altijd een invariant oplevert. Het is dan eenvoudig om aan te tonen dat
deze invariant gelijk is, op een factor $-c^2$ na, aan de massa van het
deeltje in het kwadraat. Er geldt
\begin{eqnarray}
\eta_{\mu \nu} p^\mu p^\nu &=& -\left(\frac{E}{c}\right)^2+p^2 \nonumber \\
&=& -m^2 c^2 \gamma^2+m^2 v^2 \gamma^2 \nonumber \\
&=& -m^2 c^2 \gamma^2\left( 1-\left(\frac{v}{c}\right)^2 \right) = -m^2 c^2.
\end{eqnarray}
Dit leidt dan tot de volgende uitdrukking voor de relatie tussen de energie
en de impuls:
\begin{equation}
E^2 = p^2c^2 + m^2c^4.
\end{equation}
Deze is bijna geheel\footnote{Er is een subtiel maar belangrijk verschil: deze
uitdrukking geeft niet de energie van een deeltje, maar het \emph{kwadraat} van
de energie; er moet dus nog een wortel worden genomen! Nu heeft een kwadratische
vergelijking altijd twee oplossingen: een met een plusteken, en een met een minteken.
De laatste oplossing duidt op deeltjes met een negatieve energie, iets wat Eq.X nog
niet deed! Het correct interpreteren van deze nieuwe oplossingen leidde Paul Dirac
tot het voorspellen van het bestaan van anti-deeltjes.} equivalent aan de eerder
gevonden uitdrukking voor de relativistische energie, Eq.X, maar is in de
praktijk soms te prefereren omdat deze in staat stelt de energie van een deeltje
uit te rekenen zonder de snelheid $v$ van het deeltje te hoeven kennen.
Met name in de deeltjesfysica, waar men vaak de \emph{impulsen} van de deeltjes
beter kan meten dan louter hun snelheid, wordt deze formule veel gebruikt.\newline
\newline
Het belang van energieen en impulsen in de Relativiteitstheorie is dezelfde
als die in de Newtoniaanse mechanica. Daar is het een experimenteel gegeven
dat energie een behouden grootheid is, en impuls ook een behouden grootheid
is; dit levert enorme voordelen op tijdens het berekenen van mechanische
processen. Het blijkt experimenteel dat dit nog steeds geldt voor onze nieuwe
uitdrukkingen voor de energie en impuls: \emph{elk experiment toont aan dat
deze twee grootheden niet veranderen tijdens fysische processen.} Dit maakt
het uitermate handig om met energie en impuls te werken wanneer een
relativistisch probleem wordt beschouwd. Het is hier nu van belang om het
verschil tussen 'behouden' en 'invariant' te onderstrepen: een grootheid is
\emph{behouden} wanneer geldt dat zijn waarde voor en na een proces dezelfde
is; een grootheid is \emph{invariant} als geldt dat zijn waarde voor alle
waarnemers in verschillende inertiaalstelsels dezelfde is. Enkele voorbeelden:
de lichtsnelheid $c$ is een invariant en is behouden; de massa van een deeltje
is invariant maar in het algemeen niet behouden; de energie van een deeltje is
behouden maar niet invariant; snelheden zijn in het algemeen zowel niet behouden
als invariant. \newline
\newline
Nog enkele woorden over snelheden. Zoals al besproken, volgt uit de
Minkowski-metriek de Einstein Snelheidsregel, waaruit we hebben laten volgen
dat het onmogelijk is een deeltje sneller te zien gaan dan het licht als het
voor een enkele waarnemer niet sneller gaat dan het licht. De vraag \emph{of}
er een waarnemer bestaat voor wie het deeltje sneller gaat dan het licht is
nog niet aan de orde gekomen. Met de uitdrukking voor de relativistische
energie kan die vraag nu definitief worden beantwoord, en wel als volgt.
De uitdrukking Eq.X voor de relativistische energie vertelt ons dat er in
een deeltje dat zich ten opzichte van ons met snelheid $v$ beweegt, een
energie $E$ verscholen is. Omgekeerd kan de relatie ook gelezen worden
als de hoeveelheid energie benodigd om een deeltje vanuit stilstand tot
deze snelheid te versnellen. Als wij nu een deeltje naar de lichtsnelheid
willen versnellen, dan geldt $v = c$ en wordt de noemer van Eq.X gelijk
aan nul: de benodigde energie $E$ wordt oneindig groot. Dit is natuurlijk
een andere manier van zeggen dat het onmogelijk is een deeltje de
lichtsnelheid te geven! Hiermee is dan ook aangetoond dat deeltjes voor
deze waarnemer niet sneller kunnen gaan dan de lichtsnelheid; via de
Einstein Snelheidsregel volgt dan direct dat geen enkele andere waarnemer
het deeltje sneller dan het licht kan zien bewegen. \newline
Er is een uitzondering op deze regel. Om tot de energie $E$ van $\infty$
te komen, hebben we opgemerkt dat een deeltje met snelheid $v = c$ de
noemer in Eq.X gelijkmaakt aan nul, en delen door nul geeft oneindig.
Dit is inderdaad waar, \emph{mits de teller niet gelijk is aan nul}. Als de
teller van een breuk \emph{ook} gelijk is aan nul, levert delen door nul niet
altijd meer oneindig op. De waarde van de uitkomst is dan onbepaald:
afhankelijk van de context kan er iets eindigs uitkomen. Hier staat in de
teller van de breuk de massa van het deeltje, dus al met al ziet het ernaar
uit dat er wel degelijk deeltjes zouden kunnen bestaan die met precies de
lichtsnelheid bewegen \emph{mits de massa van zulke deeltjes maar gelijk is
aan nul}\footnote{Een omgekeerde conclusie kan ook worden getrokken uit Eq.X:
als een deeltje een massa gelijk aan nul zou hebben maar niet zou bewegen met
de lichtsnelheid, zou alleen de teller nul zijn, en daarmee de hele uitdrukking
voor de energie. Deeltjes zonder energie bestaan niet (alles heeft energie),
en dus volgt nu ook dat als een deeltje geen massa heeft, het noodzakelijkerwijs
met de lichtsnelheid moet bewegen.}. Zulke deeltjes kennen we:
fotonen\footnote{Er zijn nog meer massaloze deeltjes die met de lichtsnelheid bewegen:
gluonen en gravitonen. Voor het gemak spreken we maar over alleen de fotonen,
maar impliciet bedoelen we hier alle massaloze deeltjes mee.} gaan met de
lichtsnelheid, en deze hebben inderdaad een massa gelijk aan nul. Dit volgt uit
alle metingen, maar het is interessant om te zien dat dit resultaat ook \emph{volgt}
uit puur theoretische overwegingen. Zoals elke keer weer blijkt dit een direct
gevolg te zijn van de Minkowski-metriek en het Principe van Relativiteit! \newline
De vraag dient zich dan aan wat de waarde is van energie van een foton: wat is hier
de uitkomst van nul gedeeld door nul? De uitdrukking voor de relativistische
energie doet geen uitspraak. Dit betekent niet dat er geen antwoord bestaat voor
de energie van een massaloos deeltje, maar alleen dat deze waarde niet door Eq.X
of door de Relativiteitstheorie bepaald kan worden, en dat een andere formule
nodig is. In het geval van een foton is de formule bekend uit de quantummechanica,
\begin{equation}
E = h \nu
\end{equation}
waar $\nu$ de frequentie (kleur) van het licht is, en $h$ de constante van Planck.
De ontdekking van deze formule door Max Planck in 1900, was de start van de studie
van de quantummechanica. Samen met de ontdekking van de speciale relativiteitstheorie
leidde de ontwikkeling van de quantummechanica tot een gehele herschrijving van
de grondslagen van de natuurkunde; de negentiende eeuwse natuurkundigen bleken
het goed mis te hebben: er was nog heel, heel veel te ontdekken!

\vfill
\eject
