\section{Quantumfysische verschijnselen in het Universum}\label{astro}

\subsection{Kosmische straling}

Op dit moment worden we gebombardeerd door
energetische deeltjes uit de kosmos. Gemiddeld is de flux
ongeveer 150 geladen deeltjes per vierkante meter en
per seconde (voor een groot deel muonen met een energie
van ongeveer 2 GeV).
Kosmische straling werd ontdekt door de Limburgse geestelijke 
Theodore Wulf in het begin van de twintigste eeuw. Theodore Wulf
fabriceerde uiterst nauwkeurige elektrometers. Hij nam echter
waar dat hoe goed hij een elektrometer ook isoleerde, na verloop
van tijd de aangebrachte lading geneutraliseerd werd. 
De gangbare theorie, geformuleerd door Ernest Rutherford, 
was dat dit veroorzaakt werd
door de straling van radioactieve elementen in de aardbodem.
Theodore Wulf trachtte deze bijdrage te elimineren, door
zijn elektrometers te plaatsen op het hoogste gebouw ter
wereld, op dat moment de 324 m hoge Eiffeltoren in Parijs.
Metingen toonden aan dat het ontladen van de elektrometers
met dezelfde snelheid doorging. Hierop nam Victor Hess in 1912
enkele elektrometers, vervaardigd door Theodore Wulf, 
mee in ballonvluchten. Het was duidelijk dat voor hoogten
groter dan 1 km de ontlading toenam en zelfs verdubbelde bij 4 km.
Dit was het moment van de ontdekking van kosmische straling.
Sinds die tijd is de samenstelling,
het energiespectrum en de ruimtelijke en tijdverdeling van deze
straling uitvoerig bestudeerd. Kosmische straling vormt een
belangrijke component van ons sterrenstelsel: haar energiedichtheid,
ongeveer 1 eV/cm$^3$, is van dezelfde orde van grootte als 
de energiedichtheid van het galactisch magnetisch veld en de
thermische beweging van het gas. 
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/kosmisch_proton.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Een invallend hoog-energetisch proton raakt de top
van de aardatmosfeer en produceert een zogenaamde `cascade shower'.}
\label{fig:kosmisch_proton}
\end{figure}

Kosmische straling is bestudeerd op verschillende hoogten, met
ballonnen, raketten en satellieten in de atmosfeer, maar ook
in mijnen diep ondergronds. De straling die op de aardatmosfeer
invalt bestaat uit kernen, elektronen, positronen, fotonen en
neutrino's. Het is gebruikelijk om enkel de geladen deeltjes
kosmische straling te noemen. Zo wordt $X$-ray en $\gamma$-ray 
astronomie bedreven. Het lot van een
kosmisch proton, dat met een hoge energie op de aardatmosfeer
invalt, wordt geschetst in figuur \ref{fig:kosmisch_proton}.
Het proton gaat een interactie aan met een stikstof- of zuurstofkern
en dat heeft een reeks van gebeurtenissen tot gevolg. In eerste 
instantie wordt een groot aantal hadronen geproduceerd, waarbij
pionen domineren. Er kunnen echter ook antinucleonen, kaonen
en hyperonen geproduceerd worden. Deze hadronen zullen op hun beurt
weer wisselwerken met de stikstof- en zuurstofkernen in de atmosfeer,
terwijl de onstabiele deeltjes ook via de zwakke wisselwerking
kunnen vervallen. Merk op dat hierbij de verhouding van elektron
tot muon (anti)neutrino's 1:2 is. De vervalsproducten bestaan bijvoorbeeld
uit elektronen, muonen, neutrino's en fotonen. De fotonen kunnen
aanleiding geven tot paarproductie van deeltjes. De muonen zijn
instabiel, maar kunnen veelal vanwege tijddilatatie toch
het aardoppervlak bereiken. Samenvattend, kan een hoog-energetisch
proton een `cascade shower' initi\" eren, waarbij een groot aantal
deeltjes, verspreid over een oppervlak van vele vierkante kilometers,
het aardoppervlak kan bereiken. In tegenstelling tot een proton, 
zal een hoog-energisch foton meestal slechts een klein aantal
muonen produceren. In het volgende zullen we ons concentreren op
de primaire kosmische straling en de compositie van de `shower'
niet verder bespreken.

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/comp_kosmisch.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Samenstelling van de nucleaire component van de primaire
kosmische straling. De stippellijn toont de universele referentie
verdeling.}
\label{fig:comp_kosmisch}
\end{figure}
De samenstelling van de nucleaire component van de primaire kosmische
straling wordt getoond in figuur \ref{fig:comp_kosmisch}. De figuur
toont ook de zogenaamde universele distributie van elementen zoals
waargenomen in de zonneatmosfeer en in meteorieten. De data
tonen een aantal opvallende feiten:
\begin{enumerate}
\item{} De elementen Li, Be en B zijn ongeveer $10^5$ keer meer
abondant in kosmische straling dan universeel waargenomen.
\item{} De verhouding $^3$He/$^4$He is ongeveer 300 keer groter
in kosmische straling.
\item{} Zeer zware kernen komen vaker in kosmische straling voor.
\item{} Er zijn geen antihadronen aangetroffen in de primaire
kosmische straling.
\item{} Elektronen zijn ongeveer 1 \% keer zo abondant als
kernen in hetzelfde energie interval; positronen vormen ongeveer
10 \% van de elektron component.
\end{enumerate}
De eerste twee feiten kunnen worden verklaard door aan te nemen
dat de kosmische straling enkele g/cm$^2$ moeten passeren
tussen de bron en de top van de aardatmosfeer. In een dergelijke
hoeveelheid materie produceren kernreacties de geobserveerde
verdeling. Omdat de interstellaire dichtheid ongeveer $10^{-25}$
g/cm$^3$ is, zijn de kosmische stralen ongeveer $10^6 - 10^7$
jaar onderweg geweest. 
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/kosmisch_spectrum1.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Energiespectrum van de nucleaire component van de
primaire kosmische straling.}
\label{fig:kosmisch_spectrum}
\end{figure}
Het energiespectrum, dat is het aantal primaire deeltjes als
functie van de energie, is gemeten over een enorm gebied. Voor de
nucleaire component wordt dit getoond in Fig. \ref{fig:kosmisch_spectrum},
waarbij de meetgegevens zich uitstrekken over 14 decaden in energie
en 32 decaden in intensiteit. De energie van het meest energetische
deeltje is $4 \times 10^{21}$ eV of ongeveer 60 J.

\medskip
\noindent
Het is duidelijk dat het energiespectrum geen thermische
verdeling heeft: het is niet exponentieel, maar valt minder steil af.
Een redelijke fit aan de meetgegevens, afgezien van de laagste
energie\" en, geeft
\begin{equation}
I(E) \sim E^{-2.7},
\label{eq:power_spectrum}
\end{equation}
met $I(E)$ de intensiteit van de nucleaire component met energie $E$.
Er is een `knie' bij ongeveer $10^{15}$ eV, die men niet goed kan
zien in Fig. \ref{fig:kosmisch_spectrum}, maar die zichtbaar gemaakt
kan worden door het spectrum te normeren op de fit. Het resultaat
wordt getoond in Fig. \ref{fig:kosmisch_spectrum_norm}.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/kosmisch_spectrum_norm.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Energiespectrum van hoog-energetische kosmische straling
gemeten door verschillende groepen. Er is een `knie' zichtbaar bij
$10^6$ GeV, terwijl er een `enkel' te zien is bij $10^{10}$ GeV.}
\label{fig:kosmisch_spectrum_norm}
\end{figure}
Men denkt dat de `knie' veroorzaakt wordt door propagatie effecten
of door een nieuw mechanisme van versnellen van geladen kosmische
deeltjes. Boven ongeveer $10^{18}$ eV, waar het spectrum enigszins
vlak wordt, neemt men aan dat de bijbehorende deeltjes
van buiten ons sterrenstelsel afkomstig zijn
(extra-galactische straling), omdat
het galactisch magneetveld onvoldoende is om dergelijke deeltjes
op te sluiten. Het spectrum van elektronen lijkt voor energie\" en
boven de 1 GeV op dat van figuur \ref{fig:kosmisch_spectrum},
maar is steiler boven de 100 GeV vanwege elektromagnetische interacties
gedurende de vlucht dat deze deeltjes. Hierdoor biedt
het elektronspectrum een mogelijkheid om propagatiemodellen
nauwkeurig te testen.

\medskip
\noindent
Er zijn nog twee factoren van belang in de discussie van de 
energiespectra van kosmische straling. De eerste is de isotropie van de
straling, de tweede de constantheid in de tijd.
Metingen geven aan dat de flux van kosmische straling
isotroop is voor energie\" en kleiner dan $10^{15}$ eV. Er zijn
aanwijzingen dat de flux uit het centrum van ons melkwegstelsel
ongeveer 1 \% groter is dan gemiddeld. De tijdafhankelijkheid van
de intensiteit over langere perioden is bestudeerd door te kijken
naar de abondantie van nucle\"{\i}den in maangesteente en meteorieten.
Hieruit kan men afleiden dat de intensiteit van kosmische straling
constant is geweest over een periode van 1 miljard jaar.

\medskip
\noindent
De hierboven beschreven experimentele aanwijzingen impliceren
dat de bron van kosmische straling de volgende eigenschappen
dient te beziten: hij dient deeltjes met energie\" en
tot bijna $10^{22}$ eV te produceren met een spectrum zoals gegeven
door vergelijking (\ref{eq:power_spectrum}). De totale energie
geproduceerd in ons melkwegstelsel dient ongeveer $10^{42}$ J/jaar
te zijn; de straling dient isostroop en constant te zijn over
minstens $10^9$ jaar. Het primaire spectrum dient zware elementen
te bevatten tot ongeveer $Z=100$, maar met minder dan 1 \% antihadronen.

\medskip
\noindent
Er is nog geen model geformuleerd dat in staat is alle meetgegevens
uniek en bevredigend te beschrijven. De drie belangrijkste openstaande
vragen zijn (1) Waar komen de kosmische stralen vandaan? (2) Hoe worden
de kosmische deeltjes geproduceerd? (3) Hoe worden ze versneld? In het volgende
zullen we enkele opmerkingen hierover maken.
\begin{enumerate}
\item{} We kunnen de eerste vraag nauwkeuriger formuleren door een
schematische tekening te maken van een doorsnede door ons melkwegstelsel.
Dit is weergegeven in figuur \ref{fig:melkweg}.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/melkweg.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Schematische weergave van een doorsnede door ons 
melkwegstelsel.}
\label{fig:melkweg}
\end{figure}
Kosmische straling kan geproduceerd worden in de binnenste stralingsdiscus,
in de galactische halo, of ze kunnen ons melkwegstelsen van buitenaf binnen vliegen.
De meeste natuurkundigen zijn van mening dat kosmische
straling met een energie $< 10^{18}$ eV van ons melkwegstelsel afkomstig is.
\item{} Men neemt aan dat supernovae en neutronensterren kosmische
straling kunnen produceren. In ons melkwegstelsel
komt een supernova gemiddeld eens in de 40 jaar voor, waarbij een 
supernova tussen de $10^{43}$ en $10^{45.5}$ J aan energie produceert. Een
recente extragalactische supernova werd in 1987 waargenomen, 
SN1987 genoemd, en deze supernova
wordt uitvoerig bestudeerd. Studies van supernovae tonen aan
dat deze de voor kosmische straling benodigde energie van $10^{42}$ J/jaar 
kunnen leveren. Het is echter moeilijk gebleken om met 
versnellingsmodellen gebaseerd op supernovaschokgolven
rekenschap te geven van deeltjes met
energie\" en groter dan $10^{15}$ eV. Recente waarneming van kosmische straling
van het binaire systeem Cygnus X-3 en Hercules X-1 suggereren dat voor
energie\" en boven de `knie', de meeste kosmische straling afkomstig is
van pulsars of binaire systemen die bestaan uit een neutronenster en
een grote ster.
\item{} Het is mogelijk dat bronnen kosmische straling uitzenden met
een energiespectrum, zoals gegeven door vergelijking (\ref{eq:power_spectrum}).
Daarentegen, is het ook mogelijk dat de natuur dezelfde techniek gebruikt
als we nu in versnellers toepassen: versnellen in stappen. Een mechanisme
voor deeltjesversnelling in de interstellaire ruimte, botsing van deeltjes
met een bewegend magnetisch veld, werd voorgesteld door Fermi\footnote{E. Fermi,
{\sl Phys. Rev.} {\bf 75}, 12 (1949).}. Echter, in het algemeen is men de
mening toegedaan dat de primaire bronnen van kosmische straling gevormd
worden door supernovae explosies en hun restanten.
\end{enumerate}

\subsection{Energiehuishouding in sterren}

In de vorige paragraaf hebben we getracht duidelijk te maken dat de bron
van de meest energetische straling die de aarde bereikt, de kosmische
straling, nog in mysteri\"en gehuld is. We kunnen een andere bron van straling
identificeren, namelijk de zon. We denken dat we het mechanisme van
energieproductie begrijpen en we bespreken het hier als een voorbeeld van
de energiebron van sterren. De constructie van een fusiereactor op aarde
is ingewikkeld, het grootste probleem is de zogenaamde `confinement' 
(opsluiting) van het plasma. Een plasma met een temperatuur van ongeveer
$10^8$ K dient in een eindig volume opgesloten te worden. Vaste wanden
zijn niet mogelijk en we dienen toevlucht te nemen tot magnetische opsluiting
of opsluiting met behulp van lasers. Het volume van het magnetisch veld
dient relatief klein te zijn, enkele kubieke meters, want anders wordt
het vermogen, maar ook de constructiekosten, onoverkomelijk. In de
zon zijn deze problemen opgelost, alhoewel niet al te effici\" ent.
De buitentemperatuur is ongeveer 6000 K, terwijl de temperatuur in het
centrum van de zon ongeveer $1.6 \times 10^7$ K is. Kernfusie verloopt
relatief traag, maar de totale energieproductie is groot, omdat het
volume zo groot is.

\medskip
\noindent
V\' o\' or de ontdekking van kernreacties kon de energieproductie in de zon
niet verklaard worden: er was geen bron bekend die een dergelijke
hoeveelheid energie gedurende langere tijd kon produceren. Geologische
studies toonden aan dat de zon ongeveer dezelfde temperatuur heeft
gehad voor een periode van minstens $10^9$ jaar. Eddington was een
van de eersten die erop wezen, dat met de fusie van vier waterstofatomen
tot een $^4$He-atoom, er ongeveer 7 MeV/nucleon aan energie vrijkomt.
Dit proces levert miljoenen keren meer energie op dan een chemische reactie.
Er blijft echter een probleem: klassiek kan fusie niet optreden in
sterren, omdat de thermische energie van de protonen onvoldoende is
om de Coulombafstoting te overwinnen. Het quantummechanisch tunneleffect
maakt dergelijke reacties ook bij lagere temperatuur mogelijk. Men kan nu
specifieke reacties, verantwoordelijk voor stellaire energieproductie,
vaststellen. De eerste sequentie die werd voorgesteld was de zogenaamde
koolstof of CNO cyclus, waarin $^{12}$C en $4p$ getransformeerd worden
in een $\alpha$-deeltje en $^{12}$C. De CNO-cyclus verloopt als volgt,
\begin{eqnarray}
^{12}{\rm C}~p & \rightarrow & ^{13}{\rm N}~\gamma , \nonumber \\
^{13}{\rm N} & \rightarrow & ^{13}{\rm C}~e^+\nu , \nonumber \\
^{13}{\rm C}~p & \rightarrow & ^{14}{\rm N}~\gamma , \nonumber \\
^{14}{\rm N}~p & \rightarrow & ^{15}{\rm O}~\gamma , \nonumber \\
^{15}{\rm O} & \rightarrow & ^{15}{\rm N}~e^+\nu , \nonumber \\
^{15}{\rm N}~p & \rightarrow & ^{12}{\rm C}~^4{\rm He} . \nonumber \\
\end{eqnarray}
In deze sequentie fungeert het koolstof als een katalysator. Het
ondergaat veranderingen, maar het wordt niet verbruikt. De totale
reactie kan dus geschreven worden als
\begin{equation}
4p \rightarrow ^4{\rm He}.
\end{equation}
De totale energie die in deze reactie vrijkomt, kan eenvoudig
gevonden worden uit de bekende massa's. Er geldt
\begin{equation}
Q(4p \rightarrow ^4{\rm He}) = 26.7 ~{\rm MeV}.
\end{equation}
Van de energie wordt ongeveer 25 MeV gebruikt om de ster te
verhitten, de rest wordt afgevoerd door de neutrino's. De CNO-cyclus
is dominant in {\sl hete} sterren. In {\sl koude} sterren zoals de
zon, is de $pp$-cyclus belangrijker. De essenti\" ele stappen in de
$pp$-cyclus zijn
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{c}
pp \rightarrow de^+ \nu \\
\\
{\rm of}\\
\\
ppe^- \rightarrow d\nu \\
\end{array} 
\right\}
dp \rightarrow ^3{\rm He}\gamma
\label{eq:zwakkereacties}
\end{equation} 
en
\begin{equation}
^3{\rm He}~^3{\rm He} \rightarrow ^4{\rm He}~2p ,
\label{eq:ppcyclus_a}
\end{equation}
of
\begin{equation}
^3{\rm He}~^4{\rm He} \rightarrow ^7{\rm Be}~\gamma .
\label{eq:ppcyclus_b}
\end{equation}
In vergelijking (\ref{eq:ppcyclus_a}) is
de reactie $4p \rightarrow ^4{\rm He}+2e^+ + 2\nu$ reeds gerealiseerd.
In vergelijking (\ref{eq:ppcyclus_a}) wordt $^7$Be gevormd en dit leidt tot $^4$He via
twee sequenties,
\begin{equation}
^7{\rm Be} ~e^- \rightarrow ^7{\rm Li}~\nu ;~~~~
^7{\rm Li} ~p \rightarrow 2 ~^4{\rm He},
\end{equation}
of
\begin{equation}
^7{\rm Be} ~p \rightarrow ^8{\rm B}~\gamma ;~~~~
^8{\rm B} \rightarrow ^8{\rm Be}^* ~e^+\nu ;~~~~
^8{\rm Be}^* \rightarrow 2 ~^4{\rm He}.
\end{equation}
De $pp$-cyclus heeft dezelfde energieopbrengst als de CNO-cyclus.
Om de reactiesnelheden te kunnen berekenen, zijn er twee verschillende
soorten input nodig. Ten eerste, de temperatuurverdeling van het
inwendige van de zon dient bekend te zijn. Het originele werk gaat
terug tot Eddington en verbeterde versies lijken betrouwbaar te
zijn (astronomen zijn van mening dat de temperatuur in het inwendige
van de zon ongeveer 16 miljoen K is). Ten tweede dienen de werkzame
doorsneden voor de genoemde reacties bekend te zijn voor temperaturen
in de orde van 16 miljoen K. Deze temperatuur correspondeert met
kinetische energie\" en van slechts enkele keV, en de bijbehorende
werkzame doorsneden zijn uitermate klein. De vergelijkingen tonen
dat er twee typen reacties een rol spelen: hadronische en zwakke
reacties (alle reacties met neutrino's zijn zwak). De gemiddelde
levensduur van het verval $^8{\rm B} \rightarrow ^8{\rm Be}^* ~e^+\nu$
is gemeten. De twee zwakke reacties in vergelijking (\ref{eq:zwakkereacties})
verlopen echter zo traag, dat ze niet in het laboratorium gemeten
kunnen worden: ze worden berekend door gebruik te maken van
de Hamiltoniaan voor de zwakke wisselwerking. Teneinde de werkzame
doorsneden voor de hadronische reacties te vinden, worden de waarden
die bij hogere energie\" en gemeten zijn, ge\" extrapoleerd naar enkele keVs.
Experimentatoren (zoals W.A. Fowler van Caltech) en diverse theoreten
zijn van mening dat hun berekeningen stabiel zijn en dat zowel de structuur
van sterren als de kernfysische aspecten van de productie van
zonne-energie goed begrepen zijn.

\subsection{Neutrino astronomie}

De klassieke astronomie voert waarnemingen uit in de frequentieband
die correspondeert met zichtbaar licht, $400 - 800$ nm. In de laatste
decaden is dit venster enorm vergroot door aan de ene kant radio-
en infrarood astronomie en aan de andere kant door $X$-ray en
gamma-ray astronomie. De geladen kosmische straling biedt een aanvullende
mogelijkheid. Al deze observaties hebben namelijk een gezamelijk probleem: ze
kunnen niet in het inwendige van sterren kijken, omdat de straling
in een relatief kleine hoeveelheid materie al geabsorbeerd wordt.
Gelukkig is er \' e\' en deeltje dat kan ontsnappen uit het inwendige
van een dichte ster: het neutrino. Neutrino astronomie, alhoewel uitermate
ingewikkeld, is nu een respectabel onderdeel van de astrofysica. De
eigenschappen die het neutrino uniek maken, hebben we reeds besproken
in voorgaande hoofdstukken en kunnen als volgt worden samengevat:
\begin{enumerate}
\item{} De absorptie van neutrino's en antineutrino's in materie is
klein. De werkzame doorsnede voor absorptie kan geschreven worden als
\begin{equation}
\sigma~({\rm cm}^2) = 2.3 \times 10^{-44}{p_e \over m_ec^2}
{E_e \over m_ec^2},
\end{equation}
met $p_e$ en $E_e$ de impuls en energie van het elektron in de
eindtoestand in de reactie $\nu N \rightarrow eN^\prime$. We vinden
dat de gemiddelde vrije weglengte van een 1 MeV neutrino in water ongeveer
$10^{19}$ m is. Dit is vele malen groter dan de lineaire afmetingen van
sterren, die in het algemeen kleiner zijn dan $10^{11}$ m.
\item{} Men kan neutrino's en antineutrino's onderscheiden door verschillen
in wisselwerkingen met water. De luminositeit van neutrino's op aarde
wordt gedomineerd door de zon, omdat die zo dichtbij staat. We geloven
echter dat de primaire galactische bronnen van neutrino's supernovae
en hun restanten zijn. In het koelproces van supernovae worden neutrino
en antineutrino paren van alle flavors uitgezonden via reacties
met neutrale stromen, zoals $e^+e^- \rightarrow \nu \overline{\nu}$.
Verder worden elektron neutrino's en antineutrino's gegenereerd door
kernreacties met geladen stromen, zoals $e^-p \rightarrow n\nu_e$.
Figuur \ref{fig:sn1987a_flux} toont dat
de neutrino's van SN1987a zijn waargenomen.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/sn1987a_flux.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Tijd- en energieverdeling van neutrino's waargenomen met
het Kamiokande en het IMB experiment.}
\label{fig:sn1987a_flux}
\end{figure}
In het volgende zullen we de zonneneutrino's nader beschouwen. We
hebben gezien dat vier reacties van de $pp$-cyclus neutrino's produceren.
Eigenschappen van deze reacties worden vermeld in tabel \ref{table:zonneneutrinos}.
Bahcall en Davis hebben erop gewezen dat het mogelijk zou moeten zijn
het bestaan van de $pp$ fusie reactie in de zon te bewijzen, door 
zonneneutrino's te detecteren met behulp van de reactie
\begin{equation} \nu_e~^{37}{\rm Cl} \rightarrow e^-~^{37}{\rm Ar}.
\end{equation}
\end{enumerate}
\begin{table}[h]
	\caption{\sl Eigenschappen van reacties van de $pp$-cyclus waarbij
                   zogenaamde zonneneutrino's worden geproduceerd.}\label{table:zonneneutrinos}
\begin{center}
\begin{tabular}{|lcll|} \hline
Reactie & Relatieve intensiteit & & Neutrino energie \\
        &         &    &    \\ \hline
$pp \rightarrow de^+ \nu_e$ & 0.9975 & Spectrum & $E_{\rm max} = 0.42$ MeV \\
$ppe^- \rightarrow d\nu_e$  & 0.0023 & Mono energetisch & $E = 1.44$ MeV \\
$^7{\rm Be}~e^- \rightarrow ^7{\rm Li}~\nu_e$ & 0.078 & Mono energetisch & $E = 0.86, 0.38$ MeV \\
$^8{\rm B} \rightarrow ^8{\rm Be}^*~e^+ \nu_e$ & 0.0001 & Spectrum & $E_{\rm max} = 14.1$ MeV \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
Elektron neutrino's, maar niet de antineutrino's, met een energie van meer
dan 0.814 MeV kunnen worden ingevangen door $^{37}$Cl. Dit resulteert in
$^{37}$Ar en een elektron. Hoewel de werkzame doorsnede voor dit proces klein is,
is het zeer wel mogelijk om een dergelijk experiment uit te voeren. De
redenen hiervoor zijn als volgt samen te vatten:
\begin{enumerate}
\item{} De neutrinoflux van de zon is zeer groot, in de orde van
$10^{15}$ neutrino's/m$^2$-s, op het aardoppervlak. Uit tabel \ref{table:zonneneutrinos}
volgt dan een flux van energetische neutrino's van ongeveer $6 \times 10^{10}$
neutrino's/m$^2$-s.
\item{} Men kan de detectoren zeer groot maken. Op dit moment worden detectoren
ontworpen ter grootte van 1 kubieke kilometer. Icecube is het vervolg van
het Amanda experiment op Antartica, terwijl KM3Net het vervolg dient te 
worden van het Antares experiment in de Middellandse zee. De beide
detectoren zijn weergegeven in figuur \ref{fig:icecube}.
\item{} Het $^{37}$Ar kan in uiterst kleine hoeveelheden worden waargenomen,
omdat het radioactief is. Het vervalt door elektronvangst,
\begin{equation}
e^-~^{37}{\rm Ar} \rightarrow \nu_e~^{37}{\rm Cl},
\end{equation}
met een halfwaardetijd van 35 dagen. Het elektron wordt gewoonlijk gevangen
uit de $K$-schil en laat daar een gat achter. De energie die vrijkomt
als een ander elektron van hoger gelegen schillen het gat opvult, wordt
uitgezonden als een $X$-foton of het wordt gebruikt om een elektron uit
een hoger gelegen schil te emitteren (men noemt het dan een Auger elektron).
Het Auger elektron heeft een goed-gedefinieerde energie van 2.8 keV en
kan relatief eenvoudig worden waargenomen.
\item{} Argon is een edelgas. We kunnen het daarom relatief eenvoudig
scheiden van het chloor om het vervolgens in een klein volume te concentreren. 
\end{enumerate}
\renewcommand{\topfraction}{1.0}
\renewcommand{\textfraction}{0.0}
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/icecube.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Boven: schematische voorstelling van het Icecube experiment
op Antartica. Beneden: weergave van het Antares experiment in de
Middellandse zee.}
\label{fig:icecube}
\end{figure}
Het experiment van Davis $et$ $al.$ maakte gebruik van een tank met
390,000 liter C$_2$Cl$_4$ (tetrachloorethyleen, een schoonmaakvloeistof).
De tank werd 1.5 km ondergronds geplaatst in de Homestake goudmijn in
Lead, Zuid Dakota. De 1.5 km rots boven het experiment diende als
afscherming om de kosmische straling te reduceren. De abondantie van
de cruciale isotoop $^{37}$Cl is 25 \%. Een neutrino interactie met
dit chlooratoom produceert $^{37}$Ar. Het radioactieve argon werd over
een periode van 2 maanden verzameld en dan verwijderd door helium door
de tank te stromen. Het argon werd van het helium gescheiden door absorptie
op een gekoelde koolstofval. Vervolgens werd het in een volume van
0.5 cm$^3$ geteld met een proportionele teller. Het resultaat wordt
uitgedrukt in zogenaamde solar neutrino units, uitgesproken als `snew',
waarbij 1 SNU = $10^{-36}$ gebeurtenissen/s chloor atoom. De verwachting
was dat Davis $et$ $al.$ ongeveer 8 SNU zouden moeten meten. Het
experiment bepaalde $2.4 \pm 0.3$ SNU. Dit resultaat werd bevestigd
door een experiment in de Kamiokande mijn, waarbij een fractie
van $0.46 \pm 0.21$ werd gemeten van de voorspelling door het standaard
zonnemodel. 

\medskip
\noindent
Lange tijd heeft men gezocht naar verklaringen voor de puzzle van de
zonneneutrino's. De oplossing is onlangs gevonden en heeft te maken met
de transformatie van elektron neutrino's naar muon (en tau) neutrino's
in het inwendige van de zon. Als de neutrino massa niet gelijk is aan 
nul, dan kan een dergelijke transformatie plaatsvinden. In het inwendige
van de zon wordt een dergelijke conversie geholpen door de aanwezigheid
van elektronen. Door de geladen-stromen interactie krijgen de
neutrino's effectief een verandering in hun massa en deze verandering
maakt de transformatie in muon neutrino's mogelijk. Dergelijke veranderingen
staan bekend als neutrino oscillaties en zijn onlangs ontdekt.
De neutrale-stroom interactie draagt niet tot een dergelijke versterking
bij, omdat de resulterende werkzame doorsnede van lage-energie neutrino's
niet van de neutrinosoort afhangt.

\subsection{Neutrino oscillaties}

We beperken de discussie tot twee flavors, het elektron neutrino $\nu_e$
en het muon neutrino $\nu_\mu$. De flavor eigentoestanden, $\nu_e$ en $\nu_\mu$,
zijn echter geen massa eigentoestanden, $\nu_1$ en $\nu_2$,
maar zijn hieraan gerelateerd door een zogenaamde menghoek $\theta$, 
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
\nu_e \\
\nu_\mu \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
\cos{\theta} & \sin{\theta} \\
-\sin{\theta} & \cos{\theta} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
\nu_1 \\
\nu_2 \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
We nemen aan dat we een bundel $\nu_e$'s geproduceerd hebben met een precieze
impuls, waarbij alle deeltjes in de $x$-richting bewegen en de bron zich
op $x=0$ bevindt. We vragen ons af wat de waarschijnlijkheid is om een $\nu_e$
te detecteren op positie $x \neq 0$?

\medskip
\noindent
Neem aan dat we op tijdstip $t=0$ een zuivere $\nu_e$ toestand hebben.
Omdat $\nu_1$ en $\nu_2$ massa eigentoestanden zijn, en omdat de bundel bestaat
uit eigentoestanden van impuls, vertelt de relatie
\begin{equation}
E_i^2 = p^2c^2 + m_i^2c^4~~~~{\rm voor}~i=1,2
\end{equation}
ons, dat dit ook eigentoestanden van energie zijn. De tijdevolutie wordt daarom
gegeven door de uitdrukkingen
\begin{eqnarray}
\nu_1(t) & = & \nu_1 e^{-iE_1 t / \hbar}, \nonumber \\
\nu_2(t) & = & \nu_2 e^{-iE_2 t / \hbar} . \nonumber \\
\end{eqnarray}
Vervolgens gebruiken we de gegeven relatie tussen $\nu_e$ en $\nu_i$ en vinden
dat de golffunctie op $t=0$ geschreven kan worden als
\begin{equation}
\psi (0) = \nu_e = \cos{\theta} \cdot \nu_1 + \sin{\theta} \cdot \nu_2 .
\end{equation}
We gebruiken de tijdafhankelijkheid van de $\nu_i$ en kunnen de
volledige oplossing van de Schr\" odingervergelijking met als begintoestand
$\psi (0) = \nu_e$ schrijven als
\begin{equation}
\psi (t) = \cos{\theta} \cdot \nu_1(t) + \sin{\theta} \cdot \nu_2(t) =
\cos{\theta} \cdot e^{-iE_1 t} \cdot \nu_1 + \sin{\theta} \cdot e^{-iE_2 t}\cdot \nu_2.
\end{equation}

\medskip
\noindent
De waarschijnlijkheid om een $\nu_e$ te detecteren is het kwadraat van de
projectie van $\psi (t)$ op de flavoreigentoestand $\nu_e$. We maken
gebruik van de orthonormaliteitsrelaties voor de massa eigentoestanden,
\begin{equation}
\nu_i^\dagger \cdot \nu_j = \delta_{ij}
\end{equation}
en berekenen de projectie als
\begin{eqnarray}
\nu_e^\dagger \cdot \psi (t) & = & \left( \cos{\theta}\cdot \nu_1^\dagger +
\sin{\theta}\cdot \nu_2^\dagger \right) \cdot \left( \cos{\theta} \cdot e^{-iE_1t}
\cdot \nu_1 + \sin{\theta} \cdot e^{-iE_2t} \cdot \nu_2 \right) \nonumber \\
& = & \cos^2{\theta} \cdot e^{-iE_1t} + \sin^2{\theta}\cdot e^{-iE_2t}. \nonumber \\
\end{eqnarray}
Als we het kwadraat nemen van bovenstaande uidrukking vinden we
\begin{eqnarray}
P(\nu_e) & = & \vert \cos^2{\theta} \cdot e^{-iE_1t} 
+ \sin^2{\theta}\cdot e^{-iE_2t} \vert^2 \nonumber \\
& = & \cos^4{\theta} + \sin^4{\theta} + 2 \cos^2{\theta}\sin^2{\theta}\cos{ \left[
(E_1 - E_2)t \right] }.
\end{eqnarray}
We zien dat de periode van oscillatie gegeven wordt door
\begin{equation}
T = {2 \pi \over E_1 - E_2}.
\end{equation}
Als we aannemen dat de neutrino's ultra-relativistisch zijn, dus
$E \approx pc \gg mc^2$, dan geldt
\begin{equation}
E_i = \sqrt{p^2c^2 + m_i^2c^4} \approx pc + {m_i^2c^3 \over 2p} + \ldots
\end{equation}
Als we dit invullen vinden we
\begin{equation}
T = {2 \pi \over E_1 - E_2} \approx {4\pi p \over m_1^2c^3 - m_2^2c^3}
\approx {4\pi E \over (m_1c^2)^2 - (m_2c^2)^2}.
\end{equation}
Omdat de neutrino's ultra-relativistisch bewegen, bewegen ze zich met
praktisch de lichtsnelheid. De afgelegde weg bedraagt dus $x = c \cdot t$.
We zien dat de flavor oscillatie in de tijd, zich vertaalt in een oscillatie
van de neutrino flavor als functie van de afstand tot de bron. De afstand
die correspondeert met een oscillatieperiode wordt de oscillatielengte,
$L_{\rm osc}$, genoemd. We vinden hiermee de relatie
\begin{equation}
L_{\rm osc} = c \cdot T = {4\pi \hbar c E \over (m_1c^2)^2 - (m_2c^2)^2}
= {4\pi E \hbar c \over \Delta m^2c^4},
\end{equation}
met $\Delta m^2 = \vert m_1^2 - m_2^2 \vert$. Als we de juiste 
conversiefactoren gebruiken vinden we
\begin{eqnarray}
L_{\rm osc} & = & {4\pi \cdot (1.6 \times 10^{-13}~{\rm J/MeV}) \cdot (3 \times 10^8
~{\rm m/s}) \cdot (1.054 \times 10^{-45}~{\rm Js}) \cdot E \over
(1.6 \times 10^{-19}~{\rm J/eV})^2 \cdot \Delta m^2} \nonumber \\
& = & 2.483 {\rm m} \cdot {\rm eV}^2 \cdot {\rm MeV}^{-1} \cdot
{E \over \Delta m^2} \nonumber \\
& \approx & 2.5~{\rm km}~{E~({\rm GeV}) \over \Delta m^2~({\rm eV})^2} .
\nonumber \\
\end{eqnarray}
\renewcommand{\topfraction}{1.0}
\renewcommand{\textfraction}{0.0}
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/neutrinomap.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Gebieden in de neutrino parameterruimte opgespannen
door $\Delta m^2$ en menghoek $\theta$ die worden uitgesloten of
die waarvoor er een voorkeur voor de waarden van deze parameters bestaat.}
\label{fig:neutrinomap}
\end{figure}
Er zijn diverse experimenten uitgevoerd om neutrino oscillaties te
observeren. Hierbij werden neutrino's van zowel de zon, als
kernreactoren alsook de neutrino's geproduceerd in atmosferische
showers van kosmische straling gebruikt. Fig. \ref{fig:neutrinomap}
toont de gebieden in de neutrino parameterruimte opgespannen
door $\Delta m^2$ en menghoek $\theta$ die worden uitgesloten of
die waarvoor er een voorkeur bestaat. De huidige consensus is
dat neutrino oscillaties zijn waargenomen met een significantie
van ongeveer 5 $\sigma$.

\subsection{Nucleosynthese}

Volgens Gamow begon ons universum als een extreem hete en gecomprimeerde
neutrale bol in een stralingsbad. Vanwege haar grote interne energie
expandeerde deze vuurbal z\' o snel, dat dit proces gewoonlijk de Big
Bang wordt genoemd. Tegenwoordig verschilt het geaccepteerde `standaard
model' van het beginnend universum in details van Gamow's beeld, maar
het concept van een Big Bang wordt ondersteund door de ontdekking in 1965 van
de 2.7 K achtergrondstraling door Penzias en Wilson. Recente
meetgegevens van de Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) worden
getoond in figuur \ref{fig:wmap}.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/wmap.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Meetgegevens verzameld met de Wilkinson Microwave Anisotropy Probe.
Boven: de temperatuurverdeling in galactische co\" ordinaten. Beneden: een
referentiekaart die emissie van de melkweg, het Cygnus compex en andere bronnen
toont.}
\label{fig:wmap}
\end{figure}
De mikrogolf achtergrondstraling wordt ge\"{\i}nterpreteerd als de
straling die overgebleven is van het initi\" ele stralingsbad van
het beginnend universum. Uit de ruimtelijke verdeling van de straling
kunnen we informatie verkrijgen over het universum toen het ongeveer
300,000 jaar oud. Sinds die tijd hebben de fotonen een roodverschuiving 
ondergaan door 
expansie van het universum. Voor tijden kleiner dan 300,000 jaar na de
Big Bang was de temperatuur te hoog voor een ongestoorde
voortplanting van de fotonen en was bijvoorbeeld ook waterstofgas niet
stabiel. De meetgegevens van WMAP duiden op een temperatuur van
2.725 K met diverse anisotropi\" en. De grootste anisotropie is afkomstig
van de beweging van de Aarde ten opzichte van het de kosmische
achtergrondstraling\footnote{Er bestaat dus een voorkeur voor een referentiesysteem
in het universum: een systeem dat is rust is ten opzichte van de 
kosmische achtergrondstraling. Dit breekt Lorentzinvariantie en leidt
ook tot het niet gelden van energie- en impulsbehoud.}.
Belangrijk zijn vooral de anisotropi\" en op het $10^{-5}$ niveau op
een schaal van ongeveer 10 boogminuten tot enkele graden. Deze kleine
variaties zijn het gevolg van het zogenaamde Sachse-Wolf effect, waardoor
fotonen van de achtergrondstraling een gravitationele roodverschuiving
krijgen. Volgens het inflatiemodel ligt de oorsprong van deze variaties
in quantum fluctaties die gedurende de inflatie era expandeerden en
resulteerden in primordiale fluctuaties. Uit deze laatste fluctaties
is de huidige structuur van ons universum ontstaan. De belangrijkste
conclusies van WMAP tot nu toe kunnen als volgt worden samengevat:
\begin{itemize}
\item{} Het universum is 13.7 miljard jaar oud (de fout is ongeveer 1 \%).
\item{} De diameter van het universum is minstens 78 miljard lichtjaar.
\item{} Het universum bestaat uit 4 \% gewone baryonische materie,
uit 23 \% van een onbekend soort `dark matter'. Deze materie wordt
zo genoemd, omdat deze niet
zichtbaar is, maar wel gravitationele effecten heeft. Het universum
bestaat uit 73 \% van
iets dat we `dark energy' noemen. Dit laatste is een hypotetische energievorm
die het hele universum doordringt en een negatieve druk uitoefent, waardoor
er effectief een afstotende gravitatiekracht ontstaat.
\item{} De kosmologische scenario's voor inflatie zijn consistent met
de waarnemingen.
\item{} De Hubble constante is $71 \pm 4$ km/s/Mpc.
\item{} Als de huidige theorie\" en worden toegepast op de WMAP
meetgegevens, dan is er een indicatie dat het universum eeuwig zal
expanderen.
\end{itemize}
Naast het overtuigende bewijs geleverd door COBE en WMAP, zijn er meer
aanwijzingen voor de juistheid van de
Big Bang theorie, bijvoorbeeld de abondantie van de lichte elementen,
de zogenaamde primordiale nucleosynthese.

\medskip
\noindent
Primordiale nucleosynthese begon pas toen het universum meer dan 10
seconden oud was en door haar expansie was afgekoeld tot een temperatuur
van ongeveer $3 \times 10^9$ K. V\' o\' or deze tijd was de temperatuur z\' o hoog,
dat de lichte kernen, gevormd door nucleon en nucleaire botsingen, 
na hun vorming ook weer direct uiteen vielen. Voor temperaturen lager
dan $3 \times 10^9$ K en dus voor tijden groter dan 10 s na de Big Bang
bleef $^4$He gebonden, terwijl de lichtere kernen nog steeds uiteen vielen.
Hierdoor kon nucleosynthese nog steeds geen aanvang nemen. Echter,
ongeveer 3 minuten later, waarbij de temperatuur door verdere expansie
afgekoeld was tot minder dan $10^9$ K, waren deuteron gevormd door de
reactie $n+p \rightarrow d+\gamma$ stabiel. Vervolgens leidde
neutron- en protonvangst door deuteronen tot $^3$H en $^3$He. Het $^3$H
gaat via beta-verval over in $^3$He en dat kan op haar beurt door
neutronvangst weer overgaan in $^4$He. De bijdrage van dit
laatste proces is echter klein ten opzichte van de vorming van $^4$He
door directe neutronvangst van $^3$He of door de reactie
$d~^3{\rm He} \rightarrow p~^4{\rm He}$. Botsingen tussen $^3$H en $^3$He
met $^4$He cre\" eerden kleine hoeveelheden $^7$Li en $^7$Be. Dit laatste
kan via beta-verval overgaan in het stabiele $^7$Li, hetgeen weer
de reactie $p ~ ^7{\rm Li} \rightarrow ^4{\rm He}^4{\rm He}$ kan aangaan.
Ook andere lichte kernen kunnen op deze wijze vernietigd worden, bijvoorbeeld
$n~^3{\rm He} \rightarrow p~^3{\rm H}$. De hoeveelheden $^2$H, $^3$H,
$^3$He, $^4$He en $^7$Li geproduceerd in de Big Bang zijn derhalve gevoelig
voor de baryondichtheid, of wel de verhouding van baryonen tot
fotonen (ongeveer $3 \times 10^{-10}$), maar ook voor de expansiesnelheid
(snelheid van afkoeling) van het beginnend universum. De relatieve
abondantie van een gegeven kern is gevoelig voor de
reactiesnelheid van diverse kernreacties. Figuur \ref{fig:nsynth} toont
de abondanties van de lichte kernen gevormd in de Big Bang ten opzichte
van de abondantie van waterstof.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/nsynth.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Voorspellingen voor de primordiale abondanties van de
lichtste elementen, getoond als massaverhoudingen ten opzichte van
waterstof, als functie van $\eta$, de verhouding van het aantal baryonen ten
opzichte van fotonen. De drie curven voor $^4$He corresponderen met 2,
3 en 4 neutrinofamilies en de foutenvlag toont de spreiding voor
een verandering van 0.2 minuten in de levensduur van het neutron
(aangenomen als 10.6 minuten, maar we weten nu dat deze tijd ongeveer
10.3 minuten is).}
\label{fig:nsynth}
\end{figure}
Hoe groter de baryonendichtheid, ofwel $\eta$ in figuur \ref{fig:nsynth},
des te groter is de vernietigingssnelheid van $d$, $^3$H en $^3$He.
De gemeten abondanties van $d$, $^3$He en $^7$Li komen overeen met
een $\eta$ dicht bij het minimum in de $^7$Li curve. De $^4$He-kern heeft
de grootste abondantie vanwege haar grote bindingsenergie. De expansiesnelheid
van het universum neemt toe met het aantal neutrinofamilies. Figuur
\ref{fig:nsynth} laat zien dat de gemeten abondantie voor $^4$He, ongeveer
25 \% (gewichtsprocent) van de abondantie voor waterstof, bevestigt dat
er drie neutrinofamilies bestaan. Dit komt overeen met waarnemingen
van $Z^0$ verval.

\subsection{Nucleosynthese in sterren}

Primordiale productie van zware elementen is niet mogelijk, omdat neutron-
of protonvangst van $^4$He niet tot stabiele kernen leidt en vanwege
het trage verloop van andere reacties. Neutronvangst bijvoorbeeld, leidt
tot $^5$He, hetgeen instabiel is en weer direct vervalt naar $^4$He. Ook de
vangst van $\alpha$-deeltjes via $^4{\rm He}^4{\rm He} \rightarrow ^8{\rm Be}$,
vormt enkel het instabiele $^8$Be, dat weer onmiddellijk
opbreekt in twee alfa deeltjes. Als de temperatuur van het universum
gedaald is tot ongeveer $3 \times 10^8$ K, ongeveer een half uur na
haar geboorte, stopt nucleosynthese, omdat Coulomb repulsie verdere
kernreacties verhindert. De abondanties van de diverse elementen gevormd
in de Big Bang zijn nu ingevroren, zodat de abondanties van de lichte
elementen $d$, $^3$He, $^4$He en $^7$Li, zoals die tegenwoordig worden
waargenomen, nog steeds de toestand van een half uur oud universum
reflecteren.

\medskip
\noindent
Lichte kernen kunnen ook in sterren geproduceerd worden.
In het geval van $^4$He verklaart dit productieproces echter slechts ongeveer
10 \% van de waargenomen abondantie van dit element. Deuterium kan
al helemaal niet in significante hoeveelheden in sterren geproduceerd
worden, omdat het bij dergelijke hoge dichtheden direct in zware
elementen geconverteerd wordt. Deze conversie beperkt de huidige
baryondichtheid in het universum tot minder dan ongeveer 
$5 \times 10^{-31}$ g/cm$^3$. De productie van lithium in sterren
wordt positief be\"{\i}nvloed door neutrino interacties met $^4$He.
Deze reacties produceren $^3$H, $^3$He, protonen en neutronen. Een
van de successen van het standaard model is haar vermogen om de
abondanties van de lichte elementen te voorspellen, zelfs al verschillen
die een factor miljard van elkaar. Echter, de gemeten abondanties
van zware elementen kan niet verklaard worden door Big Bang nucleosynthese.
Klaarblijkelijk werden de zware elementen in een later stadium geproduceerd,
nadat stervorming reeds plaatsgevonden had. Nucleosynthese, de verklaring
van de abondantie van de elementen, is dus onlosmakelijk verbonden
met sterstructuur en sterevolutie.

\medskip
\noindent
In een ster neemt de gravitationele druk af met het volume van de ster,
terwijl de gasdruk in haar binnenste weerstand biedt aan deze reductie.
Druk en temperatuur in een ster zijn immens. In de zon bijvoorbeeld,
is de druk in het centrum $2\times 10^{10}$ bar en de temperatuur
$16 \times 10^6$ K. Atomen zijn onder deze omstandigheden bijna 
volledig ge\"{\i}oniseerd, waardoor er een plasma van vrije elektronen
en naakte atoomkernen ontstaat. De interne druk wordt in stand gehouden
door kernreacties die voor de stralingsenergie van de ster zorgen.
Zolang deze reacties plaatsvinden, zullen gravitationele en
interne druk elkaar in balans houden en is de ster in een evenwichtstoestand.
Wat gebeurt er echter als de brandstof opgebruikt is? Wat gebeurt er
met onze zon als alle waterstof opgebruikt is en de $pp$-cyclus stopt?
De ster zal dan onder gravitatie samentrekken, waardoor de centrale
druk en temperatuur zullen toenemen. Bij hogere temperatuur zullen
nieuwe kernreacties plaatsvinden en een nieuwe evenwichtstoestand wordt
bereikt. Onder die omstandigheden zullen nieuwe elementen worden gevormd.
Er zijn dus verschillende stadia van nucleair branden en contractie.
Een ster kan dus net als de zon rustig stralen of zich explosief 
gedragen zoals in een
supernova. In alle stadia zullen zware elementen gegenereerd worden.
\medskip
\noindent
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/supercomp.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Resultaten van de berekening van de samenstelling 
van een ster met een massa van 15 zonnemassa's. De abondanties van
de diverse elementen worden gegeven als functie van massa (in zonnemassa's)
ten opzichte van het centrum.} 
\label{fig:supercomp}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:supercomp} geeft de resultaten van de
berekening van de samenstelling van een ster met een massa van
15 zonnemassa's. Deze ster bevindt zich aan het eind van de diverse
stadia van verbranding. Een dergelijke ster zal dan de supernova-fase
ondergaan, waarna zij zich tot een neutronenster zal ontwikkelen.
Ook voor de berekening van de supernova-fase bestaan er
nauwkeurige modellen. Figuur \ref{fig:superentropie} toont de
resultaten van een dergelijke berekening. 

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/superentropie.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Resultaat van een supernova model. De entropie wordt
gegeven als functie van de tijd, voor de eerste 0.5 seconde van
het proces.}
\label{fig:superentropie}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/expster.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Residue van koolstofverbranding in een exploderende ster. De
cirkels stellen zonnestelsel abondanties voor, terwijl de berekende waarden
door kruisen gerepresenteerd worden. De lijnen verbinden stabiele
isotopen van een gegeven element. De aangenomen piektemperatuur is
$2 \times 10^9$ K en de dichtheid is $10^5$ g/cm$^3$.}
\label{fig:expster}
\end{figure}

\medskip
\noindent
De volgende belangrijke stap, na de formatie van $^4$He, is de productie
van $^{12}$C. Het $^8$Be, gevormd in de reactie
$^4{\rm He}^4{\rm He} \rightarrow ^8{\rm Be}$, is instabiel. Echter,
indien de $^4$He dichtheid hoog genoeg is, kunnen meetbare hoeveelheden
$^8$Be aanwezig zijn in de evenwichtsreactie
\begin{equation}
^4{\rm He}~^4{\rm He} \Longleftrightarrow ^8{\rm Be}^*.
\end{equation}
Vangst van een alfa deeltje kan dan plaatsvinden,
\begin{equation}
^4{\rm He}~^8{\rm Be}^* \rightarrow ^{12}{\rm C},
\end{equation}
waardoor koolstof gevormd wordt. Deze vangst-reactie wordt
versterkt, omdat de formatie van $^{12}$C voornamelijk verloopt
via een resonantie met een aangeslagen toestand, $^{12}{\rm C}^*$.

\medskip
\noindent
De vorming van $^{16}$O vindt plaats in de CNO-cyclus, maar de
dominante reactie is heliumverbranding,
\begin{equation}
^4{\rm He}~^{12}{\rm C} \rightarrow ^{16}{\rm O}~\gamma .
\end{equation}
Bovenstaande sequentie kan herhaald worden voor zwaardere elementen,
terwijl proton- en neutronvangst de elementen kunnen vormen die tussen
de alfa-achtige nucle\"{\i}den liggen. 
Fusiereacties, zoals koolstofverbranding, zijn van vitaal belang 
om rekenschap te kunnen geven van de abondantie van elementen
in het gebied $20 \leq A \leq 32$. De reacties,
\begin{eqnarray}
^{12}{\rm C}~^{12}{\rm C} & \rightarrow & ^{20}{\rm Ne}~\alpha \nonumber \\
                          & \rightarrow & ^{23}{\rm Na}~p \nonumber \\
                          & \rightarrow & ^{23}{\rm Mg}~n \nonumber \\
\end{eqnarray} 
vereisen een temperatuur hoger dan ongeveer $10^9$ K. Dergelijke temperaturen
komen slechts voor in enkele zeer massieve sterren en men denkt dat
koolstofverbranding voornamelijk plaatsvindt in massieve, zogenaamde
exploderende sterren. Men neemt aan dat de temperatuur in exploderende
sterren ongeveer $2 \times 10^9$ K is. Figuur \ref{fig:expster} laat zien
dat de abondantie van de geproduceerde elementen goed overeenkomt
met de resultaten van stermodellen. Op dezelfde manier kan zuurstofverbranding,
\begin{eqnarray}
^{16}{\rm O}~^{16}{\rm O} & \rightarrow & ^{28}{\rm Si}~\alpha \nonumber \\
                          & \rightarrow & ^{31}{\rm P}~p \nonumber \\
                          & \rightarrow & ^{31}{\rm S}~n \nonumber \\
\end{eqnarray} 
rekenschap geven voor de abondantie van elementen met $32 \leq A \leq 42$,
maar vereist een temperatuur van ongeveer $3.6 \times 10^9$ K.
Verbranding van silicium draagt bij tot de verklaring van de formatie
van veel elementen tot Ni.

\medskip
\noindent
Een nieuw aspect komt aan de orde als de formatie van ijzer
bereikt wordt. De bindingsenergie per nucleon heeft een maximum in de buurt
van de Fe-groep. Voor atoomgetallen groter dan dat van ijzer, neemt
de bindingsenergie per nucleon af. Om die reden kan de Fe-groep niet
dienst doen als brandstof en de verbranding stopt als ijzer gevormd is.
Dit verklaart ook waarom de elementen in de buurt van Fe meer abondant
zijn dan andere. Elementen zwaarder dan ijzer zijn waarschijnlijk gevormd
door neutron- en protonvangst reacties. Deze processen vinden plaats
zolang de ster brandt of wanneer explosies protonen en neutronen
produceren. Op het moment dat de kernreacties die de energie
van de ster leveren stoppen, stopt ook de productie van zware elementen.

\subsection{Supernovae en neutronensterren}

In het vorige hebben we diverse verbrandingsprocessen die zich in sterren
afspelen beschreven. In deze fusiereacties worden elementen geproduceerd
en tegelijkertijd wordt meer en meer kernbrandstof opgebruikt. Wat gebeurt
er wanneer er geen brandstof meer is? Volgens de gangbare theorie\" en
kan een ster op vier manieren aan zijn einde komen: het kan een zwart gat, een
witte dwerg, of een neutronenster worden, of het kan volledig fragmenteren.
Haar uiteindelijke lot wordt bepaald door de beginmassa
van de ster. Als deze massa minder is dan ongeveer vier zonnemassa's,
dan zal de ster een witte dwerg worden. Als deze massa echter groter
is dan ongeveer vier zonnemassa's, kan een supernova ontstaan die
resulteert in een neutronenster, een zwart gat of in volledige fragmentatie.
Zwarte gaten trekken zich oneindig lang samen en benaderen, maar
zullen dit nooit bereiken, een straal van ongeveer 3 km en een dichtheid
van meer dan $10^{16}$ g/cm$^3$. Neutronensterren hebben een straal
van ongeveer 10 km en een centrale dichtheid die groter is dan die
van kernmaterie, ongeveer $10^{14}$ g/cm$^3$. In het volgende bespreken
we de formatie en eigenschappen van neutronensterren.

\medskip
\noindent
Men neemt aan dat neutronensterren zich ontwikkelen uit de gravitationele
samenstorting van sterren die massiever zijn dan ongeveer acht zonnemassa's.
Tegen het einde van de diverse stadia van kernverbranding, heeft de
temperatuur een waarde van ongeveer $8 \times 10^9$ K bereikt
in een centrale, voornamelijk uit ijzer bestaande, kern ter grootte van 
ongeveer 1.5 zonnemassa. Het element $^{56}$Fe heeft de meest stabiele
kern bij lage temperatuur en druk. Bij de druk, dichtheid en temperatuur
van de centrale kern zullen de atomen volledig ge\"{\i}oniseerd zijn,
waarbij de vrije elektronen een ontaard gas vormen. Het gedrag van deze
elektronen bepaalt de verdere evolutie van de ster, waarbij de rol
van de elektronen begrepen kan worden met het Fermigas model. We nemen
hierbij aan dat de elektronen een gas vormen van ultra-relativistische
vrije fermionen, die zich in een volume $V$ bevinden. Alle beschikbare
toestanden zijn bezet tot de Fermi energie $E_F$. Dit ontaarde
elektronengas levert de druk die in evenwicht is met de gravitationele
aantrekking. 

\medskip
\noindent
Teneinde de druk in een ster te kunnen berekenen, bepalen we
eerst de totale energie van $n$ extreem relativistische elektronen in een
volume $V$. Voor een volledig ontaard Fermigas kunnen we in een volume $V$
\begin{equation}
dn = 2 ~{1 \over h^3} ~V ~4\pi p^2 dp
\end{equation}
elektronen plaatsen met een impuls tussen $p$ en $p+dp$. Hierbij geeft
de eerste factor het aantal spininstellingen, de tweede het volume van de
eenheidscel in de faseruimte en de laatste het volume van de bolschaal
in de impulsruimte. Door integratie vinden we het aantal elektronen,
\begin{equation}
n = \int_0^{p_F} 8\pi {V \over h^3} p^2 dp = {8\pi \over 3}{V \over h^3}p_F^3.
\end{equation}
De maximum impuls van de elektronen, $p_F$, noemen we de Fermi impuls,
en hiervoor geldt dus
\begin{equation}
p_F = \hbar \left( 3\pi^2 n \over V \right)^{1/3}. 
\end{equation}
De totale energie, $E$, van deze elektronen rekenen we uit
in de ultra-relativistische benadering, $E = pc$, en bedraagt
\begin{eqnarray}
E & = & \int_0^{p_F} pc ~8\pi {V \over h^3}p^2 dp \nonumber \\
& = & \left( {\pi^2 \over 4} \right)^{1/3} \hbar c ~{n^{4/3} \over V^{1/3}}.
\nonumber \\
\end{eqnarray}
De druk ten gevolge van dit Fermigas is
\begin{equation}
p = {\partial E \over \partial V} = {1 \over 3}
\left( {\pi^2 \over 4} \right)^{1/3} \hbar c \left( {n \over V} \right)^{4/3},
\label{eq:fgn}
\end{equation}
en deze druk is in evenwicht met de naar binnen gerichte gravitatiekracht,
zodat de kern van de ster zich in een evenwichtstoestand bevindt.

\medskip
\noindent
De sterkern verliest elektronen vanwege elektronvangst door het ijzer, waarbij
neutrino's worden uitgezonden. Als elektronen niet langer weerstand kunnen
bieden aan de massa van de kern, stort de ster in. De gravitationele energie
die hierbij vrijkomt wordt in warmte en kinetische energie omgezet. Kernen
gaan hierbij over tot een gas van nucleonen en de dichtheid van de kern van
de ster neemt toe tot waarden die ongeveer twee keer zo groot
zijn als die van kernmaterie. Op dit punt aangenomen, stopt de compressie
omdat het nucleongas nu de druk levert die nodig is om ineenstorting te
voorkomen. Indien de ster echter massiever is dan ongeveer 25 zonnemassa's,
kan zelfs het nucleongas niet genoeg druk opbrengen om volledige ineenstorting
van de ster te voorkomen en wordt er een zwart gat gevormd. Dit laatste geval
zullen we niet verder bespreken. In het geval van niet al te grote massieve
sterren, stuitert de kern wat op en neer als de compressie stopt, waardoor 
uitgaande drukgolven ontstaan die resulteren in een schokgolf. Deze schokgolf
zal de mantel van de ster doen scheuren waardoor er een explosie volgt. Op
deze wijze wordt een type II supernova geboren. De energie van de ineengestorte
kern, ongeveer $3 \times 10^{46}$ J, wordt in een tijdspanne van ongeveer 10 s
uitgezonden in de vorm van neutrino's, waarbij er een neutronenster resteert.
Figuur \ref{fig:sn1987a_flux} toont dat
de neutrino's van SN1987a op aarde waargenomen zijn en dat de energie- en
tijdverdeling van deze neutrino's gemeten is.

\medskip
\noindent
Neutrino emissie is een effici\" ent koelproces voor de resterende
neutronenster. De ster koelt al fors binnen een paar seconden en heeft na
een paar dagen een interne temperatuur van ongeveer $10^{10}$ K bereikt. Deze
interne temperatuur blijft zeker boven de $10^9$ K gedurende de eerste
duizend jaar, met neutrino emissie als het belangrijkste koelproces.
Daarna wordt foton-emissie het dominante koelproces en bereikt de
neutronenster een temperatuur van ongeveer $10^8$ K.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/stercross.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Doorsnede van een typische neutronenster. De hadronische
kern kan quarkmaterie of een pion-condensaat bevatten.}
\label{fig:stercross}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:stercross} toont een doorsnede van een typische neutronenster.
Hierbij zijn de volgende vragen relevant: Hoe heeft de ster deze eindtoestand
bereikt? Waarom stort de ster niet volledig in? Veel vakgebieden zijn
betrokken bij een formulering van antwoorden op deze vragen: relativiteitstheorie,
quantummechanica, kern- en deeltjes fysica en vaste stof fysica. In het
volgende bespreken we een aantal subatomaire fysica aspecten.

\medskip
\noindent
We beschouwen als eerste de dichtheid en samenstelling van de ster. Voor
een gegeven massa van de neutronenster, kunnen we de straal en dichtheidsverdeling
uitrekenen\footnote{G. Baym en C. Pethick, {\sl Ann. Rev. Nucl. Sci.} {\bf 25},
27 (1975); S. Tsuruta, {\sl Comm. Astrophys.} {\bf 11}, 151 (1986).}.
Voor een ster met een straal van 10 km is de centrale dichtheid ongeveer
$10^{14} - 10^{15}$ g/cm$^3$. De dichtheid neemt toe van nul, aan de top van
de `atmosfeer', tot een waarde die groter is dan die van kernmaterie in
het centrum. Uit de dichtheid kunnen we de samenstelling op een gegeven
diepte afleiden. De buitenste laag bestaat voornamelijk uit $^{56}$Fe, het
eindresultaat van het proces van kernverbranding. De dichtheid neemt toe
als we in de richting van het centrum van de ster gaan en de Fermi energie
wordt dusdanig groot, dat elektronvangst kan optreden, net zoals dat
het geval was bij het ontstaan van een neutronenster in de pre-supernova fase.
Bij deze hogere temperatuur worden meer neutronen-rijke isotopen
gevormd. Elektronvangst blijft toenemen en bij een dichtheid van ongeveer
$4 \times 10^{11}$ g/cm$^3$ zullen kernen met 82 neutronen, zoals $^{118}$Kr,
het meest stabiel zijn. Merk op dat gewoon krypton op aarde een atoomgetal
$A = 84$ heeft. De meest stabiele nucle\"{\i}den bij dergelijke hoge drukken
zijn dus zeer neutronen-rijk. Onder normale toestanden zouden dergelijke
kernen direct vervallen door elektron-emissie. Echter bij drukken die heersen
in een neutronenster, zijn alle beschikbare toestanden reeds door elektronen
bezet en verbiedt het Pauli principe een dergelijk beta-verval.

\medskip
\noindent
Het buitenste neutron van $^{118}$Kr is nauwelijks gebonden. Als de
dichtheid groter wordt dan $4 \times 10^{11}$ g/cm$^3$, beginnen de 
neutronen uit de kernen te lekken en ontstaat er een ontaarde vloeistof.
Als de druk verder toeneemt, zullen de kernen in deze zogenaamde
`neutron drip line' meer en meer neutronen-rijk worden en in grootte
groeien. Bij een dichtheid van ongeveer $2.5 \times 10^{14}$ g/cm$^3$, 
beginnen de kernen elkaar te raken en gaan ze in elkaar over om een
continue vloeistof van neutronen, protonen en elektronen te vormen.
Neutronen zijn hierbij in de meerderheid en de fractie protonen wordt
geraamd op ongeveer 4 \% van alle materie. De neutronen kunnen niet
vervallen in protonen, omdat de energie van het vrijkomende elektron
kleiner zou zijn dan de Fermi energie van het elektrongas. Het
verval is derhalve verboden door het Pauli principe. 

\medskip
\noindent
Als de energie nog groter wordt, is het energetisch mogelijk om
via elektronvangst meer massieve elementaire deeltjes te vormen,
zoals bijvoorbeeld
\begin{equation}
e^- n \rightarrow \nu ~ \Sigma^- ,
\end{equation}
waarbij dergelijke deeltjes weer stabiel zijn vanwege het Pauli
principe. Fig. \ref{fig:neutcomp} toont resultaten van een
berekening\footnote{M.A. Ruderman, {\sl Sci. Amer.} {\bf 224}, 24
(februari 1971).} van de samenstelling van een neutronenster
als functie van de dichtheid.
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/neutcomp.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Aantal materiedeeltjes als functie van de dichtheid.
Het `neutron drip regime', waarbij neutronen uit kernen lekken, 
begint bij $4 \times 10^{11}$ g/cm$^3$. Bij een dichtheid van
ongeveer $2.5 \times 10^{14}$ g/cm$^3$ beginnen de kernen op te lossen.
Bij hogere dichtheden kunnen muonen en vreemde deeltjes ontstaan.}
\label{fig:neutcomp}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Als we onze aandacht nog een keer richten op de druk in een
neutronenster, dan hebben we reeds gezien dat het ontaarde elektronengas
bij relatief lage drukken, de tegendruk levert die ineenstorting van
de ster voorkomt. Bij hogere drukken wordt volledige ineenstorting
voorkomen door een combinatie van twee effecten, de afstotende kracht
in de nucleon-nucleon interactie en de energie ontaardheid van de
neutronen. Fig. \ref{fig:neutcomp} toont dat neutronen domineren bij
de hoogste drukken. Ze vormen een ontaard Fermigas en we kunnen de
argumenten die geleid hebben tot vergelijking (\ref{eq:fgn})
herhalen voor het niet-relativistische geval. We vinden dan weer dat
de druk toeneemt met afnemend volume totdat het, samen met de
harde-pit repulsie van de NN-kracht, 
in evenwicht is met de gravitationele aantrekking.

\medskip
\noindent
Het bestaan van neutronensterren is reeds in de jaren dertig van de
vorige eeuw voorspeld. Hun ontdekking kwam onverwacht in 1967 toen
een nieuwe klasse hemellichamen werd ontdekt. Deze objecten zijn
puntvormig, staan buiten ons zonnestelsel en zenden periodieke
radiogolven uit. Ze werden pulsars genoemd en op dit moment zijn
er meer dan 1000 bekend. Hun periode varieert van ongeveer 1.5 ms tot 4 s.
In 1968 suggereerde 
Gold\footnote{T. Gold, {\sl Nature} {\bf 218}, 731 (1968).}
dat een pulsar een neutronenster is. De periode
van de pulsar wordt geassocieerd met de rotatie frequentie van de
neutronenster. De frequentie neemt geleidelijk af vanwege het verlies
aan rotatie energie. Dit energieverlies is aanzienlijk, zo is het
verlies van rotatie energie van de Krabpulsar ongeveer even groot
als de totale energie uitgezonden door deze nevel. De neutronenster
is dus de energiebron van de enorme Krabnevel. 

\medskip
\noindent
Men heeft pulsars niet alleen waargenomen als radiosterren, maar
ook is periodieke emissie van licht gemeten. De perioden, 
de vertragingssnelheden, en de plotselinge veranderingen van de
perioden zijn zorgvuldig bestudeerd. Hiermee zijn diverse
eigenschappen van neutronensterren vastgesteld en weten we
meer van het gedrag van kernmaterie bij
dichtheden groter dan $10^{15}$ g/cm$^3$.

\subsection{Big-bang model}

De laatste jaren is de connectie tussen subatomaire fysica en
kosmologie vrij sterk geworden. We gaan er nu van uit dat het
universum ongeveer $13.7 \times 10^{9}$ jaar oud is en dat het
in zijn ontwikkeling diverse stadia doorlopen heeft. Het
universum heeft hierbij verschillende faseovergangen ondergaan. 
\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/fasen.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{\sl Schematische weergave van enkele belangrijke
fase-transities die hebben plaatsgevonden in de evolutie van
ons universum.}
\label{fig:fasen}
\end{figure}
De belangrijkste
fasen worden schematisch weergegeven in figuur \ref{fig:fasen} en
we onderscheiden onder andere de vacuum naar materie overgang ($t=0$), unificatie
fase van alle interacties tijdens SUSY en Planck era ($t \approx 10^{-43}$ s), 
GUTs era ($t \approx 10^{-35}$ s), elektrozwakke era ($t \approx 10^{-10}$ s), 
hadronisatiefase ($t \approx 10^{-6}$ s), nucleosynthese era 
($t \approx 3$ minuten) en de era van stervorming.

\medskip
\noindent
We nemen aan dat het universum zich heeft ontwikkeld uit een singulariteit
of een quantum fluctuatie. Het is lastig om tijden kleiner dan
$\hbar c^{-2} \sqrt{G/\hbar c} \approx 10^{-43}$ s, de zogenaamde Planck tijd,
te beschouwen, omdat de gebruikelijke concepten van ruimte-tijd niet
meer gelden. Alle krachten, inclusief gravitatie, kunnen dan in \' e\' en enkele
geunificeerde beschrijving behandeld worden en worden bepaald door
\' e\' en enkele koppeling. Net na de Planck era wordt aangenomen dat het
universum een snel expanderend gas van elementaire deeltjes is dat
ongeveer in thermisch evenwicht is. 

\medskip
\noindent
Na de eerste faseovergang, wordt gravitatie zwakker en is deze niet meer
geunificeerd met de andere krachten. Het universum begint dan aan de
GUT (grand unified theory) era, waarbij elektrozwakke en sterke
wisselwerkingen geunificeerd zijn. Na ongeveer $10^{-35}$ s treedt er een volgende
faseovergang op, waarbij de sterke wisselwerking ontkoppelt van de
elektrozwakke interactie. De verhouding van het aantal baryonen tot
fotonen neemt haar eindwaarde van ongeveer $3 \times 10^{-10}$ aan.
Hierbij bestaat het universum nog steeds uit elementaire deeltjes. 
Nadat de temperatuur gedaald is tot ongeveer $3 \times 10^{15}$ K, een
temperatuur die overeenkomt met een energie van
ongeveer 100 GeV, ontkoppelen de
elektromagnetische en zwakke wisselwerking. De zwakke wisselwerking krijgt
een korte dracht, terwijl het v\' o\' or die tijd een lange dracht had, net
als de elektromagnetische interactie. 

\medskip
\noindent
De reactiesnelheid hangt van de temperatuur en dus de energie af.
Zo kan voor een temperatuur groter dan $2mc^2$ deeltje-antideeltje
paarproductie optreden. Als de productie van een soort deeltjes
verwaarloosbaar wordt ten opzichte van de expansiesnelheid, dan
zegt men dat het deeltje ontkoppelt of uitvriest. De reactiesnelheid
hangt van $e^{-E/kt}$ af, met $E$ de reactie energie, $k$
de Boltzmann constante en $T$ de temperatuur. Bij een temperatuur van
$3 \times 10^{11}$ K zijn protonen en neutronen in evenwicht, omdat
de reacties $\bar{\nu} p \leftrightarrow e^+n$ en $\nu n 
\leftrightarrow ep$ makkelijk in beide richtingen optreden.
Echter toen de temperatuur daalde tot ongeveer $10^{10}$ K, na
ongeveer 1 seconde, was de zwakke wisselwerking z\' o zwak, dat 
neutrino's ontkoppelen en vrij door het universum kunnen bewegen.
De verhouding van protonen en neutronen nam toe tot ongeveer 3:1,
omdat neutronen vervallen, terwijl de reactie 
$\bar{\nu} p \leftrightarrow e^+n$ niet meer mogelijk was. Toen de
temperatuur verder daalde, annihileerden $e^+e^-$ tot fotonen,
terwijl paarproductie verwaarloosbaar was. De reactie $e^+e^-
\rightarrow \nu \bar{\nu}$ verliep langszamer, waardoor de fotonen
energie kregen en opwarmden ten opzichte van de neutrino's. We
verwachten daarom dat er een achtergrondstraling van
neutrino's bestaat die ongeveer twee-derde van de temperatuur
van fotonen (2.7 K) heeft, dus 2 K. 

\medskip
\noindent
Na ongeveer 3 minuten begon de primordiale nucleosynthese. Dit proces
stopte na ongeveer 30 minuten, toen de temperatuur gedaald was tot
ongeveer $4 \times 10^8$ K. Het duurde ongeveer 300,000 jaar voordat
de temperatuur daalde tot ongeveer 3000 K. Toen konden elektronen
en protonen een binding aangaan en werd er waterstof gevormd.
Op dit tijdstip werd het universum transparant voor licht. De
thermische straling die voor het laatst verstrooid werd in deze era wordt
nu gedetekteerd als kosmische microgolf achtergrondstraling. We
weten dat deze straling zeer homogeen en isotroop is, hetgeen erop
duidt dat het universum zeer homogeen was rond die tijd.

\medskip
\noindent
Een dieper begrip van de geboorte van ons heelal en haar diverse
transities werd verkregen door de ontwikkeling van grand unified theories
of wel zogenaamde GUTs. Deze theorie\" en unificeren de elektrozwakke
en sterke wisselwerkingen en voorspellen baryonverval, samen met ${\mathcal{CP}}$
schending of schending van tijdomkeer. Dit maakt het mogelijk om te begrijpen
waarom er een netto baryonoverschot is (meer baryonen dan antibaryonen)
en geeft een mogelijke verklaring voor de verhouding van baryonen tot
fotonen (ongeveer $3 \times 10^{-10}$) in ons universum. Schending
van ${\mathcal{CP}}$ laat toe dat er zich een klein verschil kan ontwikkelen
in het aantal baryonen en antibaryonen. Als voorbeeld beschouwen we
een deeltje $X$ met massa $10^{14}$ GeV. Omdat baryon- en leptongetallen
niet exact behouden zijn, mag $X$ vervallen in een quark en een elektron,
terwijl het antideeltje $\overline{X}$ vervalt naar $\overline{q}$ en
$e^+$. Boven $10^{14}$ GeV zijn vorming en verval van $X$ en $\overline{X}$
met elkaar in evenwicht. Nadat de temperatuur daalde, kon enkel
het verval optreden en is het mogelijk dat zich een netto overschot van
quarks boven antiquarks ontwikkelde als ${\mathcal{CP}}$ symmetrie
geschonden is en de parti\" ele vervalsnelheid van $X$ naar een quark
een beetje groter is dan $\overline{X}$ naar een antiquark. Een overschot
van $3 \times 10^{-10}$ is voldoende om rekenschap te geven van ons
huidige universum. De daarop volgende annihilatie van quarks en 
antiquarks resulteerde in het baryon overschot en verklaart de waargenomen
verhouding van $3 \times 10^{-10}$ van baryonen tot fotonen. Het is
moeilijk kwantitatieve voorspellingen te geven vanwege onzekerheden
in de grand unified theories en de noodzaak tot extrapolatie van
de resultaten van experimenten uitgevoerd bij energie\" en van enkele
TeV tot de GUT energie\" en van ongeveer $10^{11}$ TeV.
 
\subsection{Epiloog}

De ontdekking van de kosmische microgolf achtergrondstraling maakte
de Big Bang theorie aannemelijk als model voor de evolutie
van ons universum. Er is echter nog steeds een aantal onopgeloste
problemen, waaronder het isotropie of horizonprobleem en het vlakheidsprobleem.

\medskip
\noindent
De intensiteit van de achtergrondstraling is binnen $10^{-4}$
hetzelfde in alle richtingen, nadat voor de beweging van ons melkwegstelsel
is gecorrigeerd. De straling waargenomen uit twee tegenovergestelde richtingen
werd uitgezonden toen de bronnen gescheiden waren door afstanden groter
dan 90 keer dan die licht kan afleggen (de horizonafstand) sinds het begin van
ons universum. De gebieden die de bronnen bevatten zijn dus niet causaal
verbonden en dit maakt het moeilijk om de isotropie te begrijpen. We
noemen dit ook wel het horizonprobleem. Het vlakheidsprobleem heeft ermee
te maken dat we uit de Einsteinvergelijkingen kunnen afleiden dat de
ruimtelijke geometrie van ons universum nagenoeg `vlak', dus Euclidisch is.
De verhouding $\Omega$ van de dichtheid tot de kritische dichtheid waarbij
de geometrie exact vlak is, is $0.1 \leq \Omega \leq 3$. De afwijking van
$\Omega$ van 1 groeit in de tijd. De huidige limiet op $\Omega$ betekent
dan dat ten tijde dat de temperatuur $10^{28}$ K was, $\Omega$ niet meer
van 1 zou kunnen afwijken dan ongeveer $10^{-50}$. Waar komt deze `fine tuning'
van $\Omega$ vandaan?

\medskip
\noindent
Een oplossing voor dit probleem werd in 1980 door Guth voorgesteld en
wordt {\sl inflatie} genoemd. Het idee is dat de energiedichtheid van het
vroege universum gedomineerd werd door de potenti\" ele energie van een
scalair Higgs veld. Hierdoor werd de expansie van het universum versneld,
terwijl de energiedichtheid ongeveer constant bleef. De expansie was
exponentieel, waarbij de straal van het universum elke $10^{-34}$ s
verdubbelde. De inflatie era stopte op $t \approx 10^{-32}$ s, omdat
uiteindelijk het scalar veld naar een minimum in potenti\" ele energie rolde.
Tegen die tijd was de straal van het universum met een factor $10^{50}$
toegenomen. De ratio $\Omega$ werd naar 1 gedreven, omdat, net als bij
een ballon, het oppervlak steeds vlakker wordt naarmate de straal toeneemt.
Uiteindelijk werd de kromming zo klein dat hij vandaag onbelangrijk is.
In dit scenario begint het universum in een veel kleiner ($10^{-50}$)
gebied dan zonder inflatie, en zowel het horizon- als het vlakheidsprobleem
zijn opgelost. 

\medskip
\noindent
Het inflatiemodel heeft enkel betrekking op de eerste $10^{-30}$ seconden,
zodat het Standaard Model onveranderd blijft. Er is geen verklaring
voor het begin van het universum, maar hiervoor zijn diverse modellen in
omloop, zoals vacuum fluctuaties en een begin uit het niets. 
Er is nog veel werk te doen in kosmologie en deeltjes-astrofysica.
De belangrijkste componenten van het heelal zijn onbegrepen, de
zogenaamde dark-matter en dark-energie, terwijl de materie slechts
voor enkele procenten uit baryonische materie bestaat. 

\vfill
\eject

