\section{De algemene relativiteitstheorie}\label{art}

Ruimtetijd is een vari\"eteit die
continu en differentieerbaar is. Dat betekent dat we bijvoorbeeld
een scalairveld kunnen defini\"eren, waarvan dan op elk punt
de afgeleiden bepaald kunnen worden.
Het betekent ook dat we 1-vormen en vectoren kunnen defini\"eren
en op een bepaald punt $\mathcal{P}$ van de vari\"eteit zijn
de elementen van de verzameling $\{ \phi_{,\alpha} \}$
de componenten van de 1-vorm. Elke verzameling van de vorm
$\{ a\phi_{,\alpha} +b\psi_{,\alpha} \}$, met $a$ en $b$ functies,
is ook een 1-vorm. Elke curve (met parameter $\lambda$) heeft
een raakvector $\vec V$ en dat is een lineaire functie die een
1-vorm $\tilde{\rm d}\phi$ als argument neemt en de afgeleide
van $\phi$ langs de curve produceert,
\begin{equation}
< \tilde{\rm d}\phi , \vec V > = \vec V( \tilde{\rm d}\phi ) 
= {{\rm d} \phi \over {\rm d} \lambda} .
\end{equation}
Elke lineaire combinatie van vectoren is ook weer een vector.
Gebruikmakend van de op deze manier gedefinieerde vectoren en
1-vormen, kunnen we een hele verzameling tensoren van het type
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
opbouwen. Omdat we nog geen 
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
tensor gekozen hebben om dienst te doen als metriek, is er nog geen
correspondentie tussen 1-vormen en vectoren. We zeggen dat de 
verzameling van alle tensoren deel uitmaakt van de differentiaalstructuur
van de vari\"eteit.

\medskip
\noindent
Voordat we verder gaan, vatten we de regels van tensoralgebra
nog eens samen.
\begin{enumerate}
\item{} Een tensorveld definieert een tensor op elk punt $\mathcal{P}$
van de vari\"eteit.
\item{} Vectoren en 1-vormen zijn lineaire operatoren op elkaar en
produceren re\"ele getallen. Lineair betekent dat
$< \tilde{p}, a\vec V + b\vec W > = a< \tilde{p} , \vec V>
+ b< \tilde{p} , \vec W >$, en
$< a \tilde{p} + b\tilde{q} , \vec V > = a<\tilde{p} , \vec V>
+ b< \tilde{q}, \vec V > + b<\tilde{q} , \vec V >$, met $a$ en $b$
willekeurige scalaire velden.
\item{} Tensoren zijn op dezelfde manier lineaire operatoren op
1-vormen en vectoren, en produceren re\"ele getallen.
\item{} Als twee tensoren van hetzelfde type dezelfde componenten
hebben op een gegeven basis, dan hebben ze dezelfde componenten
op alle bases en zeggen we dat ze identiek zijn. In het bijzonder,
als de componenten van een tensor voor een bepaalde basis nul
zijn, dan is de tensor gelijk aan nul.
\item{} Er is een aantal toegestane operaties met componenten van
tensorvelden. Dergelijke operaties produceren nieuwe tensoren.
\begin{enumerate}
\item{} Vermenigvuldigen met een scalairveld produceert een tensor van
hetzelfde type.
\item{} Optellen van de componenten van twee tensoren van
hetzelfde type geeft de componenten van een nieuwe tensor
van hetzelfde type. Alleen tensoren van hetzelfde type kunnen
gelijk zijn aan elkaar.
\item{} Vermenigvuldigen van componenten van twee tensoren
van willekeurig type geeft componenten van een nieuwe tensor 
die de som is van de typen, het tensorproduct van de twee tensoren.
\item{} De covariante afgeleide van de componenten van een
tensor van type
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} N \\ M \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
geeft de componenten van een tensor van het type
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} N \\ M + 1 \\ \end{array} \right) .$
\end{scriptsize}
\item{} Contractie van een paar indices van de componenten van
een tensor van het type
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} N \\ M \\ \end{array} \right)$
\end{scriptsize}
produceert componenten van een tensor van het type
\begin{scriptsize}
$\left( \begin{array}{c} N-1 \\ M-1 \\ \end{array} \right) .$
\end{scriptsize}
Contractie is alleen gedefinieerd tussen boven en beneden indices.
\end{enumerate}
\item{} Als een vergelijking gevormd wordt door het combineren
van componenten van tensoren, terwijl we alleen gebruik maken
van toegestane tensorbewerkingen, en als deze vergelijking
geldig is in \'e\'en basis, dan is hij geldig in alle bases.
\end{enumerate}

\subsection{Pseudo-riemannse vari\"eteit}

Een differentieerbare vari\"eteit is een primitieve amorfe verzameling
van punten (puntgebeurtenissen voor het geval van ruimtetijd). Lokaal
zijn de punten gerangschikt als punten in een euclidische ruimte,
maar we hebben geen afstandsconcept gespecificeerd. Het is
absoluut cruciaal dat we een metriek ${\bf g}$ toevoegen, die de informatie
bevat over hoe snel klokken lopen en wat de afstanden zijn tussen
punten. 

\medskip
\noindent
Op het aardoppervlak zouden we een metriek bepalen door kleine
vectoren $\overrightarrow{\Delta {\mathcal{P}}}$ op het aardoppervlak te tekenen.
Vervolgens zeggen we dat de lengte van de vector gegeven wordt
door het inproduct
\begin{equation}
\overrightarrow{\Delta {\mathcal{P}}} \cdot \overrightarrow{\Delta {\mathcal{P}}}
\equiv \overrightarrow{\Delta {\mathcal{P}}}^2 
=({\rm lengte~van~}\overrightarrow{\Delta {\mathcal{P}}})^2,
\end{equation}
en gebruiken we een meetlat om dit te bepalen. We hebben nu een
definitie van het inproduct van een vector voor een kleine vector
met zichzelf. We gebruiken lineariteit om naar macroscopische
vectoren te gaan. Vervolgens kunnen we een definitie krijgen voor
het inproduct van twee {\sl verschillende} vectoren door gebruik
te maken van
\begin{equation}
\vec A \cdot \vec B = {1 \over 4}\left[(\vec A + \vec B)^2
-(\vec A - \vec B)^2 \right] .
\end{equation}
Kortom, als je een afstandsconcept hebt (een meetlat op het
oppervlak van de aarde), dan kun je een inproduct vinden, en
hieruit volgt de metriek (want dat is niets anders dan
${\bf g}(\vec A, \vec B) \equiv (\vec A \cdot \vec B) 
= {\bf g}(\vec B, \vec A)$. De metrische tensor is symmetrisch.). 
Een differentieerbare
vari\"eteit met als extra structuur een metriek, noemen we
een riemannse vari\"eteit. 

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/llf.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: op elk punt $\mathcal{P}$ van het oppervlak van
de aarde bevindt zich een raakruimte (in dit geval een raakvlak); 
rechts: het raakvlak is een goede afbeelding in de nabijheid
van punt $\mathcal{P}$.}
\label{fig:llf}
\end{figure}

\medskip
\noindent
We willen nu een metriek toekennen aan ruimtetijd. Hiertoe
introduceren we een lokaal lorentzframe (LLF). Dat doen we door
op punt $\mathcal{P}$ in vrije val te gaan. Het equivalentieprincipe
zegt dan dat alle effecten van gravitatie verdwijnen en dat we
lokaal de metriek van de speciale relativiteitstheorie vinden.
Dat is de minkowskimetriek. We kunnen op elk punt $\mathcal{P}$
van de vari\"eteit een co\"ordinatenstelsel kiezen, waarin
de minkowskimetriek geldt. Terwijl dit in de SRT ook een {\sl globaal}
co\"ordinatenstelsel kan zijn, is dat alleen {\sl lokaal} mogelijk in
de algemene relativiteitstheorie. Hiermee hebben we op elk
punt $\mathcal{P}$ een definitie van lengte gevonden: met
$g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}~\rightarrow~ds^2 = \eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu$.
In essentie bedrijven we nu SRT op punt $\mathcal{P}$ en hebben we
een maat om lengten van staven en eigentijden van ideale
klokken te bepalen. In een LLF wordt de metriek gegeven door $\eta_{\mu \nu}
={\rm diag}(-1, +1, +1, +1)$. Voor een riemannse vari\"eteit
dienen alle diagonale elementen positief te zijn. De signatuur
(de som van de elementen op de diagonaal) van de metriek van
ruimtetijd is $+2$, en we spreken van een pseudo-riemannse vari\"eteit.


\medskip
\noindent
Stel we brengen een co\"ordinatenstelsel op het aardoppervlak
aan met longitude en latitude.
Als we naar het oppervlak van de aarde kijken, dan zien we dat
hoe dichter we in de buurt van een punt $\mathcal{P}$ blijven, hoe cartesischer
dit referentiesysteem er lokaal uit ziet. Afwijkingen van cartesische
co\"ordinaten treden op in tweede orde in de afstand $x$ tot het
punt $\mathcal{P}$. Wiskundig betekent dit dat geldt
\begin{equation}
g_{jk} = \delta_{jk} + \mathcal{O} \left( 
{\vert \vec x \vert^2 \over R^2} \right),
\end{equation}
met $R$ de straal van de aarde. Een eenvoudige manier om dit
te zien is door het raakvlak op punt $\mathcal{P}$ te
construeren. Fig. \ref{fig:llf} toont dat als $\vec x$ de positievector is
van een punt ten opzichte van $\mathcal{P}$, dan komt dat
overeen met $\cos{\vert \vec x \vert}$ op het raakvlak.
Een reeksontwikkeling levert $\cos{x} = 1- {x^2 \over 2}+ ...$.
Dit heeft tot consequentie dat als men alleen naar eerste-orde
afgeleiden kijkt, men geen enkele invloed van de kromming van de
aarde ziet. Alleen als we
tweede-orde afgeleiden nemen, beginnen we de kromming waar te nemen.

\medskip
\noindent
Hetzelfde geldt voor ruimtetijd. In een gekromde ruimtetijd kunnen
we geen globaal lorentzframe vinden waarvoor $g_{\alpha \beta} = \eta_{\alpha \beta}$.
Het is echter wel mogelijk om co\"ordinaten te kiezen, zodat in
de nabijheid van $\mathcal{P}$ deze gelijkheid bijna geldig is.
Dat wordt mogelijk gemaakt door het equivalentieprincipe. Dit is
de precieze definitie van een lokaal lorentzframe en voor
een dergelijk co\"ordinatenstelstel geldt
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
g_{\alpha \beta} (\mathcal{P}) & = & \eta_{\alpha \beta}
~~~~{\rm voor~alle~} \alpha, \beta ; \\
& & \\
{\partial \over \partial x^\gamma} g_{\alpha \beta} (\mathcal{P}) 
& = & 0 ~~~~{\rm voor~alle~} \alpha, \beta , \gamma ; \\
& & \\
{\partial^2 \over \partial x^\gamma \partial x^\mu } g_{\alpha \beta}
(\mathcal{P} ) & \neq & 0 . \\
\end{array}
\label{eq:gkk}
\end{equation}
Het bestaan van lokale lorentzframes drukt uit dat elke
gekromde ruimtetijd op elk punt een vlakke raakruimte heeft. Alle
tensormanipulaties die we uitvoeren spelen zich in deze raakruimte af.
Bovenstaande uitdrukkingen vormen de wiskundige formulering van het
feit dat het equivalentieprincipe ons toestaat om op punt ${\mathcal{P}}$ een
LLF te kiezen.

\medskip
\noindent
De metriek maakt het mogelijk om de lengte van een kromme te defini\"eren.
Als $d\vec x$ een kleine vectorverplaatsing op een curve is, dan is
de gekwadrateerde lengte gelijk aan $ds^2=g_{\mu \nu}dx^\alpha dx^\beta$
(we noemen dit het lijnelement). Een maat voor de lengte wordt gevonden
door hiervan de absolute waarde te nemen en dan de wortel te
trekken. Dat geeft 
$dl \equiv \lvert g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta \rvert^{1\over 2}$.
Integratie geeft dan de totale lengte en we vinden
\begin{equation}
l = \int_{\rm langs~de~curve} \left| g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta \right|^{1\over 2}
= \int_{\lambda_0}^{\lambda_1} \left| g_{\alpha \beta} 
{dx^\alpha \over d\lambda} {dx^\beta \over d\lambda} \right|^{1\over 2}d\lambda ,
\end{equation}
waarbij $\lambda$ de parameter van de curve is. De curve heeft als eindpunten
$\lambda_0$ en $\lambda_1$. De raakvector $\vec V$ van de curve heeft 
componenten $V^\alpha = dx^\alpha / d\lambda$ en hiermee vinden we
\begin{equation}
l = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1} \left| \vec V \cdot \vec V \right|^{1 \over 2}
d\lambda 
\end{equation}
voor de lengte van een willekeurige curve.

\medskip
\noindent
Ook het berekenen van volumes is belangrijk als we integraties uitvoeren
in ruimtetijd. Met volume bedoelen we hier een vier-dimensionaal volume.
Stel we bevinden ons in een LLF en hebben er een volume element
$dx^0dx^1dx^2dx^3$, met co\"ordinaten $\{ x^\alpha \}$ in de lokale
lorentzmetriek $\eta_{\alpha \beta}$. Transformatietheorie zegt dan dat
\begin{equation}
dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 = {
	\partial (x^0,x^1,x^2,x^3) \over 
	\partial(x^{0^\prime}, x^{1^\prime}, x^{2^\prime}, x^{3^\prime})
}
dx^{0^\prime} dx^{1^\prime} dx^{2^\prime} dx^{3^\prime},
\end{equation}
waarbij de factor $\partial (~~) / \partial(~~)$ de jacobiaan van de
transformatie van $\{ x^{\alpha^\prime} \}$ naar $\{ x^\alpha \}$ is.
Dit hadden we reeds besproken in hoofdstuk \ref{coortrans} en er geldt
\begin{equation}
{
	\partial (x^0, x^1, x^2, x^3) \over 
	\partial (x^{0^\prime}, x^{1^\prime}, x^{2^\prime}, x^{3^\prime})
}
= {\rm det} \left(
\begin{array}{ccc}
{\partial x^0 \over \partial x^{0^\prime}} & {\partial x^0 \over \partial x^{1^\prime}} & ... \\
{\partial x^1 \over \partial x^{0^\prime}} & {\partial x^1 \over \partial x^{1^\prime}} & ... \\
... & ... & ... \\
\end{array}
\right) = {\rm det} \left( \Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha \right) .
\end{equation}
De berekening van deze determinant
is nogal omslachtig en het kan eenvoudiger door te beseffen
dat in termen van matrices de transformatie van de componenten van de
metriek gegeven wordt door de vergelijking $(g)=(\Lambda )(\eta )(\Lambda )^T$, waarbij
met `$T$' transponeren bedoeld wordt. Dan voldoen de determinanten aan
${\rm det}(g) = {\rm det}(\Lambda ){\rm det}(\eta ){\rm det}(\Lambda^T )$.
Voor elke matrix geldt ${\rm det}(\Lambda ) = {\rm det}(\Lambda^T)$ en
verder hebben we ${\rm det}(\eta ) = -1$. Hiermee vinden we dan
${\rm det}(g) = -\left[ {\rm det} (\Lambda )\right]^2$. We gebruiken
de notatie
\begin{equation}
g \equiv {\rm det} (g_{\alpha^\prime \beta^\prime})
~~~~\rightarrow~~~~
{\rm det}(\Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha ) = (-g)^{1 \over 2}
\end{equation}
en vinden
\begin{equation}
dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 
= {\rm det} \left[ -(g_{\alpha^\prime \beta^\prime}) \right]^{1 \over 2}
dx^{0^\prime} dx^{1^\prime} dx^{2^\prime} dx^{3^\prime}
= (-g)^{1 \over 2} dx^{0^\prime} dx^{1^\prime} dx^{2^\prime} dx^{3^\prime}.
\end{equation}
Het is belangrijk om goed de redenatie te begrijpen die we gevolgd hebben
om tot bovenstaand resultaat te komen. We zijn gestart in een speciaal
co\"ordinatenstelsel, het LLF, en hierin geldt de minkowskimetriek. Vervolgens
hebben we het resultaat gegeneraliseerd naar algemene co\"ordinatenstelsels.

\subsection{Tensoren en covariante afgeleide}

Stel we hebben een tensorveld ${\bf T}(\_,\_,\_)$ met rang 3. Dit veld
is een functie van lokatie en definieert een tensor op elk punt $\mathcal{P}$.
We kunnen deze tensor expanderen in de basis $\{ \vec e_\alpha \}$ en dat
geeft de (boven-) componenten $T^{\alpha \beta \gamma}$. In het algemeen
hebben we 64 termen voor ruimtetijd. We kunnen de tensor ${\bf T}$ echter ook
expanderen in de duale basis $\{ \vec e^{~\alpha} \}$ en er geldt
\begin{equation}
{\bf T}(\_,\_,\_) \equiv 
T^{\alpha \beta \gamma}~\vec e_\alpha \otimes \vec e_\beta \otimes \vec e_\gamma
= T_{\alpha \beta}^{~~\gamma}~\vec e^{~\alpha} \otimes \vec e^{~\beta} \otimes \vec e_\gamma .
\end{equation}
Als we de waarden van de componenten willen berekenen dan wordt het volgende
theorema gebruikt,
\begin{equation}
T^{\alpha \beta \gamma} = {\bf T}(\vec e^{~\alpha} , \vec e^{~\beta} , \vec e^{~\gamma} )
~~{\rm en}~~
T_{\mu \nu}^{~~\gamma} = {\bf T}(\vec e_\mu , \vec e_\nu , \vec e^{~\gamma} ) .
\end{equation}
Als we de componenten van de tensor ${\bf T}$ in een of andere rangschikking
van boven- en benedenindices hebben, en we willen de componenten weten in een
andere rangschikking van indices, dan wordt de metriek gebruikt. Er geldt
\begin{equation}
T_{\mu \nu}^{~~\gamma} = T^{\alpha \beta \gamma} g_{\alpha \mu} g_{\beta \nu}
~~~~{\rm en ~bijvoorbeeld ~ook}~~~~
T^{\alpha \beta \gamma} = g^{\alpha \rho} T_{\rho}^{~\beta \gamma}
\end{equation}

\medskip
\noindent
Vervolgens willen we contractie bespreken. Dat is nogal ingewikkeld om te
behandelen in onze abstracte notatie. Gegeven een tensor ${\bf R}$, kunnen
we deze altijd schrijven in termen van een basis van vectoren als
\begin{equation}
{\bf R}(\_,\_,\_,\_) = \vec A \otimes \vec B \otimes \vec C \otimes \vec D + ...
\end{equation}
We bespreken contractie alleen voor een tensorproduct van vectoren en gebruiken
lineariteit om een wiskundige beschrijving voor algemene tensoren te vinden.
Voor contractie $\mathbb{C}_{13}$ van de eerste met de derde index geldt
\begin{equation}
\mathbb{C}_{13} \left[
\vec A \otimes \vec B \otimes \vec C \otimes \vec D (\_,\_,\_,\_) \right]
\equiv ( \vec A \cdot \vec C) \vec B \otimes \vec D (\_,\_) .
\end{equation}
We kunnen bovenstaande abstracte definitie in termen van componenten schrijven
en vinden
\begin{equation}
\vec A \cdot \vec C = A^\mu C^\nu \vec e_\mu \cdot \vec e_\nu
= A^\mu C^\nu g_{\mu \nu} = A^\mu C_\mu
~~\rightarrow~~
\mathbb{C}_{13} {\bf R} = R_{~~\mu}^{\mu \beta~\delta} \vec B \times \vec D.
\end{equation}
Op dezelfde manier als hierboven, zien we
dat we uit twee vectoren $\vec A$ en $\vec B$ een tensor
$\vec A \times \vec B$ kunnen construeren door er het tensorproduct van te nemen,
terwijl we een scalar $\vec A \cdot \vec B$ kunnen maken door het inproduct te nemen.
De contractie van het tensorproduct $\vec A \otimes \vec B$
levert weer een scalar op, 
$\mathbb{C}\left[ \vec A \otimes \vec B \right] = \vec A \cdot \vec B$.

\medskip
\noindent
Vanaf nu gaan we een vergelijking als $R_{~~\mu}^{\mu \beta~\delta}$ vanuit een
ander gezichtspunt bekijken. We hebben het steeds gezien als de
componenten van een tensor. Vanaf nu is onze interpretatie dat de indices
$\mu$, $\beta$, $\mu$ en $\delta$ labels zijn van de sleuven van de
abstracte tensor ${\bf R}$. Dus met $R^{\alpha \beta \gamma \delta}$ bedoelen we
de abstracte tensor ${\bf R}(\_,\_,\_,\_)$ met eerste sleuf $\alpha$,
tweede sleuf $\beta$, enz. 
 
\medskip
\noindent
Het bovenstaande rondt onze discussie over tensoralgebra af.  In het volgende
gaan we tensoranalyse bespreken. Dit doen we aan de hand van een 
tensorveld ${\bf T}(\_,\_)$ met rang 2, maar wat we concluderen is
geldig voor elk tensorveld. Het veld ${\bf T}$
is een functie van lokatie in de vari\"eteit, ${\bf T}(\mathcal{P})$.
We differenti\"eren ${\bf T}$ nu langs de curve $\mathcal{P}(\lambda )$.
Op punt $\mathcal{P}$ wordt de raakvector $\vec A$ aan de curve
gegeven door $\vec A = {d\mathcal{P} \over d\lambda} = {d \over d\lambda}$.
De afgeleide van ${\bf T}$ langs de curve (dus in de richting van
vector $\vec A$) wordt gegeven door
\begin{equation}
\nabla_{\vec A} {\bf T} = \lim_{\Delta \lambda \rightarrow 0} 
{\left[ {\bf T}(\mathcal{P}(\lambda + \Delta \lambda ))\right]^\parallel
-{\bf T}(\mathcal{P}(\lambda )) \over \Delta \lambda }.
\label{eq:aflangsc} 
\end{equation}
Merk op dat de twee tensoren, ${\bf T}(\mathcal{P}(\lambda + \Delta \lambda ))$
en ${\bf T}(\mathcal{P}(\lambda ))$, in twee verschillende raakruimten
leven. Ze zijn bijna hetzelfde, omdat $\Delta \lambda$ klein is, maar
desalniettemin zijn het verschillende raakruimten. We hebben een manier
nodig om de tensor ${\bf T}(\mathcal{P}(\lambda + \Delta \lambda ))$ naar
punt $\mathcal{P}$ te transporteren, waar we de afgeleide willen bepalen,
zodat we de tensoren kunnen aftrekken. Wat we nodig hebben wordt
{\sl parallel transporteren} van ${\bf T}(\mathcal{P}(\lambda + \Delta \lambda ))$
genoemd. 

\medskip
\noindent
In een gekromde vari\"eteit zien we de effecten van kromming niet als we
eerste-orde afgeleiden nemen\footnote{We kunnen altijd een lokaal lorentzframe
construeren, dat voldoende vlak is voor wat wij willen. In dat systeem
zijn de basisvectoren constant en hun afgeleiden nul in punt $\mathcal{P}$.
Dit is een {\sl definitie} voor de covariante afgeleide. Deze definitie
leidt er onmiddellijk toe dat de christoffelsymbolen gelijk zijn aan
nul en dat in het LLF geldt $V_{~;\beta}^\alpha = V_{~,\beta}^\alpha$
op punt $\mathcal{P}$. Dit is natuurlijk waar voor elke tensor en ook
voor de metriek, $g_{\alpha \beta ; \gamma} = g_{\alpha \beta , \gamma} = 0$
op punt $\mathcal{P}$. Omdat de vergelijking $g_{\alpha \beta ; \gamma} = 0$
een tensorvergelijking is, is hij geldig in {\sl elke} basis. Gegeven dat
$\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu = \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu$, vinden we
weer dat voor elke metriek dient te gelden
\begin{equation}
\Gamma_{~\mu \nu}^\alpha = {1 \over 2} g^{\alpha \beta} 
(g_{\beta \mu ;\nu} + g_{\beta \nu ,\mu} - g_{\mu \nu , \beta}).
\label{eq:christie}
\end{equation}
Dus terwijl 
$\Gamma_{~\mu \nu}^\alpha =0$ op $\mathcal{P}$ in het LLF, geldt dat niet
voor de afgeleiden ervan, want die bevatten $g_{\alpha \beta ,\gamma \mu}$.
Dus de christoffelsymbolen zijn dan wel nul op punt $\mathcal{P}$ als we
een LLF kiezen, maar verschillen in het algemeen van nul in de omgeving van dit punt.
Het verschil tussen een gekromde en een vlakke vari\"eteit manifesteert
zich dus in de afgeleiden van de christoffelsymbolen.}. 
Het parallel transporteren betekent dan
hetzelfde als wat het betekent in een vlakke ruimte: de componenten 
veranderen niet door het transporteren. We hebben dus met vergelijking
(\ref{eq:aflangsc}) een uitdrukking voor de afgeleide gevonden. De
originele tensor ${\bf T}(\_,\_)$ heeft twee sleuven, en dat is ook
zo voor de afgeleide $\nabla_{\vec A} {\bf T} (\_,\_)$, want volgens
vergelijking (\ref{eq:aflangsc}) is de afgeleide niets anders dan het 
verschil van twee tensoren ${\bf T}$ op verschillende punten, en dan
gedeeld door de afstand $\Delta \lambda$.

\medskip
\noindent
Als volgende stap kunnen we nu het concept gradi\"ent invoeren. We merken op
dat de afgeleide $\nabla_{\vec A}{\bf T}(\_,\_)$ lineair is in de
vector $\vec A$. Dat betekent dat er een rang-3 tensor 
$\nabla{\bf T}(\_,\_,\vec A)$ bestaat, zodanig, dat geldt
\begin{equation}
\nabla_{\vec A}{\bf T}(\_,\_) \equiv \nabla{\bf T}(\_,\_,\vec A) .
\end{equation}
Dit is de definitie van de gradi\"ent van ${\bf T}$.
Het laatste slot wordt per conventie gebruikt als het differentiatieslot.
De gradi\"ent van ${\bf T}$ is een lineaire functie van vectoren en
heeft \'e\'en sleuf meer dan ${\bf T}$ zelf, en heeft verder de eigenschap dat als
je $\vec A$ in de laatste sleuf stopt, je de afgeleide van ${\bf T}$
krijgt in de richting van $\vec A$. We defini\"eren de componenten van
de gradi\"ent als
\begin{equation}
\nabla {\bf T} \equiv T_{~~;\mu}^{\alpha \beta} ~\vec e_\alpha \otimes
\vec e_\beta \otimes \vec e^\mu .
\end{equation}
Het is een conventie om de differentiatie index beneden te plaatsen.
Merk verder op dat je deze differentiatie index naar boven of beneden
kunt halen net als elke andere index. Verder correspondeert alles dat na de puntkomma
komt met een gradi\"ent. De componenten van de gradi\"ent zijn in
dit geval $T_{~~;\mu}^{\alpha \beta}$.

\medskip
\noindent
Hoe berekenen we de componenten van een gradi\"ent? Het gereedschap
hiervoor zijn de zogenaamde {\sl connectie co\"effici\"enten}\footnote{Deze
staan ook bekend als de christoffelsymbolen.}. 
Die co\"effici\"enten worden zo genoemd, omdat bij het nemen van
de afgeleide we het tensorveld in twee verschillende raakruimten
moeten vergelijken. De connectie co\"effici\"enten geven ons
informatie over hoe de basisvectoren veranderen tussen beide
naburige raakruimten. Omdat we
een basis hebben in punt $\mathcal{P}$, 
kunnen we ons afvragen wat de afgeleide is van
$\vec e_\alpha$ in de richting van $\vec e_\mu$. Er geldt
\begin{equation}
\nabla_{\vec e_\mu} \vec e_\alpha \equiv \Gamma_{~\alpha \mu}^\rho \vec e_\rho .
\end{equation}
Deze afgeleide is zelf ook een vector en we kunnen deze dus expanderen
in onze basis op punt $\mathcal{P}$ waar we de afgeleide willen weten. 
De expansieco\"effici\"enten zijn
$\Gamma_{~\alpha \mu}^\rho \vec e_\rho$. 
Evenzo geldt
\begin{equation}
\nabla_{\vec e_\mu} \vec e^\rho = -\Gamma_{~\sigma \mu}^\rho \vec e_\sigma .
\end{equation}
Merk op dat we nu een minteken krijgen!
De connectie co\"effici\"enten
vertellen je hoe de basisvectoren van plaats tot plaats veranderen. Dus als
je de componenten van een gradi\"ent wilt weten, bijvoorbeeld
$T_{~~;\gamma}^{\alpha \beta}$, dan moet je correcties maken voor het feit
dat de basisvectoren veranderen. De tensor ${\bf T}^{\alpha \beta}$ is
zelf misschien constant en alleen de basisvectoren hangen van de positie af.
Het blijkt dat (zie ook vergelijking (\ref{eq:64}))
\begin{equation}
T_{~\beta ;\gamma}^\alpha = T_{~\beta , \gamma}^\alpha
+ \Gamma_{~\mu \gamma}^\alpha T_{~\beta}^\mu 
- \Gamma_{~\beta \gamma}^\mu T_{~\mu}^\alpha ,
~~{\rm waarbij}~~
T_{~\beta , \gamma}^\alpha = \partial_{\vec e_\gamma} T_{~ \beta}^\alpha
= {\partial \over \partial x^\gamma} T_{~ \beta}^\alpha .
\end{equation}
Als we de metriek ${\bf g}$ kennen, dan kunnen we de christoffelsymbolen
uitrekenen, en daarmee alle covariante afgeleiden. Hiermee vinden we
tenslotte weer de vergelijkingen
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
V_{~;\beta}^\alpha & = & V_{~,\beta}^\alpha + \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha V^\mu , \\
\mathcal{P}_{\alpha ;\beta} & = & \mathcal{P}_{\alpha ,\beta} 
- \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \mathcal{P}_\mu , \\
T_{~~;\gamma}^{\alpha \beta} & = & T_{~~,\gamma}^{\alpha \beta}
+ \Gamma_{~\mu \gamma}^\alpha T^{\mu \beta}
+ \Gamma_{~\mu \gamma}^\beta T^{\alpha \mu} .
\end{array}
\label{eq:65}
\end{equation}

\subsection{Geodeten en kromming}

Als we sferische co\"ordinaten aanbrengen op een bol, en we volgen
twee lijnen, die loodrecht op de evenaar staan, in de richting van de
noordpool, dan zien we dat de initieel parallelle lijnen een snijpunt
hebben op het gekromde oppervlak. Het vijfde postulaat van Euclides
geldt dus niet in een gekromde ruimte: parallelle lijnen kunnen wel
degelijk een snijpunt hebben.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/pt.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Parallel transporteren van een vector $\vec V$ rond een driehoekig
traject PQRP uitgezet op een bol. Door $\vec V$ te transporteren over de
lus $PQRP$ verkrijgt de eindvector een rotatie ten opzichte van de 
beginvector. De rotatiehoek is afhankelijk van de grootte van de lus, de
gekozen weg, en de kromming van de vari\"eteit.}
\label{fig:pt}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Een andere illustratie van hoe kromming zich manifesteert, en die misschien
nog doeltreffender is, wordt gegeven in Fig. \ref{fig:pt}.
We beginnen in punt P met een raakvector die in de horizontale
richting wijst. We nemen een kleine stap in de richting van Q en
na elke stap projecteren we de raakvector weer op het lokale 
raakvlak. Dit is onze manier van parallel transporteren. Nadat we
het gesloten traject PQRP hebben volbracht, zien we dat de eindvector
niet meer parallel is aan de initi\"ele vector. Dit gebeurt niet
in een vlakke ruimte en is een effect van de kromming van de bol.
De consequentie is dat we op een gekromde vari\"eteit geen
globale parallelle vectorvelden kunnen defini\"eren. Het resultaat
van parallel transporteren hangt af van de gekozen weg en van de
grootte van de lus.

\medskip
\noindent
Teneinde een wiskundige beschrijving te vinden, vatten we het interval
PQ in Fig. \ref{fig:pt} op als een curve, en stellen we dat $\lambda$ de
parameter is van deze curve. Het vectorveld $\vec V$ is gedefinieerd
op elk punt van de curve. De vector $\vec U = d\vec x/d\lambda$ is
de raakvector aan de curve. Parallel transporteren betekent dat
in een lokaal inertiaal co\"ordinatensysteem
op punt $\mathcal{P}$ de componenten van $\vec V$
constant moeten zijn langs de curve. Er geldt 
\begin{equation}
{dV^\alpha \over d\lambda} = U^\beta V_{~,\beta}^\alpha =
U^\beta V_{~;\beta}^\alpha = 0~~~~{\rm op~punt~}\mathcal{P}.
\end{equation}
De eerste gelijkheid is de definitie van de afgeleide van een functie
(in dit geval $V^\alpha$) langs de curve, de tweede gelijkheid komt
van het feit dat $\Gamma_{~\mu \nu}^\alpha = 0$ op punt $\mathcal{P}$
in deze co\"ordinaten. De derde gelijkheid is echter een frame-onafhankelijke
uitdrukking en die is geldig in elke basis. We nemen dit als de
co\"ordinatenstelsel onafhankelijke definitie van het parallelle transport
van $\vec V$ langs $\vec U$. Een vector $\vec V$ wordt dus parallel 
getransporteerd langs een curve met parameter $\lambda$ als geldt
\begin{equation}
U^\beta V_{~;\beta}^\alpha = 0 ~~\leftrightarrow~~
{d \over d\lambda} \vec V = \nabla_{\vec U} \vec V = 0 .
\end{equation}
De laatste stap maakt gebruik van de notatie voor de richtingsafgeleide
langs $\vec U$.

\medskip
\noindent
De belangrijkste curven in een gekromde ruimte zijn de {\sl geodeten}.
Geodeten zijn lijnen die (zo recht als mogelijk is) zijn getrokken, met
als voorwaarde dat de raakvectoren $\vec U$ van deze lijnen parallel getransporteerd
worden. Voor een geodeet geldt dus
\begin{equation}
\nabla_{\vec U} \vec U = 0 .
\label{eq:geoo}
\end{equation}
Merk op dat in een LLF deze lijnen inderdaad recht zijn. Voor de componenten
geldt
\begin{equation}
U^\beta U_{~;\beta}^\alpha = U^\beta U_{~,\beta}^\alpha
+ \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha U^\mu U^\beta = 0 .
\end{equation}
Als $\lambda$ de parameter van de curve is, dan geldt $U^\alpha = dx^\alpha/d\lambda$
en $U^\beta {\partial / \partial x^\beta} = d/d\lambda$. Hiermee vinden we
\begin{equation}
{d \over d\lambda}\left( {dx^\alpha \over d\lambda} \right)
+ \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha {dx^\mu \over d\lambda} {dx^\beta \over d\lambda} = 0.
\end{equation}
Omdat de christoffelsymbolen bekende functies van de co\"ordinaten 
$\{ x^\alpha \}$ zijn, is dit een verzameling niet-lineaire tweede-orde 
differentiaalvergelijkingen voor $x^\alpha (\lambda )$. Deze heeft een unieke
oplossing als de initi\"ele condities voor $\lambda = \lambda_0$ worden
gegeven: $x_0^\alpha = x^\alpha (\lambda_0 )$ en 
$U_0^\alpha = (dx^\alpha / d\lambda )_{\lambda_0}$. Dus door het geven van
een beginpositie ($x_0^\alpha$) en een beginsnelheid ($U_0^\alpha$),
verkrijgen we een unieke geodeet. 

\medskip
\noindent
Door de parameter $\lambda$ te veranderen, veranderen we wiskundig de
curve (maar niet het pad). Als $\lambda$ een parameter van de geodeet is,
en we defini\"eren een nieuwe parameter $\phi = a\lambda + b$, met $a$
en $b$ constanten, die dus niet van de positie op de curve afhangen, dan
geldt voor $\phi$ ook
\begin{equation}
{d^2 x^\alpha \over d\phi^2}
+ \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha {dx^\mu \over d\phi} {dx^\beta \over d\phi} = 0.
\end{equation}
Alleen lineaire transformaties van $\lambda$ geven nieuwe parameters die
voldoen aan de geodetenvergelijking. We noemen de parameters $\lambda$
en $\phi$ {\sl affine} parameters. Tenslotte merken we op dat een geodeet
ook een curve is met een extreme lengte (minimale lengte tussen twee
punten). We kunnen de vergelijking voor een geodeet dus ook vinden
met de Euler-Lagrange vergelijkingen. Hierbij gaan we uit van 
vergelijking (\ref{eq:geodetenl}), waarbij we de minkowskimetriek
$\eta_{\mu \nu}$ vervangen door $g_{\mu \nu}$. Ook kunnen we aantonen dat de lengte
$ds$ langs de curve een affine parameter is.

\subsection{Kromming en de riemanntensor}

In Fig. \ref{fig:commu} tonen we twee vectorenvelden $\vec A$ en $\vec B$.
De vectoren zijn z\'o klein, dat de kromming van de vari\"eteit geen rol
speelt in het gebied waar dit diagram getekend is. We kunnen daarmee
aannemen dat de vectoren op het oppervlak liggen in plaats van in de
raakruimte. Teneinde de commutator $[\vec A, \vec B]$ uit te kunnen rekenen,
gebruiken we een lokaal orthonormaal co\"ordinatensysteem. Omdat we
een vector kunnen opvatten als een richtingsafgeleide, stelt 
$A^\alpha \partial B^\beta / \partial x^\alpha$ de grootte voor waarmee de
vector $\vec B$ verandert als die langs $\vec A$ verplaatst wordt (dat
is de korte gestreepte lijn rechtsboven in Fig \ref{fig:commu}). 
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/commu.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De commutator $[ \vec A, \vec B ]$ van twee vectorvelden. We nemen
aan dat de vectoren klein zijn, zodat de kromming het toelaat dat ze in
de vari\"eteit liggen.}
\label{fig:commu}
\end{figure}
\noindent
Evenzo is $B^\alpha \partial A^\beta / \partial x^\alpha$ de verandering
van $\vec A$ als die langs $\vec B$ verplaatst wordt (dat is de andere
korte gestreepte lijn). Voor de componenten van de commutator in een
co\"ordinatenstelsel geldt
\begin{equation}
[ \vec A, \vec B ] = \left[ A^\alpha {\partial \over \partial x^\alpha} ,
B^\beta {\partial \over \partial x^\beta} \right ] = 
\left( A^\alpha {\partial B^\beta \over \partial x^\alpha}
- B^\alpha {\partial A^\beta \over \partial x^\alpha} \right)
{\partial \over \partial x^\beta} .
\label{eq:commu}
\end{equation}
Volgens bovenstaande vergelijking is de commutator $[ \vec A, \vec B ]$ het
verschil van de twee gestreepte lijnen in Fig. \ref{fig:commu}. Het is
het vijfde lijnsegment dat nodig is om de vierhoek te sluiten (dat is
de geometrische betekenis van de commutator). Vergelijking
(\ref{eq:commu}) is een operatorvergelijking, waarbij de uiteindelijke
afgeleide opereert op een scalairveld (net als in de quantummechanica).
We vinden hiermee meteen de componenten van de commutator in een
willekeurig co\"ordinatenstelsel: 
$A^\alpha B_{~,\alpha}^\beta - B^\alpha A_{~,\alpha}^\beta$. De
commutator is nuttig om onderscheid te kunnen maken tussen een 
co\"ordinatenbasis en een niet-co\"ordinatenbasis (ook wel niet-holonomische
basis genoemd)\footnote{In een co\"ordinatenbasis worden de basisvectoren gegeven
door de parti\"ele afgeleiden,
$\vec e_\alpha = \partial / \partial x^\alpha$, en omdat parti\"ele
afgeleiden commuteren, moet gelden $[\vec e_\alpha , \vec e_\beta ] = 0$.
In een niet-co\"ordinatenbasis geldt 
$[\vec e_\mu , \vec e_\nu ] = C_{\mu \nu}^\alpha \vec e_\alpha$, met
$C_{\mu \nu}^\alpha$ de zogenaamde commutatie co\"effici\"enten. Een
co\"ordinatenbasis is handig voor het doen van berekeningen, terwijl
een niet-co\"ordinatenbasis nuttig kan zijn voor de interpretatie van
gegevens.}.

\medskip
\noindent
In de discussie die leidde tot vergelijking (\ref{eq:gkk}), zagen we
dat de effecten van kromming merkbaar worden als we tweede-orde
afgeleiden (of gradi\"enten) nemen van de metriek. 
De krommingstensor van Riemann is een maat voor het falen van dubbele
gradi\"enten om te sluiten. Neem een vectorveld $\vec A$ en neem er de
dubbele gradi\"enten van. Dan vinden we
\begin{equation}
A_{\alpha ; \mu \nu} - A_{\alpha ; \nu \mu} 
=[ \nabla_\mu , \nabla_\nu ] A_\alpha \equiv 
R_{~\alpha \mu \nu}^\beta A_{\beta} .
\label{eq:riemann}
\end{equation}
Deze vergelijking kan gezien worden als de definitie van de
riemanntensor. De riemanntensor geeft de commutator van covariante afgeleiden.
Dit betekent dat we in gekromde ruimtetijd voorzichtig moeten zijn met de
volgorde waarin we covariante afgeleiden nemen: ze commuteren namelijk niet.
We kunnen vergelijking (\ref{eq:riemann}) uitwerken door te beginnen
met de definitie van de covariante afgeleide,
\begin{equation}
A_{\alpha ; \mu \nu} = {\partial \over \partial x^\nu} (A_{\alpha ; \mu})
- \Gamma_{~\alpha \nu}^\beta (A_{\beta ; \mu})
- \Gamma_{~\mu \nu}^\beta (A_{\alpha ; \beta})
~~{\rm en}~~
A_{\alpha ; \mu} = A_{\alpha , \mu} - \Gamma_{\alpha \mu}^\beta A_\beta .
\end{equation}
We dienen nu een en ander te differenti\"eren, indices te manipuleren, etc.
Uiteindelijk vinden we 
\begin{equation}
A_{\alpha ; \mu \nu} - A_{\alpha ; \nu \mu} = \left(
  {\partial \Gamma_{\alpha \nu}^\beta \over \partial x^\mu}
- {\partial \Gamma_{\alpha \mu}^\beta \over \partial x^\nu}
+ \Gamma_{\alpha \nu}^\gamma \Gamma_{\gamma \mu}^\beta 
- \Gamma_{\alpha \mu}^\gamma \Gamma_{\gamma \nu}^\beta 
\right) V_\beta = R_{~\alpha \mu \nu}^\beta V_\beta .
\label{eq:riemann1}
\end{equation}
De riemanntensor vertelt ons hoe een vectorveld verandert langs
een gesloten pad. We kunnen vergelijking (\ref{eq:christie}) gebruiken om
de riemanntensor in een LLF te schrijven als
\begin{equation}
R_{~\beta \mu \nu}^\alpha = {1 \over 2} g^{\alpha \sigma} \left(
g_{\sigma \nu , \beta \mu} - g_{\sigma \mu , \beta \nu}
+ g_{\beta \mu , \sigma \nu} -g_{\beta \nu , \sigma \mu} \right).
\end{equation}
We zien dat de metrische tensor ${\bf g}$ de informatie over de
intrinsieke kromming bevat\footnote{Behalve intrinsieke kromming kan een
vari\"eteit ook een {extrinsieke kromming} hebben. Neem bijvoorbeeld
een blad papier dat geen intrinsieke kromming heeft, en rol het op tot
een cilinder. Deze cilinder heeft extrinsieke kromming en die beschrijft
de inbedding van het vlakke blad papier in de 3D ruimte. De ART zegt
niets over de hogere ruimten waarin ruimtetijd kan zijn ingebed. De ART
geeft een beschrijving van kromming binnen de vari\"eteit zelf en dat
is de intrinsieke kromming van ruimtetijd.}. 
Deze kromming wordt manifest als we tweede-orde
afgeleiden van de metriek nemen.
Met $R_{\alpha \beta \mu \nu} \equiv g_{\alpha \lambda} R_{~\beta \mu \nu}^\lambda$
en bovenstaande relatie,
kunnen we een aantal belangrijke eigenschappen van de riemanntensor bewijzen.
De riemanntensor is
\begin{itemize}
\item{} antisymmetrisch in de laatste twee indices. Er geldt
\begin{equation}
{\bf R}(\_,\_,\vec A,\vec B) = - {\bf R}(\_,\_,\vec B, \vec A)
~~~~{\rm of}~~~~R_{\mu \nu \alpha \beta} = -R_{\mu \nu \beta \alpha}.
\end{equation}
\item{} Antisymmetrisch in de eerste twee indices. Er geldt
\begin{equation}
{\bf R}(\vec A,\vec B,\_,\_) = - {\bf R}(\vec B, \vec A,\_,\_)
~~~~{\rm of}~~~~R_{\mu \nu \alpha \beta} = -R_{\nu \mu \alpha \beta}.
\end{equation}
\item{} De tensor is symmetrisch.
\begin{equation}
{\bf R}(\vec A,\vec B, \vec C, \vec D = {\bf R}(\vec C, \vec D, \vec A, \vec B)
~~~~{\rm of}~~~~R_{\mu \nu \alpha \beta} = R_{\alpha \beta \nu \mu}.
\end{equation}
\item{} Er gelden de zogenaamde Biancchi identiteiten,
\begin{equation}
R_{\alpha \beta \gamma \delta ; \epsilon}
+ R_{\alpha \beta \delta \epsilon ; \gamma }
+ R_{\alpha \beta \epsilon \gamma ; \delta }
= 0,
\end{equation}
waarbij we steeds de laatste drie indices permuteren.
\end{itemize}
Bovenstaande symmetrie\"en reduceren de $4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256$
componenten van de riemanntensor tot 20.

\medskip
\noindent
De krommingstensor van Ricci (riccitensor)
is gedefinieerd als de contractie van de riemanntensor. Er geldt
\begin{equation}
R_{\alpha \beta} \equiv R_{~\alpha \mu \beta}^\mu .
\end{equation}
Bijvoorbeeld in het geval van het aardoppervlak bevat deze tensor
ook de informatie over de kromming, maar dan als de riemanntensor
ge\"{\i}ntegreerd over de hoeken.
Verder kan men laten zien dat de riccitensor symmetrisch is. Tenslotte hebben
we nog de scalaire kromming, de riccikromming, gedefinieerd door
\begin{equation}
R = R_{~\alpha}^\alpha .
\end{equation}
%We zullen kromming demonstreren met een eenvoudig voorbeeld.
%
%\footnotesize
%\medskip
%\noindent
%\underline{Voorbeeld:} berekening van de kromming van een bol.
%
%\medskip
%\noindent
%We beschouwen het oppervlak van een bol met straal $a$.
%
%\normalsize
%
%\medskip
%\noindent
We hebben nu de tensoren gedefinieerd, die we nodig hebben voor de
beschrijving van fenomenen in de algemene relativiteitstheorie.
Er is een formidabel wiskundig apparaat opgetuigd en we gaan dat
nu eerst gebruiken om de veldvergelijkingen (de zogenaamde einsteinvergelijkingen)
van de ART te poneren. We maken een en ander aannemelijk door een analogie
met de newtoniaanse beschrijving.

\subsection{Newtoniaanse beschrijving van getijdenkrachten}

We proberen een maat te vinden voor de kromming van ruimtetijd. Hiertoe
laten we een testdeeltje vrij vallen. Wij besluiten als waarnemer\footnote{We
gaan er voor het gemak vanuit dat wij als waarnemer niet van invloed
zijn op het proces. Het belangrijkste is dat we aannemen dat we geen kracht uitoefenen
en geen kromming veroorzaken.} om met
dit deeltje mee te vallen (LLF) en zien dat het deeltje langs een rechte
lijn in ruimtetijd beweegt (alleen in de tijdrichting). 
Er is niets in de beweging van een enkel deeltje dat
kromming verraadt. Met name in het vrij vallende co\"ordinatenstelsel blijft
het deeltje in rust. E\'en deeltje is onvoldoende om de effecten van
kromming te ontdekken.

\medskip
\noindent
Vervolgens laten we twee deeltjes vallen.
We gaan de getijdenkracht op aarde bekijken vanuit het perspectief
van waarnemers die vrij vallen (LLF) samen met de deeltjes. Dergelijke waarnemers vallen
in een rechte lijn naar het centrum van de aarde. Fig. \ref{fig:gd}
geeft de situatie voor twee vrij vallende deeltjes $P$ en $Q$, en we zien dat beide
deeltjes paden volgen die leiden naar het centrum van de aarde.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/gd.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: twee vrij vallende deeltjes bewegen op initieel parallelle paden
naar het centrum van de aarde. Daar ligt het snijpunt van beide lijnen;
rechts: lijnen op het aardoppervlak die initieel parallel zijn bij 
de evenaar, snijden elkaar bij de noordpool.}
\label{fig:gd}
\end{figure}
\noindent
Vanuit het perspectief van een waarnemer die in vrije val is met
deze deeltjes, zien we dat de deeltjes naar elkaar toe bewegen. Dit wordt
veroorzaakt door de differenti\"ele gravitatieversnelling op de 
deeltjes en we noemen dit getijdenkrachten. Volgens
Newton kruisen de paden ten gevolge van gravitatie, terwijl dit volgens
Einstein gebeurt omdat ruimtetijd gekromd is. Wat Newton gravitatie noemt,
wordt door Einstein kromming van ruimtetijd genoemd. Gravitatie is een eigenschap van
de kromming van ruimtetijd.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{Figures/gd1.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De banen van twee vrij vallende deeltjes in een gravitatieveld $\Phi$.
De drievector $\vec \xi$ meet de afstand tussen de twee deeltjes en is een
functie van de tijd.}
\label{fig:gd1}
\end{figure}

\medskip
\noindent
We willen nu een wiskundige beschrijving geven van dit proces, die in overeenstemming
is met de wetten van Newton (zie ook hoofdstuk \ref{gravpot}). 
Hiertoe beschouwen we Fig. \ref{fig:gd1}.
De newtoniaanse bewegingsvergelijkingen (zie vergelijking (\ref{eq:324j54}))
voor deeltjes $P$ en $Q$ zijn
\begin{equation}
\left( {d^2 x_j \over dt^2} \right)_{(P)} = - \left( {\partial \Phi \over \partial x^j} \right)_{(P)}
~~{\rm en}~~
\left( {d^2 x_j \over dt^2} \right)_{(Q)} = - \left( {\partial \Phi \over \partial x^j} \right)_{(Q)},
\end{equation}
met $\Phi$ de gravitationele potentiaal. We defini\"eren $\vec \xi$ als de afstand
tussen beide deeltjes. Voor parallelle banen zou gelden ${d\vec \xi \over dt} = 0$.
Met $\vec \xi = \left( x_j \right)_{(P)} - \left( x_j \right)_{(Q)}$ vinden we
via een Taylorexpansie
\begin{equation}
{d^2 \xi_j \over dt^2} = -\left( {\partial^2 \Phi \over \partial x^j \partial x^k}
\right) \xi_k = - \mathcal{E}_{jk} \xi_k ~~\rightarrow~~ \mathcal{E}_{jk}
= \left( {\partial^2 \Phi \over \partial x^j \partial x^k} \right) ,
\label{eq:gd}
\end{equation}
met ${\bf E}$ de gravitationele getijdentensor. Merk op dat de metriek voor de 3D euclidische
ruimte gegeven wordt door $\delta_{jk} = {\rm diag}(1,1,1)$ en dat er dus geen verschil
is tussen boven- en benedenindices. Vergelijking (\ref{eq:gd}) wordt de vergelijking
van newtoniaanse geodetische deviatie genoemd. 

\medskip
\noindent
Volgens Newton bewegen de deeltjes naar elkaar toe en schrijven we
\begin{equation}
{d^2\vec \xi \over dt^2} = - {\bf E}(\_,\vec \xi )
\end{equation}
in abstracte notatie. Het is interessant dat de veldvergelijking van
newtoniaanse gravitatie, vergelijking (\ref{eq:ng}),
\begin{equation}
\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho ,
\end{equation}
kan worden uitgedrukt in termen van tweede afgeleiden van $\Phi$, die de
getijdenversnellingen in vergelijking (\ref{eq:gd}) beschrijven. Er is
een analoge connectie in de ART.

\subsection{De einsteinvergelijkingen}

We komen nu tot de kern van de ART, de veldvergelijkingen. We zullen proberen
de veldvergelijkingen plausibel te maken op een manier die al het voorgaande
nog eens samenvat. We beginnen met een
beschouwing in Fig. \ref{fig:curve3} (linker diagram) van de beweging van een deeltje langs
een wereldlijn. De wereldlijn is geparametriseerd met de eigentijd $\tau$
op een klok die het deeltje met zich mee draagt. We kunnen de positie
van het deeltje op een punt van de wereldlijn dus aangeven met $\mathcal{P}(\tau )$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/curve3.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: de wereldlijn van een deeltje is een curve die geparametriseerd
kan worden met de eigentijd $\tau$ van het deeltje. De snelheid $\vec U$ is
de raakvector aan de curve. Rechts: we brengen een co\"ordinatenstelsel
$\{ x^\alpha \}$
aan. De snelheid $\vec U$ heeft nu componenten $U^\alpha = dx^\alpha / d\tau$.}
\label{fig:curve3}
\end{figure}
De snelheid $\vec U$ is de raakvector aan de curve en wordt gegeven door
\begin{equation}
\vec U = {d\mathcal{P} \over d\tau} = {d \over d\tau} .
\end{equation}
Voor de snelheid geldt in het LLF op punt $\mathcal{P}$
\begin{equation}
\vec U^2 = {\overrightarrow{d\mathcal{P}} \cdot \overrightarrow{d\mathcal{P}} \over d\tau^2}
= {-d\tau^2 \over d\tau^2} = -1 ,
\end{equation}
waarbij we de definitie van de metriek hebben gebruikt\footnote{In het LLF komt 
$\overrightarrow{d{\mathcal{P}}}$ overeen met $(\Delta \tau , \vec 0)$, waarbij
$\Delta \tau$ de eigentijd is, gemeten
met een ideale klok. Er geldt dan dat 
$\overrightarrow{d\mathcal{P}} \cdot \overrightarrow{d\mathcal{P}} = -(\Delta \tau )^2$.}.
Omdat deze vergelijking een getal (scalar) oplevert, is dit geldig in elk
co\"ordinatenstelsel. 
We zien dus dat de
snelheidsviervector lengte $1$ heeft en in de tijdrichting wijst. Merk op dat
deze definities geen gebruik maken van een co\"ordinatenstelsel. In het
geval dat een co\"ordinatenstelsel aangebracht wordt, geldt voor de componenten
van de snelheid 
\begin{equation}
U^\alpha = {dx^\alpha \over d\tau}.
\end{equation}
De componenten zijn dus de afgeleiden van de co\"ordinaten zelf.

\medskip
\noindent
Als het deeltje vrij beweegt en er geen andere krachten op werken dan die
ten gevolge van de kromming van ruimtetijd, dan moet het in een rechte
lijn bewegen. Hiermee bedoelen we zo recht als mogelijk is onder invloed van
kromming. Het deeltje dient zijn eigen snelheid parallel
te transporteren. Er geldt
\begin{equation}
\nabla_{\vec U} \vec U = 0 ,
\label{eq:geod}
\end{equation}
en dat is, zoals we reeds in vergelijking (\ref{eq:geoo}) gezien hebben,
de abstracte uitdrukking voor een geodeet.
Wat dit betekent is dat wanneer we naar een lokaal lorentzframe gaan, de
componenten van de viersnelheid constant blijven (en daarom is
de richtingsafgeleide gelijk aan nul)
als het deeltje slechts een kleine afstand aflegt. We willen nu bekijken
hoe de geodetenvergelijking eruit komt te zien als we een 
willekeurig co\"ordinatenstelsel
aanbrengen. Dit is geschetst in het rechterpaneel van Fig. \ref{fig:curve3}.
In dit co\"ordinatenstelsel worden de componenten van $\vec U$ gegeven
door $U^\alpha = dx^\alpha / d\tau$, en kunnen we de geodetenvergelijking
schrijven als
\begin{equation}
U_{~;\mu}^\alpha U^\mu = 0 ~~~~\rightarrow~~~~
\left( U_{~, \mu}^\alpha + \Gamma_{~\mu \nu}^\alpha U^\nu \right) U^\mu = 0 .
\end{equation}
Merk op dat $U_{~;\mu}^\alpha$ de gradi\"ent is, waarvan we dan het
inproduct nemen met de snelheid $U^\mu$ om de afgeleide van de snelheid
in de richting van de snelheid te vinden. Deze afgeleide stellen we 
vervolgens gelijk aan nul. In de tweede stap maken we gebruik van de
uitdrukking in componenten van de covariante afgeleide. We vermenigvuldigen
nu de termen en vinden
\begin{equation}
\underbrace{
   \underbrace{U_{~,\mu}^\alpha}_{\partial U^\alpha \over \partial x^\mu}
   \underbrace{U^\mu}_{dx^\mu \over d\tau}
}_{{dU^\alpha \over d\tau} = {d \over d\tau}\left( {dx^\alpha \over d\tau} \right)}  
+ \Gamma_{~\mu \nu}^\alpha 
\underbrace{U^\nu}_{dx^\nu \over d\tau} 
\underbrace{U^\mu}_{dx^\mu \over d\tau} = 0 
~~~~\rightarrow~~~~
{d^2x^\alpha \over d\tau^2} + \Gamma_{~\mu \nu}^\alpha 
{dx^\mu \over d\tau}{dx^\nu \over d\tau}.
\label{eq:geod1}
\end{equation}
Het is belangrijk in te zien dat we zijn uitgegaan van de abstracte
tensorvergelijking (\ref{eq:geod}) voor een geodeet. Na het aanbrengen van
een willekeurig co\"ordinatenstelsel hebben we deze vergelijking in
componenten geschreven en het resultaat is vergelijking (\ref{eq:geod1}).
Deze laatste geeft vier gewone tweede-orde differentiaalvergelijkingen
voor de co\"ordinaten $x^0(\tau )$, $x^1(\tau )$, $x^2(\tau )$ en
$x^3(\tau )$. Deze vergelijkingen zijn gekoppeld via de connectieco\"effici\"enten.
Omdat het tweede-orde differentiaalvergelijkingen zijn, hebben we twee
randvoorwaarden nodig, bijvoorbeeld op tijdstip $\tau = 0$ zowel $x^\alpha (\tau = 0 )$
als ${dx^\alpha \over d\tau} (\tau = 0) = U^\alpha (0)$. Daarna ligt
de wereldlijn van het vrije deeltje (geodeet) vast. 

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{Figures/geod3.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De wereldlijnen van twee deeltjes $P$ en $Q$ zijn initieel parallel.
Door kromming van ruimtetijd bewegen de deeltjes naar elkaar toe.
De afstand tussen de deeltjes wordt gegeven door de ruimtelijke
vector $\vec \xi$.}
\label{fig:geod3}
\end{figure}

\noindent
We bekijken in Fig. \ref{fig:geod3} de geodetische afstand tussen twee deeltjes
$P$ en $Q$.
Dit vormt de aanloop tot de einsteinvergelijkingen. Stel dat we twee
deeltjes hebben die op een bepaald tijdstip (dat we voor het gemak
als $\tau = 0$ kiezen) in rust zijn ten opzichte van elkaar. 
%Dit betekent dat hun wereldlijnen in ruimtetijd in het
%begin absoluut parallel zijn ten opzichte van elkaar. Ten gevolge van
%gravitatie zullen deze wereldlijnen elkaar uiteindelijk kruisen (in
%het beeld van Newton). We hebben dat gekwantiseerd door een afstandsvector
We defini\"eren de separatievector $\vec \xi$, die van het ene naar het andere deeltje wijst.
Verder heeft deeltje $P$ een snelheid $\vec U$. De eis dat de deeltjes
aanvankelijk in rust zijn ten opzichte van elkaar, komt neer op
$\nabla_{\vec U} \vec \xi = 0$
op punt $\mathcal{P}$ op tijdstip $\tau = 0$. Verder willen we
$\vec \xi$ zo defini\"eren, dat in het LLF van deeltje $P$ de
vector $\vec \xi$ zuiver ruimtelijk is (dat is een keuze die we mogen maken).
Hiermee is $\vec \xi$ loodrecht op de snelheid $\vec U$. Hij wijst
dus in een richting die loodrecht op de tijdrichting staat. Er geldt
dan $\vec U \cdot \vec \xi = 0$ op punt $\mathcal{P}$.
Samengevat, eisen we op tijdstip $\tau = 0$
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
\nabla_{\vec U} \vec \xi & = & 0 \\
& & \\
\vec U \cdot \vec \xi & = & 0 \\
\end{array}
\right\}
~~~~{\rm op~punt~}\mathcal{P}~{\rm ~voor~}\tau=0 .
\end{equation}
De tweede afgeleide $\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi$
is echter niet gelijk aan nul, want we weten dat de effecten van kromming
merkbaar worden als we tweede-orde afgeleiden van de metriek nemen.
Dit betekent dat de geodeten van de deeltjes naar elkaar
toe worden gedrukt of van elkaar verwijderd raken (naargelang de metriek), 
naarmate de tijd vordert. Er geldt
\begin{equation}
\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi = - {\bf R}(\_, \vec U, \vec \xi , \vec U ) ,
\end{equation}
met ${\bf R}$ de krommingstensor.
Deze vergelijking beschrijft hoe twee aanvankelijk parallelle geodeten
in de loop der tijd van elkaar beginnen af te wijken ten gevolge van
de kromming. De uitdrukking volgt uit vergelijkingen (\ref{eq:65})
en (\ref{eq:riemann}). De tweede afgeleide $\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi$
beschrijft de relatieve versnelling van de deeltjes.

\medskip
\noindent
In het LLF van deeltje $P$ op tijdstip $\tau = 0$ geldt $U^0 = 1$ en $U^i = 0$.
Hiermee verwachten we
\begin{equation}
(\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi )^j = {\partial^2 \vec \xi \over \partial t^2}
= -R_{\alpha \beta \gamma}^j U^\alpha \xi^\beta U^\gamma = -R_{0k0}^j \xi^k ,
\end{equation}
want de snelheid $\vec U$ heeft alleen een tijdcomponent in het LLF van deeltje
$\mathcal{P}$, terwijl de separatievector $\vec \xi$ alleen ruimteachtige
componenten heeft $k = 1,2,3$. 
In het LLF heeft de vergelijking voor geodetische afwijking de vorm
\begin{equation}
{\partial^2 \xi^j \over \partial t^2} = -R_{0k0}^j \xi^k ,
\end{equation}
terwijl we in de newtoniaanse mechanica gevonden hebben (zie vergelijking
(\ref{eq:gd})) dat
\begin{equation}
{\partial^2 \xi^j \over \partial t^2} = -\mathcal{E}_{jk} \xi^k .
\end{equation}  
In een LLF is het ruimtelijke deel van de metriek cartesisch 
($\delta_{ij} = {\rm diag}(1,1,1)$) en maakt de plaats van de indices niets
uit. Vergelijken geeft dan
\begin{equation}
R_{j0k0} = \mathcal{E}_{jk} = {\partial^2 \Phi \over \partial x^j x^k}.
\end{equation}
We kunnen een deel van de krommingstensor identificeren met 
afgeleiden van de newtoniaanse
gravitatiepotentiaal. Volgens Newton geldt
\begin{equation}
\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho~~~~\rightarrow~~~~
\Phi_{,jk} \delta^{jk} = \mathcal{E}_{jk} \delta^{jk} = \mathcal{E}_{~j}^j,
\end{equation}
en we vinden voor het spoor van de gravitationele getijdentensor
$\mathcal{E}_{~j}^j = 4\pi G\rho $. Analoog zou je misschien verwachten
dat in de algemene relativiteitstheorie zou gelden dat
\begin{equation}
R_{~0j0}^j = 4\pi G\rho ~~~~?
\label{eq:gok}
\end{equation}
als een eerste gok.

\medskip
\noindent
Er is echter een fundamenteel probleem met vergelijking (\ref{eq:gok}). Het dient een
uitdrukking te zijn, die niet van het co\"ordinatenstelsel afhangt. 
Wat we echter gedaan hebben, is het opstellen van de vergelijking in een speciaal
stelsel: het LLF. Wat we derhalve dienen te doen, is proberen een relatie tussen
tensoren te vinden. Hiertoe merken we op dat in het LLF geldt dat
$R_{0000} = 0$ en $R_{~000}^0 = 0$ ten gevolge van antisymmetrie.
Er geldt dus $R_{~0j0}^j = 4\pi G\rho \rightarrow R_{~0\mu 0}^\mu = 4\pi G\rho$.
We bevinden ons nog steeds in het LLF (overigens geldt hier $R_{00} = 4\pi G\rho$
met $R_{00}$ de Ricci tensor, maar dat terzijde).

\medskip
\noindent
Er is nog een probleem met vergelijking (\ref{eq:gok}): links van het
gelijkteken hebben we twee indices en rechts ervan geen enkele. Je zou dus misschien
kunnen denken dat geldt
\begin{equation}
R_{\alpha \beta} = 4\pi GT_{\alpha \beta}~~~~?
\label{eq:gok2}
\end{equation}
Hierbij is $T_{\alpha \beta}$ de energie-impuls tensor, waarvan 
$T_{00} = \rho$ (en dat is overigens
vaak de dominerende term in het LLF). Einstein maakte deze gok al
in 1912, maar hij is fout! Deze vergelijkingen hebben ingebouwde
inconsistenties. Het is belangrijk om te begrijpen wat er mis is, en dat
komt neer op het volgende. Beschouw de riemanntensor
\begin{equation}
R_{~\alpha \beta \gamma}^{\delta} \approx g_{\alpha \beta , \gamma \delta}
+ {\rm niet~lineaire~termen} .
\end{equation}
Als we de eerste en derde index contraheren, krijgen we
\begin{equation}
R_{\alpha \beta} \approx g_{\gamma \alpha , \gamma \delta}
+ {\rm niet~lineaire~termen} .
\end{equation}
We zien hiermee dat de voorgestelde vergelijkingen (\ref{eq:gok2}) 
een verzameling vormen van 10 parti\"ele differentiaalvergelijkingen voor de 10
componenten van de metriek $g_{\alpha \beta}$ (want de metriek is symmetrisch
in $\alpha$ en $\beta$). Ook de Ricci tensor is symmetrisch. Dat lijkt
allemaal prima, maar we hebben de vrijheid om zelf het co\"ordinatenstelsel
te kiezen waarin we de vergelijkingen gaan opschrijven. We hebben de
vrijheid om $x^0(\mathcal{P})$, $x^1(\mathcal{P})$, $x^2(\mathcal{P})$ en
$x^3(\mathcal{P})$ te kiezen. We kunnen dat gebruiken om 4 van de 10
componenten van $g_{\alpha \beta}$, zoals gezien als functie van de
co\"ordinaten, gelijk te zetten aan wat we willen, bijvoorbeeld
$g_{00} = -1$, $g_{01} = g_{02} = g_{03} = 0$. Echter, onze vergelijkingen
(\ref{eq:gok2}) staan dit niet toe: 10 parti\"ele differentiaalvergelijkingen
voor 10 onbekenden. Wat we nodig hebben, zijn 6 vergelijkingen voor 10
onbekenden.

\medskip
\noindent
Voordat we onze speurtocht naar de einsteinvergelijkingen voortzetten, maken
we eerst twee opmerkingen. De eerste opmerking heeft te maken met de
Biancchi indentiteiten.
Dankzij deze indentiteiten $R_{\alpha \beta \gamma \delta ;\epsilon} + ... = 0$
blijkt dat als we de einsteintensor defini\"eren,
\begin{equation}
G_{\alpha \beta} \equiv R_{\alpha \beta} - {1 \over 2} R g_{\alpha \beta},
\end{equation}
met $R_{\alpha \beta}$ de riccitensor en $R$ de scalaire kromming, dan
zorgen de Biancchi indentiteiten ervoor dat de divergentie van de einsteintensor
gelijk is aan nul,
\begin{equation}
G_{~~;\beta}^{\alpha \beta} = 0 .
\end{equation}
De tweede opmerking heeft te maken met de ons bekende behoudswetten voor
energie en impuls. In een LLF geldt
\begin{equation}
T_{~~,\beta}^{\alpha \beta} = 0 \left\{
\begin{array}{rcl}
{\partial T^{00} \over \partial t} + {\partial T^{0j} \over \partial x^j} & = & 0, \\
& & \\
{\partial T^{j0} \over \partial t} + {\partial T^{jk} \over \partial x^k} & = & 0. \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
Merk op dat ${\partial T^{0j} \over \partial x^j}$ de ruimtelijke divergentie is
en energiebehoud zegt $\partial \rho / \partial t + {\rm div} \vec J = 0$, met
$\vec J$ de massa-energieflux. Evenzo is ${\partial T^{j0} \over \partial t}$
de impulsdichtheid en ${\partial T^{jk} \over \partial x^k}$ de impulsflux.
Omdat we alleen de eerste afgeleide nemen, is wat geldt in een vlakke ruimte in
het LLF, ook geldig voor gekromde ruimtetijd. Hiermee vinden we de tensorvergelijking
\begin{equation}
T_{~~; \beta}^{\alpha \beta} = 0 .
\end{equation}

\medskip
\noindent
Het lijkt redelijk om aan te nemen dat de natuur gekozen heeft voor
\begin{equation}
G^{\alpha \beta} = {8 \pi G \over c^4} T^{\alpha \beta} .
\label{eq:einstein}
\end{equation}
Dit zijn de einsteinvergelijkingen.
De evenredigheidsfactor ($8\pi G/c^4$) vinden we door de newtoniaanse limiet te nemen.
Voordat we de einsteinvergelijkingen opleggen, weten we al dat
\begin{equation}
G_{~~;\beta}^{\alpha \beta} = 0 = {8\pi G \over c^4} T_{~~;\beta}^{\alpha \beta} .
\end{equation}
Dit zijn 4 vergelijkingen en het zijn de afgeleiden van de einsteinvergelijkingen.
Aan deze 4 identiteiten (de divergenties van $G^{\alpha \beta}$ en $T^{\alpha \beta}$
zijn nul) wordt al voldaan. Dit legt 4 beperkingen op aan de einsteinvergelijkingen
(ook wel de veldvergelijkingen genoemd) en de veldvergelijkingen geven slechts
6 nieuwe stukken informatie. Dat is precies wat we nodig hebben. 

\subsection{Zwakke gravitatievelden en de newtoniaanse limiet}

Het is duidelijk dat de ART beschrijving van gravitatie in termen van kromming van
ruimtetijd reduceert tot de SRT voor lokale lorentzframes. Het is echter belangrijk
om expliciet te controleren dat de beschrijving reduceert tot de newtoniaanse
beschrijving als we de correcte randvoorwaarden bezien.

\medskip
\noindent
Zonder gravitatie heeft ruimtetijd de minkowskimetriek $\eta$. Derhalve zullen zwakke
gravitatievelden overeenkomen met een geringe kromming van ruimtetijd. We nemen
aan dat er co\"ordinaten bestaan, waarin de metriek de volgende vorm heeft,
\begin{equation}
g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}~~~~{\rm met}~\vert h_{\mu \nu}\vert \ll 1.
\label{eq:weak}
\end{equation}
Verder nemen we aan dat in dat co\"ordinatenstelsel de metriek stationair is,
waardoor geldt $\partial_0 g_{\mu \nu} = 0$. De wereldlijn van een vrij vallend
deeltje wordt gegeven door de geodetische vergelijking
\begin{equation}
{d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma_{~\nu \sigma}^\mu
{dx^\nu \over d\tau} {dx^\sigma \over d\tau} = 0.
\end{equation}
We nemen aan dat het deeltje langzaam beweegt (niet-relativistisch), zodat
voor de componenten van de driesnelheid geldt $dx^i / dt \ll c~(i=1,2,3)$,
met $t$ gedefinieerd via $x^0 = ct$. Hiermee eisen we voor $i=1,2,3$
\begin{equation}
{dx^i \over d\tau} \ll {dx^0 \over d\tau}.
\end{equation}
We mogen de driesnelheid verwaarlozen en vinden
\begin{equation}
{d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma_{~00}^\mu c^2
\left( {dt \over d\tau} \right)^2 = 0.
\label{eq:34df0} 
\end{equation}
We gebruiken vergelijking (\ref{eq:chrissietje}) en vinden
\begin{equation}
\Gamma_{~00}^\mu = {1 \over 2} g^{\kappa \mu} (\partial_0 g_{0\kappa}
+ \partial_0 g_{0 \kappa} - \partial_\kappa g_{00} )
= -{1 \over 2} g^{\kappa \mu} \partial_\kappa g_{00}
=-{1 \over 2} \eta^{\kappa \mu} \partial_\kappa h_{00} ,
\end{equation}
waarbij we vergelijking (\ref{eq:weak}) hebben gebruikt. De laatste
gelijkheid is geldig tot op eerste orde in $h_{\mu \nu}$.
Omdat we hebben aangenomen dat de metriek stationair is geldt
\begin{equation}
\Gamma_{~00}^0 = 0~~~~{\rm en}~~~~\Gamma_{~00}^i = {1\over 2}
\delta^{ij} \partial_j h_{00}~~{\rm met}~i = 1,2,3.
\label{eq:069lj}
\end{equation}
Invullen in vergelijking (\ref{eq:34df0}) levert
\begin{equation}
{d^2t \over d\tau^2} = 0~~~~{\rm en}~~~~
{d^2 \vec x \over d\tau^2} = -{1 \over 2}c^2 \left(
{dt \over d\tau} \right)^2 \nabla h_{00} .
\end{equation}
De eerste vergelijking stelt dat $dt / d\tau = {\rm constant}$,
en hiermee kunnen we de twee uitdrukkingen combineren. Dat geeft
de volgende bewegingsvergelijking voor het deeltje,
\begin{equation}
{d^2 \vec x \over dt^2} = - {1 \over 2} c^2 \nabla h_{00} .
\end{equation}
Als we deze uitdrukking vergelijken met de newtoniaanse uitdrukking
voor de beweging van een deeltje in een gravitatieveld, formule
(\ref{eq:324j54}), dan zien we dat beide identiek zijn, als we de
identificatie maken dat $h_{00} = 2\Phi / c^2$.
We vinden dat voor een langzaam bewegend deeltje de ART overgaat
in de newtoniaanse beschrijving, als de metriek gegeven wordt door
\begin{equation}
g_{00} = 1 + h_{00} = \left( 1 + {2\Phi \over c^2} \right).
\label{eq:artnewton}
\end{equation}
We kunnen een schatting maken van deze correctie op de
minkowskimetriek, want ${\Phi \over c^2} = -{GM \over c^2 r}$
en we vinden $-10^{-9}$ aan het aardoppervlak, $-10^{-6}$ aan
het oppervlak van de zon, en $-10^{-4}$ aan het oppervlak van een
witte dwerg. We zien dat de zwakke-veld limiet een uitstekende
benadering is.

\medskip
\noindent
Vergelijking (\ref{eq:artnewton}) toont dat ruimtetijdkromming ervoor
zorgt dat de tijdco\"ordinaat $t$ in het algemeen niet de eigentijd
meet. Hiertoe nemen we een klok die in rust is op een bepaald punt
in ons co\"ordinatensysteem (dan geldt $dx^i / dt = 0$). Het 
eigentijdinterval $d\tau$ tussen twee tikken van deze klok wordt
gegeven door $c^2d\tau^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu = g_{00} c^2 dt^2$,
waarmee we vinden
\begin{equation}
d\tau = \left( 1 + {2\Phi \over c^2} \right)^{1 \over 2} dt.
\end{equation}
Dit geeft het interval in eigentijd $d\tau$ dat correspondeert met
een interval $dt$ in co\"ordinatentijd voor een stationaire waarnemer
in de buurt van een massief object, in een gebied met gravitatie
potentiaal $\Phi$. Omdat $\Phi$ negatief is, is dit eigentijdinterval
korter dan het corresponderende interval voor een stationaire waarnemer
op grote afstand van het object, waar $\Phi \rightarrow 0$ en
dus $d\tau = dt$. Merk op dat we dit reeds hebben afgeleid uit het
equivalentieprincipe; zie vergelijking (\ref{eq:gravshift}) met $\Phi = gh$.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/ballen.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Banen van een bal en een kogel door de ruimte. Gezien vanuit een
laboratorium hebben de banen een verschillende kromming.}
\label{fig:ballen}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Het ruimtetijdinterval wordt gegeven door
\begin{equation}
ds^2 = -\left( 1 + {2\Phi \over c^2} \right)(cdt)^2 + dx^2 + dy^2 +dz^2 .
\label{eq:artdsnewton}
\end{equation}
Deze vergelijking beschrijft een geometrie van ruimtetijd waarin deeltjes
op geodeten bewegen die precies dezelfde banen volgen als die van
deeltjes in een vlakke ruimtetijd waarin de newtoniaanse gravitatiekracht
actief is. We hebben hiermee een gekromd ruimtetijdbeeld gevonden
voor Newtons gravitatie. De kromming is alleen in de tijdrichting.
Kromming in de tijd is niets anders dan de gravitationele roodverschuiving:
tijd schrijdt voort met verschillende snelheden op verschillende plaatsen,
derhalve is tijd gekromd. Deze gravitationele roodverschuiving bepaalt
volledig de banen van deeltjes in een gravitatieveld. De gehele
newtoniaanse gravitatie is alleen tijdkromming.

\medskip
\noindent
Wellicht gaat het bovenstaande tegen ons gevoel in. Immers niets lijkt zo
vanzelfsprekend als het idee dat gravitatie een manifestatie is van
kromming van de ruimte. 
Kijk bijvoorbeeld naar de banen van twee
objecten in de ruimte, zoals getoond in Fig. \ref{fig:ballen}. 
Een van de objecten is een bal die met een relatief lage snelheid
van 5 m/s beweegt en een hoogte bereikt van 5 m. Het andere
object is de kogel uit een geweer. Deze kogel beweegt met hoge
snelheid (500 m/s). Als we de figuur bekijken, dan lijkt de
baan van de bal sterker gekromd dan die van de kogel.

\medskip
\noindent
Het punt is echter dat we niet naar een kromming van de ruimte dienen
te kijken, maar naar de kromming van ruimtetijd. Hiertoe tekenen we
de banen nogmaals in Fig. \ref{fig:ballenrt}, maar nu in 
minkowski ruimtetijd. We zien dat nu de banen van de bal en kogel een
gelijke kromming hebben in ruimtetijd.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/ballenrt.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Banen van een bal en een kogel door ruimtetijd. Gezien vanuit een
laboratorium hebben de banen dezelfde kromming. We vergelijken de
baanlengte ten opzichte van de booglengte van de cirkel: (straal)
= (horizontale afstand)$^2$ / 8(hoogte).}
\label{fig:ballenrt}
\end{figure}
\noindent
In werkelijkheid heeft echter geen van de banen een kromming! Ze zien
er gekromd uit omdat we vergeten zijn dat de ruimtetijd waarin ze
getekend zijn, zelf gekromd is. De kromming van ruimtetijd is precies
zodanig, dat de banen zelf volledig recht zijn: het zijn immers geodeten. 

\subsection{De zwakke-veld limiet van de einsteinvergelijkingen}\label{newtonlimiet}

De einsteinvergelijkingen (\ref{eq:einstein}) stellen dat de einsteintensor evenredig
is met de energie-impuls tensor, $G_{\mu \nu} = {\rm constante} ~T_{\mu \nu}$.
We willen de evenredigheidsfactor bepalen, door de zwakke-veld limiet
te nemen. Hiertoe hoeven we alleen de $00$-component te beschouwen. We vinden dan
\begin{equation}
R_{00} - {1\over 2}Rg_{00} = {\rm constante} (T_{00}).
\label{eq:zvl}
\end{equation}
In de zwakke-veld limiet is ruimtetijd slechts weinig gekromd en bestaan
er co\"ordinaten waarvoor $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$
met $\vert h_{\mu \nu} \vert \ll 1$, terwijl de metriek stationair is.
Er geldt dus $g_{00} \approx 1$. Verder kunnen we de definitie (\ref{eq:riemann1})
van de krommingstensor gebruiken om $R_{00}$ te vinden. Er geldt
\begin{equation}
R_{00} = \partial_0 \Gamma_{~0\mu}^\mu - \partial_\mu \Gamma_{~00}^\mu 
+ \Gamma_{~0\mu}^\nu \Gamma_{~\nu 0}^\mu 
- \Gamma_{~00}^\nu \Gamma_{~\nu \mu}^\mu .
\end{equation}
In ons co\"ordinatenstelsel zijn de $\Gamma_{~\nu \sigma}^\mu$ klein, zodat
we de laatste twee termen in eerste-orde in $h_{\mu \nu}$ kunnen
verwaarlozen. Ook is de metriek stationair in ons co\"ordinatenstelsel,
en vinden we
\begin{equation}
R_{00} \approx -\partial_i \Gamma_{~00}^i .
\end{equation}
In onze discussie van de newtoniaanse limiet, hebben we in vergelijking
(\ref{eq:069lj}) gevonden dat 
$\Gamma_{~00}^i \approx {1\over 2} \delta^{ij} \partial_j h_{00}$ in
eerste-orde in $h_{\mu \nu}$. Dus geldt
\begin{equation}
R_{00} \approx -{1 \over 2} \delta^{ij} \partial_i \partial_j h_{00}.
\end{equation}
We kunnen nu onze benaderingen voor $g_{00}$ en $R_{00}$ substitueren 
in vergelijking (\ref{eq:zvl}) en vinden in de zwakke-veld limiet
\begin{equation}
{1\over 2} \delta^{ij} \partial_i \partial_j h_{00} \approx {\rm constante~}
( T_{00} - {1 \over 2}T).
\label{eq:0956ylr}
\end{equation}
We hebben hierbij gebruikt dat $R = {\rm constante~}T$ met $T \equiv T_{~\mu}^\mu$,
door vergelijking (\ref{eq:einstein}) met gemengde componenten te
schrijven, $R_{~\nu}^\mu - {1 \over 2} \delta_{~\nu}^\mu R = {\rm constante~} T_{~\nu}^\mu$,
en deze te contraheren door $\mu = \nu$ te stellen (merk op dat $\delta_{~\mu}^\mu = 4$).

\medskip
\noindent
Om voortgang te kunnen maken, moeten we iets aannemen over de soort materie
die het zwakke gravitationele veld produceert. We nemen hiervoor een perfecte
vloeistof. Voor de meeste klassieke materieverdelingen geldt $P/c^2 \ll \rho$
en we kunnen de energie-impuls tensor voor stof nemen;
zie vergelijking (\ref{eq:tmunustof}). Er geldt
\begin{equation}
T_{\mu \nu} = \rho U_\mu U_\nu ,
\end{equation}
en hiermee vinden we $T = \rho c^2$. Verder nemen we aan dat de deeltjes
die de vloeistof vormen, snelheden $\vec U$ hebben die in ons co\"ordinatenstelsel
klein zijn ten opzichte van $c$. We doen de aanname $\gamma_U \approx 1$
en dus $U_0 \approx c$. Vergelijking (\ref{eq:0956ylr}) reduceert dan tot
\begin{equation}
{1\over 2} \delta^{ij} \partial_i \partial_j h_{00} \approx {1\over 2}
{\rm constante~} \rho c^2 .
\end{equation}
We merken op dat $\delta^{ij} \partial_i \partial_j = \nabla^2$. Verder hebben
we met vergelijking (\ref{eq:artnewton}) $h_{00} = 2\Phi /c^2$, met $\Phi$
de gravitatiepotentiaal. Als we de evenredigheidsconstante nu kiezen
als ${\rm constante} = 8\pi G / c^4$, dan vinden we de poissonvergelijking
voor newtoniaanse gravitatie (zie ook vergelijking (\ref{eq:ng}))
\begin{equation}
\nabla^2 \Phi \approx 4\pi G \rho .
\end{equation}
Deze identificatie verifieert onze aanname dat de evenredigheidsfactor
tussen de einsteintensor en de energie-impuls tensor gelijk is aan $8\pi G/c^4$. 

\subsection{De kosmologische constante}\label{kosmconst}

De einsteinvergelijkingen (\ref{eq:einstein}) zijn niet uniek. Einstein
ontdekte al snel dat het niet mogelijk bleek om een statisch model van
het universum te construeren op basis van de veldvergelijkingen. Deze
vergelijkingen geven altijd oplossingen die corresponderen met een 
expanderend of contraherend heelal. Toen Einstein dit werk in 1916
uitvoerde was alleen onze melkweg bekend, en dat lijkt op een uniforme
verdeling van vaste sterren. Door het invoeren van de kosmologische
constante $\Lambda$ was Einstein in staat om statische modellen van
het universum te cre\"eren (maar die blijken allemaal instabiel te zijn). 
Later werd ingezien dat de melkweg slechts \'e\'en van de vele
sterrenstelsels is, terwijl in 1929 Edwin Hubble de uitdijing van het
universum ontdekte. Hij bepaalde de afstanden en roodverschuivingen 
van nabij gelegen sterrenstelsels en zag dat het universum expandeert;
zie Fig. \ref{fig:hubblelaw}.
De kosmologische constante bleek niet nodig te zijn. Sterker nog, als
Einstein meer vertrouwen had gehad in zijn vergelijkingen, had hij deze
expansie van het universum kunnen voorspellen. Tegenwoordig hebben we
een andere kijk op deze zaak, maar daarover later meer.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{Figures/hubblelaw.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: de snelheid van een sterrenstelsel is te bepalen uit
het dopplereffect. De afstand wordt bepaald uit de helderheid van
standaardkaarsen; rechts: het blijkt dat sterrenstelsels sneller van ons
af bewegen naarmate ze verder weg staan. De hubbleconstante is
$H_0 = 72$ km/s/Mpc. Sterrenstelsels bewegen niet door de ruimte, maar
{\sl drijven} als het ware met de expanderende ruimte mee.}
\label{fig:hubblelaw}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Wat Einstein deed was het volgende. We weten dat $\nabla_\mu G_{\mu \nu} = 0$
en ook $\nabla_\mu T_{\mu \nu} = 0$, en we hebben in vergelijkingen
(\ref{eq:covconst}) en (\ref{eq:gkk}) gezien dat ook $\nabla_\mu g^{\mu \nu} = 0$.
We mogen elke constante veelvoud van $g_{\mu \nu}$ optellen bij $G_{\mu \nu}$
en krijgen dan nog steeds een consistente verzameling veldvergelijkingen.
Het is gebruikelijk om de evenredigheidsconstante aan te duiden met
$\Lambda$, en we vinden dan
\begin{equation}
R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} 
= {8\pi G \over c^4} T_{\mu \nu},
\label{eq:0345mk}
\end{equation}
waarbij $\Lambda$ een nieuwe universele natuurconstante is, die we de
kosmologische constante noemen. 
Wat we hiermee opgeven is dat de `gemodificeerde einsteintensor'
$G_{\mu \nu}' = G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}$ niet meer gelijk
is aan nul als ruimtetijd vlak is! Verder is $G_{\mu \nu}$ niet meer
een rechtstreekse maat voor de kromming. 

\medskip
\noindent
Door vergelijking (\ref{eq:0345mk}) weer met gemengde indices te schrijven
en te contraheren vinden we $R = {8\pi G \over c^4}T + 4\Lambda$.
Invullen in vergelijking (\ref{eq:0345mk}) levert
\begin{equation}
R_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} \left( T_{\mu \nu} - {1 \over 2} Tg_{\mu \nu}
\right) + \Lambda g_{\mu \nu}.
\end{equation}
We volgen nu dezelfde procedure als in hoofdstuk \ref{newtonlimiet} en vinden
de veldvergelijkingen in de zwakke-veld limiet voor newtoniaanse gravitatie
\begin{equation}
\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho  - \Lambda c^2 .
\end{equation}
Voor een sferische massa $M$ vinden we het gravitatieveld
\begin{equation}
\vec g = \nabla \Phi = -{3GM \over 2r^2} \hat{\vec r} +
{c^2 \Lambda r } \hat{\vec r} ,
\end{equation}
en we zien dat de kosmologische term correspondeert met een gravitationele
{\sl afstoting}, waarvan de sterkte evenredig met $r$ toeneemt.

\medskip
\noindent
Tegenwoordig hebben we een andere kijk op de kosmologische constante.
Merk op dat de energie-impuls tensor van een perfecte vloeistof gegeven
wordt door
\begin{equation}
T^{\mu \nu} = \left( \rho + {P \over c^2} \right) U^\mu U^\nu + P g^{\mu \nu} .
\end{equation}
We stellen ons voor dat er een bepaalde `substantie' is met een vreemde
toestandsvergelijking $P - \rho c^2$. Een dergelijke substantie is iets
dat we nog niet zijn tegengekomen, omdat het een negatieve druk heeft!
De energie-impuls tensor voor deze substantie is
\begin{equation}
T_{\mu \nu} = -P g_{\mu \nu} = \rho c^2 g_{\mu \nu} .
\end{equation}
Hierbij dienen we het volgende op te merken. Allereerst hangt de
energie-impuls tensor voor deze vreemde substantie alleen van de 
metrische tensor af: het is derhalve een eigenschap van het vacuum zelf en
we noemen $\rho$ de energiedichtheid van het vacuum. Ten tweede, de
vorm van $T_{\mu \nu}$ is hetzelfde als die van de constante
kosmologische term in vergelijking (\ref{eq:0345mk}). We kunnen de
kosmologische constante dus zien als een universele constante die de energiedichtheid
van het vacuum bepaalt,
\begin{equation}
\rho_{\rm vacuum} c^2 = {\Lambda c^4 \over 8 \pi G}.
\end{equation}
Als we de energie-impuls tensor van het vacuum aanduiden met
$T_{\mu \nu}^{\rm vacuum} = \rho_{\rm vacuum} c^2 g_{\mu \nu}$,
kunnen we de gemodificeerde veldvergelijkingen schrijven als
\begin{equation}
R_{\mu \nu} - {1 \over 2} R g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} \left(
T_{\mu \nu} + T_{\mu \nu}^{\rm vacuum} \right) ,
\end{equation}
met $T_{\mu \nu}$ de energie-impuls tensor van de aanwezige
materie of straling.

\medskip
\noindent
Als $\Lambda \neq 0$, dan dient hij op zijn minst z\'o klein te zijn
dat $\rho_{\rm vacuum}$ verwaarloosbare gravitationele effecten heeft
($\vert \rho_{\rm vacuum} \vert < \rho_{\rm materie}$) voor gevallen
waarbij de newtoniaanse gravitatietheorie een goede beschrijving van de
meetgegevens geeft. De systemen met kleinste dichtheid waarop de wetten
van Newton worden toegepast, zijn kleine clusters van sterrenstelsels.
Hiermee kunnen we de volgende limiet plaatsen
\begin{equation}
\vert \rho_{\rm vacuum}c^2 \vert = \left| {\Lambda c^4 \over 8 \pi G} \right|
\leq \rho_{\rm cluster} \sim 10^{-29}~{\rm g/cm}^{-3}
\end{equation}
op de waarde van de kosmologische parameter. Het is evident dat $\Lambda$
z\'o klein is, dat hij volledig onbelangrijk is op de schaal van een ster.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/type1a.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De historie van de expansie van het universum. In het verleden
was het effect van de massadichtheid belangrijker dan dat van de kosmologische
constante en vertraagde de expansie van het universum. Echter als het volume
van het universum toeneemt, dan neemt de dichtheid af. Het effect van
de vacuumenergie is constant. Als het volume groot genoeg wordt, dan zal
het universum voor altijd expanderen.}
\label{fig:type1a}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Hoe kunnen we de energiedichtheid van het vacuum berekenen? De eenvoudigste
berekeningen sommeren de quantummechanische nulpuntsenergie van alle in
de natuur bekende velden. Het antwoord dat gevonden wordt is ongeveer
120 ordes van grootte hoger dan de bovengrens op $\Lambda$ die we
net bepaald hebben. Dit is niet begrepen en er dient een fysisch mechanisme
te bestaan dat de kosmologische constante klein maakt. Recente meetgegevens
duiden erop dat de kosmologische constante niet precies gelijk is aan nul.
De sterkste aanwijzing komt van metingen aan verre Type Ia supernovae, die
zeggen dat de expansie van het universum op dit moment {\sl toeneemt}.
Dit wordt getoond in Fig. \ref{fig:type1a}.
Zonder kosmologische constante verwachten we dat door de aantrekkende kracht
van alle materie in het universum, de expansie zou vertragen en misschien
zelfs aanleiding zou geven voor een contractie van het universum. Als
de kosmologische constante echter van nul verschilt, kan de negatieve
druk van het vacuum ervoor zorgen dat het universum versneld uitdijt.

\subsection{Alternatieve relativistische theorie\"en voor gravitatie}

De einsteinvergelijkingen zijn niet uniek, zoals we gezien hebben in de
vorige sectie. Het is ook mogelijk om radicaal nieuwe gravitatietheorie\"en
te construeren. We bespreken in het volgende een aantal.

\subsubsection{Scalaire gravitatietheorie\"en}

In de newtoniaanse beschrijving van gravitatie wordt het gravitatieveld
voorgesteld door de scalar $\Phi$. Dit veld voldoet aan de poissonvergelijking
$\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho$. Omdat materie relativistisch wordt beschreven
door de energie-impuls tensor $T_{\mu \nu}$, is de enige scalar met de
dimensie massadichtheid die we kunnen maken $T_{~\mu}^\mu$. Verder zijn
plaats en tijd onderdeel van de viervector $x^\mu$ en nemen
we ook de afgeleide naar de tijd mee (via $\Box^2 \equiv \nabla^\mu \nabla_\mu =
-\partial_{ct} + \nabla^2$). 
Een consistente scalaire relativistische
theorie van gravitatie wordt gegeven door de veldvergelijking
\begin{equation}
\Box^2 \Phi = -{4 \pi G \over c^2} T_{~\mu}^\mu .
\end{equation}
Deze theorie is echter onjuist gebleken (en voorspelde onder andere niet waargenomen
effecten op de baan van mercurius). Verder is er geen koppeling tussen
gravitatie en elektromagnetisme, waardoor we geen gravitationele roodverschuiving
hebben, en ook geen afbuiging van licht door materie.

\subsubsection{Brans - Dicke theorie}

Een gravitatietheorie gebaseerd op een vectorveld kan worden uitgesloten,
omdat een dergelijke theorie voorspelt dat massieve deeltjes elkaar zullen
afstoten in plaats van aantrekken. Het is wel mogelijk om relativistische
theorie\"en te formuleren met combinaties van scalaire, vector en tensorvelden.
De meest belangrijke van dit soort theorie\"en is die van Robert Dicke en
Carl Brans uit 1961. Brans en Dicke gingen in de formulering van hun
theorie ook uit van het equivalentieprincipe en verkregen op die wijze 
een beschrijving van gravitatie in termen van kromming van ruimtetijd. 
In plaats van de gravitatieconstante $G$ te behandelen als een natuurconstante,
introduceerden ze een scalair veld $\phi$ dat de sterkte van $G$ bepaalt.
Dit wil zeggen dat het scalaire veld $\phi$ de sterkte van de koppeling
van materie aan gravitatie bepaalt.  De gekoppelde vergelijkingen voor
het scalaire veld en het gravitatieveld kunnen geschreven worden als
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\Box^2 \phi & = & -4\pi \lambda \left( T^M \right)_{~\mu}^\mu , \\
& & \\
R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R & = & {8 \pi \over c^4 \phi}
\left( T_{\mu \nu}^M + T_{\mu \nu}^\phi \right) . \\
\end{array}
\label{eq:bd}
\end{equation}
We zien dat de effecten van materie worden voorgesteld door de energie-impuls
tensor $T_{\mu \nu}^M$ en een koppelingsconstante $\lambda$ die het
scalaire veld bepaalt. Het scalaire veld bepaalt de waarde van $G$ en
de veldvergelijkingen relateren de kromming aan de energie-impuls tensoren
van het scalaire veld $T_{\mu \nu}^\phi$ en de materie $T_{\mu \nu}^M$.
Historisch wordt de koppelingsconstante geschreven als
$\lambda = 2/(3 + 2\omega )$. In de limiet $\omega \rightarrow \infty$
vinden we $\lambda \rightarrow 0$, en wordt $\phi$ niet be\"{\i}nvloed
door de massaverdeling. We kunnen $\phi$ dan gelijkstellen aan $\phi = 1/G$.
In de limiet $\omega \rightarrow 0$ gaat $T_{\mu \nu}^\phi \rightarrow 0$
en reduceert de Brans-Dicke theorie tot die van Einstein.

\medskip
\noindent
De Brans-Dicke theorie is belangrijk, omdat hij laat zien dat men
alternatieve theorie\"en kan ontwikkelen die consistent zijn met het
equivalentieprincipe. Een van de voorspellingen van de Brans-Dicke
theorie is dat de effectieve gravitatieconstante $G$ een functie van
de tijd kan zijn en bepaald wordt door het scalaire veld $\phi$.
Een verandering in $G$ zou de banen van planeten be\"{\i}nvloeden
en een redelijke convervatieve conclusie van meetgegevens zegt dat
$\omega \geq 500$. Daarmee lijkt Einsteins theorie de correcte theorie
voor gravitatie, althans voor lage energie\"en.

\subsubsection{Torsietheorie\" en}

In onze discussie van gekromde ruimtetijd hebben we aangenomen dat de
vari\"eteit geen torsie heeft. Dit is geen noodzakelijke eis, en we 
kunnen de discussie van ruimtetijd generaliseren met een torsietensor,
\begin{equation}
T_{~\nu \sigma}^\mu = \Gamma_{~\nu \sigma}^\mu - \Gamma_{~\sigma \nu}^\mu ,
\end{equation}
die niet gelijk is aan nul. Typisch wordt torsie veroorzaakt door
de quantummechanische spin van deeltjes. Dergelijke theorie\"en zijn
wiskundig gecompliceerd. Gravitatietheorie\"en met ruimtetijd torsie
worden vaak Einstein-Cartan theorie\"en genoemd en zijn uitvoerig
onderzocht.

\vfill
\eject
